平面向量基本定理系数的等值线法
第4讲 平面向量的线性运算及基本定理
=
16a-16b,������������
=
【答案】 C
知识梳理
典例变式
基础训练
能力提升
(2) 因为������������ = ������������ − ������������=a-b,
������������
=
1 6
������������
=
16a-16b,所以������������
=
知识梳理
典例变式
基础训练
能力提升
变式训练一
1.设 D 为△ABC 所在平面内一点,������������=3������������,则
A.������������ =-13
������������
+
4 3
������������
C.������������
=
4 3
������������
+
1 3
−
4 3
������������
C.������������
=
4 3
������������
+
1 3
������������
D.������������
=
4 3
������������
−
1 3
������������
(2)设 D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点,AD=12AB,BE=23BC.若������������=λ1������������+λ2������������(λ1、
所以������������ = ������������ − ������������ = 23a+23b-16a-56b=12a-16b.
从平面向量中的等值线说起(吴波《数学通讯》2015 年第 9期(下半月))
图３
式将 ｘ 解得ｘ ｙ 放缩将其化为关于 ｘ ＋ｙ 的 不 等 式 ， ︵ 当 Ｃ 为Ａ ＋ Ｂ 的中点时取最大值 ２． ｙ≤２． → → 为标架建立平面仿射坐 说明 以 ｛ Ｏ； Ｏ Ｏ Ａ， Ｂ｝ →＋ Ｏ → → Ａ 标系 ， 题设Ｏ 点 Ｃ 在此坐标 系 Ｏ Ｃ＝ｘ ｙ Ｂ 表明 ：
２ 则上述解答中得到的方程ｘ 中的坐标即 是 （ ｘ， ． ｙ） ２ ︵ ＋ Ｂ所 在 的 圆 在 此 坐 标 系 ｙ＝１ 即 是 图 ３ 中Ａ ｙ －ｘ
［ ３］ 例１ 四边形 Ｐ Ｑ Ｒ Ｓ 是四边形Ａ Ｂ－ 如 图 ２，
Ｃ Ａ Ｐ Ｂ Ｑ Ｃ Ｄ 的 内 接 四 边 形， Ｐ ＝λ Ｂ， Ｑ ＝λ Ｃ， Ｒ＝ １ ２ Ｒ Ｄ Ｓ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｄ， Ｓ ＝λ Ａ． ′、 ′、 ′、 ′分 别 是 四 边 形 λ ３ ４
４ ０
下半月 ） 数学通讯 — ２ ０ １ ５ 年第 ９ 期 （ · 专论荟萃 ·
从平面向量中的等值线说起
吴 波
） （ 重庆市长寿龙溪中学 ， ０ １ ２ ４ ９ ４
１．平面向量基本定理系数等值线 平面向量基本定理 如果ｅ ｅ １， ２ 是同一平 面 内 有且 两个不共线向量 ， 则对该平面内的任 一 向 量 ａ， 使 ａ＝ 只有一对实数λ ｅ ｅ λ λ λ １， ２， １ １＋ ２ ２． ］ 文［ 称 上 式 中 的λ １ λ １， ２ 为平面向量基本定理 系数 ， 并证明了 ：
（ Ｏ Ａ， Ｂ 为渐近线的某 ⅳ ）若 点 Ｐ 在 以 直 线 Ｏ 条双曲线上 ， 则λ 反之也成立 ． λ １ ２ 为定值 ． （ 注： 结论 （ 中的“ 定 值” 应当加上 “ 非零” 的 ⅳ） ） 限制 ． ， ） 文［ 将直线 Ａ 由结论 （ Ｂ 以及与Ａ Ｂ 平行 １］ ｉ 的直线叫作 “ 平面 向 量 基 本 定 理 系 数 的 等 和 线 ” 同 ． 、 （ 、 中的直线分别叫作“ 理， 结论 （ 等 差 线” ⅲ） ⅱ） “ ； 等商线 ” 而结论 （ 中的双曲线叫作 “ 等积线 ” ． ⅳ） ］ 文［ 中还讨论 了 ｋ 的 取 值 范 围 与 等 值 线 的 位 １ 置的对应关系 ． 本文 拟 探 讨 在 这 些 等 值 线 背 后 隐 藏 的 实 质 ， 从 另一个角度加深对平面向量基本定理的理解 ． ２．等值线背后的实质
平面向量基本定理系数的等值线法(答案)
平面向量基本定理系数的等值线法一、适用题型在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时，可以用等值线法.