现代控制理论第四章
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现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析
2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化 所定义的内部稳定性。状态稳定。
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
现代控制理论习题解答(第四章)
第四章 控制系统的稳定性3-4-1 试确定下列二次型是否正定。
(1)3123212322212624)(x x x x x x x x x x v --+++= (2)232123222126410)(x x x x x x x x v ++---= (3)312321232221422410)(x x x x x x x x x x v --+++= 【解】： （1）04131341111,034111,01,131341111<-=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数不定。
(2)034101103031,0110331,01,4101103031<-=--->=--<-⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=P二次型函数为负定。
(3)017112141211003941110,010,1121412110>=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数正定。
3-4-2 试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。
312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=【解】：312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=x c b a x T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=1112121110212111,011,0111111>---->>c b a b aa 满足正定的条件为：⎪⎩⎪⎨⎧++>+>>1111111114410ca b c b a b a a3-4-3 试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。
;1001)4(;1111)3(;3211)2(;1110)1(x x x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=【解】： （1）设22215.05.0)(x x x v +=⎩⎨⎧≠≤==-=--=+=)0(0)0(0222221212211)(x x x x x x x x x x x x x v为半负定。
现代控制理论第二版 王孝武 第4章
则 xe 0 为一致稳定的。
如果
V ( x ) ，则 xe 0是大范围一致稳定的。 x ，
( x )≤0 因为 V ( x ) 0 ，则系 则系统可能存在闭合曲线（极限环），在上面恒有 V 统可能收敛到极限环，而不收敛到平衡点。因此 xe 0 是一致稳 定的。
第4 章
控制系统稳定性
对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的 研究，经典控制理论无能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普 诺夫（A. M. Lyapunov）的稳定性理论来分析和研究。
A. M. Lyapunov于1892年出版专著《运动系统稳定性的一般 问题》，使得Lyapunov稳定性理论已经成为控制理论的最重要的 几个柱石之一。
不稳定
4.2.4 不稳定 对于任意的实数 0 ，存在一个实数 0 ，不论 取的多么小，在满足不 x0 xe 等式
的所有初始状态中，至少存在一个初始状 态 x0 ，由此出发的轨线 x(t ) ，满足 x xe 称 xe 0 为Lyapunov意义下不稳定
（2）
在任意时刻，系统的总能量
1 2 1 2 E ( x1 , x2 ) x2 kx1 2 2 显然，当x 0时 E ( x ) 0 ， 而当 x 0 时 E (0) 0
而总能量随时间的变化率为 d E d x1 E d x2 2 1 x2 x 2 fx2 E ( x1 , x2 ) kx1 x dt x1 d t x2 d t
由定理4-4可知，xe 0 是不稳定的。
应该指出： Lyapunov第二法给出的结果是系统稳定性的充分
条件。到目前为止，人类还没有找到构造Lyapunov函数的一般
如果
V ( x ) ，则 xe 0是大范围一致稳定的。 x ，
( x )≤0 因为 V ( x ) 0 ，则系 则系统可能存在闭合曲线（极限环），在上面恒有 V 统可能收敛到极限环，而不收敛到平衡点。因此 xe 0 是一致稳 定的。
