第6章热传导问题的有限元法教程文件
冶金传输原理-第6章导热讲法
导热系数
导热系数是材料导热性的重要参数，代表了任意物质在其内部传热的难易程度。了解导热系数可以帮助我们 更好地优化系统设计，以达到最佳传热效果。
金属材料的导热系数
绝缘材料的导热系数
金属材料通常具有比较高的导热系数，其中银、铜、 铝等材料的导热系数最高，一些非金属材料如陶瓷 的导热系数则远低于金属。
除了分子间的能量传递外，热也可以通过物体中的 扩散来传递。这种方法在固体导热中尤其常见。
辐射传输
导热基本概念
导热的基本概念包括温度、传热速率和传热时间常数等。要理解这些概念的物理意义，可以更好地分析材料导 热的过程。
温度
温度是物体吸收热量与释放 热量的平衡状态的表现。温 度差是导热的推动力。
传热速率
隔热计法的测试结果
隔热计法用于测试材料的隔热性能，根据热源的加 热功率、升温速度和温度分布，得出样品的热导率。
导热系数的测定方法
热导率是材料导热的一个基本参数，测定导热系数的方法有多种，如静态方法、动态方法和绝缘法等。
静态测定法
静态测定法基于四极杆热流计或梯度热流计，在稳 态下进行导热测量。这种方法精度较高，适用于测 定各种材料的导热性质。
导热材料的连接方式
选择合适的连接方式对于导热效率至关重要，常见的方法包括银焊法、压接法和夹紧法等。
材料的热稳定性
对于在长时间高温环境下工作的材料，它的热稳定性变得尤为重要。
导热介质的均匀性
在进行导热设计时，我们需要考虑材料内部导热介质的均匀性。例如在冶金领域，铜被广泛用作 导热介质，因其在受热情况下有助于传递中间的热量。
太阳能热水器技术
材料不同热传输的效率不同，在采用太阳能热水器 时，必须合理安装材料，以增强其太阳能辐射吸收 和热传导等效果。
13第6章热传导问题有限元
§6-3
稳态二维热传导
根据有限元部分的§2-1 节的第（ 2-1-2a）式， 3 节点有限元的插值函数为
1 Ni ai bi x c i y （ i, j , m ） 2A
对于任一单元 ijm ，可将插值函数求导代入式（6-2-3a） ，得到热传导矩阵元素
190
k k K1(ije) x bi b j y c i c j 4A 4A
q kxA
T x
（ 6-1-1）
其中 k x 是 x 方向上材料的导热系数； A 是垂直于 x 方向热流通过的面积； T 是温度。 （ 2） 对流 定义：对流是固体与周围物体之间进行热能传递的过程。 对流的热流速率可表示为
q hA T T
（ 3） 辐射 定义：辐射热传导是在服从电磁学定律的两个表面之间的热能交换过程。 辐射热流速率由下述关系确定单元热传导矩阵为源自（6-3-1） K
( e) 1
bi bi bi b j kx b jbj 4A sym
bi bm c c ci c j k y i i b j bm c jc j 4A bmbm sym
ci c m c j cm cm cm
如果物体处于没有任何热源的稳定状态，则方程（ 6-1-7）可简化为拉普拉斯方程
2 2 2 T T T 2 2 0 2 x y z
（6-1-10）
由于微分方程（6-1-6 ）或（6-1-7 ）是二阶的，所以需要规定两个边界条件。可能的边界条件是 在 T x , y, z, t T0 1 上： 在 2 上： k x （ 6-1-11a）
2 2 2 1 T T T T k k k 2 q c T dV x y z ~ V 2 x y z t
有限元线法空间曲线单元在热传导问题中的运用
有限元线法空间曲线单元在热传导问题中的运用热传导问题是工程和科学领域中常见的一类问题，涉及到热量在物体内部的传递和分布。
为了解决这类问题，工程师和科学家们提出了各种数值计算方法。
其中，有限元法是一种常用的方法，而有限元线法空间曲线单元是有限元法的一个重要组成部分。
有限元法是一种将连续问题离散化为有限个简单子问题的数值计算方法。
它将复杂的问题划分为许多小的子区域，称为有限元，通过对这些有限元的数学描述和计算，得到整个问题的解。
有限元法适用于各种工程和科学领域，包括结构力学、流体力学、电磁场等。
它的优点是能够处理复杂几何形状和边界条件，并且能够提供高精度的解。
在热传导问题中，有限元法可以用于计算物体内部的温度分布和热流量。
其中，有限元线法空间曲线单元是一种特殊的有限元形式。
它适用于一维空间曲线上的问题，比如管道、电缆等。
有限元线法空间曲线单元将空间曲线离散化为一系列节点和单元，通过对节点和单元的数学描述和计算，得到问题的解。
