标量场的方向导数和梯度概要
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工程数学 标量场及其梯度
CQU
（6）梯度运算的几个基本关系式 • 相对坐标标量函数 f (r−r′)
∇f = −∇ ′f
证明 ：在直角坐标系中f (r−r′) = f (x− x′，y− y′，z− z′ ) 上式重写为
∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ex + ey + e z = −( ex + ey + ez ) ′ ′ ′ ∂z ∂y ∂x ∂y ∂z ∂x
R = ( x − x ′) e x + ( y − y ′) e y + ( z − z ′) e z
R = [( x − x ′) 2 + ( y − y ′) 2 + ( z − z ′) 2 ]1/2
则
∂R 1 = [( x − x′) 2 + ( y − y′) 2 + ( z − z′) 2 ]−1/2 ∂x 2
∇f
P 1
= 4e 2-1-1 (2 e x − e y + e z ) = 4(2 e x − e y + e z )
R12 (−3 − 1) e x + (5 − 1) e y + (6 + 1) e z = = R12 [(−4) 2 + 4 2 + 7 2 ]1/2 = − 4 ex + 4 ey + 7 ez 81 = − 4 ex + 4 ey + 7 ez 9
1.2 标量场及其梯度
CQU
(2)方向导数与梯度的关系 偏导数
∂f ∂f ∂y ∂x 、
∂f 、 ∂z
分别叫做 ƒ 在x、y、z 方向
上的方向导数，用梯度表示为
∂f = (∇f ) x = ∇f e x ∂x ∂f = (∇f ) y = ∇f e y ∂y ∂f = (∇f ) z = ∇f e z ∂z
本科-工程电磁场03-标量场函数的梯度
2019/10/3
华北电力大学电气与电子工程学院
10
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
当 l 与坐标轴方向一致（如 x 轴），
则
u l
G
ex
u x
（方向导数作为偏导数理解）
当 l 方向与 G 方向一致时，方向导数值达到最大，
最大的方向导数为 G 。 G 是矢量 G 的模
梯度定义：
在标量场中任一点 M 处，如果存在矢量 G ，
主讲人： 王泽忠
3） gradu v gradu gradv
4） graduv ugradv vgradu
5） grad( u ) 1 (vgradu ugradv) v v2
u u(M) u(M0 )
若当沿着 l , M M0 时，
比式 u u(M) u(M0 ) 的极限存在，怎么样？
l
l
2019/10/3
华北电力大学电气与电子工程学院
3
工程电磁场
就称此极限值为
主讲人： 王泽忠
函数 uM 在点 M0 处沿 l 方向的方向导数，
记作 du dl M0
9
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
根据矢量点积计算公式，可以看出
u l
u x
cos
u y
cos
u z
cos
Gຫໍສະໝຸດ el令 表示矢量 G 与单位矢量 el 之间的夹角，
根据矢量点积的计算式，得
u l
G
el
G cos
对给定函数和给定点，G 是固定值，
随着 l 方向改变， 变化，方向导数值随之变化
场波教案-1
Ψ = ∫ A dS
S
通量的性质: 通量的性质: 源:当矢量穿出某个闭合面时,认为该闭合面中存在产生该矢量场的源; 当矢量穿出某个闭合面时,认为该闭合面中存在产生该矢量场的源 当矢量进入这个闭合面时, 洞:当矢量进入这个闭合面时,认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的 洞(或汇). 通常规定闭合的有向曲面的方向为闭合面的外法线方向. 通常规定闭合的有向曲面的方向为闭合面的外法线方向. 当闭合面中有源时,矢量通过该闭合面的通量一定为正; 当闭合面中有源 矢量通过该闭合面的通量一定为正 当闭合面中有洞 当闭合面中有洞时,矢量通过该闭合面的通量一定为负. 矢量通过该闭合面的通量一定为负 源称为正源,洞称为负源. 称为正源, 称为负源. 正源 负源 可见通量可为正,或为负,或为零 可见通量可为正,或为负,或为零.
