现代控制理论第四章
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现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析
2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化 所定义的内部稳定性。状态稳定。
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
现代控制理论习题解答(第四章)
第四章 控制系统的稳定性3-4-1 试确定下列二次型是否正定。
(1)3123212322212624)(x x x x x x x x x x v --+++= (2)232123222126410)(x x x x x x x x v ++---= (3)312321232221422410)(x x x x x x x x x x v --+++= 【解】： （1）04131341111,034111,01,131341111<-=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数不定。
(2)034101103031,0110331,01,4101103031<-=--->=--<-⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=P二次型函数为负定。
(3)017112141211003941110,010,1121412110>=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数正定。
3-4-2 试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。
312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=【解】：312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=x c b a x T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=1112121110212111,011,0111111>---->>c b a b aa 满足正定的条件为：⎪⎩⎪⎨⎧++>+>>1111111114410ca b c b a b a a3-4-3 试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。
;1001)4(;1111)3(;3211)2(;1110)1(x x x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=【解】： （1）设22215.05.0)(x x x v +=⎩⎨⎧≠≤==-=--=+=)0(0)0(0222221212211)(x x x x x x x x x x x x x v为半负定。
现代控制理论第二版 王孝武 第4章
则 xe 0 为一致稳定的。
如果
V ( x ) ，则 xe 0是大范围一致稳定的。 x ，
( x )≤0 因为 V ( x ) 0 ，则系 则系统可能存在闭合曲线（极限环），在上面恒有 V 统可能收敛到极限环，而不收敛到平衡点。因此 xe 0 是一致稳 定的。
第4 章
控制系统稳定性
对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的 研究，经典控制理论无能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普 诺夫（A. M. Lyapunov）的稳定性理论来分析和研究。
A. M. Lyapunov于1892年出版专著《运动系统稳定性的一般 问题》，使得Lyapunov稳定性理论已经成为控制理论的最重要的 几个柱石之一。
不稳定
4.2.4 不稳定 对于任意的实数 0 ，存在一个实数 0 ，不论 取的多么小，在满足不 x0 xe 等式
的所有初始状态中，至少存在一个初始状 态 x0 ，由此出发的轨线 x(t ) ，满足 x xe 称 xe 0 为Lyapunov意义下不稳定
（2）
在任意时刻，系统的总能量
1 2 1 2 E ( x1 , x2 ) x2 kx1 2 2 显然，当x 0时 E ( x ) 0 ， 而当 x 0 时 E (0) 0
而总能量随时间的变化率为 d E d x1 E d x2 2 1 x2 x 2 fx2 E ( x1 , x2 ) kx1 x dt x1 d t x2 d t
由定理4-4可知，xe 0 是不稳定的。
应该指出： Lyapunov第二法给出的结果是系统稳定性的充分
条件。到目前为止，人类还没有找到构造Lyapunov函数的一般
如果
V ( x ) ，则 xe 0是大范围一致稳定的。 x ，
( x )≤0 因为 V ( x ) 0 ，则系 则系统可能存在闭合曲线（极限环），在上面恒有 V 统可能收敛到极限环，而不收敛到平衡点。因此 xe 0 是一致稳 定的。
