人教版高中数学必修一《函数的单调性》PPT课件
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函数的单调性课件(共17张PPT)
如果我们以x表示时间间隔（单位：h),y表示记忆保持量，则 不难看出，图3-7中，y是的函数，记这个函数为y =f(x).
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
人教版数学必修一.1《函数的单调性》同步课件(共26张ppt)
试一试:你能仿照这样的 描述,说明函数f(x)=x2在区 间(-∞,0]上是减函数吗?
11
人 教 版 数 学 必修一 1.3.1《 函数的 单调性 》同步 课件( 共26张 PPT)
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对
于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，
x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数．
13
人 教 版 数 学 必修一 1.3.1《 函数的 单调性 》同步 课件( 共26张 PPT)
人 教 版 数 学 必修一 1.3.1《 函数的 单调性 》同步 课件( 共26张 PPT)
（1）y = |x|
在（－∞，0]上单调递减，
y
在 [0，＋∞）上单调递增
注意：函数在定义域 （－∞， ＋∞）上并无单调性
上，Y随着X的增大而减小
图像在Y轴右侧上升，也就是在区间 [0，+∞）
上，Y随着X的增大而增大
人 教 版 数 学 必修一 1.3.1《 函数的 单调性 》同步 课件( 共26张 PPT)
10
人 教 版 数 学 必修一 1.3.1《 函数的 单调性 》同步 课件( 共26张 PPT)
如何利用函数解析式f(x)=x2来描
所以，f ( x)
1 x
在（-
∞
，0
）上是减函数.
1.增(减)函数的定义; 2.增(减)函数的图象特征; 3.函数的单调性概念; 4.增(减)函数的判定; 5.增(减)函数的证明.
作业:课本32页第3,4题
2021/3/1
25
谢谢观赏！
2021/3/1
数.
高中数学人教A版必修1课件： 第一章第三节 函数的单调性(共18张PPT)
高中数学人教A版必修1
函数的单调性
1
创设情境 导入新课
2
新知自解 归纳提升
y
一、函数单调性定义
f(x2)
1．增函数
f(x1)
O
x1
x2
x
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内 的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有
f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．
图象法、定义法 3.用定义证明函数单调性的步骤是：
取值--作差--变形（分解因式，通分，配方） -- 定号--结论； 4. 数学思想方法：数形结合，等价转化，类比等。
12
当堂演练 及时反馈
练习1. 写出一次函数y kx b , 二次函数 y ax 2 bx c ，
反比例函数y
k x
的单调区间以及在区间上的单调性；
8
例 并用2.根定据义函证数明你f (的x)结论1x.的图象，写出其单调区间， 归纳：证明单调性的步骤 取值 作差 变形 定号
结论 9
例3. 讨论函数 f(x) x2 2ax 3 在(-2,2)内的单调性.
10
11
归纳小结 感悟收获
1.两个定义：增函数、减函数的定义； 2.判断函数单调性的两种方法：
其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数；
在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数.
7
三、对单调区间的理解
（1）形式：区间； （2）内容：函数的单调性是在定义域内的某个 区间上的性质，单调区间是定义域的子集； （3）端点：开闭问题； （4）连接：当函数出现两个以上单调区间时，单 调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以 用“和”来表示．
函数的单调性
1
创设情境 导入新课
2
新知自解 归纳提升
y
一、函数单调性定义
f(x2)
1．增函数
f(x1)
O
x1
x2
x
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内 的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有
f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．
图象法、定义法 3.用定义证明函数单调性的步骤是：
取值--作差--变形（分解因式，通分，配方） -- 定号--结论； 4. 数学思想方法：数形结合，等价转化，类比等。
12
当堂演练 及时反馈
练习1. 写出一次函数y kx b , 二次函数 y ax 2 bx c ，
反比例函数y
k x
的单调区间以及在区间上的单调性；
8
例 并用2.根定据义函证数明你f (的x)结论1x.的图象，写出其单调区间， 归纳：证明单调性的步骤 取值 作差 变形 定号
结论 9
例3. 讨论函数 f(x) x2 2ax 3 在(-2,2)内的单调性.
