现代控制理论习题解答(第四章)
1v(x) a 1x 12 b 1x 22 c 1 x 322x 1x 2 4x 3 x 2 2X 1X 3a 1 x T 11 b 1 2(1) v(x) x 12 4x 22 x 32 2x 1x 2 6x 3x 2 2x 1x 3 (2) v(x)x 12 10x 22 4x 32 6x 1 x 2 2x 3x 2222(3) v(x) 10x 14x 2 x 3 2x 1x 2 2x 3x 2 4x 1 x 3【解】：(1)二次型函数不定。
⑵二次型函数为负定。
⑶二次型函数正定。
3-4-2试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。
【解】：3-4-1第四章控制系统的稳定性试确定下列二次型是否正定。
1 1 11 11 1 114 3 ,1 0,3 0, 14 31 1 11 413 11 131P4100, 3 100,1010 P 12 1 , 10 1110 1 210 1 39 01411 42 1 10, 17a 1 0a 1b 1 1 a 1b 1c 1 4 b 1 4a 1 c 1【解】：(1)设2 2 v(x) 0.5x 10.5X 2V (X ) X 1X 1 X 2X 2 X 1X 2 X 1X 2 X2x/ °" °)为半负定。
0 (x 0)又因为v(x) 0时，有X 2 0, 则X 2 0，代入状态方程得： X 1 0. 所以系统在X 0时，v(x)不恒为零。
则系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。
(2)设2 2v(x) 0.5X 1 0.5X 2v(x) X 1X 1 X 2X 2 X 1 ( X 1X 2) X 2(2X 1 3X 2)X 12 3X 22 3X 1X 2T 11.51 11 1.5Xx1 0,1.5 31 1 11.53T …X PxP 负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。
(3)0 1 1 1(1) XX(2) xX ； 1 1 2 31 11 0(3) xX (4) xX 1 10 13-4-3满足正定的条件为:a i | of 1 1b ia i 0, 1 11 1 b 12 02 C 1试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。
2 2v(x) 0.5x i 0.5x 2v(x) X i X t x 2x 2 X, X t x 2) x 2( X t x 2)x T PxP 负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。
(4)两个状态变量相互独立，所以可以单独分析各变量的稳定性。
3-4-4试确定下列系统平衡状态的稳定性。
1 3 0x(k 1)3 2 3 x(k)1【解】：方法一： 采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。
z i 3f(z) zI A 3 z 2 3i 0 zz i 0.ii73+2.6974i z 2 0.1173-2.6974i Z 31.2346特征多项式对应的特征值均在单位圆外，所以系统不稳定。
方法二： 采用第二方法，1 3 0 G 32 3。
12 2X i X 22X i X i v(X i ) 0.5x i2X 2 X 2 V (X 2)0.5X 2所以系统不稳定。
2 0 XV(X i )X i X i X i0 X 020 X 0 V (X 2) X 2X 2X 2X 01 0.5 0.5 P 0.51 0 0.51v(k) x T (k)(G T PG P)x( k)3 1 1 0.5 0.5 13 0 0.5 0 184.5 7 4.561.5 71.58v(k)为正定，所以系统在原点不稳定。
定时k 值范围。
【解】：方法采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。
z1 0f (z) zI A 0 z 10 0k/2z84.5 784.527.75 04.561.5 4.5 67 1.5 8因为8>0,4.5 0，所以P 正定。
10.5 0.51 0.50.75 00.51 0 0.510.510 ,所以P 正定。
v(x) x TPx 正定。
G T PG P 32 0 0.5 1 0 3-4-5因为1>0，0.5乙0.51 2kz2-0.5 2kZ3 00.5 2k 1 0 k 2时平衡点渐近稳定。
方法二：v(x) x T Px 正定。
