分数裂项求和方法汇总
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结一、简单分数裂项法：1.若分数的分母为n，则可将该分数表示为n等分之和，即如下形式：\(\frac{a}{n}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{ 1}{n}\)这种情况下，裂项个数为分母的值。
2.若分数的分母为n，且分子a能被n整除，则可以将该分数表示为n等分之和，裂项个数为分子的值，即如下形式：\(\frac{a}{n}=\frac{a}{n}+\frac{a}{n}+...+\frac{a}{n}\)二、特殊分数裂项法：1.若分母为n(n≥2)，分子为1，则可用连续的n-1个分数之和表示，如：\(\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}\)若此时n=2，则该分数可表示为：\(\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\)2.若分母为n(n≥3)，分子为1，则可用连续的n-1个分数之和表示，如：\(\frac{1}{n}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{n+1}\)若此时n=3，则该分数可表示为：\(\frac{1}{3}=\frac{1}{12}+\frac{1}{4}\)三、通用分数裂项法：1.若分数的分子是一个较大的整数a，分母是一个较小的整数b，则可以通过转换分母的形式，将该分数表示为分解后的两个分数之和，如：\(\frac{a}{b}=\frac{a+b}{b}+\frac{-b}{b}\)如将 \(\frac{7}{3}\) 进行裂项，可得：\(\frac{7}{3}=\frac{7+3}{3}+\frac{-3}{3}=\frac{10}{3}+\frac{-1}{3}\)2.若分数的分子是一个较大的整数a，分母是一个较小的整数b的平方，则可以通过转换分母的形式，将该分数表示为分解后的两个分数之和，如：\(\frac{a}{b^2}=\frac{a}{b^2}+\frac{a}{b^2}+...+\frac{a}{b^2}\)裂项的个数为分子的值。
分数裂项法总结.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2233445566778
1 1 8 若干个分数连加，如果每个分数的分母，
7 8
练习：
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时， 就可以利用裂差公式，把每个分数拆成两 个分数单位的差，消去中间留下两边.
n 2n 1
练习1
Sn
1 1 4
1 47
1 7 10
1
(3n 2)(3n 1)
解：
1 1 11 1 11 1
11
1
Sn
(1 ) ( ) ( 3 4 34 7 37
) 10
(
)
3 3n 2 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
n n 1
习
练
题
1 1 1 1 1 1 2 23 3 4 45 56
111111 34 45 56 67 78 89
11 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30 42 56
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋L ＋
1
1 2 23 3 4
就可以利用裂项法公式： n
1 (n
1)
1 n
1 n 1
把每个分数拆成两个分数单位的差，消 23
L
L
(n
1 1)
n
1 n(n
1)
1
n
1 1
n
n 1
分数裂项的减法形式举例如下:
通分与拆分互逆：
Q 11 3 2 1 2 3 23 23 6
11 2 5 7 35
第六讲_分数裂项求和
分数裂项求和分数裂项知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
分数裂项是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
【知识概述】实质：将一个分数裂项，分成几个分数的和与差的形式。
例 3121232361-=⨯-= 41314343127+=⨯+= 目的：将一串分数中的每一个分数适当地裂项，出现一对一对可以抵消的数，从而简化计算。
减法裂项：分母分成两数之积，分子为两数之差。
直接裂项加法裂项：分母分成两数之积，分子为两数之和。
变形裂项：先变形为直接裂项。