第4 章
控制系统稳定性
对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的 研究，经典控制理论无能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普 诺夫（A. M. Lyapunov）的稳定性理论来分析和研究。
A. M. Lyapunov于1892年出版专著《运动系统稳定性的一般 问题》，使得Lyapunov稳定性理论已经成为控制理论的最重要的 几个柱石之一。
不稳定
4.2.4 不稳定 对于任意的实数 0 ，存在一个实数 0 ，不论 取的多么小，在满足不 x0 xe 等式
的所有初始状态中，至少存在一个初始状 态 x0 ，由此出发的轨线 x(t ) ，满足 x xe 称 xe 0 为Lyapunov意义下不稳定
（2）
在任意时刻，系统的总能量
1 2 1 2 E ( x1 , x2 ) x2 kx1 2 2 显然，当x 0时 E ( x ) 0 ， 而当 x 0 时 E (0) 0
而总能量随时间的变化率为 d E d x1 E d x2 2 1 x2 x 2 fx2 E ( x1 , x2 ) kx1 x dt x1 d t x2 d t
由定理4-4可知，xe 0 是不稳定的。
应该指出： Lyapunov第二法给出的结果是系统稳定性的充分
条件。到目前为止，人类还没有找到构造Lyapunov函数的一般
现代控制理论第4章
4.2 李雅普诺夫第一法
4.2.1 线性系统的稳定判据 线性定常系统
（1） 平衡状态 实部。 以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义 渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负
上看，往往更重视系统的输出稳定性。
如果系统对于有界输入 所引起的输出 是有界的，则称系统为输出 稳定。 线性定常系统 输出稳定的充要条件是其传递函数：
1892年，俄国学者李亚普诺夫在他的博士论文“运动稳定性 的一般问题”中借助平衡状态稳定与否的特征对系统或系统运动 稳定性给出了严格定义,提出了解决稳定性问题的一般理论,即李亚 普诺夫稳定性理论。该理论基于系统的状态空间描述法,是对单变 量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统稳定性分析皆适用 的通用方法,是现代稳定性理论的重要基础和现代控制理论的重要
(1) i 0 , i 1, 2,
i
即
,n
(i 1, 2, , n)
0, i为偶数 i 0, i为奇数
(3) 实对称矩阵P为半正定的充要条件是矩阵P的前n-1阶主子行列式非负,
且矩阵P的行列式为零,即
0, i 0,
i 1, 2, in
, n 1
为其各阶顺序主子行列式： （10）
(1)实对称矩阵P为正定的充要条件是矩阵P的各阶主子行列式均大于 零,即有
1 a11 0
a11 a12 a11 a12 2 0; a21 a22 ; n det P a21 a22 an1 an 2
a1n a2 n ann 0
(2) 实对称矩阵P为负定的充要条件是矩阵P的各阶主子行列式满足
的权矩阵。aij 为实数,且
aij a ji , i, j 1,2, , n。
《现代控制理论》第三版课件_第4章
e λ1t z10 λ2t e z 20 z (t ) = λnt e z n0
ˆ C11 ˆ C 21 y (t ) = ˆ C m1 ˆ C12 ˆ C
λt ˆ C1n e 1 z10 ˆ e λ2t z 20 C2n ˆ e λnt z n 0 C mn
J = diag{λ1 , λ2 , , λn }
[ p1
p2
λ1 0 pn ] 0
0 λ2 0
0 0 = A [p 1 λn
p2 pn ]
J1 0 J = P −1 AP = 0
0 J2 0
λ j 0 0 0
零空间（核空间）
n
4-5 状态向量的线性变换
x = Ax + Bu y = Cx + Du
x = Pz
ˆ ˆ = P −1 APz + P −1 Bu = Az + Bu z ˆ y = CPz + Du = Cz + Du
状态向量的线性变换不影响系统的状态能控 性、能观性和传递函数阵，也不影响系统矩 阵的特征值和系统平衡状态的稳定性。
[
p j 2 p jq
]
( λ j I − A) p j1 = 0
Pj = p j1
[
p j2
p jq
]
( λ j I − A) p j 2 = − p j1 ( λ j I − A) p j 3 = − p j 2 ( λ j I − A) p jq = − p j ( q −1)
( λ j I − A) p j1 = 0 ( λ j I − A) p j 2 = − p j1 ( λ j I − A) p j 3 = − p j 2
现代控制理论 南航课件 第四章
对于
t t0 T1 ( , )
必有
x(t , x0 , t0 ) V ( x(t , x0 , t0 )) V ( x0 , t0 ) (t t0 ) (v, , )
, , ( ) ( ).
