巧妙确定平面向量基本定理中基底系数间的关系
平面向量基本定理
平面向量基本定理1. 介绍平面向量是平面上具有大小和方向的量，广泛应用于数学、物理和工程等领域。
平面向量基本定理是关于平面向量的一个重要定理，它是矢量运算的基础，对于解析几何和向量代数具有重要的指导作用。
本文将详细介绍平面向量基本定理的定义、性质以及应用。
2. 定义在平面上，一个向量可以表示为有向线段，具有大小和方向。
平面向量基本定理是指对于任意两个平面向量，它们的和（或差）可以用三角形规则来表示。
即，对于平面向量 $\\vec{a}$ 和 $\\vec{b}$，它们的和（或差）向量 $\\vec{c}$ 可以通过如下方式得到：$$ \\vec{c} = \\vec{a} + \\vec{b} \\quad \\text{或} \\quad \\vec{c} = \\vec{a} - \\vec{b} $$其中，$\\vec{c}$ 的起点与 $\\vec{a}$ 的起点相同，终点与 $\\vec{b}$ 的终点相同。
3. 性质平面向量基本定理具有以下性质：3.1 交换律对于任意两个平面向量 $\\vec{a}$ 和 $\\vec{b}$，它们的和（或差）向量满足交换律，即：$$ \\vec{a} + \\vec{b} = \\vec{b} + \\vec{a} \\quad \\text{或} \\quad \\vec{a} - \\vec{b} = -\\vec{b} + \\vec{a} $$3.2 结合律对于任意三个平面向量 $\\vec{a}$、$\\vec{b}$ 和 $\\vec{c}$，它们的和（或差）向量满足结合律，即：$$ (\\vec{a} + \\vec{b}) + \\vec{c} = \\vec{a} + (\\vec{b} + \\vec{c}) \\quad \\text{或} \\quad (\\vec{a} - \\vec{b}) - \\vec{c} = \\vec{a} - (\\vec{b} + \\vec{c}) $$3.3 零向量存在一个特殊的向量，其大小为零，记作 $\\vec{0}$，称为零向量。
巧妙确定平面向量基本定理中基底系数间的关系
巧妙确定平面向量基本定理中基底系数间的关系濮阳市华龙区高中 张杰平面向量作为高中数学的解题工具之一，选择恰当基底，确定基底系数的关系，进而用基底表示相关向量往往是能否顺利解决问题的关键，而如何确定平面向量基本定理中基底系数的关系对学生而言通常很难形成有效解决办法，下面通过实例给出一个巧妙确定平面向量基本定理中基底系数间的关系的办法。
问题：点P 是平行四边形ABCD 对角线BD 上一点，若AD y AB x AP +=，则系数x,y 满足何种关系是什么？若点P 是ABD ∆内部一点呢？确定办法：将基底转化为正交单位基底，在正交单位基底下x,y 的关系即为所求。
如图在正交基底下BD 对应直线1=+y x ，所以1=+y x 即为所求。
若点P 在ABD ∆内部，则有⎪⎩⎪⎨⎧<+<<<<<101010y x y x考题链接：已知点P 是ABC ∆内一点，且满足()R y x AC y AB x AP ∈+=,，则x y 2-的取值范围是（ ）A.()1,2-B.()2,1-C.()2,1D.[]1,2--解析：因为点P 是ABC ∆内一点，且满足()R y x AC y AB x AP ∈+=,，∴⎪⎩⎪⎨⎧<+<<<<<101010y x y x由线性规划问题的解法可知()1,22-∈-x y ，所以选A.考题链接：如图，已知四边形OABC 是边长为1的正方形， 3=OD ，点P 为BCD ∆内（含边界）的动点，设 (,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于___.解析：如图，将基底转化为正交单位基底，则点D C B ,,的坐标分别为：⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31，()1,0，()0,1，所以系数βα,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≤0332011βαβαα由线性规划问题的解法可知βα+的最大值为34。
考题链接：如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且OP xOA =+(,)yOB x y R ∈。
平面向量基本定理之系数的奇妙性质
平面向量基本定理之系数的奇妙性质我们知道，平面内任意一向量可以分解成基底的线性组合即，其系数构成的有序实数对是唯一的。
除此之外，系数还有哪些美丽而动人的性质呢？引例：三角板，、，另一等腰直角三角板 ,（如图）。
若 ,则 , .法一：由平行四边形法则，设，有、，其中 .易知。
不妨设，中，由余弦定理可知，则,故 .法二：将模长之比转化成面积之比。
过点作的垂线，分别交、于、两点.于是，同理，所以，，。
法三：建立直角坐标系，由向量的坐标表示也可以，此处略去。
由方法一，可以把两个基底、所在的直线分别叫作轴，平面被直线分得四个“象限”，于是乎就得到：性质一：（正负分布）的终点在不同的象限内，则的正负不同。
若把所在区域叫做第一象限，则；若把所在的反向区域叫做第三象限，则；若把所在的反时针的第二个区域叫做第二象限，则；第二象限的相对区域叫做第四象限，则。
这些与直角坐标系下点的坐标何其神似！如果把叫做、的轴，那么、的面积叫做共扼面积。
性质二：若是所在平面内一点，，则其系数的绝对值是其相对共扼面积与全面积之比，即： .特别地，当若在线段上，则.性质三：若，三点共线的充要条件是。
性质四：若 ,其中三点共线，则（常数）因为三点共线，由性质三知，，当时，仍有，证毕。
