平面向量基本定理系数的等值线法
第4讲 平面向量的线性运算及基本定理
=
16a-16b,������������
=
【答案】 C
知识梳理
典例变式
基础训练
能力提升
(2) 因为������������ = ������������ − ������������=a-b,
������������
=
1 6
������������
=
16a-16b,所以������������
=
知识梳理
典例变式
基础训练
能力提升
变式训练一
1.设 D 为△ABC 所在平面内一点,������������=3������������,则
A.������������ =-13
������������
+
4 3
������������
C.������������
=
4 3
������������
+
1 3
−
4 3
������������
C.������������
=
4 3
������������
+
1 3
������������
D.������������
=
4 3
������������
−
1 3
������������
(2)设 D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点,AD=12AB,BE=23BC.若������������=λ1������������+λ2������������(λ1、
所以������������ = ������������ − ������������ = 23a+23b-16a-56b=12a-16b.
从平面向量中的等值线说起(吴波《数学通讯》2015 年第 9期(下半月))
图３
式将 ｘ 解得ｘ ｙ 放缩将其化为关于 ｘ ＋ｙ 的 不 等 式 ， ︵ 当 Ｃ 为Ａ ＋ Ｂ 的中点时取最大值 ２． ｙ≤２． → → 为标架建立平面仿射坐 说明 以 ｛ Ｏ； Ｏ Ｏ Ａ， Ｂ｝ →＋ Ｏ → → Ａ 标系 ， 题设Ｏ 点 Ｃ 在此坐标 系 Ｏ Ｃ＝ｘ ｙ Ｂ 表明 ：
２ 则上述解答中得到的方程ｘ 中的坐标即 是 （ ｘ， ． ｙ） ２ ︵ ＋ Ｂ所 在 的 圆 在 此 坐 标 系 ｙ＝１ 即 是 图 ３ 中Ａ ｙ －ｘ
［ ３］ 例１ 四边形 Ｐ Ｑ Ｒ Ｓ 是四边形Ａ Ｂ－ 如 图 ２，
Ｃ Ａ Ｐ Ｂ Ｑ Ｃ Ｄ 的 内 接 四 边 形， Ｐ ＝λ Ｂ， Ｑ ＝λ Ｃ， Ｒ＝ １ ２ Ｒ Ｄ Ｓ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｄ， Ｓ ＝λ Ａ． ′、 ′、 ′、 ′分 别 是 四 边 形 λ ３ ４
４ ０
下半月 ） 数学通讯 — ２ ０ １ ５ 年第 ９ 期 （ · 专论荟萃 ·
从平面向量中的等值线说起
吴 波
） （ 重庆市长寿龙溪中学 ， ０ １ ２ ４ ９ ４
１．平面向量基本定理系数等值线 平面向量基本定理 如果ｅ ｅ １， ２ 是同一平 面 内 有且 两个不共线向量 ， 则对该平面内的任 一 向 量 ａ， 使 ａ＝ 只有一对实数λ ｅ ｅ λ λ λ １， ２， １ １＋ ２ ２． ］ 文［ 称 上 式 中 的λ １ λ １， ２ 为平面向量基本定理 系数 ， 并证明了 ：
（ Ｏ Ａ， Ｂ 为渐近线的某 ⅳ ）若 点 Ｐ 在 以 直 线 Ｏ 条双曲线上 ， 则λ 反之也成立 ． λ １ ２ 为定值 ． （ 注： 结论 （ 中的“ 定 值” 应当加上 “ 非零” 的 ⅳ） ） 限制 ． ， ） 文［ 将直线 Ａ 由结论 （ Ｂ 以及与Ａ Ｂ 平行 １］ ｉ 的直线叫作 “ 平面 向 量 基 本 定 理 系 数 的 等 和 线 ” 同 ． 、 （ 、 中的直线分别叫作“ 理， 结论 （ 等 差 线” ⅲ） ⅱ） “ ； 等商线 ” 而结论 （ 中的双曲线叫作 “ 等积线 ” ． ⅳ） ］ 文［ 中还讨论 了 ｋ 的 取 值 范 围 与 等 值 线 的 位 １ 置的对应关系 ． 本文 拟 探 讨 在 这 些 等 值 线 背 后 隐 藏 的 实 质 ， 从 另一个角度加深对平面向量基本定理的理解 ． ２．等值线背后的实质
高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》
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衡阳市数学学会
练习 5：如图 13 所示， A, B, C 是圆 O 上的三点， CO 的延长线与线段 BA 的延长
线交于圆 O 外的点 D ,若 OC mOA nOB ，则 m n 的取值范围是
当 AD EF 时， f x, y AD 取得最 小值，此时 f x0 , y0 AD .易知
ABC AEF ，则 AD AH r 4 .
