3-3球面上的几何
湘教版高中数学选修3-3球面上的几何：经线
在地球仪上可以看到许多通过南 极和北极的圆弧，这些圆弧就是经线 (图1-7).
一、大圆相交
地球仪上画出的十几个大圆，全都 彼此相交.
球面上的大圆类似于平面里的直线. 在一个平面里，两条直线可能相交，也 可能平行.
在一个球面上，是否也存在不相交的大圆呢？
定理2 （大圆相交）同一球面的任何 两个大圆都相交，其交点是一双对径 点.
二、球面角
在北极或南极附近，两条经线 组成一个弯曲的角状图形，这是平 面里的角在球面上的类似物，叫做 球面角.
例1 地球仪上画出的24条经线，均匀分 布,问隔相等.所以，地球仪上每两条相邻 经线所成球面角的大小都相等，其大小为
360°÷24=15°
在平面里，垂直于同一直线的各条 直线互相平行;
SABC =R 2 (A+B+C-π).
推论 (球面三角形内角和定理) 球面三角形的三内角之和大于二 直角.
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定理3 （月形面积）设月形的角是 α（弧度），面积是S，球半径是R， 那么
S=2R²α.
四、球面三角形
平面几何中的三 角形，是由三条直线 围成的.
相应地，在球面 几何中，由三条大圆 弧顺次首尾相连，围 成的一个曲面区域， 叫作球面三角形.
定理3 (球面三角形面积)设球半径 为R.那么球面三角形ABC的面积为
而在球面上，各条经线都垂直于赤 道，但它们却相会于北极和南极.
一般地，在球面上，与同一个大圆 垂直的各个大圆相交于一双对径点.
三、球面二角形（月形）
在地球仪上，两条经线围成的球面 区域，中间大，两头尖，形如一角西瓜 皮，又像是夜空的弯月.
相应地，在球面几何中，以同一双 对径点为端点的两条大圆弧围成的一个 球面区域叫作球面二角形，又叫作月形 (lune).这两条大圆弧叫作月形的边，它 们的交点叫作月形的顶点.月形两边相交 所成的球面角，叫作月形的角.
人教版高中数学选修3-3球面上的几何第四讲 球面三角形
旧知回顾在上一讲中，我们主要讲了球面上的基本图形．我们认识了球面二面角和球面三角形．回想一下球面三角形的定义和性质．新课导入本讲我们在类比平面三角形有关性质的基础上，讨论球面三角形三边之间的关系、球面“等腰”三角形、球面三角形的周长以及球面三角形的内角和等等．教学目标知识与能力•感知球面三角形在现实中的应用．•认识球面三角形的性质．•了解球面三角形的基本内涵．过程与方法•通过观察，了解球面三角形和平面三角形的类比过程．•进一步了解球面三角形在实际生活中的应用．情感态度与价值观•让学生能够以类比的思想学习新的知识．•总结实际生活中大量存在的现象和规律．•培养合作交流意识．教学重难点•更深入地认识球面三角形．•了解球面三角形与平面三角形之间的异同点．•抓住球面三角形的特征，认识它的几何性质．一、球面三角形三边之间的关系在平面上，三角形满足：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边．球面上是否也成立？AC BO图4-1由于引入三面角，对于球面上边与角的研究就转化为立体几何中角的研究．球面三角形的边对应三面角的面角，因此研究三面角中三个面角之间的关系．图4-2,假定为单位球面，那么O-ABC 是一个三面角．而且有,,.a BC BOCb CA COAc AB AOB ==∠==∠==∠A C B O 图4-2ab c O -ABCOC A Ba b在b 图中，我们可以证明.AOB BOC COA ∠+∠>∠再根据上述等式，得到.c a b +>这样可以得出：三面角中的两个面角之和大于第三个面角．对应到球面三角形中，就有：球面三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．