为方便应用，不妨引入如下概念。
把基底终点的连线称之为基线，过终点且与基线平行的直线称为火线，过起点且与基线平行的直线称为零线。
若起点到火线的距离，称为火距，起点到基线的距离称为基距，则火距：基距。
的取值范围可通过如下“目测”：当火线与基线在零线的同侧时，；当火线与基线在零线的异侧时，。
特别地，火线在零线与基线之间时，；与基线重合，（即性质三）；在“外”部时。
性质四：是内一点，则（其中、、）。
证明：由引例可知（其中、、、）。
所以证毕。
推论：是的重心，则。
推论：是的内心，则。
推论：是的外心，。
推论：是所在平面内一点，，则，其正负由所在“象限”决定。
应用举例1、（2016年清华大学领军计划自主招生问题）已知是内部一点，满足 .设 ,则实数分别为（）解：为“一象限”内一点，实数均为正数。
初中数学发现平面向量的运算规律
初中数学发现平面向量的运算规律在初中数学学习中，我们经常会遇到平面向量的相关概念和运算。
平面向量是一个有大小和方向的量，用箭头表示，常以字母加上一个右箭头来表示，如向量AB表示从点A指向点B的箭头。
平面向量的运算涉及到加法、减法、数乘等操作，本文将重点探讨初中数学中发现的平面向量的运算规律。
一、平面向量的加法平面向量的加法是将两个向量按照特定规则相加得到一个新的向量。
设有向量AB和向量BC，它们的加法结果记作AB+BC。
根据平行四边形法则，我们可以先将向量BC平移使其起点与向量AB的终点重合，然后以连接向量AB的起点和向量BC的终点的向量为结果。
即有AB+BC=AC。
二、平面向量的减法平面向量的减法也是通过特定规则进行的。
设有向量AB和向量BC，它们之间的减法结果记作AB-BC。
根据平行四边形法则，我们将向量BC翻转并平移使其起点与向量AB的终点重合，然后以连接向量AB的起点和平移后的向量BC的终点的向量为结果。
即有AB-BC=AC。
三、平面向量的数乘平面向量的数乘是将向量中的每一个分量乘以一个实数。
设有向量AB和实数k，它们进行数乘的结果记作kAB。
根据定义，kAB的大小为k乘以向量AB的大小，方向与向量AB相同或相反，取决于k的正负值。
四、平面向量的运算规律1. 加法的交换律：对于任意平面向量AB和向量CD，有AB+CD=CD+AB。
2. 加法的结合律：对于任意平面向量AB、BC和CD，有(AB+BC)+CD=AB+(BC+CD)。
3. 减法的运算规律：减法运算可以转化为加法运算，即AB-BC=AB+(-1)BC。
4. 数乘的结合律：对于任意平面向量AB和实数k、l，有(kl)AB=k(lAB)。
5. 数乘的分配律：对于任意平面向量AB和实数k、l，有(k+l)AB=kAB+lAB。
以上运算规律是初中数学中平面向量运算的基本规律，深入理解并掌握这些规律将有助于解决与平面向量相关的问题。
五、平面向量运算实例为了更好地理解平面向量的运算规律，我们通过以下实例进行讨论。
向量的基底定理
向量的基底定理向量的基底定理是线性代数中重要的概念之一。
在研究向量空间时，基底是非常关键的。
本文将详细介绍向量的基底定理，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
1、什么是基底在向量空间中，基底是一组线性无关的向量，并且所有其他向量可以通过这组向量的线性组合来表示。
简单来说，就是用一些向量来表示其他所有的向量，这些向量就称为基底。
这个概念可以类比于坐标系中的 x 轴和 y 轴。
只需要知道一个点在 x 轴和 y 轴上的坐标，就可以唯一地确定这个点的位置。
同样地，在向量空间中，只需要知道一个向量在基底中的坐标，就可以唯一地表示它。
2、基底的性质基底有以下几个重要的性质：（1）基底中的向量互不相等。
如果基底中的两个向量相等，则它们不再构成线性无关的组合。
（2）基底中的向量线性无关。
一组向量是线性无关的，意味着它们中的任何一个向量都不能表示为其他向量的线性组合。
（3）基底中的向量张成整个向量空间。
也就是说，任意一个向量都可以由基底中的向量线性组合而成。
基底的这些性质使得它在向量空间中具有非常重要的作用。
3、基底的重要性质——基底定理基底定理是关于基底在向量空间中的唯一性的一个重要结论。
基底定理指出，在一个 n 维向量空间中，任意两个基底都包含 exactly n 个向量。
这意味着，基底的个数是不可变的，不同的基底之间只能差在向量的排列或系数上。
这对于研究向量空间的性质非常有用。
4、基底的具体表示在实际应用中，我们可以选择一组合适的基底来表示向量。
一些常见的基底包括：（1）标准基底：这是一个非常常用的基底，它表示基底向量的第i 个元素为 1，其余元素为 0。
（2）坐标系基底：这是一个比较实用的基底，表示坐标系上的 x 和 y 方向的单位向量。
（3）单位球面上的基底：这是一种非常特殊的基底，它能够有效地处理球形数据。
不同的基底可能在不同的应用场景下具有不同的作用，我们需要根据实际需要进行选择。
5、总结基底定理是线性代数中非常重要的概念之一。
平面向量基本定理解题思路
平面向量基本定理解题思路
平面向量基本定理的解题思路主要基于该定理的实质，即利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算。
具体来说，解题时可以按照以下步骤进行：
1. 选择一组基底：首先，根据题目条件和所求结论，选择一组合适的基底。
这组基底通常是两个不共线的向量，它们可以表示平面内的任意向量。
2. 将条件和结论表示成向量的形式：接下来，利用这组基底，将题目中的条件和结论都表示成向量的形式。
这通常涉及到向量的线性组合、数乘、点积等运算。
3. 通过向量的运算解决问题：最后，利用向量的运算性质，如向量的加法、减法、数乘、点积等，对表示成向量形式的条件和结论进行运算，从而求得问题的解。