四、解题总结 1、确定等值线为 1 的直线； 2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和 最小值； 3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值或最小值.
部的动点，设向量 AP m AB n AFm, n R ，则 m n 的取值范围是（ ）
A . 1,2
B . 5,6
C . 2,5
D .3,5
【分析】
如图 5，设
AP1
m AB n AF ，由等和线结论，m n
AG AB
2 AB AB
2 .此为 m n
的交点，P 为边 AB 上一动点，Q 为 SMN 内一点（含边界），若 PQ x AM y BN ，
则 x y 的取值范围是
.
【分析】
如图 8 所示，作 PS AM ，PT BN ，过 I 作直线 MN 的平行线，由等和线定理
可知，
x
y
3 4
,1
.
（三）基底一方可变
OB'
第6讲 平面向量等和线定理求系数和问题(解析版)
第6讲 平面向量等和线定理求系数和问题【考点分析】考点一：平面向量等和线问题 ①平面向量共线定理已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然。
①平面向量等和线问题平面内一组基底,OA OB 及任一向量OP ，(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB的直线上，则k λμ+=（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
注意：1.当等和线恰为直线AB 时，1k =；2.当等和线在O 点和直线AB 之间时，(0,1)k ∈；3.当直线AB 在点O 和等和线之间时，(1,)k ∈+∞；4.当等和线过O 点时，0k =；5.若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数； 【典型例题】题型一： 平面向量等和线求系数和问题【例1】如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若满足AP mAB nAD =+，则n m +的最大值为（ ）A ．3B ．22C ．5D ．2OABCP P 1【答案】A【解析】法一：如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系， 则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,2)D ，(1,2)C ，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，设圆的半径为r ，2BC =，1CD =，BD ∴∴1122BC CD BD r =，r ∴=，∴圆的方程为224(1)(2)5x y -+-=，设点P 的坐标为1θ+2)θ+，AP AB AD λμ=+，1θ∴+2)(1θλ+=，0)(0μ+，2)(λ=，2)μ，∴1θλ+=22θμ+=，2sin()2λμθθθϕ∴+=++=++，其中tan 2ϕ=，∵1)sin(1≤+≤-ϕθ，∴31≤+≤μλ，故λμ+的最大值为3，故选A ．法二：由等和线性质知：APAPAD AN n m 1==+，所以当1P 在如图所示位置时，n m +取得最大值，33==+rr n m 【例2】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP xAB y AC =+，则22x y +的最大值为（ ）A ．83B ．2C ．43D ．1【答案】A 【详解】作BC 的平行线与圆相交于点P ，与直线AB 相交于点E ，与直线AC 相交于点F ， 设AP AE AF λμ=+，则1λμ+=， ∵BC//EF ，∴设AE AF k AB AC ==，则4[0,]3k ∈ ∴,AE k AB AF k AC ==，AP AE AF k AB k AC λμλμ=+=+ ∴,x k y k λμ==∴22x y=+8223k k λμ+=≤（）故选：A.【例3】在ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN AB AC λμ=+（λ，μ∈R ），则λμ+的取值范围是（ ） A ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[0,1]D ．[1,2]【答案】C 【解析】 【分析】设AN t AM =，()01t ≤≤，当0=t 时， 可得0λμ==，从而有0λμ+=；当01t <≤时，有B A A M AC ttλμ=+，根据M 、B 、C 三点共线，可得1t t，进而可得(]0,1t λμ+=∈，从而即可求解.【详解】解：由题意，设AN t AM =，()01t ≤≤，当0=t 时，0AN =，所以0AB AC λμ+=， 所以0λμ==，从而有0λμ+=；当01t <≤时，因为AN AB AC λμ=+（λ，μ∈R ）， 所以B t A A A M C λμ=+，即B A A M AC ttλμ=+，因为M 、B 、C 三点共线，所以1t t，即(]0,1t λμ+=∈.综上，λμ+的取值范围是[0,1]. 故选：C.