∫
V
[Q ( × × P ) P ( × × Q ]dV = ∫ [ P × × Q Q × × P ] dS
S
此式称为矢量第二格林定理. 此式称为矢量第二格林定理. 矢量第二格林定理 无论何种格林定理,都是说明区域 中的场与边界 无论何种格林定理,都是说明区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的 区域中场的求解问题转变为 关系.因此,利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场 关系.因此,利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场 的求解问题. 的求解问题. 此外,格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系. 此外,格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系. 两种标量场或矢量场之间应该满足的关系 因此,如果已知其中一种场的分布特性, 因此,如果已知其中一种场的分布特性,即可利用格林定理求解另一种 场的分布特性(例如电场和磁场). 场的分布特性(例如电场和磁场). 格林定理广泛地用于电磁理论. 格林定理广泛地用于电磁理论.
方向导数和梯度
方向导数和梯度
本节的研究目的
研究标量场的变化率。最大变化率？
本节的研究内容
一、方向导数 二、梯度
一、方向导数
1. 方向导数的定义
l
P
P0
l
u lim u lim u(P) u(P0 )
l l PP0 P0
P P0
l
方向导数：表示标量场中 u(P)在给定点处沿某一方
向 l 的变化率。
一、方向导数
方向导数：表示标量场中 u(P)在给定点处沿某一方
向 l 的变化率。
u u cos u cos u cos
l x
y
z
函数 u(P) 从给定点出发有无穷多个变化方向，其 中哪个方向的变化率最大？
最大变化率是多少？
一、方向导数
u u cos u cos u cos
l x
y
z
令：
g
u x
ex
u y
ey
u z
ez
el
ex
cos
ey
cos
ez
cos
u l
g
el
g el cos(g, el ) g cos(g, el )
cos(g, el ) 1
u g 方向导数取得最大值
l
二、梯度
gradu
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度小结：
1. 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐导数；
3. 梯度的方向为该点方向导数最大的方向；
二、梯度
gradu
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度小结：
4. 梯度描述标量场中任一点函数值在该点附近增 减性质的量，沿着梯度的方向，函数值增加或 减小得最快；
本节的研究目的
研究标量场的变化率。最大变化率？
本节的研究内容
一、方向导数 二、梯度
一、方向导数
1. 方向导数的定义
l
P
P0
l
u lim u lim u(P) u(P0 )
l l PP0 P0
P P0
l
方向导数：表示标量场中 u(P)在给定点处沿某一方
向 l 的变化率。
一、方向导数
方向导数：表示标量场中 u(P)在给定点处沿某一方
向 l 的变化率。
u u cos u cos u cos
l x
y
z
函数 u(P) 从给定点出发有无穷多个变化方向，其 中哪个方向的变化率最大？
最大变化率是多少？
一、方向导数
u u cos u cos u cos
l x
y
z
令：
g
u x
ex
u y
ey
u z
ez
el
ex
cos
ey
cos
ez
cos
u l
g
el
g el cos(g, el ) g cos(g, el )
cos(g, el ) 1
u g 方向导数取得最大值
l
二、梯度
gradu
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度小结：
1. 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐导数；
3. 梯度的方向为该点方向导数最大的方向；
二、梯度
gradu
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度小结：
4. 梯度描述标量场中任一点函数值在该点附近增 减性质的量，沿着梯度的方向，函数值增加或 减小得最快；
标量场梯度的定义与计算
d/
弟为最大的方向导数。
思考：什么情况下，方向导数为零呢？
sd 为零，即等值面上任意线段上
的方向导数为零。
b・梯度定义
定义：标量场中某点梯度的大小为该
点最大的方向导数，其方向为该点所
在等值面的法线方向。
d。
数学表达式:
grad^
=
八a dn n
C.梯度的计算:
挪 d，dn d， 八
梯度
al
