数学苏教版必修1函数的单调性(教案)
苏教版--必修1--函数的单调性(学案设计).doc
实例近六届世界杯进球数的表格与年份。
进球数. 1990. 115P 1994. 137〃 199& 171. 2002『 161P 2006. 147。
2010. 145^实例某国某地某天的气温变化曲实例函数的图(1)/(x)=x+l (2)/"(工)=工 第二章函数(4)函数的单调性一、学习目标: 1、理解增函数和减函数的定义 2、会利用定义证明函数的单调性 3、了解函数单调区间的概念，并能根据函数图象写出的单调区间 二、学习过程:1、【实例探究】问题1：实例1中随着年份的变化，进球数有什么变化；实例2中随着时间的变化，温度有什么变化；实例3中随着自变量x 的变化，因变量》有什么变化? 问题2：怎样用数学语言描述“随自变量X 的增大，因变量y 不断增大”和“随自变量X 的增大，因变量y 不断减小” 2、【构建新知】(1)单调性的通俗定义:单调遂增函数单调遂覆函数y图象1 1F图象特征从左到右，图象上升从左到右,图象下降正y随x的瑁大而增大y随x的增大而减小(2)单调性的经典定义:三、例题分析：例1、下图是定义在[-5,5]±的函数y = /(%)的图象，根据图象说出函数y = f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y = /(x)是增函数还是减函数。
四、巩固练习：1、函数/(%) =| %| (% e R)的增区间为函数/(x) =\X\(XE[-2,3])的增区间为2、函数/(%) = %2 + 2x-3(xe R)的减区间为3、求证：函数/(%) = --在区间(-3,0)上是单调增函数XX + ]4、用定义证明f(x) =——在(l,+oo)上是减函数x-15、用定义证明/(%)=A/^(%>0)在定义域上是增函数五、小结：用定义法证明函数单调性的步骤:1、取值:设任意玉、切属于给定区间，且X] < X?；2、作差运算：/■(>])—f(X)= ....注意：①运算的常用公式:平方差公式、立方和立方差公式%1运算的常用技巧:提取公因式、四项两两结合、通分、分母有理化等%1运算要彻底，3、定号:确定/(%[)-/(%2)的正负号；4、下结论：由定义得出函数的单调性。
高中数学2.1《函数的单调性》学案苏教版必修1
函 数 的 单 调 性【教学目的】1． 使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法； 2． 培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力； 【基本知识】1、 定义：对于给定区间上的函数f(x)及属于这个区间上的任意两个自变量x 1、x 2，当x 1＜x 2时，如果有f(x 1)＜f(x 2)，则称f(x)在这个区间上是＿＿＿＿函数，这个区间就叫做函数f(x)的＿＿＿区间；如果有f(x 1)＞f(x 2)，则称f(x)在这个区间上是＿＿＿＿函数，这个区间就叫做函数f(x)的＿＿＿区间； 〖说明〗1。
单调区间是定义域的子集；2。
若函数f(x)在区间D 上是增函数，则图象在D 上的部分从左到右呈＿＿趋势 若函数f(x)在区间D 上是减函数，则图象在D 上的部分从左到右呈＿＿趋势 3。
单调区间一般不能并 2、 判断单调性的方法：①定义； ②导数； ③复合函数单调性：同增则增，异增则减； ④图象 3、 常用结论：①两个增（减）函数的和为___；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是__； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；【课前预习】1． 下列函数中，在区间(-∞，0)上是增函数的是 ( )A 、84)(2+-=x x x f B 、g(x)=ax+3 (a≥0) C 、2()1h x x =-+ D 、12()log ()s x x =- 2． 函数33y x x=+的单调递增区间是＿＿＿＿＿＿＿ 3． 函数f(x)＝｜log a x ｜（0＜a ＜1）的单调增区间是＿＿＿＿＿＿＿ 4． 函数)23(log )(221-+-=x x x f 的减区间是__________________5． 函数f(x)＝x 3+ax 有三个单调区间，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿ 【例题讲解】例1：若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_________.【变式1】3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间（1,4）内为减函数，在区间（6，＋∞）为增函数，求实数a 的取值范围；【变式2】已知数列{a n }中22(1)2n a n a n =+-+，且n a 随着n 的增大而增大，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿例2、判断并证明函数1()1xf x x-=+的单调性【变式1】判断函数)1,0(11log )(≠>+-=a a x xx f a的单调性 【变式2】已知函数1()log (1)1axf x a x-=>+，是否存在实数x ，使关于x 的不等式 2()(1)f x f x <-成立例3、设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0>x 时，1)(0<<x f 。