所以，对 x0 ( ) 有
x(t ; x0 , t0 ) V ( x(t ; x0 , t0 ), t ) V ( x0 , t0 )
( ) ( )
即 x(t ; x0 , t0 )
一致稳定：
的范围（大小）只取决于，而与初始时刻 t0无关。
对定常系统，李雅普诺夫意义下的稳定等价于一致稳定。 但对时变系统，没有这种等价关系。
定义 4-2
平衡状态xc是渐近稳定的:
(1) xc是稳定的。 (2) 对于任意 0和相应的 ( , t0 ) 0
存在 T ( , , t0 ) 0 当t t0 T ( , , t0 )时，有 x(t；x0 , t0 ) xc
可见，即使初始值很大地偏离了平衡状态，系统最终 将收敛。
例 4-1
x
1
t
x(1 x) x
该方程的解为
x0 e x(t ) t 1 x0 x0 e
o
t
ln x0 x0 1
两个平衡状态 xc=0， xc=1。
图4-3 非线性系统的解
例：讨论下列系统是否稳定、是否一致稳定、是否渐 近稳定：
1 x 2 x 2 x1 x
解：这是一个定常系统，利用拉氏变换立即可得e At， 并有
2 2 x 12 (t ) x 2 (t ) x 12 (t 0 ) x 2 (t 0 )
现代控制理论第四章2012
2二次型标量函数的定号性判别(充要条件)
正定： A的各阶主子式行列式大于零，即Δk>0 正半定: A的各阶主子式行列式大于或等于零，Δk≥0 负定： A的各阶主子式行列式正、负交替出现，即 当k=1,3,…n-1,时，Δk<0 当k=2,4,…,n,时，Δk>0 负半定：A的各阶主子式行列式符号交替出现，即 当k=1,3,…n-1,时，Δk≤0 当k=2,4,…,n,时，Δk≥0
3 2 x1 x2 x2 x
0 x1
3 0 x1 x2 x2
0 0 0 xe1 , xe 2 , xe3 0 1 1
任意的非零平衡状态,都可以通过坐标变换,将其平移到原点则xe=0 平衡状态的稳定性
唯一平衡状态, 系统的稳定性
现代控制理论基础 4 控制系统的稳定性
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
引言
经典控制中的稳定性 判据
李亚普诺夫意义下的稳定性
1892年 Lyapunov 适用于各类系统: 线性,非线性 适用于线性时不变系统
李亚普诺夫稳定性理论基本内容
第一法（间接法）
第二法（直接法）
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
第一方法(间接法)： 对线性系统求解特征方程 对非线性系统，首先线性化，在求解特征方程
3 实型矩阵A的定号性
如果v(x)正定 ，那么A为正定； 如果v(x)正半定 ，那么A为正半定； 如果v(x)负定 ，那么A为负定； 如果v(x)负半定，那么A为负半定；
4-3 李雅普诺夫第二法
判断v(x)的符号特征 (二次型标量函数
xTPx)
三、李氏函数
起源：能量系统
定义：
第现代控制理论4章
全导数分别为
V(x)
xτ
Px
1 2
xτ
3 1
1 2x 0
V(x)
xτ
Qx
xτ
1
0
01x 0
实用文档
例4-10 控制系统方块图如下图所示。 ➢ 要求系统渐近稳定,试确定增益的取值范围。
x3
x2
x1
k
1
1
s 1 -
s 2
s
解 由图可写出系统的状态方程为 x1 0 1 x2 0 2 x3 k 0
➢ 求得
k2 12k 6k 0
P
1 2(6k)
6k 0
3k k k 6
➢ 为使原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的,矩阵P须为
正定。
实用文档
➢ 采用合同变换法,有
k2 1 2 k6 k0
k2 00
k2 0 0
6 k
3 kk 行 (1 ) (2 ) 2 (1 ) 03 kk 行 (3 ) (2 )/3 (3 ) 03 k
1 2
实用文档
➢ 为了验证对称矩阵P的正定性,用合同变换法检验如下:
P1 21 3
1行 (2)(1)/3 (2)19 2列 (2)(1)/3 (2)60
0 5
➢ 由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零,故 矩阵P为正定的。因此,系统为大范围渐近稳定的。
➢ 此时,系统的李雅普诺夫函数和它沿状态轨线对时间t的
➢ 对任意给定的一个正定矩阵Q,都存在一个正定矩阵P为
矩阵方程
PA+AP=-Q 的解,并且正定函数V(x)=xPx即为系统的一个李雅普诺夫
函数。 □
实用文档
证明过程为：
➢ 已知满足矩阵方程
V(x)
xτ
Px
1 2
xτ
3 1
1 2x 0
V(x)
xτ
Qx
xτ
1
0
01x 0
实用文档
例4-10 控制系统方块图如下图所示。 ➢ 要求系统渐近稳定,试确定增益的取值范围。
x3
x2
x1
k
1
1
s 1 -
s 2