第4 章
控制系统稳定性
对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的 研究，经典控制理论无能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普 诺夫（A. M. Lyapunov）的稳定性理论来分析和研究。
A. M. Lyapunov于1892年出版专著《运动系统稳定性的一般 问题》，使得Lyapunov稳定性理论已经成为控制理论的最重要的 几个柱石之一。
不稳定
4.2.4 不稳定 对于任意的实数 0 ，存在一个实数 0 ，不论 取的多么小，在满足不 x0 xe 等式
的所有初始状态中，至少存在一个初始状 态 x0 ，由此出发的轨线 x(t ) ，满足 x xe 称 xe 0 为Lyapunov意义下不稳定
（2）
在任意时刻，系统的总能量
1 2 1 2 E ( x1 , x2 ) x2 kx1 2 2 显然，当x 0时 E ( x ) 0 ， 而当 x 0 时 E (0) 0
而总能量随时间的变化率为 d E d x1 E d x2 2 1 x2 x 2 fx2 E ( x1 , x2 ) kx1 x dt x1 d t x2 d t
由定理4-4可知，xe 0 是不稳定的。
应该指出： Lyapunov第二法给出的结果是系统稳定性的充分
条件。到目前为止，人类还没有找到构造Lyapunov函数的一般
现代控制理论第4章
4.2 李雅普诺夫第一法
4.2.1 线性系统的稳定判据 线性定常系统
（1） 平衡状态 实部。 以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义 渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负
上看，往往更重视系统的输出稳定性。
如果系统对于有界输入 所引起的输出 是有界的，则称系统为输出 稳定。 线性定常系统 输出稳定的充要条件是其传递函数：
1892年，俄国学者李亚普诺夫在他的博士论文“运动稳定性 的一般问题”中借助平衡状态稳定与否的特征对系统或系统运动 稳定性给出了严格定义,提出了解决稳定性问题的一般理论,即李亚 普诺夫稳定性理论。该理论基于系统的状态空间描述法,是对单变 量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统稳定性分析皆适用 的通用方法,是现代稳定性理论的重要基础和现代控制理论的重要
(1) i 0 , i 1, 2,
i
即
,n
(i 1, 2, , n)
0, i为偶数 i 0, i为奇数
(3) 实对称矩阵P为半正定的充要条件是矩阵P的前n-1阶主子行列式非负,
且矩阵P的行列式为零,即
0, i 0,
i 1, 2, in
, n 1
为其各阶顺序主子行列式： （10）
(1)实对称矩阵P为正定的充要条件是矩阵P的各阶主子行列式均大于 零,即有
1 a11 0
a11 a12 a11 a12 2 0; a21 a22 ; n det P a21 a22 an1 an 2
a1n a2 n ann 0
(2) 实对称矩阵P为负定的充要条件是矩阵P的各阶主子行列式满足
的权矩阵。aij 为实数,且
aij a ji , i, j 1,2, , n。
《现代控制理论》第三版课件_第4章
e λ1t z10 λ2t e z 20 z (t ) = λnt e z n0
ˆ C11 ˆ C 21 y (t ) = ˆ C m1 ˆ C12 ˆ C
λt ˆ C1n e 1 z10 ˆ e λ2t z 20 C2n ˆ e λnt z n 0 C mn
J = diag{λ1 , λ2 , , λn }
[ p1
p2
λ1 0 pn ] 0
0 λ2 0
0 0 = A [p 1 λn
p2 pn ]
J1 0 J = P −1 AP = 0
0 J2 0
λ j 0 0 0
零空间（核空间）
n
4-5 状态向量的线性变换
x = Ax + Bu y = Cx + Du
x = Pz
ˆ ˆ = P −1 APz + P −1 Bu = Az + Bu z ˆ y = CPz + Du = Cz + Du
状态向量的线性变换不影响系统的状态能控 性、能观性和传递函数阵，也不影响系统矩 阵的特征值和系统平衡状态的稳定性。
[
p j 2 p jq
]
( λ j I − A) p j1 = 0
Pj = p j1
[
p j2
p jq
]
( λ j I − A) p j 2 = − p j1 ( λ j I − A) p j 3 = − p j 2 ( λ j I − A) p jq = − p j ( q −1)
( λ j I − A) p j1 = 0 ( λ j I − A) p j 2 = − p j1 ( λ j I − A) p j 3 = − p j 2
现代控制理论 南航课件 第四章
对于
t t0 T1 ( , )
必有
x(t , x0 , t0 ) V ( x(t , x0 , t0 )) V ( x0 , t0 ) (t t0 ) (v, , )
, , ( ) ( ).
