热传导问题的有限元方法

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热传导问题的有限元法

dz
f x0 x
0
0
泛函I=I[y(x)]在y=y 0 (x)处取极值的必要条件是 δI=0，即
I
Iy0 x
y
0
0
上式的含义是：异于y0 (x)的y都使I偏离最大值
点或最小值点，此时，I处于“左也不是，右也
不是”的状态。
可见，函数取极值的必要条件和泛函取极值的必
要条件是类似的。只不过函数的自变量在极值
这些话的意思是：y是连续区间[x1, x2]中一段曲线。该曲线的变分，就是说它可以变化。这种变化可以是：值的变化，一阶导数的变化，高阶导数的变化等。
下面证明：一维泛函（只与一个函数有关）取极值的条件。
设有泛函
I
yx
x2 x1
F
x,
yx,
y'
xdx
其中：泛函中的自变函数y(x)（平面上的曲线）在积分区间[x1, x2]的端点x1, x2处的值是已知的，即
二泛函的极值
函数z = f (x)有极值问题。如果 dz 0 dx
表明，z相对于x的变化具有局部稳定性，z向左也不是，向右也不是，此时，z取极值。
泛函I也有极值。使泛函取极值的自变函数ｙ称为
泛函的极值点，它使泛函在该处的值具有稳定性。
当然，使泛函取得极值的自变函数ｙ的变化要复
杂的多。
三变分法函数取极值的条件：dz 0 ，d 称为微分。
dx
泛函取极值的条件： I
四变分
x
0
，
称为变分。
函数微分
dz f x x f 'xdx，为任意小的正数
0
可以用来研究函数z在x处的变化。
类似，泛函在某点y的变化，可以通过对泛函的变分

4 有限元素法

2-2 几何方程
位移与应变之间的几何方程为
x
u x
， y
v y
， z
w z
xy
yx
u y
v， yz
zy
w v y z
对于平面问题，几何方程只有三个：
x
u x
， y
v y
， xy
yx
u y
v x
2-3 广义虎克定律
x 2
x
y 2
y
z
用变分法求解微分方程，首先要找到相应的泛函。
对于有些问题相应的泛函尚未找到，或者根本不存在相应的泛函。在这种情况下，就无法用变分法求解。
加权余量法（也称加权余值法）是求微分方程近似解的一种有效方法。
设有微分方程 G(x,y,y')0
假设有一个满足边界条件和具有一定连续程度
的试探函数（~y其中含有若干待定系数）使
因为只需要满足本质性边界条件，而不必考虑自然边界条件（第二、第三类边界条件自动满足），试探函数的选取是比较容易的。
试探函数阶次提高，解的精度也提高。
当网格特别细密时，相邻节点之间的变化就很小，因此单元内分布假设的实际细节变得不再重要。离散化方程的解将趋近于相应微分方程的精确解。
单元形状
理复杂区域、复杂边界条件。而对于具有规则的几何特性和均匀的材料特性
问题,差分法的程序设计比较简单,收敛性也比有限元法好。有限元法同时具有里兹法与差分法的优点，使变分问题的直接解法变成了工程计算中的现实。
FEM的特点
有限元素方法是物理量的矩阵分析方法在连续体中的有效推广。每个元素都采用有限个参数来描述它的物理特性。
a
实现极值的必要条件是函数y(x)满足一维欧拉方程

传热问题有限元分析

【问题描述】本例对覆铜板模型进行稳态传热以及热应力分析，图I所示的是铜带以及基板的俯视图，铜带和基板之间由很薄的胶层连接，可以认为二者之间为刚性连接，这样的模型不包含胶层，只有长10mm的铜带（横截面2mm×0.1mm）和同样长10mm的基板（横截面2mm×0.2mm）。

材料性能参数如表1所示，有限元分析模型为实体——实体单元，单元大小0.05mm，边界条件为基板下表面温度为100℃，铜带上表面温度为20℃，通过二者进行传热。

图I 铜带与基板的俯视图表1 材料性能参数名称弹性模量泊松比各向同性导热系数基板 3.5GPa 0.4 300W/(m·℃)铜带110GPa 0.34 401W/(m·℃)【要求】在ANSYS Workbench软件平台上，对该铜板及基板模型进行传热分析以及热应力分析。