在解题过程中，还可以结合图形进行辅助分析，特别是对于涉及动态变化的问题，数形结合法是非常有效的。
此外，如果题目中给出了向量之间的夹角，也可以考虑使用坐标法来处理向量问题，通过建立平面直角坐标系，将向量问题转化为向量坐标运算问题。
总的来说，平面向量基本定理的解题思路是灵活多样的，需要根据具体问题的特点和条件来选择合适的解题方法。
通过不断练习和总结，可以逐渐掌握平面向量问题的解题技巧和方法。
2023年新高考数学一轮复习6-2 平面向量的基本定理及坐标表示(知识点讲解)解析版
专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核心素养． 3．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．【知识点展示】（一）平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． （二）平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a | (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.（三）平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a ≠0，b ≠0，a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. （四）平面向量数量积的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉． 结论 几何表示 坐标表示模 |a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21数量积 a ·b ＝|a ||b |cos θ a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 夹角 cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22a ⊥ba ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 |a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).数量积 两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__，即a·b ＝__x 1x 2＋y 1y 2__两个向量垂直a ⊥b ⇔__x 1x 2＋y 1y 2＝0__12211212（六）常用结论1．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.3．已知△ABC 的重心为G ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33【常考题型剖析】题型一：平面向量基本定理的应用例1.（2015·四川·高考真题（理））设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3,2BM MC DN NC ==，则AM NM ⋅=（ ）A ．20B ．15C ．9D ．6【答案】C 【解析】 【分析】根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+=+,2233AN AD DC AD AB =+=+,AM NM ⋅ 2()AM AM AN AM AM AN =⋅-=-⋅,结合向量的数量积求解即可.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形,点M 、N 满足3,2BM MC DN NC ==,∴根据图形可得:3344AM AB BC AB AD =+=+, 2233AN AD DC AD AB =+=+,NM AM AN ∴=-,2()AM NM AM AM AN AM AM AN ⋅=⋅-=-⋅,22239216AM AB AB AD AD =+⋅+, 22233342AM AN AB AD AD AB ⋅=++⋅, 6,4AB AD ==， 22131239316AM NM AB AD ∴⋅=-=-=， 故选C.例2．（2017·天津·高考真题（文））在ABC 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =. 若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为______________.【答案】311【解析】 【详解】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ ,则 122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=.【总结提升】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 题型二：平面向量的坐标运算例3.（2022·全国·高考真题（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】先求得a b -，然后求得a b -. 【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以245-=+=a b .故选：D例4.