所以，对 x0 ( ) 有
x(t ; x0 , t0 ) V ( x(t ; x0 , t0 ), t ) V ( x0 , t0 )
( ) ( )
即 x(t ; x0 , t0 )
一致稳定：
的范围（大小）只取决于，而与初始时刻 t0无关。
对定常系统，李雅普诺夫意义下的稳定等价于一致稳定。 但对时变系统，没有这种等价关系。
定义 4-2
平衡状态xc是渐近稳定的:
(1) xc是稳定的。 (2) 对于任意 0和相应的 ( , t0 ) 0
存在 T ( , , t0 ) 0 当t t0 T ( , , t0 )时，有 x(t；x0 , t0 ) xc
可见，即使初始值很大地偏离了平衡状态，系统最终 将收敛。
例 4-1
x
1
t
x(1 x) x
该方程的解为
x0 e x(t ) t 1 x0 x0 e
o
t
ln x0 x0 1
两个平衡状态 xc=0， xc=1。
图4-3 非线性系统的解
例：讨论下列系统是否稳定、是否一致稳定、是否渐 近稳定：
1 x 2 x 2 x1 x
解：这是一个定常系统，利用拉氏变换立即可得e At， 并有
2 2 x 12 (t ) x 2 (t ) x 12 (t 0 ) x 2 (t 0 )
现代控制理论第四章2012
2二次型标量函数的定号性判别(充要条件)
正定： A的各阶主子式行列式大于零，即Δk>0 正半定: A的各阶主子式行列式大于或等于零，Δk≥0 负定： A的各阶主子式行列式正、负交替出现，即 当k=1,3,…n-1,时，Δk<0 当k=2,4,…,n,时，Δk>0 负半定：A的各阶主子式行列式符号交替出现，即 当k=1,3,…n-1,时，Δk≤0 当k=2,4,…,n,时，Δk≥0
3 2 x1 x2 x2 x
0 x1
3 0 x1 x2 x2
0 0 0 xe1 , xe 2 , xe3 0 1 1
任意的非零平衡状态,都可以通过坐标变换,将其平移到原点则xe=0 平衡状态的稳定性
唯一平衡状态, 系统的稳定性
现代控制理论基础 4 控制系统的稳定性
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
引言
经典控制中的稳定性 判据
李亚普诺夫意义下的稳定性
1892年 Lyapunov 适用于各类系统: 线性,非线性 适用于线性时不变系统
李亚普诺夫稳定性理论基本内容
第一法（间接法）
第二法（直接法）
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
第一方法(间接法)： 对线性系统求解特征方程 对非线性系统，首先线性化，在求解特征方程
3 实型矩阵A的定号性
如果v(x)正定 ，那么A为正定； 如果v(x)正半定 ，那么A为正半定； 如果v(x)负定 ，那么A为负定； 如果v(x)负半定，那么A为负半定；
4-3 李雅普诺夫第二法
判断v(x)的符号特征 (二次型标量函数
xTPx)
三、李氏函数
起源：能量系统
定义：
第现代控制理论4章
全导数分别为
V(x)
xτ
Px
1 2
xτ
3 1
1 2x 0
V(x)
xτ
Qx
xτ
1
0
01x 0
实用文档
例4-10 控制系统方块图如下图所示。 ➢ 要求系统渐近稳定,试确定增益的取值范围。
x3
x2
x1
k
1
1
s 1 -
s 2
s
解 由图可写出系统的状态方程为 x1 0 1 x2 0 2 x3 k 0
➢ 求得
k2 12k 6k 0
P
1 2(6k)
6k 0
3k k k 6
➢ 为使原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的,矩阵P须为
正定。
实用文档
➢ 采用合同变换法,有
k2 1 2 k6 k0
k2 00
k2 0 0
6 k
3 kk 行 (1 ) (2 ) 2 (1 ) 03 kk 行 (3 ) (2 )/3 (3 ) 03 k
1 2
实用文档
➢ 为了验证对称矩阵P的正定性,用合同变换法检验如下:
P1 21 3
1行 (2)(1)/3 (2)19 2列 (2)(1)/3 (2)60
0 5
➢ 由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零,故 矩阵P为正定的。因此,系统为大范围渐近稳定的。
➢ 此时,系统的李雅普诺夫函数和它沿状态轨线对时间t的
➢ 对任意给定的一个正定矩阵Q,都存在一个正定矩阵P为
矩阵方程
PA+AP=-Q 的解,并且正定函数V(x)=xPx即为系统的一个李雅普诺夫
函数。 □
实用文档
证明过程为：
➢ 已知满足矩阵方程
V(x)
xτ
Px
1 2
xτ
3 1
1 2x 0
V(x)
xτ
Qx
xτ
1
0
01x 0
实用文档