u —=---- cos
解：根据梯度计算公式
疽卵—ax +云 ^^y az ox 8y 8z
=6 xyz & + 3x2 z z(ay + 9 x2
yz 位
, grad I 尹=12% + 3 句 + 18ciz
在不同的坐标系中，梯度的计算公式:
在直角坐标系中: 在柱坐标系中:
海八 海八 海八
v^=—a +—a y +—a ox Sy
W牛r or
Hale Waihona Puke Sz也"淨z在球坐标系中:
w=迎晶+
SR R
海a+
sin先 a
+普 +寿 在任意正交曲线坐标系中：坐标变量（"i，"2,"3），拉梅系数（如h2,h3） ou2 a 2 h ou3 a 3 h h Ou
小结：
1.标量场的等值面
2.标量场梯度的定义grad^ =翌％ dn
3. 标量场梯度的计算w=普&
+ + h % a 2 h m a 3
学a
， d l d n d / d n
在直d 角坐= 标gr系ad中，：- d挪l =g皿斜+灯
弟为最大的方向导数。
思考：什么情况下，方向导数为零呢？
sd 为零，即等值面上任意线段上
的方向导数为零。
b・梯度定义
定义：标量场中某点梯度的大小为该
点最大的方向导数，其方向为该点所
在等值面的法线方向。
d。
数学表达式:
grad^
=
八a dn n
C.梯度的计算:
挪 d，dn d， 八
梯度
al
u —=---- cos
解：根据梯度计算公式
疽卵—ax +云 ^^y az ox 8y 8z
=6 xyz & + 3x2 z z(ay + 9 x2
yz 位
, grad I 尹=12% + 3 句 + 18ciz
在不同的坐标系中，梯度的计算公式:
在直角坐标系中: 在柱坐标系中:
海八 海八 海八
v^=—a +—a y +—a ox Sy
W牛r or
Hale Waihona Puke Sz也"淨z在球坐标系中:
w=迎晶+
SR R
海a+
sin先 a
+普 +寿 在任意正交曲线坐标系中：坐标变量（"i，"2,"3），拉梅系数（如h2,h3） ou2 a 2 h ou3 a 3 h h Ou
小结：
1.标量场的等值面
2.标量场梯度的定义grad^ =翌％ dn
3. 标量场梯度的计算w=普&
+ + h % a 2 h m a 3
学a
， d l d n d / d n
在直d 角坐= 标gr系ad中，：- d挪l =g皿斜+灯
电动力学0.2-0.5 标量场的方向导数和梯度
个标量场来表示一个矢量场。 个标量场来表示一个矢量场。
v 在矢量场 F中，如果一条曲线在空间各点都始终与矢 v v 相切， 的方向， 量 F 相切，而曲线切线方向总取为矢量 F 的方向，则 v r 这条曲线称为矢量场 F 的矢量线
矢量线的密度与矢量场的模成正比， 矢量线的密度与矢量场的模成正比，即单 位面积上矢量线的根数与矢量场的模对应
§0.3 矢量场的通量和散度
1 矢量线
v v 一般是空间坐标和时间的函数， 矢量场 F 一般是空间坐标和时间的函数， 可表示为 F v v v v v v v v v F = F ( r , t ) = ex Fx ( r , t ) + ey Fy ( r , t ) + ez Fz ( r , t ) ，即可以用三
v v F (M ) < F ( P)
P
M r F ( P)
F(M)
C
矢量场的通量 2 矢量场的通量
v v 在矢量场 F 中，任取一面元矢量dS，定 v v 义矢量F 通过面元矢量dS 的通量为
r r dΦ = F ⋅ dS
r en r dS
θ
r F
通过曲面 S 的通量为 Φ = ∫S
r r F ⋅ dS
r en θ
r l
P2
P0
标量场 ϕ ( P ) 在某一方向上的方向导数等于梯度在该方向上的投
r 影，即 ∂ϕ = ∇ ϕ ⋅ e l . ∂l
证明： 证明： ∂ϕ = ∂ϕ cos α + ∂ϕ cos β + ∂ϕ cos γ
∂l ∂x ∂y ∂z v ∂ϕ v ∂ϕ v ∂ϕ v v v = ex + ey + ez ⋅ e x cos α + e y cos β + ez cos γ ∂x ∂y ∂z r = ∇ ϕ ⋅ el
方向导数及梯度参考资料
1.3 标量场的梯度（Gradient of a Scalar Field
标量场和矢量场
确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应， 称在该区域上定义了一个场。 ? 如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
? 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 例如 ：流速场、重力场、电场、磁场等。
4/8/2020
26
§1.4 矢量的通量和散度
? 引入哈密顿算符 ? （矢性微分算符）
直角坐标内，
? ?e ? ?e ? ? ? e x ?x y ?y z ?z
则有: div ? ? ?
A
A
4/8/2020
27
§1.4 矢量的通量和散度
b.圆柱坐标
? ?A?