二、基本理论（一）平面向共线定理已知OC OB OA μλ+=，若1=+μλ，则C B A ,,三点共线；反之亦然 （二）等和线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ， ),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k =+μλ（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线成为等和线（1）当等和线恰为直线AB 时，1=k ；（2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，)1,0(∈k ； （3）当直线AB 在O 点和等和线之间时，),1(+∞∈k ； （4）当等和线过O 点时，0=k ；（5）若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数； （6）定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比. （三）等差线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ， ),(R OB OA OP ∈+=μλμλ， C 为线段AB 的中点，若点P 在直线OC 上或在平行于OC 的直线上，则k =-μλ（定值）；反之也成立，我们把直线OC 以及与直线OC 平行的直线称为等差线 （1）当等差线恰为直线OC 时，0=k ； （2）当等差线过A 点时，1=k ； （3）当等差线在直线OC 与点A 之间时，)1,0(∈k ； （4）当等差线与BA 延长线相交时，),1(+∞∈k ；（5）若两等差线关于直线OC 对称，则两定值k 互为相反数. （四）等积线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，若点P 在以直线OB OA ,为渐近线的双曲线上，则λμ为定值k ，反之也成立，我们把以直线OB OA ,为渐近线的双曲线称为等积线（1）当双曲线有一支在AOB ∠内肘，0>k ；（2）当双曲线的两支都不在AOB ∠内吋，0<k ；（3）特別的，若),(b a OA =，),(b a OB -=，点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上时，41=k （五）等商线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，若点P 在过O 点（不与OA 重合）的直线上，则k =μλ（定值），反之也成立，我们把过点O 的直线（除OA 外）称为等商线（1）当等商线过AB 中点吋，1=k ；（2）当等商线与线段AC （除端点）相交时，),1(+∞∈k ； （3）当等商线与线段BC （除端点）相交时，)1,0(∈k ； （4）当等商线为OB 时，0=k ；（5）当等商线与线段BA 延长线相交时，)1,(--∞∈k ； （6）当等商线与线段AB 延长线相交时，)0,1(-∈k ； （7）当等商线与直线AB 平行时，1-=k . （六）等平方和线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，且OB OA =，若点P 在以AOB ∠角平分线为半长轴的椭圆上，则22μλ+为定值k ，反之也成立，我们把以AOB ∠角平分线为半长轴的椭圆称为等平方和线特別的，若),(b a OA =，),(b a OB -=，，点P 在椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 上时，21=k 三、解题步骤 1、确定等值线为1的线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；四、几点补充1、平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；2、若需要研究的是两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和或差；五、典型例题例1.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为0120，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OB y OA x OC +=，其中R y x ∈,，则y x +的最大值是解法1：以点O 为原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则)01(，A ，)23,21(-B设θ=∠AOC ，则)sin ,(cos θθC ，所以OB y OA x OC +=)23,21()0,1()sin ,(cos -+=⇒y x θθ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒θθθθθsin 32sin 31cos 23sin 21cos y x y y x2)6sin(2sin 3cos ≤+=+=+∴πθθθy x 当且仅当26ππθ=+即3πθ=时等号成立所以2)(max =+y x解法2：设OC 交AB 于点D ，则 当点C 在1C 处时，2)(max =+y x当点C 在A 或B 处时，1)(min =+y x]2,1[∈+∴y x例 2.在正六边形ABCDEF 中，P 是三角形CDE 内（包括边界）的动点，设AF y AB x AP +=，则y x +的取值范围解析：设AP 与BF 相交于点Q ，则 当点P 在点D 处时，4)(max =+y x ，当点P 在CE 上（不如让点P 在AD 与CE 的交点处）时，3)(min =+y x ∴]4,3[∈+y x例3.