平面向量基本定理系数的等值线法学生用

则 x y 的取值范围是
。
E
3.如图，在平行四边形 ABCD 中， M、N 为 CD 边的三等分点， S 为 AM 与 BN 的交点， P 为
边 AB 边上的一动点， Q 为 SMN 内一点（含边界），若 PQ x AM yBN ,则 x y 的取值范
围是
。
DN
M
Q
C
S
AP
O
（6）当等商线与线段 AB 延长线相交时， k (1,0) ； （7）当等商线与直线 AB 平行时， k 1 .
六.等平方和线
C A
平面内一组基底 OA, OB 及任一向量 OP ，OP OA OB(, R) ，且 OA OB ,若点 P 在
以 AOB 角平分线为半长轴的椭圆上，则 2 2 k （定值），反之亦然。我们把以 AOB 角
B
（4）当等和线过 O 点时， k 0 ； （5）若两等和线关于 O 点对称，则定值 k 互为相反数； O （6）定值 k 的变化与等和线到 O 点的距离成正比；
三.等差线
B1 l
P
A1
A
平面内一组基底 OA, OB 及任一向量 OP ， OP OA OB(, R) ， C 为线段 AB 的中点，
OP ae1 be2 (a, b R) ,则 a, b 满足的一个等式是
.
15. 已 知 OA 1 , OB 3 , OA OB 0 , 点 C 在 AOB 内 , 用 AOC 30 , 设
OC mOA nOB ,则 m 的值为
.
n
16. 如 图 ,倾 斜 角 为 的 直 线 OP 与 单 位 圆 在 第 一 象 限 的 部 分 交 于 点 P ,单 位 圆 与 坐 标 轴 交 于 A(1,0) , 点 B(0,1) , PA 与 y 轴 交 于 点 N , PB 与 x 轴 交 于 点 M , 设
.
D
O
A
C B
14. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 双 曲 线 的 中 心 在 原 点 , 它 的 一 个 焦 点 坐 标 为 ( 5,0) , e1 (2,1) , e2 (2,1) 分 别 是 两 条 渐 近 线 的 方 向 向 量 . 任 取 双 曲 线 上 的 点 P , 若
在平行于 AB 的直线上，则 k （定值），反之亦然。我们把直线 AB 以及与直线 AB 平行
的直线称为等和线。
（1）当等和线恰为直线 AB 时， k 1 ；
（2）当等和线在 O 点和直线 AB 之间时， k (0,1) ；
（3）直线 AB 在 O 点和等和线之间时， k (1， ) ；
角形,则 x y 取值的集合为
.
P M
O
N
9.已知椭圆 E : x2 y2 1的上顶点为 A ,直线 y 4 交椭圆于 B, C ( B 在 C 的左侧),点 P 在 100 25
椭圆 E 上,若 BP mBA nBC ,则 m n 的最大值为
.
10. 已 知 O 为 ABC 外 心 , 若 A(0,0) , B(2,0) , AC 1 , BAC 2 , 且 3
AO AB AC(, R) ,则 =
.
高中数学平面向量
11.已知 O 为 ABC 外心, cos BAC 1 ， AO AB AC ，则 的最大值为 3
12.平面内有三个向量 OA, OB, OC
，其中 OA 与 OB 的夹角为
平分线为半长轴的椭圆称为等平方线。
特别的，若 OA
(a,b) ， OB
(a,b) ,点
P 在椭圆
x2 a2

