2013西城二模压轴题

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北京市西城区初三数学二模..

．﹣4．若，则y x的值为（）A．8B．6C．5D．9考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．思路：根据非负数的性质可列方程，求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．步骤：解：根据题意得：，解得：，则y x=23=8．故选：A．总结：本题对“非负数的性质”进行了考查：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．．．．个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为=n...21n x x x +++，则方差S 2=[（x 1﹣）2+（x 2﹣）2+…+（x n ﹣）2]．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．众数是出现次数最多的那个数。

步骤：解：把3，3，6，3，5从小到大排列为：3，3，3，5，6，方差=[（3﹣4）2+（3﹣4）2+（6﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2]=1.6．7．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，则四边形DHFC的面积为（）A．B．C．9D．考点：旋转的性质；正方形的性质．思路：首先连结CH，根据旋转的性质得∠BCF=30°，则∠FCD=60°，通过“HL”证明Rt△CFH≌Rt△CDH，则∠FCH=∠DCH=30°，在Rt△CFH中，∠FCH=30°，则HF==，然后根据三角形面积公式计算出S△FCH=，最后利用四边形DHFC的面积=2S△FCH即可．步骤：解：连结CH，如图，∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，∴∠BCF=30°，∴∠FCD=60°，∵在Rt△CFH和Rt△CDH中，∴Rt△CFH≌Rt△CDH（HL），∴∠FCH=∠DCH，∴∠FCH=30°，在Rt△CFH中，CF=3，∠FCH=30°，∴HF==，∴S△FCH=×3×=，∴四边形DHFC的面积=2S△FCH=3．故选B．总结：本题考查了对旋转的性质和正方形的性质的掌握。

北京市西城区2013届高三第二次模拟数学文科

2013北京西城区高三二模数学文科一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合{2,3,4}A =，{2,4,6}B =，若x A ∈且x B ∉，则x 等于A ．2B ．3 √C ．4D ．62. 已知命题:,cos 1p x x ∀∈≤R ，则A ． :,cos 1p x x ⌝∃∈≥RB ．:,cos 1p x x ⌝∀∈≥RC ． :,cos 1p x x ⌝∃∈>R √D ．:,cos 1p x x ⌝∀∈>R3. 设变量,x y 满足约束条件3,1,x y x y +≥⎧⎨-≥-⎩则目标函数2z y x =+的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4√4. “ln 1x >”是“1x >”的A ．充分不必要条件 √B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱1AA ⊥底面ABC ，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为AB． √ C． D ．46. 在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n -=+，2n ≥．为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是A ．8i ≥B ．9i ≥C ．10i ≥ √D ．11i ≥正（主）视图A BCA 1B 1C 17. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70a >，80a <，则下列结论正确的是A ．78S S <B ．1516S S <C ．130S > √D ．150S >8. 给出函数()f x 的一条性质：“存在常数M ，使得()f x M x ≤对于定义域中的一切实数x 均成立.”则下列函数中具有这条性质的函数是 A ．1y x=B ．2y x =C ．1y x =+D ．sin y x x =二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. i 是虚数单位，i2i=+_____. 10. 函数sin cos y x x =+的最小正周期是_________，最大值是________.11. 在抛物线22y px =上，横坐标为2的点到抛物线焦点的距离为3，则p =________. 12. 圆心在x 轴上，且与直线y x =切于(1,1)点的圆的方程为________. 13. 设,,a b c 为单位向量，,a b 的夹角为60，则⋅+⋅a c b c 的最大值为________.14. 我们可以利用数列{}n a 的递推公式2,,n n n n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数时，为偶数时（n ∈*N ）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数.则2425a a +=_________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第_____项.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3cos 4A =，2C A =. （Ⅰ）求cos C 的值；（Ⅱ）若24ac =，求,a c 的值.16.（本小题满分13分）在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.在选取的40名学生中，（Ⅰ）求成绩在区间[80,90)内的学生人数；（Ⅱ）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在区间[90,100]内的概率.17.（本小题满分13分）如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，侧棱1BB ⊥底面ABCD ，E 是侧棱1CC 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面11BDD B ；（Ⅱ）求证：//AC 平面1B DE .18.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>椭圆C 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:2l y kx =-与椭圆C 交与,A B 两点，点(0,1)P ，且PA PB =，求直线l 的方程.ABDA 1B 1C 1D 1EC19.（本小题满分14分）设函数2()f x x a =-.（Ⅰ）求函数()()g x xf x =在区间[0,1]上的最小值；（Ⅱ）当0a >时，记曲线()y f x =在点11(,())P x f x （1x >l ，l 与x 轴交于点2(,0)A x ，求证：12x x >>20.（本小题满分14分）如果由数列{}n a 生成的数列{}n b 满足对任意的n ∈*N 均有1n n b b +<，其中1n n n b a a +=-，则称数列{}n a 为“Z 数列”.（Ⅰ）在数列{}n a 中，已知2n a n =-，试判断数列{}n a 是否为“Z 数列”；（Ⅱ）若数列{}n a 是“Z 数列”，10a =，n b n =-，求n a ；（Ⅲ）若数列{}n a 是“Z 数列”，设,,s t m ∈*N ，且s t <，求证：t m s m t s a a a a ++-<-.北京市西城区2010年抽样测试参考答案高三数学试卷（文科） 2010.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案B C D A B C C D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 12i 55+ 10. 2π11. 2 12. 22(2)2x y -+=13.14. 28,640注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.）15、解：（Ⅰ）因为3cos 4A =，所以2cos cos 22cos 1C A A ==- …………………3分2312()148=⨯-=. …………………5分（Ⅱ）在ABC ∆中，因为3cos 4A =，所以sin A = …………………7分因为1cos 8C =，所以sin C == …………………9分根据正弦定理sin sin a cA C=， …………………10分所以23a c =，又24ac =，所以4,6a c ==. …………………12分16、解：（Ⅰ）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间[80,90)的频率为1(0.00520.0150.0200.045)100.1-⨯+++⨯=， …………………3分所以，40名学生中成绩在区间[80,90)的学生人数为400.14⨯=（人）.…………………5分（Ⅱ）设A 表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选两名学生，至少有一名学生成绩在区间[90,100]内”，由已知和（Ⅰ）的结果可知成绩在区间[80,90)内的学生有4人，记这四个人分别为,,,a b c d ，成绩在区间[90,100]内的学生有2人， …………………7分记这两个人分别为,e f ，则选取学生的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d b e b f (,),(,),(,)c d c e c f ， (,),(,),(,)d e d f e f基本事件数为15， …………………9分事件“至少一人成绩在区间[90,100]之间”的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),(,),(,),(,)c e c f d e d f e f ，基本事件数为9， …………………11分所以93()155P A ==. …………………13分17、证明：（Ⅰ）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，因为1BB ⊥底面ABCD ，所以1BB AC ⊥， …………3分所以AC ⊥平面11BDD B . …………5分（Ⅱ）设AC ,BD 交于点O ，取1B D 的中点F ，连接,OF EF ，则1//OF BB ，且112OF BB =，又E 是侧棱1CC 的中点，112EC CC =，11//BB CC ，11BB CC =，所以1//OF CC ，且112OF CC =, …………………7分A BDA 1B 1C 1D 1ECOF所以四边形OCEF 为平行四边形，//OC EF ， …………………9分又AC ⊄平面1B DE ，EF ⊂平面1B DE ， ………………11分所以//AC 平面1B DE . ………………13分 18、解：（Ⅰ）由已知26a =，3c a =， …………………3分解得3a =，c =所以2223b a c =-=， …………………4分所以椭圆C 的方程为22193x y +=. …………………5分（Ⅱ）由221,932x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，22(13)1230k x kx +-+=，直线与椭圆有两个不同的交点，所以2214412(13)0k k ∆=-+>，解得219k >. …………………7分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221213k x x k +=+，122313x x k =+， …………………8分计算121222124()441313k y y k x x k k k +=+-=⋅-=-++，所以，,A B 中点坐标为2262(,)1313k E k k -++， …………………10分因为PA PB =，所以PE AB ⊥，1PE AB k k ⋅=-，所以2221131613k k k k --+⋅=-+， …………………12分解得1k =±， …………………13分经检验，符合题意，所以直线l 的方程为20x y --=或20x y ++=. …………………14分 19、（Ⅰ）解：3()g x x ax =-，2()3g x x a '=-， …………………2分当0a ≤时，()g x 为R 上的增函数，所以()g x 在区间[0,1]上的最小值为(0)0g =； …………………4分当0a >时， ()g x '的变化情况如下表：所以，函数()g x 在(,-∞，)+∞上单调递增，在(上单调递减. …………………6分1<，即03a <<时，()g x 在区间[0,1]上的最小值为g = ……………7分1≥，即3a ≥时，()g x 在区间[0,1]上的最小值为(1)1g a =-. ……8分综上，当0a ≤时，()g x 在区间[0,1]上的最小值为(0)0g =；当03a <<时，()g x 的最小值为；当3a ≥时，()g x 的最小值为1a -.（Ⅱ）证明：曲线()y f x =在点11(,())P x f x （1x ）处的切线方程为2111()2()y x a x x x --=-，令0y =，得21212x ax x +=， …………………10分所以212112a x x x x --=，因为1x >21102a x x -<，21x x <. ………11分因为1x 1122x ax ≠，所以211211222x a x ax x x +==+> …………………13分所以12x x >> …………………14分20、解：（Ⅰ）因为2n a n =-，所以221(1)21n n n b a a n n n +=-=-++=--，n ∈*N ， …………………2分所以12(1)1212n n b b n n +-=-+-++=-，所以1n n b b +<，数列{}n a 是“Z 数列”. …………………4分（Ⅱ）因为n b n =-，所以2111a a b -==-，3222a a b -==-，…，11(1)n n n a a b n ---==--，所以1(1)12(1)2n n na a n --=-----=-（2n ≥），…………………6分所以(1)2n n na -=-（2n ≥），又10a =，所以(1)2n n n a -=-（n ∈*N ）. …………………8分（Ⅲ）因为 111()()s m s s m s m s s s m s a a a a a a b b +++-++--=-++-=++， 111()()t m t t m t m t t t m t a a a a a a b b +++-++--=-++-=++，………………10分又,,s t m ∈*N ，且s t <，所以s i t i +<+，s i t i b b ++>，n ∈*N ，所以1122,,,s m t m s m t m s t b b b b b b +-+-+-+->>>， …………………12分所以t m t s m s a a a a ++-<-，即t m s m t s a a a a ++-<-. …………………14分。

北京市西城区2013届高三第二次模拟考试文科数学试题(word版)

（A）8 （B）7
（C） 6
（D） 5
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第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．已知直线 l1 : x 3y 1 0 ， l2 : 2x my 1 0 ．若 l1 ∥ l2 ，则实数 m ______．
3
（Ⅰ）若 a 2 ，求曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程；
（Ⅱ）求 f (x) 在区间[2,3]上的最小值．
第 8 页 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 21 页
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19．（本小题满分 14 分）如图，椭圆 C : x2 y2 1 (0 m 1) 的左顶点为 A ， M
14 ．在直角坐标系 xOy 中，已知两定点， A(1,0)
B(1,1) ．动点
P(x,
y)
满足
0
OP OA
1,
则点
P
构成的
0 OP OB 2.
区域的面积是______；点Q(x y, x y) 构成的区
域的面积是______．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答
北京市西城区 2013 届高三第二次模拟考试文科数学试题(word 版)
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北京市西城区 2013 届高三第二次模拟考试
数学（文科）
第Ⅰ卷（选择题共 40 分）
2013.5
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，
共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选
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2013北京西城高三英语二模试题及答案

