2010年天津市初中数学竞赛初赛试题

2010年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分） （1）计算2222010200920102009201122009--⨯+⨯的值为（ ）．（A ）1 （B ）1- （C ）2 009 （D ）2 010【解】选A ．原式22222222010200920102009120102009(20112)20102009--===---． （2）如图，是一个正方体的表面展开图，正方体的每个面都标注了字母．在展开前，与标注字母a 的面相对的面内标注的字母为（ ）．（A ）b （B ）d （C ）e （D ）f 【解】选B ．（3）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，E 是AD 的中点，6AB BC CD ++=,BE =ABCD 的面积等于（ ）．（A ）13 （B ）8 （C ）132（D ）4 【解】选D ．如图，过点E 作//EF AB 交BC 于点F ，则12BF BC =,11()(6)22EF AB CD BC =+=-, 又∵BC AB ⊥,∴EF BC ⊥∴在Rt △BFE 中，222EF BF BE +=．∴22211[(6)]()22BC BC -+=，即2680BC BC -+=，解得 2BC =或4BC =，则2EF =或1EF =, ∴ 4ABCD S EF BC =⋅=梯形．第（2）题ABC DE F ABCD E 第（3）题（4）某个一次函数的图象与直线132y x =+平行，与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，并且过点（2-，4-），则在线段AB 上（包括点A ，B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ）．（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 【解】选B ．根据题意，设一次函数的解析式为12y x b =+， 由点（2-，4-）在该函数图象上，得14(2)2b -=⨯-+，解得3b =-．所以，132y x =-．可得点A （6，0），B （0，3-）． 由06x ≤≤，且x 为整数，取0,2,4,6x =时，对应的y 是整数． 因此，在线段AB 上（包括点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有4个．（5）如图，一个半径为r 的圆形纸片在边长为a（a ≥）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）．（A ）2π3r （B2（C）2π)r （D ）2πr 【解】选C ．如图，当圆形纸片运动到与A ∠的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心1O 作两边的垂线，垂足分别为D ，E ，连1AO ，则Rt △1ADO 中，130O AD ∠=︒，1O D r =，AD ．∴12112ADO S O D AD ∆=⋅=．有1122ADO ADO E S S ∆=四形形． ∵由题意，1120DO E ∠= ，得12π3O DE S r =扇形，∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为22π3)3r -2π)r =二、填空题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（6）如图，有五张点数分别为2，3，7，8，9的扑克牌，从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为 ． 第（5）题CABDMNCABDM第（8）题【解】710． 根据题意，当不考虑抽牌顺序时，可以画出如下的树形图从上图可以看出，从五张牌中任意抽取两张，共有10种抽法，其中抽取的点数之积是偶数的有7种，所以点数之积是偶数的概率710P =． （7）如图，是一个树形图的生长过程，自上而下，一个空心圆生成一个实心圆，一个实心圆生成一个实心圆和一个空心圆，依此生长规律，第9行的实心圆的个数【解】21个．观察图形规律，可得，从第3行起，每行中的实心圆的个数都是上两行实心圆个数的和．于是，第7行实心圆的个数为3+5=8（个）； 第8行实心圆的个数为5+8=13（个）； 第9行实心圆的个数为8+13=21（个）． （8）如图，在△ABC 中，中线CM 与高线 CD 三等分ACB ∠，则B ∠等于 （度）.【解】30︒.根据题意，可得CD AB ⊥，AM M B =，ACD MCD BCM ∠=∠=∠. ∵ACD MCD ∠=∠，CD CD =，90CDA CDM ∠=∠=︒,∴△ACD ≅△MCD ∠. ∴12AD DM AM ==.点数之积 3 7 8 9 6 2 14 16 183 7 8 9 21 24 27 56 7 8 963 8 9 72 1行2行3行4行5行 6行……第（7）题过点M 作MN BC ⊥于点N ,∵DCM NCM ∠=∠,CM CM =,90CDM CNM ∠=∠=︒, ∴△DCM ≅△NCM ∠. ∴DM NM =.于是12NM MB =，∴在Rt △MNB 中，30B ∠=︒.（9）有n 个连续的自然数1，2，3，…，n ，若去掉其中的一个数x 后，剩下的数的平均数是16，则满足条件的n 和x 的值分别是 .（参考公式：2)1(321+=++++=n n n S n ） 【解】30n =，1x =；31n =，16x =；32n =，32x =. 由已知，n 个连续的自然数的和为(1)2n n n S +=. 若x n =，剩下的数的平均数是12n S n nn -=-； 若1x =，剩下的数的平均数是 1112n S nn -=+-，故16122n n+≤≤，解得 3032n ≤≤. 当30n =时，30(301)29162x ⨯+⨯=-，解得1x =； 当31n =时，31(311)30162x ⨯+⨯=-，解得16x =； 当32n =时，32(321)31162x ⨯+⨯=-，解得32x =. （10）母亲节到了，小红，小莉，小莹到花店买花送给自己的母亲.小红买了3枝玫瑰，7枝康乃馨，1枝百合花，付了14元；小莉买了4枝玫瑰，10枝康乃馨，1枝百合花，付了16元；小莹买上面三种花各2枝，则她应付 元．【解】20．方法一：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为x 元，y 元，z 元， 根据已知条件，列出方程组3714,41016.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩消去z ，得23x y =-． ③ 将③代入①，得82z y =+．④①②由③，④得 10x y z ++=．