平面向量基本定理系数等值线
平面向量基本定理以及“等和线”的应用
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
问题的提出
平面向量与代数、几何融合的题目综合性强， 难度大，考试要求高。近年，以“等和线”为背景 的试题层出不穷。考生在解决此类问题时，往往因 思路不清、运算繁琐而失分。
本专题将在平面向量基本定理的基础上推导得 出“等和线”解题的原理，并利用“等和线”原理 解决与向量系数有关的最值和范围有关的问题。
所以, 3 y, 3x 3x 3 y 3
当点P与A点重合时,显然有 : 0,所以,选C.
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
练习：如图,四边形OABC是边长为1的正方形,点D在OA 的延长线上,且OD 2,点P为BCD内(含边界)的动点,
uuur uuur uuur
（二）起点不同，平移改造基底型
F
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
练习： 突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
练习： 突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
（三）合理调节、变换基底型 例题：
1 2
uuur uuur PA, PB1
1 3
uuur PB
.
由
2x 2x 3y
3y 2x 3y
1
得点
A1 ,
B1,
D
共线,即点
D
在直线
A1 B1
上.
uuur uuur 再由 PC 5PD 知点 C 的轨迹就是直线 A2B2 ,其中 PA2 5PA1, PB2 5PB1 .如下图:
沪教版(上海)数学高二上册-8.3 平面向量等值线 课件 优秀课件PPT
与AB1平行的直线
O
A
B1
P
四、探究三
平面内一组基OA， OB及任一向量OP, 一
OP 1OA 2 OB(1，2为实数), 若12 k，则点P的轨迹是什么？
取特殊基向量OA i, OB j B
P
双曲线 xy 12
一般的OA, OB呢？
O
A
☆□
四、探究三 等积线
应用(2010上海卷理13)如图所示,直线x 2与双曲线
:
x2 4
y2
1的渐近线交于E1、E2两点,记OE1
e1，
OE2 e2，任取双曲线上的点P,若OP ae1 be2 (a, b R),则a, b满足的一个等式是_______.ab 1
4
高考题变式:
若此题中满足ab 1，求点P轨迹。 4
☆□
五、探究四
平面内一组基OA， OB及任一向量OP ,
OP 1OA 2 OB(1，2为实数), 若 1 k，则点P的轨迹是什么？
2
B P
O
A
☆□
课堂小结
1. 等值线及其性质； 2. 体会了发现、提出问题的过程；
分析、解决问题的方法；
3. 运用了特殊到一般，数形结合，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ合情猜测，严格证明的研究方法。
课后思考
若 | OA || OB |，OP 1OA 2 OB， 1. 12 22 k为定值时，则P点的轨迹是什么？ 2. 12 22 k为定值时，则P点的轨迹是什么？
OP 1OA 2 OB(1，2为实数),
1 2 2 OP 2OD
1
2
1 3
OP 1 OD 3
1 2
3
4
OP 3 OD 4
从平面向量中的等值线说起(吴波《数学通讯》2015 年第 9期(下半月))
图３
式将 ｘ 解得ｘ ｙ 放缩将其化为关于 ｘ ＋ｙ 的 不 等 式 ， ︵ 当 Ｃ 为Ａ ＋ Ｂ 的中点时取最大值 ２． ｙ≤２． → → 为标架建立平面仿射坐 说明 以 ｛ Ｏ； Ｏ Ｏ Ａ， Ｂ｝ →＋ Ｏ → → Ａ 标系 ， 题设Ｏ 点 Ｃ 在此坐标 系 Ｏ Ｃ＝ｘ ｙ Ｂ 表明 ：
２ 则上述解答中得到的方程ｘ 中的坐标即 是 （ ｘ， ． ｙ） ２ ︵ ＋ Ｂ所 在 的 圆 在 此 坐 标 系 ｙ＝１ 即 是 图 ３ 中Ａ ｙ －ｘ
［ ３］ 例１ 四边形 Ｐ Ｑ Ｒ Ｓ 是四边形Ａ Ｂ－ 如 图 ２，
Ｃ Ａ Ｐ Ｂ Ｑ Ｃ Ｄ 的 内 接 四 边 形， Ｐ ＝λ Ｂ， Ｑ ＝λ Ｃ， Ｒ＝ １ ２ Ｒ Ｄ Ｓ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｄ， Ｓ ＝λ Ａ． ′、 ′、 ′、 ′分 别 是 四 边 形 λ ３ ４
４ ０
下半月 ） 数学通讯 — ２ ０ １ ５ 年第 ９ 期 （ · 专论荟萃 ·
从平面向量中的等值线说起
吴 波
） （ 重庆市长寿龙溪中学 ， ０ １ ２ ４ ９ ４
１．平面向量基本定理系数等值线 平面向量基本定理 如果ｅ ｅ １， ２ 是同一平 面 内 有且 两个不共线向量 ， 则对该平面内的任 一 向 量 ａ， 使 ａ＝ 只有一对实数λ ｅ ｅ λ λ λ １， ２， １ １＋ ２ ２． ］ 文［ 称 上 式 中 的λ １ λ １， ２ 为平面向量基本定理 系数 ， 并证明了 ：
（ Ｏ Ａ， Ｂ 为渐近线的某 ⅳ ）若 点 Ｐ 在 以 直 线 Ｏ 条双曲线上 ， 则λ 反之也成立 ． λ １ ２ 为定值 ． （ 注： 结论 （ 中的“ 定 值” 应当加上 “ 非零” 的 ⅳ） ） 限制 ． ， ） 文［ 将直线 Ａ 由结论 （ Ｂ 以及与Ａ Ｂ 平行 １］ ｉ 的直线叫作 “ 平面 向 量 基 本 定 理 系 数 的 等 和 线 ” 同 ． 、 （ 、 中的直线分别叫作“ 理， 结论 （ 等 差 线” ⅲ） ⅱ） “ ； 等商线 ” 而结论 （ 中的双曲线叫作 “ 等积线 ” ． ⅳ） ］ 文［ 中还讨论 了 ｋ 的 取 值 范 围 与 等 值 线 的 位 １ 置的对应关系 ． 本文 拟 探 讨 在 这 些 等 值 线 背 后 隐 藏 的 实 质 ， 从 另一个角度加深对平面向量基本定理的理解 ． ２．等值线背后的实质
平面向量基本定理系数的等值线法(答案)