北京市西城区2013年高三二模试卷英语2013.5第一节单项填空（共15小题；每小题1分，共15分）21. Mary is a humorous and warm-hearted woman and that is ______ she is a most popular personin her community.A. whetherB. becauseC. howD. why22. ---Where are the papers for the Smith project?---They are in the folder ______ “S”.A. markingB. markedC. to be markedD. to mark23. The movie Life of Pi is so attractive that it holds the audience’s curiosity ______ the sto ryreaches the end.A. untilB. beforeC. afterD. when24. ---______ you leave now? You only arrived an hour ago!---Sorry, but so much homework is waiting for me.A. MustB. MayC. CanD. Might25. Taking regular exercise and eating a balanced diet are two important keys ______ good health.A. inB. fromC. ofD. to26. Naturally a smile ______ the eyes participate is extremely communicative.A. to whichB. in whichC. at whichD. with which27. I’m just getting out of the city for a few days ________ some space and clear my head.A. gottenB. gettingC. to getD. having gotten28. With the audience _____ at her, the little girl felt nervous on the stage.A. staringB. to stareC. stareD. stared29. ---Why wasn’t John hired for the job?---I don’t know, but he _____.A. wasB. had beenC. should haveD. should have been30. It was today’s activity _____ let me know the imp ortance of teamwork.A. whereB. whichC. thatD. what31. J.K. Rowling ______ writing Harry Potter at a local café because she could not afford to heather home.A. startedB. startsC. has startedD. had started32. ---Can I come after dinner?---Yes, that’s fine. I ______ anything.A. don’t doB. won’t doC. won’t be doingD. am not doing33. ---Do you know our school at all?---No, this is the first time I ____ here.A. wasB. have beenC. cameD. am coming34. All the preparations for the task ______, and we’re ready to start.A. completedB. have completedC. will be completedD. have been completed35. With increasing working pressure, Anthony has ______ time to spend with his friends thanbefore.A. muchB. moreC. lessD. least第二节完形填空（共20小题；每小题1.5分，共30分）So tired as I was, I bothered myself to open up my café shop on the cold morning. With many consumers streaming in, I knew another long business day began. And I had to serve far into the night.As I rushed among the tables, suddenly, a 36 asked if I could mind a child. I was quite 37 but I could tell the man was quite desperate. So I had to make a 38 with him that if he wanted his son to stay and wait for him he had to 39 something in the shop.This was quite 40 for the man to do; I could 41 he was quite poor by the 42 he was dressed. It looked as if he had tried to come in his 43 clothes. But they still looked a bit old and worn out 44 he had often worn them, just to make himself look best. Looking down I could see his 45 were also a bit torn and the heels were in a terrible state. I thought he was going for a job interview. In the end he bought a small box of 46for his little son and seated him down in the corner. I could tell the boy was feeling down and only could 47 with a bit of cheering up.Seeing that the kid sat there for quite a while, I was a bit 48 as the poor little kid was sitting 49 his own. People watched him and some kids even came over to pick on him. I was 50 to see one of them even knocked his cookies off the table. He quickly went and got them back without saying a word. I was hoping his father would 51 up and come back for his son’s 52 .At closing time, the only person left was the little boy. After a while, the father finally came in with a tiresome look. I 53 he didn’t get any job. As they were leaving, I offered the kid a little cake, but the man rejected it. I 54 he felt as if I had just abused him. Of course I didn’t mean to. But I could understand why he felt like that. I only wished the m good 55 whatever happened.The man opened the door to leave — father and son hand in hand.36. A. voice B. sound C. noise D. tune37. A. pleased B. frightened C. annoyed D. interested38. A. deal B. decision C. promise D. date39. A. leave B. buy C. do D. eat40. A. easy B. natural C. hard D. possible41. A. explain B. prove C. think D. tell42. A. manner B. means C. method D. way43. A. poorest B. best C. prettiest D. oldest44. A. even though B. so that C. as if D. now that45. A. socks B. gloves C. pants D. shoes46. A. sweets B. cigarettes C. cookies D. cakes47. A. laugh B. speak C. do D. help48. A. relaxed B. nervous C. satisfied D. worried49. A. on B. of C. by D. for50. A. touched B. disappointed C. astonished D. excited51. A. hurry B. give C. turn D. run52. A. chance B. benefit C. future D. job53. A. hoped B. imagined C. doubted D. guessed54. A. clarified B. assumed C. confused D. ignored55. A. luck B. progress C. supper D. night第三部分：阅读理解（共两节，40分）AHi, I’m Michael J. Lindell, Inventor, Manufacturer, and President of My Pillow Corporation. Years ago, like you, I found myself extremely frustrated with my pillow going flat. Most pillows are designed to break down. I would wake up in the morning with a sore arm, my neck would hurt, my fingers would be numb, and I would toss and turn all night not knowing why. I tried many different pillows on the market and none of them worked. So, I started to research pillows and study sleep disorders. I was determined to create the world’s healthiest, most comfortable, and strongest pillow. My Pillow uses our unique, patented medical fill that stays cool, corresponds to your exact individual needs regardless of sleep position, and stays healthy for your full 10-year guarantee. It is non-allergic, and you can wash and dry it as easily as your favorite jeans.My Pillow is not available in stores. I have spent the last seven years selling My Pillow face-to-face at fairs, expos and events. Hundreds of experts and medical doctors carry and recommend them for their patients. I have been featured on medical talk shows that air around the world. I have sold hundreds of thousands of pillows and have received great gratitude from satisfied customers regarding how My Pillow has changed their lives and provided a more comfortable, restful sleep.And, My Pillow comes in different sizes and is fit for your size and sleeping pattern. So you can be assured that you will have the most comfortable pillow for you.I truly believe it is the best pillow in the world and that if everyone had one and got better sleep, the world would be a much nicer place.56. What makes My Pillow unique?A. It is easily washed and dried.B. It suits your sleeping position.C. It contains special cooling medicine.D. It helps you stay healthy for 10 years.57. Where can people probably buy My Pillow?A. At fairs.B. In stores.C. In markets.D. On the Internet.58. What is the author’s purpose in wr iting this article?A. To introduce a comfortable pillow.B. To encourage people to buy My Pillow.C. To give some advice on sleeping problems.D. To tell us how to select a comfortable pillow.BFor or Against? — That Is the QuestionAndy is the most unreasonable and he makes me so angry that I could even scream sometimes! Of course, I sort of have to love him because he is my twin brother. Andy and Amy (that is me) have the same curly hair and dark eyes and are equally stubborn. Yet, on most issues we usually take opposite positions.Just this week in our school, there was a heated discussion on whether to adopt a school dress code. Every student would be required to wear a uniform. The teachers are divided: Some are in favor of the uniforms while others are opposed. The principal has asked the students to express their opinions by voting on the issue before decisions are made. But she will have the final word on the dress code.I think a dress code is a good idea. The reason is simple. The less I have to decide first thing in the morning, the better. I can’t tell you how many mornings I look into my closet and just stare, unable to decide what to wear.Andy is shocked at my opinion. Last night, he even dragged out my parents’ high schoo l photo albums to show me how brilliant they looked without uniforms! He also declared, “Bruce Springsteen never wore a school uniform. Bob Dylan wouldn’t have been caught dead in a school uniform! Besides, when I am feeling political, I want to be able to wear clothes made of natural, undyed fibers, sewn or assembled in countries that do not pollute the environment or exploit child labor. If I have to wear a uniform, I won’t feel like me!”To that I replied, “So your personal heroes didn’t wear school unif orms. But they went to high school about a million years ago! I feel sorry for you since I had no idea that your ego(自我) is so fragile that it would be completely destroyed by a uniform.” That really made him angry and he shouted, “You’re just copying what you hear that new music teacher saying because you are crazy about him!”Fortunately, the bell rang before we could do each other physical harm, and we went to our separate classes. The vote for or against uniforms took place later that day. The results o f the vote and the principal’s decision will be announced next week. I wonder what it will be. I know how I voted, and I’m pretty sure I know how Andy voted. How would you vote—for or against?59. Amy and Andy often get angry with each other because______.A. they’re both stubbornB. they like different teachersC. they always hold different viewsD. they don’t like each other very much60. Amy holds the idea that _______.A. school clothing should reflect parents’ valuesB. teenagers should never follow the latest clothing fashionC. wearing school uniforms means one makes less decision every morningD. the way one dresses should be an expression of one’s personality61. Who will decide whether the students should wear uniforms?A. The principal.B. Their parents.C. Their teachers.D. Students themselves.62. In Paragraph 5, Amy aims to say that______.A. Andy shouldn’t look up to his heroes so muchB. our clothes should decide people’s attitudes towards usC. Andy’s lack of self-confidence is reflected in his clothingD. our clothes shouldn’t determine how we feel about ourselvesCMany factories and businesses around the globe have been struggling to deal with the severe economic realities of the recession (衰退), so they are having their employees take compulsory unpaid leave to save money. For some workers, their salaries have been cut by 20 percent, forced to stay home one out of every five working days. For some businesses, though, the economic downturn is actually a goldmine.Instead of going out to fancy restaurants to dine with the whole family, many choose to stay at home. “People are eating out less and staying home more, which is driving our sales,” reports Domino’s Pizza chief manager Chris Moore. Pizza is very popular, and it is also very affordable for a family that has little extra money to spare. Domino’s business in England rose 15 percent in the first six weeks this year compared with the previous year. Moore believes that the customers now will remain loyal when the financial situation rights itself. “By exceeding (超越) their expectations in terms of product quality and speed of delivery... these customers will stay with Domino’s when the economy becomes better.” said Moore.Delivered pizza is not the only winner in the stay-at-home economy. Almost all online games have been reporting record-high income since the middle of 2008. Online games are designed to enable players to let off steam by interacting with each other socially in the comfort of their own homes. A Shanghai-based online game producer recently joked: “The game businesses are worried about economic recovery.”Another business that has boomed during the recession is camping equipment. Luxury vacations for families are down, but people still want to get away from their dull lives. This means that sales of tents, sleeping bags, and other outdoor equipment has gone up as families are trying to still have fun even though their bank accounts aren’t as good as they once were. There have been reports that sales of fishing equipment are on the rise because many people believe this can help lower their grocery bills.63. What is true about Domino’s in economic hard times?A. It is giving its employees a 20 percent cut.B. It has added four or five new cheaper pizzas.C. It has to close 15 percent of its stores.D. Its business is increasing quite rapidly.64. What does the phrase “let off steam” mean in the third paragraph?A. Save money.B. Free one’s feelings.C. Kill another player online.D. Make money from an online game.65. How does the author present his point?A. By giving examples.B. By showing a sequence.C. By explaining causes and effects.D. By making comparisons and contrasts.66. Which is the best title for the passage?A. Domino’s PizzaB. In-house EconomyC. Booming BusinessesD. Economic RecessionDAll around the world, shoppers flock to Wal-Mart to buy everything. In Texas, they come for another reason: to see the wind turbine(涡轮机), which supplies 5% of the store’s electricity. It along with other facilities, such as exterior walls coated with heat-reflective paint, makes this Wal-Mart a green giant.The laws of economics suggest that Wal-Mart, with 5,200 stores worldwide, influences everything including the price of all kinds of goods. It throws its weight behind environmental responsibility, and the impact could be amazing. “One little change in product packaging could save 1,500 trees,” says Wal-Mart CEO Lee Scott. “If everyb ody saves 1,500 trees or 50 barrels of oil, at the end of the day you have made a huge difference.”Scott wants Wal-Mart to do its part too. He has promised to cut the existing greenhouse-gas emissions(排放) over the next few years and promised to construct new stores that are more efficient. He wants Wal-Mart’s fleet (车队) of more than 7,000 trucks to get twice as many miles per gallon by 2015. Factories that show Wal-Mart they’re cutting air pollution wil l get preferential treatment in the supply chain. Wal-Mart says it’s working with consumer-product manufacturers to reduce their packaging and will reward them if they do so.Some people may doubt it is a bid to attract attention from Wal-Mart’s controver sial labor and health-insurance practices. But it’s not just window dressing, because Wal-Mart sees profits in going green. Scott says, “This is a business philosophy, not a social philosophy. We don’t go where we don’t think there’s a great interest in change.”Like Bill Gates, who started his charitable foundation, Scott happens to be promoting Wal-Mart’s image at a time whenhis company’s reputation is declining. He acknowledges that he launched the plan partly to shield(保护，庇护) Wal-Mart from bad press ab out its contribution to global warming. “By doing what we’re doing today, we avoid the headline risks that are going to come for people who did not do anything,” he says. “At some point businesses will be held responsible for the actions they take.” Meanwh ile, should Wal-Mart succeed at shrinking its environmental footprint and lowering prices for green products, both the planet and the company will profit.67. We can infer from the passage that_______.A.Lee Scott is Wal-Mart’s CEOB.there are 5,200 stores in the worldC.Wal-Mart has a great influence on the world marketD.Wal-Mart has more than 7,000 trucks all over the world68. What does the underlined sentence “This is a business philosophy, not a social philosophy.” mean in the fourthparagraph?A.Wal-Mart predicts huge profits in its green activity.B.Wal-Mart’s green activity is just window dressing.C.Wal-Mart aims to solve its health-insurance practices.D.Wal-Mart doesn’t have any social responsibility at all.69. What will Wal-Mart probably do in the future?A. Reduce air pollution in its present stores.B. Give favorable treatment to its consumers.C. Ask the factories to reduce their packaging.D. Demand the fleet of trucks to use more fuel than before.70. What is the main idea of the last paragraph?A.Provide the background of the green plan.B.Stress the purpose of Wal-Mart’s green plan.C.Present the risk that Wal-Mart is facing nowadays.D.Analyze the similarity between Bill Gates and Scott.第二节（共5小题；每小题2分，共10分）The word “diary” comes from the Latin word “diarium”, which me ans “daily allowance”. 71 And it is used for business notes, planning activities, keeping track of scheduled appointments, or documenting what has already happened. Some doctors suggest that writing in a diary is a good form of self-study.In America, from the 1940s through the 1980s, a diary was thought of mostly as a way to privately express one’s deepest thoughts while keeping notations about the day. 72 Many times, movies would show a teenage girl beginning to write in her diary while she said aloud, “Dear diary…”.73 A diary kept by a young German Jewish girl by the name of Anne Frank provides us with invaluable lessons about history, for she documented her experiences while she hid from the Nazis during their occupation of the Netherlands in World War II. Her diary became one of the world’s most widely read books and is the basis for many film s.a.Samuel Pepys, who lived during the 17th century, is the earliest diary keeper that is famous today. His diary is also an important documentation of history, for it gives personal insight(洞察力) into London’s Great Pla gue and the Great Fire. His diary is being published on the Internet, and i t’s interesting to note that there has been a new entry every day since January of 2003. It will continue over the course of several years to come. 74Today’s electronic version of the diary,the web log or “blog”has once again stretched the diary to be much more than a personal account of the day’s events. There are blogs to document recipes,traveling, movies,independent news, product announcements,photos, and anything else that needs to be recorded over time. Search engines like have been created to keep track of the more than 112 million blogs that are currently public. 75A. It refers to a book for writings by date.B. In its newest form, the diary has become more popular than ever.C. Reading his diary is fascinating, and it makes his life all the more real to us.D. People love to write diaries, so whenever they are free, they will write a few lines.E. Those private reflections may have historical significance long after the author’s death.F. Nowadays, the blog has taken the place of the diary and becomes more and more popular.G. In those times, and even continuing on today, writing in a diary was like writing to a specialfriend.假设你是红星中学高三（1）班的学生李华。

