同济大学航空航天与力学学院弹性力学讲义塑性(3)R2
弹塑性力学课件-塑性基本概念
ij yxx
xy y
xz yz
11 21
12 22
13
23
zx zy z 31 32 33
（4-1）
由于剪应力的互等性， yx xy zx xz zy yz
3.1应力—应变曲线的理想化模型
（1）理想弹性（perfectly elastic） （2）理想刚塑性（rigid-perfectly elastic） （3）刚—线性强化（rigid-linear strain-hardening） （4）理想弹塑性（elastic-perfectly plastic） （5）弹—线性强化（elastic-linear strain-hardening）
1.3静水压力实验
所谓静水压力就如同均匀流体从四面八方将压力作用于物体。 （1）体积变化 体积应变与压力的关系 (Bridgeman实验公式)
体积压缩模量 派生模量
铜：当p＝1000MPa时，ap＝ 7.31×10-4，而bp2＝2.7×10-6。 说明第二项远小于第一项，可以 略去不计。
Bridgeman的实验结果表明， 静水压力与材料的体积改变之 间近似地服从线性弹性规律。 若卸除压力，体积的变化可以 恢复，因而可以认为各向均压 时体积变化是弹性的，或者说 塑性变形不引起体积变化。试 验还表明，这种弹性的体积变 化是很小的，因此，对于金属 材料，当发生较大塑性变形时， 可以忽略弹性的体积变化，即 认为在塑性变形阶段材料是不 可压缩的。
s
n1
一般加载规律
( ) E[1 ( )]
A
其中
( )
弹塑性力学部分讲义
弹塑性力学引言一、固体力学在工程中的作用工程中的各种机械都是用固体材料制造而成的、各种结构物也都是用固体材料建造的。
为了使机械结构正常使用、实现其设计的功能，首先要保证它们在工作载荷与环境作用下不发生材料的破坏或影响使用的过大的变形，即保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。
在设计阶段，要根据要求实现的功能，对于设计的机械结构的形式按强度要求确定其各部分的形状和尺寸，以及所需选择的材料。
要完成这样的任务，首先要解决如下基本问题：在给定形状尺寸与材料的机械结构在设计规定载荷与环境（如温度）作用下所产生的变形与应力。
对于柔性结构，如细长梁、薄板、薄壳，以及它们的组合结构，还要分析其是否会丧失稳定性。
这些都是固体力学的基本问题。
如果机械结构所受载荷或环境的作用是随时间变化的，那么，它们的振动特性也对其性能有重要的影响。
在设计时往往要对其进行模态分析，求出影响最大的各个低阶固有频率与相应的振型，以确保不会与主要的激振载荷产生共振，导致过大的交变应力与变形，影响强度和舒适性。
有些情况下还要考虑它们在瞬态或冲击载荷作用下的瞬态响应。
这些也是固体力学的基本问题。
此外、许多机械零件和结构元件在制造工程中，采用各种成型工艺，材料要产生很大的塑性变形。
如何保证加工质量，提高形状准确性、减少残余应力、避免产生裂纹、皱曲等缺陷？如何设计加工用的各种模具，加工的压力，以及整个工艺流程，这里也都有固体力学问题。
正因为工程中提出了各种各样的固体力学问题，有时还有流体力学问题，在19世纪产生了弹性力学和流体力学，才导致力学逐渐从物理学中独立出来。
工程技术发展的要求是工程力学，包括固体力学、流体力学等发展的最重要的推动力。
而工程力学的发展则大大推动了许多工程技术的飞速发展。
因此，力学是许多工程部门设计研究人员的基本素质之一。
二、力学发展概况力学曾经是物理学的一个部分，最初也是物理学中最重要的组成部分。
力学知识最早起源于人们对自然现象的观察和在生产劳动中积累的经验。
同济大学弹塑性力学试卷及习题解答.