s
解 由图可写出系统的状态方程为 x1 0 1 x2 0 2 x3 k 0
➢ 求得
k2 12k 6k 0
P
1 2(6k)
6k 0
3k k k 6
➢ 为使原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的,矩阵P须为
正定。
实用文档
➢ 采用合同变换法,有
k2 1 2 k6 k0
k2 00
k2 0 0
6 k
3 kk 行 (1 ) (2 ) 2 (1 ) 03 kk 行 (3 ) (2 )/3 (3 ) 03 k
1 2
实用文档
➢ 为了验证对称矩阵P的正定性,用合同变换法检验如下:
P1 21 3
1行 (2)(1)/3 (2)19 2列 (2)(1)/3 (2)60
0 5
➢ 由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零,故 矩阵P为正定的。因此,系统为大范围渐近稳定的。
➢ 此时,系统的李雅普诺夫函数和它沿状态轨线对时间t的
➢ 对任意给定的一个正定矩阵Q,都存在一个正定矩阵P为
矩阵方程
PA+AP=-Q 的解,并且正定函数V(x)=xPx即为系统的一个李雅普诺夫
函数。 □
实用文档
证明过程为：
➢ 已知满足矩阵方程
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桥形电路(a)两个电容相等。选各自的电压为状态 变量，且设电容上的初始电压为零，根据电路理论， 则两个状态分量恒相等。相平面图(b)中相轨迹为一 条直线，因此系统状态只能在相平面的一条直线上移 动，不论电源电压如何变动，都不能使系统的状态变 量离开这条直线,显然，它是不完全能控的。
例4.0.2
选择电感中的电流以及电容上的电压作为 状态变量。当电桥平衡时，电感中的电流作为 电路的一个状态是不能由输出变量来确定的， 所以该电路是不能观测的。
rankUC rank b Ab
An1b n
此时，能控性矩阵为n×n维，即要求阵是非奇 异的。
例4.2.1 考察如下系统的能控性
x1 1
x2
0
x3 1
2 1 0
1 x1 1
0
x2
0
3 x3 0
0
1 0
u1 u2
易知
1 0 B 0 1
0 0
1 2 1 1 0 1 2 AB 0 1 0 0 1 0 1
对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状 态变换后，其状态能控性不变。
能控性判据的第二种形式
定理4.2.2 如果线性定常系统 x Ax Bu
的系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.1 定常离散系统的能控性 4.2 定常连续系统的能控性 4.3 定常系统的能观性 4.4 线性时变系统的能控性及能观性 4.5 能控性及能观性的对偶关系 4.6 线性定常系统的结构分解 4.7 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系 4.8 能控标准形和能观标准形 4.9 系统的实现
(4.1.9)
定理4.1.2 多输入线性定常离散系统完全能控的
充分必要条件是，矩阵[B,AB,…,An-1B]的秩为n。
该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc表示，于是
此能控性判பைடு நூலகம்可以写成
rankUc=rank[B,AB,…,An-1B]=n. (4.1.10)
多输入与单输入系统的能控性判据形式上完全相同。 但多输入系统有以下特点：
4.1 定常离散系统的能控性
4.1.1 定常离散系统的能控性定义 线性定常离散系统的状态方程 x(k 1) Ax(k) Bu(k)
(4.1.1)
定义4.1.1 对于系统(4.1.1)，如果存在控制向量序列 u(k),u(k+1),…,u(N-1)，使系统从第k步的状态向量开 始，在第N步到达零状态，其中N是大于k的有限数 ，那么就称此系统在第k步上是能控的。如果对每一 个k，系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态 完全能控的，简称能控。
4.2.1 线性定常连续系统的能控性定义线性定常连
续系统的状态方程
x Ax Bu
(4.2.1)
定义4.2.1 对于系统(4.2.1)，若存在一分段连续
控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系 统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)， 那么就称此状态是能控的。若系统任意t0时刻的 所有状态x(t0)都是能控的，就称此系统是状态
例4.1.2
x1 (k 1) 1
x
2
(k
1)
1
x3 (k 1) 0