（2022·全国·高考真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（ ） A ．6- B ．5- C ．5 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C例5.（2018·全国·专题练习）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（ ）A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径5r =C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+， 设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),Px y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.例6.（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________． 【答案】3 【解析】 【详解】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a = 【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 题型三：平面向量共线的坐标表示例7.（2021·全国·高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ==，若//a b ，则λ=_________．【答案】85【解析】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=， 解方程可得：85λ=.故答案为：85.例8．（2021·江苏·沛县教师发展中心高三阶段练习）已知()1,3A ，()2,2B -，()4,1C . (1)若AB CD =，求D 点的坐标；(2)设向量a AB =，b BC =，若ka b -与3a b +平行，求实数k 的值. 【答案】(1)4(5,)D - (2)13k =-【解析】 【分析】（1）根据题意设(,)D x y ，写出,C AB D 的坐标，根据向量相等的坐标关系求解；（2）直接根据向量共线的坐标公式求解即可. (1)设(,)D x y ，又因为()()()1,3,2,2,4,1A B C -， 所以=(1,5),(4,1)AB CD x y -=--， 因为=AB CD ，所以4115x y -=⎧⎨-=-⎩，得54x y =⎧⎨=-⎩，所以4(5,)D -. (2)由题意得，(1,5)a =-，(2,3)b =， 所以=(2,53)ka b k k ----，3(7,4)a b +=， 因为ka b -与3a b +平行，所以4(2)7(53)0k k ----=，解得13k =-.所以实数k 的值为13-.【总结提升】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若1122()()a x y b x y ＝，，＝，，则//a b 的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便． 题型四：平面向量数量积的运算例9.【多选题】（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】 【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP==，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin|2AP α===，同理2||(cos 2|sin|2AP β=，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC例10.（2019·天津·高考真题（文）） 在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AEBE =，则BD AE ⋅=__________.【答案】1-. 【解析】 【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则B ，5)2D ． 因为AD∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒，所以直线BEy x=-，直线AE的斜率为y =．由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-， 所以1)E -． 所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-．例11．（2020·北京·高考真题）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 1-【解析】 【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值. 【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-，因此，(PD =-()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.1-. 【总结提升】1.计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解． 2.