如图，在平行四边形ABCD 中，N M ,为CD 边的三等分点，S 为AM 与BN 的交点，P 为边AB 边上一动点，Q 为SMN ∆内一点（含边界），若BN y AM x PQ +=，则yx +的取值范围是 解析：作BN PT AM PR ==,，则PT y PR x BN y AM x PQ +=+=所以当点P 在S 点处时，43)(min =+y x ，当点P 在MN 上时，1)(max =+y x ， 故∈+y x ]1,43[例4.梯形ABCD 中，AB AD ⊥，1==DC AD ，3=AB ，P 为三角形BCD 内一点（包括边界），AD y AB x AP +=， 则y x +的取值范围 解析：当点P 在点C 处时，34)(max =+y x 当点P 在BD 上时，1)(min =+y x∈+∴y x ]34,1[例5.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若 AC AB DE 21λλ+=（21,λλ为实数），则21λλ+的值为解析：作AC DN AB DM ==,，则MN ∥BE （BE 在DMN ∆中位线上）∴DN DM AC AB DE 2121λλλλ+=+==+∴21λλ21注：此题为2013年江苏高考题第8题，但点E 为三等分的条件其实没有必要，可舍例 6.在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，P 为以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设AP y AD x AE +=，则y x +2的最小值为解析：取AD 的中点M ，则AP y AD x AE +=AP y AM x +=2 因为点P 在半圆上滑动，当点E 离直线MP 最近时，y x +2最小 由图可知点P 在半圆上的最高点处时，点E 离直线MP 最近 此时点E 在MP 上，所以=+min )2(y x 1例7.在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设AP y DE x AC +=，则y x +的最小值为 解析：作DE AF =，则AP y DE x AC +=AP y AF x += 当点C 离PF 最近时，y x +最小所以当点P 在圆上滑到点B 处时，y x +最小为218.已知1==ON OM ，ON y OM x OP +=（y x ,为实数），若PMN ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，则y x -取值的集合为解析：作ON OA -=，则有OA ON OM ==，所以090=∠AMN ，即P M A ,,三点共线，所以ON y OM x OP +=OA y OM x -=所以1=-y x ，故答案为{}1例9.已知椭圆E ：12510022=+y x 的上顶点为A ，直线4-=y 交椭圆于C B ,（B 在C 的左侧），点P 在椭圆E 上，若BC n BA m BP +=，求n m +的最大值 解析：可知点P 为椭圆的与AC 平行的切线的切点处时，n m +最大 计算可得=+max )(n m 1813105+ 例10.已知O 为ABC ∆的外心，若)00(，A ，)02(，B ，1=AC ，32π=∠BAC ，且AC AB AO μλ+=，则=+μλ解析：过点O 作OD ∥BC 交AB 于点D ，则ABAD=+μλ O 为ABC ∆的外心⇒点O 在BC 的垂直平分线上⇒点O 的横坐标为1 )23,21(-C ，532523-=-=BCk ，7)221()23(22=--+=BC由正弦定理得3212327sin 2=⨯=⇒∠=OA BACBCOA ，所以点O 的纵坐标为332137=-，直线OD ：)1(53332--=-x y ，令0=y 得点D 的坐标为)0,313( 613==+∴AB AD μλ例11.已知O 为ABC ∆的外心，若31cos =∠BAC ，AC AB AO μλ+=，则=+max )(μλ 解析：设AO 交BC 于点D ，则ODAO AOAD AO +==+μλ 当OD 最小即BC AD ⊥时，μλ+最大，此时=+μλ43所以=+max )(μλ43例12.平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为0120 ，OA 与OC 的夹角为030，且1==OB OA ，32=OC ，若OB n OA m OC +=，则n m +的值为解析：设OC 交AB 于点D ，则n m +ODOC=OAD ∆中，331300=⇒==∠=∠OD OA OAD AOD ， 所以OD OC =63332== 例13.如图，C B A ,,是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OB n OA m OC +=，则n m +的取值范围为解析：∈-=+ODOCn m )0,1(-例14.