2 0 1
1 x1 (k) 1
2
x
2
(k
)
0
1x3 (k) 0
0
0 1
u1 u2
(k) (k )
只要计算出矩阵[B,AB]的秩，即可
1 0 1 1
rank B AB rank 0 1 1 2 3
0 0 0 0
4.2 定常连续系统的能控性
0
x2
1
3 x3 1
1
1
1
u1 u2
2 1 3 2 5 4
UC B
AB
A2 B
1
1
2
2
4
4
1 1 2 2 4 4
其秩为2，所以系统不能控
注 对照一下定常连续系统与定常离散系统能控
性判别条件，发现两者是一致的，这有其内在联 系。如果离散系统的系矩阵和控制矩阵与连续系 统的系统矩阵和控制矩阵相同，则它们的能控性 相同。
完全能控的，简称能控。
4.2.2 线性定常连续系统的能控性判据
能控性判据的第一种形式 定理4.2.1 系统(4.2.1)状态完全能控的充分必 要条件是能控性矩阵
UC B AB
的秩为n，即
An1B
rank B AB
An1B n
注 如果系统是单输入系统，即控制变量维数,则 系统的状态完全能控性的判据为
例4.1.1
1 0 0
1
x(k
1)
0
2 2x(k) 0u(k)
1 1 0
1
1 1 1 rank b Ab A2b rank 0 2 2 3
1 1 3
满足能控性的充分必要条件，故该系统能控。
4.1.3 多输入离散系统能控性的判定条件
多输入线性定常离散系统的状态方程
x(k 1) Ax(k) Bu(k)
1 0 3 0 0 1 0
从而
1 2 1 1 2 2 4 A2B 0 1 0 0 1 0 1
1 0 3 1 0 4 2
1 0 1 2 2 4
UC 0
1
0
1
0
1
0 0 1 0 4 2
其秩为3，该系统能控
例4.2.2 判断线性定常系统
x1 1
x2
0
x3 0
3 2 1
2 x1 2
4.1.2 单输入离散系统能控性的判定条件
单输入线性定常离散系统的状态方程
x(k 1) Ax(k) bu(k)
(4.1.2)
定理4.1.1 单输入线性定常离散系统完全能控的充 分必要条件是，矩阵[b, Ab,…, An-1b]的秩为n。
该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc表示，于是
此能控性判据可以写成 rankUc=rank [b , Ab,…,An-1b]=n. (4.1.5)
两个基础性概念：能控性与能观性
两个基本问题： 在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转
移到要求的状态？指控制作用对状态变量的支配能力， 称之为状态的能控性问题。
在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计 系统的初始状态？系统的输出量（或观测量）能否反映 状态变量，称之为状态的能观性问题。
例4.0.1
(1)多输入系统的能控性矩阵是一个n×np矩阵。根
据判据，只要求它的秩等于n，所以在计算时不一 …, 定需要将能控性矩阵算完，算到哪一步发现充要
条件已满足就可以停下来，不必再计算下去。 (2)为了把系统的某一初始状态转移到零状态，存 在着许许多多的方式，因此我们可以在其中选择 最优的控制方式。例如选择控制向量的范数最小。
例4.0.2
选择电感中的电流以及电容上的电压作为 状态变量。当电桥平衡时，电感中的电流作为 电路的一个状态是不能由输出变量来确定的， 所以该电路是不能观测的。
rankUC rank b Ab
An1b n
此时，能控性矩阵为n×n维，即要求阵是非奇 异的。
例4.2.1 考察如下系统的能控性
x1 1
x2
0
x3 1
2 1 0
1 x1 1
0
x2
0
3 x3 0
0
1 0
u1 u2
易知
1 0 B 0 1
0 0
1 2 1 1 0 1 2 AB 0 1 0 0 1 0 1
对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状 态变换后，其状态能控性不变。
能控性判据的第二种形式
定理4.2.2 如果线性定常系统 x Ax Bu
的系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.1 定常离散系统的能控性 4.2 定常连续系统的能控性 4.3 定常系统的能观性 4.4 线性时变系统的能控性及能观性 4.5 能控性及能观性的对偶关系 4.6 线性定常系统的结构分解 4.7 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系 4.8 能控标准形和能观标准形 4.9 系统的实现
(4.1.9)
定理4.1.2 多输入线性定常离散系统完全能控的
充分必要条件是，矩阵[B,AB,…,An-1B]的秩为n。