10
11
归纳小结 感悟收获
1.两个定义：增函数、减函数的定义； 2.判断函数单调性的两种方法：
其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数；
在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数.
7
三、对单调区间的理解
（1）形式：区间； （2）内容：函数的单调性是在定义域内的某个 区间上的性质，单调区间是定义域的子集； （3）端点：开闭问题； （4）连接：当函数出现两个以上单调区间时，单 调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以 用“和”来表示．
函数的单调性-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课用PPT
探索点三 函数单调性的应用 【例 3】 【例 3】 (1)已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]
上是减函数,则实数 a 的取值范围为 (-∞,-3] .
解析:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a -1)2+2, 所以此二次函数的对称轴为直线x=1-a . 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a]. 因为f(x)在(-∞,4]上是减函数, 所以直线x=1-a必须在直线x=4的右侧 或与其 重合, 所以1-a≥4,解得a≤-3,即实数a的取值范 围为(- ∞,-3].
(2) 已 知 y=f(x) 在 定 义 域 (-1,1) 上 是 减 函 数 , 且
f(1-a)<f(2a-1),则 a 的取值范围是
.
3函.2数.1的第单1课调时性-【函新数教的材单】调人性教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版 一（册20优19 秀）课高件中 数学必 修第一 册课件( 共28张 PPT)
函数的单调性-【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
[基础测试] 1.判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)已知 f(x)= ,因为 f(-1)<f(2),所以函数 f(x)是增函数.
() 解析:由函数单调性的定义可知,要证明一个函数是 增函数,需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大, 函数值也越大,而不是个别的自变量. 答案:×
解析:观察图象可知,y=f(x)的单调区间有[-5,-2], [2,1],[1,3],[3,5]. 其 中 y=f(x) 在 区 间 [-5,-2],[1,3] 上 是 增 函 数,在区间[-2,1],[3,5]上是减函数.
上是减函数,则实数 a 的取值范围为 (-∞,-3] .
解析:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a -1)2+2, 所以此二次函数的对称轴为直线x=1-a . 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a]. 因为f(x)在(-∞,4]上是减函数, 所以直线x=1-a必须在直线x=4的右侧 或与其 重合, 所以1-a≥4,解得a≤-3,即实数a的取值范 围为(- ∞,-3].
(2) 已 知 y=f(x) 在 定 义 域 (-1,1) 上 是 减 函 数 , 且
f(1-a)<f(2a-1),则 a 的取值范围是
.
3函.2数.1的第单1课调时性-【函新数教的材单】调人性教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版 一（册20优19 秀）课高件中 数学必 修第一 册课件( 共28张 PPT)
函数的单调性-【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
[基础测试] 1.判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)已知 f(x)= ,因为 f(-1)<f(2),所以函数 f(x)是增函数.
() 解析:由函数单调性的定义可知,要证明一个函数是 增函数,需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大, 函数值也越大,而不是个别的自变量. 答案:×
解析:观察图象可知,y=f(x)的单调区间有[-5,-2], [2,1],[1,3],[3,5]. 其 中 y=f(x) 在 区 间 [-5,-2],[1,3] 上 是 增 函 数,在区间[-2,1],[3,5]上是减函数.