平面向量基本定理系数的等值线法一、适用题型在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时，可以用等值线法.二、基本理论（一）平面向共线定理已知OC OB OA μλ+=，若1=+μλ，则C B A ,,三点共线；反之亦然 （二）等和线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ， ),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k =+μλ（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线成为等和线（1）当等和线恰为直线AB 时，1=k ；（2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，)1,0(∈k ； （3）当直线AB 在O 点和等和线之间时，),1(+∞∈k ； （4）当等和线过O 点时，0=k ；（5）若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数； （6）定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比. （三）等差线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ， ),(R OB OA OP ∈+=μλμλ， C 为线段AB 的中点，若点P 在直线OC 上或在平行于OC 的直线上，则k =-μλ（定值）；反之也成立，我们把直线OC 以及与直线OC 平行的直线称为等差线 （1）当等差线恰为直线OC 时，0=k ； （2）当等差线过A 点时，1=k ； （3）当等差线在直线OC 与点A 之间时，)1,0(∈k ； （4）当等差线与BA 延长线相交时，),1(+∞∈k ；（5）若两等差线关于直线OC 对称，则两定值k 互为相反数. （四）等积线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，若点P 在以直线OB OA ,为渐近线的双曲线上，则λμ为定值k ，反之也成立，我们把以直线OB OA ,为渐近线的双曲线称为等积线（1）当双曲线有一支在AOB ∠内肘，0>k ；（2）当双曲线的两支都不在AOB ∠内吋，0<k ；（3）特別的，若),(b a OA =，),(b a OB -=，点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上时，41=k （五）等商线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，若点P 在过O 点（不与OA 重合）的直线上，则k =μλ（定值），反之也成立，我们把过点O 的直线（除OA 外）称为等商线（1）当等商线过AB 中点吋，1=k ；（2）当等商线与线段AC （除端点）相交时，),1(+∞∈k ； （3）当等商线与线段BC （除端点）相交时，)1,0(∈k ； （4）当等商线为OB 时，0=k ；（5）当等商线与线段BA 延长线相交时，)1,(--∞∈k ； （6）当等商线与线段AB 延长线相交时，)0,1(-∈k ； （7）当等商线与直线AB 平行时，1-=k . （六）等平方和线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，),(R OB OA OP ∈+=μλμλ，且OB OA =，若点P 在以AOB ∠角平分线为半长轴的椭圆上，则22μλ+为定值k ，反之也成立，我们把以AOB ∠角平分线为半长轴的椭圆称为等平方和线特別的，若),(b a OA =，),(b a OB -=，，点P 在椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 上时，21=k 三、解题步骤 1、确定等值线为1的线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；四、几点补充1、平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；2、若需要研究的是两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和或差；五、典型例题例1.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为0120，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OB y OA x OC +=，其中R y x ∈,，则y x +的最大值是解法1：以点O 为原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则)01(，A ，)23,21(-B设θ=∠AOC ，则)sin ,(cos θθC ，所以OB y OA x OC +=)23,21()0,1()sin ,(cos -+=⇒y x θθ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒θθθθθsin 32sin 31cos 23sin 21cos y x y y x2)6sin(2sin 3cos ≤+=+=+∴πθθθy x 当且仅当26ππθ=+即3πθ=时等号成立所以2)(max =+y x解法2：设OC 交AB 于点D ，则 当点C 在1C 处时，2)(max =+y x当点C 在A 或B 处时，1)(min =+y x]2,1[∈+∴y x例 2.在正六边形ABCDEF 中，P 是三角形CDE 内（包括边界）的动点，设AF y AB x AP +=，则y x +的取值范围解析：设AP 与BF 相交于点Q ，则 当点P 在点D 处时，4)(max =+y x ，当点P 在CE 上（不如让点P 在AD 与CE 的交点处）时，3)(min =+y x ∴]4,3[∈+y x例3.如图，在平行四边形ABCD 中，N M ,为CD 边的三等分点，S 为AM 与BN 的交点，P 为边AB 边上一动点，Q 为SMN ∆内一点（含边界），若BN y AM x PQ +=，则yx +的取值范围是 解析：作BN PT AM PR ==,，则PT y PR x BN y AM x PQ +=+=所以当点P 在S 点处时，43)(min =+y x ，当点P 在MN 上时，1)(max =+y x ， 故∈+y x ]1,43[例4.