2013年北京市西城区高考数学二模试卷(理科)(附答案解析)

2013年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设全集U＝{0, 1, 2, 3, 4}，A＝{0, 1, 2, 3}，B＝{2, 3, 4}，则∁U(A∩B)等于（）A.⌀B.{0, 1}C.{0, 1, 4}D.{0, 1, 2, 3, 4}2. 在复平面内，复数z1的对应点是Z1(1, 1)，z2的对应点是Z2(1, −1)，则z1⋅z2=()A.1B.2C.−iD.i3. 在极坐标系中，圆心为(1,π2)，且过极点的圆的方程是（）A.ρ＝2sinθB.ρ＝−2sinθC.ρ＝2cosθD.ρ＝−2cosθ4. 如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”的值，则判断框内可以填入（）A.k≤10B.k≤16C.k≤22D.k≤345. 设a=212，b=313，c=log32，则（）A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b6. 对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是（）A.m⊥n，n // αB.m // β，β⊥αC.m⊥β，n⊥β，n⊥αD.m⊥n，n⊥β，β⊥α7. 已知正六边形ABCDEF的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（）A.√34B.√32C.√3D.2√38. 已知函数f(x)＝x−[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数．若关于x的方程f(x)＝kx+k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（）A.[−1,−12)∪(14,13] B.(−1,−12]∪[14,13)C.[−13,−14)∪(12,1] D.(−13,−14]∪[12,1)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．如图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x¯甲和x¯乙，则x¯甲________x¯乙．（填入：“>”，“=”，或“<”）(2x−1)5的展开式中x3项的系数是________．（用数字作答）在△ABC中，BC=2，AC=√7，B=π3，则AB=________；△ABC的面积是________．如图，AB是半圆O的直径，P在AB的延长线上，PD与半圆O相切于点C，AD⊥PD．若PC=4，PB=2，则CD=________．在等差数列{a n}中，a2=5，a1+a4=12，则a n=________；设b n=1a n2−1(n∈N∗)，则数列{b n}的前n项和S n=________．已知正数a，b，c满足a+b=ab，a+b+c=abc，则c的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈(π6,π2)．将角α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B．记A(x1, y1)，B(x2, y2)．(Ⅰ)若x1=13，求x2；(Ⅱ)分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1＝2S2，求角α的值．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（1）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．如图1，四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．（1）证明：BC⊥平面PBD；（2）证明：AM // 平面PBC；（3）线段CD上是否存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为√34？若存在，找到所有符合要求的点N，并求CN的长；若不存在，说明理由．如图所示，椭圆C:x2+y2m=1(0<m<1)的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．（1）若点P的坐标为(95, 4√35)，求m的值；（2）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．已知函数f(x)=23x3−2x2+(2−a)x+1，其中a∈R．（1）若a=2，求曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）求f(x)在区间[2, 3]上的最大值和最小值．已知集合S n={(x1, x2, ..., x n)|x1, x2, ..., x n是正整数1, 2, 3, ..., n的一个排列}(n≥2)，函数g(x)={1,x>0−1,x<0.对于(a1, a2,…a n)∈S n，定义：b i=g(a i−a1)+g(a i−a2)+...+g(a i−a i−1)，i∈{2, 3, ..., n}，b1=0，称b i为a i的满意指数．排列b1，b2，…，b n为排列a1，a2，…，a n的生成列；排列a1，a2，…，a n为排列b1，b2，…，b n的母列．（1）当n=6时，写出排列3，5，1，4，6，2的生成列及排列0，−1，2，−3，4，3的母列；（2）证明：若a1，a2，…，a n和a′1，a′2，…，a′n为S n中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（3）对于S n中的排列a1，a2，…，a n，定义变换τ：将排列a1，a2，…，a n从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列a1，a2，…，a n变换为各项满意指数均为非负数的排列．参考答案与试题解析2013年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】利用两个集合的交集的定义求出A∩B，再利用补集的定义求出∁U(A∩B)．【解答】∵A∩B＝{0, 1, 2, 3}∩{2, 3, 4}＝{ 2, 3 }，全集U＝{0, 1, 2, 3, 4}，∴∁U(A∩B)＝{0, 1, 4}，2.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】利用复数的几何意义可得z1=1+i，z2=1−i，再利用复数的乘法运算法则即可得出．【解答】解：∵在复平面内，复数z1的对应点是Z1(1, 1)，z2的对应点是Z2(1, −1)，∴z1=1+i，z2=1−i，∴z1⋅z2=(1+i)(1−i)=12−i2=1+1=2．故选B．3.【答案】A【考点】圆的极坐标方程【解析】先在直角坐标系下求出圆心在(1,π2)，且过极点的圆的直角坐标方程，再利用直角坐标与极坐标的互化公式化成极坐标方程即可．【解答】∵在极坐标系中，圆心在(1,π2)，且过极点的圆的直角坐标方程是：x2+(y−1)2＝1，即x2+y2−2y＝0，它的极坐标方程为：ρ＝2sinθ．4.【答案】C【考点】程序框图【解析】由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次．运行5次后，k值变为33，即可得答案．【解答】解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，以后所乘的数依次为3，5，9，17，2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为33，故判断框中应填k<33，或者k≤22．故选C．5.【答案】D【考点】不等式的概念与应用【解析】通过a，b的6次方，判断a与b的大小，判断c的大小范围，即可判断大小关系．【解答】解：因为a=212=√2>1，b=313，因为a6=8，b6=9，所以b>a，因为c=log32∈(0, 1)，所以b>a>c．故选D．6.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断空间中直线与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】根据题意，结合正方体模型，对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的简单说明一下即可．【解答】解：A、“m⊥n，n // α”，如正方体中AB⊥BC，BC // 平面A′B′C′D′，但AB与平面A′B′C′D′不垂直，故推不出m⊥α，故A不正确；B 、“m // β，β⊥α”，如正方体中A′C′ // 面ABCD ，面ABCD ⊥面BCC′B′，但A′C′与平面BCC′B′不垂直．推不出m ⊥α，故B 不正确；C 、根据m ⊥β，n ⊥β，得m // n ，又n ⊥α，根据线面垂直的判定，可得m ⊥α，故D 正确；D 、“m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α”，如正方体中AD′⊥AB ，AB ⊥面BCC′B′，面ABCD ⊥面BCC′B′，但AD′与面BCC′B′不垂直，故推不出m ⊥α，故D 不正确．故选：C ． 7. 【答案】 B【考点】抛物线的求解【解析】如图，设正六边形ABCDEF 的顶点A 、B 、C 、F 在抛物线y 2=2px 上．根据抛物线的对称性，设A(x 1, 1)，F(x 2, 2)，由抛物线方程和正六边形的性质建立关于x 1、x 2和p 的方程组，解之可得2p =√3，由此即可得到抛物线焦点到准线的距离．【解答】解：由题意，设正六边形ABCDEF 的顶点A 、B 、C 、F 在抛物线y 2=2px 上，设A(x 1, 1)，F(x 2, 2)，可得{x 1+√3=x 2①2px 1=1②2px 2=4③，由②、③消去p 得x 2=4x 1，代入①可得x 1+√3=4x 1，所以x 1=√33，代入②得2p =√3，根据抛物线的性质，可得焦点到准线的距离是p =√32故选：B8. 【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】由已知中函数f(x)＝x −[x]，可画出满足条件的图象，结合y ＝kx +k 表示恒过A(−1, 0)点斜率为k 的直线，数形结合可得方程f(x)＝kx +k 有3个相异的实根．则函数f(x)＝x −[x]与函数f(x)＝kx +k 的图象有且仅有3个交点，进而得到实数k 的取值范围．【解答】函数f(x)＝x −[x]的图象如下图所示：y ＝kx +k 表示恒过A(−1, 0)点斜率为k 的直线若方程f(x)＝kx +k 有3个相异的实根．则函数f(x)＝x −[x]与函数f(x)＝kx +k 的图象有且仅有3个交点由图可得：当y ＝kx +k 过(2, 1)点时，k =13，当y ＝kx +k 过(3, 1)点时，k =14，当y ＝kx +k 过(−2, 1)点时，k ＝−1，当y ＝kx +k 过(−3, 1)点时，k =−12，则实数k 满足 14≤k <13或−1<k ≤−12．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．【答案】 >【考点】茎叶图【解析】由茎叶图，分别确定出甲、乙两班同学身高数，通过计算平均数比较出大小．【解答】解：由茎叶图，甲班平均身高为(151+153+165+167+170+172)÷6=163 乙班平均身高为(150+161+162+163+164+172)÷6=162<163．则 x ¯甲>x ¯乙．故答案为：>．【答案】 80【考点】二项式定理的应用【解析】先求得二项展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于3，求得r 的值，即可求得(2x −1)5的展开式中x 3项的系数．【解答】解：在(2x −1)5的展开式中，通项公式为T r+1=C 5r⋅(2x)5−r ⋅(−1)r ，令5−r =3，求得r =2，故(2x −1)5的展开式中x 3项的系数是C 52⋅23⋅(−1)2=80，故答案为80．【答案】 3,3√32 【考点】正弦定理三角形求面积【解析】根据余弦定理AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC cos B，建立关于边AB的方程，解之即可得到边AB的值，再由正弦定理关于面积的公式，代入题中数据即可求出△ABC的面积．【解答】解：∵在△ABC中，BC=2，AC=√7，B=π3，∴由余弦定理，得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cosπ3，即7=AB2+22−2×2×AB cosπ3，化简整理得AB2−2AB−3=0，可得AB=3（舍去−1）根据正弦定理，得△ABC的面积为S=12BC⋅AB sin B=12×2×3×sinπ3=3√32故答案为：3，3√32【答案】125【考点】与圆有关的比例线段【解析】由PD与半圆O相切于点C及切割线定理得PC2=PB⋅PA，OC⊥PD．