弹塑性力学试卷及习题解答弹塑性力学试卷配套教材《弹性与塑性力学》陈惠发1．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。
）（每小题 2 分）（1）物体内某点应变为0 值，则该点的位移也必为0 值。
（2）可用矩阵描述的物理量，均可采用张量形式表述。
3）因张量的分量是随坐标系的变化而变化，故张量本身也应随坐标系变化。
（）4）弹性的应力和应变张量两者的主方向是一致性，与材料无关的。
（）5）对于常体力平面问题，若应力函数x,y 满足双调和方程 2 20，那么，由x,y 确定的应力分量必然满足平衡微分方程。
（）（6）若某材料在弹性阶段呈各向同性，故其弹塑性状态势必也呈各向同性。
（）（7）Drucker 假设适合于任何性质的材料。
（）（8）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。
（）（9）对于任何材料，塑性应变增量均沿着当前加载面的法线方向。
（）（10）塑性应变增量的主方向与应力增量的主方向不重合。
P107；226 （）2．填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。
）（每小题 2 分）（1）设x,y a1x a2x y a3y ，当a1,a2,a3满足_________________________________ 关系时x,y 能作为应力函数。
（2）弹塑性力学是研究固体受外界因素作用而产生的______________________ 的一门学科。
（3）导致后继屈曲面出现平移及扩大的主要原因是材料_______________________ 。
（4）π 平面上的一点对应于应力的失量的 _____________________ 。
P65（5）随动强化后继屈服面的主要特征为：__________________________________________ 。
（6）主应力轴和主应变轴总是重合的材料为_______________________ 。
同济大学弹性力学讲义
同济大学结构工程与防灾研究所
（李遇春编）
§1-2 弹性力学的基本假设 （1）连续性假设 假定所研究的固体材料是连续无间隙（无空洞）的介质，从微观上讲，固体材料中的原子与原子之
间是有空隙的，固体在微观上是间断的（或不连续的）；而从宏观上看，即使是很小一块固体，里面也 挤满了成千上万的原子，宏观上的固体看起来是密实而连续的，弹性力学正是从宏观上研究固体的弹性 变形及应力状态。根据这一假设，可以认为物体中的位移、应力与应变等物理量都是连续的，可以表示 为空间（位置）坐标的连续函数。
同济大学结构工程与防灾研究所
（李遇春编）
第一篇 弹性力学
第一章 弹性力学绪论
§1-1 弹性力学的研究对象与任务 弹性力学是固体力学的一个分支学科，是研究固体材料在外部作用下（外部作用一般包括：荷载、
温度变化以及固体边界约束改变），弹性变形及应力状态的一门学科。 土木工程中的结构物设计是与力学是息息相关、紧密联系的。我们已学过材料力学及结构力学，那
如图 1-8 所示的物体，在水平力作用下，物体产生如虚线所示的变形，最大弹性变形 δ 与物体（最
小）尺寸相比很小，可忽略不计，物体与物体（最小）尺寸相比很小
（4）完全弹性假设 假设固体材料是完全弹性的，首先材料具有弹性性质，服从 Hooke（虎克）定律，应力与应变呈线 性关系，同时物体在外部作用下产生变形，外部作用去除后，物体完全恢复其原来的形状而没有任何残 余变形，即完全的弹性。 （5）无初始应力假设 假定外部作用（荷载、温度等）之前，物体处于无应力状态，由弹性力学所求得的应力仅仅是由外 部作用（荷载、温度等）所引起的。若物体中已有初始应力存在，则由弹性力学所求得的应力加上初 始应力才是物体中的实际应力。
弹性力学大大扩展了解决土木结构问题的范围。理论上，弹性力学包容材料力学及结构力学，可以 说弹性力学是土木工程中最基本的力学工具。
弹性力学_同济大学
变形前p x, y,变形后 pxu,yv.
思考题
1. 试画出正负 y 面上正的应力和正的面力 的方向。
2. 在d x d y 1的六面体上，试问x面和y面 上切应力的合力是否相等？
第一章 绪 论
研究方法
§1－3 弹性力学中基本假定
弹性力学的研究方法，在体积V 内： 由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；
正应变 x , y，以伸长为正。
切应变 xy, 以直角减小为正,用弧度表示。
第二节 弹性力学中的几个基本概念
