江西省吉安市2020届高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题 扫描版含答案
2020年江西省吉安市八江中学高三数学文上学期期末试题含解析
2020年江西省吉安市八江中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等差数列中，则（）A．45 B．42 C. 21 D．84参考答案：A2. 设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）B本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含A.的值B.的值C. 的值D.的值参考答案：D4. 设函数满足，，则当时，（）A、有极大值，无极小值B、有极小值，无极大值C、既无极大值，也无极小值D、既有极大值，又有极小值参考答案：C略5. 函数的定义域为，若对于任意的正数a，函数都是其定义域上的增函数，则函数的图像可能是 ( ).（A） (B) (C) (D)参考答案：D6. 已知集合，，则集合A．B．C．D．参考答案：D7. 已知，则（）A. B. C.D.参考答案：A8. 将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增参考答案：B考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．当函数递增时，由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B．点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．9. 已知，，，则a、b、c的大小关系是( )A. B.C. D.参考答案：B【分析】结合0,1进行a,b,c的大小比较，即可。
2020-2021学年江西省吉安市第五中学高三数学文上学期期末试题含解析
2020-2021学年江西省吉安市第五中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m?β，则α⊥β；②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；③m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β=m，n∥m，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．③④D．①④参考答案：D【考点】平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】利用平面与平面垂直和平行的判定和性质，直线与平面平行的判断，对选项逐一判断即可．【解答】解：①若m⊥α，m?β，则α⊥β；这符合平面垂直平面的判定定理，正确的命题．②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；可能n∥m，α∩β=l．错误的命题．③m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n与α相交；题目本身错误，是错误命题．④若α∩β=m，n∥m，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β．是正确的命题．故选D．2. 某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是参考答案：A3. 已知函数（其中）的图象如右图所示，则函数的图象是（）A． B． C．D．参考答案：A4.若是互不重合的空间直线,是不重合的平面则下列命题中为真命题的是A. 若∥,,则∥nB. 若,则C. 若,则∥D. 若∥,则参考答案：答案：D5. 给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C考点：选择结构．专题：图表型；分类讨论．分析：由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分x≤2，2＜x≤5，x＞5三种情况分别讨论，满足输入的x值与输出的y值相等的情况，即可得到答案．解答：解：当x≤2时，由x2=x得：x=0，1满足条件；当2＜x≤5时，由2x﹣3=x得：x=3，满足条件；当x＞5时，由=x得：x=±1，不满足条件，故这样的x值有3个．故选C．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，我们要先分析流程图（或伪代码）判断其功能，并将其转化为数学问题，建立数学模型后，用数学的方法解答即可得到答案．6. 实数，，，则三数由小到大排列是参考答案：10、设函数（，为自然对数的底数）。
江西省吉安市青原山中学2020年高三数学文期末试卷含解析
江西省吉安市青原山中学2020年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，则g[f（﹣8）]=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2参考答案：A【考点】函数的值．【分析】先求出f（﹣8）=﹣f（8）=﹣log39=﹣2，从而得到g[f（﹣8）]=g（﹣2）=f（﹣2）=﹣f （2），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，∴f（﹣8）=﹣f（8）=﹣log39=﹣2，∴g[f（﹣8）]=g（﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣log33=﹣1．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．2. 若复数（i是虚数单位），则z的共轭复数是（）A．B．C．D．参考答案：D详解：由题意，∴，故选D.3. 函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为( )A． B．