再利用AD⊥PD得到OC // AD．利用平行线分线段成比例即可得出．【解答】解：设圆的半径为R．连接OC．∵PD与半圆O相切于点C，∴PC2=PB⋅PA，OC⊥PD．．∵PC=4，PB=2，∴42=2×(2+2R)，解得R=3．又∵AD⊥PD，∴OC // AD．∴PCCD =POOA．∴4CD =2+33，解得CD=125．故答案为125．【答案】2n+1,n4(n+1)【考点】等差数列的性质【解析】由条件利用等差数列的通项公式求得首项和公比，即可得到等差数列{a n}的通项公式．把数列{b n}的通项公式求出来，再用裂项法进行数列求和．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则由a2=5，a1+a4=12可得{a1+d=52a1+3d=12，解得{a1=3d=2，故a n=3+(n−1)2=2n+1．∵b n=1a n2−1=14n(n+1)=14[1n−1n+1]，∴数列{b n}的前n项和S n=14[1−12+12−13+13−14+...+1n−1n+1]=14[1−1n+1]=n4(n+1)，故答案为2n+1，n4(n+1)．【答案】(1,43]【考点】基本不等式【解析】由正数a，b，c满足a+b=ab，利用基本不等式即可得出ab≥4．由a+b+c=abc，变形为c=1+1ab−1即可得出．【解答】解：∵正数a，b，c满足a+b=ab，∴ab≥2√ab，化为√ab(√ab−2)≥0，∴√ab≥2，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，∴ab∈[4, +∞)．∵a+b+c=abc，∴ab+c=abc，∴c=abab−1=ab−1+1ab−1=1+1ab−1．∵ab≥4，∴1<1+1ab−1≤43，∴1<1+1ab−1≤43．∴c的取值范围是(1,43]．故答案为(1,43]．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】（1）由三角函数定义，得x1＝cosα，x2=cos(α+π3)．因为α∈(π6,π2)，cosα=13，所以sinα=√1−cos2α=2√23．所以x2=cos(α+π3)=12cosα−√32sinα=1−2√66．（2）依题意得y1＝sinα，y2=sin(α+π3)．所以S1=12x1y1=12cosα⋅sinα=14sin2α，S2=12|x2|y2=12[−cos(α+π3)]⋅sin(α+π3)=−14sin(2α+2π3)．依题意S1＝2S2得sin2α=−2sin(2α+2π3)，即sin2α＝−2[sin2αcos2π3+cos2αsin2π3]＝sin2α−√3cos2α，整理得cos2α＝0．因为 π6<α<π2，所以 π3<2α<π，所以 2α=π2，即 α=π4．【考点】任意角的三角函数两角和与差的三角函数【解析】(Ⅰ)由三角函数定义，得 x 1＝cos α=13，由此利用同角三角函数的基本关系求得sin α的值，再根据x 2=cos (α+π3)，利用两角和的余弦公式求得结果．(Ⅱ)依题意得 y 1＝sin α，y 2=sin (α+π3)，分别求得S 1 和S 2 的解析式，再由S 1＝2S 2 求得cos 2α＝0，根据α的范围，求得α的值．【解答】（1）由三角函数定义，得 x 1＝cos α，x 2=cos (α+π3)．因为 α∈(π6,π2)，cos α=13，所以 sin α=√1−cos 2α=2√23．所以 x 2=cos (α+π3)=12cos α−√32sin α=1−2√66．（2）依题意得 y 1＝sin α，y 2=sin (α+π3)．所以 S 1=12x 1y 1=12cos α⋅sin α=14sin 2α， S 2=12|x 2|y 2=12[−cos (α+π3)]⋅sin (α+π3)=−14sin (2α+2π3)．依题意S 1＝2S 2 得 sin 2α=−2sin (2α+2π3)，即sin 2α＝−2[sin 2αcos 2π3+cos 2αsin2π3]＝sin 2α−√3cos 2α，整理得 cos 2α＝0．因为 π6<α<π2，所以 π3<2α<π，所以 2α=π2，即 α=π4．【答案】（1）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则共有基本事件：1+C 31⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11⋅C 11=16个，则A 事件包含基本事件的个数为C 31⋅C 21⋅C 11=6个，则 P(A)=616=38，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为38，（2）解：随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20．P(X =0)=14，P(X =5)=A 22A 42=16，P(X =10)=1A 42+A 22A 43=16，P(X =15)=A 43˙=16，P(X =20)=A 33A 44=14．所以，随机变量X 的分布列为：EX =0×14+5×16+10×16+15×16+20×14=10．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）1名顾客摸球3次停止摸奖的情况有C 31⋅C 21⋅C 11种，基本事件的个数为1+C 31⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11⋅C 11，然后代入等可能事件的概率公式可求（2）随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20．，分别求出X 取各个值时的概率即可求解随机变量X 的分布列及期望【解答】（1）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则共有基本事件：1+C 31⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11⋅C 11=16个，则A 事件包含基本事件的个数为C 31⋅C 21⋅C 11=6个，则 P(A)=616=38，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为38，（2）解：随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20． P(X =0)=14，P(X =5)=A 22A 42=16，P(X =10)=1A 42+A 22A 43=16，P(X =15)=A 43˙=16，P(X =20)=A 33A 44=14．所以，随机变量X 的分布列为：EX =0×14+5×16+10×16+15×16+20×14=10．【答案】（1）证明：由俯视图可得，BD 2+BC 2=CD 2， ∴ BC ⊥BD ．又∵ PD ⊥平面ABCD ， ∴ BC ⊥PD ， ∵ BD ∩PD =D ， ∴ BC ⊥平面PBD ．（2）证明：取PC 上一点Q ，使PQ:PC =1:4，连接MQ ，BQ ．由左视图知 PM:PD =1:4，∴ MQ // CD ，MQ =14CD ．在△BCD 中，易得∠CDB =60∘，∴ ∠ADB =30∘．又 BD =2，∴ AB =1，AD =√3．又∵ AB // CD ，AB =14CD ，∴ AB // MQ ，AB =MQ ．∴ 四边形ABQM 为平行四边形， ∴ AM // BQ ．∵ AM ⊄平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ， ∴ 直线AM // 平面PBC ．（3）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为√34．证明如下：∵ PD ⊥平面ABCD ，DA ⊥DC ，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ． ∴ D(0,0,0),A(√3，0，0)，B(√3,1,0)，C(0,4,0)，M(0,0,3)．设 D(0,0,0),A(√3，0，0)，B(√3,1,0)，C(0,4,0)，M(0,0,3)，其中N(0, t, 0)．∴ AM →=(−√3,0,3)，BN →=(−√3,t −1,0)．要使AM 与BN 所成角的余弦值为√34，则有 |AM →||BN →|˙=√34， ∴ |3|⋅=√34，解得 t =0或2，均适合N(0, t, 0)．故点N 位于D 点处，此时CN =4；或CD 中点处，此时CN =2，有AM 与BN 所成角的余弦值为√34．【考点】直线与平面垂直的判定异面直线及其所成的角直线与平面平行的判定【解析】（1）利用俯视图和勾股定理的逆定理可得BC ⊥BD ，利用线面垂直的性质定理可得BC ⊥PD ，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）取PC 上一点Q ，使PQ:PC =1:4，连接MQ ，BQ ．利用左视图和平行线分线段成比例的判定和性质即可得出MQ // CD ，MQ =14CD ．再利用平行四边形的判定和性质定理即可得出AM // BQ ，利用线面平行的判定定理即可证明．（3）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量所成的角的夹角公式即可得出．【解答】（1）证明：由俯视图可得，BD 2+BC 2=CD 2， ∴ BC ⊥BD ．又∵ PD ⊥平面ABCD ， ∴ BC ⊥PD ，∵ BD ∩PD =D ， ∴ BC ⊥平面PBD ．（2）证明：取PC 上一点Q ，使PQ:PC =1:4，连接MQ ，BQ ．由左视图知 PM:PD =1:4，∴ MQ // CD ，MQ =14CD ．在△BCD 中，易得∠CDB =60∘，∴ ∠ADB =30∘．又 BD =2，∴ AB =1，AD =√3．又∵ AB // CD ，AB =14CD ， ∴ AB // MQ ，AB =MQ ．∴ 四边形ABQM 为平行四边形， ∴ AM // BQ ．∵ AM ⊄平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ， ∴ 直线AM // 平面PBC ．（3）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为√34．证明如下： ∵ PD ⊥平面ABCD ，DA ⊥DC ，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ． ∴ D(0,0,0),A(√3，0，0)，B(√3,1,0)，C(0,4,0)，M(0,0,3)．设 D(0,0,0),A(√3，0，0)，B(√3,1,0)，C(0,4,0)，M(0,0,3)，其中N(0, t, 0)． ∴ AM →=(−√3,0,3)，BN →=(−√3,t −1,0)．要使AM 与BN 所成角的余弦值为√34，则有 |AM →||BN →|˙=√34， ∴ |3|⋅=√34，解得 t =0或2，均适合N(0, t, 0)．故点N 位于D 点处，此时CN =4；或CD 中点处，此时CN =2，有AM 与BN 所成角的余弦值为√34．【答案】解：（1）依题意，M 是线段AP 的中点，因为A(−1, 0)，P(95，4√35)，所以点M 的坐标为(25，2√35)．由于点M 在椭圆C 上，所以 425+1225m =1，解得 m =47．（2）设M(x 0, y 0)(−1<x 0<1)，则 x 02+y 02m=1，①因为 M 是线段AP 的中点，所以 P(2x 0+1, 2y 0)．因为 OP ⊥OM ，所以OP →⊥OM →，所以OP →⋅OM →=0，即 x 0(2x 0+1)+2y 02=0．②由①，②消去y 0，整理得 m =2x 02+x 02x 02−2．所以 m =1+12(x 0+2)+6x 0+2−8≤12−√34，当且仅当 x 0=−2+√3时，上式等号成立．所以m 的取值范围是(0,12−√34]．【考点】圆锥曲线的综合问题椭圆的定义【解析】（1）由题意知M 是线段AP 的中点，由中点坐标公式可得M 坐标，代入椭圆方程即可得到m 值；（2）设M(x 0, y 0)(−1<x 0<1)，则 x 02+y 02m =1，①由中点坐标公式可用M 坐标表示P 点坐标，由OP ⊥OM得OP →⋅OM →=0②，联立 ①②消去y 0，分离出m 用基本不等式即可求得m 的范围；【解答】解：（1）依题意，M 是线段AP 的中点，因为A(−1, 0)，P(95，4√35)，所以点M 的坐标为(25，2√35)．由于点M 在椭圆C 上，所以425+1225m=1，解得 m =47．（2）设M(x 0, y 0)(−1<x 0<1)，则 x 02+y 02m=1，①因为 M 是线段AP 的中点，所以 P(2x 0+1, 2y 0)．因为 OP ⊥OM ，所以OP →⊥OM →，所以OP →⋅OM →=0，即 x 0(2x 0+1)+2y 02=0．②由①，②消去y 0，整理得 m =2x 02+x 02x 02−2．所以 m =1+12(x 0+2)+6x 0+2−8≤12−√34，当且仅当 x 0=−2+√3时，上式等号成立．