二、球面“等腰”三角形类似平面三角形的两边相等，则对角相等．在球面三角形中，等边对等角，等角对等边；大角对大边，大边对大角．已知：在球面△ABC中，b=c求证:∠B=∠C ．动动脑ACBOBOACE DFab ccab图4-3三、球面三角形的周长在球面三角形中，每条边都小于大圆周长的一半，所以周长不会超过3/2个大圆周长．实际上，周长要小于大圆周长．具体的证明方法是应用球面上边角对等的关系来验证的．一个很重要的结论：球面三角形的周长小于大圆周长．四、球面三角形的内角和对于平面三角形，内角和等于180°．那么球面三角形的内角和是否也是一个定值呢？下面引入例题AOB C图4-4上图中，设A点表示地球的北极，B、C两点所在的曲线是赤道L A，其中，B点所在的经线是0°，C点所在经线是90°．AB、AC是两条经线，而经线与赤道平面垂直，所以∠BAC=π/2．由极与赤道的概念知道：ABC ACB ,2π∠=∠=因此三角形的内角和为3ABC ACB BAC .2π∠+∠+∠=>π说明球面上存在内角和大于180°的三角形．球面面积等于1/4上半球面面积（因为区域扫过了90°），也等于1/8球面面积，如果半径为r ，那么球面△ABC 的面积=22221134πr =πr =(π-π)r 822=(ABC +ACB +CAB -π)r .⨯∠∠∠探究如果再在赤道上取一点D，所在的经线是东经120°，这是球面△ABD的面积又会是多少？通过计算得：球面△ABD 面积2222125S 4r r ()r 633(ABD ADB DAB )r .=⨯π=π=π-π=∠+∠+∠-π一般的，球面△ABC的半径为r,则任意球面的面积=（A+B+C-π）r2，(A、B、C分别为角A、B、C的弧度数)，特殊的，若半径为1，则面积=（A+B+C-π）．通过例子说明球面三角形的内角和是大于180°的．这是球面几何与欧氏几何不同的重要特征之一．思考球面三角形的内角和是不是可以任意大？A CB O a b c 图4-5分析：由于球面三角形的内角所对应的边都小于大圆周长的一半，故每个内角都小于180°，所以内角和要小于540°，实际上，球面三角形的内角和要小于360°．课堂小结1. 球面三角形三边之间的关系；2. 球面“等腰”三角形；3. 球面三角形的周长以及球面三角形的内角和；。
一球面上的正弦定理和余弦定理-人教A版选修3-3球面上的几何教案
一球面上的正弦定理和余弦定理-人教A版选修3-3 球面上的几何教案一、教学目标1.理解球面三角形基本概念，熟悉球面上的正弦定理和余弦定理；2.能够运用球面上的正弦定理和余弦定理解决实际问题。
二、教学重难点1.熟悉球面三角形的基本概念；2.熟悉球面上的正弦定理和余弦定理，并能够正确运用。
三、教学内容1.球面三角形的基本概念；2.球面上的正弦定理和余弦定理；3.球面上的实际问题。
四、教学过程1. 球面三角形的基本概念•定义球面三角形、球面角；•讨论球面三角形相似。
2. 球面上的正弦定理和余弦定理•介绍球面上的正弦定理和余弦定理；•讲解球面上的正弦定理和余弦定理的公式以及推导过程。
3. 球面上的实际问题•运用球面上的正弦定理和余弦定理解决实际问题；•练习球面上的正弦定理和余弦定理的应用题目，并分析解题思路。
五、教学方法1.讲解：通过讲解的方式介绍球面三角形基本概念、球面上的正弦定理和余弦定理的公式以及推导过程；2.练习：通过练习解题的方式练习球面上的正弦定理和余弦定理的应用题目，并分析解题思路。
六、教学评估1.提问：通过提问检查学生对球面三角形基本概念、球面上的正弦定理和余弦定理的理解；2.练习：通过练习解题的方式检查学生掌握球面上的正弦定理和余弦定理的应用能力。
七、教学资源人教A版选修3-3《球面上的几何》课本八、教学总结在教学过程中，学生需要理解球面三角形的基本概念，掌握球面上的正弦定理和余弦定理，能够灵活运用于各种实际问题。