【典型例题】例1 计算：3012011216121++++ 观察：直接裂项211121121-=⨯= 312132161-=⨯= 4131431121-=⨯= (201))()=⨯1（ ）-（ ） ()()=⨯=1301（ ）-（ ） 解：原式 =651541431321211⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ = 1-615151414131312121-+-+-+-+ = 1-61 = 65例2 计算：7217561542133011209127651-+-+-+-观察：直接裂项3121323265+=⨯+= 41314343127+=⨯+= 920==⨯+54545141+ ............... ()()115630+==⨯（ ）+（ ）()()136742+==⨯（ ）+（ ）解：原式）（）（）（）（）（）（）（91818171716161515141413131211+-+++-+++-+++-= 91818171716161515141413131211--++--++--++--= 911-= 98=例3.+⨯+⨯+⨯752532312……+1192⨯ 变形裂项：)3121(21311-⨯=⨯ 3111312-=⨯ )5131(21531-⨯=⨯ 5131532-=⨯ .............. 解：原式)11191()7151()51313111-++-+-+-=Λ（）（ 11191715151313111-++-+-+-=Λ 11111-= 1110=例4 1111111248163264128++++++ 观察前一个数是后一个数的2倍，“补一退一” 解：原式128112811281641321161814121-+++++++=）（1281641641321161814121-++++++=）（ 1281321321161814121-+++++=）（ 1281161161814121-++++=）（ 1281221-⨯= 128127=例5110118116114112122222-+-+-+-+- 由)()(22b a b a b a +⨯-=-知，可以将原式变形为： 解：原式1191971751531311⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=[]21)11191()7151()51313111⨯-++-+-+-=Λ（）（ 2111191715151313111⨯-++-+-+-=）（Λ 2111111⨯-=）（ 115=【我能行】1．+⨯+⨯+⨯199919981199819971199719961……+200220011⨯+200212．521⨯+851⨯+1181⨯+……+29261⨯ 3．7217561542133011209127311+-+-+-+4．34313312831073743413⨯+⨯+⨯+⨯+⨯Λ 5. 11011216121+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++6．3512214152127653221---+-+ 7． 256112816413211618141211--------【我试试】1．1431119919631735151513311+++++ 2． 152403187632145245---++3．6432168421214181161321641++++++++++++4．11231631431232222-+⋅⋅⋅+-+-+-。
分数裂项法求和
分数的基本性质，将分子、分母同时乘上2，因为这题中的
每一项都含有 项法的要求。
1 ，我们将其提取，使剩下的部分满足裂 2
例如： 1
1 2 1 1 2 ; ; 1 3 2 1 3 3 5 2 3 5 1 1 2 1 1 2 ; 5 7 2 5 7 7 9 2 7 9
【举一反三】计算：
1 1 1 1 (1) 10 12 12 14 14 16 16 18
1 1 1 1 ( 2) 2 4 4 6 6 8 8 10
例5、计算
1 1 1 1 1 1 ...... 1 3 3 5 5 7 7 9 1993 1995 1995 1997
分析与解：解答这样题目的简算方法：先找出分母两个数 相差几，再用几分之一去乘，然后看算式中的首项和尾项
，最后计算它们的乘积。
1 1 1 1 1 1 ...... 1 3 3 5 5 7 7 9 1993 1995 1995 1997
1 1 (1 ) 2 1997
这样采用裂项法就能较快地求出结果。
原式
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 3 2 3 5 2 5 7 2 79 1 2 2 2 2 ( ) 2 1 3 3 5 5 7 79 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) 2 3 3 5 5 7 7 9 1 1 (1 ) 2 9 1 8 2 9 4 9
（省略了转化过程）
1 1996 2 1997
998 1997
【举一反三】计算：
1 1 1 1 (1) 11 15 15 19 19 23 23 27
中考数学复习指导：例说多项分数求和的裂项抵消法