1.分析系统选择（1）运行ANSYS Workbench，进入工作界面，首先设置模型单位。

在菜单栏中找到Units下拉菜单，依次选择Units>Metric（kg,m,s,℃，A，N,V）命令。

（2）在左侧工具箱【Toolbox】下方“分析系统”【Analysis Systems】中双击“稳态热分析”【Steady-State Thermal】系统，此时在右侧的“项目流程”【Project Schematic】中会出现该分析系统共7个单元格。

第7章稳态热传导问题的有限元法

)dΒιβλιοθήκη 0(8-18)14
采度用分布Ga函ler数ki和n方换法热，边选界择条权件函代数入为(8，-w181 )式N，i 单将元单的元加内权的积温
分公式为
e
[ Ni x
(x
[N ]) Ni x y
( y
[N ])]{T}e d y
e
e
NiQ d 2 Ni qs d
(8-19)
e 3
Ni h[N ]{T}e d
一点上都满足边界条件（8-11）。对于复杂的工程问
题，这样的精确解往往很难找到，需要设法寻找近似
解。所选取的近似解是一族带有待定参数的已知函数
，一般表示为:
n
u u Ni ai Na
（8-12）
i 1
其中 ai为待定系数，为 Ni已知函数，称为试探函数。试探
函数要取完全的函数序列，是线性独立的。由于试探函数
T
0
t
5
这类问题称为稳态（Steady state）热传导问题。稳态热传导问题并不是温度场不随时间变化，而是指温度分布稳定后的状态。
若我们不关心物体内部的温度场如何从初始状态过渡到最后的稳定温度场，那么随时间变化的瞬态（ Transient）热传导方程就退化为稳态热传导方程，三维问题的稳态热传导方程为
，取： W j N j W j N j
下面用求解二阶常微分方程为例，说明Galerkin 法（参见，王勖成编著“有限元法基本原理和数值方法”的1.2.3节）。
12
以二维问题为例，说明用Galerkin法建立稳态温度场的一般有限元格式的过程。二维问题的稳态热传导方程：
x
x
T x
y
y
1 x j

各向异性热传导问题杂交Trefftz有限元法及数值实现

各向异性热传导问题杂交Trefftz有限元法及数值实现摘要：当前各向异性热传导问题，在热学领域得到了广泛的关注，许多学者开展了深入的研究。

Trefftz有限元法是一种新兴的解决此类问题的数值计算方法，该方法通过采取基于边界积分方程的Trefftz函数，避免了网格依赖性的问题。

本文介绍了Trefftz有限元法对各向异性热传导问题的显式方法，同时还对其相关的数值实现做出了详细的介绍。

经过验证，该方法不仅具有高精度和准确性，而且大大提高了计算效率，有很好的应用前景。

关键词：各向异性热传导、Trefftz有限元法、边界积分方程、数值实现、计算效率一、引言各向异性热传导问题一直是研究热学领域的重要问题。

各向异性材料的热传导特性的复杂性，使得该问题的数学模型的建立和数值计算变得十分困难。

近年来，解决这一问题的方法也得到了迅速发展。

Trefftz有限元法是最近新兴的解决各向异性热传导问题的数值计算方法之一。

该方法的特点是采用基于边界积分方程的Trefftz函数，克服了传统有限元方法中的网格依赖性问题，同时为计算提供了更好的精度和准确性。

本文将详细介绍Trefftz有限元法在各向异性热传导问题中的显式方法，并对其给出的数值实现做出详尽的分析和说明。

最后，通过数值实验的结果，验证了该方法的高精度和较高的计算效率。

二、热传导问题的数学模型本文所考虑的是各向异性介质内的热传导问题。

根据热传导学中的基本假设，我们基于傅里叶定律、热对流定律和热辐射定律等假设，建立如下的热传导方程：（1）∇·k∇T+f=ρC(T)其中，k是热传导系数，T是温度，f是热源项，ρ是密度，C是比热容。