在教学中，老师应该注重激发学生的学习兴趣、引导学生思考，充分利用教学资源和教学手段，提高教学效果。
同时，教师还要及时评估学生的学习情况，帮助学生克服困难，提高学习成绩。
人教版高中数学选修3-3球面上的几何第三讲 球面上的基本图形
旧知回顾我们在平面上除了学习直线和角之外，还学习三角形．图3-1新课导入这次课学习球面上的基本图形极和赤道球面二角形球面三角形教学目标知识与能力•感知球面上的基本图形．•认识各种基本图形的特点．•掌握球面三角形的性质．过程与方法•通过观察学习球面三角形的定义过程．•进一步了解球面三角形在实际生活中的应用．情感态度与价值观•注意让学生从以前所学的知识中体会新的知识．•了解新旧知识的相识点和不同点．•培养合作交流意识．教学重难点•球面三角形的概念．•球面三角形与平面三角形的异同点．•会解简单的几何题．一、极与赤道大家熟知，地球上有南极、北极、赤道．我们在球面几何中同样引入“极”、“赤道”的概念．ONL 图3-2N图3-2中，设N 为地球上的北极点， O 为球心，半径ON 垂直于赤道 所在的平面，即过O 且垂直于地球半径ON 的平面截地球球面所得的大圆是地球的赤道．N L在球面上任取一点A ，垂直于半径OA 的平面截球面得到大圆L A ，此时把A 叫极点（简称极），大圆L A 为以点A 为极点的赤道圆（简称赤道）． O NL 图3-3NAAL结论对于球面上任意一点，均可以得到与它对应的一个赤道;对于球面上的赤道，可以得到与它对应的两个极点．探究由概念看出，极与赤道有着对应关系，那么两者之间除此之外，是否还有其他紧密的联系？想一想分析：如果球的半径为R ，那么极点A 与赤道上任一点B 的距离为 ，（即 圆的周长），如下图所示：2R ONL A图3-4B由上面分析可知：1、球面上与点A 的距离为 的点必在赤道L A 上．2、球面上任一点A 都对应它的一个赤道L A ，那么该点到赤道的距离均为 ．2Rπ2R π二、球面二角形AOB C'A图3-5OBC'AA图3-6由图3-5知，球面角∠BAC 的两边AB 、AC 延长后交于A ´，所组成的图形ABA ´C 成为球面二角形．又称（月形）．把 、 称为球面二角形的边，球面角 是球面二角形的夹角． 'ABA 'ACABAC例1 如图3-6，已知球面角 ，求证：月形ABAC ´的面积等于球面面积的倍．BAC α∠=2απ证明：将月形ABAC ´中的一条边ACA ´在球面上由右向左旋转到边ACA ´的位置，则边ACA ´扫过整个球面，边ACA ´旋转了一周，故球面可以看作是球面角为的月形． 2π若球面角 ，那么月形ABAC ´的面积等于球面面积的 倍．BAC α∠=α2π所以，月形ABAC ´面积= ．22α4πr =2αr 2π⨯三、球面三角形１、球面三角形ＡＢＣO ＣＢＡ图3-７图3-８前者是平面上的三角形，它是三条线段首位顺次相接构成的封闭图形．完全类似，可以把球面上的三条“直线”（三条大圆的圆弧）首位顺次相接的封闭图形是球面三角形．（如图３-８）思考如何度量球面△ABC的边和内角？AC BO图3-9如图，连接球心O与A、B、C三点，由球面角的定义及度量可知，球面△ABC 的三个内角∠A、∠B、∠C可分别由二面角B-OA-C、A-OB-C、B-OC-A度量．如果设 （ 均为弧度），那么球面△ABC 的三边AB ，BC ，CA 分别为：． ∠∠∠AOB =α,BOC =β,COA =γ,,,AB r BC r CA r αβγ===αβγ其中r 为球的半径．若r=1,则AB = ，BC =，CA = ． αβγ2、三面角无论是测边长还是内角，都要连接球心与球面三角形的顶点（图3-9），如果延长上图中的三条线段OA、OB、OC 使其成为射线，这三条射线构成三个平面，把这样的图形叫做三面角（图3-10），记为O-ABC．AC BO图3-10O点为三面角的顶点，OA、OB、OC 称为它的棱，∠AOB，∠BOC，∠COA称为它的面角．