y2 b2
1(a

0, b
0) 时，
k

1 2
高中数学平面向量
解题要点
确定等值线为 1 的线；平移（或旋转或伸缩）该线，找出动点可行域，求最值；向量的起点相 同或化为起点相同的向量。
4.在梯形 ABCD 中， AD AB , AD DC 1 , AB 3 , P 为 BCD D
内 一 点 （ 含 边 界 ） ， 若 AP x AB y AD , 则 x y 的 取 值 范 围
是
。
B C
A
B
高中数学平面向量
5. 设 D, E 分 别 是 ABC 的 边 AB, BC 上 的 点 ， AD 1 AB , BE 2 BC , 若
OA，OB 为渐近线的双曲线上，则 k （定值），反之亦然。我们把以直线 OA，OB 为渐
近线的双曲线称为等积线。
（1）当双曲线有一支在 AOB 内时， k 0 ； （2）当双曲线人两支都不在 AOB 内时， k 0 ；
（3）特别的，若 OA (a, b) ， OB (a,b) ,点
典型例题
1.给定两个长度为 1 的平面向量 OA, OB ，它们的夹角为 120 ，如图所示，点 C 在以 O 为圆心
的圆弧 AB 上变动，若 OC xOA yOB(x, y R) ，则 x y 的最大值是
。
B
O
C
A
2.在正六边形 ABCDEF 中，P 是 CDE 内（包括边界）的动点，设 AP x AB y AF (x, y R)
若点 P 在直线 OC 上或在平行于 OC 的直线上，则 k（定值），反之亦然。我们把直线 OC
以及与直线 OC 平行的直线称为等差线。 （1）当等差线恰为直线 OC 时， k 0 ； （2）当等差线过 A 点时， k 1；
（3）当等差线在 A 点和直线 OC 之间时， k (0,1) ；
B C
（4）当等差线与 BA 延长线相交时， k (1， ) ；
A
O
（5）若两等差线关于直线 OC 对称，则两定值 k 互为相反数；
四.等积线
高中数学平面向量
平 面 内 一 组 基 底 OA, OB 及 任 一 向 量 OP ， OP OA OB(, R) ， 若 点 P 在 以 直 线
OA 外）
称为等商线。
（1）当等商线过 AB 中点时， k 1 ；
（2）当等商线与线段 AC （除端点）相交时， k (1， ) ；
B
（3）当等商线与线段 BC （除端点）相交时， k (0,1) ； （4）当等商线即为 OB 时， k 0 ； （5）当等商线与线段 BA 延长线相交时， k (，1) ；
P 在双曲线
x2 a2

y2 b2
1(a
0,b 0) 时， k

1 4
五.等商线
平面内一组基底 OA, OB 及任一向量 OP ，OP OA OB(, R) ，若点 P 在过 O 点（不与
直线 OA 重合）的直线上，则


k （定值），反之亦然。我们把过
O 点的直线（除直线
.
A
C
O
B
18.在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,两定点 A, B 满足 OA OB OA OB 2 ,则点集
{P OP OA OB, 1, , R}所表示的区域面积为
.
19.已知 a,b 是两个互相垂直的单位向量,且 c a c b 1,则对任意的正实数 t , c ta 1b 的 t
最小值为
.
PO xPM yPN (x, y R) ,则 x y 的最小值为
.
y
P
A
OM
x
B
高中数学平面向量
17.如图,在扇形 OAB 中, AOB 60 , C 为弧 AB 上且不与 A、B 重合的一个动
点, OC xOA yOB ,若 u x y( 0) 存在最大值,则 的取值范围为
高中数学平面向量
平面向量基本定理系数的等值线法
研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时，可用本法
一.平面向量共线定理
已知 OA OB OC ,若 1 ，则 A、B、C 三点共线；反之亦然
二.等和线
平面内一组基底 OA, OB 及任一向量 OP ， OP OA OB(, R) ，若点 P 在直线 AB 上或
2
， OA 与 OC

的夹角为
，且
3
6
OA OB 1 , OC 2 3 ,若 OC mOA nOB ,则 m n =
.
13.如图， A, B, C 是圆 O 上的三点， CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O 外的点 D ，若
OC mOA nOB ,则 m n 的取值范围为
。
D
C
P
E
A
B
7.在 正 方 形 ABCD 中 ， E 为 AB 中 点 , P 为 以 A 为 圆 心 , AB 为 半 径 的 圆 弧 上 的 任 意 一 点 ,设
AC xDE y AP ,则 x y 的最小值为
。
D
C
P
A
E
B
8.已 知 OM ON 1 , OP xOM yON (x, y R) .若 PMN 是 以 M 为 直 角 顶 点 的 直 角 三
2
3
DE 1 AB 2 AC (1, 2 R) ，则 1 2 的值为
.
C
(事实上，本题中点 E 为三等分点是多余的条件)
E
A
D
B
6. 在 正 方 形 ABCD 中 ， E 为 BC 中 点 , P 为 以 AB 为 直 径 的 上 半 圆 弧 上 任 意 一 点 , 设