4 C． D．参考答案：D【知识点】基本不等式在最值问题中的应用．E6∵x=﹣2时，y=log a1﹣1=﹣1，∴函数的图象恒过定点（﹣2，﹣1），∵点A在直线mx+ny+2=0上，∴﹣2m﹣n+2=0，即2m+n=2，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，．故选D．【思路点拨】根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．4. 已知函数的对称中心为，记函数的导函数为，的导函数为，则有.若函数，则可求出的值为（）A. B. C. D.参考答案：D略5. 若方程的根在区间内,,则的值为（）A.0B.1C.2D.3参考答案：C6. 已知函数的图象的相邻两对称中心的距离为，且，则函数是(A)偶函数且在x=0处取得最大值 (B)偶函数且在x=0处取得最小值(C)奇函数且在x=0处取得最大值 (D)奇函数且在x=0处取得最小值参考答案：A7. 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是A．[1，] B．[，]C．[，] D．[，]参考答案：B8. 已知数列的前项和则其通项公式（）A．B．C．D.参考答案：B略9. 已知双曲线（，）的一条渐近线的方程是，它的一个焦点落在抛物线的准线上，则双曲线的方程的（）A．B．C．D．参考答案：C双曲线的一条渐近线的方程是，可得b=a，它的一个焦点落在抛物线y2=16x的准线上，可得c=4，即16=a2+b2，a=2，b=2．所求的双曲线方程为：．故选：C．10. （文）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x年，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y=f(x)的图像大致为参考答案：D由题意可知绿化面积为，则函数，所以函数的图象为D，所以选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知O是△ABC内心，若=+，则cos∠BAC=．参考答案：【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【专题】平面向量及应用．【分析】过O 作OD∥AC，OE∥AB，因为O 是内心，得到四边形ADOE 是菱形，所以AD=AE=DO ，由平行四边形法则得到，设AB=5k ，过O 作OF∥BC 交AB 于F ，通过数据线相似得到BF ，OF 的长度，在三角形ODF 中，利用余弦定理求cos∠DFO．【解答】解：如图，过O 作OD∥AC，OE∥AB，因为O 是内心，所以四边形ADOE 是菱形，并且=λ=+，所以，又AD=AE ，所以，设AB=5k ，则AC=10k ，OD=2k ，过O 作OF∥BC 交AB 于F ，则∠4=∠5，又∠3=∠4，所以∠3=∠5，所以BF=OF ，又△ABC∽△DFO，所以BF ：AB=DO ：AC ，则DF=k ，所以BF=AB ﹣AD ﹣DF=5k ﹣2k ﹣k=2k ，所以OF=2k ，所以cos∠BAC=cos∠FDO==；故答案为：．【点评】本题考查了向量的平行四边形法则以及利用余弦定理求角；关键是适当作出辅助线，将问题转化为解三角形．属于难题．12. 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=1，则四面体A —EFB 的体积V等于。
江西省吉安市黄坑中学2020年高三数学文上学期期末试题含解析
江西省吉安市黄坑中学2020年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：，，其中，且，下面正确的运算公式是①；②；③2；④2.A.①②B.③④C.①④D.②③参考答案：B2. 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为），则该棱锥的体积是A． B． C． D．参考答案：A由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面边长为2，底面面积故此三棱锥的体积为，选A.3. 在同一个坐标系中画出函数，的部分图象，其中且，则下列所给图象中可能正确的是（）参考答案：D略4. 下列命题错误的是( )A命题“若则方程有实根”的逆否命题为：“若方程无实根则”B若为假命题，则均为假命题C “”是“”的充分不必要条件D对于命题“使得”，则“均有”参考答案：B5. 下列函数中与图像完全相同的是A. B. C. D.参考答案：D6. 对实数a和b，定义运算“?”：a?b＝设函数f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )A．(－∞，－2]∪B．(－∞，－2]∪C.∪D.∪参考答案：B略7. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的主视图时，以平面为投影面，则得到主视图可以为（☆ ）A. B. C. D.参考答案：A8. 圆x2+y2﹣2x﹣5=0与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是( )A．x+y﹣1=0 B．2x﹣y+1=0 C．x﹣2y+1=0 D．x﹣y+1=0参考答案：A【考点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定．【专题】计算题；函数思想；转化思想；直线与圆．【分析】求出圆的圆心坐标，利用两个圆的方程公共弦的性质，求出满足题意的直线方程即可．【解答】解：因为两圆的圆心坐标分别为（1，0），（﹣1，2），那么过两圆圆心的直线为：，即：x+y﹣1=0，与公共弦垂直且平分．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，两个圆的位置关系的应用，考查计算能力．9. 已知集合，，则A∩B=（）A．{1,3,4,5} B．{0,1,4,5} C．{0,1,3,4,5} D．{3,4,5}参考答案：C集合或，，，故选C.10. 