函数的单调性【新教材】人教A版高中数学必修第一册精品ppt课件
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第三章 3.2.1 第1课时函数的单调性-【新教材】 人教A 版（201 9）高 中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT) 第三章 3.2.1 第1课时函数的单调性-【新教材】 人教A 版（201 9）高 中数学 必修第 一册课 件(共69 张PPT)
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高一数学函数的单调性 PPT课件 图文
(2)单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． (3)单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
例题讲解
注意： (1)可以根据函数的图象写出函数的单调
区间； (2)写单调区间时，注意区间的端点； (3)将y＝f(x)的图象上下平移时，单调区
间不发生改变； (4)单调区间不能随便求并集．
例题讲解
例2
求证：函数 f(x)＝－
1 x
－1在区间(－∞，0)
上是单调增函数．
证明：任取x1＜x2＜0，则
f(x2)－f(x1)＝＝(－1 －x12
－1)－(－ 1 ＝ x2－x1
1 －1)
x1
．
x1 x2
x1x2
因为x1＜x2＜0，所以x1x2＞0，x2－x1＞0，所
以
x2－x1 x1x2
＞0，即f(x2)－f(x1)＞0，
3.下列函数在区间(0,2)上是递增函数的是（ ）
1
A.y=
B.y=2x-1
x
C.y=1-2x
D.y=(2x-1)2
4.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[2,+∞)时是增函数， x∈(-∞，2]时是减函数，则f(1)的值（ ）
A.1
B.y=-1
C.y=3
D.-3
5.已知函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,1]上是减 函数,则a 的范围是（ ）
2.1.3 函数的简单性质
； https:/// 好系统重装助手 重装助手
ysh04zvb
在你们眼里就是这样的人？”韩哲轩满头黑线但还是坚持很勉强的笑，他把匕首从自己那边推到了桌子的另一边，“这是你 的。”“诶？”张祁潭警惕的看看韩哲轩，又看看桌子上的匕首，小心翼翼的将它拿了起来。“确实……是我的。当时找玉玺 时丢在了郭扬家……”“你想怎样！”韩哲轩归还了匕首，慕容凌娢感觉心里有底，气势就又回来了。“要不是我冒着生命危 险把匕首给找回来，以郭扬的能力，天亮之前就能找出这柄匕首的出处。”韩哲轩看向张祁潭，眼神中竟闪着凄冷的寒光， “你觉得他会饶过谁？”“哎~苍天饶过谁！”张祁潭颤抖着收起匕首，沉寂片刻，说道，“我签。”“这就签？”慕容凌娢 一脸懵逼，不过既然张祁潭要签，她也不好意思再说什么。“看在你后续工作干的不错的份上，我也签吧……”“非常感谢。” 韩哲轩心满意足的收起本子。“哦对了，你刚才说的福利……我还真是不太懂。”慕容凌娢笑容变猥琐了。“别想多。晴穿会 鱼龙混杂，干什么的都有。大多数成员在晴穿会帮助下达到自己目的后，会反馈一些东西给晴穿会以表自己的忠诚，而晴穿会 则把这些东西收集起来，作为奖励让业绩好的成员自己挑选……这样一说倒有点像绩效工资了。”韩哲轩吐槽。“你有什么想 要的东西？”慕容凌娢很奇怪，韩哲轩穿越后背景这么好，什么东西弄不到？居然要死皮赖脸靠业绩来换……“你 猜。”“嗯……”慕容凌娢装模作样的沉思片刻，“一定是很稀有的东西。祁潭，你怎么看？”“废话。拿近点看啊。”张祁 渊熟练的翻了一个白眼，只是不知道，这个白眼是送给慕容凌娢还是送给韩哲轩的。也许，是同时给她们两个的。“话说签简 体字还是繁体字？草书还是楷书？”（古风一言）柔情绕指尖，谁的琴弦，在谁的袅娜中化作悲言，指尖弦断。第116章 超自 然协会“你有想要的东西？”慕容凌娢很奇怪，韩哲轩穿越后背景这么好，什么东西弄不到？居然要死皮赖脸靠业绩来 换……“你猜。”“嗯……”慕容凌娢装模作样的沉思片刻，“一定是很稀有的东西。祁潭，你怎么看？”“废话。拿近点看 啊。”张祁渊熟练的翻了一个白眼，只是不知道，这个白眼是送给慕容凌娢还是送给韩哲轩的。也许，是同时给她们两个的。 “话说签简体字还是繁体字？草书还是楷书？”“繁体字吧。”韩哲轩把毛笔递了上去，“毕竟穿越过来之前所在时空不同， 还是统一用这个时代的繁体字比较整齐。”“呵，原来夏桦有这样的强迫症……”慕容凌娢也在本子上签下了龙飞凤舞一笔写 成的四个字。“多谢，我先走了。”韩哲轩跳到了窗台上，“明天这屋子就又归我了，你有什么东西赶快拿走。” “知道知 道，慢走不送。”慕容凌娢敷衍的挥挥手。“我也走了，拜