高中数学 第二章 函数 221 函数的单调性教学设计 苏教版必修1 教案
函数的单调性教学设计一、教材分析本课时主要学习函数的单调性的概念，依据函数图象判断函数的单调性和依据定义证明函数的单调性。
本节课是在学生学习了函数概念的基础上所研究的函数的一个重要性质。
函数单调性的概念是研究具体函数函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最值等性质中有重要应用。
函数单调性的研究方法也具有典型意义，对加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般的研究方法有很大帮助。
掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力二、教学目标1、知识与技能目标（1）使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性。
（2）启发学生发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力。
（3）通过观察-猜想-推理-证明这一个重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。
2、过程与方法目标（1）通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的思想教育。
（2）探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确。
3、情感态度与价值观目标：学生通过一系列丰富的数学活动，培养观察能力，归纳总结能力，加深对数形结合思想的理解。
三、教学重点函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法四、教学难点函数单调性的判断与证明。
五、教学策略在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。
通过学生身边熟悉的事物，教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。
六、教学准备利用多媒体教学七、教学过程：一、知识导向或者情景引入1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：（1）随x 的增大，y 的值有什么变化？（2）能否看出函数的最大、最小值？（3）函数图象是否具有某种对称性？2、画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1从左至右图象上升还是下降 ______?○2在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -2x+1○1从左至右图象上升还是下降 ______?○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而________ ．○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。
《函数的单调性》教学设计-优秀教案
5.学习评价设计（从知识获得、能力提升、学习态度、学习方法、思维发展、价值观念培育等方面设计过程性评价的内容、方式与工具等，通过评价持续促进课堂学习深入，突出诊断性、表现性、激励性。
体现学科核心素养发展的进阶，课时的学习评价是单元学习过程性评价的细化，要适量、适度，评价不应中断学生学习活动，通过学生的行为表现判断学习目标的达成度）在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“随的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证．对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度．为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料：1．指导思想．充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示．在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成．2．在“创设情境”阶段．观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念．3．在“引导探索”阶段．首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”，借助多媒体引导学生对“随的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越．4．在“学以致用”阶段．首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识．然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法．