在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为)0,5(，)1,2(1=e ， )1,2(2-=e 分别是两条渐近线的方向向量，任取双曲线Γ上的点P ，若),(21R b a e b e a OP ∈+=，则b a ,满足的一个等式是解析：等积线：双曲线的方程为1422=-y x ，设)tan ,sec 2(θθP ，则由),(21R b a e b e a OP ∈+=⎩⎨⎧=-=+⇒⎩⎨⎧=-=+⇒-+=⇒θθθθθθtan sec tan sec 222)1,2()1,2()tan ,sec 2(b a b a b a b a b a 1tan sec )()(2222=-=--+⇒θθb a b a 41=⇒ab例15.已知1=OA ，3=OB ，0=⋅OB OA ，点C 在AOB ∠内，且030=∠AOC ， 设OB n OA m OC +=，则nm的值为 答案：等商线：分别以OB OA ,为y x ,轴建立平面直角坐标系，则)3,0(),01(B A ，， OB n OA m OC +=)3,()3,0()0,1(n m n m =+=，又030=∠AOC ，所以330tan 30=⇒=nmm n例16.如图，倾斜角为θ的直线OP 与单位圆在第一象限的部分交于点P ，单位圆与坐标轴交于点)01(，-A ，点)10(-，B ，PA 与y 轴交于点N ，PB 与x 轴交于点M ，设),(R y x PN y PM x PO ∈+=，求y x +的最小值解析：设OP 交MN 于点Q ，MN 的中点为D ，则21211111=+-≥-=-==+OQ OQ PO PO PQ PO y x例17.如图，在扇形OAB 中，060=∠AOB ，C 为弧AB 上且不与A 、B 重合的一个动点，OB y OA x OC +=，若)0(>+=λλy x u 存在最大值，则λ的取值范围为解析：因为0>λ，在射线OB 上取点D ，使得OB OD λ1=，则OB y OA x OC +=OD y OA x λ+=，过点C 作CE ∥AD 交OB 于点E ，过点A 作OB AM ⊥于点M ，过点A 作弧AB 的切线交OB 于点N ，则易知当E 离D 最远时u 有最大值，而E 只能在线段MN 上，所以∈u )2,21(例18.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两定点B A ,满足2=⋅==OB OA OB OA ，则点集{}R OB OA OP P ∈≤++=μλμλμλ,,1,所表示的区域面积为解析：由题意可知60=∠AOB ,设OB OD OA OC -=-=,，R OB OA OP ∈≤++=μλμλμλ,,1,，则可知点P 的轨迹为平行四边形ABCD 及其内部的部分，其面积为3460sin 44210=⨯⨯⨯例19.已知b a ,是两个互相垂直的单位向量，且1=⋅=⋅b c a c ，则对任意的正实数t ，b ta t c 1++的最小值为解析：分别以b a ,为y x ,轴方向上的单位向量，则)1,0(),0,1(==b a ，由1=⋅=⋅b c a c 知)1,1(=c ，)11,1()1,0(1)0,1()1,1(1tt t t b t a t c ++=++=++∴2212)12()2()11()1(12222≥+=+≥+++=++tt t t t t b t a t c。
高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》
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衡阳市数学学会
练习 5：如图 13 所示， A, B, C 是圆 O 上的三点， CO 的延长线与线段 BA 的延长
线交于圆 O 外的点 D ,若 OC mOA nOB ，则 m n 的取值范围是
当 AD EF 时， f x, y AD 取得最 小值，此时 f x0 , y0 AD .易知
ABC AEF ，则 AD AH r 4 .
四、解题总结 1、确定等值线为 1 的直线； 2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和 最小值； 3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值或最小值.
部的动点，设向量 AP m AB n AFm, n R ，则 m n 的取值范围是（ ）
A . 1,2
B . 5,6
C . 2,5
D .3,5
【分析】
如图 5，设
AP1
m AB n AF ，由等和线结论，m n
AG AB
2 AB AB
2 .此为 m n
的交点，P 为边 AB 上一动点，Q 为 SMN 内一点（含边界），若 PQ x AM y BN ，
则 x y 的取值范围是
.
【分析】
如图 8 所示，作 PS AM ，PT BN ，过 I 作直线 MN 的平行线，由等和线定理
可知，
x
y
3 4
,1
.