所以m 的取值范围是(0,12−√34]．【答案】（1）解：f(x)的定义域为R ，且 f ′(x)=2x 2−4x +2−a ，当a =2时，f(1)=−13，f ′(1)=−2，所以曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为 y +13=−2(x −1)，即 6x +3y −5=0．（2）解：方程f ′(x)=0的判别式为△=(−4)2−4×2×(2−a)=8a ．（1）当a ≤0时，f ′(x)≥0，所以f(x)在区间(2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3] 上的最小值是f(2)=73−2a ；最大值是f(3)=7−3a ．（2）当a >0时，令f ′(x)=0，得 x 1=1−√2a2，或x 2=1+√2a2．f(x)和f ′(x)的情况如下：故f(x)的单调增区间为(−∞,1−√2a2)，(1+√2a2，+∞)；单调减区间为(1−√2a2，1+√2a2)． ①当0<a ≤2时，x 2≤2，此时f(x)在区间(2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3] 上的最小值是f(2)=73−2a ；最大值是f(3)=7−3a ．②当2<a <8时，x 1<2<x 2<3，此时f(x)在区间(2, x 2)上单调递减，在区间(x 2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3]上的最小值是 f(x 2)=53−a −a √2a 3．因为 f(3)−f(2)=143−a ，所以当2<a ≤143时，f(x)在区间[2, 3]上的最大值是f(3)=7−3a ；当143<a <8时，f(x)在区间[2, 3]上的最大值是f(2)=73−2a ．③当a ≥8时，x 1<2<3≤x 2，此时f(x)在区间(2, 3)上单调递减，所以f(x)在区间[2, 3]上的最小值是f(3)=7−3a ；最大值是f(2)=73−2a ．综上可得，当a ≤2时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是73−2a ，最大值是7−3a ；当2<a ≤143时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是53−a −a √2a 3，最大值是7−3a ；当143<a <8时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是53−a −a √2a 3，最大值是73−2a ；当a ≥8时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是7−3a ，最大值是73−2a ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数求函数的最值【解析】（1）求导数，把a =2代入可得f(1)=−13，f ′(1)=−2，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可；（2）由△=8a ，分a ≤0，当a >0两大类来判断，其中当a >0时，又需分0<a ≤2，2<a <8，a ≥8，三种情形来判断，综合可得答案．【解答】（1）解：f(x)的定义域为R ，且 f ′(x)=2x 2−4x +2−a ，当a =2时，f(1)=−13，f ′(1)=−2，所以曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为 y +13=−2(x −1)，即 6x +3y −5=0．（2）解：方程f ′(x)=0的判别式为△=(−4)2−4×2×(2−a)=8a ．（1）当a ≤0时，f ′(x)≥0，所以f(x)在区间(2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3] 上的最小值是f(2)=73−2a ；最大值是f(3)=7−3a ．（2）当a >0时，令f ′(x)=0，得 x 1=1−√2a2，或x 2=1+√2a2．f(x)和f ′(x)的情况如下：故f(x)的单调增区间为(−∞,1−√2a2)，(1+√2a2，+∞)；单调减区间为(1−√2a2，1+√2a2)． ①当0<a ≤2时，x 2≤2，此时f(x)在区间(2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3]上的最小值是f(2)=73−2a ；最大值是f(3)=7−3a ．②当2<a <8时，x 1<2<x 2<3，此时f(x)在区间(2, x 2)上单调递减，在区间(x 2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3]上的最小值是 f(x 2)=53−a −a √2a 3．因为 f(3)−f(2)=143−a ，所以当2<a ≤143时，f(x)在区间[2, 3]上的最大值是f(3)=7−3a ；当143<a <8时，f(x)在区间[2, 3]上的最大值是f(2)=73−2a ．③当a ≥8时，x 1<2<3≤x 2，此时f(x)在区间(2, 3)上单调递减，所以f(x)在区间[2, 3]上的最小值是f(3)=7−3a ；最大值是f(2)=73−2a ．综上可得，当a ≤2时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是73−2a ，最大值是7−3a ；当2<a ≤143时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是53−a −a √2a 3，最大值是7−3a ；当143<a <8时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是53−a −a √2a 3，最大值是73−2a ；当a ≥8时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是7−3a ，最大值是73−2a ．【答案】（1）解：当n=6时，排列3，5，1，4，6，2的生成列为0，1，−2，1，4，−3；排列0，−1，2，−3，4，3的母列为3，2，4，1，6，5．（2）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a′1，a′2，…，a′n的生成列是与b′1，b′2，…，b′n，从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a′1，a′2，…，a′n第一个不同的项为a k与a′k，即：a n=a′n，a n−1= a′n−1，…，a k+1=a′k+1，a k≠a′k．显然b n=b′n，b n−1=b′n−1，…，b k+1=b′k+1，下面证明：b k≠b′k．由满意指数的定义知，a i的满意指数为排列a1，a2，…，a n中前i−1项中比a i小的项的个数减去比a i大的项的个数．由于排列a1，a2，…，a n的前k项各不相同，设这k项中有l项比a k小，则有k−l−1项比a k大，从而b k=l−(k−l−1)=2l−k+1．同理，设排列a′1，a′2，…，a′n中有l′项比a′k小，则有k−l′−1项比a′k大，从而b′k=2l′−k+1．因为a1，a2，…，a k与a′1，a′2，…，a′k是k个不同数的两个不同排列，且a k≠a′k，所以l≠l′，从而b k≠b′k．所以排列a1，a2，…，a n和a′1，a′2，…，a′n的生成列也不同．（3）证明：设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以b1≥0，b2≥0，…，b k−1≥0，b k≤−1．进行一次变换τ后，排列a1，a2，…，a n变换为a k，a1，a2，…a k−1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b′1，b′2，…，b′n．所以(b′1, b′2,…,b′n)−(b1+b2+...+b n)=[g(a1−a k)+g(a2−a k)+...+g(a k−1−a k)]−[g(a k−a1)+g(a k−a2)+...+g(a k−a k−1)]=−2[g(a k−a1)+g(a k−a2)+...+g(a k−a k−1)]=−2b k≥2．因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2．因为a i的满意指数b i≤i−1，其中i=1，2，3，…，n，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过1+2+3+...+(n−1)=n(n−1)2，即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数．【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】（1）由b i=g(a i−a1)+g(a i−a2)+...+g(a i−a i−1)，g(x)={1,x>0−1,x<0及“生成列”与“母列”的定义可求得当n=6时排列3，5，1，4，6，2的生成列及排列0，−1，2，−3，4，3的母列；（2）设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a′1，a′2，…，a′n的生成列是与b′1，b′2，…，b′n，从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a′1，a′2，…，a′n第一个不同的项为a k与a′k，由满意指数的定义可知a i的满意指数，从而可证得且a k≠a′k，于是可得排列a1，a2，…，a n和a′1，a′2，…，a′n的生成列也不同．（3）设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，⇒b1≥0，b2≥0，…，b k−1≥0，b k≤−1，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2，利用a i的满意指数b i≤i−1，可知整个排列的各项满意指数之和不超过1+2+3+...+(n−1)=n(n−1)2，从而可使结论得证．【解答】（1）解：当n=6时，排列3，5，1，4，6，2的生成列为0，1，−2，1，4，−3；排列0，−1，2，−3，4，3的母列为3，2，4，1，6，5．（2）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a′1，a′2，…，a′n的生成列是与b′1，b′2，…，b′n，从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a′1，a′2，…，a′n第一个不同的项为a k与a′k，即：a n=a′n，a n−1= a′n−1，…，a k+1=a′k+1，a k≠a′k．显然b n=b′n，b n−1=b′n−1，…，b k+1=b′k+1，下面证明：b k≠b′k．由满意指数的定义知，a i的满意指数为排列a1，a2，…，a n中前i−1项中比a i小的项的个数减去比a i大的项的个数．由于排列a1，a2，…，a n的前k项各不相同，设这k项中有l项比a k小，则有k−l−1项比a k大，从而b k=l−(k−l−1)=2l−k+1．同理，设排列a′1，a′2，…，a′n中有l′项比a′k小，则有k−l′−1项比a′k大，从而b′k=2l′−k+1．因为a1，a2，…，a k与a′1，a′2，…，a′k是k个不同数的两个不同排列，且a k≠a′k，所以l≠l′，从而b k≠b′k．所以排列a1，a2，…，a n和a′1，a′2，…，a′n的生成列也不同．（3）证明：设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以b1≥0，b2≥0，…，b k−1≥0，b k≤−1．进行一次变换τ后，排列a1，a2，…，a n变换为a k，a1，a2，…a k−1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b′1，b′2，…，b′n．所以(b′1, b′2,…,b′n)−(b1+b2+...+b n)=[g(a1−a k)+g(a2−a k)+...+g(a k−1−a k)]−[g(a k−a1)+g(a k−a2)+...+g(a k−a k−1)]=−2[g(a k−a1)+g(a k−a2)+...+g(a k−a k−1)]=−2b k≥2．因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2．因为a i的满意指数b i≤i−1，其中i=1，2，3，…，n，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过1+2+3+...+(n−1)=n(n−1)2，即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数．第21页共22页◎第22页共22页。

