2019-2020年高三第二次高考模拟考试 数学(文) 含答案

2019-2020年高三第二次高考模拟考试数学（文）含答案

本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间l20分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷(选择题共60分)

一、选择题(本大题共l2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合M={1,2}，N={}，则MN

A．{1} B．{2} C．{0,1} D．{1,2}

2．i为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．向量a=(2，-9)，向量b=(-3，3)，则与a-b与同向的单位向量为

A．(，) B．(，) C．(，) D．(，)

4．设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是

A．若l m，m，则B．若，l ∥m，则m

C．若，m，则D．若，m，则

5．若P是的充分不必要条件，则p是q的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

6．设

1

3

11

32

1

,log2,log3

2

a b c

??

===

?

??

，则

A．a>b>c B．a>c>b

C．b>c>a D．c>a>b

7．阅读如图所示的程序框图，则输出的A的值是

A．15 B．21

C．28 D．36

8．已知双曲线(a>0，b>0的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线截得的弦长为a，则双曲线的离心率为

A．3 B．2 C．D．

9

．将函数2

1

()sin

22

x

f x x

=+的图象上所有点的纵坐标不变，横

坐标变为原来的，再将所得图象向右平移得到函数g(x)，则函数g(x)

的解析式

为

A ．

B ．

C ．

D ．

10．一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为 A ． B ． C ．4 D ．

11．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列．若sinB=，cosB=，则a+c=

A ．

B ．

C ．

D ．

12．已知，则满足不等式的实数t 的集合为

A ．[e -1，e]

B ．[e -2，e 2]

C ：[0，e 2]

D ．[e -2，e]

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分．第l3题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分) 13．若，则= ．

14．有一底面半径为l ，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心．在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 .

15．已知实数x ，y 满足不等式组1200x x y kx y ≤??

++≥??-≥?

，若目标函数仅在点(1，k)处取得最小值，则

实数k 的取值范围是 ．

16．已知点A(，)在抛物线C ：y 2=2p x (p>0)的准线上，点M 、N 在抛物线C 上，且位于x 轴的两侧，O 是坐标原点，若=3，则点A 到动直线MN 的最大距离为 ． 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分l2分)

已知数列{ a n }的前n 项和为S n ，且*

112,2,n n a a S n N +==+∈．．

(I)求数列{ a n }的通项公式；

(Ⅱ)设b n =，求数列{b n }的前n 项和． 18．(本小题满分12分)

微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司200名员工中90％的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余每天使用微信在一小时以上．若将员工年龄分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，使用微信的人中75％是青年人．若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，经常使用微信的员工中手是青年人．

(I)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表； 2×

(II)由列联表中所得数据，是否有99．9％的把握认为“经常使用微信与年龄有关”?

(Ⅲ)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取6人，从这6人中任选2人，求事件A “选出的2人均是青年人”的概率．

附：

2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++

19，(本小题满分12分)

如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面ABC 为等边三角形，AB=4，AA 1=5，点M 是BB 1中点．

(I)求证：平面A l MC 平面AA 1C 1C ； (Ⅱ)求点A 到平面A 1MC 的距离．

20．(本小题满分12分)

椭圆C ：(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1(-1，0)、F 2(1，0)，椭圆C 的上顶点与右顶点的距离为，过F 2的直线与椭圆C 交于A 、B 两点． (I)求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)点M 在直线戈x =2上，直线MA 、MB 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1+k 2=2，求证：点M 为定点．

21．(本小题满分12分) 函数，

(I)若函数，求函数的极值；

(II)若2

()()(2)x

f x

g x x x e +<--在x ∈(0，3)恒成立，求实数m 的取值范围．

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答。并用28

铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一

题评分。

22．(本小题满分10分)选修4一l：几何证明选讲

如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点A，CD

是ACB的平分线，交AE于点F，交AB于点D．

(I)求证：CEAB=AEAC；

(Ⅱ)若AD：DB=1：2，求证：CF=DF．

23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

已知点P的直角坐标是(x，y)．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是(，)，点Q的极坐标是(，+)，其中是常数．设点Q的平面直角坐标是(m，n)．

(I)用x，y，表示m，n；

(Ⅱ)若m，n满足mn=1，且=，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程．

24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知a，b，c>0，a+b+c=1．

求证：(I)；

(II)

1113 3131312 a b c

++≥+++

.

xx 高三第二次联合模拟考试

文科数学答案

一．选择题

二．填空题

13． 14． 15． 16． 三.解答题 17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）当时 ……2分 当时

111222n n n n n n a S a a a S ++-=+?

?=?=+?

， ……4分

数列满足（），且（）． ……6分 （Ⅱ）

1231122232(1)22n n n T n n -=?+?+?++-?+?