接着请学生板演实践．（2）判断并证明函数的单调性．探究题：向一杯水中加一定量的糖，糖加得越多糖水越甜．请你运用所学的数学知识解释这一现象．设计说明：课堂作业是为及时巩固初学的知识和方法，完善对“对勾函数”的认识．探究题是为培养学生运用数学的意识（从地理情境开始，中间解答物理定律，最后以化学实验结束），感受数学的实用性和人文性．9.特色学习资源分析、技术手段应用说明（结合教学特色和实际撰写）判断题：你认为下列说法是否正确，请说明理由．（举例或者画图）（1）设函数的定义域为，若对任意，都有，则在区间上递增；（2）设函数的定义域为R，若对任意，且，都有，则是递增的；（3）反比例函数的单调递减区间是．设计说明：让学生分组讨论，然后进行展示性回答．若学生认为正确，则要求说明理由；若学生认为错误，则要求学生到黑板上画出反例（题（3）可追问怎么修改）．通过构造反例，逐步完善和加深对函数单调性的理解．例题：判断并证明函数的单调性．。
函数的单调性教案苏教版必修1
函数的单调性（一）教学目标：使学生明白得增函数、减函数的概念，把握判定某些函数增减性的方式，培育学生利用数学概念进行判定推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启发学生养成细心观看，认真分析，严谨论证的良好思维适应.教学重点：函数单调性的概念教学难点：函数单调性的判定和证明.教学进程：Ⅰ.温习回忆［师］前面咱们学习了函数的概念、表示方式和区间的概念，讨论了函数的概念域、值域的求法.今天咱们再进一步来研究一下函数的性质(板书课题).Ⅱ.教学新课［师］在初中咱们已经学习了函数图象的画法，为了研究函数的性质，依照取值、列表、描点、作图等步骤别离画出y＝x2和y＝x3的图象如图.咱们先着重来观看一下y＝x2的图象，图象在y轴右边的部份是上升的，也确实是说在y轴右边越往右，图象上的点越高，这说明什么问题呢?［生］随着x的增加，y的值在增加［师］如何用数学语言来表示呢?［生］设x1、x2∈[0，＋∞)得y1＝f（x1），y2＝f（x2）当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）(学生通过预习可能答得很准确，但什么缘故或许还囫囵吞枣；或许答得不必然完整，或许如何用数学语言来表示还感到困惑，教师应抓住机会予以启发)［师］好，××同窗的回答专门好，设x1、x2∈[0，＋∞)，表现了在y轴右边，依照函数关系式取得了y1＝f（x1），y2＝f（x2），即有了两个点(x1，y1)、（x2，y2）而当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），那么表现了越往右图象上的点越高，即表现了图象是上升的，这时咱们说y＝x2在[0，＋∞)上是增函数.下面大伙儿来看图象在y轴左侧的部份情形是如何的?[生甲]图象在y轴的左侧也是上升的(或许生甲是别出心裁).［师］何以见得?[生甲]越往左，图象上的点越高.［师］生甲所谈对不对呢?［生］对(部份同窗如此说，还有部份同窗不吭气，感到和预习时的情形不一样，但又不清楚究竟该如何，有无所适从之感).［师］生甲同窗所述是完全有道理的!只是请同窗们注意：他观看的视线是从右向左看的，为了与在y轴右边部份观看的视线方向一致.咱们对y轴的左侧部份也从左向右看，图象的情形是如何的呢?[生甲]从左向右看，图象是下降的，也确实是在y轴的左侧，越往右，图象上的点越低.［师］咱们研究任何问题都要遵循必然的程序，都要在必然的条件下，不然将一塌糊涂，弄不出任何名堂.(或在研究y轴右边部份、研究y轴左侧部份图象的转变趋势时，就直载了本地指出随着x的增加，图象的转变趋势是如何的，如此给学生指定观看方向，会减少不该有的麻烦)那么同窗们考虑一下，在y轴的左侧，越往右，图象上的点越低，说明什么问题呢?如何用数学语言表示呢?［生］在y轴右边，越往右图象上的点越低，说明随着x的增加，y的值在减小，用数学语言表示是：设x1、x2∈（－∞，0）得y1＝f（x1），y2＝f（x2）当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）［师］好，这时咱们说y＝x2在（－∞，0）上是减函数.一样地，设函数f（x）的概念域为Ⅰ：若是关于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说f(x)在那个区间上是增函数.(打出幻灯片§2.3.1 C)若是关于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f(x)在那个区间上是减函数.若是函数y＝f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.③判定函数在某个区间上的单调性的方式步骤：a .设x 1、x 2∈给定区间，且x 1＜x 2b .计算f （x 1）－f （x 2）至最简b .判定上述差的符号d .下结论(假设差＜0，那么为增函数；假设差＞0，那么为减函数)Ⅲ.例题分析［例1］(讲义P 34例1，与学生一块看，一路分析作答)［师］要了解函数在某一区间上是不是具有单调性，从图象上进行观看是一种经常使用而又粗略的方式，严格地说，它需要依照单调函数的概念进行证明.下面举例说明［例2］证明函数f （x ）＝3x ＋2在R 上是增函数.