v(k) x T(k)(G T PG P)x( k)v(k) x T (k)Qx(k)Q I1212 4 k2223R巳巳123RRR1231.^1.^1pp1ok-21111ppGpGP为正定，则124 k2120 k 2时系统渐近稳定。
3-4-6设系统的状态方程为X 10 1X 1，试求这个系统的李亚普诺夫函数， x 2 21.5 x 2然后再求从封闭曲线 v(x) 100边界上的一点到封闭曲线 v(x) 0.05内一点的响应时间上限。
【解】： 令Q IA T PPA I求矩阵P ，即2 P 1 P|2 P 11 P 12 0 1 1 0 11.5 P 21P 22P 21 P 2221.50 15.5所以李氏函数为:2 2v(x)(X 1 x 2 )1 1QP 1I P 1 I 03-4-7 试确定下列非线性系统在原点处的稳定性。
【解】：(1 )采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得:I P 012.3062，20.6938t t 。
1ln V(X ，t) 1 , 0.05 In min V(X 0, t o )2 10010.955v(x)5.5 2X 1 42 0.5x 1x 2 0.5x 22s 22s 2系统的两个特征值均在右半平面，则系统在平衡点附近不稳定。
（2 ）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得:3-4-8试确定下列非线性系统在原点处稳定时的参数a 、b 的取值范围（其中二者均大于或等于零，但二者不同时为零）。
X 1 X 2 x 2x 1 ax 2 bx 23【解］:f 1 f 1Afx 0X 1 X 2 0 10 1 T Xf 2 f 21a 3bX 22x 01aX 1X 2x 01 1s 1 2siA 1 sas as 1结论：系统在原点渐近稳定的充要条件是 a 大于0, b 任意（同时还需满足题目要求）。
［解］:求平衡点：f 1 X 1 X 2 1 3X 12 11 1 T xxf 2 f 2113X 22 x 01 1X 1X 2x 011Asif 1f 1X 1 X 2 2 21 3x 1 x2 1 2x 1 x 2 f 2 f 22 21 2X 1X 21 X 1 3X2 x 0X 1X 2 x0s 1 As 1 1 1s 1s 2 2s 2 03-4-9试证明系统x 1 x 2x 2a 1x 1a 2x 12x 2在a 10,a ? 0时是全局渐近稳定的。
Ax系统的两个特征值都在左半平面，则系统在平衡点附近渐近稳定。
X i X 2x 2 0a i x i2 a 2X i X 2X ie0 0X 2e设v(x) 20.5a i X i20.5X 2v(x) a 1x 1 x 1 x 2x 2 a 1x 1x 2 x 2( a ^x 2 a 2x 12x 2)22v(x)a 2X i X2结论a i 0， v(x)正定；a 2 0， v(x)负定，系统渐近稳定。
因为时，v(x) 0.5a i X i 2 0.5X 22，所以系统又是大范围渐近稳定。
3-4-10 试用克拉索夫斯基法确定非线性系统在原点X e 0处为大范围渐近稳定时，参数a 和b 的取值范围。
[解]:v(x) f T (x)f(x)大范围渐近稳定的条件是:x 时 v(x)X Tf if i X i X 2 ai f 2 f 2 ii 3bx 22X i X 2v(x)f T (X)[J T J]f(x)2f T (x)i3bx 22 f(x)系统在x e0处渐近稳定的条件是v(x)负定。
而v(x)负定的条件为:a a 0,ii i 3bx 222a 3abx 2 i 0而 ||x | 时，v(x) (ax i X 2 )2 (x i X 2 bx 2 )2所以系统大范围渐近稳定的条件是：a 0,a i 2ii 3bX 2a 3abx 22 i 03-4-11试用变量-梯度法构成下述非线性系统的李氏函数。
x i x i 2x 1 x 2 x 2x 2【解】：求平衡点：X i X 22x 1 2x 1 x 2 x 20 X ieX 2e 0设Va ii X i a i2 X 2V ia 2i X i a 22X 2 V 2v(x)(V)T x2 a ii X i(a 12 a 21 )x 1x 22a 11x 13 x 2 2 2 22a 〔2 x 〔X 2 a 22 x 2若选a iia 221, a i2 V ia 21 0a 12V 22a 21 0X 2X i满足旋度方程条件v(x) xj(1 2X 1X 2) X 22。
当 x 1 x 20.5时，v(x)负定X i (X 2 0)X 2(x i X i )22 、 宀而 v(x)x i dx i x 2dx 2 0.5(x f x ；)为正定。