23412122232(1)22n n n T n n +=?+?+?+

+-?+? ……8分

两式相减，得

12311222222n n n n T n -+-=+++

++-?

12(1)2(*)n n T n n N +=+-?∈． ……12分

18．（本小题满分12分）

解:（Ⅰ）由已知可得，该公司员工中使用微信的共：人 经常使用微信的有人，其中青年人：人 所以可列下面列联表：

（Ⅱ）将列联表中数据代入公式可得：

()2

2180805554013.333

1206013545

K ??-?=≈???

……7分

由于,所以有的把握认为“经常使用微信与年龄有关”. ……8分

（Ⅲ）从“经常使用微信”的人中抽取6人中，青年人有人，中年人有2人 设4名青年人编号分别1,2,3,4，2名中年人编号分别为5,6， 则“从这6人中任选2人”的基本事件为： （1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6）共15

个 ……10分 其中事件A“选出的2人均是青年人”的基本事件为：（1,2）（1,3）（1,4）（2,3）（2,4）（3,4）共6

个 ……11分 故． ……12分

19. （本小题满分12分） （Ⅰ）证明：

记与的交点为.连结. 直三棱柱,点是中点,

2

8911=

===MC MC MA MA . 因为点是、的中点，

所以且， ……4分 从而平面.

因为平面，所以平面平面. ……6分 （Ⅱ）解：

过点Ａ作于点，

由（Ⅰ）知平面平面，平面平面， 而平面

即为点到平面的距离． ……9分 在中，，

即点到平面的距离为． ……12分 20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意知：

22222

2

22321211

a b a x y a b b ??+==????+=??-==???? ……4分 （Ⅱ）若直线斜率不存在，．不妨设，

则12212m k m -

==--

，22212

m k m +

==+-， ……6分 若直线斜率存在设为

设直线方程为：，1122(,),(,),(2,)A x y B x y M m

22222

2

(1)

(12)42(1)012

y k x k x k x k x y =-???+-+-=?+=?? 2212122242(1)

,1212k k x x x x k k -+==++， ……7分

121212(1)(1),,22

k x m k x m

k k x x ----=

=--

121212122(3)()4()

2()4

kx x k m x x k m x x x x -++++=

-++ ……8分

， 所

以 ……10分

所以定点 ……12分 21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ），定义域

()001;()01;()01F x x F x x F x x '''>?<<=?=

，没有极小值. ……4分

（Ⅱ）2()()(2)x

f x

g x x x e +<--在恒成立；

整理为：在恒成立； 设， 则， ……6分 时，，且，，； ……7分 时，， 设211

,0,x

x u e u e u x x

'=-

=+>∴在递增， 时，时，，

，使得，时，；时， 时，；时，

函数在递增，递减，递增 ……9分

0000000000

12

()(2)ln (2)212x h x x e x x x x x x x =-+-=-?

-=-- ，0000

2

()12121h x x x x =-

-<--<- ,

时，， ……11分 ,即． ……12分 22.(本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲 解：（Ⅰ）证明：由∽，

得,CE AE CE AB AE AC AC AB

=?=? ……5分 （Ⅱ）证明： 平分， 为圆的切线，

ACF CAE BCD CBD ∴∠+∠=∠+∠，即，所以

∽

， ……10分

23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）由题意知：和

即??

?+=-=,

sin cos cos sin ,

sin sin cos cos 0000θθρθθρθθρθθρn m

所以 ……5分

（Ⅱ）由题意知,22

,2

2

m x y n x y ?=-??

?

?=+??

所以(

)22222

x y x y -+=.

整理得. ……10分 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（1）证法一：

(

2

()()()()()

3

a b a b c a b c a b b c c a +=+++≤+++++++

+=

……5分

证法二：

由柯西不等式得

:

2

222222(111]3

≤++++=,

．

（2）证法一：

4(31)4,3143331a a a a ++≥=+∴≥-+

同理得44

33,333131b c

b c ≥-≥-++，

以上三式相加得，

111

4()93()6313131a b c a b c ++≥-++=+++，

1113

31

31312a

b c ∴

+

+≥+++．

……10分

证法二：

由柯西不等式得:

2111

[(31)(31)(31)]()313131

9

a b c a b c ++++++++++≥= 1113

3131312a b c ∴

++≥

+++．

2019-2020年高三第二次高考模拟考试 数学（理） 含答案

本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间l20分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷(选择题共60分)

一、选择题(本大题共l2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．设集合M={}，则集合M的真子集个数为