证明：设任意x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2则f （x 1）－f （x 2）＝（3x 1＋2）－（3x 2＋2）＝3（x 1－x 2）由x 1＜x 2得x 1－x 2＜0∴f （x 1）－f （x 2)＜0 即f （x 1）＜f （x 2）∴f （x ）＝3x ＋2在R 上是增函数［例3］证明函数f （x ）＝1x在（0，＋∞）上是减函数. 证明：设任意x 1、x 2∈（0，＋∞）且x 1＜x 2则f （x 1）－f （x 2）＝1x 1 －1x 2 ＝x 2－x 1x 1 x 2由x 1，x 2∈（0，＋∞）得x 1x 2＞0又x 1＜x 2 得x 2－x 1＞0∴f （x 1）－f （x 2）＞0 即f （x 1）＞f （x 2）∴f （x ）＝1x在（0，＋∞）上是减函数 注意：通过观看图象、对函数是不是具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的方法.证明这种猜想的正确性，是发觉和解决问题的一种经常使用数学方式.Ⅳ.课堂练习讲义P 37练习1，2，5，6，7Ⅴ.课时小结本节课咱们学习了函数单调性的知识，同窗们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在明白得概念的基础上，要把握证明函数单调性的方式步骤，正确进行判定和证明. Ⅵ.课后作业讲义P 43习题 1~4函数的单调性（二）教学目标：使学生明白得增函数、减函数的概念，把握判定某些函数增减性的方式，培育学生利用数学概念进行判定推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启发学生养成细心观看，认真分析，严谨论证的良好思维适应.教学重点：函数单调性的判定和证明.教学难点：函数单调性的判定和证明.教学进程：［例1］已知函数f （x ）在其概念域M 内为减函数，且f （x ）＞0，那么g （x ）＝1＋2f （x ）在M 内为增函数。
高中数学 “函数的单调性”的教学设计教案 苏教版必修1
“函数的单调性”的教学设计一、教材分析地位与作用：“函数的单调性”既是一个重要的数学概念，又是函数的一个重要性质．在中学数学内容里占有十分重要的地位.它体现了函数的变化趋势和变化特点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用．重点与难点：重点是函数的单调性定义理解（从形到数，从文字语言到符号语言）．难点是利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．二、教学目标知识目标：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性．能力目标：通过概念的教学，培养学生观察、联想、比较、分析、综合、抽象、概括的逻辑思维能力，使其能体验和感悟数学的一般思维方法.德育目标：通过形式化与符号化对函数单调性的描述，促使学生养成用运动、发展、变化的观点认识世界的思维习惯.三、学情研究在讲授函数的单调性之前，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么.从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的，有必要的和有意义的.而且，函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣.四、教具选择多媒体课件及实物展台，通过对图形的直观体验理解概念，化解难点.五、过程设计问题情境：观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：得到充分感知.从而获得丰富的表象信息，产生众多的联想.学生活动：学生通过充分观察提出自己意见：①随x的增大，y的值有一定变化；②有的函数有最大值或最小值；③有的函数图象有上升或下降的情形或具有某种对称性……师：图1：函数图像在整个定义域上都是下降的.图2：函数图像在(),0-∞上下降，在()0,+∞上上升. 图3：函数图像在整个定义域上都是上升的.图4：函数图像在部分区域上上升，在部分区域上下降. 共同特点：图像在定义域的某些部分上升或下降.师：引导学生讨论一个实际问题：校门口与地下车库之间的路是上坡还是下坡？ 生：有的说上坡，有的说下坡. 师：为何说法不一？生：讨论之后形成共识：究竟上升还是下降要看方向.不然，容易产生歧义. 师：就函数图像的上升、下降而言，以什么为参照或方向比较好？ 生：以x 轴的方向为参照较好.师：图像的上升或下降表明了函数在变化中一种不变的性质.数学上把函数的这种性质称之为“单调性”.把上升称为“单调增”，把下降称为“单调减”.意义建构：建构主义的学习理论认为，学习不是一个被动的吸收过程，而是一个以已有的知识和经验为基础的主动的建构过程，因此，从具体问题出发来引出数学概念更符合学生的认知规律.对函数的单调性的建构有两个重要的过程：一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述.师：“上升、下降”是一种日常语言，这样来描述函数的性质是不够准确的.能否用数学的语言来描述函数的这一特点呢？生：讨论之后提出一种表示：上升：函数()y f x =随x 的增大而增大 下降：函数()y f x =随x 的增大而减小 师：能否用数字化的符号给出一种定量的描述？