已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（）A．2 B．1 C．D．参考答案：C考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱；结合图中数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱柱；且该三棱柱的底面是边长为1的等腰直角三角形1，高为1；所以，该三棱柱的体积为V=Sh=×1×1×1=．故选：C．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （2016秋?天津期中）设复数z满足（z+i）i=﹣3+4i（i为虚数单位），则z的模为．参考答案：【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；数系的扩充和复数．【分析】先将z化成代数形式，再根据复数模的计算公式计算，或者利用复数模的运算性质计算．【解答】解：（z+i）i=﹣3+4i，∴（z+i）i2=（﹣3+4i）i，即﹣z﹣i=﹣3i﹣4，∴z=4+2i，∴|z|==2，故答案为：2．【点评】此题是个基础题．考查复数的代数运算和模的计算，有效考查了学生应用知识分析解决问题的能力和计算能力．12. 已知，直线，，则直线的概率为．参考答案：由已知，若直线与直线垂直，则，使直线的，故直线的概率13. 函数的单调增区间为．参考答案：【考点】复合函数的单调性．【分析】根据正切函数单调性的性质进行求解即可．【解答】解：由kπ﹣＜x﹣＜kπ+，k∈Z，得kπ﹣＜x﹣＜kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为；故答案为：．14. 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．则曲线与曲线的交点个数为________个．参考答案：115. 已知ΔABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c，若a = 1,2cos C + c = 2b，则ΔABC的周长的取值范围是__________。
江西省吉安市第十二中学2020年高三数学文期末试题含解析
江西省吉安市第十二中学2020年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一条直线与一个平面所成的角等于，另一直线与这个平面所成的角是。
则这两条直线的位置关系（）A．必定相交 B．平行 C．必定异面 D．不可能平行参考答案：D2. 若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为( )A. 3B.C.D.参考答案：A3. 已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.参考答案：C略4. 如图，棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1，点A在平面内，平面ABCD与平面所成的二面角为30°，则顶点C1到平面的距离的最大值是（）A. B.C. D.参考答案：B直线CA在平面上移动，CA与平面所成线面角在变化的过程中，当线面角与二面角重叠时线面角最大。
5. 设曲线y=a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）在点（2，6）处的切线方程为y=3x，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【分析】求出导数，求得切线的斜率，由切线方程可得a﹣1=3，即可得到a的值．【解答】解：y=a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）的导数为：y′=a﹣，在点（2，6）处的切线斜率为a﹣1=3，解得a=4，故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用导数的几何意义，正确求导是解题的关键．6. 已知关于x的不等式的解集为，在关于x的不等式的解集为（）A． B．C． D．参考答案：A7. 已知命题，使为偶函数；命题：函数在上单调递减，则下列命题为真命题的是( )A. B. C. D.参考答案：D8. 函数的图象大致是参考答案：C9. 设等比数列{a n}的各项均为正数，且，若，则数列{b n}的前10项和为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】数列的求和．【分析】通过q6=4?q?q7可知q=，进而可知a n=，利用对数的运算性质、裂项可知b n=﹣2（﹣），并项相加即得结论．【解答】解：依题意，a2=q，a4=q3，a8=q7，则q6=4?q?q7，即q2=，又∵等比数列{a n}的各项均为正数，∴q=，∴a n=，∵=log2（a1a2a3…a n）==﹣∴b n=﹣=﹣2（﹣），故所求值为﹣2（1﹣+﹣+…+﹣）=﹣，故选：A．10. 已知向量=（2，2），=（4，1），点P在x轴上，则?取最小值时P点坐标是( )A．（﹣3，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（3，0）参考答案：D考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设出P的坐标，利用向量的数量积推出关系式，然后求解最小值，得到P点坐标．解答：解：设P（a，0），向量=（2，2），=（4，1），则?=（a﹣2，﹣2）?（a﹣4，﹣1）=a2﹣6a+10=（a﹣3）2+1≤1，当a=3时，取得最小值．所求P（3，0）．故选：D．点评：本题考查平面向量数量积的应用，二次函数的最值的求法，考查计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知a∈R,函数f（x）=e x+a?e﹣x的导函数y =f ′（x）是奇函数，若曲线y =f（x）的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为 .参考答案：【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程。