0 0当X i X 2 0.5时，系统在平衡点渐近稳定。
3-4-I2设非线性系统方程为试求系统原点X e 0稳定的充分条件。
【解】：由第一法，稳定条件为：由克拉索夫斯基法设f i f2 f2A f T X0XX i X i X2f3X2 X 0f i f20，f3X i X i X2v(X) T X X为正定。
TXv(x) Fxf lX i X i3-4-132(X iX2X1)f2X2X2X22上X2l iX if2X2f2X if3X2f i f2X i X if if2)X if3(-f2X i X2 X2f i f2X i X if i f2)X if3(-f2X i X2 X2时渐近稳定。
4(时稳定。
4()2)2试用阿依捷尔曼法分析下列非线性系统在原点X e 0处的稳定性。
结构如题3-4-13图所示。
(1)题3-4-13图【解】：当输入为零时，非线性系统方程可以写成e e F (e) 0若取状态变量：X 1 e, X 2 e ，那么系统的状态方程为:x 1 x 2 X 2 X 2 F (e)(1)在x e 0处将非，线性环节输入-输出特性用一直线近似 则线性化状态方程为：X 1 X 2⑵取二次型函数作为系统的李氏函数，则有(k 1)2时v(x)为负定，从而求得 0.382只要非线性环节的曲线在 0.382e 和2.618e 范围内变化，原非线性控制系统就是大范围渐近稳定的。
现代控制理论第四章答案
G T PG P Q 1 3 1 P11 3 2 0 P 12 0 3 0 P13 P12 P22 P23 P13 1 3 0 P11 P23 3 2 3 P12 P33 1 0 0 13
P 12 P22 P23
19 1 0, 2 0, 3 0 78
19 78 P 13 10 P23 39 P33 1 2
10 39 49 78 19 13
0 0 0 P11 P12 P13 1 0 0 0 P P k P k 2 / 4 P P k / 2 P P P 0 0 0 11 13 33 12 23 12 22 23 0 P13 P23 P33 0 0 0 P12 P23 k / 2 P22
P 12 P22
P 1 1 1 0 12 2 3 0 1 P22
7 P 11 4 5 P 12 8 9 P22 24
2 P 4 P 1 11 12 P 4 P 2 P22 0 11 12 2 P 6 P 1 22 12
1 2 19 13 123 76
故:矩阵P是负定的,所以系统的平衡状态是不稳定的
【习题4－8 】设线性离散系统的状态方程为
0 1 0 x(k 1) 0 0 1 x(k ) 0 k / 2 0
1 Q 0 0 0 0 0 P 11 P P 12 P 13
I A
a11
a12
a21 a22 (a22 a11 a12 a21 ) 1 2 0 2 (a11 a22 ) 1 2 0 2
现代控制理论答案第三版
解：由图，令 i1
= x1 , i2 = x 2 , u c = x3 ，输出量 y = R2 x 2 x1 = − x2 = − x3 = −
• • •
R1 x1 + L1 x1 + x3 = u
有电路原理可知： L2
•
R1 1 1 x1 − x3 + u L1 L1 L1 R2 1 x2 + x3 L2 L2
−1
⎡0 ⎢b ⎢ 1 ⎢0 ⎢ ⎣0
0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ b2 ⎦ 0 0 s a4 0⎤ a6 ⎥ ⎥ − 1⎥ ⎥ a3 ⎦
−1
−1 ⎡s ⎢a s + a 1 Wuy ( s ) = C ( sI − A) −1 B = [1 0 1 0]⎢ 2 ⎢− 1 0 ⎢ a5 ⎣0
1-5 系统的动态特性由下列微分方程描述
1 0 ⎤ ⎡ p13 ⎤ ⎡ 0 ⎡ p13 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 当 λ1 = −3 时， 3 0 2 p23 = −3⎢ p23 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− 12 − 7 − 6⎦ ⎥⎣ ⎢ p33 ⎦ ⎥ ⎢ p33 ⎦ ⎥ ⎣ ⎣
解得：
p23 = −3 p13 , p33 = 3 p13
⎡0 ⎢b ⎢ 1 ⎢0 ⎢ ⎣0
0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ b2 ⎦
(2) y + 5 y + 7 y + 3 y = u + 3 u + 2u
列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。 解：令
. ..