梯形ABCD 中，AB AD ⊥，1==DC AD ，3=AB ，P 为三角形BCD 内一点（包括边界），AD y AB x AP +=， 则y x +的取值范围 解析：当点P 在点C 处时，34)(max =+y x 当点P 在BD 上时，1)(min =+y x∈+∴y x ]34,1[例5.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若 AC AB DE 21λλ+=（21,λλ为实数），则21λλ+的值为解析：作AC DN AB DM ==,，则MN ∥BE （BE 在DMN ∆中位线上）∴DN DM AC AB DE 2121λλλλ+=+==+∴21λλ21注：此题为2013年江苏高考题第8题，但点E 为三等分的条件其实没有必要，可舍例 6.在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，P 为以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设AP y AD x AE +=，则y x +2的最小值为解析：取AD 的中点M ，则AP y AD x AE +=AP y AM x +=2 因为点P 在半圆上滑动，当点E 离直线MP 最近时，y x +2最小 由图可知点P 在半圆上的最高点处时，点E 离直线MP 最近 此时点E 在MP 上，所以=+min )2(y x 1例7.在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设AP y DE x AC +=，则y x +的最小值为 解析：作DE AF =，则AP y DE x AC +=AP y AF x += 当点C 离PF 最近时，y x +最小所以当点P 在圆上滑到点B 处时，y x +最小为218.已知1==ON OM ，ON y OM x OP +=（y x ,为实数），若PMN ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，则y x -取值的集合为解析：作ON OA -=，则有OA ON OM ==，所以090=∠AMN ，即P M A ,,三点共线，所以ON y OM x OP +=OA y OM x -=所以1=-y x ，故答案为{}1例9.已知椭圆E ：12510022=+y x 的上顶点为A ，直线4-=y 交椭圆于C B ,（B 在C 的左侧），点P 在椭圆E 上，若BC n BA m BP +=，求n m +的最大值 解析：可知点P 为椭圆的与AC 平行的切线的切点处时，n m +最大 计算可得=+max )(n m 1813105+ 例10.已知O 为ABC ∆的外心，若)00(，A ，)02(，B ，1=AC ，32π=∠BAC ，且AC AB AO μλ+=，则=+μλ解析：过点O 作OD ∥BC 交AB 于点D ，则ABAD=+μλ O 为ABC ∆的外心⇒点O 在BC 的垂直平分线上⇒点O 的横坐标为1 )23,21(-C ，532523-=-=BCk ，7)221()23(22=--+=BC由正弦定理得3212327sin 2=⨯=⇒∠=OA BACBCOA ，所以点O 的纵坐标为332137=-，直线OD ：)1(53332--=-x y ，令0=y 得点D 的坐标为)0,313( 613==+∴AB AD μλ例11.已知O 为ABC ∆的外心，若31cos =∠BAC ，AC AB AO μλ+=，则=+max )(μλ 解析：设AO 交BC 于点D ，则ODAO AOAD AO +==+μλ 当OD 最小即BC AD ⊥时，μλ+最大，此时=+μλ43所以=+max )(μλ43例12.平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为0120 ，OA 与OC 的夹角为030，且1==OB OA ，32=OC ，若OB n OA m OC +=，则n m +的值为解析：设OC 交AB 于点D ，则n m +ODOC=OAD ∆中，331300=⇒==∠=∠OD OA OAD AOD ， 所以OD OC =63332== 例13.如图，C B A ,,是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OB n OA m OC +=，则n m +的取值范围为解析：∈-=+ODOCn m )0,1(-例14.在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为)0,5(，)1,2(1=e ， )1,2(2-=e 分别是两条渐近线的方向向量，任取双曲线Γ上的点P ，若),(21R b a e b e a OP ∈+=，则b a ,满足的一个等式是解析：等积线：双曲线的方程为1422=-y x ，设)tan ,sec 2(θθP ，则由),(21R b a e b e a OP ∈+=⎩⎨⎧=-=+⇒⎩⎨⎧=-=+⇒-+=⇒θθθθθθtan sec tan sec 222)1,2()1,2()tan ,sec 2(b a b a b a b a b a 1tan sec )()(2222=-=--+⇒θθb a b a 41=⇒ab例15.已知1=OA ，3=OB ，0=⋅OB OA ，点C 在AOB ∠内，且030=∠AOC ， 设OB n OA m OC +=，则nm的值为 答案：等商线：分别以OB OA ,为y x ,轴建立平面直角坐标系，则)3,0(),01(B A ，， OB n OA m OC +=)3,()3,0()0,1(n m n m =+=，又030=∠AOC ，所以330tan 30=⇒=nmm n例16.如图，倾斜角为θ的直线OP 与单位圆在第一象限的部分交于点P ，单位圆与坐标轴交于点)01(，-A ，点)10(-，B ，PA 与y 轴交于点N ，PB 与x 轴交于点M ，设),(R y x PN y PM x PO ∈+=，求y x +的最小值解析：设OP 交MN 于点Q ，MN 的中点为D ，则21211111=+-≥-=-==+OQ OQ PO PO PQ PO y x例17.