2013北京西城高考二模物理(word解析)

北京市西城区2013年高三二模试卷物理 2013.5.813．在一个质子和一个中子结合成一个氘核的核反应过程中亏损的质量为m Δ，则此核反应过程中A ．向外界释放的能量为2mc ∆B ．向外界释放的能量为mc ∆C ．从外界吸收的能量为2mc ∆D ．从外界吸收的能量为mc ∆14．对于一定质量的气体，忽略分子间的相互作用力。

当温度升高时A ．气体的内能不变B ．气体分子的平均动能增加C ．气体一定从外界吸收热量D ．外界一定对气体做功15．关于红光和紫光，下列说法正确的是A ．红光的频率大于紫光的频率B ．在同一种玻璃中红光的速度小于紫光的速度C ．用同一装置做双缝干涉实验，红光的干涉条纹间距大于紫光的干涉条纹间距D ．当红光和紫光以相同入射角从玻璃射入空气时，若紫光刚好能发生全反射，则红光也一定能发生全反射16．如图所示为一列沿着x 轴正方向传播的横波在t =0时刻的波形图。

已知这列波的周期T =2.0s 。

则A ．这列波的波速v =2.0m/sB ．在t =0时，x =0.5m 处的质点速度为零C ．经过2.0s ，这列波沿x 轴正方向传播0.8mD ．在t =0.4s 时，x =0.5m 处的质点的运动方向为y 轴正方向17．如图所示，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”运行轨道为椭圆轨道，其近地点M和远地点N 的高度分别为439km 和2384km ，“东方红一号”卫星A ．在M 点的速度小于在N 点的速度B ．在M 点的加速度小于在N 点的加速度C ．在M 点受到的地球引力小于在N 点受到的地球引力D ．从M 点运动到N 点的过程中动能逐渐减小18．如图所示，交流电流表A 1、A 2、A 3分别与电阻R 、电容器C 和电感线圈L 串联后接在同一个正弦式交流电源上。

交流电流表A 4与电阻R 串联后接在理想变压器副线圈两端。

如果保持供电电压的最大值不变，而增大供电电压的频率，电流表示数不变的是 A ．电流表A 1和A 2B ．电流表A 1和A 4C ．电流表A 3 和A 2D ．电流表A 3和A 40.2 019．彭老师在课堂上做了一个演示实验：装置如图所示，在容器的中心放一个圆柱形电极，沿容器边缘内壁放一个圆环形电极，把A 和B 分别与电源的两极相连，然后在容器内放入液体，将该容器放在磁场中，液体就会旋转起来。

【2013西城二模】北京市西城区2013届高三第二次模拟考试理科数学 Word版含答案

北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（理科） 2013.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2,3}A =，{2,3,4}B =，那么()U A B = ð （A ）{0,1} （B ）{2,3} （C ）{0,1,4} （D ）{0,1,2,3,4}2．在复平面内，复数1z 的对应点是1(1,1)Z ，2z 的对应点是2(1,1)Z -，则12z z ⋅= （A ）1 （B ）2（C ）i -（D ）i3．在极坐标系中，圆心为(1,)2π，且过极点的圆的方程是（A ）2sin =ρθ （B ）2sin =-ρθ（C ）2cos =ρθ（D ）2cos =-ρθ4．如图所示的程序框图表示求算式“235917⨯⨯⨯⨯” 之值，则判断框内可以填入（A ）10k ≤ （B ）16k ≤ （C ）22k ≤ （D ）34k ≤5．设122a =，133b =，3log 2c =，则（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）c b a << （D ）c a b <<6．对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是（A ）m n ⊥，n ∥α（B ）m ∥β，⊥βα （C ）m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α （D ）m n ⊥，n ⊥β，⊥βα7．已知正六边形ABCDEF 的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（A （B （C （D ）8．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数．若关于x 的方程()f x kx k =+有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（A ）111[1,)(,]243-- （B ）111(1,][,)243--（C ）111[,)(,1]342--（D ）111(,][,1)342--第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．右图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm ）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙，则 x 甲______x 乙．（填入：“>”，“=”，或“<”）10．5(21)x -的展开式中3x 项的系数是______．（用数字作答）11．在△ABC 中，2BC =，AC 3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．12．如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD PD ⊥．若4PC =，2PB =，则CD =______．13．在等差数列{}n a 中，25a =，1412a a +=，则n a =______；设*21()1n n b n a =∈-N ，则数列{}n b 的前n 项和n S =______．14．已知正数,,a b c 满足a b ab +=，a b c abc ++=，则c 的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,)62ππ∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ．（Ⅰ）若311=x ，求2x ；（Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值．16．（本小题满分13分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（Ⅱ）记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望． 17．（本小题满分14分）如图1，四棱锥ABCD P -中，⊥PD 底面ABCD ，面AB C D 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）证明：⊥BC 平面PBD ；（Ⅱ）证明：AM ∥平面PBC ；（Ⅲ）线段CD 上是否存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43？若存在，找到所有符合要求的点N ，并求CN 的长；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为9(5，求m 的值；（Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m 19．（本小题满分14分）已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在区间[2,3]上的最大值和最小值． 20．（本小题满分13分）已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x = 是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数1,0,()1,0.x g x x >⎧=⎨-<⎩对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈ ，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列；排列12,,,n a a a 为排列12,,,n b b b 的母列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3--的母列；（Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,n a a a ''' 为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，定义变换τ：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列12,,,n a a a 变换为各项满意指数均为非负数的排列．北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．D ； 6．C ； 7．B ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．>； 10．80； 11．3； 12．125； 13．21n +，4(1)nn +； 14．4(1,]3．注：11、13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 1cos x =α，2cos()3x π=+α．2分因为 ,)62ππ∈(α，1cos 3=α，所以 sin 3==α． …………3分所以 21cos()cos 32x π=+==αα-α． ………………5分（Ⅱ）解：依题意得 1sin y =α，2sin()3y π=+α．所以 111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα， ………………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα． ……………9分依题意得 2sin 22sin(2)3π=-+αα，整理得 cos 20=α． ………………11分因为 62ππ<<α，所以 23π<<πα，所以 22π=α，即 4π=α． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ， ………………1分则 2334A 1()A 4P A ==，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为14． ………………4分（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20． ………………5分1(0)4P X ==， 2224A 1(5)A 6P X ===， 222344A 11(10)A A 6P X ==+=， 122234C A 1(15)A 6P X ⋅===， 3344A 1(20)A 4P X ===． ………………10分所以，随机变量X 的分布列为:………………11分11111051015201046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分17．（本小题满分14分）【方法一】（Ⅰ）证明：由俯视图可得，222BD BC CD +=，所以 BD BC ⊥． ………………1分又因为 ⊥PD 平面ABCD ，所以 PD BC ⊥， ………………3分所以 ⊥BC 平面PBD ． ………………4分（Ⅱ）证明：取PC 上一点Q ，使:1:4PQ PC =，连结MQ ，BQ ． ………………5分由左视图知 4:1:=PD PM ，所以 MQ ∥CD ，14MQ CD =．…………6分在△BCD 中，易得60CDB ︒∠=，所以 30ADB ︒∠=．又 2=BD ，所以1AB =，AD =．又因为 AB ∥CD ，CD AB 41=，所以 AB ∥MQ ，AB MQ =．所以四边形ABQM 为平行四边形，所以 AM ∥BQ ．………………8分因为 ⊄AM 平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ，所以直线AM ∥平面PBC ． ………………9分（Ⅲ）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43．证明如下：……10分因为 ⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -．所以 )3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(M C B A D ．设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ． ………………11分所以)3,0,3(-=AM ，)0,1,3(--=t BN ．要使AM 与BN 所成角的余弦值为43，则有 ||||||AM BN AM BN ⋅=，……………12分所以43)1(332|3|2=-+⋅t ，解得 0=t 或2，均适合40≤≤t ．…………13分故点N 位于D 点处，此时4CN =；或CD 中点处，此时2CN =，有AM 与BN 所成角的余弦值为43． ………………14分【方法二】（Ⅰ）证明：因为⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥的空间直角坐标系xyz D -．在△BCD 中，易得60CDB ︒∠=，所以 30ADB ︒∠=因为 2=BD ，所以1AB =， AD =由俯视图和左视图可得：)4,0,0(),3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(P M C B A D ．所以 )0,3,3(-=，)0,1,3(=．因为 0001333=⋅+⋅+⋅-=⋅DB BC ，所以BD BC ⊥． ………………2分又因为 ⊥PD 平面ABCD ，所以 PD BC ⊥， ………………3分所以 ⊥BC 平面PBD ． ………………4分（Ⅱ）证明：设平面PBC 的法向量为=()x,y,z n ，则有 0,0.PC BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 因为 )0,3,3(-=，)4,4,0(-=，所以 440,30.y z y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取1=y ，得=n )1,1,3(． ………………6分因为 )3,0,3(-=，所以 ⋅AM =n 03101)3(3=⋅+⋅+-⋅． ………………8分因为 ⊄AM 平面PBC ，所以直线AM ∥平面PBC ． ………………9分（Ⅲ）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43．证明如下：………10分设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ． ………………11分所以 )3,0,3(-=AM ，)0,1,3(--=t BN ．要使AM 与BN 所成角的余弦值为43，则有 43||||=⋅BN AM BN AM ，…………12分所以43)1(332|3|2=-+⋅t ，解得0=t 或2，均适合40≤≤t ． ………13分故点N 位于D 点处，此时4CN =；或CD 中点处，此时2CN =，有AM 与BN 所成角的余弦值为43． ………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，M 是线段AP 的中点，因为(1,0)A -，9(,55P ，所以点M 的坐标为2(,55．………………2分由点M 在椭圆C 上，所以41212525m+=， ………………4分解得 47m =． ………………5分（Ⅱ）解：设00(,)M x y ，则 2201y x m+=，且011x -<<． ① ………………6分因为 M 是线段AP 的中点，所以 00(21,2)P x y +． ………………7分因为 OP OM ⊥，所以 2000(21)20x x y ++=．② ………………8分由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x x m x +=-． ………………10分所以00111622(2)82m x x =+≤++-+， ………………12分当且仅当02x =- 所以 m的取值范围是1(0,2． ………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ，且 2()242f x x x a '=-+-． ……………2分当2a =时，1(1)3f =-，(1)2f '=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 12(1)3y x +=--，即6350x y +-=． ………………4分（Ⅱ）解：方程()0f x '=的判别式为8a =∆．（ⅰ）当0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． ………………6分（ⅱ）当0a >时，令()0f x '=，得11x =21x =+． ()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调增区间为(,12-∞-，(1)2++∞；单调减区间为(1+． ………………8分① 当02a <≤时，22x ≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． ………………10分② 当28a <<时，1223x x <<<，此时()f x 在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(,3)x 上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是 25()3f x a =-．………………11分因为 14(3)(2)3f f a -=-，所以当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是(3)73f a =-；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是7(2)23f a =-． ………………12分③ 当8a ≥时，1223x x <<≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递减，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是(3)73f a =-；最大值是7(2)23f a =-．………………14分综上，当2a ≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是723a -，最大值是73a -；当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是53a -73a -；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是533a --723a -；当8a ≥时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是73a -，最大值是723a -．20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3--； ………………2分排列0,1,2,3,4,3--的母列为3,2,4,1,6,5． ………………3分（Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,n a a a ''' 的生成列是与12,,,n b b b ''' ．从右往左数，设排列12,,,n a a a 与12,,,n a a a ''' 第一个不同的项为k a 与k a '，即：n na a '=，11n n a a --'=，，11k k a a ++'=，k k a a '≠．显然 n nb b '=，11n n b b --'=，，11k k b b ++'=，下面证明：k k b b '≠． ………………5分由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,n a a a ''' 中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21kb l k ''=-+．因为 12,,,k a a a 与12,,,k a a a ''' 是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠，所以 l l '≠，从而 k kb b '≠．所以排列12,,,n a a a 和12,,,n a a a ''' 的生成列也不同． ………………8分（Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤- ． ………………9分进行一次变换τ后，排列12,,,n a a a 变换为1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+ ，设该排列的生成列为12,,,n b b b ''' ．所以 1212()()n n b b b b b b '''+++-+++ 121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++- 1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a-=--+-++-22k b =-≥． ………………11分因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2．因为i a 的满意指数1i b i ≤-，其中1,2,3,,i n = ，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过(1)123(1)2n nn -++++-= ，即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数． ……13分。

