二面角专题习题
二面角典型习题
二面角1.二面角的计算：1）定义法；2）三垂线定理法；3）垂面法；4）面积射影法；例1、已知P 是二面角AB αβ--棱上一点，过P 分别在αβ、内引射线PM ，PN ，且45,60BPM BPN MPN ∠=∠=︒∠=︒，求此二面角的度数。
例2、已知P 为锐二面角l αβ--棱上的点，,4530PQ PQ l αβ⊂︒︒与成，与成，则二面角l αβ--的度数是多少。
例3、已知二面角l αβ--的度数为θ，在面α内有一条射线AB 与棱l 成锐角δ，与面βγ成角，则必有（ ）（A ）sin sin sin θδγ= （B ）sin sin cos θδγ=（C ）cos cos sin θδγ= （D ）cos cos cos θδγ=例4、在120︒的二面角l αβ--的面α、β内分别有A 、B 两点，且A 、B 到棱l 的距离AC 、BD 分别长2、4，AB=10，求：（1）直线AB 与棱l 所成角的正弦值。
（2）直线AB 与平面β所成角的正弦值。
例5、已知二面角MN αβ--为60︒，,,A B BC AB αββ∈∈为在上的射影，且C 在棱MN 上，AB 与β所成角为60︒，且45AC MCB ∠=︒，求线段AB 的长。
例6、已知二面角DC αβ--的度数为θ，,,A B ADC αβ∈∈∆的面积为S ，且DC=m ，AB DC ⊥，AB 与平面β成30︒角，当θ变化时，求DBC ∆面积最大值。
例7、已知C 是以AB 为直径的圆周上的一点，30ABC ∠=︒，45PA ABC PBA ⊥∠=︒面，，求二面角A-PB-C 的正弦值。
例8、在正方体1111ABCD A BC D -中，利用cos S S θ=射影解下列各题1）P 、Q 分别为1,A A AB 的中点，求平面1C PQ 与底面ABCD 所成角的余弦值2）求二面角11C BD C --的大小；3）M 是棱BC 的中点，求二面角111D B M C --的余弦值。
二面角习题及答案
二面角1.如圖三棱錐 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32，D 是 BC の中點，且△ADC 是邊長為 2の正三角形，求二面角 P-AB －C の大小。
解：由已知條件，D 是BC の中點∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形∴ AD =CD =BD =2∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 為直角の三角形， ∴ AB ⊥AC ， 又 PC ⊥面ABC∴ PA ⊥AB (三垂線定理) ∴∠PAC 即為二面角 P-AB-C 之平面角，易求 ∠PAC =30°3. 如圖：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 與 BD 相交於O 點，P 是平面 ABCD 外一點，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC の中點，求二面角 M-BD-C 大小。
解：取OC 之中點N ，則 MN ∥PO∵ PO ⊥面ABCD∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2，過 N 作 NR ⊥BD 於 R ，連MR ， 則 ∠MRN 即為二面角 M-BD-C の平面角過 C 作 CE ⊥BD 於S則 RN =21CE 在 Rt △BCD 中，CD ·BC =BD ·CE ∴ 58BD BC CD CE =⋅= ∴ 54RN = 25RN MN MRN tan ==∠ ∴ 25a r c t a n M R N =∠11. 如圖，設ABC —A1B1C1是直三棱柱，E 、F 分別為AB 、A1B1の中點，且AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a.(1)求證：AF ⊥A1C(2)求二面角C —AF —B の大小D PC AB S R NM O BDP A C分析 本小題考查空間幾何垂直の概念和二面角の度量等知識.解 (1)∵AC ＝BC ，E 為AB 中點，∴CE ⊥AB又∵ABC —A1B1C1為直棱柱，∴CE ⊥面AA1BB連結EF ，由於AB ＝2AA1∴AA1FE 為正方形∴AF ⊥A1E ，從而AF ⊥A1C(2)設AF 與A1E 交於O ，連結CO ，由於AF ⊥A1E ，知AF ⊥面CEA1∴∠COE 即為二面角C —AF —B の平面角∵AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a∴CE ＝2a,OE ＝22a,∴tan ∠COE ＝a a222＝2.∴二面角C —AF —B の大小是arctan2.13. 在正方體1111D C B A ABCD -中，1BB K ∈，1CC M ∈，且141BB BK =，143CC CM =.．求：平面AKM 與ABCD 所成角の大小．解析：由於BCMK 是梯形，則MK 與CB 相交於E ．A 、E 確定の直線為l ，過C 作CF ⊥l 於F ，連結MF ，因為MC ⊥平面ABCD ，CF ⊥l ，故MF ⊥l ．∠MFC 是二面角M-l-C の平面角．設正方體棱長為a ，則a CM 43=，a BK 41=．在△ECM 中，由BK ∥CM 可得a EB 21=，a CF 53=，故45tan =∠MFC ．因此所求角の大小為45arctan 或45arctan π-．。
完整版二面角练习题