（三）基底一方可变
OB'
第6讲 平面向量等和线定理求系数和问题(解析版)
第6讲 平面向量等和线定理求系数和问题【考点分析】考点一：平面向量等和线问题 ①平面向量共线定理已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然。
①平面向量等和线问题平面内一组基底,OA OB 及任一向量OP ，(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB的直线上，则k λμ+=（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
注意：1.当等和线恰为直线AB 时，1k =；2.当等和线在O 点和直线AB 之间时，(0,1)k ∈；3.当直线AB 在点O 和等和线之间时，(1,)k ∈+∞；4.当等和线过O 点时，0k =；5.若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数； 【典型例题】题型一： 平面向量等和线求系数和问题【例1】如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若满足AP mAB nAD =+，则n m +的最大值为（ ）A ．3B ．22C ．5D ．2OABCP P 1【答案】A【解析】法一：如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系， 则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,2)D ，(1,2)C ，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，设圆的半径为r ，2BC =，1CD =，BD ∴∴1122BC CD BD r =，r ∴=，∴圆的方程为224(1)(2)5x y -+-=，设点P 的坐标为1θ+2)θ+，AP AB AD λμ=+，1θ∴+2)(1θλ+=，0)(0μ+，2)(λ=，2)μ，∴1θλ+=22θμ+=，2sin()2λμθθθϕ∴+=++=++，其中tan 2ϕ=，∵1)sin(1≤+≤-ϕθ，∴31≤+≤μλ，故λμ+的最大值为3，故选A ．法二：由等和线性质知：APAPAD AN n m 1==+，所以当1P 在如图所示位置时，n m +取得最大值，33==+rr n m 【例2】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP xAB y AC =+，则22x y +的最大值为（ ）A ．83B ．2C ．43D ．1【答案】A 【详解】作BC 的平行线与圆相交于点P ，与直线AB 相交于点E ，与直线AC 相交于点F ， 设AP AE AF λμ=+，则1λμ+=， ∵BC//EF ，∴设AE AF k AB AC ==，则4[0,]3k ∈ ∴,AE k AB AF k AC ==，AP AE AF k AB k AC λμλμ=+=+ ∴,x k y k λμ==∴22x y=+8223k k λμ+=≤（）故选：A.【例3】在ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN AB AC λμ=+（λ，μ∈R ），则λμ+的取值范围是（ ） A ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[0,1]D ．[1,2]【答案】C 【解析】 【分析】设AN t AM =，()01t ≤≤，当0=t 时， 可得0λμ==，从而有0λμ+=；当01t <≤时，有B A A M AC ttλμ=+，根据M 、B 、C 三点共线，可得1t t，进而可得(]0,1t λμ+=∈，从而即可求解.【详解】解：由题意，设AN t AM =，()01t ≤≤，当0=t 时，0AN =，所以0AB AC λμ+=， 所以0λμ==，从而有0λμ+=；当01t <≤时，因为AN AB AC λμ=+（λ，μ∈R ）， 所以B t A A A M C λμ=+，即B A A M AC ttλμ=+，因为M 、B 、C 三点共线，所以1t t，即(]0,1t λμ+=∈.综上，λμ+的取值范围是[0,1]. 故选：C.【例4】如图，已知点P 在由射线OD 、线段OA ，线段BA 的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且OD 与BA 平行，若OP xOB yOA =+，当12x =-时，y 的取值范围是（ ）A ．[]0,1B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以OA 与OB 的反向延长线为两邻边，当12x =-时，要使P 点落在指定区域内，即P 点应落在EF 上，得到y 的取值范围. 【详解】∵//OD AB ，OP xOA yOB =+，由向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线， 该四边形应是以OA 与OB 的反向延长线为两邻边，∴当12x =-时，要使P 点落在指定区域内，即P 点应落在EF 上，13,22CE OA CF OA ==，∴y 的取值范围为1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：D.【例5】在扇形OAB 中，60AOB ∠=，C 为弧AB 上的一动点，若OC xOA yOB =+，则3x y +的取值范围是_________． 【答案】[]1,3 【解析】 【分析】以O 为原点，,OA OB 分别为x ，y 轴正方向建立平面直角坐标系.向量坐标化进行坐标运算，利用三角函数求出3x y +的取值范围. 【详解】以O 为原点，,OA OB 分别为x ，y 轴正方向建立平面直角坐标系.则()11,0,2OA OB ⎛== ⎝⎭.不妨设()cos ,sin ,03OC πθθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭. 因为OC xOA yOB =+，所以1cos 2sin x y yθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：cos x y θθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以s 3co 3in x y θθ+=. 