例4-10 控制系统方块图如下图所示。 ➢ 要求系统渐近稳定,试确定增益的取值范围。
x3
x2
x1
k
1
1
s 1 -
s 2
s
解 由图可写出系统的状态方程为 x1 0 1 x2 0 2 x3 k 0
➢ 求得
k2 12k 6k 0
P
1 2(6k)
6k 0
3k k k 6
➢ 为使原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的,矩阵P须为
正定。
实用文档
➢ 采用合同变换法,有
k2 1 2 k6 k0
k2 00
k2 0 0
6 k
3 kk 行 (1 ) (2 ) 2 (1 ) 03 kk 行 (3 ) (2 )/3 (3 ) 03 k
1 2
实用文档
➢ 为了验证对称矩阵P的正定性,用合同变换法检验如下:
P1 21 3
1行 (2)(1)/3 (2)19 2列 (2)(1)/3 (2)60
0 5
➢ 由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零,故 矩阵P为正定的。因此,系统为大范围渐近稳定的。
➢ 此时,系统的李雅普诺夫函数和它沿状态轨线对时间t的
➢ 对任意给定的一个正定矩阵Q,都存在一个正定矩阵P为
矩阵方程
PA+AP=-Q 的解,并且正定函数V(x)=xPx即为系统的一个李雅普诺夫
函数。 □
实用文档
证明过程为：
➢ 已知满足矩阵方程
现代控制理论 第四章 稳定性理论
G (t ) = Φ (t ) B + D δ (t )
这里 Φ ( t ) = e At ，当系统满足内部稳定性时，由式(5-7)有
lim Φ ( t ) = lim e At = 0
t →∞ t →∞
这样， ( t ) 的每一个元g ij ( t )( i = 1, 2,⋯ , q, j = 1, 2,⋯ , p ) 均是由一些指 G 数衰减项构成的，故满足
其中
Qi =
( s − λ i ) adj ( s I − A ) ( s − λ i )( s − λ 2 )⋯ ( s − λ n )
s = λi
显然，当矩阵 A 的一切特征值满足
R e λ i ( A ) < 0 i = 1, 2 , ⋯ , n
则式(4-7)成立。 内部稳定性描述了系统状态的自由运动的稳定性。
∫
∞ 0
g ij ( t ) d t ≤ k < ∞
这里 k 为有限常数。这说明系统是BIBO稳定的。证毕。
定理4.4 定理4.4 线性定常系统如果是BIBO稳定的，则 系统未必是内部稳定的。
证明 根据线性系统的结构分解定理知道，任一线性定常系
统通过线性变换，总可以分解为四个子系统，这就是能控能 观测子系统，能控、不能观测子系统，不能控、能观测子系 统和不能控不能观测子系统。系统的输入-输出特性仅能反映 系统的能控能观测部分，系统的其余三个部分的运动状态并 不能反映出来，BIBO稳定性仅意味着能控能观测子系统是渐 近稳定的，而其余子系统，如不能控不能观测子系统如果是 发散的，在BIBO稳定性中并不能表现出来。因此定理的结论 成立。
y ( t1 ) =
∫
t1 t0
g ( t1 , τ )u (τ ) d τ =
这里 Φ ( t ) = e At ，当系统满足内部稳定性时，由式(5-7)有
lim Φ ( t ) = lim e At = 0
t →∞ t →∞
这样， ( t ) 的每一个元g ij ( t )( i = 1, 2,⋯ , q, j = 1, 2,⋯ , p ) 均是由一些指 G 数衰减项构成的，故满足
其中
Qi =
( s − λ i ) adj ( s I − A ) ( s − λ i )( s − λ 2 )⋯ ( s − λ n )
s = λi
显然，当矩阵 A 的一切特征值满足
R e λ i ( A ) < 0 i = 1, 2 , ⋯ , n
则式(4-7)成立。 内部稳定性描述了系统状态的自由运动的稳定性。
∫
∞ 0
g ij ( t ) d t ≤ k < ∞
这里 k 为有限常数。这说明系统是BIBO稳定的。证毕。
定理4.4 定理4.4 线性定常系统如果是BIBO稳定的，则 系统未必是内部稳定的。
证明 根据线性系统的结构分解定理知道，任一线性定常系
统通过线性变换，总可以分解为四个子系统，这就是能控能 观测子系统，能控、不能观测子系统，不能控、能观测子系 统和不能控不能观测子系统。系统的输入-输出特性仅能反映 系统的能控能观测部分，系统的其余三个部分的运动状态并 不能反映出来，BIBO稳定性仅意味着能控能观测子系统是渐 近稳定的，而其余子系统，如不能控不能观测子系统如果是 发散的，在BIBO稳定性中并不能表现出来。因此定理的结论 成立。
y ( t1 ) =
∫
t1 t0