周练六1.如图，已知在三棱柱ABC ABQ,中，三个侧棱都是矩形，点D为AB的中点+AC 3,BC 4, AB 5,AA, 4 ,(I)求证AC BC i;(n )求证AC1 P平面CDB1;(川)求异面直线AC i与B i C所成角的余弦值+2 .如图，已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面成60°的二面角,所成角的正弦值。
求直线BD与平面ABEF A —"DF3.如图，在棱长为a的正方体ABC—ABCD中，求:(1 )面AABB与面ABCD所成角的大小；(2)二面角C-BD-C的正切值(3)二面角B1 BC1 DP4•过正方形ABCD的顶点A作PA A平面ABCD ,设PA=AB=a , (1)求二面角B- PC- D的大小；(2)求二面角C-PD-AB C5.如图所示，四棱锥P —ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，/ BCD = 60°, E是CD的中点，PA丄底面ABCD , PA= .3•⑴证明：BE丄平面PAB;⑵求二面角A—BE—P的大小(3) PB与面PAC的角6如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中,AD//BC, ABC 90 ,PA 平面ABCD PA 3, AD 2, AB ^3 BC=6(1)求证：BD平面PAC；⑵求二面角P BD A的大小.(3)求二面角B-PC-A的大小7.如图，直二面角D —AB —E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB , F为CE 上的点，且BF丄平面ACE.(I)求证AE丄平面BCE;(H)求二面角B—AC —E的大小; (川)求点D到平面ACE的距离.8•如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形•已知AB 3 , AD 2 ,PA 2 , PD 2近,/ PAB 60°.(I)证明AD 平面PAB ；(n)求异面直线PC与AD所成的角的大小;(川)求二面角P BD A的正切值.。
二面角专项训练
二面角专项训练1、已知正方体1111D C B A ABCD -中，O 1、O 是上下底面正方形的中心，E 是AB 棱上一点，且AE ：EB=1：2，求二面角A 1-O 1O-E 的大小。
2、 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，已知AB = 3，AD = 2，PA = 2，︒=∠=60,22PAB PD . （1）证明：AD ⊥平面PAB ； （2）求二面角P —BD —A 的大小.3、如图，在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，二面角V-AD-B 是直二面角．（1）证明AB ⊥平面VAD ；（2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．PAB CEOO 1ADDC 1BACB4、如图，AB ⊥平面BCD ，DC ⊥CB ，AD 与平面BCD 成30°的角，且AB=BC.（1）求AD 与平面ABC 所成的角的大小；（2）求二面角C-AD-B 的大小；5、 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC=900，SA ⊥底面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=0.5，求面SCD 与面SBA 所成二面角的大小。
6、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AC AB ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且AB PA =，点E 是PD 的中点。
（1）证明：PB AC ⊥； （2）证明：PB//平面AEC ； （3）求二面角E-AC-B 的大小。
EPDCBASDCBADCBA。
二面角习题及答案
二面角1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。
解：由已知条件，D 是BC 的中点∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形， ∴ AB ⊥AC ， 又 PC ⊥面ABC∴ PA ⊥AB (三垂线定理)∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角， 易求 ∠PAC =30°2.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ， 求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度数。
解：∵ BS =BC ，又DE 垂直平分SC∴ BE ⊥SC ，SC ⊥面BDE ∴ BD ⊥SC ，又SA ⊥面ABC ∴ SA ⊥BD ，BD ⊥面SAC ∴ BD ⊥DE ，且BD ⊥DC 则 ∠EDC 就是所要求的平面角 设 SA =AB =a ，则 BC =SB =2a 且 AC = 3易证 △SAC ∽△DEC ∴ ∠CDE =∠SAC =60°3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。