生：x 的增大⇒ x 1< x 2， ()y f x =的增大⇒()()12f x f x < 故猜想上升即 x 1< x 2⇒()()12f x f x < 同理：下降即 x 1< x 2⇒()()12f x f x >师：按刚才所说：对于函数2y x =而言，因为13-<时，()()13f f -<，所以函数2y x =是增函数.对不对？生：联系图像，发现问题，改进猜想. 师：总结之后给出定义. 数学理论：函数单调性定义一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，如果对于定义域A 内的某个区间I 内的任意．．两个自变量x 1，x 2，当x 1< x 2时，都有()()12f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是增函数（increasing function ）．I 称为y =f(x )的单调增区间（increasing interval ）.注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间I 内的任意．．两个自变量x 1，x 2；当x 1< x 2时，总有()()12f x f x <． 思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．数学运用：例1．（教材P 34例1）根据函数图象，写出函数的单调区间：⑴ 22y x =-+； ⑵ 1(0)y x x=≠ 解：（略）巩固练习：课本P 37练习第1、2题点评：对于某些函数，如果能画出其图像，那么寻找函数的单调区间就十分容易了，因此，图像法是求函数单调区间的一种重要方法．例1引申：函数xy 1=在整个定义域上是否为单调函数？ 函数在某个区间上是单调函数，并不能说明函数在整个定义域上也是单调的． 例2．（教材P 35例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．求证：函数11y x=--在区间(),0-∞上是单调增函数.解：（略） 巩固练习：○1 课本P 37练习第5题；○2 证明函数xx y 1+=在（1，+∞）上为增函数． 例3．借助计算机作出函数23y x x =-++的图象并指出它的单调区间． 解：（略）小结：判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈I ，且x 1< x 2；○2 作差()()12f x f x -； ○3 变形（通常是因式分解，配方或有理化）；○4 定号（即判断差()()12f x f x -的正负）； ○5 下结论（即指出函数()y f x =在给定的区间I 上的单调性）．回顾反思：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象可以借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论六、教后反思⑴ 要实现数学新知的建构学习，教师创设适当的情境是一个十分重要的方面. 当然，情境应符合实际.这里的实际包括数学教学内容的实际，学生知识状况的实际，学生思维发展的实际等等. ⑵ 函数的单调性与很多已有的知识、经验、方法有联系， 这些对函数单调性的学习有着积极的意义，同时对函数单调性的理解也使得这些知识的意义得到了扩展.⑶ 概念和意义的综合贯通，不是一次课堂教学所能解决，因此需要在后续教学中多次反思，不断运用.。
高中数学苏教版必修一教单调性一教案.doc
课题单调性(一) 编号学习目标(1)理解函数单调性的概念;并能根据函数图象指出单调性、写出单调区间.(2)能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性.教学重重点：会求单调区间，会证明单调性；难点：单调性的证明。
点、难点教学方法引导探究，讲练结合学习要点及自主学习导引学习心得1、引入：画出函数y=2x,尸一x, y=x2-l的图象。
2、知识要点(1)增函数与单调增区间定义：是单调增函数；单调增区间⑵减函数与单调减区间定义：是单调减函数；单调减区间3、单调性证明步骤：(1) (2) (3) (4)4、主动出击：课本p37练习1-7典例探究思想方法总结例1、课本P35例1、2例2、利用函数单调性定义，证明：函数/(x) = -x3+l在(-8,+8上是减函数。
例3、指出下列函数的单调区间及单调性：•y 3(1) /(.¥)=■；(2) y=l X2 +2x + 3lx-1例4、求证：函数y = x + —在区间［1, + oo )上是增函数。
例5.讨论函数f(x) = x2一2处+ 3在(-2,2)内的单调性.(选讲)例6、判断函数y = x +—(a0)的单调区间。
课堂练习自我纠错1、函数V = /一6冈的递增区间是。
2、二次函数f(x) = x2 +2ax + b在区间(-°°, 4)上是减函数，你能确定的是( ).A. a>2B. b>2C. a<-4D. Z?<-43、已知函数/'(x)在［0±oo) 是减函数，试比较f ^-|^f (a2— a + 1)的大小。
4、若函数f(x) = x2+bx + c ,对任意实数t都有/(2+r) = /(2-r),比较的大小。
本节内容个人掌握情况反思：。
高一数学苏教版必修1教学案：第2章7函数的单调性(1)