例说多例说多项项分数求和的裂分数求和的裂项项抵消法多项分数和问题是初中数学竞赛中的重要内容，在近几年全国各地数学竞赛中经常出现.在多项分数求和问题中，将其中一些分数拆开，使得拆开后的一些分数可以互相抵消，从而达到简化运算的目的，这种方法称之为裂项抵消法.本文以竞赛试题为例，重点介绍裂项抵消法，供读者参考.1.直接裂项如果多项分数和式中的每一项易于分拆，可以利用裂项抵消法求和.例1 计算：11111161111161621212626313136+++++××××××的值是( ) (A) 118 (B) 136 (C) 133 (D) 166解析原式111111111111111111()()((()()56115111651621521265263153136=−+−+−+−+−+− 1111(563636=−= 点评 本题是多项分数求和问题，对原式中的每一项正确分拆是解决这类问题的关键.一般地，对于任意非零实数,m p ，有1111()()m m p p m m p=−++×, 1111()()()n p n q q p n p n q=−++−++ 等，这是最常用的拆项公式.利用这个公式将每一项分拆后，原式中会出现一些互为相反数的项，它们的和为零，从而大大减少原式中的项数，最终达到简化运算的目的，裂项抵消法是解决这类问题的求解通法.2.借助通项裂项如果多项分数和式中的每一项不易于分拆，可考虑分拆其通项，然后再裂项求和. 例2 已知2222222222122334100310014100410051223341003100410041005A +++++=+++⋅⋅⋅++×××××，则A 的整数 部分是 .解析 对于1,2,,1004n =⋅⋅⋅，有22(1)2(1)1(1)(1)n n n n n n n n ++++=++× 2(1)1(1)(1)n n n n n n +=+++12(1)n n =++ 又111(1)1n n n n =−++Q , 1111111112(12(2(2()2()223341003100410041005A ∴=+−++−++−+⋅⋅⋅++−++− 121004(11005=−×+ 100420081005=+. 故A 的整数部分是2008.点评 本题中和式的每一项不易直接分拆，但通过考虑它的通项22(1)(1)n n n n +++×,发现它可以分拆为12(1)n n ++，从而借助于通项来分拆每一项，从而达到裂项相消的目的. 例3已知对于任意正整数n ，都有312n a a a n ++⋅⋅⋅+=，则23100111111a a a ++⋅⋅⋅+−−−= . 解析 当2n ≥时，有312n a a a n ++⋅⋅⋅+=，3121(1)n a a a n −++⋅⋅⋅+=−,两式相减，得2331n a n n =−+，∴原式111()31n n=−−. 23100111111a a a ∴++⋅⋅⋅+−−−11111111(1)()()32323399100=−+−+⋅⋅⋅+− 1133(13100100=−=. 点评 根据已知条件求得通项，然后借助通项裂项，从而达到求和的目的.求解本题有两个难点，一是根据已知求出数列的通项公式;二是利用裂项法求数列的若干项和.裂项抵消法是解决这类竞赛问题的一种重要方法.“裂项”的最终目的是通过“抵消”来解决问题.这种解法的基本特点就是将原式中的每一项或部分项拆分为两项之后，数列的若干项和中大部分项都会互为相反数，从而可以相互抵消，最后和式中只剩下有限的几项，通过简单的运算就可得到结果.3.适当变形后裂项例4 计算：1112010111(120102200920101201112009220082009++⋅⋅⋅+−++⋅⋅⋅+××××××1= . 解析 原式12011201120111201020102010(()2011120102200920102011120092200820091=++⋅⋅⋅+−++⋅⋅⋅+×××1?×× 1201120112011201020102010[()()]201112010220092010120092200820091=++⋅⋅⋅+−++⋅⋅⋅+×××1?×× 111111111[(11)(11)]201120102200920102009220082009=+++⋅⋅⋅++−+++⋅⋅⋅++ 111(201120102010=+ 12021055=. 点评 本题直接拆项后不易求和，由和式的特征易发现，通过对前半部分和式添分母后与后半部分和式的结构更为相近，所以本题可采用添分母分拆法.4.放缩后裂项例5 设333311111232011S =+++⋅⋅⋅+，则4S 的整数部分等于( ) (A)4 (B)5 (C)6 (D)7解 当2,3,,2011k =⋅⋅⋅时，3211(1)k k k <−Q 111[]2(1)(1)k k k k =−−+， 33311111232011S ∴<=+++⋅⋅⋅+ 1111()2220112012<+−× 54<， 于是有445S <<,故4S 的整数部分等于4。
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求n（_i_）型分数求和1 1分析：因为------ -------n n 1n 1 n n(n 1)n(n 1)（n为自然数）n（n 1）所以有裂项公式:1 1 1n(n 1) n n 1【例1】10 11111 12的和。
59 601 110 60丄12（二）用裂项法求乔七型分数求和分析: 型。