A．8 B．7 C．4 D．3

2．命题“若x>1，则x>0”的否命题是

A．若x≤l，则x≤0 B．若x≤l，则x>0

C．若x>1，则x≤0 D．若x<1，则x<0

3．复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1z2=-2i，则|z1|=

A．1 B．C．2 D．4

4．已知a，b，m，n是四条不同的直线，其中a，b是异面直线，则下列命题正确的个数为(D若ma，mb，na，ab，则m∥n；

②若m∥a，n∥b，则m，n是异面直线；

③若m与a，b都相交，n与a，b都相交，则m，n是异面直线．

A．0 B．1 C．2 D．3

5．已知向量与向量a=(1，-2)的夹角为，，点A的坐标为(3，-4)，则点B的坐标为

A．(1，0) B．(0，1) C．(5，-8) D．(-8，5)

6．函数

2

()sin sin()

3

f x x x

π

=+-图象的一条对称轴为

A．B．C．D．

7．阅读程序框图，若输出结果，则整数m的值为

A．7 B．8

C．9 D．10

8．设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，则=

A．B．C．D．

9．一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为

A．16 B．9

C．4D．

10．已知是定义在R上的奇函数，是偶函数，当∈(2，4)时，，

则(1)(2)(3)(4)f f f f +++=

A ．1

B ．0

C ．2

D ．-2

11．已知双曲线(a>0，b>0的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为直径的圆被直线截得的弦长为a ，则双曲线的离心率为

A ．3

B ．2

C ．

D ．

12．若函数在区间(0，)上是增函数，则实数a 的取值范围是

A ．(一∞，一l]

B ．[一1，+∞)

C ．(一∞，0)

D ．(0，+∞)

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分．第l3题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题一第24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．) 13．的展开式中含项的系数为 。 14．设某城市居民私家车平均每辆车每月汽油费用为随机变量(单位为：元)，经统计得～N(520，14400)，从该城市私家车中随机选取容量为l0000的样本，其中每月汽油费用在(400，640)之间的私家车估计有 辆．

(附：若～N(，)，则P()=0．6826，P()=0．9544，P()=0．9974)

15．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c 的值为 ．

16．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆O ：，点P(2，2)，M ，N 是圆O 上相异两点，且PMP N ，若，则的取值范围是 ．

三、解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)

已知数列{a n }前n 项和为S n ，满足S n =2a n -2n(n ∈N*)． (I)证明：{a n +2}是等比数列，并求{a n }的通项公式；

(Ⅱ)数列{b n }满足b n =log 2(a n +2)，T n 为数列{}的前n 项和，若对正整数a 都成立，求a 的取值范围．

18．(本小题满分12分)

微信是现代生活进行信息交流的重要工具，对某城市年龄在20岁至60岁的微信用户进行有关调查发现，有的用户平均每天使用微信时间不超过1小时，其他人都在1小时以上；若将这些微信用户按年龄分成青年人(20岁至40岁)和中年人(40岁至60岁)两个阶段，那么其中是青年人；若规定：平均每天使用微信时间在1小时以上为经常使用微信，经常使用微信的用户中有是青年人。

(I)现对该市微信用户进行“经常使用微信与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法选取容 量为l80的一个样本，假设该样本有关数据与调查结果完全相同，列出2×2列联表．

(Ⅱ)由列表中的数据，是否有99．9％的把握认为“经常使用微信与年龄有关”?

(III )从该城市微信用户中任取3人，其中经常使用微信的中年人人数为X ，求出X 的期望．

附：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++

19．(本小题满分12分)

如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面为正三角形，点M 在棱BB 1上，AB=4，AA 1=5，平面A 1MC 平面ACC 1A 1． (I)求证：M 是棱BB 1的中点；

(Ⅱ)求平面A 1MC 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．

20．(本小题满分12分)

设F 是抛物线C ：的焦点．P 是C 上一点，斜率为-l 的直线l 交C 于不同两点A ，B(l 不过P 点)，且PAB 重心的纵坐标为．

(I)记直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2．求k 1+k 2的值； (II)求的最大值．

21．(本小题满分12分) 已知函数，211

()(1)32

g x ax x a =

+--． (I)曲线在x =1处的切线与直线垂直，求实数a 的值；

(II)当时，求证：在(1，+∞)上单调递增；

(III)当x ≥1时，恒成立，求实数a 的取值范围．

请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时

请写清题号．

22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，已知点C 在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于点A ，CD 是ACB 的平分线，交AE 于点F ，交AB 于点D ． (I)求证：CEAB=AEAC ；

(Ⅱ)若AD ：DB=1：2，求证：CF=DF ．

23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

已知点P 的直角坐标是(x ，y )．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P 的极坐标是(，)，点Q 的极坐标是(，+)，其中是常数．设点Q 的平面直角坐标是(m ，n)． (I)用x ，y ，表示m ，n ；

(Ⅱ)若m ，n 满足mn=1，且=，求点P 的直角坐标(x ，y )满足的方程． 24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知a ，b ，c>0，a+b+c=1．

求证：(I)；

(II)

1113

3131312

a b c

++≥

+++

.