DPCABEDBASC解：取OC 之中点N ，则 MN ∥PO ∵ PO ⊥面ABCD∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2， 过 N 作 NR ⊥BD 于 R ，连MR ，则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 的平面角 过 C 作 CE ⊥BD 于S 则 RN =21CE 在 Rt △BCD 中，CD ·BC =BD ·CE ∴ 58BD BC CD CE =⋅=∴ 54RN =25RN MN MRN tan ==∠ ∴ 25a r c t a n M R N =∠4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =0120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。
二面角专项训练(人教A版)(含答案)
二面角专项训练（人教A版）一、单选题(共7道，每道10分)1.等于90°的二面角内有一点P，过P有PA⊥α于点A，PB⊥β于点B，如果PA=PB=a，则P 到交线的距离为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：与二面角有关的点、线、面间的距离计算2.如图，在三棱锥F-ABC中，FC⊥底面ABC，CA=CB=CF，∠ACB=120°，则二面角F-AB-C的正切值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法3.如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是腰长为的等腰三角形，则二面角V-AB-C的平面角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法4.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，PA=AB=2，AC=1，则二面角A-PC-B的正弦值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法5.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1，∠ACB=90°，D是棱AA1的中点，则二面角B-DC1-C的余弦值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法6.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD，则二面角A1-BD-C1的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法7.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1⊥A1C，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点，则二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值为( )A. B. C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法。
二面角典型习题
二面角1.二面角的计算：1）定义法；2）三垂线定理法；3）垂面法；4）面积射影法；例1、已知P 是二面角棱上一点，过P 分别在内引射线PM ，PN ，且AB αβ--αβ、，求此二面角的度数。
45,60BPM BPN MPN ∠=∠=︒∠=︒例2、已知P 为锐二面角棱上的点，，则二l αβ--,4530PQ PQ l αβ⊂︒︒与成，与成面角的度数是多少。
l αβ--例3、已知二面角的度数为，在面内有一条射线AB 与棱l 成锐角，与面l αβ--θαδ，则必有（ ）βγ成角（A ） （B ）sin sin sin θδγ=sin sin cos θδγ=（C ） （D ）cos cos sin θδγ=cos cos cos θδγ=例4、在的二面角的面、内分别有A 、B 两点，且A 、B 到棱l 的距离120︒l αβ--αβAC 、BD 分别长2、4，AB=10，求：（1）直线AB 与棱l 所成角的正弦值。
（2）直线AB 与平面所成角的正弦值。
β例5、已知二面角为，上的射影，且C 在棱MN αβ--60︒,,A B BC AB αββ∈∈为在MN 上，AB 与所成角为，且，求线段AB 的长。
β60︒45AC MCB =∠=︒例6、已知二面角的度数为，的面积为S ，且DC=m ，DC αβ--θ,,A B ADC αβ∈∈∆，AB 与平面成角，当变化时，求面积最大值。
AB DC ⊥β30︒θDBC ∆in例7、已知C是以AB为直径的圆周上的一点，，30ABC∠=︒，求二面角A-45PA ABC PBA⊥∠=︒面，PB-C的正弦值。
例8、在正方体中，利用解下列各题1111ABCD A B C D-cosSSθ=射影1）P、Q分别为的中点，求平面与底面ABCD所成角的余弦值1,A A AB1C PQ2）求二面角的大小；11C BD C--3）M是棱BC的中点，求二面角的余弦值。
111D B M C--例9、已知D 、E 分别是边长为a 的等边三角形ABC 的边AB 、AC 上的点，DE//BC ，现沿DE 将三角形ADE 折起，是二面角A-DE-B 成60度角，当DE 在什么位置时，使折起后的顶点A 到BC 边距离最短？最短是多少？例10、等腰Rt 和Rt 有公共边AC ，，ADC ∆BCA ∆90,60ADC BCA ABC ∠=∠=︒∠=︒以AC 为棱折起多少度的二面角时，有BD=BC ？两个平面垂直1、两个平面垂直的证明1）定义2）判定定理2、两个平面垂直的性质例1、已知ABCD 为矩形，E 为半圆CED 上一点，且平面ABCD 平面CDE ⊥1）求证DE 是AD 与BE 的公垂线2）若AD=DE=AB ，求AD 与BE 所成角的大小。