正的正应力对应于正的线应变, 正的切应力对应于正的切应变。
oz
x
P
yx α
B y
α
A
xy
C
第二节 弹性力学中的几个基本概念
位移
位移 -- 一点位置的移动，用 u, v表示,
第一节 弹性力学的内容 第二节 弹性力学中的几个基本概念 第三节 弹性力学中的基本假定
第一章 绪 论
定义
§1-1 弹性力学的内容
弹性力学 --研究弹性体由于受外力、边 界约束或温度改变等原因而发生的应力、形 变和位移。
研究弹性体的力学，有材料力学、结构 力学、弹性力学。它们的研究对象分别如下：
第一节 弹性力学的内容
（表示） σ x-- x 面上沿 x向正应力， xy-- x 面上沿 y向切应力。
（符号）应力成对出现，坐标面上的应 力以正面正向，负面负向为正。
第二节 弹性力学中的几个基本概念
例：正的应力
O(z)
y
x
yx
xy
x
x
xy
yx
y
y
第二节 弹性力学中的几个基本概念
弹塑性力学讲义 第一章绪论
3
每个分量用一个标量（具有两个下标）与两个并在一起基矢量（并矢） ，称为二阶 张量。矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。 5.2 求和约定 在张量表示说明中，看到张量分量表示是一组符号之和，很长，特别是高阶张量， 为了书写简捷，采用求和约定。 求和约定：当在同一项中，有一个下标字母出现两次时，则表示该项在该指标的取 值范围内遍历求和，且称此种在同一项重复出现一次的下标为哑标。如：
e1 e2 a2 b2 e3
a b ai ei b j e j ai b j eijk ek ai b j ekij ek ， 则
c c k eijk ai b j ekij ai b j ， a b a1 b1
ij
自动消失。ij 也称为换标符号。
eijk ( i,j,k =1,2,3)
定义： eijk
共有 27 个元素。
1 若(i , j , k ) (1,2,3)或 ( 2,3,1)或 (3,1,2)时 正排列顺序 －1 若(i , j , k ) ( 2,1,3)或（1， 3， 2）或（3， 2， 1）时 逆排列顺序 0 若 i , j , k中任意两指标相同时
(i=1,2,3)，用 ri 表示矢径；
同样位移矢量 u，用 ui 表示位移，ij 表示应力
张量。
xi aij y j
i
x1 a11 y1 a12 y2 a13 y3 x2 a21 y1 a22 y2 a23 y3 x a y a y a y 31 1 32 2 33 3 3
矢量场的拉普拉斯算子定义为矢量场的梯度的散度：是一个向量
同济大学航空航天与力学学院弹性力学讲义塑性(3)R1
x yx zx m 0 0
xy y zy 0 m 0
xz
yz
z
0
0 m
x m
xy
xz
yx y m
yz
zx
zy
z
m
记
2
m 0 0 0 m 0 m ij 0 0 m
可得：
ij mij sij
sx yx zx
s1s2s3
5
4.8 八面体应力、应力强度（第三章的补充）
lmn 1 3
fvx xl yxm zxn 1l fvy xyl ym zyn 2m fvz xzl yzm zn 3n
fv
f2 vx
f
2 vy
f2 vz
l2 2
1
2 2
m2
32n2
1 3
)
3
I3(sij) det(sij)
因为 (sx sy sz )2 0
s2x
s
2 y
s2z
-2(sxsy
sysz
szsx )
所以
(sxsy sysz szsx )
2 3
(s x s y
sysz
szsx
)
1 3
(s
xs
y
sysz
szsx
)
13[s2x
s
2 y
s
2 z
-
(s x s y
① E ；
② 变形可恢复，但不成线性比例关系； ③ 屈服； ④ 强化；软化；
⑤
卸载，再加载，后继屈服，
s
s
1
初始屈服条件 s；
后继屈服条件
s
。
s
与塑性变形的历史有关，
同济大学弹塑性力学Ch5Constitutive
E = E = E = Eklij ijkl jikl ijlk
How comes the number of
parameters are reduced from 81 to 36 then to 21?
2012/11/6
X. Zhuang
17
General Hooke’s law 广义虎克定律
∂W σ ij = ∂ε ij
If we can work out W ( ε ) , then we can find the relation between σ ij and ij .