相邻两面构成的二面角是三面角的二面角，一个三面角有三个二面角．综上，球面△ABC的三个内角对应于三面角O-ABC的三个二面角，三条边对应三面角O-ABC的三个面角．下面对应关系球面△ABC 三面角O-ABC 内角二面角边面角我们可以利用三面角的知识研究球面三角形．在球面上找到A 、B 、C 关于球心O 的对称点A ´、B ´、C ´,以对称点为顶点构成的球面三角形△A ´B ´C ´，成为球面三角形△ABC 的对顶三角形（图3-11）．3、对顶三角形 AC BO图3-11'C 'A 'B 两个对顶的球面三角形关于球心对称4、球极三角形 对于任意球面△ABC ，假设与BC 边所在大圆对应的极点为A ´、A ˝，与边AC 所在大圆对应的极点为B ´、B ˝，与边AB 所在大圆对应的极点为C ´、C ˝． O'B ''B 'C ''C 'A ''AAB C 图3-12上图中点A´与A，B´与B、C´与C，在同一个半球面内，称球面△A´B´C´为球面△ABC的极对称三角形，简称球极三角形.思考如果球面△A´B´C´是球面△ABC 的极对称三角形，那么球面△A´B´C´的极对称三角形是什么？球面△A´B´C´的极对称三角形是球面△ABC．总结：球面△A´B´C´与它的球极△ABC 互为极对称三角形．动动脑球面三角形与球极三角形之间还有其他关系吗？假定球面为单位球面，有下面结论：若球面△ABC的极对称三角形是△A´B´C´，且它们的内角（单位：弧度）与边长分别为∠A、∠B、∠C，a，b，c和∠A´、∠B´、∠C´，a´，b´，c´那么'''∠∠∠a=π-A,b=π-B,c=π-C'''∠∠∠a=π-A,b=π-B,c=π-C课堂小结1. 球面三角形2. 三面角3. 对顶三角形4. 球极三角形。
3.球面几何知识的应用-人教B版选修3-3球面上的几何教案
3.球面几何知识的应用-人教B版选修3-3 球面上的几何教案一、教学目标1.掌握球面上的基本概念和基本定理。
2.能够进行球面上的测量，求解球面上的图形的周长、面积等相关内容。
3.熟练掌握球面上的几何知识的应用，能够运用所学知识解决现实生活和工程问题。
4.增强学生对于几何形状的理解和感性认识，培养学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。
二、教学重点和难点1.球面上的基本概念和基本定理。
2.对于球面上的测量进行规范化、标准化处理。
3.熟悉应用球面几何解决实际问题，加强练习分析问题、整合问题和解决问题的能力。
三、教学内容及流程3.1 球面上的基本概念和基本定理1.球面上的基本概念–球面：由一个圆在空间绕着圆的一条直径旋转形成的几何图形，该直径被称为球的轴线，该圆被称为球的截面–球的重心：球的轴线中心点–圆弧：球面上的弧，球面上的任何一条弧都可以当做一个圆的一部分–曲率半径：球面上的曲面与切平面之间的距离的倒数2.球面上的基本定理–任意两点之间的最短距离是弧长，两点之间在球面上的距离等于它们之间的圆心角所对应的弧长。
–一条弦等分原点的圆周，那么该圆周就是最小的。
–一条轨迹线上的两点，其连线始终与地面保持相同的倾斜角度。
3.2 球面上的测量1.规范测量单位在球面上进行测量时，距离的国际单位是弧度，1弧度=57.3度，用角度测量球面上的距离是错误的，应该使用弧长进行度量。
2.测定球面上的周长和面积为了测量球的周长和面积，需要进行角度度量，并根据半径大小进行计算。
3.3 熟练掌握球面上几何知识的应用1.应用实例分析通过实际案例，来练习教材中所讲的内容，帮助学生能够运用所学知识解决现实生活和工程问题。
四、教学方法及学生活动安排1.讲授法：针对教材内容进行讲解，让学生了解掌握球面上的基本概念和基本定理。
2.活动法：组织学生，在幻灯片或教学板上完成相关实例，检验学生掌握的知识和技能。