在各向异性材料中，k是一个矩阵，可以写为：（2）k=[k11 k12 k13][k21 k22 k23][k31 k32 k33]其中，各个元素反映了各向异性材料的传热特性。

下一步，我们需要将上述方程变形为适合于数值计算的形式。

这里采用Trefftz有限元法进行求解。

有限元习题及答案

有限元习题及答案有限元习题及答案有限元方法是一种常用的数值计算方法，用于求解各种工程和科学问题。

在学习有限元方法的过程中，练习习题是非常重要的，可以帮助学生巩固所学的知识，并提高解决实际问题的能力。

本文将介绍一些有限元习题及其答案，希望对学习有限元方法的同学有所帮助。

习题一：一维热传导问题考虑一个长度为L的一维杆，其两端固定，杆上的温度满足以下热传导方程：∂²T/∂x² = 0，其中T为温度，x为位置。

已知杆的两端温度分别为T1和T2，求解杆上的温度分布。

解答一：根据热传导方程，可以得到温度分布的一般解为T(x) = Ax + B，其中A和B为常数。

根据边界条件，可以得到方程组：T(0) = B = T1T(L) = AL + B = T2解方程组可得A = (T2 - T1) / L，B = T1。

因此，温度分布为T(x) = ((T2 - T1) / L) * x + T1。

习题二：二维弹性问题考虑一个矩形薄板，其长为L，宽为W，材料的弹性模量为E，泊松比为ν。

已知薄板的边界上施加了一定的边界条件，求解薄板上的位移场。

解答二：对于二维弹性问题，可以使用平面应力假设，即假设薄板内部的应力只有两个分量σx和σy，并且与z轴无关。

根据平面应力假设和胡克定律，可以得到位移场的偏微分方程：∂²u/∂x² + ν * (∂²u/∂y²) + (1 - ν) * (∂²v/∂x∂y) = 0∂²v/∂y² + ν * (∂²v/∂x²) + (1 - ν) * (∂²u/∂x∂y) = 0其中u和v分别为位移场在x和y方向上的分量。