g ( t1 , τ )u (τ ) d τ =
现代控制理论第4章1
e
Φ(t; x0 , t0 )，
在式(4.1)的系统中，总存在 在式(4.1)的系统中， (4.1)的系统中 , 对所有t f ( x , t) ≡ 0 则称 为系统的平衡状态或平衡点。 xe 为系统的平衡状态或平衡点。
(4.2)
如果系统是线性定常的， 如果系统是线性定常的，也就是说 为非奇异矩阵时， 为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态
(2) 如果平衡状态
类似地，如果δ 与t0无关，则称此时之平衡状态 无关， 类似地，如果δ
为一致渐近稳定的。 为一致渐近稳定的。 实际上，渐近稳定性比Lyapunov意义下的稳定性更重要。 Lyapunov意义下的稳定性更重要 实际上，渐近稳定性比Lyapunov意义下的稳定性更重要。 考虑到非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念， 考虑到非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念，所以简单 地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。 地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。 通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。 通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。它是发生 渐近稳定轨迹的那部分状态空间。换句话说， 渐近稳定轨迹的那部分状态空间。换句话说，发生于吸引域内 的每一个轨迹都是渐近稳定的。 的每一个轨迹都是渐近稳定的。
Lyapunov意义下的稳定性问题 4.2 Lyapunov意义下的稳定性问题
对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。 对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。 如果系统是线性定常的， 那么有许多稳定性判据， Routh如果系统是线性定常的 ， 那么有许多稳定性判据 ， 如 RouthHurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用 稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用。 Hurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用。
Φ(t; x0 , t0 )，
在式(4.1)的系统中，总存在 在式(4.1)的系统中， (4.1)的系统中 , 对所有t f ( x , t) ≡ 0 则称 为系统的平衡状态或平衡点。 xe 为系统的平衡状态或平衡点。
(4.2)
如果系统是线性定常的， 如果系统是线性定常的，也就是说 为非奇异矩阵时， 为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态
(2) 如果平衡状态
类似地，如果δ 与t0无关，则称此时之平衡状态 无关， 类似地，如果δ
为一致渐近稳定的。 为一致渐近稳定的。 实际上，渐近稳定性比Lyapunov意义下的稳定性更重要。 Lyapunov意义下的稳定性更重要 实际上，渐近稳定性比Lyapunov意义下的稳定性更重要。 考虑到非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念， 考虑到非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念，所以简单 地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。 地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。 通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。 通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。它是发生 渐近稳定轨迹的那部分状态空间。换句话说， 渐近稳定轨迹的那部分状态空间。换句话说，发生于吸引域内 的每一个轨迹都是渐近稳定的。 的每一个轨迹都是渐近稳定的。
Lyapunov意义下的稳定性问题 4.2 Lyapunov意义下的稳定性问题