K
..
.
..
.
x1 = y ， x 2 = y ， x 3 = y
，则有
⎡ 。⎤ 1⎥ 1 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡0 ⎢x 。 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢x ⎥ = ⎢ 0 0 1⎥ 2 ⎥ ⎢ x 2 ⎥ + ⎢0 ⎥ u ⎢。 ⎥ ⎢ ⎢ x3 ⎥ ⎢ ⎣− 3 − 7 − 5⎥ ⎦⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣1 ⎥ ⎦ ⎢ ⎦ ⎥ ⎣ ⎡ x1 ⎤ ⎥ y = [2 3 1]⎢ ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦
现代控制理论第4章测验参考答案
第4章测验题（共3题，时间：30分钟）1、若系统的齐次状态方程为),(t x f x= ，若存在状态矢量x e ，对于所有t ，都使x e 称为系统的平衡状态。
2、若二次型标量函数V (X )=V (x 1，x 2)=22212125x x x x ++, 若写成V (X )= X T PX 的形式（P 为对称阵），则PP 的符号性质为：。
3、系统状态空间表达式为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=013502 ，[]x y 11-=， （1）判断系统在平衡状态处的稳定性。
（2）分析系统的输出稳定性。
解：（1）令0=x ，易知该系统具有唯一一个平衡点为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00e x 。
设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22121211p p p p P ，取Q=I ，解李亚普诺夫方程PA+A T P=－I ，可得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=61656537P 易知矩阵P 的符号性质为不定，所以系统在平衡点处不是渐近稳定的。
也可取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000Q 为半正定阵，则22)(x Qx x x V T =-= ，易证明仅当x=0时0)(≡x V，因此Q 的选取合理。
解李亚普诺夫方程PA+A T P= －Q 求出⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=6165651225P ，P 阵符号也为不定，故系统在平衡点处不是渐近稳定的，但无法判断系统是李亚普诺夫意义稳定还是不稳定。
说明：通过第一方法可求得系统的特征值为2和－3，存在具有正实部的特征值，因此系统是不稳定的。
此外，通过求解该系统的自由解可知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-t t te x x e x e x t x 31020210210)()(，易知系统的状态是发散的，故系统是不稳定的。
（2）对于系统的输入输出稳定性分析：系统传递函数为31)3)(2()2()()(1+=+--=-=-s s s s B A sI C s G ， 唯一极点为-3，位于s 平面左半平面，因此系统为输出稳定。
现代控制理论习题解答(第四章)
第四章 控制系统的稳定性3-4-1 试确定下列二次型是否正定。
(1)3123212322212624)(x x x x x x x x x x v --+++= (2)232123222126410)(x x x x x x x x v ++---= (3)312321232221422410)(x x x x x x x x x x v --+++= 【解】： （1）04131341111,034111,01,131341111<-=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数不定。
(2)034101103031,0110331,01,4101103031<-=--->=--<-⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=P二次型函数为负定。
(3)017112141211003941110,010,1121412110>=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数正定。
3-4-2 试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。