边界条件根据具体情况给定。

通过数值方法，如有限元方法，可以求解位移场的近似解。

习题三：三维流体力学问题考虑一个三维流体力学问题，流体在一个封闭容器内流动，容器的形状为一个长方体，已知流体的速度场和压力场的初始条件，求解流体的运动状态。

有限元分析及应用

有限元分析及应用介绍有限元分析，简称FEA（Finite Element Analysis），是一种数值计算方法，用于预测结构的力学行为。

它可以将结构离散为有限个小单元，在每个小单元内进行力学计算，并通过求解得到整个结构的应力和位移分布。

有限元分析常用于工程领域中，如结构分析、热传导分析、流体流动分析等。

原理有限元分析的基本原理可以概括为以下几个步骤：1.离散化：将结构或物体离散为有限个小单元。

常见的小单元形状有三角形、四边形等，在三维问题中可以使用四面体、六面体等。

2.建立数学模型：在每个小单元内，根据结构的物理特性和力学行为建立数学模型。

模型中包括了材料的弹性模量、泊松比等参数，以及加载条件、约束条件等。

3.组装和求解：将所有小单元的数学模型组装成一个整体的数学模型，然后利用求解算法进行求解。

常见的求解算法有直接法、迭代法等。

4.后处理：得到结构的应力和位移分布后，可以进行各种后处理操作，如绘制位移云图、应力云图等，以帮助工程师分析结构的强度和刚度性能。

应用有限元分析在工程领域有着广泛的应用。

下面介绍几个常见的应用案例：结构分析有限元分析可以用于结构分析，以评估结构的刚度和强度。

在设计建筑、桥梁、航空器等工程项目时，工程师可以使用有限元分析来模拟结构的力学行为，预测结构在不同加载条件下的变形和应力分布，以优化结构设计。

热传导分析有限元分析也可以用于热传导分析，在工程项目中评估热传导或热辐射过程。

例如，在电子设备的散热设计中，可以使用有限元分析来预测电子元件的温度分布，优化散热设计，确保电子元件的正常工作。

流体流动分析在流体力学研究中，有限元分析可以用于模拟流体的运动和流动行为。

例如，在船舶设计中，可以使用有限元分析来模拟船体受到波浪作用时的变形和应力分布，验证船体的可靠性和安全性。

优缺点有限元分析具有以下优点：•可以模拟复杂结构和物理现象，提供准确的结果。

•可以优化结构设计，减少设计成本和时间。

热力学中的热传导计算模型

热力学中的热传导计算模型热传导是自然界中一种常见的现象。

它指物质内部的热量传递与分布，主要表现为物质内部的温度差、热流速度的差异和热传导系数的不同。

热传导的计算模型是对热传导过程进行数学模拟的方式，以加深我们对热理论的理解。

1. 热传导模型的基本原理热传导模型的基本原理是从热传导的基本方程式开始推导。

热传导的基本方程式可以表示为：q = -k · A · (dT/dx)式中，q 表示热流速度，k 表示热传导系数，A 表示横截面积，(dT/dx) 表示温度梯度。

