现代控制理论第4章1

(2) 如果平衡状态
，在Lyapunov意义下是稳定的，并
且始于域S()的任一条轨迹，当时间t 趋于无穷时，都不脱离
S()，且收敛于 ，则称式(4.1)系统之平衡状 态 为
渐近稳定的，其中球域S()被称为平衡状
态
的吸引
域。
类似地，如果 与t0无关，则称此时之平衡状态
致渐近稳定的。
为一
实际上，渐近稳定性比Lyapunov意义下的稳定性更重要。
X X e (x1 xe1)2 (x2 xe2 )2 (xn xen )2
1
[( X X e )T ( X X e )] 2
域：n 维状态空间中， 当‖X- Xe ‖限定在某一范围之内 时，即 X Xe , 0 ，记 为‖X- Xe ‖的一个域。
这一方法在学术界广泛应用，影响极其深远。一般我们所 说的Lyapunov方法就是指Lyapunov第二法。
虽然在非线性系统的稳定性分析中，Lyapunov稳定性理论 具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时 ，却并不是直截了当的。技巧和经验在解决非线性问题时显得 非常重要。
4.2 Lyapunov意义下的稳定性问题
,
对所有 t t0 对所有 t t0
则称时变函数 V (x在, t)域（包含状态空间原点）内是正定的 。
3、纯量函数的负定性
如果 - V是(x正) 定函数，则纯量函数 称为负定函数。 4、纯量函数的正半定形
如果纯量函数V (x除) 了原点以及某些状态等于零外，在域内
的所有状态都是正定的，则 V称(为x)正半定纯量函数。
其中，H ，0 为向量的2范数或欧几里德范数，即
类似地，也可以相应定义球域 S() 和 S(）。
在H 邻域内，若对于任意给定的 0 ，H均有
(1) 如果对应于每一个 S，(存) 在一个 ，使S(得) 当t 趋于无穷
时，始于 S()的轨迹不脱离 S()，则式(4.1)系统之平衡状态
7、复二次型或Hermite型
如果 x是 维n 复向量， 为PHermite矩阵，则该复二次型函数
称为Hermite型函数。
例如 V（x） x H Px [ x1
x2

p11
xn
]

然而，对所有的实际问题，如能确定一个足够大的渐近稳定
的吸引域，以致扰动不会超过它就可以了。
(4) 如果对于某个实数>0和任一个实数 >0，不管这两个实
数多么小，在S（）内总存在一个状态 x0 ，使得始于这一状 态的轨迹最终会脱离开S()，那么平衡状态 xe 称0 为不稳定
的。
(5) Lyapunov意义下稳定性的几何意义
例如，在经典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为是稳定 的系统，而仅在Lyapunov意义下是稳定的，但却不是渐近稳
定的系统，则被称之为不稳定系统。两者的区别与联系如下 表所示
表4.1 线性系统稳定性概念与Lyapunov意义下的稳定性概念
经 典 控 制 理 论 不稳定
临界情况
稳定
(线性系统)
(Re(s)>0) (Re(s)=0) (Re(s)<0)
域的几何意义：表示为n 维状态空间中以 Xe为 为半径的 一个球域，记为S( )。
例4.0：设有如下两个向量，分别求其相应的范数及向量的距离。
X (2,1,3,5) Y (0,3,2,0,5)T Z (4,1,2,5) W (0,6,2,1,5)T
解：X 22 12 32 52 39
称为大范
围渐近稳定。
或者说，如果式(4.1)系统之平衡状态 渐近稳定的吸引域 为整个状态空间，则称此时系统的平衡状态 为大范围渐 近稳定的。
显然，大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有 一个平衡状态。
在控制工程问题中，总希望系统具有大范围渐近稳定的特性 。如果平衡状态不是大范围渐近稳定的，那么问题就转化为 确定渐近稳定的最大范围或吸引域，这通常非常困难。
假设在给定初始条件下，式(4.1)有唯一解
且当 t 时t，0 x。于x是0 (t0; x0 , t0 ) x0
在式(4.1)的系统中，总存在
f ( xe , t) ,对0所有t (4.2)
x 则称 为e 系统的平衡状态或平衡点。
(4.1)
(t; x，0 , t0 )
如果系统是线性定常的，也就是说
在这一历史性著作中，Lyapunov研究了平衡状态及其稳定性
、运动及其稳定性、扰动方程的稳定性，得到了系统 x 的f ( x, t)
给定运动 x (包括(t平) 衡状态
)的x稳定x性e ，等价于给定运
动 解)的~x 稳 (定~f包性(括~x。,平t)衡x状态(t)
)的扰动方程
x