Green function 格林公式
ε
2012/11/6
X.Zhuang
9
Strain energy 应变能
= σ= σz, σ x′ σ= x , σ y′ y , σ z′ τ xy , τ y′z′ = −τ yz , τ z′x′ = −τ zx τ x′y′ =
For example if such plane is x-y plane then we will get the mapping between stresses and strains as
General Hooke’s law 广义虎克定律
In the initial state, we assume the absence of strain(初始状态无应变), it requires bij = 0 and c = 0
σ ij = bij + Eijklε kl = Eijklε kl
A large variety of constitutive equations for different materials Materials are too COMPLICATED… Here we only look at LINEAR ELASTIC MATERIAL （我们只关注线弹性材料）
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第四章 应力与应变的关系（二）物体由于受力而变形，如果将力去掉以后能立即恢复到原来的形状，这个变形就叫做弹性变形。
如果将力去掉以后，不能恢复原形状，其中有一部份变形被保留下来，称为塑性变形，涉及塑性变形的力学，就叫塑性力学。
4.6 塑性的基础知识金属材料塑性破坏一般认为是晶体滑移或位错所致。
因此塑性变形与剪切变形有关。
（1）塑性变形不引起体积的变化；（2）拉伸与压缩的塑性特征性状几乎一致。
其他材料如混凝土、石材、土等与金属材料的微观现象有很大的区别。
① 其破坏主要归于微裂纹的发展；② 塑性性状包含体积的改变；③ 拉压特性存在很大的区别。
简单拉压时的塑性现象 ① εσE =；② 变形可恢复，但不成线性比例关系； ③ 屈服；④ 强化；软化；⑤ 卸载，再加载，后继屈服，s sσσ>'初始屈服条件 s σσ=； 后继屈服条件s σσ'=。
s σ' 与塑性变形的历史有关，)H(ps εσ='当 sσσ'<， 弹性阶段； s σσ'=， ⎩⎨⎧<>卸载加载0d 0d σσσσ⑥ Bauschinger 效应4.7 应力张量的分解（对第三章的补充）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m z yz xz zy m y xy zx yx mx m m m z yz xz zy y xy zx yx x 000000σστττσστττσσσσσστττστττσ记ij m m m m 000000δσσσσ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 可得：ij ij m ij s +=δσσ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=z yz xz zy y xy zx yx x ij s s s s ττττττm x x s σσ-=m y y s σσ-=m z z s σσ-=应力球张量只引起体积的变化，而没有形状的改变。
应力偏张量只引起形状变化，而没有体积改变。
0s s s )s (I z y x ij 1=++=)()s s s s s s ()s (I 2zx2yz 2xy x z z y y x ij 2τττ+++++-=)s (det )s (I ij ij 3=因为 0)s s (s 2z y x =++)s s s s s s (-2s s sx z z y y x 2z2y2x++=++所以)s s s s s (s 31)s s s s s (s 32)s s s s s (s x z z y y x x z z y y x x z z y y x ++-++-=++-)]s s s s s (s -s s [s 31x z z y y x 2z 2y 2x ++++= ])s -s ()s -(s )s [(s 612x z 2z y 2y x ++-=])-()-()[(612x z 2z y 2y x σσσσσσ++-=所以)](6)-()-()[(61)s (I 2zx 2yz 2xy 2x z 2z y 2y x ij 2τττσσσσσσ+++++-=)s (I ij 2也可以写成如下形式：ijij 2zx 2yz 2xy 2z 2y 2x 2zx2yz 2xy x z z y y x ij 2s s 21)](2)s s s [(21)()s s s s s s ()s (I =+++++=+++++-=ττττττ如果坐标轴为主轴，则有0s s s s )s (I 332211ii ij 1=++==])-()-()[(61)s (I 213232221ij 2σσσσσσ++-=321m 3m 2m 1ij 3s s s )-)(-()()s (I =-=σσσσσσ4.8 八面体应力、应力强度（第三章的补充）31n m l ===l n m l f 1zx yx x vx σττσ=++=m n m l f 2zy y xy vy στστ=++= n n m l f 3z yz xz vz σσττ=++=)(31n m l f f f f 2322212232222212vz 2vy 2vx v σσσσσσ++=++=++=m 321232221vz vy vx oct )(31nm l n f m f l f σσσσσσσσ=++=++=++=23212322212oct2v oct )(91)(31f σσσσσσστ++-++=-=)(231133221232221σσσσσσσσσ+--++=)(231133221232221σσσσσσσσσ+--++=213232221)-()-()(31σσσσσσ++-=])-()-()[(6132213232221σσσσσσ++-=)s (I 32ij 2=定义应力强度])-()-()[(21213232221i σσσσσσσ++-=)s (3I 23ij 2oct ==τ对于一维拉压问题σσ=1，032==σσσσ=i4.9 应变张量的分解（第四章的补充）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m z yz 21xz21zy 21m y xy 21zx 21yx 21m x m m m z yz 21xz 21zy 21yxy 21zx 21yx 