3.实践法：引导学生实际操作球面的测量过程，巩固所学知识和技能。
3.1.球面的基本概念-苏教版选修3-3球面上的几何教案
3.1.球面的基本概念-苏教版选修3-3 球面上的几何教案1. 背景介绍本教案是苏教版选修3-3中，第三单元“球面上的几何”中的第一节课“球面的基本概念”所编制的。
根据苏教版选修3-3的教学要求，本单元的教学目标主要为：1.掌握球与球面、球面的基本要素及球面上几何元素的概念；2.了解球面上对线的关系，能够进行球面上线段、角的运算，达到解决具有一定实际意义的问题的能力；3.理解球面的唯一性，能够应用所学知识进行分析与证明。
本教案重点围绕第一节课的教学目标展开，将同步具体分析教学内容和教学方法。
2. 教学目标1.理解球面、球面上的基本要素以及球面上的几何元素的概念；2.掌握球面上线段、角的度量单位及球面上对线的关系；3.能够应用所学知识解决具有一定实际意义的问题；4.提高学生的空间观念和综合运用能力。
3. 教学内容1.球面和球面上的基本要素；2.球面上的几何元素以及它们的度量单位；3.球面上的对称、垂线等概念；4.球面上的运算。
4. 教学方法1.自主学习法：让学生先通过教科书、网络等渠道先了解有关球面、球面上的基本要素、度量单位和几何元素等基本知识；2.体验式教学法：通过竖插球或者橡皮等实物模拟球面，让学生亲身感受球体的形态以及球面上各种几何元素的变化；3.抛铅锤法：通过实践让学生亲自量取球面上的距离，借此体验球面上各种几何元素的度量单位；4.参照图片法：通过各种图像，让学生感受得到球面上各种几何元素的对称、垂线等关系；5.互动游戏法：通过各种教学游戏，多角度让学生掌握所学知识，提高学生的义务参与意识和团队协作精神。
5. 教学步骤第一步：了解球面和球面上的基本要素1.1 让学生了解球面的定义，通过画图形、实物等方式感受球面的形态。
1.2 让学生了解球面的基本要素（球心、半径、直径、面积、周长、弧、弦、切线、法平面等），并通过实物、图片、电子课件等方式展示。
第二步：了解球面上的几何元素和它们的度量单位2.1 让学生了解球面上的各种几何元素（线段、角、面积、周长、弧度等），并通过实物、电子课件等形式展示。
球面几何-选修3-3-2
边形旳内角和公式得：
α1 + α2 + L + αn1 = (n1 - 2)π + S1 (1)
同理，旳第二个面变成 旳第二个球面
多边形，设此球面多边形有n2 条边，它旳
内角旳弧度数分别为 1, 2,
,
，其面积
n2
为 S2，由球面多边形旳内角和公式得：
β1 + β2 +… + βn2 = (n2 - 2)π + S2 (2)
旳第F个面就变成 旳第F个球面多边形， 设此球面多边形有nF条边，它旳内角弧度数
分别为γ1 , γ2 ,…, γnF ，其面积为 SnF，由球面 多边形旳内角和公式得：
γ1 + γ2 +… + γnF = (nF - 2)π + SF
旧知回忆
上节我们主要讨论了球面上三角形 旳全等鉴定定理．在这基础上，我们能 够了解到，球面几何有诸多应用．
导入新课
用球面多边形旳内角和公式证明 拓扑学中旳著名公式——欧拉公式就 是一种主要旳应用．
本讲我们首先在球面三角形旳基础 上简介球面多边形，然后推导球面多 边形旳内角和公式，最终用球面多边 形旳内角和公式证明欧拉公式．
1. 请构造一种四边相等，四角相等 旳球面四变形，并研究其性质．
2.求证：球面多边形旳周长不大于 大圆旳周长．
3.利用欧拉公式证明：由正五边形 和正六边形构成旳足球图案中有12个正 五边形、20个正六边形．
课堂小结
1. 球面多边形旳概念； 2. 球面多边形旳内角和公式； 3. 简朴多面体旳欧拉公式．
假如把多面体想象成由橡皮膜构成 旳，对这个橡皮膜充气，假如能变成一 种球面，就把这么旳多面体叫做简朴多 面体．
人教A版数学选修3-3 球面上的几何第六讲第二节多面体欧拉定理的发现与简单应用 (共13张PPT)