例题讲解
注意： (1)可以根据函数的图象写出函数的单调
区间； (2)写单调区间时，注意区间的端点； (3)将y＝f(x)的图象上下平移时，单调区
间不发生改变； (4)单调区间不能随便求并集．
例题讲解
例2
求证：函数 f(x)＝－
1 x
－1在区间(－∞，0)
上是单调增函数．
证明：任取x1＜x2＜0，则
f(x2)－f(x1)＝＝(－1 －x12
－1)－(－ 1 ＝ x2－x1
1 －1)
x1
．
x1 x2
x1x2
因为x1＜x2＜0，所以x1x2＞0，x2－x1＞0，所
以
x2－x1 x1x2
＞0，即f(x2)－f(x1)＞0，
3.下列函数在区间(0,2)上是递增函数的是（ ）
1
A.y=
B.y=2x-1
x
C.y=1-2x
D.y=(2x-1)2
4.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[2,+∞)时是增函数， x∈(-∞，2]时是减函数，则f(1)的值（ ）
A.1
B.y=-1
C.y=3
D.-3
5.已知函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,1]上是减 函数,则a 的范围是（ ）
2.1.3 函数的简单性质
； https:/// 好系统重装助手 重装助手
ysh04zvb
在你们眼里就是这样的人？”韩哲轩满头黑线但还是坚持很勉强的笑，他把匕首从自己那边推到了桌子的另一边，“这是你 的。”“诶？”张祁潭警惕的看看韩哲轩，又看看桌子上的匕首，小心翼翼的将它拿了起来。“确实……是我的。当时找玉玺 时丢在了郭扬家……”“你想怎样！”韩哲轩归还了匕首，慕容凌娢感觉心里有底，气势就又回来了。“要不是我冒着生命危 险把匕首给找回来，以郭扬的能力，天亮之前就能找出这柄匕首的出处。”韩哲轩看向张祁潭，眼神中竟闪着凄冷的寒光， “你觉得他会饶过谁？”“哎~苍天饶过谁！”张祁潭颤抖着收起匕首，沉寂片刻，说道，“我签。”“这就签？”慕容凌娢 一脸懵逼，不过既然张祁潭要签，她也不好意思再说什么。“看在你后续工作干的不错的份上，我也签吧……”“非常感谢。” 韩哲轩心满意足的收起本子。“哦对了，你刚才说的福利……我还真是不太懂。”慕容凌娢笑容变猥琐了。“别想多。晴穿会 鱼龙混杂，干什么的都有。大多数成员在晴穿会帮助下达到自己目的后，会反馈一些东西给晴穿会以表自己的忠诚，而晴穿会 则把这些东西收集起来，作为奖励让业绩好的成员自己挑选……这样一说倒有点像绩效工资了。”韩哲轩吐槽。“你有什么想 要的东西？”慕容凌娢很奇怪，韩哲轩穿越后背景这么好，什么东西弄不到？居然要死皮赖脸靠业绩来换……“你 猜。”“嗯……”慕容凌娢装模作样的沉思片刻，“一定是很稀有的东西。祁潭，你怎么看？”“废话。拿近点看啊。”张祁 渊熟练的翻了一个白眼，只是不知道，这个白眼是送给慕容凌娢还是送给韩哲轩的。也许，是同时给她们两个的。“话说签简 体字还是繁体字？草书还是楷书？”（古风一言）柔情绕指尖，谁的琴弦，在谁的袅娜中化作悲言，指尖弦断。第116章 超自 然协会“你有想要的东西？”慕容凌娢很奇怪，韩哲轩穿越后背景这么好，什么东西弄不到？居然要死皮赖脸靠业绩来 换……“你猜。”“嗯……”慕容凌娢装模作样的沉思片刻，“一定是很稀有的东西。祁潭，你怎么看？”“废话。拿近点看 啊。”张祁渊熟练的翻了一个白眼，只是不知道，这个白眼是送给慕容凌娢还是送给韩哲轩的。也许，是同时给她们两个的。 “话说签简体字还是繁体字？草书还是楷书？”“繁体字吧。”韩哲轩把毛笔递了上去，“毕竟穿越过来之前所在时空不同， 还是统一用这个时代的繁体字比较整齐。”“呵，原来夏桦有这样的强迫症……”慕容凌娢也在本子上签下了龙飞凤舞一笔写 成的四个字。“多谢，我先走了。”韩哲轩跳到了窗台上，“明天这屋子就又归我了，你有什么东西赶快拿走。” “知道知 道，慢走不送。”慕容凌娢敷衍的挥挥手。“我也走了，拜