1?
? ??
(?A ? ) ?
1
?A? (
?r ?l
M
?
?r
? e?l
r 的梯度为
grad r
? ? r ? 1 (xe? ? ye? ? ze? )
rx
y
z
点M处的坐标为x=1, y=0, z=1, r ? x2 ? y2 ? z2 ? 2
所以r在M点处的梯度为
gradr ? ? r ?
1 e?x ? 2
1 2
e?z
4/8/2020
14
而 所以
RR
(2) ? ( 1 ) ? ? R ? ? e?R
R
R3
R2
(3) ? f (R) ? ?? ' f (R)
说明：
?? ?e? ?e ??e
?
' ? ?x?
x
e
??y?
y
标量场和矢量场
确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应， 称在该区域上定义了一个场。 ? 如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
? 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 例如 ：流速场、重力场、电场、磁场等。
4/8/2020
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§1.4 矢量的通量和散度
? 引入哈密顿算符 ? （矢性微分算符）
直角坐标内，
? ?e ? ?e ? ? ? e x ?x y ?y z ?z
则有: div ? ? ?
A
A
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27
§1.4 矢量的通量和散度
b.圆柱坐标
? ?A?
1?
? ??
(?A ? ) ?
1
?A? (
?r ?l
M
?
?r
? e?l
r 的梯度为
grad r
? ? r ? 1 (xe? ? ye? ? ze? )
rx
y
z
点M处的坐标为x=1, y=0, z=1, r ? x2 ? y2 ? z2 ? 2
所以r在M点处的梯度为
gradr ? ? r ?
1 e?x ? 2
1 2
e?z
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而 所以
RR
(2) ? ( 1 ) ? ? R ? ? e?R
R
R3
R2
(3) ? f (R) ? ?? ' f (R)
说明：
?? ?e? ?e ??e
?
' ? ?x?
x
e
??y?
y
电磁波与电磁场——第一章
• 令
为矢量G的三个坐标分量，即
• 矢量l的单位矢量 • 标量场 在 P 点沿 l 方向上的方向导数 定义为
• 矢量G称为标量场Φ的梯度
• • • •
标量场Φ的梯度是一个矢量场 由 可知，当 的方向与梯度方向 一致时，方向导数 取最大值。 标量场在某点梯度的大小等于该点的最大 方向导数，梯度的方向为该点具有最大方 向导数的方向。
1-2 矢量的代数运算
• • • • 矢量A=B：矢量A、B的大小及方向均相同时 矢量加法：平行四边形法则 矢量减法：三角形法则 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：
• 矢量的加法运算，结合律和交换率 • 结合律：（A+B）+C=A+（B+C） • 交换律：A+B=B+A
1-3 矢量的标积和矢积
• 标积（点积或内积），以点号“•”表示
直角坐标系下散度表达式的推导
• 不失一般性，令包围P点的微体积V 为一 直平行六面体，如图所示。则
由此可知，穿出前、后两侧面
的净通量值为
• 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并 合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量 为
• 根据定义，则得到直角坐标系中的散 度 表式为
• 散度运算规则
例： 已知点电荷q所产生的电场强度
• 标量场的等值线（面）
• 等值面的特点： • 常数C 取一系列不同的值，就得到一系列 不同的等值面，形成等值面族； • 标量场的等值面充满场所在的整个空间； • 标量场的等值面互不相交。
• 方向导数:标量场在某点的方向导数表示标 量场自该点沿某一方向上的变化率
• 例如标量场 在 P 点沿 l 方向上的方向导 数 定义为
——拉普拉斯算符
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7
7
7
在点 A(1,1,1) 处方向余弦 cos 2 , cos 1 , cos 0
5
5
若令梯度等于0，即满足方程
所以