因为cos y θ=在0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，sin y θ=-在0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以s 3co 3in x y θθ+=在0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减.所以当0θ=时33x y +=最大；当3πθ=时cos1333332x y ππ===+最小. 所以3x y +的取值范围是[]1,3. 故答案为：[]1,3. 【题型专练】1.在直角ABC 中，AB AC ⊥，2AB AC ==，以BC 为直径的半圆上有一点M （包括端点），若AM AB AC λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）A ．4 BC ．2 D【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示M ，结合三角函数最值的求法，求得λμ+的最大值. 【详解】依题意在直角ABC 中，AB AC ⊥，2AB AC ==， 以A 为原点建立如图所示平面直角坐标系，()()0,2,2,0C B ，设D 是BC 的中点，则()1,1D .BC =(),M x y 满足()()22211x y -+-=，设11x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数，π3π44α-≤≤），依题意AM AB AC λμ=+，即()()()1,12,00,2ααλμ=+，()()1,12,2ααλμ=，λμ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，π22sin π4sin 124αλμα⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭+===++ ⎪⎝⎭， 所以当πππ,424αα+==时，λμ+取得最大值为2. 故选：C2.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3 B ．CD ．2【答案】A 【解析】 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+， 设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.3.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心Q 在线段CD （含端点）上运动，P 是圆Q 上及其内部的动点，设向量AP mAB nAF =+（m ，n 为实数），则m ＋n 的最大值为______．【答案】5 【解析】 【分析】根据||||||AC AQ AD ≤≤及||1||||1AQ AP AQ -≤≤+得到1||5AP ≤≤，根据平面向量知识得到22||4()12AP m n mn =+-，利用2()4m n mn +≤可求出结果.【详解】在边长为2的正六边形ABCDEF 中，AC CD ⊥，||224AD =⨯=， 所以||||4AQ AD ≤=，当且仅当Q 与D 重合时，等号成立，又||||1AP AQ ≤+，即||415AP ≤+=，当||5AP =时，P 是AD 的延长线与圆Q 的交点，此时，由AP mAB nAF =+可知，m n =.因为AP mAB nAF =+，且2π,3AB AF <>=， 所以22222||||2||||||AP m AB mn AB AF n AF =⋅+⋅⋅+⋅22144222()2m n mn =++⋅⋅⋅-22444m n mn =+- 24()12m n mn =+-，所以2211()||312mn m n AP =+-，结合图形可知，0,0m n >>，由2()0m n -≥，得2m n mn +≥，即2m n mn +≥，即2()4m n mn +≤，当且仅当m n =时等号成立，所以22211()()||3124m n m n AP ++-≤，所以||m n AP +≤，又||5AP ≤，时，等号成立， 所以5m n +≤，当且仅当m n =时，等号成立. 即m ＋n 的最大值为5. 故答案为：5.4.已知ABC 的外接圆圆心为O ，120A ∠=，若AO x AB y AC =+(x ，y R )，则x y +的最小值为（ ）A ．12 B ．23C ．32D ．2【答案】D 【解析】 【分析】设OA 与BC 交点为E ，则AE AB AC λμ=+其中1λμ+=，由于()RAO xAB y AC AB AC R OEλμ=+=+-，得()R R x y R OE R OE λμ+=+=--，因为2ROE R ≤< 故x y +的最小值可得.【详解】设OA 与BC 交点为E ，设OE m =，圆的半径为R ，D 为BC 中点，如图所示：则RAO AE R m=-，设AE AB AC λμ=+，因为,,B C E 三点共线，则1λμ+= 所以()R AO xAB y AC AB AC R m λμ=+=+-，故()R Rx y R m R mλμ+=+=-- 因为120A ∠=︒，则60COD ∠=︒所以1cos602OD R R =︒=则2R m R ≤< ，故22R RR R m R ≥=-- 所以x y +的最小值为2 故选：D 【点睛】设AE AB AC λμ=+，因为,,B C E 三点共线，则1λμ+=，得()R Rx y R m R mλμ+=+=--是解题的关键. 5.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为23π，如图所示点C 在 以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，其中x ，y R ∈，则x y +的取值范围为（ ）A ．(1，2]B ．[1，2]C ．[1，2)D ．[2-，2]【答案】B解析：由等和线性质知：连接AB ，当C 点在B A 或点时，()1min =+y x ；作AB 的平行线，当与AB 相切时，当C 点在切点时，()2max =+y x6.已知O 是ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=，点M 在OBC ∆内（不含边界），若AM AB AC λμ=+，则2λμ+的取值范围是A ．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,2C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】根据0OA OB OC ++=可知O 为ABC ∆的重心；根据点M 在OBC ∆内，判断出当M 与O 重合时，2λμ+最小；当M 与C 重合时，2λμ+的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．