《函数的单调性》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．
答案：图象略．
（1）（－∞，0）∪（0，＋∞）．
（2）当k＞0时，y＝ k 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减； x
当k＜0时，y＝ k 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递增． x
目标检测
44．画出反比例函数y＝
k x
的图象．
（1）这个函数的定义域I是什么？
新知探究
追问5 函数f（x）＝|x|，f（x）＝－x2各有怎样的单调性？
f（x）＝|x|在区间（－∞，0]上单调递减， 在区间[0，＋∞）上单调递增； f（x）＝－x2在区间（－∞，0]上单调递增， 在区间[0，＋∞）上是单调递减．
新知探究
问题4 如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而增大 （减小）呢？
证明：由x1，x2∈（1，＋∞），得x1＞1，x2＞1，
所以x1x2＞1，x1x2－1＞0．
由x1＜x2，得x1－x2＜0，
于是（x1－x2）（
x1x2 1 x1 x2
）＜0，即y1＜y2．
所以，函数y＝x＋ 1 在区间（1，＋∞）上的单调递增． x
新知探究
追问 你能用单调性定义探究y＝x＋ 1 在整个定义域内的单调性吗？ x
图1
图2
图3
图1的特点是：从左至右始终保持上升；
图2与图3的特点是：从左至右有升也有降．
新知探究
★资源名称： 【数学探究】函数值的变化情况 ★使用说明：本资源通过操作展示动画，使学生观察函数值随着自变量值的变化而变化的情 况．通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教 学效率． 注：此图片为动画缩略图，如需使用资源，请于资源库调用
必修一函数的单调性精品PPT课件
x2 x
从左至右，图象下降
y随x的增大而减小
在区间I内
y
y=f(x)
f(x2)
图 象 f(x1)
·
在区间I内
y
· f(x1)
y=f(x)
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
0
x1
x2 x
图象 特征
从左至右，图象上升
数量 y随x的增大而增大 特征 当x1＜x2时， f(x1) < f(x2)
从左至右，图象下降
y=x
f(x1)
1·
O 1· x1 x
此函数在区间（-∞, +∞ ）内y随x的增大而增
大，在区间
y随x的增大而减小；
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
1·
O 1· x
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
1·
y = x2
x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
f(x1) 1·
x1 O 1· x
此函数在区间 大，在区间
内y随x的增大而增 内y随x的增大而减小。
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y
y = x2
说明气温在哪些时间段内是逐渐升高的或下降的？
引例2：画出下列函数的图象
（1）y = x
引例2：画出下列函数的图象
y （1）y = x
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利用定义证明函数单调性的步骤
[注意] 作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果多 为几个因式乘积的形式．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
1．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( )
①y＝|x|＋1；②y＝|xx|；③y＝－|xx2|；④y＝x＋|xx|.