江西省吉安市桃溪中学2020年高三数学文上学期期末试题含解析
江西省吉安市桃溪中学2020年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行如右图所示的程序框图，则输出的=A．B．C． D．参考答案：D2. 直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是( )A．[﹣，0] B．C．[﹣] D．[﹣，0]参考答案：A考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用．专题：压轴题．分析：先求圆心坐标和半径，求出最大弦心距，利用圆心到直线的距离不大于最大弦心距，求出k的范围．解答：解：解法1：圆心的坐标为（3，2），且圆与x轴相切．当，弦心距最大，由点到直线距离公式得解得k∈；故选A．解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取+∞，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，故选A．点评：考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考查数形结合的运用．解法2是一种间接解法，选择题中常用．3. 若定义在R上的函数满足，则( )A、2B、1C、0D、参考答案：【知识点】函数的周期性；对数函数；B4，B7【答案解析】B解析：解：由题可知当x>0时函数为周期等于5的函数，所以，，所以B选项正确.【思路点拨】根据函数的周期性把变量导入可计算值的区间，再根据解析式进行计算. 4. 函数的值域是（）A． B． C． D．参考答案：A略5. 位同学每人从甲、乙、丙门课程中选修门，则恰有人选修课程甲的概率是A. B. C.D.参考答案：A6. 设函数f（x）=sin（﹣2x），x∈R，则f（x）是( )A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数参考答案：B考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据﹣α的诱导公式，化简得函数f（x）=sin（﹣2x）=cos2x，由此结合余弦函数的奇偶性和三角函数的周期公式进行计算，即可得到本题答案．解答：解：∵sin（﹣α）=cosα，∴函数f（x）=sin（﹣2x），即f（x）=cos2x可得f（x）是偶函数，最小正周期T==π故选：B点评：本题给出三角函数式，求函数的周期与奇偶性，着重考查了三角函数的图象与性质和三角函数的周期公式等知识，属于基础题．7. 已知e是自然对数的底数，函数e的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是A． B.C. D.参考答案：A由，所以函数的零点在区间上；而，可知函数的零点在区间上；则，又因为函数在上是单增的，得。
2020年江西省吉安市城上中学高三数学文测试题含解析
2020年江西省吉安市城上中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，，则A. B.C. D.参考答案：C【分析】化简集合，然后计算和，得到答案.【详解】集合，即,而，所以，故选C项.【点睛】本题考查集合的交集、并集运算，属于简单题.2. 已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2 D．ac（a﹣c）＞0参考答案：A【考点】不等关系与不等式．【分析】先研究a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0结构，再由不等式的运算性质结合题设中的条件对四个选项逐一验证得出正确选项即可【解答】解：∵a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，∴c＜0＜a由此知A选项ab＞ac正确，由于c（b﹣a）＞0知B选项不正确，由于b2可能为0，故C选项不正确，由于ac＜0，a﹣c＞0，故ac（a﹣c）＜0，所以D不正确故选A 【点评】本题考查不等式与不等关系，主要考查了不等式的性质及运算，解决本题的关键就是熟练掌握不等式的性质与运算，对基本概念及运算的灵活运用是快捷解题的保证．3. 函数的大致图象是参考答案：【知识点】函数图像得确定. B8C解析：因为f(0)= -3,所以排除选项A、B；又因为时，,所以排除选项D,故选C.【思路点拨】利用特殊值法排除三个选项得正确选项.4. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 16πB. 12πC.D.参考答案：C【分析】先还原几何体，再由圆柱和圆锥的体积公式求解即可.【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为圆柱挖去两个圆锥，圆柱的底面半径为2，高是4，圆锥的底面半径为2，高分别为1和3．则该几何体的体积.故选：C．【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及组合体的体积的求解，属于基础题.5. 下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）A. ①②③④B. ①②③④C. ①②③④D. ①②③④参考答案：B略6. 设函数的定义域为,若存在常数，使对于一切均成立，则称为“好运”函数。
2020届江西省吉安市高三上学期期末数学(文)试题(解析版)