2013北京西城二模数学(理)试题答案

北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.5一、1．C ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．D ； 6．C ； 7．B ； 8．B ．二、9．>； 10．80； 11．3，2； 12．125； 13．21n +，4(1)n n +； 14．4(1,]3．注：11、13题第一空2分，第二空3分. 三、15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 1cos x =α，2cos()3x π=+α．2分因为 ,)62ππ∈(α，1cos 3=α，所以 sin 3==α． ………………3分所21cos()cos 32x π=+==αα-α． ………………5分（Ⅱ）解：依题意得 1sin y =α，2sin()3y π=+α．所以111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα， ………………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα． ……………9分依题意得 2sin 22sin(2)3π=-+αα，整理得 cos 20=α． …11分因为 62ππ<<α，所以 23π<<πα，所以 22π=α，即 4π=α．…13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ， ………………1分则 2334A 1()A 4P A ==，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为14．…4分（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20． ………………5分1(0)4P X ==， 2224A 1(5)A 6P X ===，222344A 11(10)A A 6P X ==+=，122234C A 1(15)A 6P X ⋅===， 3344A 1(20)A 4P X ===． ………10分所以，随机变量X 的分布列为:………………11分11111051015201046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分17．（本小题满分14分）【方法一】（Ⅰ）证明：由俯视图可得，222BD BC CD +=，所以 BD BC ⊥．……1分又因为 ⊥PD 平面ABCD ，所以 PD BC ⊥…3分所以 ⊥BC 平面PBD ．………4分（Ⅱ）证明：取PC 上一点Q ，使:1:4PQ P C =，连结MQ ，BQ ．5分由左视图知4:1:=PD PM ，所以MQ∥CD，14MQ CD =． ………………6分在△BCD 中，易得60CDB ︒∠=，所以 30ADB ︒∠=．又 2=BD ，所以1AB =，AD =又因为 AB ∥CD ，CD AB 41=，所以 AB ∥MQ ，AB MQ =．所以四边形ABQM为平行四边形，所以AM∥BQ ． ………………8分因为 ⊄AM 平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ，所以直线AM∥平面PBC ． ………………9分（Ⅲ）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43．证明如下：………10分因为 ⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -．所以 )3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(M C B A D ．设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ．…11分所以)3,0,3(-=，)0,1,3(--=t ．要使AM与BN所成角的余弦值为43，则有||||||AM BN AM BN ⋅= ， ………………12分所以43)1(332|3|2=-+⋅t ，解得 0=t 或2，均适合40≤≤t ． ………………13分故点N 位于D 点处，此时4CN =；或CD 中点处，此时2CN =，有AM 与BN 所成角的余弦值为43． …14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，M 是线段AP 的中点，因为(1,0)A -，所以点M 的坐标为2(5．………………2分由点M 在椭圆C 上，所以41212525m +=，………4分解得 47m =． …5分（Ⅱ）解：设00(,)M x y ，则 2201y x m+=，且011x -<<． ① ………………6分因为 M 是线段AP 的中点，所以 00(21,2)P x y +．…7分因为 OP OM ⊥，所以 2000(21)20x x y ++=．② …8分由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x x m x +=-． ………………10分所以001116242(2)82m x x =+≤-++-+， ………………12分当且仅当02x =-时，上式等号成立．所以 m的取值范围是1(0,2．…13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ，且 2()242f x x x a '=-+-． ………………2分当2a =时，1(1)3f =-，(1)2f '=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f处的切线方程为 12(1)3y x +=--，即6350x y +-=．4分（Ⅱ）解：方程()0f x '=的判别式为8a =∆．（ⅰ）当0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3] 上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． ………………6分（ⅱ）当0a >时，令()0f x '=，得 11x =，或21x =． ()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调增区间为(,1-∞，(1)+∞；单调减区间为(1． …8分① 当02a <≤时，22x ≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． ………………10分② 当28a <<时，1223x x <<<，此时()f x 在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(,3)x 上单调递增，所以()f x 在区间[2上的最小值是25()3f x a =--． ………………11分因为 14(3)(2)3f f a -=-，所以当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是(3)73f a =-；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是7(2)23f a =-． ………………12分③ 当8a ≥时，1223x x <<≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递减，所以()f x 在区间[2,3上的最小值是(3)73f a =-；最大值是7(2)23f a =-．………………14分综上，当2a ≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是723a -，最大值是73a -；当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是53a -最大值是73a -；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是53a --最大值是723a -；当8a ≥时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是73a -，最大值是723a -． 20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3--； ………………2分排列0,--的母列为3,2,4,1,6,5． ………………3分（Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,n a a a ''' 的生成列是与12,,,n b b b ''' ．从右往左数，设排列12,,,n a a a 与12,,,n a a a ''' 第一个不同的项为k a 与k a '，即：n na a '=，11n n a a --'=，，11k k a a ++'=，k k a a '≠．显然 n nb b '=，11n n b b --'=，，11k k b b ++'=，下面证明：k k b b '≠． ………………5分由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,n a a a ''' 中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21kb l k ''=-+．因为 12,,,k a a a 与12,,,k a a a ''' 是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠，所以 l l '≠，从而 k kb b '≠．所以排列12,,,na a a 和12,,,n a a a ''' 的生成列也不同． ………………8分（Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤- ． ………………9分进行一次变换τ后，排列12,,,n a a a 变换为1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+ ，设该排列的生成列为12,,,n b b b ''' ．所以 1212()()n n b b b b b b '''+++-+++ 121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++- 1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a -=--+-++- 22k b =-≥． ………………11分因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2．因为i a 的满意指数1i b i ≤-，其中1,2,3,,i n = ，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过(1)123(1)2n nn -++++-= ，即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数． ………………13分。

2013年北京市西城中考语文（二模）及答案电子版

2013年北京市西城中考语文（二模）及答案电子版北京市西城区2013年初三二模试卷语文二模2013．6第Ⅰ卷（共70分）一、选择。

下面各题均有四个选项，其中只有一个．．符合题意，选出答案后在答题纸上用铅笔把对应题目的选项字母涂黑涂满。

（共12分。

每小题2分）1．下列词语中加点字的读音完全正确的一项是（）A．巢穴．（xu?）衣冠．（guān）扣人心弦．（xuán）B．粗犷．（guǎng）脑髓．（suǐ）称．心如意（chan）C．坎坷．（kē）负载．（zài）水涨．船高（zhǎng）D．翘．首（qiáo）憎恶．（wù）谆谆教诲．（huǐ）2．下列句子中没有错别字的一句是（）A．园博会上，游人川梭于充满诗情画意而又别俱匠心的园林间，流连忘反。

B．翡翠般碧绿的青海湖，烟波浩淼，水波荡漾，风景绮丽，令人心弛神往。

C．变换莫测的北极光从夜空中滑过，时而像飘带，时而像火焰，神奇而壮观。

D．云南大理古城中精致的古代建筑与优美的自然风光水乳交融，充满神奇色彩。

3．下列句子中加点成语或俗语使用有误的一项是（）A．黄山以奇松、怪石、云海、温泉闻名世界，优美的景色真实巧妙绝伦．．．．。

B．有的人对昆曲只有一知半解，却在昆曲名家面前妄加评论，简直是贻笑大方．．．．。

C．陈景润在数学家华罗庚的关怀下，青出于蓝而胜于蓝．．．．．．．．，摘取了数学皇冠上的明珠。

D．海阔凭鱼跃．．．．．，学校开展的丰富多彩的活动给我们提供了广阔的空间。

．．．．．，天高任鸟飞4．根据文段内容，对画线病句修改最恰当的一项是（）金台路被金黄得透明的银杏叶铺满了，那状如一把把小扇面的银杏树叶，可爱得叫人不忍心踩踏；其中还有一些乌桕和白杨的树叶，另一些醒目的色块在满地的金黄中闪跳着。

A．修改：在另一些醒目的色块中闪跳出满地的金黄B．修改：在满地的金黄中另一些醒目的色块闪跳出来C．修改：在满地的金黄中闪跳出另一些醒目的色块D．修改：在满地的金黄中充满着另一些醒目的色块5．结合语境，将下列句子填入横线处，顺序最恰当的一项是（）说起京剧，有些人误以为它是北京的地方戏，其实不然。