【例4】如图，已知点P 在由射线OD 、线段OA ，线段BA 的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且OD 与BA 平行，若OP xOB yOA =+，当12x =-时，y 的取值范围是（ ）A ．[]0,1B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以OA 与OB 的反向延长线为两邻边，当12x =-时，要使P 点落在指定区域内，即P 点应落在EF 上，得到y 的取值范围. 【详解】∵//OD AB ，OP xOA yOB =+，由向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线， 该四边形应是以OA 与OB 的反向延长线为两邻边，∴当12x =-时，要使P 点落在指定区域内，即P 点应落在EF 上，13,22CE OA CF OA ==，∴y 的取值范围为1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：D.【例5】在扇形OAB 中，60AOB ∠=，C 为弧AB 上的一动点，若OC xOA yOB =+，则3x y +的取值范围是_________． 【答案】[]1,3 【解析】 【分析】以O 为原点，,OA OB 分别为x ，y 轴正方向建立平面直角坐标系.向量坐标化进行坐标运算，利用三角函数求出3x y +的取值范围. 【详解】以O 为原点，,OA OB 分别为x ，y 轴正方向建立平面直角坐标系.则()11,0,2OA OB ⎛== ⎝⎭.不妨设()cos ,sin ,03OC πθθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭. 因为OC xOA yOB =+，所以1cos 2sin x y yθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：cos x y θθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以s 3co 3in x y θθ+=. 因为cos y θ=在0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，sin y θ=-在0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以s 3co 3in x y θθ+=在0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减.所以当0θ=时33x y +=最大；当3πθ=时cos1333332x y ππ===+最小. 所以3x y +的取值范围是[]1,3. 故答案为：[]1,3. 【题型专练】1.在直角ABC 中，AB AC ⊥，2AB AC ==，以BC 为直径的半圆上有一点M （包括端点），若AM AB AC λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）A ．4 BC ．2 D【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示M ，结合三角函数最值的求法，求得λμ+的最大值. 【详解】依题意在直角ABC 中，AB AC ⊥，2AB AC ==， 以A 为原点建立如图所示平面直角坐标系，()()0,2,2,0C B ，设D 是BC 的中点，则()1,1D .BC =(),M x y 满足()()22211x y -+-=，设11x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数，π3π44α-≤≤），依题意AM AB AC λμ=+，即()()()1,12,00,2ααλμ=+，()()1,12,2ααλμ=，λμ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，π22sin π4sin 124αλμα⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭+===++ ⎪⎝⎭， 所以当πππ,424αα+==时，λμ+取得最大值为2. 故选：C2.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3 B ．CD ．2【答案】A 【解析】 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+， 设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.3.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心Q 在线段CD （含端点）上运动，P 是圆Q 上及其内部的动点，设向量AP mAB nAF =+（m ，n 为实数），则m ＋n 的最大值为______．【答案】5 【解析】 【分析】根据||||||AC AQ AD ≤≤及||1||||1AQ AP AQ -≤≤+得到1||5AP ≤≤，根据平面向量知识得到22||4()12AP m n mn =+-，利用2()4m n mn +≤可求出结果.