江苏省泰兴中学高一数学教学案(17)必修1_02 函数的单调性（1）班级 姓名目标要求1．理解函数的单调性以及相关概念；2．熟练运用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性； 3．学会根据函数单调性的定义和图象求一些简单函数的单调区间．重点难点重点：函数的单调性的证明和判断； 难点：函数单调性的概念及单调性的应用．课前预习1．画出2y x =的图象，观察（1）x ∈[)+∞,0;（2）x ∈(]0,∞-;（3）x ∈（-∞，+∞） 当x 的值增大时，y 值的变化情况。
2．观察实例：课本P34的实例，怎样用数学语言刻画上述时间段内“随着时间的推移气温逐渐升高”这一特征？3．增函数：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆，若对于区间I 内的 ，当 时都有 ，称函数)(x f y =在 是单调增函数，I 为 图象示例：4．减函数：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆，若对于区间I 内的 ，当 时，都有 ，则称函数)(x f y =在 是单调减函数，I 为 图象示例：5．单调性：函数)(x f y =在 上是 ，则称)(x f y =在 具有单调性6. 单调区间： ．课堂互动例1 画出下列函数的图象，并写出单调区间： （1）221y x x =-++ （2）21-=x y （3）|21|y x =-变题1：作出函数223y x x =--的图象，并写出函数的单调区间．例2 证明：函数xx x f 1)(+=在（０，１）上是单调减函数．例3 变题函数5)2(22+-+=x a x y 在),4(+∞上是增函数，求实数a 的取值范围.变题：函数54)(2+-=mx x x f 在),2[+∞-上是增函数，在]2,(--∞上是减函数，求函数)(x f 的解析表达式．例4 已知)(x f y =在定义域)1,1(-上是减函数，且),13()1(-<-a f a f 求实数 a 的取值范围．例5 求函数6)(2-+=x x x f 的单调区间．课堂练习1、如图,已知函数)(x f y =,)(x g y =的图像,根据图像说出函数)(x f y =,)(x g y =的单调增 区间xy3π32π32π-O()y g x =y1y = f ( x )2、填表：函 数xky =（0≠k ） kx y =（0≠k ）0>k0<k0>k0<k单调区间 （－∞，+∞） 单调性增函数3、二次函数c bx ax y ++=2（0a ≠），的单调性是：当a > 0 时，在区间________上递增，在区间__________上递减；当a < 0 时，在区间__________上递增，在区间_______上递减．学习反思1、利用定义证明或判断函数的单调性的一般步骤：2、求函数单调区间的常用方法：3、求复合函数单调区间的步骤：江苏省泰兴中学高一数学作业(17)班级 姓名 得分1、在区间),0(+∞上是减函数的是________________. (1) 2x y = (2)32-=x y (3) xy 1=(4) x y =2、若函数)(x f 是实数集R 上的增函数，a 是实数，则下面不等式中正确的是______. (1))1()(2->a f a f (2))3()(a f a f < (3))()(22a f a a f >+ (4))()1(22a f a f <-3、已知函数f (x )= x 2－2x ＋2，那么f (1)，f (－1)，f 3之间的大小关系为 .4、函数2212)(a ax x x f +-+-=在区间]2,(-∞上是增函数，在区间),2[+∞上是减函数，则=)2(f ______．5、已知函数f （x ）＝x 2－2ax ＋a 2＋1在区间（－∞，1）上是减函数，则a 的取值范围是 ．6、已知31()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间. ． 7、132+--=x x y 在区间),(a -∞上是增函数，则实数a 的取值范围是__ __ . 8、函数()y f x =的递增区间是()2,3-，则(5)y f x =+的递增区间是 ． 9、画出下列函数的图像，并根据图像说出)(x f y =的单调区间，以及在各单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数：（1）2|56|y x x =-+； （2）211x y x -=-（3）21,01,0x x y x x ⎧+≥=⎨--<⎩10、求证： 函数1)(3+--=x x x f 在),(+∞-∞是减函数.11、函数4)25()(22-+--=a x a ax x f 在),2[+∞上是增函数，求实数a 的取值范围.12、已知函数1()2ax f x x +=+在区间()+∞-,2上是增函数，试求a 的取值范围．。