u (2x y 3)ex (4y x 2)ey (6z 6)ez 0
2x y 3 0 4y x2 0 6z 6 0
解得
x 2
y 1
z 1
故在点(2,1,1) 处梯度为0
推论：
（1）
0 l M0
表示沿l方向增加
（2） （3）
0 表示沿l方向减少
l M0
0 表示沿l方向不变
l M0
方向导数计算公式：
cos cos cos
l M0 x
y
z
【例】求函数 3x2 y y3z2 在点M（1，-2，-1）处沿
矢量 l yzex xzey xyez 方向的方向导数。
【解】：标量场的梯度为：
u
u x
ex
u y
ey
u z
ez
(2x y 3)ex (4 y x 2)ey (6z 6)ez
所以
u (0,0,0) 3ex 2ey 6ez
u (1,1,1) 6ex 3ey
在点 O(0,0,0)处方向余弦
cos 3 ,cos 2 ,cos 6
h3u3
eu 3
q 对于距离矢量 R r r 有以下常用结论：
R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱq'
r
r' O
总结：
(1)R
R R
Ro
eR
(2)
1 R
R R3
Ro R2
（1）为矢量，表示过某点的变化率最大，变化最快。 （2）方向垂直于过某点的等值面，即沿法线方向。
（3） 沿某方向l的方向导数为梯度在该方向l上的投影。
【例】求标量场 u x2 2y2 3z2 xy 3x 2y 6z在点 O(0, 0, 0) 与点 A(1,1,1)处梯度的大小和方向余弦。在哪点上的梯度 为0？
l
故当G与l方向一致时方向导数最大即为梯度，且
G
x
ex
y
ey
z
ez
方向导数与梯度的关系：
lo
l
在不同的坐标系中，梯度的计算公式：
在直角坐标系中：
x
ex
y
ey
z
ez
在圆柱坐标系中：
r er
r
e
z
ez
在球坐标系中：
r
er
r
e
r sin
e
在任意正交曲线坐标系中：
h1u1
eu1
h2u2
eu 2
1 2
【解】 方法二：利用公式直接求解
r r cos r cos r cos
l M0 x
y
z
cos lx 1 , cos ly 2 , cos lz 2
l3
l3
l3
r x , r y , r z , r 2 x r y r z r
r x 1 y 2 z 2 1 ,
第一章 矢量分析
1.2 标量场的方向导数和梯度
主要内容
❖ 方向导数 ❖ 梯度
学习目的
❖ 掌握方向导数、梯度的物理含义及计算方法 ❖ 掌握方向导数与梯度之间的区别与联系
1.2.1 标量场的方向导数
标量函数 在M0处沿l方向的方向导
●
M0
●
l
M
数为
lim (M ) (M0)
l M0
M M0
含义：表示标量场 在点M0处沿l方向的变化规律。
l M r 3 r 3 r 3 M 2
总结
❖ 主要内容
方向导数 ①
cos cos cos
l M x
y
z
②
l
M
lo
(
x
ex
y
ey
z
ez ) (cos ex
cos ey
cos ez )
cos cos cos
x
y
z
方向导数与梯度 的关系
梯度（矢量）
grad
x
ex
y
ey
z
ez
作业：P20 1-5、1-6
令方向矢量
l xex yey zez
其单位矢量为
lo
l l
cos ex cos ey cos ez
令某一常矢量
G
x
ex
y
ey
z
ez
Glo
( x
ex
y
ey
z
ez ) (cos ex
cos ey
cos
ez )
又因为
cos cos cos
x
y
z
l
G lo G lo cos
【解】矢量l在点M处的值为
l M 2ex ey 2ez
其方向余弦为
cos lx 2 , cos ly 1 , cos lz 2
l3
l3
l3
6xy 12, 3x2 3y2z2 9
x M
M
y M
M
2y3z 16
z M
M
故 cos cos cos 17
l M x
y
z
3
1.2.2 标量场的梯度
NM n
l
●P
在P点沿哪个方向变化率最快？
由方向导数的定义可知：沿等值面 法线n的方向导数最大。故定义梯度
grad
n
en
x
ex
y
ey
z
ez
其中， 称为哈密顿算子。
大小：最大变化率
方向：最大变化率的方向即过该点的等值面法线方向
梯度的计算公式推导如下：
【例1-5】 求r在M（1,0,1）处沿l ex 2ey 2ez 方向的方向导数。 【解】 方法一：利用梯度间接求解
r r lo l M
r
ro
1 r
( xex
yey
zez )
M点处的梯度r M
12（ex ez）
lo
l l
1 3
(ex
2ey
2ez
)
r
l M
12（ex ez） 13 (ex 2ey 2ez )