有 2()20x y z ++=． 所以，小莹应付20元． 方法二：(37)(410)2()m x y z n x y z x y z +++++=++，(34)(710)()222m n x m n y m n z x y z +++++=++．∴342,7102,2.m n m n m n +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得4,6.n m =-⎧⎨=⎩∴2()6(37)4(410)61441620x y z x y z x y z ++=⨯++-++=⨯-⨯=． 三、解答题（本大题共4小题，每小题满分20分，共80分） （11）（本小题满分20分） 已知，抛物线2y ax bx c =++（0≠a ）经过A 、B图中的曲线是它的一部分．根据图中提供的信息， （Ⅰ）确定a ，b ，c 的符号； （Ⅱ）当b 变化时，求a b c ++的取值范围． 【解】（Ⅰ）如图，由抛物线开口向上，得0a >．……由抛物线过点(0,1)-，得10c =-<． ……6分由抛物线对称轴在y 轴的右侧，得02ba->，又 0a >，得0b <． ∴0a >，0b <，0c <． ……………………………………10分 （Ⅱ）由抛物线过点(1,0)-，得0a b c -+=．即1a b =+，由0a >，得1b >-． ……………………………………16分 ∴10b -<<，∴(1)12a b c b b b ++=++-=．∴20a b c -<++<． ……………………………………20分 （12）（本小题满分20分）设直角三角形的两条直角边长分别为,a b ，斜边长为c ．若,,a b c 均为整数，且1()3c ab a b =-+，求满足条件的直角三角形的个数．【解】由勾股定理，得222c a b =+． ……………………………………3分又1()3c ab a b =-+，得2222112[()]()()()393c ab a b ab ab a b a b =-+=-+++．即2222212()()293a b ab ab a b a ab b +=-++++．整理，得6()180ab a b -++=．即(6)(6)18a b --=． ………………………8分因为,a b 均为正整数，不妨设a b <， 可得61,618,a b -=⎧⎨-=⎩或62,69,a b -=⎧⎨-=⎩或63,6 6.a b -=⎧⎨-=⎩可解出7,24,25,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或8,15,17,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或9,12,15.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，满足条件的直角三角形有3个． ……………………………………20分（13）（本小题满分20分） 如图，在△ABC 中，45ABC ∠= ，点D 在边 BC 上，60ADC ∠= ，且12BD CD =．将△ACD 以 直线AD 为轴做轴对称变换，得到△AC D '，连接BC '，（Ⅰ）求证BC BC '⊥； （Ⅱ）求C ∠的大小．（Ⅰ）【证明】∵△AC D '是△ACD 沿AD 做轴对称变换得到的，∴△AC D '≌△ACD .有C D CD '=，ADC ADC '∠=∠．………………3分∵12BD CD =，60ADC ∠= ，∴12BD C D '=，18060BDC ADC ADC ''∠=-∠-∠= ．……5分取C D '中点P ，连接BP ，则△BDP 为等边三角形，△BC P '为等腰三角形，…8分有113022BC D BPD BDC ''∠=∠=∠=︒．∴90C BD '∠= ，即BC BC '⊥． ……10分（Ⅱ）【解】如图，过点A 分别作,,BC C D BC ''的垂线，垂足分别为,,E F G ．∵ADC ADC '∠=∠，即点A 在C DC '∠的平分线上， ∴AE AF =．……13分 ∵90C BD '∠= ，45ABC ∠= ， ∴45GBA C BC ABC '∠=∠-∠= ，即点A 在GBC ∠的平分线上，∴AG AE =．……16分ABC DC 'ABDC 'PBDC 'FGABC图（b ）于是，AG AF =，则点A 在GC D '∠的平分线上．…………………………18分 又∵30BC D '∠=︒,有150GC D '∠= ． ∴12AC D '∠=75GC D '∠= ．∴C ∠75AC D '=∠= ．………………………20分 （14）（本小题满分20分）（Ⅰ）如图（a ），在正方形ABCD 内，已知两个动圆1O 与2O 互相外切，且1O 与边AB 、AD 相切，2O 与边BC 、CD 相切．若正方形ABCD 的边长为1，1O 与2O 的半径分别为1r ，2r ．①求1r 与2r 的关系式；②求1O 与2O 面积之和的最小值．（Ⅱ）如图（b ），若将（Ⅰ）中的正方形ABCD 改为一个宽为1，长为32的矩形，其他条件不变，则1O 与2O 面积的 和是否存在最小值，若不存在，请说明理由；若存在，请求出 这个最小值．【解】（Ⅰ）如图（a ），在正方形ABCD 中，连接AC ，显然1O 与2O 在AC 上， 且1AO，1212O O r r =+，22CO =， 由1122ACAO O O CO =++122r r ++∴122r r += ………………………5分②根据题意，1r 12≤，2r 12≤，可得21122r r =≤，即321r 12≤．∵1O 与2O 的面积之和2212π()S r r =+，B图（a ）图（a ）∴2211(2)πSr r =+21122(26r r =-+-212(3r =-+-32-12≤，…………8分∴当1r =时，1O 与2O是等圆，其面积和的最小值为(3π-． ……………………………………10分（Ⅱ）如图（b ），作辅助线，得到Rt △12O O P ， 则1212O O r r =+，1121232O P AB r r r r =--=--， 212121O P BC r r r r =--=--．∵在Rt △12O O P 中，2221212O O O P O P =+，∴2221212123()()(1)2r r r r r r +=--+--．即2121213()5()04r r r r +-++=．解得1252r r +=1252r r += 由于1235122r r +<+=，故1252r r +=+∴1252r r +=……………………………………15分 ∵1O 与2O 的面积之和2212π()S r r =+，而2221212()2r r r r ++≥，当且仅当12r r =时，等号成立，∴当12r r =时，1O 与2O 面积和存在最小值，最小值为25(2π2-，即37(π8． ……………………………………20分图（b ）。