如图，在扇形OAB 中，060=∠AOB ，C 为弧AB 上且不与A 、B 重合的一个动点，OB y OA x OC +=，若)0(>+=λλy x u 存在最大值，则λ的取值范围为解析：因为0>λ，在射线OB 上取点D ，使得OB OD λ1=，则OB y OA x OC +=OD y OA x λ+=，过点C 作CE ∥AD 交OB 于点E ，过点A 作OB AM ⊥于点M ，过点A 作弧AB 的切线交OB 于点N ，则易知当E 离D 最远时u 有最大值，而E 只能在线段MN 上，所以∈u )2,21(例18.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两定点B A ,满足2=⋅==OB OA OB OA ，则点集{}R OB OA OP P ∈≤++=μλμλμλ,,1,所表示的区域面积为解析：由题意可知60=∠AOB ,设OB OD OA OC -=-=,，R OB OA OP ∈≤++=μλμλμλ,,1,，则可知点P 的轨迹为平行四边形ABCD 及其内部的部分，其面积为3460sin 44210=⨯⨯⨯例19.已知b a ,是两个互相垂直的单位向量，且1=⋅=⋅b c a c ，则对任意的正实数t ，b ta t c 1++的最小值为解析：分别以b a ,为y x ,轴方向上的单位向量，则)1,0(),0,1(==b a ，由1=⋅=⋅b c a c 知)1,1(=c ，)11,1()1,0(1)0,1()1,1(1tt t t b t a t c ++=++=++∴2212)12()2()11()1(12222≥+=+≥+++=++tt t t t t b t a t c。
平面向量基本定理及坐标表示知识点讲解+例题讲解(含解析)
平面向量的基本定理及坐标表示一、知识梳理1.平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. 4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.小结：1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)且a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y2. 2.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( )(3)设a ，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )解析 (1)共线向量不可以作为基底. (2)同一向量在不同基底下的表示不相同. (4)若b ＝(0，0)，则x 1x 2＝y 1y 2无意义.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7) C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D.e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B. 答案 B3.设P 是线段P 1P 2上的一点，若P 1(1，3)，P 2(4，0)且P 是线段P 1P 2的一个三等分点(靠近点P 1)，则点P 的坐标为( ) A.(2，2)B.(3，－1)C.(2，2)或(3，－1)D.(2，2)或(3，1)解析 由题意得P 1P →＝13P 1P 2→且P 1P 2→＝(3，－3). 设P (x ，y )，则(x －1，y －3)＝(1，－1)， ∴x ＝2，y ＝2，则点P (2，2). 答案 A4.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A.(－7，－4) B.(7，4) C.(－1，4)D.(1，4)解析 根据题意得AB→＝(3，1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A. 答案 A5.(2017·山东卷)已知向量a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝________. 解析 ∵a ∥b ，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3. 答案 －36.(2019·苏州月考)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________.解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4，1)＝(5－x ，6－y )，即⎩⎨⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝5. 答案 (1，5)考点一 平面向量基本定理及其应用【例1】 (1)(2019·衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC→(λ，μ∈R )，则52μ－λ＝( ) A.－12B.1C.32D.－3解析 (1)AM→＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →) ＝(λ－μ)AB→－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →.因为E ，M ，F 三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1， 即2λ－5μ＝1，∴52μ－λ＝－12.(2)(2019·北京海淀区调研)在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD→＝13AB→＋12AC →.延长AD 交BC 于E ，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ－μ的值是________.解析：(2)设AE →＝xAD →，∵AD →＝13AB →＋12AC →， ∴AE→＝x 3AB →＋x 2AC →. 由于E ，B ，C 三点共线，∴x 3＋x 2＝1，x ＝65.