这种方法能够有效地处理一维问题，并且具有较高的计算精度。
有限元线法空间曲线单元在热传导问题中的运用可以通过以下步骤进行。
首先，将问题的几何形状离散化为一系列节点和单元。
然后，根据热传导方程和边界条件，建立节点和单元的数学模型。
接下来，通过求解节点和单元的数学模型，得到温度分布和热流量。
最后，对计算结果进行分析和验证。
有限元线法空间曲线单元在热传导问题中的运用具有许多优点。
首先，它能够处理复杂的几何形状和边界条件，适用范围广。
其次，它具有较高的计算精度，能够提供准确的解。
此外，它还能够分析不同参数对问题的影响，为工程和科学研究提供重要参考。
综上所述，有限元线法空间曲线单元是热传导问题中常用的数值计算方法。
它能够有效地处理一维问题，并且具有较高的计算精度。
在工程和科学领域中，热传导问题的解决对于设计和分析具有重要意义。
通过应用有限元线法空间曲线单元，可以得到准确的温度分布和热流量，为工程和科学研究提供有力支持。
第六讲热传导过程有限元分析
元计算技术部
传热学是研究温差引起的热能传递规律的科学。热力学第二定律指出：凡是有温差存在的地方，就有 热能自发地从高温物体向低温物体传递。本讲针对热传导问题从其基本方程、有限元分析、ELAB工程建 模等几个方面来介绍其仿真过程。
基本方程 ELAB模型向导实现 有限元脚本文件分析
➢有限元分析
针对二维问题，根据上面的瞬态热传导方程可得其积分形式为：
V
(c
u t
x
(kx
u ) x
y
(ky
u ) y
Q udV
V
其中，δu为温度的虚位移
V
(c
u t
u
kx
u x
u x
ky
u y
u )dV y
Q udV
V
(nxkx
u x
nyky
u ) ud y
将边界条件代入上式(注意，对于已知温度边界条件，虚位移δu为0，可得 :
单元刚度矩阵：
dist = +[gu_i;gu_i]*ek*vol (其中gu是一向量，其分量为vect gu gux guy gu的表达式在该fde中对应：
@l grad.xy f fe @w gu fe 也就是未知量对x和y的导数。
)
u x
u x
ky
u y
u y
单元质量矩阵：
mass %1 ec*vol
温度场u分布云图
热流场x方向分布云图
热流场y方向分布云图
➢有限元语言描述文件
为生成该问题有限元计算的所有程序源代码，针对之前的ELAB有限元分析得到的微分方程弱 形式，ELAB软件提供简洁的有限元语言描述文件，包括微分方程描述文件、多物理场描述文件以 及求解命令流控制文件。
传热问题有限元分析
【问题描述】本例对覆铜板模型进行稳态传热以及热应力分析，图I所示的是铜带以及基板的俯视图，铜带和基板之间由很薄的胶层连接，可以认为二者之间为刚性连接，这样的模型不包含胶层，只有长10mm的铜带（横截面2mm×0.1mm）和同样长10mm的基板（横截面2mm×0.2mm）。
材料性能参数如表1所示，有限元分析模型为实体——实体单元，单元大小0.05mm，边界条件为基板下表面温度为100℃，铜带上表面温度为20℃，通过二者进行传热。
图I 铜带与基板的俯视图表1 材料性能参数名称弹性模量泊松比各向同性导热系数基板 3.5GPa 0.4 300W/(m·℃)铜带110GPa 0.34 401W/(m·℃)【要求】在ANSYS Workbench软件平台上，对该铜板及基板模型进行传热分析以及热应力分析。
1.分析系统选择（1）运行ANSYS Workbench，进入工作界面，首先设置模型单位。
在菜单栏中找到Units下拉菜单，依次选择Units>Metric（kg,m,s,℃，A，N,V）命令。
（2）在左侧工具箱【Toolbox】下方“分析系统”【Analysis Systems】中双击“稳态热分析”【Steady-State Thermal】系统，此时在右侧的“项目流程”【Project Schematic】中会出现该分析系统共7个单元格。
相关界面如图1所示。
图1 Workbench中设置稳态热分析系统（3）拖动左侧工具箱中“分析系统”【Analysis Systems】中的“静力分析”【Static Structural】系统进到稳态热分析系统的【Solution】单元格中，为之后热应力分析做准备。
完成后的相关界面如图2所示。
图2 热应力分析流程图2.输入材料属性（1）在右侧窗口的分析系统A中双击工程材料【Engineering Data】单元格，进入工程数据窗口。
