同济大学航空航天与力学学院弹性力学讲义塑性(3)R2
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第四章 应力与应变的关系（二）
物体由于受力而变形，如果将力去掉以后能立即恢复到原来的形状，这个变形就叫做弹性变形。如果将力去掉以后，不能恢复原形状，其中有一部份变形被保留下来，称为塑性变形，涉及塑性变形的力学，就叫塑性力学。
4.6 塑性的基础知识
金属材料塑性破坏一般认为是晶体滑移或位错所致。因此塑性变形与剪切变形有关。 （1）塑性变形不引起体积的变化；
（2）拉伸与压缩的塑性特征性状几乎一致。 其他材料如混凝土、石材、土等与金属材料的微观现象有很大的区别。① 其破坏主要归于微裂纹的发展；② 塑性性状包含体积的改变；③ 拉压特性存在很大的区别。 简单拉压时的塑性现象 ① εσE =；
② 变形可恢复，但不成线性比例关系； ③ 屈服；
④ 强化；软化；
⑤ 卸载，再加载，后继屈服，s s
σσ>'
初始屈服条件 s σσ=； 后继屈服条件
s σσ'=。
s σ' 与塑性变形的历史有关，)H(p
s εσ='
当 s
σσ'<， 弹性阶段； s σσ'=， ⎩⎨
⎧<>卸载
加载0
d 0d σσσσ
⑥ Bauschinger 效应
4.7 应力张量的分解（对第三章的补充）
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---+⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛m z yz xz zy m y xy zx yx m
x m m m z yz xz zy y xy zx yx x 000000
σστττσστττσσσσσστττστττσ
记
ij m m m m 000000
δσσσσ=⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝
⎛ 可得：
ij ij m ij s +=δσσ
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=z yz xz zy y xy zx yx x ij s s s s ττττττ
m x x s σσ-=
m y y s σσ-=
m z z s σσ-=
应力球张量只引起体积的变化，而没有形状的改变。应力偏张量只引起形状变化，而没有体积改变。
0s s s )s (I z y x ij 1=++=
)
()s s s s s s ()s (I 2zx
2yz 2xy x z z y y x ij 2τττ+++++-=
)s (det )s (I ij ij 3=
因为 0)s s (s 2
z y x =++
)s s s s s s (-2s s s
x z z y y x 2z
2y
2x
++=++
所以
)s s s s s (s 31
)s s s s s (s 32)
s s s s s (s x z z y y x x z z y y x x z z y y x ++-++-=++-)]s s s s s (s -s s [s 31x z z y y x 2
z 2y 2x ++++= ])s -s ()s -(s )s [(s 612x z 2z y 2y x ++-=
])-()-()[(6
12x z 2z y 2y x σσσσσσ++-=所以
)]
(6)-()-()[(61)
s (I 2
zx 2yz 2xy 2x z 2z y 2y x ij 2τττσσσσσσ+++++-=)s (I ij 2也可以写成如下形式：
ij
ij 2zx 2yz 2xy 2z 2y 2x 2zx
2yz 2xy x z z y y x ij 2s s 2
1)](2)s s s [(21)()s s s s s s ()s (I =+++++=+++++-=ττττττ如果坐标轴为主轴，则有
0s s s s )s (I 332211ii ij 1=++==
])-()-()[(6
1)
s (I 213232221ij 2σσσσσσ++-=3
21m 3m 2m 1ij 3s s s )
-)(-()()s (I =-=σσσσσσ
4.8 八面体应力、应力强度（第三章的补充）
3
1n m l ===
l n m l f 1zx yx x vx σττσ=++=
m n m l f 2zy y xy vy στστ=++= n n m l f 3z yz xz vz σσττ=++=
)(3
1n m l f f f f 2322212
23
2
22
2212vz 2vy 2vx v σσσσσσ++=++=++=m 3212
32221vz vy vx oct )(3
1
n
m l n f m f l f σσσσσσσσ=++=++=++=23212322212
oct
2v oct )(91)(31f σσσσσσστ++-++=-=)(23
1133221232221σσσσσσσσσ+--++=
)(23
1133221232221σσσσσσσσσ+--++=213232221)-()-()(3
1σσσσσσ++-=]
)-()-()[(6
132213232221σσσσσσ++-=)s (I 3
2ij 2=
定义应力强度
]
)-()-()[(212
13232221i σσσσσσσ++-=)s (3I 2
3ij 2oct ==τ
对于一维拉压问题
σσ=1，032==σσ
σσ=i
4.9 应变张量的分解（第四章的补充）