【详解】在边长为2的正六边形ABCDEF 中，AC CD ⊥，||224AD =⨯=， 所以||||4AQ AD ≤=，当且仅当Q 与D 重合时，等号成立，又||||1AP AQ ≤+，即||415AP ≤+=，当||5AP =时，P 是AD 的延长线与圆Q 的交点，此时，由AP mAB nAF =+可知，m n =.因为AP mAB nAF =+，且2π,3AB AF <>=， 所以22222||||2||||||AP m AB mn AB AF n AF =⋅+⋅⋅+⋅22144222()2m n mn =++⋅⋅⋅-22444m n mn =+- 24()12m n mn =+-，所以2211()||312mn m n AP =+-，结合图形可知，0,0m n >>，由2()0m n -≥，得2m n mn +≥，即2m n mn +≥，即2()4m n mn +≤，当且仅当m n =时等号成立，所以22211()()||3124m n m n AP ++-≤，所以||m n AP +≤，又||5AP ≤，时，等号成立， 所以5m n +≤，当且仅当m n =时，等号成立. 即m ＋n 的最大值为5. 故答案为：5.4.已知ABC 的外接圆圆心为O ，120A ∠=，若AO x AB y AC =+(x ，y R )，则x y +的最小值为（ ）A ．12 B ．23C ．32D ．2【答案】D 【解析】 【分析】设OA 与BC 交点为E ，则AE AB AC λμ=+其中1λμ+=，由于()RAO xAB y AC AB AC R OEλμ=+=+-，得()R R x y R OE R OE λμ+=+=--，因为2ROE R ≤< 故x y +的最小值可得.【详解】设OA 与BC 交点为E ，设OE m =，圆的半径为R ，D 为BC 中点，如图所示：则RAO AE R m=-，设AE AB AC λμ=+，因为,,B C E 三点共线，则1λμ+= 所以()R AO xAB y AC AB AC R m λμ=+=+-，故()R Rx y R m R mλμ+=+=-- 因为120A ∠=︒，则60COD ∠=︒所以1cos602OD R R =︒=则2R m R ≤< ，故22R RR R m R ≥=-- 所以x y +的最小值为2 故选：D 【点睛】设AE AB AC λμ=+，因为,,B C E 三点共线，则1λμ+=，得()R Rx y R m R mλμ+=+=--是解题的关键. 5.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为23π，如图所示点C 在 以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，其中x ，y R ∈，则x y +的取值范围为（ ）A ．(1，2]B ．[1，2]C ．[1，2)D ．[2-，2]【答案】B解析：由等和线性质知：连接AB ，当C 点在B A 或点时，()1min =+y x ；作AB 的平行线，当与AB 相切时，当C 点在切点时，()2max =+y x6.已知O 是ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=，点M 在OBC ∆内（不含边界），若AM AB AC λμ=+，则2λμ+的取值范围是A ．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,2C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】根据0OA OB OC ++=可知O 为ABC ∆的重心；根据点M 在OBC ∆内，判断出当M 与O 重合时，2λμ+最小；当M 与C 重合时，2λμ+的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．【详解】因为O 是ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=所以O 为ABC ∆的重心M 在OBC ∆内（不含边界），且当M 与O 重合时，2λμ+最小，此时 ()21113233AM AB AC AB AC AB AC λμ⎡⎤=+=⨯+=+⎢⎥⎣⎦ 所以11,33λμ==，即21λμ+= 当M 与C 重合时，2λμ+最大，此时AM AC =所以0,1λμ==，即22λμ+=因为M 在OBC ∆内且不含边界所以取开区间，即()21,2λμ+∈所以选B【点睛】本题考查了向量在三角形中的线性运算，特殊位置法的应用，属于难题． 7.在直角ABC 中，A ∠为直角，1,2AB AC ==，M 是ABC 内一点，且12AM =，若AM AB AC λμ=+，则23λμ+的最大值为_________． 【答案】54【解析】【分析】由12AM =得出22144λμ+=，即224+161λμ=，且由0λ>，0μ>，设1cos 2λθ=，1sin 042πμθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，然后利用辅助角公式可求出23λμ+的最大值.【详解】 2A π∠=，1AB =，2AC =，AM AB AC λμ=+，则0AB AC ⋅=，且12AM =， 则()222222221244AM AB AC AB AB AC AC λμλλμμλμ=+=+⋅+=+=， 点M 在ABC 内，则0λ>，0μ>，设1cos 2λθ=，1sin 042πμθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭， ()3523cos sin sin 44λμθθθϕ∴+=+=+，其中4tan 3ϕ=， 因此，4λμ+的最大值为54. 