这个方程式是描述在没有传递界面和对流换热作用的情况下，热从高温区向低温区传递的关系式。

这个关系式可以用来解析各种形状的体系温度分布、传热速率等问题。

但是需要注意的是，这个基本方程式只适用于均匀材料内的热传导计算。

如果是非均匀材料，需要用更复杂的数学模型来解析。

2. 热传导模型的数值解法在工程应用中，更常用的方法是使用数值解法解决热传导计算问题。

数值解法可以通过离散方法，将热传导过程离散化为一系列的单元。

每个单元表示一个小体积，热量的传递只涉及到该小体积的周围体积，而不考虑整个体系内部的细节。

然后对每个单元内的热传导进行数值模拟，得到解析结果。

这个方法可以处理各种形状的体系，而且计算速度快，精度高。

数值解法中，有一个非常重要的概念是有限元法。

有限元法是目前最常用的热传导数值解法之一。

有限元法将复杂的热传导问题划分成许多离散的小区域，通过求解每个小区域内的热传导问题，推导出整个体系的温度分布。

有限元法不但能有效地解决热传导问题，还可以用于许多其他领域的问题解决，如电磁场、结构力学等计算。

3. 热传导模型的工程应用热传导模型的工程应用非常广泛，最常见的就是用于工业过程中的热处理模拟。

例如，对于加热模型，可以通过热传导模拟提前预测加热温度分布、加热均匀度等参数，从而保证最终产品的质量。

又如，在热电材料设计中，可使用热传导模型来预测电热材料的温度场分布和电阻率变化规律，进而提高其工作效率和使用寿命。

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环焊缝的ANSYS仿真实例环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
焊接热源模型
当模拟焊接热输入过程时，应用生死单元，每次激活一个体（沿焊缝方向包含5个单元）施加 1600℃，加载时间持续10s。四通与管道由5道焊缝相连，每道焊缝之间的冷却时间为1200s。
环焊缝的ANSYS仿真实例环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
热传导问题的有限元方法
——焊接过程的焊接过程的ANSYS仿真焊接过程的仿真
L/O/G/O
目录
1 瞬态热传导方程的数值解法
2
焊接过程的仿真分析
3
环焊缝的ANSYS仿真实例仿真实例环焊缝的
4
难点和工作安排
瞬态热传导方程的数值解法
瞬态温度场中n个节点温度的有限元方瞬态温度场中个节点温度φ的有限元方个节点温度程为
环焊缝的ANSYS仿真实例环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
力学模拟选择SOLID45单元，整体模型共含有 5125个单元，6839个节点。
环焊缝的ANSYS仿真实例环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
模型中焊缝截面和与焊缝接触的管道、四通部分网格最细，边长为5mm。焊缝36个体中，每个体沿焊接方向包含1个单元。
环焊缝的ANSYS仿真实例环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
动画演示
难点和工作安排
难点
1 2 3 4
计算时间长、需要硬盘空间大计算时间长、
需要详细的焊接方案热源模型的建立材料属性
难点和工作安排
从局部到整体，先对转向架的一根侧梁进行仿真分从局部到整体析，计算温度场和位移场，再计算整个转向架。预计在10月份之前，完成侧梁的焊接模拟。
( yi ) n +1 = ( yi ) n λ
1 − ωi ∆t (1 − θ ) 1 + ωiθ∆t
λ=
解的稳定性问题
避免发散
λ <1
λ>0
避免振荡
解的稳定性问、中心差分）无条件稳定 2
1 0 < θ < 2
（前差分） ∆ t <
2 (1 − 2 θ ) ω
i
时，稳定
将上式代入虚位移原理的表达式，并进行有限元离散，得到
Ka = P
这里，
P = P f + PT + Pε 0
焊接过程的仿真分析
二十世纪七十年代以来，国内外很多学者都对数值模拟技术在焊接中的应用进行了研究，取得了不少成果。特别是“计算焊接力学（Computational Weld Mechanics）”的发展使焊接模拟有了更为坚实的理论基础。例如，欧洲空中客车340飞机开发中，飞机机身的铝合金蒙皮壁板的纵向加强筋采用激光束焊接。主要问题是保持低变形和减少残余应力。要考虑接头类型的变化、焊接顺序、冷却条件、装夹模式及纵向预载荷等措施，决定这些措施及组合，就需要采用焊接热力数值模拟技术。
0
1
∫ ω dξ
0
1
用加权余量法建立两点循环公式
(C / ∆t + Kθ )φn +1 + [−C / ∆t + K (1 − θ )]φn = P
其中 θ = ∫ ωξ d ξ 0
1
∫ ω dξ
0
1
P = ∫ ω Pd ξ
0
1
∫ ω dξ
0
1
假定P采用与未知场函数φ相同的插值表达式，得到
P = Pn +1θ + Pn (1 − θ ) 当 φn 和P都已知时，就可以求得下一时刻的 φn +1这就是
焊接过程仿真分析中存在的问题
焊接过程中的很多复杂现象之间的关系难以用准确的数学模型统一描述。移动的热源伴随着金属的熔融从而带来结构约束的不断变化，这种变化的约束关系大大增加了分析的难度。焊接结构三维分析模型的自由度数目庞大，分析规模受计算速度、内存和硬盘的限制。材料在高温阶段的热物理参数和力学参数严重缺乏，而且高温力学参数降低到很小的值，这种材料非线性影响了求解的效率，造成收敛困难。材料在较高温度区域和较低温度区域呈现不同的本构关系。多载荷步与多子步分析使得求解误差不断积累