（n,k均为自然数）n（n k）因为1(1所以【例2】n(nk)] n(n k)n(n k)")1计算5 7 9 11 11 13 13 151勺1(1 9 2'91 1、，1 1 )(丄(丄丄)2 11 131 1)(丄(1 1)2 5 7111-[( )( )( ,、 ,、2 5 7 7 9 9 11 11 13 13 152[515]丄15（三）用裂项法求—「型分数求和n（n k）分析：k- 型（n,k均为自然数）n（n k）1 1 _ n k n kn n k n(n k) n(n k) n(n k)所以k _ 11n(n k) n n k亠2 2 2 2【例3】求2的和1 3 3 5 5 7 97 99（四）用裂项法求仝型分数求和n(n k)(n 2k)分析：2k 均为自然数）分析：n（n k)(n (n,k2k)2k 1 1n(n k)( n 2k) n(n k) (n k)( n 2k)【例4】计算：-4 4 4 4 1 1 1 1(1 3)( ) (-3 5 5 1 1999899(1 1 ) ( 1 1 )(93 9595 97)(95 9797 99)1 1 1 、 “ 1 1 、“ 11 、、[( )()... ...(-)]3 1 2 32 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20丄[1 1]3 1 2 3 18 19 201139 20520(五)用裂项法求1型分数求和n(n k)(n 2k)(n 3k) 分析：1（n,k 均为自然数）n(n k)( n 2k)(n 3k)1 1 1 n(n k)(n 2k)(n 3k) 3k (n(n k)( n 2k)1(n k)(n 2k)(n3k)【例5】1 1 计算：1234 2 3 4 5117 18 19 203k11n(n k)( n 2k)(n3k) n(n k)( n 2 k) (n k)( n 2k)(n 3k)【例6】计算：-3 3 3分析:(n,k 均为自然数)1 (1 3 1、( 1 1、 3 5) (3 5 5 7)111 3 97 99 32009603(六)用裂项法求 n(n k)(n 2k)(n 3k)型分数求和n(n k)(n 2k)(n 3k)(1 1 ) ( 1 1 )(1 2 3 2 3 4) (2 3 4 3 4 5)1 11 2 3 18 19 2011396840（七）用裂项法求复合型分数和（例题略）( 1 1 )(17 18 19 18 19 20)。
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结（一） 用裂项法求1(1)n n +型分数求和 分析：因为111n n -+＝11(1)(1)(1)n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：111(1)1n n n n =-++ （二） 用裂项法求1()n n k +型分数求和 分析：1()n n k +型。
（n,k 均为自然数） 因为11111()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++（三） 用裂项法求()k n n k +型分数求和 分析：()k n n k +型（n,k 均为自然数）11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k-+（四） 用裂项法求2()(2)k n n k n k ++型分数求和 分析：2()(2)k n n k n k ++（n,k 均为自然数）211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++（五） 用裂项法求1()(2)(3)n n k n k n k +++型分数求和 分析：1()(2)(3)n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ （六） 用裂项法求3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和 分析：3()(2)(3)k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）311()(2)(3)()(2)()(2)(3)k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++记忆方法：1.看分数分子是否为1；2.是1时，裂项之后需要整体×首尾之差分之一；3.不是1时不用再乘；4.裂项时首尾各领一队分之一相减。
(完整版)六年级奥数-分数裂项(最新整理)
2
2
2
2
2
2
2
2
= 16 × ( +
+
+
+
+
+
+)
1×2 2×3 3×4 4×5 5×6 6×7 7×8 8×9
1 11
11
= 16 × 2 × (1 ‒ 2 + 2 ‒ 3 + … + 8 ‒ 9)
【巩固】 1 1 1 1 1 1 1 1 _______ 6 12 20 30 42 56 72 90
【巩固】 1 1 1 1 1 20 10 26 38 27 2 3 30 31 41 51 119 120 123 124
10 17 - 7 26 30 - 4
=
=
119 17 × 7 120 30 × 4
38 41 - 3 27 31 - 4
=
=
123 41 × 3 124 31 × 4
教师版
page 7 of 8
【巩固】计算： 1 3 2 5 7 9 10 11 19 3 4 5 7 8 20 21 24 35
1 3 2 5 7 4+5 3+7 3+8 5+7+7 = 3 + 4 + 5 + 7 + 8 + 4×5 + 3×7 + 3×8 + 5×7
【巩固】 1 2 3 7 9 11 17 25 3 5 7 12 20 28 30 42
23
1
25
【巩固】 251 251 251 251 251
4 8 8 12 12 16
2000 2004 2004 2008