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
栏目 导引
2．函数的单调性与单调区间
第三章 函数的概念与性质
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说
函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y＝ f(x)的_单__调__区__间__．
■名师点拨
单调性的两个特性
(1)“整体”性：单调函数在同一个单调区间上具有的性质是相 同的．
(2)“局部”性：指的是一个函数在定义域的不同区间内可以有 不同的单调性．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( × ) (2)若函数 y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数 y＝f(x)的单 调递减区间是[1，3]．( × ) (3)若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3)．( √ ) (4)若函数 y＝f(x)在定义域上有 f(1)<f(2)，则函数 y＝f(x)是增函 数．( × ) (5)若函数 f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则 f(x)在 (－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．( × )
第三章 函数的概念与性质
■名师点拨 (1)增减函数定义中 x1，x2 的三个特征 ①任意性：定义中符号“∀”不能去掉，应用时不能以特殊代 替一般； ②有大小：一般令 x1<x2； ③同区间：x1 和 x2 属于同一个单调区间． (2)增减函数与自变量、函数值的互推关系 ①x1<x2，f(x1)<f(x2)，符号一致⇔增函数； ②x1<x2，f(x1)>f(x2)，符号相反⇔减函数．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
(2)如果∀x1，x2∈D，当 x1＜x2 时，都有__f_(x_1_)_＞__f(_x_2_) ___，那么 就称函数 f(x)在区间 D 上单调递减(如图②) 特别地，当函数 f(x)在它的定义域上_单__调__递__减__时，我们就称它 是减函数．
栏目 导引
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
函数 y＝f(x)在区间[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的 增区间是( )
A．[－2，0]
B．[0，1]
C．[－2，1]
D．[－1，1]
解析：选 C.观察图象可知此函数的增区间是[－2，1]．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
＝（x1－x2）x1（x2x1x2－4）. 因为 0＜x1＜x2＜2， 所以 x1－x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)． 所以函数 f(x)＝x＋4x在(0，2)上单调递减．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
3.2 函数的基性质
3.2.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性
第三章 函数的概念与性质
考点
学习目标
函数单调性 的判定与证明
了解函数单调性的概念，会 用定义判断或证明函数的
单调性
求函数的 会借助图象和定义求函数
单调区间
的单调区间
函数单调 会根据函数的单调性求参
性的应用
数或解参数不等式
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
解析：选 C.①y＝|x|＋1＝－x＋1(x＜0)在(－∞，0)上为减函数； ②y＝|xx|＝－1(x＜0)在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函 数；③y＝－|xx2|＝x(x＜0)在(－∞，0)上是增函数；④y＝x＋|xx|＝ x－1(x＜0)在(－∞，0)上也是增函数．
核心素养
逻辑推理
数学运算， 直观想象 数学运算， 直观想象
第三章 函数的概念与性质
问题导学 预习教材 P76－P79，并思考以下问题： 1．增函数、减函数的概念是什么？ 2．函数的单调性和单调区间有什么关系？
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当 x1＜x2 时，都有__f_(x_1_)_＜__f(_x_2_) __，那么 就称函数 f(x)在区间 D 上单调递增(如图①)． 特别地，当函数 f(x)在它的定义域上_单__调__递__增__时，我们就称它 是增函数．
＝（x1－x2）x1（x2x1x2－4）. 因为 2＜x1＜x2，所以 x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0， 所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， 所以函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
(变问法)若本例的函数不变，试判断 f(x)在(0，2)上的单调性． 解：函数 f(x)＝x＋4x在(0，2)上单调递减． 证明：∀x1，x2∈(0，2)，且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42 ＝(x1－x2)＋4（xx21－x2x1）
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
函数单调性的判定与证明 证明函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数． 【证明】 ∀x1，x2∈(2，＋∞)，且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42 ＝(x1－x2)＋4（xx21－x2x1）
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
A．y＝－1x
B．y＝x
C．y＝x2
D．y＝1－x
答案：D
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
若 y＝(2k－1)x＋b 是 R 上的减函数，则有( )
A．k>12
B．k>－12
C．k<12 答案：C
D．k<－12
函数 f(x)＝x2＋2x＋1 的单调递减区间是__________．
答案：(－∞，－1]
[注意] 作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果多 为几个因式乘积的形式．
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第三章 函数的概念与性质
1．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( )
①y＝|x|＋1；②y＝|xx|；③y＝－|xx2|；④y＝x＋|xx|.