二面角习题
二面角练习1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。
2.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ， 求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度数。
3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =0120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。
DPCABEDBASCSR NMOBDPACBAEC5.已知正方体 AC'，M 、N 分别是BB'，DD'的中点，求截面 AMC'N 与面ABCD ，CC'D'D 所成的角。
6. 如图，设ABC —A1B1C1是直三棱柱，E 、F 分别为AB 、A1B1的中点，且AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a.(1)求证：AF ⊥A1C(2)求二面角C —AF —B 的大小7．如图1111D C B A ABCD -是长方体，AB=2，11==AD AA ，求二平面C AB 1与1111D C B A 所成二面角的大小．8.在正方体1111D C B A ABCD -中，1BB K ∈，1CC M ∈，且141BB BK =，143CC CM =.．求：平面AKM与ABCD 所成角的大小．D ’ B ’D AC ’B A ’CMN答案：1解：由已知条件，D 是BC 的中点 ∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形， ∴ AB ⊥AC ， 又 PC ⊥面ABC ∴ PA ⊥AB (三垂线定理)∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角， 易求 ∠PAC =30°2.解：∵ BS =BC ，又DE 垂直平分SC∴ BE ⊥SC ，SC ⊥面BDE ∴ BD ⊥SC ，又SA ⊥面ABC ∴ SA ⊥BD ，BD ⊥面SAC ∴ BD ⊥DE ，且BD ⊥DC 则 ∠EDC 就是所要求的平面角 设 SA =AB =a ， 则 BC =SB =2a 且 AC = 3易证 △SAC ∽△DEC ∴ ∠CDE =∠SAC =60° 3.解：取OC 之中点N ，则 MN ∥PO ∵ PO ⊥面ABCD∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2， 过 N 作 NR ⊥BD 于 R ，连MR ，则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 的平面角过 C 作 CE ⊥BD 于S 则 RN =21CE 在 Rt △BCD 中，CD ·BC =BD ·CE∴58BD BC CD CE =⋅=∴54RN =25RN MN MRN tan ==∠ EDBASCSR NMOBDPAC∴25a r c t a nM R N =∠4.解：过 A 作 AE ⊥CB 的延长线于E ， 连结 DE ， ∵ 面ABC ⊥面BCD ∴ AE ⊥面BCD∴ E 点即为点A 在面BCD 内的射影∴ △EBD 为△ABD 在面BCD 内的射影设 AB =a 则AE =DE =ABsin60°=a 23 ∴ AD =41ABD cos 26=∠， ∴ sin ∠ABD =415∴22A B D a 815415a 21S =⨯=∆ 又 a 21BE =∴2B D E a 83a 21a 2321S =⋅⋅=∆ ∴55S S c o s A B D B D E ==θ∆∆考虑到我们求的是二面角 A-BD-E ，而二面角 A-BD-C 与A-BD-C 互补∴ 二面角 A-BD-C 的余弦值为55-。
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求二面角专题
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如何用空间向量求解二面角
求解二面角大小的方法很多，诸如定义法、三垂线法、垂面法、射影法、向量法等若干种。
而这些方法中最简单易学的就是向量法，但在实际教学中本人发现学生利用向量法求解二面角还是存在一些问题，究其原因应是对向量法的源头不尽了解。
本文就简要介绍有关这类问题的处理方法，希望对大家有所帮助。
在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题．对于空间向
量→a 、→b ，有cos ＜→a ，→
b ＞=
→
→→
→⋅⋅|
|||b a b
a ．利用这一结论，我们可以较方便地
处理立体几何中二面角的问题．
例1 在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．
证明： 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边 长为1，依题意
得AB −−→
= (0，1，0)，是面VAD 的法向量， 设n →
= (1，y ，z)是面VDB 的法向量，则
0,0.