该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc表示，于是
此能控性判பைடு நூலகம்可以写成
rankUc=rank[B,AB,…,An-1B]=n. (4.1.10)
多输入与单输入系统的能控性判据形式上完全相同。 但多输入系统有以下特点：
4.1 定常离散系统的能控性
4.1.1 定常离散系统的能控性定义 线性定常离散系统的状态方程 x(k 1) Ax(k) Bu(k)
(4.1.1)
定义4.1.1 对于系统(4.1.1)，如果存在控制向量序列 u(k),u(k+1),…,u(N-1)，使系统从第k步的状态向量开 始，在第N步到达零状态，其中N是大于k的有限数 ，那么就称此系统在第k步上是能控的。如果对每一 个k，系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态 完全能控的，简称能控。
4.2.1 线性定常连续系统的能控性定义线性定常连
续系统的状态方程
x Ax Bu
(4.2.1)
定义4.2.1 对于系统(4.2.1)，若存在一分段连续
控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系 统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)， 那么就称此状态是能控的。若系统任意t0时刻的 所有状态x(t0)都是能控的，就称此系统是状态
例4.1.2
x1 (k 1) 1
x
2
(k
1)
1
x3 (k 1) 0
2 0 1
1 x1 (k) 1
2
x
2
(k
)
0
1x3 (k) 0
0
0 1
u1 u2
(k) (k )
只要计算出矩阵[B,AB]的秩，即可
1 0 1 1
rank B AB rank 0 1 1 2 3
0 0 0 0
4.2 定常连续系统的能控性
0
x2
1
3 x3 1
1
1
1
u1 u2
2 1 3 2 5 4
UC B
AB
A2 B
1
1
2
2
4
4
1 1 2 2 4 4
其秩为2，所以系统不能控
注 对照一下定常连续系统与定常离散系统能控
性判别条件，发现两者是一致的，这有其内在联 系。如果离散系统的系矩阵和控制矩阵与连续系 统的系统矩阵和控制矩阵相同，则它们的能控性 相同。
完全能控的，简称能控。
4.2.2 线性定常连续系统的能控性判据
能控性判据的第一种形式 定理4.2.1 系统(4.2.1)状态完全能控的充分必 要条件是能控性矩阵
UC B AB
的秩为n，即
An1B
rank B AB
An1B n
注 如果系统是单输入系统，即控制变量维数,则 系统的状态完全能控性的判据为
例4.1.1
1 0 0
1
x(k
1)
0
2 2x(k) 0u(k)
1 1 0
1
1 1 1 rank b Ab A2b rank 0 2 2 3
1 1 3
满足能控性的充分必要条件，故该系统能控。
4.1.3 多输入离散系统能控性的判定条件
多输入线性定常离散系统的状态方程
x(k 1) Ax(k) Bu(k)
1 0 3 0 0 1 0
从而
1 2 1 1 2 2 4 A2B 0 1 0 0 1 0 1
1 0 3 1 0 4 2
1 0 1 2 2 4
UC 0
1
0
1
0
1
0 0 1 0 4 2
其秩为3，该系统能控
例4.2.2 判断线性定常系统
x1 1
x2
0
x3 0
3 2 1
2 x1 2
4.1.2 单输入离散系统能控性的判定条件
单输入线性定常离散系统的状态方程
x(k 1) Ax(k) bu(k)
(4.1.2)
定理4.1.1 单输入线性定常离散系统完全能控的充 分必要条件是，矩阵[b, Ab,…, An-1b]的秩为n。
该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc表示，于是
此能控性判据可以写成 rankUc=rank [b , Ab,…,An-1b]=n. (4.1.5)
两个基础性概念：能控性与能观性
两个基本问题： 在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转
移到要求的状态？指控制作用对状态变量的支配能力， 称之为状态的能控性问题。
在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计 系统的初始状态？系统的输出量（或观测量）能否反映 状态变量，称之为状态的能观性问题。
例4.0.1
(1)多输入系统的能控性矩阵是一个n×np矩阵。根
据判据，只要求它的秩等于n，所以在计算时不一 …, 定需要将能控性矩阵算完，算到哪一步发现充要
条件已满足就可以停下来，不必再计算下去。 (2)为了把系统的某一初始状态转移到零状态，存 在着许许多多的方式，因此我们可以在其中选择 最优的控制方式。例如选择控制向量的范数最小。