2020届江西省吉安市高三上学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--，{}2|10B x x =∈-≤Z ，则()A A C B =I （ ）A ．{2,2,3}-B ．{2,1,0,1,2,3}--C ．{2,2}-D ．{1,0,1}-【答案】A【解析】首先求出集合B ，再根据()A AA B B =I 痧计算可得.【详解】解：{}2|10B x x =∈-≤Q Z {1,0,1}B ∴=-；又(){2,2,3}A AA B B ==-I 痧．故选：A ． 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 2．设复数z 满足331iz i-=-+，则z =（ ）A ．4-BC ．43i --D ．5【答案】D【解析】首先根据复数代数形式的除法运算计算出z ，再根据模的计算公式计算可得. 【详解】解：由复数运算得2233331143i i i z i i i--=-+=-+=--，则||5z ==．故选：D ． 【点睛】本题考查复数的运算及复数的模的计算，属于基础题. 3．若数列{}n a 的前n 项和1n nS n =+，则3a =（ ） A ．1 B ．34 C ．14D ．112【答案】D【解析】利用n a 与n S 的关系直接求解出3a 即可. 【详解】由题知3323214312a S S -==-=. 故选：D. 【点睛】本题考查了已知数列n S 求数列n a ，属于基础题.已知数列n S 求数列n a 时一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解.4．若12log 3a =，312b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，123c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A【解析】根据对数函数、指数函数的性质即可判断. 【详解】解：由对数函数、指数函数的性质可知12log 30<，31021⎛⎫< ⎪⎭<⎝，1231>，则a b c <<成立．故选：A ． 【点睛】本题考查对数函数、指数函数的性质的应用，属于基础题. 5．下列函数既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．2y x x =+ B ．21y x =-+ C ．2sin y x x=D ．22cos y x x π=-【答案】D【解析】根据函数的奇偶性及单调性一一判断即可. 【详解】解：易判断2y x x =+为非奇非偶函数，故A 选项不正确；2sin y x x =是奇函数，故C 选项不正确；21y x =-+是偶函数但在(0,)+∞单调递减；故B 选项不正确；对于函数22cos y x x π=-，易判断是偶函数，对其求导得22sin y x x π'=+，当0x π<≤时sin 0x ≥，故0y '>；当x π>时，sin 1x ≥-，故仍有0y '>，则0y '>对0x >恒成立，即满足在()0,∞+单调递增． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性及单调性，利用导数判断函数的单调性，属于基础题.6．若角α满足221sin 11cos 2αα+=+，则tan 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．0B ．CD ．3-【答案】B【解析】由题意可得2222sin 1cos αα+=+，结合平方关系可得2sin 0α=，从而得到k απ=，k ∈Z ，再根据诱导公式，即可得解. 【详解】解：由221sin 11cos 2αα+=+得2222sin 1cos αα+=+又22sin cos 1αα+=，代入解得2sin 0α=，即k απ=，k ∈Z ，则tan tan tan 333k πππαπ⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B ． 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用，属于基础题.7．在边长为3的等边ABC ∆中，点E 满足2AE EC =u u u r u u u r ，则BE BA ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．9 B ．152C ．6D ．274【答案】C【解析】首先根据平面向量基本定理把BE u u u r分解为BA u u u r 和BC uuu r ，再进行向量的数量积运算即可. 【详解】由2AE EC =u u u r u u u r ，得2()BE BA BC BE -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即1233BE BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，则212123333cos6063333BE BA BA BA BC ⋅=+⋅=⨯⨯+⨯⨯⨯︒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量基本定理，向量数量积的运算，属于基础题. 注意在向量分解时，往往要把向量分解到已知夹角的方向上.8．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的棱长为（ ）A ．3B ．32C ．33D ．6【答案】C【解析】根据三视图画出直观图，从而计算可得. 【详解】解：由三视图还原几何体，可得该几何体可看成如图所示的边长为3的正方体的四个顶点A 、B 、C 、D 构成的三棱锥，其最长的棱为BD ，且22233333BD =++=． 故选：C ．【点睛】本题考查三视图还原几何体，计算几何体中线段的长，属于基础题. 9．函数()sin 2sin 4f x x x =-在区间[0,]π的零点之和为（ ） A ．32π B ．2πC ．52πD ．3π【答案】C【解析】由()0f x =得sin 2sin 4sin 2(12cos 2)0x x x x -=-=，即sin 20x =或12cos20x -=．再分别计算出零点即可得解.【详解】解：由()0f x =得sin 2sin 4sin 2(12cos 2)0x x x x -=-=， 即sin 20x =或12cos20x -=． 