故答案为：54. 8.如图，扇形的半径为1，且0OA OB ⋅=，点C 在弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，则2x y +的最大值是__________【解析】【分析】根据题意将OC xOA yOB =+，两边同时平方可得221x y =+，再三角代换cos sin [0,]2x y πααα==∈，，，利用三角函数的性质即得．【详解】由题意得，0OA OB ⋅=，1OA OB ==，1OC =，由OC xOA yOB =+，等式两边同时平方，得2OC =22222x OA y OB xy ++OA OB ⋅， 所以221x y =+，令AOC α∠=，则cos sin [0,]2x y πααα==∈，，，则22cos sin )x y αααθ+=+=+，其中sin cos [0,]2πθθθ==∈， 因为2πθαθθ≤+≤+，sin()1αθ≤+≤，所以1)αθ≤+≤即2x y +。
2024年高考数学平面向量的基本定理总结
2024年高考数学平面向量的基本定理总结2024年高考数学考试中，常见的平面向量的基本定理包括向量的加法、减法、数乘、模长、共线、垂直、平行以及向量投影等内容。
接下来，我将对每个内容进行总结，便于复习和记忆。
一、向量的加法和减法向量的加法遵循三角形法则，即若有两个向量a和b，则它们的和向量c等于将a和b的起点连接起来，其终点为a和b的终点所在的位置。
向量的减法即为加法的逆运算，即若有两个向量a和b，则它们的差向量d等于将a和b的起点连接起来，其终点为a的终点与b的终点连线的交点的位置。
二、向量的数乘向量的数乘是指将一个实数与一个向量的每个分量依次相乘，得到新的向量。
例如，设有向量a和实数k，则a乘以k得到的向量为ka，即ka=(ka1, ka2)。
三、向量的模长向量的模长也被称为向量的长度，其表示了一个向量的大小。
在平面上，设有一个向量a=(a1, a2)，则向量a的模长为∥a∥=√(a1²+a2²)。
四、向量的共线若两个向量a和b可以表示成k倍关系，即b=ka，其中k为一个实数，则称向量a和向量b共线。
五、向量的垂直若两个向量a和b的点积等于0，则称向量a和向量b互相垂直。
即a·b=0。
点积的计算方式为a·b=a1b1+a2b2。
六、向量的平行若两个向量a和b的方向相同或相反，且它们不共线，则称向量a和向量b平行。
七、向量的投影向量的投影是指将一个向量a投影到另一个向量b上得到的新向量。
投影的计算方式为投影向量等于向量a与向量b的单位向量的点积乘以向量b的长度。
即设向量a投影到向量b上的向量为c，则c=(a·b/∥b∥²)b。
在高考的数学考试中，对于这些基本定理的掌握是非常重要的。
学生们需要通过大量的练习来巩固对这些定理的理解和运用能力，以便在考试中能够熟练地应用。
希望上述内容的总结对你有所帮助。
高考数学平面向量的基本定理总结
高考数学平面向量的基本定理总结一、平面向量的定义在平面上，任意给定的两个点A和B，我们可以由点A指向点B画出一条有向线段，这条有向线段就是一个平面向量，记作AB。
二、平面向量的表示平面向量既可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。
对于平面上的向量AB，用坐标表示为：AB = (x2-x1, y2-y1)其中(x1, y1)和(x2, y2)分别是向量起点A和终点B的坐标。
这种表示方法非常直观，也很容易理解。
三、平面向量的基本运算在平面向量的基本定理中，我们需要掌握平面向量的基本运算，主要包括向量的加法、减法和数量乘法。
1. 向量的加法设有向量A的坐标为(x1, y1)，向量B的坐标为(x2, y2)，则向量A和向量B的和向量C的坐标为：C = A + B = (x1+x2, y1+y2)2. 向量的减法设有向量A的坐标为(x1, y1)，向量B的坐标为(x2, y2)，则向量A减去向量B的差向量D的坐标为：D = A - B = (x1-x2, y1-y2)3. 数量乘法设k为实数，向量A的坐标为(x1, y1)，则向量A的数量乘积ka的坐标为：ka = (kx1, ky1)四、平面向量的基本定理平面向量的基本定理是指任何一个平面向量都可以表示成两个非零向量的和。
具体而言，对于平面上的向量A，可以找到两个非零向量B和C，使得：A =B + C其中，向量B和向量C的坐标满足条件：B = (x1, y1)，C = (x2, y2)B和C分别称为向量A的两个互补向量。
根据平面向量的基本定理，我们可以将任意一个向量拆分成两个向量的和，从而简化向量的运算和应用。
五、基本定理的应用平面向量的基本定理在高考数学中有着广泛的应用。
主要包括以下几个方面：1. 向量的坐标运算：利用基本定理，我们可以通过向量的坐标进行加法、减法、数量乘法和求模等运算，从而简化向量的运算。
2. 向量的平衡力：基于平面向量的基本定理，我们可以将受力问题转化为向量的平衡问题，通过求解向量的平衡条件，得到力的大小和方向。
平面向量中的定理