2013年北京市中考二模数学试题汇编4.填空压轴

12．已知：n x ，'n x 是关于x 的方程244=0n n n a x a x a n -+-1()n n a a +>的两个实数根，'n n x x <，其中n 为正整数，且1a =1．（1）11'x x -的值为；（2）当n 分别取1，2，⋅⋅⋅，2013时，相对应的有2013个方程，将这些方程的所有实数根按照从小到大的顺序排列，相邻两数的差恒为（11'x x -）的值，则20132012'x x -= ．（2013年北京市东城区二模数学12题）12. 如图，∠ACD 是△ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1ACD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A . 设A θ∠=,则1A ∠＝；n A ∠＝ .12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°．⊙P1是△OAB的内切圆，且P1的坐标为(3,1)．(1)OA的长为，OB的长为；(2)点C在OA的延长线上，CD∥AB交x轴于点D．将⊙P1沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P2，将⊙P2沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P3，按照同样的方法继续操作，依次得到⊙P4，……⊙P n．若⊙P1，⊙P2，……⊙P n均在△OCD的内部，且⊙P n恰好与CD相切，则此时OD的长为．（用含n的式子表示）（ 2013年北京市朝阳区二模数学12题）12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x、y 轴分别交于点A、B，且A(-2，0)，B(0，1)，在直线AB上截取BB1=AB，过点B1分别作x、y 轴的垂线，垂足分别为点A1、C1，得到矩形OA1B1C1；在直线AB上截取B1B2=BB1，过点B2分别作x、y 轴的垂线，垂足分别为点A2、C2，得到矩形OA2B2C2；在直线AB上截取B2B3= B1B2，过点B3分别作x、y 轴的垂线，垂足分别为点A3、C3，得到矩形OA3B3C3；……则第3个矩形OA3B3C3的面积是；第n个矩形OA n B n C n的面积是（用含n的式子表示，n是正整数）．12．如图，在△OA 1B 1中，∠OA 1B 1=90°，OA 1= A 1B 1=1.以O 为圆心，1OA 为半径作扇形OA 1B 2,⌒A 1B 2 与1OB 相交于点2B ，设△OA 1B 1与扇形OA 1B 2之间的阴影部分的面积为1S ；然后过点B 2作B 2A 2⊥OA 1于点A 2，又以O 为圆心，2OA 为半径作扇形OA 2B 3，⌒A 2B 3 与1OB 相交于点3B ，设△OA 2B 2与扇形OA 2B 3之间的阴影部分面积为2S ；按此规律继续操作，设△OA n B n 与扇形OA n B n +1之间的阴影部分面积为n S ．则S 1=___________； S n = ．（ 2013年北京市石景山区二模数学12题）12．如图，45AOB ∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1，4，7，10，13，16，…的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为,,,321s s s …，观察图中的规律，第4个黑色梯形的面积=4S ，第n (n 为正整数)个黑色梯形的面积=n S ．1123O12．如图，从原点A 开始，以AB =1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC =2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD =4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE =8为直径画半圆，记为第4个半圆；……，按此规律，继续画半圆，则第5个半圆的面积为，第n 个半圆的面积为．（ 2013年北京市顺义区二模数学12题）12．正方形111A B C O ， 2221A B C C ,，3332A B C C ， …按如图所示的方式放置．点1A ，2A ，3A ，…和点1C ，2C ，3C …分别在直线(0)y kx b k =+>和x 轴上，已知点1(1,1)B ，2(3,2)B ，则点6B 的坐标是，点n B 的坐标是．10. 如图，已知在Rt △ABC 中，AB =AC =2，在△ABC 内作第一个内接正方形DEFG ；然后取GF 的中点P ，连接PD 、PE ，在△PDE 内作第二个内接正方形HIKJ ；再取线段KJ 的中点Q ，在△QHI 内作第三个内接正方形……依次进行下去，则第n 个内接正方形的边长为 A ．21()32n ⋅ B1()2nC ．121()32n -⋅ D ．11()2n -（ 2013年北京市大兴区二模数学12题）（ 2013年北京市怀柔区二模数学12题）12. 如12题图1，是由方向线一组同心、等距圆组成的点的位置记录图。

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北京西城2013年初三二模试卷
23．同学们用下图所示装置进行实验：若关闭K ，通入气体X ，澄清石灰水变浑浊。

若打开K ，缓缓通
入气体X ，澄清石灰水不变浑浊。

则下列对气体X 和溶液Y 的推测正确的是
24．甲、乙两种固体的溶解度曲线如右图所示，下列说法正确的是
A ．甲的溶解度大于乙的溶解度
B ．t 1℃时，甲、乙饱和溶液中溶质的质量分数均为15%
C ．t 2℃时，将甲、乙的饱和溶液降温至t 1℃，甲析出的固体一定大
于乙
D ．t 2℃时，向30 g 甲、乙中分别加入100 g 水，所得溶液中溶质的质量分数甲一定大于乙
25．为了探究实验室中久置的氢氧化钠固体的变质情况，同学们进行如下图所示的实验。

下列分析和结论正确的是
A ．若II 、III 均有明显现象，则说明样品一定完全变质
B ．若D 为白色固体，则溶液A 是Na 2CO 3溶液
C ．若
D 为气体，则加入甲溶液的目的是证明样品已变质 D ．若D 为白色固体、且溶液C 为红色，则样品一定是部分变质
石灰水
澄清
气体X
溶液Y
30 15
溶解度
/g
t 1 t 2 温度/℃
甲乙
28.（3）硫铁矿【主要成分是二硫化亚铁（FeS 2）】是一种重要的化工原料，常用来制备铁、硫酸和氯化
【资料】Fe + 2FeCl 3 = 3FeCl 2
① II 中反应的化学方程式是
，III 中反应的化学方程式是。

② 结合上述流程，下列说法不正确．．．
的是（填序号）。

a ．反应I 的化学方程式为：4FeS 2 + 11O 2 2Fe 2O 3 + 8SO 2 b ．上述流程所涉及的物质中，硫元素的化合价有-2、+4、+6
c ．若向溶液乙和丙的稀溶液中分别加入足量的甲，会观察到完全相同的现象
d ．假设转化过程中无损失，150 t 含FeS 2 80%的硫铁矿最多可以制得98 t 硫酸
29．（5分）我国古代纺织业常将草木灰（主要成分K 2CO 3）和生石灰在水中混合，用上层清液漂白织物。

【资料】①K 2CO 3 + Ca(OH)2 = CaCO 3↓ + 2KOH
②Ca(OH)、K 和KOH 的部分溶解度如下表：
（1）20℃时，100 g 水中最多可溶解 K 2CO 3的质量是 g ，溶质的质量分数为50%的KOH 溶液
属于溶液（填“饱和”或“不饱和”）。

（2）某温度时，向一定量的饱和氢氧化钙溶液中加入少量生石灰，恢复到原温度，某些量随时间变化
的关系如右图所示。

则纵坐标可能表示的是（填序号）。

a. 溶质的质量
b. 溶剂的质量
c. 溶液的质量
d. 溶质的质量分数
e. 氢氧化钙的溶解度
高温
（3）20℃时，将1.38 g K2CO3固体放入100 g水中，并加入一定量的氢氧化钙，搅拌使其充分反应，恢复到原温度，过滤，得到质量为1.1 g的固体。

所得滤液中的溶质是，加入氢氧化钙
的质量是g。

30．（6分）甲、乙、丙、丁、X、Y、Z是初中常见的7种物质，它们由H、C、O、Cl、Fe中的一种或几种元素组成。

①甲由两种元素组成，发生分解反应生成两种维持人体正常生理活动的必需物质。

②乙是甲分解的产物之一，可分别与不同物质反应转化为X和Y，且X与Y、X与乙均可发生反
应。

③丙由两种元素组成，可发生中和反应，生成一种常用的调味品。

④丁与Y的组成元素相同，向丁中加入一定量的丙，只得到Z的黄色溶液。

工业上常用Z溶液来
腐蚀镀铜电路板，Z溶液与铜反应生成氯化铜和另一种盐。

请根据以上描述，回答下列问题：
（1）甲发生分解反应的化学方程式是。

（2）乙的化学式是。

乙转化成X的反应的化学方程式是。

（3）当③中的反应恰好完全时，溶液中的微粒有。

（4）上述7种物质中含铁元素的物质有种。

Z溶液与铜反应的化学方程式是。

32．（6分）某小组同学利用如下装置进行了两组实验，研究密闭装置内压强变化的原因。

同学们点燃一定质量的红磷和木炭，分别放入250 mL 的集气瓶中，迅速盖紧胶塞，后续实验记录
根据实验回答问题：
（1）红磷与氧气反应的化学方程式是。

（2）向A 、B 实验后的集气瓶中滴加紫色石蕊溶液，溶液变成红色，此时溶液的pH 7（填“＞”、“＜”
或“＝”）。

A 、B 中倒吸水的体积不同，产生该现象的原因是。

（3）向D 中集气瓶内滴加饱和．．．．NaHCO ．．．．．3．溶液．．，一段时间后，打开K ，水不倒吸的原因是。

（4）上述实验中，导致集气瓶内压强降低的因素有（填序号）。

a ．物质的性质
b ．装置内的温度
c ．装置内气体的分子数目
33．（7分）化学小组同学发现在面包制作过程中加入了一些白色粉末，使面包变得松软。

同学们对白色
粉末的成分进行探究。

【查阅资料】
① ② 氨气(NH 3)是一种有刺激性气味的气体，极易溶于水，其水溶液显碱性。

③ 2NaHCO 3 Na 2CO 3+H 2O+CO 2↑； NH 4HCO 3 NH 3↑+H 2O+CO 2↑；
△
△
B
500 mL
K
A
K
500 mL
K
C
NaOH D
K
饱和 NaHCO 3空气
空气
氧气
氧气
2NH 3+H 2SO 4 = (NH 4)2SO 4
【实验准备】同学们选用下列实验装置，经组合进行实验：
【实验分析】
根据上述实验，甲同学认为该粉末的主要成分为食臭粉，乙同学认为上述实验不能确定该粉末为食臭粉。

为进一步确认其组成及含量，同学们设计了如下定量实验：（1）实验3中装置B 的作用是。

（2）实验3中测得装置D 增重a g ，a 的范围是。

（3）若测得a 为92.4，该碱性膨松剂中NaHCO 3与NH 4HCO 3的质量比为（结果用最简整数
比表示）。

35．经分析某生石灰干燥剂已部分变质，取18 g 此干燥剂放入烧杯中，加入150 g 14.6%的稀盐酸充分
反应，产生2.2 g CO 2；再继续加入过量的碳酸钙粉末，充分搅拌至不再产生气泡为止，产生2.2 g CO 2；过滤后，向滤液中加入164.4 g 水，计算此时溶液中溶质的质量分数。

A B C D
E
北京市西城区2013年初三二模
化学试卷参考答案及评分标准 2013.6
23 D 24 D 25 C 28.（2）隔离潮湿的空气
（3） ①Fe 2O 3 + 6HCl = 2FeCl 3 + 3H 2O Fe 2O 3+3CO 2Fe+3CO 2 ②bcd （0，2分） 29．（5分）
（1）110 不饱和（2）ac （3） KOH 和Ca(OH)2 1 30．（6分）
（1）2H 2O 2 2H 2O + O 2↑ （2）O 2 2C + O 2 2CO
（3）Na +、Cl —、H 2O （4）3 2FeCl 3 + Cu = 2FeCl 2 + CuCl 2 32．（6分）
（1）4P + 5O 2 2P 2O 5 （2）＜红磷用量不同，消耗氧气的量不同（3）瓶内的气体没有被饱和NaHCO 3溶液吸收，瓶内压强不变（4）abc （0，2分） 33．（7分）【实验记录】实验1 CO 2 + Ca(OH) 2 CaCO 3↓ + H 2O
实验2 D 蓝
【实验分析】（1）除尽水蒸气和氨气（2）＞ 4.4
（3）3360︰79（2分）
35．（3分）
解：设生成CaCl 2的质量为x ，加入的CaCO 3粉末中被消耗的CaCO 3的质量为y 。

2HCl ~ CaCl 2 CaCO 3 ~ CO 2
73 111 100 44 150 g×14.6% x y 2.2 g
…… （1分）
溶液的质量＝18 g+150 g+5 g+164.4 g — 2.2 g — 2.2 g ＝333 g ………………… （1分）
溶液中CaCl 2的溶质的质量分数＝＝10 % ………………… （1分）
答：略。

点燃 73 111
＝ 150 g×
14.6% x
＝33.3 g x y ＝5 g 100 44 ＝ 2.2 g
y 333 g
33.3 g
×100 % MnO 2。