足球表面有多少个正五边形
——多面体欧拉定理的发现与简单应用
一、从生活中发现问题
足球表面有多少个正五 边形和正六边形？
二、分组讨论，分析问题
初步结论：
1、每块正五边形橡皮周围都是正六边形橡皮； 2、每两个相邻的多边形恰有一条公共的边； 3、每个顶点处都有三块橡皮，而且是一个正 五边形、二个正六边形； 4、共32个面，更进一步可以得到60个顶点， 90条棱……
富勒烯
四、合作探究，深入研究问题
（一）查阅相关资料，证明欧拉公式
（二）查阅相关资料，了解欧拉相关生平 （三）查阅相关资料，了解富勒烯的相关知识
（四）查阅相关资料，通过证明欧拉公式，了解拓扑学相关 知识 （五）查阅相关资料，了解凸多面体与简单多面体与球同胚的定 义
人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有， 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！ 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发， 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的， 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没 力，我就更没资格说，我无能为力。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没放弃，比我好的 格说，我无能为力。朝着一个目标不停的向前，不断努力的付出，哪怕你现在的人生是从零开始，你都可以做得到。早安！让梦想照进现实，才是当下最应该做的事情 钱的时候不磨叽， 生活不会因为你哭泣而对你温柔， 连孩子都知道，想要的东西，要踮起脚尖，自己伸手去拿，所以不要什么都不做，还什么都想要。但你可以通过努
湘教版高中数学选修3-3球面上的几何：对称与全等
球面上的几何，与平面几何相比 较，有哪些类似之处，又有哪些不 同的地方呢?
一、对称性
从直观上感觉，虽然平面是平坦的， 球面是弯曲的，但在球面的弯曲与平 面的平坦之间具有共性:平面处处“一 样”地平坦，球面处处“一样”地弯 曲.简而言之，就是两者都具有很好的 对称性.
直观感觉上的所谓“一样平”、 “一样弯”，可以用数学方式精确描 绘出来.
如图2-1，在平面内，通过任一指定 点A，沿着任一指定方向AM，有且只有一 条直线a.将直线a在这平面内移动，可以 使它改变到平面内任一指定直线b的位置， 并且使点A落到b上指定的点B，同时使方 向AM落到b上指定的方向BN.
简单地说，就是在平面内所有各点地 位均等(均匀)，一点处所有方向地位均 等(各向同性).这就是平面的对称性.
三、关于大圆的对称
一般地，如图2-5，设在球面上已知一个确 定的大圆AB，又设C是球面上的任意点，但不在 大圆AB上.那么关于大圆AB的对称变换把C变到 球面上位于大圆AB另一侧的点D，使得大圆弧CD 被大圆AB垂直平分(就是说，大圆弧CD⊥大圆AB， 并且如果大圆弧CD与大圆AB的交点是M,那么大 圆弧CM=MD).这时说两点C和D关于大圆AB对称.
四、对称的球面三角形
定理1 如果两个球面三角形对称，那么 它们全等.
五、球面三角形全等判定定理之一（SAS）
定理2 如果两个球面三角形的两双对应 边及其夹角分别相等，那么它们全等.
定理3 球面等腰三角形的底角相等.
ห้องสมุดไป่ตู้
六、球面三角形全等判定定理之二（ASA）
定理4 如果两个球面三角形的两双对应角及 其夹边分别相等，那么它们全等.
“方向”的概念，可以从平面推广到球 面.球面在一点处的一个方向，就是球面在 这一点的切线方向(切线是过球面上一点垂 直于球半径的直线，它与球面有且只有一个 公共点，叫作切点).