总结提升：公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >与a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解． 题型五：平面向量的模、夹角例12．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知向量()1,2a =，5a b ⋅=，8a b +=，则b =（ ） A ．6 B ．5 C ．8 D ．7【答案】D 【解析】 【分析】先求出||a ，再将8a b +=两边平方，结合数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由()1,2a =得：2||12a =+，由8a b +=得2222251064a b a a b b b +=+⋅+=++=， 即得249,||7b b ==，故选：D例13.（2018·浙江高考真题）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e·b+3=0，则|a −b|的最小值是（ ） A ．√3−1 B ．√3+1 C ．2 D ．2−√3 【答案】A 【解析】设a =(x,y),e =(1,0),b =(m,n)，则由⟨a,e ⟩=π3得a ⋅e =|a|⋅|e|cos π3,x =12√x 2+y 2,∴y =±√3x ， 由b 2−4e ⋅b +3=0得m 2+n 2−4m +3=0,(m −2)2+n 2=1, 因此|a −b|的最小值为圆心(2,0)到直线y =±√3x 的距离2√32=√3减去半径1，为√3−1.选A.【思路点拨】先确定向量a,b 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.例14.（2021·湖南·高考真题）已知向量(1,2)a =-，(3,1)b =-，则|2|a b +=___________【分析】利用向量模的坐标表示，即可求解.【详解】()21,3a b +=，所以2213a b +=+=例15.（2019·全国·高考真题（文））已知向量(2,2),(8,6)a b ==-，则cos ,a b =___________.【答案】【解析】【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】22826cos ,102a ba b a b ⨯-+⨯<>===-+．例16.（2017·山东·高考真题（理））已知1e ，2e 是互相12e - 与1e +λ2e 的夹角为60°，则实数λ的值是_ _．【解析】【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【详解】解：由题意，设1e =（1，0），2e =（0，1），12e -=1）， 1e +λ2e =（1，λ）；又夹角为60°，12e -）•（1e +λ2e ）=λ＝2cos60°，λ=解得λ=【总结提升】 1.求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系；(2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 提醒：〈a ，b 〉∈[0，π]．2．平面向量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.②若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．题型六：两个向量垂直问题例17．（2016·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =（ ） A ．−8B ．−6C ．6D ．8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8．故选D ．例18．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =______________．【答案】34-##0.75- 【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-. 故答案为：34-. 例19．（2022·全国·高三专题练习）已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()20a c b c -⋅-=，则c 的最大值是_________．【解析】【分析】由题意可设,a b 的坐标，设(,)c x y =，利用()()20a c b c -⋅-=求得(,)c x y =的终点的轨迹方程，即可求得答案.【详解】因为,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，故不妨设(1,0),(0,1)a b ==，设(,)c x y =，由()()20a c b c -⋅-=得：(1,)(2,12)0x y x y --⋅--=，即2(1)(12)0x x y y ----=，即22115()()2416x y -+-=，则c 的终点在以11(,)24故c 的最大值为=例20．（2020·全国高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.【解析】 由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =.． 【规律方法】1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值（涉及向量垂直问题为高频考点）根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．3.已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示如下：a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．。
