函数性质、指对幂函数综合复习

函数性质、指对幂函数综合复习【要点梳理】要点一：指数及指数幂的运算 1．根式的概念2．n 次方根的性质：（1）当na =；当n,0,,0;a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩（2）na =3．分数指数幂的意义：)0,,,1mna a m n N n =>∈>；()10,,,1m nm naa m n N n a-=>∈>要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义． 4．有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q >>∈（1）r s r s a a a += （2）()r s rs a a = （3）()rr r ab a b =要点二：指数函数及其性质 1．指数函数概念 一般地，函数()0,1xy aa a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．2要点三：对数与对数运算 1．对数的定义（1）若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．（2）负数和零没有对数．（3）对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．2．几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．3．常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 4．对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-=；③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a NaN =；⑤log log (0,)b na a n M Mb n R b=≠∈；⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 要点四：对数函数及其性质1．对数函数定义一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞． 2要点五：幂函数1．幂函数概念：形如()y x R αα=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数． 2．幂函数的性质（1）图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第___________象限（图象关于y 轴对称）；是奇函数时，图象分布在第_________象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．（2）过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点________________．（3）单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，______________________________． 【直击考点】1． 如果3x ＝4，则x ＝________． 2．2log 510＋log 50.25＝________．3． 函数y ＝log 2(x 2－1)的单调递增区间是________． 4．函数y ＝log 12(2x 2－3x ＋1)的单调递减区间为________．5． lg 52＋2lg 2＋151-⎪⎭⎫⎝⎛＝________．6．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 45，则a ，b ，c 的大小关系是________________． 【重点难点突破】考点1 幂函数的概念、图象与性质 【1-1】已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？【1-2】若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)22m m x --的图象不经过原点，则实数m 的值为________．【1-3】设424999244(),(),()999a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是________．考点2 指数函数的概念、图象与性质【2-1】若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.【2-2】设f (x )＝|3x －1|，c <b <a 且f (c )>f (a )>f (b )，由在关系式①3c >3b ；②3b >3a ；③3c ＋3a >2；④3c ＋3a <2中一定成立的是 .考点3 对数函数的概念、图象与性质【3-1】已知f (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)，若当x ∈(－1，0)时，f (x )<0，则f (x )在定义域上单调性是 .【3-2】已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的单调性．【3-3】已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【易错试题常警惕】由幂函数的函数值大小求参数的范围问题，一般是借助幂函数的单调性进行求解，一定要具体问题具体分析，做到考虑问题全面周到． 如：若()()22132a a --+>-，则a 的取值范围是 ．分知识点练习： 函数的定义域： 1．.函数xx y --=2)12ln(的定义域为______________________;2．函数的定义域是______________________;函数的单调性： 1. 已知函数⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是____________2. 已知函数()()3,1log ,1a a x a x f x x x ⎧--≤=⎨>⎩在R 上单增，则实数a 的取值范围是_______ 函数 3. xx ex f 22)1()(-=的单调递增区间为______________．4. 函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递减区间是_______5. 若函数)2(log 2+-=ax x y a 在区间]1,(-∞上为减函数，则a 的取值范围是______________．6. 若xa b y ⋅=是指数函数，且在]2,[b 上的最大值与最小值之和为6，则a =_____________． 7. 已知函数()lg(1)lg(1)f x x x =+--．（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）判断()f x 在定义域上的单调性并证明； （III ）若a ＞1，解关于x 的不等式f (a 2x ﹣2a x )＜lg2．8. 已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N ＋)，经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围。

函数的奇偶性：1. 已知函数)()14(log )(4R k kx x f x∈++=是偶函数，则k =______________．2. 已知)(x f 是偶函数，在),0[+∞上为增函数，若)1()(log 2f x f <，则x 的取值范围是____________3. 设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－1x 2＋2，若f (x )>f (2x －1)，则x 的取值范围为________． 4. 若函数)10()(≠>-=-a a a ka x f xx且是定义域为R 的奇函数,0)1(>f ，试求不等式0)4()2(2>-++x f x x f 的解集_______________5. 已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2xxf xg x a a-+=-+()0,1a a >≠且，若(2)g a =，则()=x f _____________________6. 已知定义在R 上的函数||()21()x m f x m 为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f2b(log 5),c(2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为______________________7. 已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋______________)2lg (=-f8. 函数31212)(3+++-•=ax b x f x x （b a 、为常数），若)(x f 在），∞+0(上有最大值为10，则)(x f 在）0,(-∞上的最小值为________________ 比较大小：1. 设52535252,52,53⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a ，则c b a ,,的大小关系是____________________ 2. 设a =log 1.10.5，b =log 1.10.6，c =1.10.6，则c b a ,,的大小关系是____________________ 计算：5552log 10log 0.52log +-()3lg 2lg 3log 3log 84⋅+()22log log 16 375754log 31log 9log 2log ⋅⋅()2lg 4lg5lg 20lg5++11lg9lg 24022361lg 27lg 35+--+已知log 2,log 3a a x y ==，求2x ya +的值。