对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。 对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。 如果系统是线性定常的， 那么有许多稳定性判据， Routh如果系统是线性定常的 ， 那么有许多稳定性判据 ， 如 RouthHurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用 稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用。 Hurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用。
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桥形电路(a)两个电容相等。选各自的电压为状态 变量，且设电容上的初始电压为零，根据电路理论， 则两个状态分量恒相等。相平面图(b)中相轨迹为一 条直线，因此系统状态只能在相平面的一条直线上移 动，不论电源电压如何变动，都不能使系统的状态变 量离开这条直线,显然，它是不完全能控的。
例4.0.2
选择电感中的电流以及电容上的电压作为 状态变量。当电桥平衡时，电感中的电流作为 电路的一个状态是不能由输出变量来确定的， 所以该电路是不能观测的。
rankUC rank b Ab
An1b n
此时，能控性矩阵为n×n维，即要求阵是非奇 异的。
例4.2.1 考察如下系统的能控性
x1 1
x2
0
x3 1
2 1 0
1 x1 1
0
x2
0
3 x3 0
0
1 0
u1 u2
易知
1 0 B 0 1
0 0
1 2 1 1 0 1 2 AB 0 1 0 0 1 0 1
对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状 态变换后，其状态能控性不变。
能控性判据的第二种形式
定理4.2.2 如果线性定常系统 x Ax Bu
的系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.1 定常离散系统的能控性 4.2 定常连续系统的能控性 4.3 定常系统的能观性 4.4 线性时变系统的能控性及能观性 4.5 能控性及能观性的对偶关系 4.6 线性定常系统的结构分解 4.7 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系 4.8 能控标准形和能观标准形 4.9 系统的实现
(4.1.9)
定理4.1.2 多输入线性定常离散系统完全能控的
充分必要条件是，矩阵[B,AB,…,An-1B]的秩为n。
该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc表示，于是
此能控性判பைடு நூலகம்可以写成
rankUc=rank[B,AB,…,An-1B]=n. (4.1.10)
多输入与单输入系统的能控性判据形式上完全相同。 但多输入系统有以下特点：
4.1 定常离散系统的能控性
4.1.1 定常离散系统的能控性定义 线性定常离散系统的状态方程 x(k 1) Ax(k) Bu(k)
(4.1.1)
定义4.1.1 对于系统(4.1.1)，如果存在控制向量序列 u(k),u(k+1),…,u(N-1)，使系统从第k步的状态向量开 始，在第N步到达零状态，其中N是大于k的有限数 ，那么就称此系统在第k步上是能控的。如果对每一 个k，系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态 完全能控的，简称能控。
4.2.1 线性定常连续系统的能控性定义线性定常连
续系统的状态方程
x Ax Bu
(4.2.1)
定义4.2.1 对于系统(4.2.1)，若存在一分段连续
控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系 统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)， 那么就称此状态是能控的。若系统任意t0时刻的 所有状态x(t0)都是能控的，就称此系统是状态
例4.1.2
x1 (k 1) 1
x
2
(k
1)
1
x3 (k 1) 0
2 0 1
1 x1 (k) 1
2
x
2
(k
)
0
1x3 (k) 0
0
0 1
u1 u2
(k) (k )
只要计算出矩阵[B,AB]的秩，即可
1 0 1 1
rank B AB rank 0 1 1 2 3
0 0 0 0
