热传导问题的有限元方法

将上式代入虚位移原理的表达式，并进行有限元离散，得到
Ka = P
这里，
P = P f + PT + Pε 0
焊接过程的仿真分析
二十世纪七十年代以来，国内外很多学者都对数值 模拟技术在焊接中的应用进行了研究，取得了不少 成果。特别是“计算焊接力学（Computational Weld Mechanics）”的发展使焊接模拟有了更为 坚实的理论基础。 例如，欧洲空中客车340飞机开发中，飞机机身的 铝合金蒙皮壁板的纵向加强筋采用激光束焊接。主 要问题是保持低变形和减少残余应力。要考虑接头 类型的变化、焊接顺序、冷却条件、装夹模式及纵 向预载荷等措施，决定这些措施及组合，就需要采 用焊接热力数值模拟技术。
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
热学模拟选择SOLID70单元，整体模型共含有67276个 单元，81190个节点。
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
模型中焊缝截面和与焊缝接触的管道、四通部分网格 最细，边长为3mm。焊缝36个体中，每个体沿焊接方 向包含5个单元。
两点循环公式，可以记成 Kφn +1 = Q n +1 其中
K = C/ ∆t +θK
Q n +1 = [C / ∆t − (1 − θ )K ]φn + (1 − θ )Pn + θ Pn +1
参数θ的选择 参数 的选择
θ =0
n n+1
前差分公式 中心差分公式 后差分公式 ω为常数 为常数
θ =1/2 θ =1 θ =1/2 θ =2/3 θ =1/3
7.15——8.31 9.1——9.30 几何清理、建立热源模型、计算 温度场 计算位移场、应力场
热传导问题的有限元方法
——焊接过程的 焊接过程的ANSYS仿真 焊接过程的 仿真
L/O/G/O
目录
1 瞬态热传导方程的数值解法
2
焊接过程的仿真分析
3
环焊缝的ANSYS仿真实例 仿真实例 环焊缝的
4
难点和工作安排
瞬态热传导方程的数值解法
瞬态温度场中n个节点温度 的有限元方 瞬态温度场中 个节点温度φ的有限元方 个节点温度 程为
力学模型的网格划分
对于重新划分的网格，若想在节点施加热学 部分的温度载荷，就需要用到ANSYS中的BFINT 命令，对体载荷进行插值运算。该方法在很多热 力耦合研究中被采纳。
BFINT, Fname1, Ext 1, --, Fname2, Ext 2, --, KPOS, Clab, KSHS, TOLOUT, TOLHGT
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
力学模拟选择SOLID45单元，整体模型共含有 5125个单元，6839个节点。
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
模型中焊缝截面和与焊缝接触的管道、四通部分 网格最细，边长为5mm。焊缝36个体中，每个体 沿焊接方向包含1个单元。
伽辽金型权函数
解的稳定性问题
解的稳定性一般利用不耦合的齐次方程来讨论
& Ci yi + K i yi = 0
解析式为
yi = Ai e −ωi t
ω 其中 Ai 是任意常数， i = K i / Ci
用两点循环公式求解 (Ci / ∆t + K iθ )( yi ) n +1 + [−Ci / ∆t + K i (1 − θ )]( yi )n = 0 令 则
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
生死单元 让单元“死掉”，并不是删除这些单元，而是将这些单 元 的刚度矩阵乘以一个非常小的因子，一般默认值是1.0E-6， 即让其具有非常小的刚度。在热学分析过程中，所以“杀死” 的单元节点同样被约束以温度载荷，直到模拟焊接过程填充 经过该节点时，使其“复活”，即加载相应的高温载荷。在 随 后的应力分析过程中，“生死单元”在达到凝固温度时才被 “激 活”。通过焊料和母材各自的热膨胀系数设定的熔化温度和 环境温度作为判断“生死”的参考温度。
焊接过程仿真分析的简明求解
将三维模型简化为二维甚至一维。 简化构件几何和加载。 将非线性热弹性-粘塑性模型简化为线性热弹性。 将瞬态过程简化为准稳态过程。 使热过程和力学过程分离。 忽略缺陷和裂纹的形成。 忽略高温发生的熔化，凝固相，以及随后在低屈服 应力的相变过程。 对屈服规律进行简化。 简化坡口形状和焊层结构。 用给定温度范围内与温度无关的平均值取代与温度 相关的材料特征值。
焊接过程的仿真分析
焊接热力耦合分析
耦合分析是指在有限元分析的过程中考虑多种物理场的 交叉作用和相互影响。耦合分析最终可归结为两种不同的 方法：直接耦合和顺序耦合。
直接耦合 顺序耦合
•包含所有必须自由度 包含所有必须自由度 的耦合单元类型 •仅仅通过一次求解就 仅仅通过一次求解就 能得出耦合场分析结 果
当求解初值问题时，如果已知一组参数φn ，则 可以利用上式近似确定另一组参数 φn +1 。将插值函数 及其导数代入加权余量表达式，经过整理，得到
(C / ∆t + Kθ )φn +1 + [−C / ∆t + K (1 − θ )]φn = P
其中 θ = ∫ ωξ d ξ 0
1
∫ ω dξ
0
1
P = ∫ ω Pd ξ
(0 ≤ ξ ≤ 1)
用加权余量法建立两点循环公式
由于采用近似插值，在时间域 ∆t 内，方程将产 生余量，对于这一时间区域，典型的加权余量格式 可以表示为如下形式
∫
1
0
& & ω[C( N nφn + N n +1φn +1 ) + K ( N nφn + N n +1φn +1 ) − P]dξ = 0
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