312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=【解】：312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=x c b a x T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=1112121110212111,011,0111111>---->>c b a b aa 满足正定的条件为：⎪⎩⎪⎨⎧++>+>>1111111114410ca b c b a b a a3-4-3 试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。
;1001)4(;1111)3(;3211)2(;1110)1(x x x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=【解】： （1）设22215.05.0)(x x x v +=⎩⎨⎧≠≤==-=--=+=)0(0)0(0222221212211)(x x x x x x x x x x x x x v为半负定。
现代控制理论课后习题答案
现代控制理论课后习题答案第⼀章习题1.2求下列多项式矩阵()s D 和()s N 的两个不同的gcrd:()2223(),()1232s s s s s s s s s ??++== ? ?+-??D N 解：()()22232321s s s s s s s++ =++ ? ?D S N S ； ()3r 2,1,2E -：223381s s s s s s ??++ ?-- ? ???；()3r 2,3,3E ：223051s s s s s ??++ ?- ? ???；()3r 1,3,2E s --：01051s s ?? ?- ? ；()3r 2,1,5E s -：01001s ?? ?；()3r 3,1,1E -：01000s ?? ? ? ???；()1r 2,3E ：01000s ?? ? ? ???；()1r 1,2E ：00100s ?? ?；所以⼀个gcrd 为001s ??；取任⼀单模矩阵预制相乘即可得另⼀个gcrd 。
1.9 求转移矩阵t A e (1)已知1141??=A ，根据拉⽒反变换求解转移矩阵tA e 。
(2) 已知412102113-?? ?= ? ?-??A ，根据C-H 有限项展开法求解转移矩阵t A e 。
解：(1)11()41s s s --??-= ?--??I A1110.50.50.250.2511(3)(1)(3)(1)13131()4141110.50.5(3)(1)(3)(1)(3)(1)3131s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s --+---+-+??-+-+ ? ?-=== ? ?---+ ?-+ ? ?-+-+-+-+?I A 3311330.5e 0.5e 0.25e 0.25e e ()e e 0.5e 0.5e t t t t t t tt t s ------??+-??=-= ??? ?-+?A L I A (2)由2412()12(1)(3)0113λλλλλλ--?? ?=--=--= ? ?--??A I -，得1,233,1λλ== 对1,23λ=，可以计算1,2()2rank λ=A I -，所以该特征值的⼏何重数为1。
《现代控制理论》第三版_.习题答案
1 0 0 3 1 0 5 2 1 52 7 1 5 2 70 125 3 5 7 5 0 0 1 1 B 2 ； 2 5 5
1 0 a1 0 0 1 0 1 0 0 1 a2 3 7 5
0 B 0 1
C (b0 a0bn ) (bn1 an1bn ) 2 1 0
3 1 a 或者 2 2 1 a1 0 a0
e At I At 1 22 1 33 A t A t 2! 3! t2 t4 t6 t3 t5 1 4 16 64 , 4 16 t 2! 4! 6! 3! 5! 3 5 2 4 6 t t t t t t 4 16 64 , 1 4 16 64 3! 5! 2! 4! 6!
0 0 1 B M 1 0 0 0 0 1 M2
1 0 B 1 M1 B1 M2
1 B1 M1 B1 B2 M2
0
0 0 1 0 C 0 0 0 1
1－5. 根据微分方程， 写状态方程， 画模 拟结构图。
1 a2 a2 2 a1 3 2 a a a 1 2 2 a0
1 a2 a1
1 a2
12 b1 b0
b3 b 2 b1 1 b0
凯莱哈密顿法： 1,2 2 j
0 (t ) 1 1 e1t 1 2(e 2 jt e 2 jt ) (t ) 1 2t 4 2 jt 2 jt e j ( e e ) 2 1
现代控制理论第4章答案