平面向量中重要定理总结（非常经典）1、共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .2、三点共线的证明方法若存在非零实数λ，使得AB →＝λAC →或AB →＝λBC →或AC →＝λBC →，则A ，B ，C 三点共线．3、平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.4、奔驰定理：已知O 是ABC ∆内一点，则0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S AOB AOC BOC推论：已知O 是ABC ∆内一点，若=⋅+⋅+⋅z y x ，则z y x S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆5、极化恒等式定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍. 即：)|||(|2|AD ||AB |2222BO AO +=+ 设.,b AD a AB == 则,,b a DB b a AC -=+= 极化恒等式：[]22)()(41b a b a b a --+=⋅，即：=⋅6、三点共线定理：已知OB y OA x OC +=，且1=+y x ，则C B A ,,三点共线 OABC向量等和线： 平面内一组基底，及任意向量，21λλ+=，若点P 在直线AB 上或在与AB 平行的直线上，则k =+21λλ(||OC k =反之也成立,我们把直线AB 以及与AB 平行的直线称为基底系数等和线7、三角形各“心”的概念介绍重心：三角形的三条中线的交点，重心将中线长度分成2∶1；垂心：三角形的三条高线的交点，垂线与对应边垂直；内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)，内心到三角形三边的距离相等；外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．三角形各“心”的向量表示(1)O 是△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(2)O 是△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(3)O 是△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →2)．(4)O 是△ABC 的内心⇔OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|－AC →|AC →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BA →|BA →|－BC →|BC →|＝OC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CA →|CA →|－CB →|CB →|＝0.注意：向量λ((AB →|AB →|＋AC →|AC →|)(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)．。
平面向量系数和(等和线、等值线)问题(高阶拓展、竞赛适用)(学生版) 2025年高考数学一轮复习学案
第04讲 平面向量系数和（等和线、等值线）问题（高阶拓展、竞赛适用）（5类核心考点精讲精练）平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高。
平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学的一个命题热点。
近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用如图，P 为AOB ∆所在平面上一点，过O 作直线//l AB ，由平面向量基本定理知：存在,x y R ∈，使得OP xOA yOB=+下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x y +的值①若P l ∈时，则射线OP 与l 无交点，由//l AB 知，存在实数λ，使得OP AB λ=而AB OB OA =- ，所以OP OB OA λλ=-，于是=-=0x y λλ+②若P l ∉时，（i ）如图1，当P 在l 右侧时，过P 作//CD AB ，交射线OA OB ，于,C D 两点，则OCD OAB ∆~∆，不妨设OCD ∆与OAB ∆的相似比为k由,P C D ，三点共线可知：存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA k OBλλλλ=+-=+- 所以(1-)x y k k kλλ+=+=（ii ）当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1作P 关于O 的对称点P '，由（i ）的分析知：存在存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA OB λλλλ'=+-=+- 所以--(1)OP k OA OBλλ'=+- 于是--(1-)-x y k k kλλ+=+=综合上面的讨论可知：图中OP 用,OA OB线性表示时，其系数和x y +只与两三角形的相似比有关。