焊接热源模型
当模拟焊接热输入过程时，应用生死单元， 每次激活一个体（沿焊缝方向包含5个单元）施加 1600℃，加载时间持续10s。四通与管道由5道焊 缝相连，每道焊缝之间的冷却时间为1200s。
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
动画演示
难点和工作安排
难点
1 2 3 4
计算时间长、需要硬盘空间大 计算时间长、
需要详细的焊接方案 热源模型的建立 材料属性
难点和工作安排
从局部到整体，先对转向架的一根侧梁进行仿真分 从局部到整体 析，计算温度场和位移场，再计算整个转向架。预 计在10月份之前，完成侧梁的焊接模拟。
避免振荡
∆t <
1 (1 − θ ) ω i
解的稳定性问题
热应力的计算
物体由于热膨胀只产生线应变，而剪切应变为零。这种由于热 变形产生的应变可以看作是物体的初应变ε 0 ，对于三维问题，
ε 0 = α (φ − φ0 )[1 1 1 0 0 0]
物体存在初应变的情况下，应力应变关系可表示成
σ = D(ε − ε 0 )
Байду номын сангаас
焊接过程的仿真分析
焊接过程的仿真分析
当位移显著的改变结构的 刚度时， 刚度时，则被视为几何非 线性 几何非线 性
焊接过程中的非 线性现象
材料非线 性
影响焊接热力的材 料热物理参数和力 学参数均与焊接热 循环过程有关， 循环过程有关，是 温度的非线性函数
状态非线 性
焊接过程中会出现一系 列相变， 列相变，由于材料的状 态不同， 态不同，其本构关系也 要随之变化， 要随之变化，这种现象 称为状态非线性问题， 称为状态非线性问题， 例如在低温区域使用弹 塑性材料模型， 塑性材料模型，而高温 区域使用弹粘塑性本构 模型
( yi ) n +1 = ( yi ) n λ
1 − ωi ∆t (1 − θ ) 1 + ωiθ∆t
λ=
解的稳定性问题
避免发散
λ <1
λ>0
避免振荡
解的稳定性问题
θ ≥
避免发散
1 （后差分、中心差分）无条件稳定 2
1 0 < θ < 2
（前差分） ∆ t <
2 (1 − 2 θ ) ω
i
时，稳定
0
1
∫ ω dξ
0
1
用加权余量法建立两点循环公式
(C / ∆t + Kθ )φn +1 + [−C / ∆t + K (1 − θ )]φn = P
其中 θ = ∫ ωξ d ξ 0
1
∫ ω dξ
0
1
P = ∫ ω Pd ξ
0
1
∫ ω dξ
0
1
假定P采用与未知场函数φ相同的插值表达式，得到
P = Pn +1θ + Pn (1 − θ ) 当 φn 和P都已知时，就可以求得下一时刻的 φn +1这就是
焊接过程仿真分析中存在的问题
焊接过程中的很多复杂现象之间的关系难以用准确 的数学模型统一描述。 移动的热源伴随着金属的熔融从而带来结构约束的 不断变化，这种变化的约束关系大大增加了分析的 难度。 焊接结构三维分析模型的自由度数目庞大，分析规 模受计算速度、内存和硬盘的限制。 材料在高温阶段的热物理参数和力学参数严重缺乏， 而且高温力学参数降低到很小的值，这种材料非线 性影响了求解的效率，造成收敛困难。 材料在较高温度区域和较低温度区域呈现不同的本 构关系。 多载荷步与多子步分析使得求解误差不断积累
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
有限元分析的步骤
建立有限元模型
有限元热学模拟 焊接过程中的力学行为
结论 后处理
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
环焊缝长约为478mm，分为36个体，每一个体的长度约为 13mm，近似熔池的长度。
结论
•按照顺序进行两次相 按照顺序进行两次相 关场分析 •把第一次场分析的结 把第一次场分析的结 果作为第二次场分析 的载荷
焊接过程的仿真分析
当两种物理场相互作用不明显，或者一种物理场对 另一种物理场有决定性影响，而后一种物理场对前 一种物理场影响较小时，进行两种物理场的完全耦 合分析会使分析的问题过于复杂化，这时就可以考 虑使用顺序耦合分析。顺序耦合分析具有很高的效 率和灵活性。 焊接过程的塑性变形热和相变潜热与焊接热输入相 比，可以忽略不计。焊接热分析的温度场决定了焊 接结构分析的应力场和变形场，而焊接力学场对温 度场的影响较小。因此，一般进行顺序耦合热力分 析。将焊接热分析各载荷步的温度场结果作为力学 分析的热载荷，进行求解。
& Cφ + Kφ = P
时间积分 求解一阶偏微分方程 模态叠加
瞬态热传导方程的数值解法
将求解的时间域 0 ≤ t ≤ T 划分成若干个时间步长∆t & 在一定数目的 ∆t 时间区域内，假设 φ 和 φ 的函数 形式来近似方程的精确解 仅在相隔 ∆t 的离散时间点上满足微分方程来代替时 间域内任何时刻t都满足微分方程 进一步假设 t0 = 0, t1 = ∆t , t 2 = 2 ∆t , L , t n = n∆t 时刻的 解都已经求得，下一步要计算的是 tn +1时刻的温度场
力学模型的网格划分
热学部分的网格划分较为密集，这是由于如 果其网格密度过于粗大，就会导致低温现象出现， 即这个模型最低温度远远低于常温20℃，与实际 情况差别较大，从而造成误差。然而，对于结构 模拟分析，倘若网格过于密集会导致计算时间过 长，在结构分析中将模型重新划分网格。
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
φn +1
瞬态热传导方程的数值解法
用加权余量法建立两点循环公式
在两个时间点 tn 和 tn +1 之间的∆t 时间区域内，采取如 下线性插值形式
φ (tn + ξ∆t ) = N nφn + N n +1φn +1
其中，
t ξ = ∆t Nn =1−ξ N n +1 = ξ