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函数的单调性（一）教学目标：使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯.教学重点：函数单调性的概念教学难点：函数单调性的判断和证明.教学过程：Ⅰ.复习回顾［师］前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，讨论了函数的定义域、值域的求法.今天我们再进一步来研究一下函数的性质(板书课题).Ⅱ.讲授新课［师］在初中我们已经学习了函数图象的画法，为了研究函数的性质，按照取值、列表、描点、作图等步骤分别画出y＝x2和y＝x3的图象如图.我们先着重来观察一下y＝x2的图象，图象在y轴右侧的部分是上升的，也就是说在y 轴右侧越往右，图象上的点越高，这说明什么问题呢?［生］随着x的增加，y的值在增加［师］怎样用数学语言来表示呢?［生］设x1、x2∈[0，＋∞)得y1＝f（x1），y2＝f（x2）当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）(学生经过预习可能答得很准确，但为什么也许还囫囵吞枣；或许答得不一定完整，或许怎样用数学语言来表示还感到困惑，教师应抓住时机予以启发)［师］好，××同学的回答很好，设x1、x2∈[0，＋∞)，体现了在y轴右侧，按照函数关系式得到了y1＝f（x1），y2＝f（x2），即有了两个点(x1，y1)、（x2，y2）而当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），则体现了越往右图象上的点越高，即体现了图象是上升的，这时我们说y＝x2在[0，＋∞)上是增函数.下面大家来看图象在y轴左侧的部分情形是怎样的?[生甲]图象在y轴的左侧也是上升的(或许生甲是别出心裁).［师］何以见得?[生甲]越往左，图象上的点越高.［师］生甲所谈对不对呢?［生］对(部分同学这样说，还有部分同学不吭气，感到和预习时的情况不一样，但又不清楚究竟该怎样，有无所适从之感).［师］生甲同学所述是完全有道理的!不过请同学们注意：他观察的视线是从右向左看的，为了与在y轴右侧部分观察的视线方向一致.我们对y轴的左侧部分也从左向右看，图象的情形是怎样的呢?[生甲]从左向右看，图象是下降的，也就是在y轴的左侧，越往右，图象上的点越低.［师］我们研究任何问题都要遵循一定的程序，都要在一定的条件下，否则将一塌糊涂，搞不出任何名堂.(或者在研究y轴右侧部分、研究y轴左侧部分图象的变化趋势时，就直载了当地指出随着x的增加，图象的变化趋势是怎样的，这样给学生指定观察方向，会减少不应有的麻烦)那么同学们考虑一下，在y 轴的左侧，越往右，图象上的点越低，说明什么问题呢?怎样用数学语言表示呢?［生］在y 轴右侧，越往右图象上的点越低，说明随着x 的增加，y 的值在减小，用数学语言表示是：设x 1、x 2∈（－∞，0）得y 1＝f （x 1），y 2＝f （x 2）当x 1＜x 2时，f （x 1）＞f （x 2）［师］好，这时我们说y ＝x 2在（－∞，0）上是减函数.一般地，设函数f （x ）的定义域为Ⅰ：如果对于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说f (x )在这个区间上是增函数.(打出幻灯片§2.3.1 C)如果对于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2），那么就说f (x )在这个区间上是减函数.如果函数y ＝f （x ）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y ＝f （x ）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.③判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：a .设x 1、x 2∈给定区间，且x 1＜x 2b .计算f （x 1）－f （x 2）至最简b .判断上述差的符号d .下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数)Ⅲ.例题分析［例1］(课本P 34例1，与学生一块看，一起分析作答)［师］要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明.下面举例说明［例2］证明函数f （x ）＝3x ＋2在R 上是增函数.证明：设任意x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2则f （x 1）－f （x 2）＝（3x 1＋2）－（3x 2＋2）＝3（x 1－x 2）由x 1＜x 2得x 1－x 2＜0∴f （x 1）－f （x 2)＜0 即f （x 1）＜f （x 2）∴f （x ）＝3x ＋2在R 上是增函数［例3］证明函数f （x ）＝1x 在（0，＋∞）上是减函数.证明：设任意x 1、x 2∈（0，＋∞）且x 1＜x 2则f （x 1）－f （x 2）＝1x 1 －1x 2 ＝x 2－x 1x 1 x 2由x 1，x 2∈（0，＋∞）得x 1x 2＞0又x 1＜x 2 得x 2－x 1＞0∴f （x 1）－f （x 2）＞0 即f （x 1）＞f （x 2）∴f （x ）＝1x 在（0，＋∞）上是减函数注意：通过观察图象、对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法.证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.Ⅳ.课堂练习课本P 37练习1，2，5，6，7Ⅴ.课时小结本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明. Ⅵ.课后作业课本P 43习题 1~4函数的单调性（二）教学目标：使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯.教学重点：函数单调性的判断和证明.教学难点：函数单调性的判断和证明.教学过程：［例1］已知函数f （x ）在其定义域M 内为减函数，且f （x ）＞0，则g （x ）＝1＋2f （x ）在M 内为增函数。