现代控制理论第四章习题答案4-1判断下列二次型函数的符号性质：（1）222123122313()31122Q x x x x x x x x x x =---+-- （2）222123122313()4262v x x x x x x x x x x =++---解：（1）由已知得[]11231231232311232311()31122111113211112x Q x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-+------⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥---⎣⎦110∆=-<，2112013-∆==>-，31111711302411112--∆=--=-<--- 因此()Q x 是负定的 （2）由已知得[][]112312312323112323()433111143131x Q x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=---+---+⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦110∆=>，2113014-∆==>-，3111143160131--∆=--=-<--因此()Q x 不是正定的 4-2已知二阶系统的状态方程：11122122a a xx a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。
解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A 的特征值均具有负实部。
即：111221222112211221221()0a a I A a a a a a a a a λλλλλ---=--=-++-= 有解，且解具有负实部。
即：1122112212210a a a a a a +<>且方法（2）：系统的原点平衡状态0e x =为大范围渐近稳定，等价于T A P PA Q +=-。
《现代控制理论》课后习题答案4
ε 和初始时刻 t0 有关)， 使得从球域 S (δ ) 内任一初始状态出发的状态轨线始终都保持在球域 则平衡状态 xe = 0 称为是李雅普诺夫意义下稳定的。 进一步， 如果平衡状态 xe = 0 S (ε ) 内，
是李雅普诺夫意义下稳定的，并且当 t → ∞ 时，始于原点邻域中的轨线 x (t ) → 0 ，则平衡 状态 xe = 0 称为在李雅普诺夫意义下是渐近稳定的。 它既适用于线性系统， 也适用于非线性系统， 既适用于时变系统， 也适用于时不变系统， 既适用于连续系统，也适用于离散系统。 4.4 怎样判别二次型函数的正定、负定、半正定、半负定？ 答：二次型函数的一般表达式为：
2 2 2
（2） V ( x ) = − x12 − 10 x 2 2 − 4 x3 2 + 6 x1 x2 + 2 x3 x2 ； （3） V ( x ) = 10 x1 + 4 x2 + x3 + 2 x1 x2 − 2 x3 x2 − 4 x1 x3
2 2 2
2 2 答： （1） V ( x ) = x12 + 4 x2 + x3 + 2 x1 x2 − 6 x2 x3 − 2 x1 x3
⎛ ⎡10 1 −2 ⎤ ⎞
由于矩阵 P 的三个顺序主子式分别是
⎛ ⎡10 1 ⎤ ⎞ ⎜⎢ ⎥⎟ Δ1 = 10 > 0 ， Δ 2 = det ⎜ ⎢ ⎟ = 39 > 0 ， Δ 3 = det ⎜ ⎢ 1 4 −1⎥ ⎟ = 17 > 0 ⎥ ⎝ ⎣ 1 4⎦ ⎠ ⎜ ⎢ −2 − 1 1 ⎥ ⎟ ⎦⎠ ⎝⎣
AT P + PA = −Q
其中，未知对称矩阵具有以下形式
⎡P P = ⎢ 11 ⎣P 12
《现代控制理论》第三版 第四章.习题答案
a11 a22 0
4-3（1）选 v( x ) x1 x2 ，平衡点 xe 0 v( x ) 0 ( x ) 2 x12 6 x2 2 6 x1 x2 x T Px v
2 3 P 3 6 2 3 0
1 P 11 0
4-2 法一： 系统的特征方程为：
I A 2 a11 a22 a11a22 a12 a21
系统大范围渐近稳定等价于方程有两个 负实部的共轭复特征值或两个负实特征 值，于是可以得到 1 2 a11 a22 0 12 a11a22 a12 a21 0 法二： P11 P12 设对称阵 P = ，设 Q I P12 P22
2
2
因为 i 为奇数 i 0 i 为偶数 i 0 ，所以
P 负定。
( x ) 0 渐近稳定 v 当 x 近稳定 或按
AT P PA Q
v( x ) 所以大范围渐
取Q I
7 4 P 5 8
稳定
5 8 3 8
1 0 2 0 所以 P 渐近
（2） v( x ) x1 x2
2
2
( x ) 2( x12 x2 2 ) 0 v
当
x v( x ) 所以大范围渐近稳定 1 2 P 0 0 1 2
2 2
或按 AT P PA Q
问题： 4-2 讨论对取 v( x ) x1 x2 ，
1 1 0
3 17.75 0 ，所以 Q( x )
是负定的
2） Q( x ) x T Px
1 1 1 P 1 4 3 1 3 1 1 1 0 2 3 0 所以 Q( x ) 不定符号
(完整word版)《现代控制理论》第3版课后习题答案
《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
U图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。