Ly a p u n o v 意 不稳定 义下
稳定
渐近稳定
4.2.3 预备知识
1.范数的概念
定义：n 维状态空间中，向量X 的长度称为向量X 的范数，用 符号‖X‖表示，则有
X x12 x22 x32 xn2
1
(X T X )2 向量的距离：n 维状态空间中， ‖X- Xe ‖称为向量X 与Xe 的距离，表示为
一百多年以前(1892年)，伟大的俄国数学力学家亚历山大·米 哈依诺维奇·李亚普诺夫(A.M.Lyapunov) (1857-1918)，以其 天才条件和精心研究，创造性地发表了其博士论文“运动稳定性 的一般问题”，给出了稳定性概念的严格数学定义，并提出了解 决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论的基础。
在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几 种简单的情况。
本章结构如下 4.1 概述。 4.2 介绍Lyapunov意义下的稳定性定义。
4.3 Lyapunov稳定性定理，非线性系统的稳定性分析。
4.4 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析。
4.1 概述
线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性 系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常 困难，甚至不可能。Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统 稳定性问题的一般方法。
称为在Lyapxue nov0意义下是稳定的。
一般地，实数与有关，通常也与t0有关。如果 与t0无关
，则称此时之平衡状态 x为e 一0致稳定的平衡状态。
以上定义意味着：首先选择一个球域S()，对应于每一个 S()，必存在一个球域S()，使得当t趋于无穷时，始于 S()的轨迹总不脱离球域S(）。
x
之原点(或零
e
在上述基础上，Lyapunov提出了两类解决稳定性问题的方 法，即Lyapunov第一法和Lyapunov第二法。
第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性， 即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线 性系统的稳定性；
第二法则是一种定性方法，它无需求解困难的非线性微分 方程，转而构造一个Lyapunov函数，研究其正定性及其对时 间沿系统方程解的全导数的负定或半负定，得到稳定性结论。
图4.1 （a）稳定平衡状态及一条典型轨迹;（b）渐近稳定平衡 状态及一条典型轨迹;（c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹
图4.1（a）、(b)和(c)分别表示平衡状态及对应于稳定性、渐 近稳定性和不稳定性的典型轨迹。在图4.1(a)、(b)和(c)中，球
域S（）制约着初始状态 ，x0而球域S()是起始于 的x轨0 迹的
边界。
注意，由于上述定义不能详细地说明可容许初始条件的精确吸 引域，因而除非S(）对应于整个状态平面，否则这些定义只能 应用于平衡状态的邻域。
此外，在图4.1（c）中，轨迹离开了S(），这说明平衡状态
是不稳定的。 然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨迹还可能趋
于在S(）外的某个极限环（如果线性定常系统是不稳定的，则 在不稳定平衡状态附近出发的轨迹将趋于无穷远。但在非线性 系统中，这一结论并不一定正确）。
Y 02 32 22 02 52 38
X Z (2 4)2 (11)2 (3 2)2 (5 5)2 5
Y W (0 0)2 (3 6)2 (2 2)2 (0 1)2 (5 5)2 10
2、纯量函数的正定性
4.2.2 Lyapunov意义下的稳定性定义
下面首先给出Lyapunov意义下的稳定性定义，然后回顾某些 必要的数学基础，以便在下一小节具体给出Lyapunov稳定性 定理。
定义4.1 设系统
f (xe ,t) 0
x f (x, t)
之平衡状态 xe 的0H邻域为
x xe H
2
正半定的
3
V ( x) x12 (3x1 2x2 )2
负定的
4
V（x)

x1 x2

x
2 2
5
V
(x)

x12

2 x22 1 x22
不定的 正定的
6、二次型 建立在Lyapunov第二法基础上的稳定性分析中，有一类
纯量函数起着很重要的作用，即二次型函数。
例如
注意，这里的 x为实向量， P为实对称矩阵。
对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。如 果系统是线性定常的，那么有许多稳定性判据，如RouthHurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用。
然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上述稳定
性判据就将不再适用。 本节所要介绍的Lyapunov第二法（也称Lyapunov直接法）
是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法。
当然，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。
此外，它还可应用于线性二次型最优控制等许多问题。
4.2.1 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点
考虑如下非线性系统
x f (x, t)
式中 x为 维n状态向量， f (x是,变t)量
x,1 ,…x2 ,和tx的n n维向量函数。
，则当A为非奇
异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态
. xe 0
当A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。
对于非线性系统，则有一个或多个平衡状态，这些状态
对应于系统的常值解（对所有t，总存在 x ）x。e
平衡状态的确定不包括式(4.1）的系统微分方程的解，只
涉及式(4.2)的解。
任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给
5、纯量函数的负半定性
如果 - V (是x)正半定函数，则纯量函数 V称(为x)负半定函数。
6、纯量函数的不定性
如果在域内，不论域多么小，V (x既) 可为正值，也可为 负值时，则纯量函数 V称(为x)不定的纯量函数。
[例4.1] 本例给出按照以上分类的几种纯量函数，这里假设x为
二维向量。
1
正Hale Waihona Puke Baidu的
如果对所有在域中的非零状态 x， 有0
，V 且(x在) 0 处
有 x ，0则在域V(（0)域 0包含状态空间的原点）内的纯量函数
称为正定函数。
如果时变函数V (x,由t)一个定常的正定函数作为下限，即存在一 个正定函数 ，V使(得x)
V (x, t) V (x) ,
V (0, t) 0
考虑到非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念，所以简单
地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。
通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。它是发生
渐近稳定轨迹的那部分状态空间。换句话说，发生于吸引域内
的每一个轨迹都是渐近稳定的。
(3) 对所有的状态（状态空间中的所有点），如果由这些状
态出发的轨迹都保持渐近稳定性，则平衡状态
定运动 之坐~x 标 原~f (点~x, t，) 即
都可通过坐标变换，统一化为扰动方程
或。
~xe 0
在本章中，除非特别申明，我们将仅讨论扰动方程关于原点
处之平衡状态的稳定性问题。
这种所谓“原点稳定性问题”，由于使问题得到极大简化， 又不会丧失一般性，从而为稳定性理论的建立奠定了坚实 的基础，这是Lyapunov的一个重要贡献。
上述各定义的内容，对于理解本章介绍的线性和非线性 系统的稳定性分析，是最低限度的要求。
注意，这些定义不是确定平衡状态稳定性概念的唯一方法。 实际上，在其它文献中还有另外的定义。
对于线性系统，渐近稳定等价于大范围渐近稳定。但对于 非线性系统，一般只考虑吸引区为有限范围的渐近稳定.
最后指出，在经典控制理论中，我们已经学过稳定性概念，它与 Lyapunov意义下的稳定性概念是有一定的区别的。