n VB n VB →−−→→−−→
⎧⋅=⎪
⎨⎪⋅=⎩
⇒1,y z =-⎧⎪⎨=⎪⎩⇒n →= (1，－1
，－。
∴cos ＜AB −−→，n →
＞
||||
AB n
AB n −−→→
−−→→
⋅⋅=
， 又由题意知，面VAD 与面VDB 所成的二面角为锐角，
所以其大小为
例2如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90︒，AC=1，CB=2，侧棱AA 1=1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M ．
⑴求证CD ⊥平面BDM ；
⑵求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小． 解：⑴略
⑵如图，以C 为原点建立坐标系.设BD 中点为G ，连结B 1G ，则依
G(4，14，14)，BD −−→= (
－2，12，1
2
)，1B G −−→=
(
34，1
4
)， ∴BD −−→·1B G −−→
= 0，∴BD ⊥B 1G ．
又CD ⊥BD ，∴CD −−→
与1B G −−→
的夹角θ等于所求二面角的平面角．
∴ cos θ=
11||||
CD B G CD B G −−→−−→
−−→
−−→
⋅⋅=
－
3
． 所以所求二面角的大小等于π－
arccos
3
． 例3如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ．求二面角C —PB —D 的大小
解：如图所示建立空间直角坐标系，D 为
坐标原点，设a DC =
y
x
B
B 1
C 1
A 1
C
A
D
M
设点F 的坐标为000()x y z ，，，PA −−→=PB λ−−→
，则
000()()x y z a a a a λ-=-，，，，．
从而000(1)x a y a z a λλλ===-，，．所以
PE −−→
=00011
(,
,)(,(),())2222
a a x y z a a a λλλ---=---． 由条件EF ⊥PB 知，PE −−→
·PB −−→
= 0，即0)2
1()21
(222=---+-a a a λλλ，解得3
1=λ．
∴点F 的坐标为2()333
a a a
，，，且()366a a a PE −−→=--，，，
2()333
a a a
FD −−→
=---，，，
∴PB −−→
·FD −−→
222
20333
a a a =--+
=，即FD PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角．
∵PE −−→
·FD −−→
=222291896a a a a =-+=
，且||6PE −−→==
，
||FD −−→
==，
∴2
1
cos 2
||||
a PE FD
EFD PE FD −−→−−→
−−→−−→
⋅∠=
=
=
，∴3
π
=
∠EFD ．
所以，二面角C —PB —D 的大小为
3
π． 例4 已知三棱柱OAB —1O A 1B 1中，平面
11O OBB ⊥平面OAB ，∠AOB =︒90，∠OB O 1=︒60
，
且OB =1OO = 2，OA =3，求二面角1O —AB —O 的大小．
解：以O 为原点，分别以OA ，OB 所在的直线为x ，y 轴，过O 点且与平面AOB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．如图，则O (0，0，0)，1O (0，1，3)，A(3，0，0)，1A (3，1，3)，B(0，2，0)．
∴−→
−1AO = (－3，1，3)，−→
−AB = (－3，2，0)．
显然−→
−OZ 为平面AOB 的法向量，取→
1n = (0，0，1)，设平面AB O 1的法向量为→
2n = (x ，y ，z)，则
→
2n ·−→−1AO = 0，→
2n ·−→
−AB = 0．
即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-0
23033y x z y x ，令y =3，x = 2，z = 1，则→2n = (2，3，1)．
∴cos ＜→
1n ，→
2n ＞=
||||212
1→
→
→
→⋅⋅n n n n =
2
21
=
42，即＜→1n ，→2n ＞= arccos 4
2
． 故二面角1O —AB —O 的大小为arccos
4
2
．。