三校联考二模理科数学答案xx.4

一．选择题：BABBA DCDBB DA

二．填空题：

13. 16 14. 6826 15. 16. ]2262,2262[+- 三．解答题： 17.解：(Ⅰ) 由题设，

两式相减得， ……2分 即. 又，

所以是以4为首项，2为公比的等比数列 ……4分 .

1142222(2)

n n n a n -+=?-=-≥

……6分

又，所以

（Ⅱ）因为1

22log (2)log (2)1n n n b a n +=+==+，

11111

(1)(2)12

n n b b n n n n +==-++++ ……8分 所以111111111()()(

)2334

12222

n T n n n =-+-+

+-=-<+++， ……10分 依题意得： ……12分

18.解：（Ⅰ）由已知可得：下面列联表：

……4分

（Ⅱ）将列联表中数据代入公式可得：

828.10333.133

406012045135)5540580(18022

>≈=????-?=K

所以有﹪的把握认为经常使用微信与年龄有关. ……8分

（III ）从该市微信用户中任取一人，取到经常使用微信的中年人的概率为

依题意：～ 所以： ……12分

19.解：（1）取中点,连.

在平面上过作垂线交于. 平面平面.平面

如图：以为坐标原点，建立空间直角坐标系 由已知：

……3分 设为平面法向量 ()()0545,0,4,,=--=--?z x z y x

()()

0322,32,2,,=++=?=?mz y x m z y x CM n

取52,34,35-=-==m y z x

即：

又为平面法向量 依题意：

为棱的中点 ……8分 （2）由（1）知：为平面法向量 又为平面法向量 41

41

43

1632534,-=

?+?->=

当时，令，则

2

12122(2),x x b x x b +=+=，

1212()22(2)24

y y x x b b b +=-++=-++=-， (3)

分

因为.重心的纵坐标为．所以，所以，．

12122112121222(2)(1)(2)(1)

11(1)(1)y y y x y x k k x x x x ----+--+=

+=----，

1221(2)(1)(2)(1)

y x y x --+--

122112122[(2)](1)[(2)](1)2(1)()2(2)22(1)(2)2(2)

x b x x b x x x b x x b b b b b =-+--+-+--=-+-+--=-+-+--=

所以：． ……6分

（2）

1212121221111

11()1

x x FA FB x x x x x x +++=+=

+++++， ……8分

由得，又不过点，则． 令，则且．

则

2112(3)2(3)5

t FA FB t t +=

-+-+

2248

28()4

t t t t t =-+=

+-≤

=

当，即，时，的最大值为．……12分

21.解：(1)

依题意得：()1216341211-=???

??-?????

?-+=??? ??-

?'a f 解得： ……3分

（2）当时：

对成立

即：在上为增函数 又，故对成立

在上为增函数 ……6分

（2）

由得： ()03

2

2112131231

≥-+-+--?-a x a x ax e

x x 设()a x a x ax e x x 3

22112131231

-+-+--?- ……8分

()()1121

-+--+='∴-a x ax e

x x h x

()()[

]

1111

---+=-x a e x x

设

①当时：对成立

又 故 即：

又 故 ……10分 ②当时：由得 当时：

又 故： 即：

又 故这与已知不符

综上所述：实数的取值范围为 ……12分

22.解： （1）证明：由∽，得

,CE AE

CE AB AE AC AC AB

=?=? ……5分 （2） 证明： 平分， 为圆的切线，

ACF CAE BCD CBD ∴∠+∠=∠+∠，即，所以

∽

， ……10分

23.解：（Ⅰ）由题意知：和

即?

??+=-=,sin cos cos sin ,

sin sin cos cos 0000θθρθθρθθρθθρn m

所以 ……5分

（Ⅱ）由题意知,,m x y n y ?

=-??

?

?=+??

所以(

)22222

x y x y -+=. 整理得. ……10分

24.解：（1）证法一：

(

2

()()(

)()()

3

a b a

b c a b c

a b b c c

a +=

+++≤++++++++=

……5分

证法二：

由柯西不等式得:

2

222222(111]3

≤++++=,

．

（2）证法一：

4(31)4,3143331a a a a ++≥=+∴≥-+

同理得44

33,333131b c

b c ≥-≥-++，

以上三式相加得，

111

4()93()6313131a b c a b c ++≥-++=+++，

1113

3131312a b

c ∴

++≥+

++．

……10分

证法二：

由柯西不等式得:

2111

[(31)(31)(31)](

)313131

9

a b c a b c ++++++++++≥= 11133131312a b c ∴

++≥

+++．