人教版B版高中数学选修3-3：平面、直线与球面的位置关系_课件1
第二种：平面与球面相交
当你拿着刀开始切西瓜的时候，刀和西瓜已经接触， 此时西瓜的表面（球面）与刀所在的平面相交，截 面（切开西瓜可以观察）是圆面。从数学上严格定 义球面与平面相交的情形，即为球心到平面的距离
小于球的半径r。
直线与圆相交时，有两种情况，一种为直线过 圆心，另一种为直线不过圆心，类似的，在平面与 球面相交时，有两种情况：
2.直线与球面相离
O
P
l
类似于前面的情景，我们一手拿着篮球，另外一 手拿着一根铁丝，并且铁丝与球面没有任何接触且两 端不指向球面，如上图，这能演示出直线与球面的第 二种位置关系：相离。
3.直线与球面相切
还是同样的篮球与铁丝，我们一手托球，另外 一手将铁丝轻轻横放在球面上，又能展示直线与球 面的第三种位置关系：相切。
初中阶段，我们学了有关圆的截线和切线 的性质定理。如：切线长定理、切割线定理、 相交弦定理，这些定理统称为圆幂定理。那么 球面是否会具有相似的通过一定点P作 球面的任意一条割线交球面于A，B两点,则 (1)当点P在球外时，PA ·PB =PO 2- R 2 >0; (2)当点P在球内时，PA ·PB = R 2 -PO 2 >0; (2)当点P在球面上时，PA ·PB = 0.
的半径r。
由于平面可以看作是由无数条直线组成的， 所以当研究直线与球面的位置关系时，可以参 考平面与球面的位置关系.
1.直线与球面相交
同学们想像一下：一个篮球被一根尖利的铁丝扎 穿了会是什么样的一个情景？如果我们把篮球表面当 作一个球面，把铁丝当成一条直线，这个情景正好演 示了直线与球面相交的情况。这也是我们要认识的直 线与球面的第一种情况。
1. 经过球心的平面截球面，所截得的圆叫做大 圆。
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《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
球面三角形的边角关系
球面三角形的正弦定理和余弦定理
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球面三角形的边角关系
球面三角形的正弦定理和余弦定理
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球面三角形的边角关系
球面三角形的正弦定理和余弦定理
球面三角形的正弦定理和余弦定理
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《高中数学选修课程专题研究》
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球面三角形的其它性质
定理
球面三角形两边之和大于第三边。
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《高中数学选修课程专题研究》
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球面三角形的其它性质
推论
高中数学选修课程 专题研究
3-3 球面上的几何
1
1.《普通高中数学课程标准 （实验）》
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《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
《普通高中数学课程标准 （实验）》
10.体会当球面半径无限增大时，球面接近于平面， 球面的三角公式就变成相应的平面三角公式。
11.初步了解另一种非欧几何模型——庞加莱模型。 12.完成一个学习总结报告。
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《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
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球面三角形的边角关系
球面三角形的正弦定理和余弦定理
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《高中数学选修课程专题研究》
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《高中数学选修课程专题研究》
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证法二
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《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
球面几何概述
球面几何学的发展历程
现代球面三角的创始人是俄国科学院院士欧拉。他使 研究三角形的三角学进一步演变成研究三角函数及其 应用的分析学的分支。
至于球面三角的更为广泛的研究，则是由德国数学家 高斯、斯太纳及俄国天才数学家罗巴切夫斯基继续完 成。
定义 两个球面三角形，如果三 对边对应相等，三对角也对应 相等，这两个球面三角形称为 相等的。
如果方向也相同，则称为是全 等的，如果方向相反，则称为 是对称的。
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《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
球面三角形的性质
球面三角形的全等定理
定理1 如果两个球面三角形的三对边对应相等，则这 两球面三角形相等，即全等或对称（SSS）。
2012年8月
球面几何的应用
球面上点的确定
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《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
球面几何概述
球面几何学的发展历程
球面三角学的发展及其在天文上的应用在埃及人托勒 密的著作《数学汇编》中达到顶峰
直到1450年以前，三角术仍是球面三角。直到纳西 尔丁的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学 成为纯粹数学的一个独立分支
1464年，德国数学家里基奥蒙田纳斯完成了他的名 著《论一般三角形》，正式使三角学脱离天文学而成 为独立的科目。
A
O
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《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
B`
C`
球面几何概述
球面上的一些基本图形
定理2：球面三角形的角（或边）与其极三角形的边 （或角）互补。
A a B b C c , a A b B c C
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球面几何概述