根据平面向量基本定理，得λ＝x 3，μ＝x2.因此λ－μ＝x 3－x 2＝－x 6＝－15.答案 (1)A (2)－15【训练1】 (1)(2019·济南质检)在△ABC 中，AN→＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP→＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( ) A.－4B.－1C.1D.4解析 (1)根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB→)＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →. 又AP →＝mAB →＋25AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎨⎧n ＝2，m ＝－1.(2)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC→＝23OA →＋13OB →，则|AC→||AB →|＝________. 解析：(2)因为OC→＝23OA →＋13OB →，所以OC →－OA →＝－13OA →＋13OB →＝13(OB →－OA →)，所以AC →＝13AB →，所以|AC →||AB →|＝13.考点二 平面向量的坐标运算【例2】 (1)设A (0，1)，B (1，3)，C (－1，5)，D (0，－1)，则AB→＋AC →等于( )A.－2AD →B.2AD →C.－3AD →D.3AD →(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A.1B.2C.3D.4解析 (1)由题意得AB →＝(1，2)，AC →＝(－1，4)，AD →＝(0，－2)，所以AB →＋AC →＝(0，6)＝－3(0，－2)＝－3AD→.(2)以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，∴a ＝AO→＝(－1，1)，b ＝OB →＝(6，2)，c ＝BC →＝(－1，－3)， ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，则⎩⎨⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝－2－12＝4. 答案 (1)C (2)D【训练2】 (1)已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1，1)，C (2，3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是________.解析 (1)由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B 为(x ，y )，则(2－x ，3－y )＝－2(1，2). 则⎩⎨⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝7. 所以向量OB→的坐标是(4，7).(2)(2019·天津和平区一模)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA →＝λCE →＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A.65B.85C.2D.83解析：(2)建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)， ∴CA→＝(－2，2)，CE →＝(－2，1)，DB →＝(1，2)， ∵CA→＝λCE →＋μDB →，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)， ∴⎩⎨⎧－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝85.答案 (1)(4，7) (2)B考点三 平面向量共线的坐标表示 角度1 利用向量共线求向量或点的坐标【例3－1】 已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________.解析 法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ).又AC→＝OC →－OA →＝(－2，6)， 由AP→与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)， 所以点P 的坐标为(3，3).法二 设点P (x ，y )，则OP→＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x4＝y4，即x ＝y .又AP→＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3，3). 答案 (3，3)角度2 利用向量共线求参数【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ).若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.(2)已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －3b 共线，则mn ＝________. 解析 (1)由题意得2a ＋b ＝(4，2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，即λ＝12. (2)由2－1≠32，所以a 与b 不共线， 又a －3b ＝(2，3)－3(－1，2)＝(5，－3)≠0. 那么当m a ＋n b 与a －3b 共线时， 有m 1＝n －3，即得m n ＝－13.答案 (1)12 (2)－13【训练3】 (1)(2019·北师大附中检测)已知向量a ＝(1，1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点，若AB→∥a ，则点B 的坐标为________.