21x000000εεγγγεεγγγεεεεεεγγγεγγγε记ij m m mm 000000δεεεε=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 可得：ij ij m ij e +=δεε偏应变张量ij e⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---m z yz 21xz21zy 21m y xy 21zx21yx 21m x εεγγγεεγγγεε主偏应变为 1e ，2e ，3e ，三个偏应变不变量为：0e e e J 3322111=++=' )e e e ()e e e e e e (J 2312232121133332222112+++++-='321ij 3e e e )e (det J =='其中2J '可表示为 ij ij 2e e 21J =')](6)-()-()[(612312232122x z 2z y 2y x εεεεεεεεε+++++-= )](23)-()-()[(612312232122x z 2z y 2y x γγγεεεεεε+++++-= ])-()-()[(61213232221εεεεεε++-= 定义应变强度2i J 32'=ε])-()-()[(92213232221εεεεεε++-=对于一维拉压问题εε=1，εεε21-32==（塑性变形时泊松比取0.5）εε=i4.10 应力空间A O A O A A A O OA '+''=''+''=直线 L （A O ''）上 321σσσ==，代表应力球张量。
垂直L ，通过坐标原点的平面称为π平面，0321=++σσσ注意到 0s s s 321=++可知A O '总是在π平面内的。
在π平面内投影()2322222=⎪⎭⎫⎝⎛-；32cos =β 即原来长度为1的变为32。
⎪⎭⎫ ⎝⎛σσ=⎪⎭⎫ ⎝⎛σ-σ111161-,2232213223⎪⎭⎫ ⎝⎛σ3202⎪⎭⎫⎝⎛σσ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛σ-σ-333361-,2232213223()()3131s s 2222x -=σ-σ=()()312312s -s 2s 61-261y -=σσ-σ=采用极坐标i ij 22232)s (2I y x r σσ==+=σσμσσσσσθ31--231x y tg 31312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==σμ为Lode 参数。
由 ()31s s 22x -= 可得σσθcos r 2x 2s s 31==-利用)s s (s 312+-=由 ()312s -s 2s 61y -=可得σσθsin r 32y 32s s 31-=-=+得到)32(sin r 32s 1πθσσ+=)32(sin r 32s 3πθσσ-=而σσθsin r 32)s s (s 312=+-=4.11 屈服条件(1)Tresca 屈服条件（图2-8（b ））k 21231max =-=σστ （k 即为屈服应力s σ） k 31=-σσ2k )(21x 31=-=σσ(2)Mises 屈服条件（图2-8（b ））圆的半径为32k 232kcos302k o==圆的方程为22232k y x ⎪⎭⎫⎝⎛=+因为()3122x σσ-=()312-261y σσσ-= 可得22132322212k)-()-()(=++-σσσσσσ因为213232221i )-()-()(21σσσσσσσ++-=所以 k i =σs 2I 3σ='(1)Tresca 条件与Mises 条件比较 取 s σ=k ， s σ为单向拉压时的屈服应力。
对于Tresca ：s 31σσσ=-，即1s31=-σσσ 对于Mises ：2s 2232y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛=+σ，即()2312s 31123123σμσσσ+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y x (σσμθ31x y tg ==)2s 3132σμσσσ+=-拉压时 12=σμ，1s31=-σσσ剪切时 02=σμ，15.132s 31==-σσσ (4)Lode 实验4.12 加、卸载准则初始屈服面 0)(=ij f σ 后继屈服面0),(=k f ij σk 为硬化参数。
(1) 理想弹塑性材料的加载和卸载准则0)(<ij f σ 弹性 0)(=ij f σ 且0)()(=∂∂=-+=ij ijij ij ij d f f d f df σσσσσ加载0)(=ij f σ 且0)()(<∂∂=-+=ij ijij ij ij d ff d f df σσσσσ卸载。
以ijf σ∂∂为分量的矢量就是函数f 的梯度，所以 0)(=ij f σ，0=⋅σd n 加载0)(=ij f σ，0<⋅σd n 卸载(2) 硬化材料的加载和卸载准则⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫<⋅<∂∂=000),(σσσσd n d f k f ij ijij 即 卸载⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⋅=∂∂=000),(σσσσd n d f k f ij ijij 即 中性变载⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫>⋅>∂∂=000),(σσσσd n d f k f ij ijij 即 加载4.13 硬化模型（1） 单一曲线假设 单向拉压曲线 )(εσΦ=假设应力强度与应变强度的关系与单向拉压曲线一致，所以)(i i εσΦ= （2） 等向硬化条件 Mises 初始屈服条件 s i k σσ== 后继屈服条件)(⎰=pi i d H εσ，其中s H σ=)0(ij ij 2e e 21J =')(213232J 322222222i zx yz xy z y x ijij e e e e e γγγε+++++=='=因为 ij ij m ij e +=δεε，即m x εε-=x e ，m y εε-=y e , m z z e ε-ε=由于塑性变形只涉及形状的改变而没有体积的变化，所以px ε=p xe ，p y ε=p ye ，p z ε=p ze塑性应变增量强度222)(21)(3232zx p x pijp ij pi d d d d d γεεεε++==一维拉伸时，)(⎰=pi i d H εσ变为)()(⎰==ppd H H εεσ我们感兴趣的是H '。