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
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2．函数的单调性与单调区间
第三章 函数的概念与性质
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说
函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y＝ f(x)的_单__调__区__间__．
■名师点拨
单调性的两个特性
(1)“整体”性：单调函数在同一个单调区间上具有的性质是相 同的．
(2)“局部”性：指的是一个函数在定义域的不同区间内可以有 不同的单调性．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( × ) (2)若函数 y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数 y＝f(x)的单 调递减区间是[1，3]．( × ) (3)若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3)．( √ ) (4)若函数 y＝f(x)在定义域上有 f(1)<f(2)，则函数 y＝f(x)是增函 数．( × ) (5)若函数 f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则 f(x)在 (－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．( × )
第三章 函数的概念与性质
■名师点拨 (1)增减函数定义中 x1，x2 的三个特征 ①任意性：定义中符号“∀”不能去掉，应用时不能以特殊代 替一般； ②有大小：一般令 x1<x2； ③同区间：x1 和 x2 属于同一个单调区间． (2)增减函数与自变量、函数值的互推关系 ①x1<x2，f(x1)<f(x2)，符号一致⇔增函数； ②x1<x2，f(x1)>f(x2)，符号相反⇔减函数．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
(2)如果∀x1，x2∈D，当 x1＜x2 时，都有__f_(x_1_)_＞__f(_x_2_) ___，那么 就称函数 f(x)在区间 D 上单调递减(如图②) 特别地，当函数 f(x)在它的定义域上_单__调__递__减__时，我们就称它 是减函数．
栏目 导引
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第三章 函数的概念与性质
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
函数 y＝f(x)在区间[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的 增区间是( )
A．[－2，0]
B．[0，1]
C．[－2，1]
D．[－1，1]
解析：选 C.观察图象可知此函数的增区间是[－2，1]．
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第三章 函数的概念与性质
下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
＝（x1－x2）x1（x2x1x2－4）. 因为 0＜x1＜x2＜2， 所以 x1－x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)． 所以函数 f(x)＝x＋4x在(0，2)上单调递减．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
3.2 函数的基性质
3.2.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性
第三章 函数的概念与性质
考点
学习目标
函数单调性 的判定与证明
了解函数单调性的概念，会 用定义判断或证明函数的
单调性
求函数的 会借助图象和定义求函数
单调区间
的单调区间
函数单调 会根据函数的单调性求参
性的应用
数或解参数不等式
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第三章 函数的概念与性质
解析：选 C.①y＝|x|＋1＝－x＋1(x＜0)在(－∞，0)上为减函数； ②y＝|xx|＝－1(x＜0)在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函 数；③y＝－|xx2|＝x(x＜0)在(－∞，0)上是增函数；④y＝x＋|xx|＝ x－1(x＜0)在(－∞，0)上也是增函数．
核心素养
逻辑推理
数学运算， 直观想象 数学运算， 直观想象
第三章 函数的概念与性质
问题导学 预习教材 P76－P79，并思考以下问题： 1．增函数、减函数的概念是什么？ 2．函数的单调性和单调区间有什么关系？
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当 x1＜x2 时，都有__f_(x_1_)_＜__f(_x_2_) __，那么 就称函数 f(x)在区间 D 上单调递增(如图①)． 特别地，当函数 f(x)在它的定义域上_单__调__递__增__时，我们就称它 是增函数．
＝（x1－x2）x1（x2x1x2－4）. 因为 2＜x1＜x2，所以 x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0， 所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， 所以函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
(变问法)若本例的函数不变，试判断 f(x)在(0，2)上的单调性． 解：函数 f(x)＝x＋4x在(0，2)上单调递减． 证明：∀x1，x2∈(0，2)，且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42 ＝(x1－x2)＋4（xx21－x2x1）
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
函数单调性的判定与证明 证明函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数． 【证明】 ∀x1，x2∈(2，＋∞)，且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42 ＝(x1－x2)＋4（xx21－x2x1）
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
A．y＝－1x
B．y＝x
C．y＝x2
D．y＝1－x
答案：D
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
若 y＝(2k－1)x＋b 是 R 上的减函数，则有( )
A．k>12
B．k>－12
C．k<12 答案：C
D．k<－12
函数 f(x)＝x2＋2x＋1 的单调递减区间是__________．
答案：(－∞，－1]