焊接过程仿真分析的简明求解
将三维模型简化为二维甚至一维。简化构件几何和加载。将非线性热弹性-粘塑性模型简化为线性热弹性。将瞬态过程简化为准稳态过程。使热过程和力学过程分离。忽略缺陷和裂纹的形成。忽略高温发生的熔化，凝固相，以及随后在低屈服应力的相变过程。对屈服规律进行简化。简化坡口形状和焊层结构。用给定温度范围内与温度无关的平均值取代与温度相关的材料特征值。
环焊缝的ANSYS仿真实例环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
生死单元让单元“死掉”，并不是删除这些单元，而是将这些单元的刚度矩阵乘以一个非常小的因子，一般默认值是1.0E-6，即让其具有非常小的刚度。在热学分析过程中，所以“杀死” 的单元节点同样被约束以温度载荷，直到模拟焊接过程填充经过该节点时，使其“复活”，即加载相应的高温载荷。在随后的应力分析过程中，“生死单元”在达到凝固温度时才被 “激活”。通过焊料和母材各自的热膨胀系数设定的熔化温度和环境温度作为判断“生死”的参考温度。
& Cφ + Kφ = P
时间积分求解一阶偏微分方程模态叠加
瞬态热传导方程的数值解法
将求解的时间域 0 ≤ t ≤ T 划分成若干个时间步长∆t & 在一定数目的 ∆t 时间区域内，假设 φ 和 φ 的函数形式来近似方程的精确解仅在相隔 ∆t 的离散时间点上满足微分方程来代替时间域内任何时刻t都满足微分方程进一步假设 t0 = 0, t1 = ∆t , t 2 = 2 ∆t , L , t n = n∆t 时刻的解都已经求得，下一步要计算的是 tn +1时刻的温度场
力学模型的网格划分
对于重新划分的网格，若想在节点施加热学部分的温度载荷，就需要用到ANSYS中的BFINT 命令，对体载荷进行插值运算。该方法在很多热力耦合研究中被采纳。
BFINT, Fname1, Ext 1, --, Fname2, Ext 2, --, KPOS, Clab, KSHS, TOLOUT, TOLHGT
两点循环公式，可以记成 Kφn +1 = Q n +1 其中
K = C/ ∆t +θK
Q n +1 = [C / ∆t − (1 − θ )K ]φn + (1 − θ )Pn + θ Pn +1
参数θ的选择参数的选择
θ =0
n n+1
前差分公式中心差分公式后差分公式 ω为常数为常数
θ =1/2 θ =1 θ =1/2 θ =2/3 θ =1/3
(0 ≤ ξ ≤ 1)
用加权余量法建立两点循环公式
由于采用近似插值，在时间域 ∆t 内，方程将产生余量，对于这一时间区域，典型的加权余量格式可以表示为如下形式
∫
1
0
& & ω[C( N nφn + N n +1φn +1 ) + K ( N nφn + N n +1φn +1 ) − P]dξ = 0
当求解初值问题时，如果已知一组参数φn ，则可以利用上式近似确定另一组参数 φn +1 。将插值函数及其导数代入加权余量表达式，经过整理，得到
(C / ∆t + Kθ )φn +1 + [−C / ∆t + K (1 − θ )]φn = P
其中 θ = ∫ ωξ d ξ 0
1
∫ ω dξ
0
1
P = ∫ ω Pd ξ
环焊缝的ANSYS仿真实例环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
有限元分析的步骤
建立有限元模型
有限元热学模拟焊接过程中的力学行为
结论后处理
环焊缝的ANSYS仿真实例环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
环焊缝长约为478mm，分为36个体，每一个体的长度约为 13mm，近似熔池的长度。
结论
伽辽金型权函数
解的稳定性问题
解的稳定性一般利用不耦合的齐次方程来讨论
& Ci yi + K i yi = 0
解析式为
yi = Ai e −ωi t
ω 其中 Ai 是任意常数， i = K i / Ci
用两点循环公式求解 (Ci / ∆t + K iθ )( yi ) n +1 + [−Ci / ∆t + K i (1 − θ )]( yi )n = 0 令则
•按照顺序进行两次相按照顺序进行两次相关场分析 •把第一次场分析的结把第一次场分析的结果作为第二次场分析的载荷
焊接过程的仿真分析
当两种物理场相互作用不明显，或者一种物理场对另一种物理场有决定性影响，而后一种物理场对前一种物理场影响较小时，进行两种物理场的完全耦合分析会使分析的问题过于复杂化，这时就可以考虑使用顺序耦合分析。顺序耦合分析具有很高的效率和灵活性。焊接过程的塑性变形热和相变潜热与焊接热输入相比，可以忽略不计。焊接热分析的温度场决定了焊接结构分析的应力场和变形场，而焊接力学场对温度场的影响较小。因此，一般进行顺序耦合热力分析。将焊接热分析各载荷步的温度场结果作为力学分析的热载荷，进行求解。
焊接过程的仿真分析
焊接热力耦合分析
耦合分析是指在有限元分析的过程中考虑多种物理场的交叉作用和相互影响。耦合分析最终可归结为两种不同的方法：直接耦合和顺序耦合。
直接耦合顺序耦合
•包含所有必须自由度包含所有必须自由度的耦合单元类型 •仅仅通过一次求解就仅仅通过一次求解就能得出耦合场分析结果