有限元 二维热传导
有限元二维热传导
有限元方法是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程的近似解。
在二维热传导问题中，我们考虑一个矩形区域内的热传导问题，假设该区域的边界条件已知，我们需要求解该区域内的温度分布。
假设矩形区域的大小为L×H，我们将其划分为若干个小单元，每个小单元的大小为Δx×Δy。
我们用节点来表示每个小单元的顶点，每个节点的温度可以用一个未知数来表示。
因此，我们需要求解的未知数有L/Δx+1个，H/Δy+1个。
对于每个小单元，我们可以建立一个局部方程来描述其温度分布，例如：
k(x,y)ΔxΔy(∂T/∂x) + k(x,y)ΔxΔy(∂T/∂y) = Q(x,y)
其中，k(x,y)是该小单元内的热传导系数，Q(x,y)是该小单元内的热源或热汇。
将所有小单元的局部方程组合起来，可以得到整个区域的方程。
通过求解该方程，我们可以得到该区域内的温度分布。
有限元方法的优点是可以处理复杂的边界条件和非均匀的材料特性，但需要进行数值计算，计算量较大。
热传导问题的有限元法59页PPT
谢谢！
热传导问题的有限元法
31、园日涉以成趣，门虽设而常关来自 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
《高等有限元方法-张年梅》2.6二维稳态热传导问题
2.6 二维稳态热传导问题一、稳态热传导有限元的一般格式 具有内热源的二维稳态热传导问题的基本方程为ðððððð�aa xx ððððððxx �+ðððððð�aa ðððððððððð�+QQ cccc=00 按照有限元法公式推导的标准步骤，首先将求解区域A 离散为有限个单元体，在每个单元体内用伽辽金法选择权函数，得到：∬NN ii �ððððxx �aa xx ððððððxx �+ðððððð�aa ðððððððððð�+QQcccc �dddd dd ee=00 ii =11，⋯，nn （2.6.1） 上式中：dd ee 为单元面积，nn 为每个单元的节点个数，NN ii �xx ，ðð�为插值函数，它同样具有以下性质：NN ii �xx jj ，ððjj �=�00当jj ≠ii 时11当jj =ii 时和 ∑NN ii =11每个单元内各点的温度TT 可以近似地用单元节点温度ððii 插值得到：TT =�NN ii �xx ，ðð�ððii nnii =11=[NN ]{ðð}ee式中：[NN ]=[NN 11NN 22⋯NN nn ]，{ðð}ee 为单元节点温度列阵。
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（3）使泛函取极值的条件
I 0 0
（4）展开上式，将其中的δy设法从变分中分离 出来。这个过程要用到分步积分。最后形成
I0 ydx
（5）根据变分基本定理，在δy满足一般性条件 时，即可得出： δI = 0 或I取极值的条件 （）=0
对于一个场的描述有两种方法：1）积分法；
2）微分法。
两种方法的求解基本思路：
下面首先简要介绍变分、泛函，然后推导有限元 格式。
6-2 泛函与变分的基本概念
函数：z = f (x)，x变，z变。
泛函：平面上两点A、B之间的距离I
xB
I
1
dy2
dx
xA
dx
y变，I变。I是y的泛函—函数的函数。
y
y yx
BxB , yB
O
AxA , y A
x
一 泛函
定义：函数值因另外一个或几个函数确定，这个 函数称为泛函。
积分法和微分法的联系
微分方程是泛函取极值的必要条件，但它对函数 性态的要求稍高。
七 变分原理
变分原理：即泛函极值与求解特定微分方程及其 边界条件等价的原理。
即：满足微分方程及其边界条件的函数，一定使 泛函取极值；使泛函取极值的必要条件就是对 应的微分方程及其边界条件。
[例] 最速降线问题。
平面上两点A和B，不在同一水平线上，也不在同 一铅垂线上。现有一物体从A沿某条曲线y = f (x) 滑到B。求解使物体下滑速度最快或时间最短的 曲线y =f (x)。不计物体与曲线间的摩擦力。
dx
泛函取极值的条件： I
四 变分
x
0
，
称为变分。
函数微分
dz fxx f'xd， x为任意小的
0
可以用来研究函数z在x处的变化。
类似，泛函在某点y的变化，可以通过对泛函的 变分
IIyxy
来观察。I—泛函，ε—任意小的正数。