4.2 定常连续系统的能控性
0
x2
1
3 x3 1
1
1
1
u1 u2
2 1 3 2 5 4
UC B
AB
A2 B
1
1
2
2
4
4
1 1 2 2 4 4
其秩为2，所以系统不能控
注 对照一下定常连续系统与定常离散系统能控
性判别条件，发现两者是一致的，这有其内在联 系。如果离散系统的系矩阵和控制矩阵与连续系 统的系统矩阵和控制矩阵相同，则它们的能控性 相同。
完全能控的，简称能控。
4.2.2 线性定常连续系统的能控性判据
能控性判据的第一种形式 定理4.2.1 系统(4.2.1)状态完全能控的充分必 要条件是能控性矩阵
UC B AB
的秩为n，即
An1B
rank B AB
An1B n
注 如果系统是单输入系统，即控制变量维数,则 系统的状态完全能控性的判据为
例4.1.1
1 0 0
1
x(k
1)
0
2 2x(k) 0u(k)
1 1 0
1
1 1 1 rank b Ab A2b rank 0 2 2 3
1 1 3
满足能控性的充分必要条件，故该系统能控。
4.1.3 多输入离散系统能控性的判定条件
多输入线性定常离散系统的状态方程
x(k 1) Ax(k) Bu(k)
1 0 3 0 0 1 0
从而
1 2 1 1 2 2 4 A2B 0 1 0 0 1 0 1
1 0 3 1 0 4 2
1 0 1 2 2 4
UC 0
1
0
1
0
1
0 0 1 0 4 2
其秩为3，该系统能控
例4.2.2 判断线性定常系统
x1 1
x2
0
x3 0
3 2 1
2 x1 2
4.1.2 单输入离散系统能控性的判定条件
单输入线性定常离散系统的状态方程
x(k 1) Ax(k) bu(k)
(4.1.2)
定理4.1.1 单输入线性定常离散系统完全能控的充 分必要条件是，矩阵[b, Ab,…, An-1b]的秩为n。
该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc表示，于是
此能控性判据可以写成 rankUc=rank [b , Ab,…,An-1b]=n. (4.1.5)
两个基础性概念：能控性与能观性
两个基本问题： 在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转
移到要求的状态？指控制作用对状态变量的支配能力， 称之为状态的能控性问题。
在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计 系统的初始状态？系统的输出量（或观测量）能否反映 状态变量，称之为状态的能观性问题。
例4.0.1
(1)多输入系统的能控性矩阵是一个n×np矩阵。根
据判据，只要求它的秩等于n，所以在计算时不一 …, 定需要将能控性矩阵算完，算到哪一步发现充要
条件已满足就可以停下来，不必再计算下去。 (2)为了把系统的某一初始状态转移到零状态，存 在着许许多多的方式，因此我们可以在其中选择 最优的控制方式。例如选择控制向量的范数最小。
例4.0.2
选择电感中的电流以及电容上的电压作为 状态变量。当电桥平衡时，电感中的电流作为 电路的一个状态是不能由输出变量来确定的， 所以该电路是不能观测的。
rankUC rank b Ab
An1b n
此时，能控性矩阵为n×n维，即要求阵是非奇 异的。
例4.2.1 考察如下系统的能控性
x1 1
x2
0
x3 1
2 1 0
1 x1 1
0
x2
0
3 x3 0
0
1 0
u1 u2
易知
1 0 B 0 1
0 0
1 2 1 1 0 1 2 AB 0 1 0 0 1 0 1
对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状 态变换后，其状态能控性不变。
能控性判据的第二种形式
定理4.2.2 如果线性定常系统 x Ax Bu
的系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.1 定常离散系统的能控性 4.2 定常连续系统的能控性 4.3 定常系统的能观性 4.4 线性时变系统的能控性及能观性 4.5 能控性及能观性的对偶关系 4.6 线性定常系统的结构分解 4.7 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系 4.8 能控标准形和能观标准形 4.9 系统的实现
(4.1.9)
定理4.1.2 多输入线性定常离散系统完全能控的
充分必要条件是，矩阵[B,AB,…,An-1B]的秩为n。
该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc表示，于是
此能控性判பைடு நூலகம்可以写成