e1e2向量基底运算法则
e1e2向量基底运算法则摘要：1.引言2.向量基底的概念3.向量基底运算法则的定义4.向量基底运算法则的例子5.向量基底运算法则的应用6.结论正文：1.引言在数学和物理学中，向量是一个非常重要的概念。
向量可以用来表示空间中的点或者方向，也可以用来表示大小和方向的量。
在向量的运算中，向量基底是一个非常重要的工具。
本文将介绍向量基底的概念以及向量基底运算法则。
2.向量基底的概念向量基底，简称基底，是指一个向量空间的一组线性无关的向量。
在一个向量空间中，基底可以表示空间中的任何一个向量。
例如，在二维空间中，(1, 0) 和(0, 1) 就是一组基底，因为任何一个二维向量都可以表示为这两个向量的线性组合。
3.向量基底运算法则的定义向量基底运算法则是指，对于一个向量空间中的向量，可以通过基底中的向量进行线性组合，得到空间中的任意向量。
具体来说，如果向量空间中的向量v 可以表示为基底中向量a 和向量b 的线性组合，那么v 就可以写成v=a*α+b*β的形式，其中α和β是实数，称为向量v 在基底a 和b 下的坐标。
4.向量基底运算法则的例子以二维空间为例，假设我们有两个向量，向量A=(1, 0) 和向量B=(0, 1)，我们想要表示向量C=(2, 3)。
我们可以通过向量A 和向量B 进行线性组合，得到向量C。
具体来说，我们可以设C=A*α+B*β，其中α和β是实数。
通过解方程组，我们可以得到α=2，β=3，因此，向量C 可以表示为C=A*2+B*3。
5.向量基底运算法则的应用向量基底运算法则在许多领域都有应用，例如线性代数、机器学习、图像处理等。
在这些领域中，向量基底通常被用来表示数据或者信号，通过基底中的向量进行线性组合，可以得到数据或者信号的表示。
6.结论向量基底是向量空间中的一组重要工具，它可以用来表示空间中的任意向量。
向量基底运算法则是向量运算中的一个基本法则，它可以用来计算向量在基底下的坐标，从而得到向量的表示。
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巧妙确定平面向量基本定理中基底系数间的关系
濮阳市华龙区高中 张杰
平面向量作为高中数学的解题工具之一，选择恰当基底，确定基底系数的关系，进而用基底表示相关向量往往是能否顺利解决问题的关键，而如何确定平面向量基本定理中基底系数的关系对学生而言通常很难形成有效解决办法，下面通过实例给出一个巧妙确定平面向量基本定理中基底系数间的关系的办法。
问题：点P 是平行四边形ABCD 对角线BD 上一点，若AD y AB x AP +=，则系数x,y 满足何种关系是什么？若点P 是ABD ∆内部一点呢？
确定办法：将基底转化为正交单位基底，在正交单位基底下x,y 的关系即为所求。
如图在正交基底下BD 对应直线1=+y x ，所以1=+y x 即为所求。
若点P 在ABD ∆内部，则有⎪⎩
⎪⎨⎧<+<<<<<101
010y x y x
考题链接：已知点P 是ABC ∆内一点，且满足()R y x AC y AB x AP ∈+=,，则x y 2-的取值范围是（ ）
A.()1,2-
B.()2,1-
C.()2,1
D.[]1,2--
解析：因为点P 是ABC ∆内一点，且满足()R y x AC y AB x AP ∈+=,，∴⎪⎩
⎪⎨⎧<+<<<<<101010y x y x
由线性规划问题的解法可知()1,22-∈-x y ，所以选A.
考题链接：如图，已知四边形OABC 是边长为1的正方形， 3=OD ，
点P 为BCD ∆内（含边界）的动点，设 (,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于___.
解析：如图，将基底转化为正交单位基底，则点D C B ,,的坐标分别为：⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,31，()1,0，()0,1，
所以系数βα,满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤-+≥-+≤0332011βαβαα由线性规划问题的解法可知βα+的最大值为34。
考题链接：如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且OP xOA =+(,)yOB x y R ∈。
有以下结论： ①当0x =时，[2,3]y ∈；
②当P 是线段CE 的中点时，15,22
x y =-=；
③若x y +为定值，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段； ④x y -的最大值为1-
其中你认为正确的所有结论的序号为 。
解析：如图，将基底转化为正交单位基底，则点E D C B ,,,的坐标分别为：()1,0，()2,1-，()4,1-，()3,0，所以则当0x =时，点BE P ∈，所以[]3,1∈y ，
故①错；当P 是线段CE 的中点时，P 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,21，∴15,22
x y =-=，②正确；若x y +为定值，则点P 的轨迹是在平行四边形BCDE 内（含边界）与BC 平行的一条线段，③正确；由线性规划的知识可知点()1,0B 对应x y -的最大值1-，④正确。