五 泛函取极值的条件 函数在x0处取极值的条件：
dzfx0x00
泛函I=I[y(x)]在y=y 0 (x)处取极值的必要条件是 δI=0，即
mgy，获得的动能为1/2 mv2。
由能量守恒定律
A0,0xLeabharlann mgy 1 mv 22
或 v 2 gy
y
x2 x1
x2 x1
yd
F y'
x2 x1
d dx
F y
'
ydx
带入前式
Ixx12F yddx F y'ydx0
由变分基本定理知，一维泛函取极值的条件
F y
ddxFy'
0
上面的过程可以总结为
（1）写出泛函表达式 I Fdx ；
（2）设使泛函取得极值的自变函数为y，那么，
异于y的自变函数可写成y+ε δy，它的高阶项为 y’+ε δy’；
二 泛函的极值
函数z = f (x)有极值问题。如果 dz 0 dx
表明，z相对于x的变化具有局部稳定性，z向 左也不是，向右也不是，此时，z取极值。
泛函I也有极值。使泛函取极值的自变函数ｙ称为
泛函的极值点，它使泛函在该处的值具有稳定 性。
当然，使泛函取得极值的自变函数ｙ的变化要复
杂的多。
三 变分法 函数取极值的条件：dz 0 ，d 称为微分。
IIy0xy00
上式的含义是：异于y0 (x)的y都使I偏离最大值 点或最小值点，此时，I处于“左也不是，右也 不是”的状态。
可见，函数取极值的必要条件和泛函取极值的必 要条件是类似的。只不过函数的自变量在极值 点附近的变化方式，比泛函中的自变函数的变 化方式要简单一些而已。
六 变分法预备定理
设函数F(x)在[x1, x2]连续，对于δy(x)，如果有
（1）积分法 假设场变量的变化模式。这种变化 方式可以用多项式或三角函数多项式表达，它 含有若干待定系数，即每一项前的系数。
将这一多项式带入泛函积分表达式中。根据系统 达到的最终状态，就是能量最小状态（泛函极 值的条件），可以求出多项式前的各系数，这 样即可求出对原问题的近似解。
（2）微分法 假设场变量的值y，写出空间某点y 的变化率，y的解与边界条件有关。
第6章热传导问题的有限元法
除非几何形状特别简单，如无限大平面，半无限 大平面，圆平面，一般无法得到解析解。为此 要采用数值方法。有限元法即是其中的一种可 选的方法。
有限元法求解偏微分方程的思路：1）利用变分 原理将偏微分方程转化为等价的泛函；2）假 设单元上的场变量变化形式，即插值函数或试 探函数；3）寻找试探函数的系数—节点场变 量，以使泛函取极值。
IIyxy00
其中，y使I取极值，y+ε δy是一个微小的变化。
I
Iyx
y
x2 x1
Fx,
y
y,
y'
y'dx
x2 x1
y
yFx,
y
y,
y'
y'
y
y
y' y'Fx, yy, y' y'y'y'dx
x2 x1
y
y
F
x,
y
y,
y'
y'
y
y
y'
y'
Fx,
y
y,
y'
y'
y'
y'dx
x2 x1
y
x2 Fxydx0 x1
则 F x 0 ,x 1 ,x 2 。 δy(x)是y的变分。
δy(x)的条件：一阶或若干阶可微，在x1, x2处为 零；
| δy |< ε 或 | δy |及| δy’ |< ε，等。
这些话的意思是：y是连续区间[x1, x2]中一段曲 线。该曲线的变分，就是说它可以变化。这种 变化可以是：值的变化，一阶导数的变化，高 阶导数的变化等。
下面证明：一维泛函（只与一个函数有关）取极 值的条件。
设有泛函
Iyxxx12Fx,yx,y'xdx
其中：泛函中的自变函数y(x)（平面上的曲线） 在积分区间[x1, x2]的端点x1, x2处的值是已知的， 即
y x 1 y 1 ,y x 2 y 2
认为函数 F x,yx,y'x 三阶可微。
根据变分的定义，要使泛函取极值，则
[解] 分析：物体从A点到达B点所花的时间t与路径 y =f (x)有关。可以将时间t看成是路径y的泛函， y是自变量函数。物体下滑时间最短，意味着求 泛函t的极值。
问题的关键：建立时间t与路径y的一般表达式。
设A点与坐标原点重合，B点的坐标为B(x1,y1)。 从A点到达任意点P的速度为v，失去的位能为
Fx,
y
y,
y'
y'
y
y'
F
x,
y
y,
y'
y'
y'dx
令ε = 0，则（y成为使I取极值的点）
I Iyx y 0 x x 1 2 F yy F y'y' d x
上式右端中，因为
x 2 F y ' dx x 2 F d y
x1 y '
x1 y '
F y
'