3.球面三角形的性质
球面三角形的内角和
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球面三角形的性质
球面三角形的内角和
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2012年8月
球面几何概述
球面几何学的发展历程
直到亚历山大里亚时期，希腊定量几何中一门全新的 学科——三角学才逐渐创立
希腊三角在梅内劳斯时达到顶点，他的主要著作是 《球面学》
而在公元499年印度数学家阿耶波多也表述出古代印 度的三角学思想，其后的瓦拉哈米希拉最旱引入正弦 概念，并给出最早的正弦表。
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球面几何概述
球面几何学的发展历程
早期三角学不是一门独立的学科而是依附于天文学， 是天文观测结果推算的一种方法。因而最先发展起来 的是球面三角学。
毕达哥拉斯学派却已经积累了许多球面大圆和球面三 角形的知识。
早在公元前3世纪成书的几何《原本》第十一篇“立 体几何”中，已给出了球的定义；第十二篇关于面积 和体积的命题中，用“穷竭法”证明了球（体积）之 比等于其直径的三次比。
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2012年8月
球面几何的应用
利用球面多边形面积公式证明欧拉公式
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球面几何的应用
利用球面多边形面积公式证明欧拉公式
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nj
ji (nj 2)j
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球面几何概述
球面上的一些基本图形
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球面几何概述
球面上的一些基本图形
定理1：如果一球面三角形为另一球面三角形的极三 角形，则另一球面三角形也为这一球面三角形的极三 角形。
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《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
球面几何概述
球面上的一些基本图形
球面三角形两边之差小于第三边。
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《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
球面三角形的其它性质
定理 在球面三角形ABC中，等边所对的角相等，大边所对的
角较大，反之亦然。
推论 球面等腰三角形的两底角相等。
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《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
4.球面几何的应用
利用球面多边形面积公式证明欧拉公式
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《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月球面Βιβλιοθήκη 何概述球面几何与球面三角学
球面几何：几何学的一门分科，研究球面上图形的几 何学，是古代从研究天体在天球上的“视运动”发展 起来的，
其中专门研究球面上三角形的性质的称为“球面三 角”，它在天文学、测地法、航海术中被广泛应用。
1595年，法国数学家波蒂斯楚克在《三角学：解三角形的简明 处理》一书中首先使用这一术语，三角学是以研究平面三角形 和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的 的一门学科。
球面三角形的全等定理
例题
如果一个球面三角形的三条边相等，那么它的三个角也 相等。
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2012年8月
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《高中数学选修课程专题研究》
2012年8月
球面三角形的性质
球面三角形的全等定理
例题
如果一个球面三角形的三个角相等，则它的三条边也相 等。
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推论 如果两个球面三角形的三对角对应相等，则这 两球面三角形相等，即全等或对称（AAA）。
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球面三角形的性质
球面三角形的全等定理
定理2 如果两个球面三角形有两对边对应相等，并且 它们的夹角也相等，则这两球面三角形相等，即全等 或对称（SAS）。
推论 如果两个球面三角形有两对角对应相等而且它
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球面三角形的边角关系
球面三角形的正弦定理和余弦定理
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球面三角形的边角关系
球面三角形的正弦定理和余弦定理
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球面三角形的边角关系
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《高中数学选修课程专题研究》
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C`
A
B` CB
E
O
D
A`
球面多边形
球面上由大圆弧所构成的封闭图形称为球面多边形。球 面多边形的边,必须是大圆的圆弧。任意两个不同大 圆的两个交点是球面上的一对对径点，即球的同一条 直径的两个端点称为一对对径点。
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球面几何的应用
实际应用举例
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球面几何的应用
球面上点的确定
在半径为R的球面上，为了确 定点的位置，任意选择两 个互相垂直的大圆a和b， 并把它们叫做基圆，叫做 第一基圆，叫做第二基圆。
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们的夹边也对应相等，则这两球面三角形相等，即全 等或对称（ASA）。
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