【详解】因为O 是ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=所以O 为ABC ∆的重心M 在OBC ∆内（不含边界），且当M 与O 重合时，2λμ+最小，此时 ()21113233AM AB AC AB AC AB AC λμ⎡⎤=+=⨯+=+⎢⎥⎣⎦ 所以11,33λμ==，即21λμ+= 当M 与C 重合时，2λμ+最大，此时AM AC =所以0,1λμ==，即22λμ+=因为M 在OBC ∆内且不含边界所以取开区间，即()21,2λμ+∈所以选B【点睛】本题考查了向量在三角形中的线性运算，特殊位置法的应用，属于难题． 7.在直角ABC 中，A ∠为直角，1,2AB AC ==，M 是ABC 内一点，且12AM =，若AM AB AC λμ=+，则23λμ+的最大值为_________． 【答案】54【解析】【分析】由12AM =得出22144λμ+=，即224+161λμ=，且由0λ>，0μ>，设1cos 2λθ=，1sin 042πμθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，然后利用辅助角公式可求出23λμ+的最大值.【详解】 2A π∠=，1AB =，2AC =，AM AB AC λμ=+，则0AB AC ⋅=，且12AM =， 则()222222221244AM AB AC AB AB AC AC λμλλμμλμ=+=+⋅+=+=， 点M 在ABC 内，则0λ>，0μ>，设1cos 2λθ=，1sin 042πμθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭， ()3523cos sin sin 44λμθθθϕ∴+=+=+，其中4tan 3ϕ=， 因此，4λμ+的最大值为54. 故答案为：54. 8.如图，扇形的半径为1，且0OA OB ⋅=，点C 在弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，则2x y +的最大值是__________【解析】【分析】根据题意将OC xOA yOB =+，两边同时平方可得221x y =+，再三角代换cos sin [0,]2x y πααα==∈，，，利用三角函数的性质即得．【详解】由题意得，0OA OB ⋅=，1OA OB ==，1OC =，由OC xOA yOB =+，等式两边同时平方，得2OC =22222x OA y OB xy ++OA OB ⋅， 所以221x y =+，令AOC α∠=，则cos sin [0,]2x y πααα==∈，，，则22cos sin )x y αααθ+=+=+，其中sin cos [0,]2πθθθ==∈， 因为2πθαθθ≤+≤+，sin()1αθ≤+≤，所以1)αθ≤+≤即2x y +。
平面向量的基本概念与运算法则
平面向量的基本概念与运算法则平面向量是解决几何问题的重要工具之一，它能够描述物体在平面内的方向和大小，能够进行加减乘除等基本运算，为我们解决问题提供了很大的便利。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，帮助读者理解和运用平面向量。
1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。
平面向量通常用线段AB来表示，方向由起点A指向终点B，记作→AB或者AB。
2. 平面向量的表示和坐标平面向量可以使用坐标来表示。
设向量AB的起点为原点O，终点为点P(x,y)，则向量→AB可以表示为(x,y)。
其中，x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。
3. 平面向量的运算法则平面向量有多种基本运算法则，下面依次介绍：(1) 向量的加法：设向量→AB的终点为P(x1,y1)，向量→CD的终点为Q(x2,y2)，则向量→AB + →CD的终点为R(x1+x2 , y1+y2)。
也就是说，将两个向量的x轴和y轴分量分别相加，得到新的向量的坐标。
(2) 向量的减法：设向量→AB的终点为P(x1,y1)，向量→CD的终点为Q(x2,y2)，则向量→AB - →CD的终点为R(x1-x2 , y1-y2)。
也就是说，将两个向量的x轴和y轴分量分别相减，得到新的向量的坐标。
(3) 向量的数量乘法：设向量→AB的终点为P(x,y)，数k为实数，则k × →AB的终点为R(kx, ky)。
也就是说，将向量的每个分量分别乘以实数k，得到新的向量的坐标。
(4) 向量的点乘法：设向量→AB的终点为P(x1,y1)，向量→CD的终点为Q(x2,y2)，则→AB · →CD = x1 x2 + y1 y2。
也就是说，将两个向量的x轴和y轴分量分别相乘，再将结果相加，得到点乘法的结果。
4. 平面向量的性质平面向量有一些重要的性质，下面列举几个常用的性质：(1) 平行向量的性质：如果两个向量→AB和→CD平行，则它们可以表示为→AB = k × →CD，其中k为实数。
平面向量5类解题技巧(学生版)
平面向量5类解题技巧(“爪子定理”、系数和(等和线)、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题)技法01“爪子定理”的应用及解题技巧“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握知识迁移形如AD =xAB +yAC 条件的应用(“爪子定理”)“爪”字型图及性质：(1)已知AB ,AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD ，必存在x ,y ，使得AD =xAB +yAC 。