证明：在定义域M 内任取x 1、x 2，且x 1＜x 2，则：g （x 1）－g （x 2）＝1＋2f （x 1） －1－2f （x 2）＝2f （x 1） －2f （x 2） ＝2[f （x 2）－f （x 1）]f （x 1）f （x 2）∵对于任意x ∈M ，有f （x ）＞0 ∴ f （x 1）f （x 2）＞0∵f （x ）在其定义域M 内为减函数， ∴f （x 1）＞f （x 2）∴g （x 1）－g （x 2）＜0 即g （x 1）＜g （x 2）∴g （x ）在M 内为增函数［例2］函数f （x ）在（0，＋∞）上是减函数,求f （a 2－a ＋1）与f （34 ）的大小关系?解：∵f （x ）在（0，＋∞）上是减函数∵a 2－a ＋1＝（a －12 ）2＋34 ≥34 ＞0∴f （a 2－a ＋1）≤f （34 ）评述：体会“等价转化”思想的运用，注意解题时的层次分明和思路清晰.［例3］已知函数f （x ）＝a x ＋1x ＋2在区间（－2，+∞）上单调递增，求a 的取值范围。
解：在区间（－2，+∞）内任取x 1、x 2，使－2＜x 1＜x 2，则：f （x 1）－f （x 2）＝a x 1＋1x 1＋2 －a x 2＋1x 2＋2 ＝（2a －1）（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）∵ f （x 1）＜f （x 2） ∴（2a －1）（x 1－x 2）＜0 而x 1＜x 2∴必须2a －1＞0 即a ＞12［例4］已知函数f （x ）＝x 2－2ax ＋a 2＋1在区间（－∞，1）上是减函数，求a 的取值范围。
解：∵顶点横坐标为a ，且开口向上 ∴a ≥1［例5］写出函数f （x ）＝x 2－2x －3 的单调区间。
解：∵t ＝x 2－2x －3≥0 ∴x ≤－1或x ≥3当x ∈（－∞，－1]时：x 递增，t 递减，f （x ）递减当x ∈[3，+∞）时：x 递增，t 递增，f （x ）递增∴当x ∈（－∞，－1]时，f （x ）是减函数；当x ∈[3，+∞）时，f （x ）是增函数.［例6］判断函数f （x ）＝1x 2－4x的增减情况。
解：设t ＝x 2－4x ，则t ≥－4且t ≠0 y ＝1t当t ∈[－4，0]时，y ＝1t 递减；当t ∈[0，+∞）时，y ＝1t 递减.又当x ∈[0，4]时，t ∈[－4，0]当x ∈（－∞，0）或x ∈（4，+∞）时，t ∈[0，+∞）∴当x ∈（－∞，0）时，x 递增，t 递减，y 递增当x ∈[0，2]时，x 递增，t 递减，y 递增当x ∈（2，4]时，x 递增，t 递增，y 递减当x ∈（4，+∞）时，x 递增，t 递增，y 递减∴当x ∈（－∞，0）∪[0，2]时，f （x ）是增函数当x ∈（2，4]∪（4，+∞）时，f （x ）是减函数［例7］已知f (x )的定义域为（0，＋∞），且在其定义域内为增函数，满足f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），f （2）＝1，试解不等式f （x ）－f （x －2）＞3.解：由f （2）＝1及f （xy ）＝f （x ）＋f （y ）可得3f （2）＝3＝f （2）＋f （2）＋f （2）＝f （4）＋f （2）＝f （8）∴f （x ）－f （x －2）＞3 ∴f （x ）＞f （x －2）＋3＝f （x －2）＋f （8）＝f [8（x －2）] 又函数f （x ）在定义域（0，＋∞）上是增函数∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0x －2＞0x ＞8（x －2）即2＜x ＜167 评述：（1）例7是利用函数的单调性解不等式的重要应用，这类问题解决时要特别注意必须首先考虑定义域，进而结合函数单调性去求不等式的解集.（2）建议在教学中指导学生树立“定义域优先”的原则,即：在解题时必须时时考虑到.［例8］设f （x ）定义在R +上，对于任意a 、b ∈R +，有f （ab ）＝f （a ）＋f （b ）求证：（1）f （1）＝0；（2）f （ 1x ）＝－f （x ）；（3）若x ∈（1，+∞）时，f （x ）＜0，则f （x ）在（1，+∞）上是减函数.证明：（1）令a ＝b ＝1，则：f （1）＝f （1）＋f （1） ∴ f （1）＝0（2）令a ＝x ，b ＝1x ，则：f （1）＝f （x ）＋ f （ 1x ） ∴ f （ 1x ）＝－f （x ）（3）令1＜x 1＜x 2，则：－f （x 1）＋f （x 2）＝f （x 2）＋f （ 1x 1）＝f （ x 2x 1 ） ∵1＜x 1＜x 2 ∴x 2x 1 ＞1∴f （ x 2x 1 ）＜0 即f （x 1）＞f （x 2）∴ f （x ）在（1，+∞）上是减函数.。