(2)设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(2m ，－1)，OC →＝(－2n ，0)，m ，n ∈R ，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则m ＋n 的最大值为( ) A.－3B.－2C.2D.3解析 (1)由题意设B (x ，2x )，则AB→＝(x －3，2x )，∵AB →∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3，∴B (－3，－6).(2)由题意易知，AB →∥AC →，其中AB →＝OB →－OA →＝(2m －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2n －1，2)，所以(2m －1)×2＝1×(－2n －1)，得：2m ＋1＋2n ＝1. 2m ＋1＋2n ≥22m ＋n ＋1，所以2m ＋n ＋1≤2－2，即m ＋n ≤－3. 答案 (1)(－3，－6) (2)A三、课后练习1.如图，在△ABC 中，AD→＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.89B.49C.83D.43解析 AP→＝AB →＋BP →＝AB →＋13BD →＝AB →＋13(AD →－AB →)＝23AB →＋13×23AC →＝23AB →＋29AC →.因为AP →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝23，μ＝29，则λ＋μ＝23＋29＝89. 答案 A2.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是( )A.1B. 2C. 3D.2解析 因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上，所以|OC→|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB →＝x 2＋y 2，∴x 2＋y 2＝1，则2xy ≤x 2＋y 2＝1. 又(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ≤2， 故x ＋y 的最大值为 2. 答案 B3.已知|OA→|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC→＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为________.解析 ∵OA→·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA→＝(1，0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n ). ∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即mn ＝3. 答案 34.在△ABC 中，点D 满足BD→＝DC →，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC→，则t ＝(λ－1)2＋μ2的最小值是________. 解析 因为BD→＝DC →，所以AD →＝12AB →＋12AC →.又AE→＝λAB →＋μAC →，点E 在线段AD 上移动，所以AE→∥AD →，则12λ＝12μ，即λ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤λ≤12. 所以t ＝(λ－1)2＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋12.当λ＝12时，t 的最小值是12. 答案 125.直角△ABC 中，AB ＝AC ＝2，D 为AB 边上的点，且AD DB ＝2，则CD →·CA →＝________；若CD→＝xCA →＋yCB →，则xy ＝________. 解析 以A 为原点，分别以AB→，AC →的方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (0，2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0，则CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2，CA →＝(0，－2)，CB→＝(2，－2)，则CD →·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2·(0，－2)＝43×0＋(－2)×(－2)＝4.由CD→＝x CA →＋y CB →＝x (0，－2)＋y (2，－2)＝(2y ，－2x －2y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝43，－2x －2y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝23，则xy ＝29.答案 4 29。
高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》
衡阳市高中教师数学交流 QQ 群：731847633
衡阳市数学学会
练习 5：如图 13 所示， A, B, C 是圆 O 上的三点， CO 的延长线与线段 BA 的延长
线交于圆 O 外的点 D ,若 OC mOA nOB ，则 m n 的取值范围是
当 AD EF 时， f x, y AD 取得最 小值，此时 f x0 , y0 AD .易知
ABC AEF ，则 AD AH r 4 .
四、解题总结 1、确定等值线为 1 的直线； 2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和 最小值； 3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值或最小值.