则B ,C ,D 三点共线⇔x +y =1当0<x +y <1，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间当x +y >1，则D 与A 位于BC 两侧x +y =1时，当x >0,y >0，则D 在线段BC 上；当xy <0，则D 在线段BC 延长线上(2)已知D 在线段BC 上，且BD :CD =m :n ，则AD =n m +n AB +m m +nAC1(全国·高考真题)设D 为△ABC 所在平面内一点，且BC =3CD ，则()A.AD =-13AB +43ACB.AD =13AB -43ACC.AD =43AB +13ACD.AD =43AB -13AC 2(2023江苏模拟)如图，在△ABC 中，AN =13NC ，P 是BN 上的一点，若AP =mAB +211AC ，则实数m 的值为()A.911 B.511 C.311 D.2111(2022·全国·统考高考真题)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA ．记CA =m ，CD =n ，则CB =()A.3m -2nB.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n2(全国·高考真题)在△ABC 中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足BD =2DC ，则AD =()A.23b +13c B.53c -23b C.23b -13c D.13b +23c 3(2020·新高考全国1卷·统考高考真题)已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点(如图所示)，设AB =a ，AD =b ，则EF 等于()A.12a +bB.12a -bC.12b -aD.12a +b 4(全国·高考真题)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =()A.34AB -14AC B.14AB -34AC C.34AB +14AC D.14AB +34AC 5(江苏·高考真题)设D 、E 分别是ΔABC 的边AB ，BC 上的点，AD =12AB ，BE =23BC . 若DE =λ1AB +λ2AC (λ1,λ2为实数)，则λ1+λ2的值是技法02系数和(等和线)的应用及解题技巧近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用知识迁移如图，P 为ΔAOB 所在平面上一点，过O 作直线l ⎳AB ，由平面向量基本定理知：存在x ,y ∈R ，使得OP =xOA +yOB下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x +y 的值①若P ∈l 时，则射线OP 与l 无交点，由l ⎳AB 知，存在实数λ，使得OP =λAB 而AB =OB -OA ，所以OP =λOB -λOA ，于是x +y =λ-λ=0②若P ∉l 时，(i )如图1，当P 在l 右侧时，过P 作CD ⎳AB ，交射线OA ，OB 于C ,D 两点，则ΔOCD ∼ΔOAB ，不妨设ΔOCD 与ΔOAB 的相似比为k由P ,C ，D 三点共线可知：存在λ∈R 使得：OP =λOC +(1-λ)OD =kλOA +k (1-λ)OB所以x +y =kλ+k (1-λ)=k(ii )当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1作P 关于O 的对称点P ，由(i )的分析知：存在存在λ∈R 使得：OP =λOC +(1-λ)OD =kλOA +(1-λ)OB 所以OP =-kλOA +-(1-λ)OB于是x +y =-kλ+-k (1-λ)=-k 综合上面的讨论可知：图中OP 用OA ,OB 线性表示时，其系数和x +y 只与两三角形的相似比有关。
平面向量中的定理
平面向量中重要定理总结（非常经典）1、共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .2、三点共线的证明方法若存在非零实数λ，使得AB →＝λAC →或AB →＝λBC →或AC →＝λBC →，则A ，B ，C 三点共线．3、平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.4、奔驰定理：已知O 是ABC ∆内一点，则0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S AOB AOC BOC推论：已知O 是ABC ∆内一点，若=⋅+⋅+⋅z y x ，则z y x S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆5、极化恒等式定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍. 即：)|||(|2|AD ||AB |2222BO AO +=+ 设.,b AD a AB == 则,,b a DB b a AC -=+= 极化恒等式：[]22)()(41b a b a b a --+=⋅，即：=⋅6、三点共线定理：已知OB y OA x OC +=，且1=+y x ，则C B A ,,三点共线 OABC向量等和线： 平面内一组基底，及任意向量，21λλ+=，若点P 在直线AB 上或在与AB 平行的直线上，则k =+21λλ(||OC k =反之也成立,我们把直线AB 以及与AB 平行的直线称为基底系数等和线7、三角形各“心”的概念介绍重心：三角形的三条中线的交点，重心将中线长度分成2∶1；垂心：三角形的三条高线的交点，垂线与对应边垂直；内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)，内心到三角形三边的距离相等；外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．三角形各“心”的向量表示(1)O 是△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(2)O 是△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(3)O 是△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →2)．(4)O 是△ABC 的内心⇔OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|－AC →|AC →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BA →|BA →|－BC →|BC →|＝OC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CA →|CA →|－CB →|CB →|＝0.注意：向量λ((AB →|AB →|＋AC →|AC →|)(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)．。