现代控制理论-复习第四章

3、二次型标量函数v(x)的定号性判据
（1）v(x)正定的充要条件是：P阵的所有各阶主子行
列式均大于零，即
1 p11 0,
2
p11 p21
p12 0, p22
,
p11 n
pn1
p1n 0
pnn
（2）v(x)负定的充要条件是：P阵的各阶主子式满足
S( )
x1
x
若平衡状态xe是稳定的，即当t无限增大时，状态轨迹不超
过 ，s(且 最) 终收敛于xe，则称平衡状态xe渐近稳定。
3.大范围渐近稳定
x f (x,t)
在整个状态空间中，对所有初始状态x0出发的轨迹都 具有渐近稳定，则系统的平衡状态xe是大范围渐近稳定的 。
注： （1）由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都要收 敛于xe，因此系统只能有一个平衡状态，这也是大 范围渐近稳定的必要条件。
4.1 李雅普诺夫稳定性定义 4.2 李雅普诺夫第一法 4.3 李雅普诺夫第二法 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
稳定性是指系统在平衡状态受到扰动后，系统自 由运动的性质。
对于线性定常系统，通常只存在唯一一个平衡状 态，因此将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定性。
对于其它系统，平衡点不止一个，系统中不同的 平衡点有着不同的稳定性，只能讨论某一平衡状态的 稳定性。
二次型函数v(x)和它的二次型 矩阵 P是一一对应的。 设二次型函数v(x) = xTPx，P为实对称矩阵，则定义如
下：
当v(x)是正定的，称P是正定的，记为P > 0； 当v(x)是负定的，称P是负定的，记为P < 0； 当v(x)是正半定的，称P是正半定的，记为P 0； 当v(x)是负半定的，称P是负半定的，记为P 0。
总结：
球域S(δ)限制初始状态x0取值，球域S(ε)规定了系统状态轨迹 的边界。因此，
（1）如果x(t)有界，则xe稳定；
（2）如果x(t)有界且lim t
x xe
，则xe渐近稳定；
（3）如果x(t)无界，则xe不稳定；
（4）经典控制理论中，只有渐近稳定的系统才称为
稳定系统；只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是
输出稳定的充要条件是其传递函数 G(s)=c(sI-A)-1b
的极点全部位于s的左半平面。
例4-2：设系统的状态空间表达式为
1 0 1
x
0
1 x 1 u
y 1 0 x
解:
特征根 det(I A) ( 1)( 1)
状态不是渐近稳定.
系统传递函数 w(s) C(sI A)1 B (s 1)
令u Baidu Nhomakorabea 0，系统的状态方程为
x f ( x, t), x Rn
x(t0) = x0
若对所有的t，状态x满足 x 0 ，则称该状态x为平衡
状态，记为xe。
f(xe，t）= 0
由平衡状态xe在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
对于线性定常系统，其状态方程为
x Ax
系统的平衡状态应满足Axe = 0 当A为非奇异，则存在唯一一个平衡状态xe = 0。 当A为奇异，则有无穷多个平衡状态。
n
pij xi x j i, j 1
p11
xn
p21
pn1
p12 p22
pn2
p1n x1
p2
n
x2
pnn
xn
P称为二次型矩阵。
若P为实对称矩阵，则必存在正交矩阵T,使得：
v(x) xTPx xTT T PTx x T (T 1PT )x x T Px
1 0
x
T
0
2
0
0
0
0
x
n
i xi2
i1`
n
只包含变量的平方项，称为二次型函数标准形。
2、二次型标量函数v(x)的定号性
当x =0时，v(x)=0； 当x ≠0时，
如果v(x)>0 ，那么v(x)为正定； 如果v(x)≥0 ，那么v(x)为正半定； 如果v(x)<0 ，那么v(x)为负定； 如果v(x)≤0 ，那么v(x)为半负定；
2. 渐近稳定
x f ( x,t)
若对任意给定的实数 >0，总存在 (, t0)>0，使得
‖x0xe‖ ( , t0)的任意初始状态x0所对应的解x，在所有时
间内都满足
‖x xe‖ （t t0）
且对于任意小μ>0，总有
lim
t
x xe
则称平衡状态xe是渐近稳定的。
x2
S( )
xe x0
（2）对于线性定常系统，当A为非奇异的，系统只 有一个唯一的平衡状态xe = 0。所以若线性定常系 统是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。
（3）对于非线性系统，由于系统通常有多个平衡 点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近稳定 。
4. 不稳定
如果对于某个实数ε> 0和任一实数δ> 0，在球 域S(δ)内总存在一个初始状态x0，使得从这一初始 状态出发的轨迹最终将超出球域S(ε)，则称该平衡 状态是不稳定的。
渐近稳定的系统则称为临界稳定系统。
利用系统的特征值或微分方程及状态方程解的性 质来判断系统的稳定性。
它适用于线性定常系统、线性时变系统及非线性 系统可以线性化的情况。
一、线性定常系统的稳定判据
1. 线性定常系统 线性定常系统，平衡状态渐近稳定的充要条
件是A的特征值均具有负实部，即 Re(i) < 0（ i = 1，2，…，n）
(s 1)(s 1)
输出的渐近稳定 状态的渐近稳定
输出稳定
一、基本思想
如果一个系统被激励后，其存储的能量随时间增长 而连续地减小，一直到平衡状态时，系统的能量减少 到最小，则平衡状态是渐近稳定的。
1、二次型标量函数v(x) 标量函数的各项最高次数不超过2次
v( x) xT Px x1 x2
1
x x12 x22 xn2 ( xT x)2
向量（x xe）范数可写成：
x xe (x1 xe1 )2 (xn xen )2
表示矢量x与平衡状态xe的距离
1. 稳定
从任意初始状态x0出发所对应的解x，满足
x xe t0 t
则称平衡状态xe是稳定的。 若与t0无关，则称平衡状态xe是一致稳定的。
对于非线性系统，方程f(xe，t) = 0的解可能有多个，
即可能有多个平衡状态.
例4.1 x1 x1 x2 x1 x2 x23
x1 0
x1
x2
x23
0
因此该系统有三个平衡状态
0 xe1 0
0
xe2
1
0 xe3 1
在n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用 ‖x‖表示，则：