部的动点，设向量 AP m AB n AFm, n R ，则 m n 的取值范围是（ ）
A . 1,2
B . 5,6
C . 2,5
D .3,5
【分析】
如图 5，设
AP1
m AB n AF ，由等和线结论，m n
AG AB
2 AB AB
2 .此为 m n
的交点，P 为边 AB 上一动点，Q 为 SMN 内一点（含边界），若 PQ x AM y BN ，
则 x y 的取值范围是
.
【分析】
如图 8 所示，作 PS AM ，PT BN ，过 I 作直线 MN 的平行线，由等和线定理
可知，
x
y
3 4
,1
.
（三）基底一方可变
OB'
平面向量等值线法
技巧八平面向量基本定理系数的等值线法一、适用题型在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时，可以用等值线法。
二、基本理论（一）平面向量共线定理三点共线；反之亦然，则若已知C B A ,,1,=++=μλμλ（二）等和线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，()R ∈+=μλμλ,，若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则)(定值k =+μλ,反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线成为等和线。
（1）当等和线恰为直线AB 时，1=k ；（2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，()1,0∈k ；（3）当直线AB 在O 点和等和线之间时，()∞+∈，1k ；（4）当等和线过O 点时，0=k ；（5）若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；（6）定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比；（三）等差线平面内一组基底,及任一向量OP ，()R OB OA OP ∈+=μλμλ,，C 为线段AB 的中点，若点P 在直线OC 上或在平行于OC 的直线上，则)(定值k =-μλ,反之也成立，我们把直线OC 以及与直线OC 平行的直线称为等差线。
（1）当等差线恰为直线OC 时，0=k ；（2）当等差线过A 点时，1=k ；（3）当等差线在直线OC 与点A 之间时，()1,0∈k ；（4）当等差线与BA 延长线相交时，()∞+∈，1k ；（5）若两等差线关于直线OC 对称，则两定值k 互为相反数；（四）等积线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，()R OB OA OP ∈+=μλμλ,，若点P 在以直线OB OA ,为渐近线的双曲线上，则λμ为定值k ，反之也成立，我们把以直线OB OA ,为渐近线的双曲线称为等积线（1）当双曲线有一支在AOB ∠内时，0>k ；（2）当双曲线的两支都不在AOB ∠内时，0<k ；（3）特别的，若()()b a OB b a OA -==,,,，点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 时，41=k ；（五）等商线平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，()R OB OA OP ∈+=μλμλ,，若点P 在过O 点（不与OA 重合）的直线上，则)(定值k =μλ，反之也成立。
(2.14)平面向量基本定理
OA tuOuurB tuOuurA
(1 t)OA tOB
变题2
uuur uur 设0A,u0uBur不共uuu线r ，u点ur P在AB上
求证：OP=0A+0B且+=P1，, R
B
A O
真题再现
（2007.全国Ⅱ）在VABC中,已知D是AB边上
uuur 一点,若 AD
uuur uuur 2DB, CD
理解定理——基底
1.设Ouu是ur YAuuBurCD两u对uuu角r 线uu的ur 交点，下列向量组： ① AuuDur与uAuBur ② DuuAur与BuuCur ③ CA与DC ④ OD与OB
其中可作为这个平行四边形所在平面内的 所有向量的基底的是( ) A ①,② B ①,③ C ①,④ D ③,④
有一对实数1, 2 , 使a 1e1 2e2 .
对基本定理的理解
注意三点： ① 基底中两向量不共线 ② 表达形式的唯一确定性 ③ 可表示平面内任一向量
知识点小结
1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解
注意三点： ① 基底中两向量不共线 ② 表达形式的唯一确定性 ③ 可表示平面内任一向量
３、平面向量基本定理的应用： ①解（证）向量问题
平面向量的基本定理
By:Cdy
1.向量的合成与分解 2. 什么是平面向量的基本定理。 3.理解什么样的一组向量能做为平面向量的一组 基底
1.实数与向量的积 2.两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线 有且只有一个实数λ，使得 b =λa
力的合成与分解
如图在重300N的特体上拴两绳子，这两根 绳子 在铅垂线的两侧，与铅垂线的股夹 角分别为30度，60度，当整个系统处于 平衡状态时，求两根绳子的拉力。