rankUc=rank[B,AB,…,An-1B]=n. (4.1.10)
多输入与单输入系统的能控性判据形式上完全相同。 但多输入系统有以下特点：
4.1 定常离散系统的能控性
4.1.1 定常离散系统的能控性定义 线性定常离散系统的状态方程 x(k 1) Ax(k) Bu(k)
(4.1.1)
定义4.1.1 对于系统(4.1.1)，如果存在控制向量序列 u(k),u(k+1),…,u(N-1)，使系统从第k步的状态向量开 始，在第N步到达零状态，其中N是大于k的有限数 ，那么就称此系统在第k步上是能控的。如果对每一 个k，系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态 完全能控的，简称能控。
4.2.1 线性定常连续系统的能控性定义线性定常连
续系统的状态方程
x Ax Bu
(4.2.1)
定义4.2.1 对于系统(4.2.1)，若存在一分段连续
控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系 统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)， 那么就称此状态是能控的。若系统任意t0时刻的 所有状态x(t0)都是能控的，就称此系统是状态
例4.1.2
x1 (k 1) 1
x
2
(k
1)
1
x3 (k 1) 0
2 0 1
1 x1 (k) 1
2
x
2
(k
)
0
1x3 (k) 0
0
0 1
u1 u2
(k) (k )
只要计算出矩阵[B,AB]的秩，即可
1 0 1 1
rank B AB rank 0 1 1 2 3
0 0 0 0
4.2 定常连续系统的能控性
0
x2
1
3 x3 1
1
1
1
u1 u2
2 1 3 2 5 4
UC B
AB
A2 B
1
1
2
2
4
4
1 1 2 2 4 4
其秩为2，所以系统不能控
注 对照一下定常连续系统与定常离散系统能控
性判别条件，发现两者是一致的，这有其内在联 系。如果离散系统的系矩阵和控制矩阵与连续系 统的系统矩阵和控制矩阵相同，则它们的能控性 相同。
完全能控的，简称能控。
4.2.2 线性定常连续系统的能控性判据
能控性判据的第一种形式 定理4.2.1 系统(4.2.1)状态完全能控的充分必 要条件是能控性矩阵
UC B AB
的秩为n，即
An1B
rank B AB
An1B n
注 如果系统是单输入系统，即控制变量维数,则 系统的状态完全能控性的判据为
例4.1.1
1 0 0
1
x(k
1)
0
2 2x(k) 0u(k)
1 1 0
1
1 1 1 rank b Ab A2b rank 0 2 2 3
1 1 3
满足能控性的充分必要条件，故该系统能控。
4.1.3 多输入离散系统能控性的判定条件
多输入线性定常离散系统的状态方程
x(k 1) Ax(k) Bu(k)
1 0 3 0 0 1 0
从而
1 2 1 1 2 2 4 A2B 0 1 0 0 1 0 1
1 0 3 1 0 4 2
1 0 1 2 2 4
UC 0
1
0
1
0
1
0 0 1 0 4 2
其秩为3，该系统能控
例4.2.2 判断线性定常系统
x1 1
x2
0
x3 0
3 2 1
2 x1 2
4.1.2 单输入离散系统能控性的判定条件
单输入线性定常离散系统的状态方程
x(k 1) Ax(k) bu(k)
(4.1.2)
定理4.1.1 单输入线性定常离散系统完全能控的充 分必要条件是，矩阵[b, Ab,…, An-1b]的秩为n。
该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc表示，于是
此能控性判据可以写成 rankUc=rank [b , Ab,…,An-1b]=n. (4.1.5)
两个基础性概念：能控性与能观性
两个基本问题： 在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转
移到要求的状态？指控制作用对状态变量的支配能力， 称之为状态的能控性问题。
在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计 系统的初始状态？系统的输出量（或观测量）能否反映 状态变量，称之为状态的能观性问题。
例4.0.1
(1)多输入系统的能控性矩阵是一个n×np矩阵。根
据判据，只要求它的秩等于n，所以在计算时不一 …, 定需要将能控性矩阵算完，算到哪一步发现充要
条件已满足就可以停下来，不必再计算下去。 (2)为了把系统的某一初始状态转移到零状态，存 在着许许多多的方式，因此我们可以在其中选择 最优的控制方式。例如选择控制向量的范数最小。