又[0,]x π∈，则2[0,2]x π∈，当sin 20x =时，20x =或2x π=或22x π=，即0x =，2π，π满足； 当12cos20x -=时，即1cos 22x =，23x π=或523x π=，解得6x π=，56π满足，则()f x 在区间[0,]π的零点共有5个．它们之和为5506262πππππ++++=．故选：C ． 【点睛】本题考查三角函数的性质，函数的零点问题，属于中档题.10．若圆226:80M x y x y +-+=上至少有3个点到直线:1(3)l y k x -=-的距离为52，则k 的取值范围是（ ）A ．[⋃B ．[C ．(,)-∞⋃+∞D ．(,)-∞⋃+∞【答案】C【解析】首先将圆配成标准式，由题意则圆心到直线的距离不超过52，利用点到线的距离公式得到不等式，解得. 【详解】解：圆M 的标准方程为：222(3)(4)5x y -++=，圆心()3,4M-，半径为5，要满足题意，由圆的几何性质得圆心()3,4M-到直线():13l y k x -=-的距离不超过52，52≤，解得23k ≥，即k ≥k ≤ 故选：C ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系求参数的取值范围，属于基础题.11．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，tan 2B =(,)m a b b c =++u r ，(,)n c b a =-r ．若//m n u r r ，则ac=（ ）A．3B．2CD【答案】A【解析】由//m n u r r得()()()a b a c b b c +⋅=-⋅+，结合余弦定理求出角C ，再根据两角和的正切公式求出()tan B C +，从而得到tan A ，再由正弦定理计算可得. 【详解】解：由//m n u r r得()()()a b a c b b c +⋅=-⋅+，即222c a b ab =++， 又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-可得1cos 2C =-，因(0,)C π∈，故23C π=．则()tan tan tan 11tan tan B C B C B C ++===--⋅tan tan()1A B C ∴=-+=，又(0,)A π∈，4A π∴=，由正弦定理sin sin a cA C=得sin sin a A c C === 故选：A ． 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，两角和的正切公式的应用，属于中档题. 12．椭圆C 的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c (0)c >，过2F 与x 轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A 点，点A 关于坐标原点的对称点为B ，且1120AF B ∠=︒，1F AB S ∆=则椭圆方程为（ ）A ．22143x y +=B ．2213x y +=C ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】C【解析】根据1F AB S ∆=1120AF B ∠=︒，过2F 与x 轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A 点，列方程求解椭圆方程基本量a ，b ，c 即可. 【详解】由题意设椭圆C 的方程：22221x y a b+=(0)a b >>，连结2BF ，由椭圆的对称性易得四边形12AF BF 为平行四边形，由1120AF B ∠=︒得2160F AF ∠=︒， 又212AF F F ⊥，设21AF BF m ==，则123F F m =，12AF m =， 又111211233223F AB S BF F F m m ∆=⋅⋅=⨯=， 解得23m =， 又由12232c F F m ===，122323a AF AF m =+==，解得1c =，3a =222b a c =-=则椭圆C 的方程为22132x y +=.故选：C. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程求解及椭圆的简单几何性质，属于一般题. 在求解椭圆标准方程时，关键是求解基本量a ，b ，c .二、填空题13．若实数x ，y 满足约束条件322020,0x y x y x y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则2z x y =+的最大值为_________________． 【答案】185. 【解析】首先画出约束条件表示的平面区域，数形结合即可得解. 【详解】解：约束条件表示的平面区域如图所示，32202x y x y -+=⎧⎨+=⎩解得2585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即28,55B ⎛⎫ ⎪⎝⎭图形是由原点O ，(0,1)A ，28,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，(2,0)C 围成的四边形区域（包括边界），由线性规划可得当直线2t x y =+平移到B 点时，目标函数2z x y =+有最大值， 则max 28182555z =+⨯= 故答案为：185．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，关键是根据线性约束条件画出可行域，体现数形结合思想，属于中档题.14．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点为(),0F c ，过(),0F c 向一条渐近线作垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，当OAF ∆的面积为24c 时，则该双曲线的离心率为____________． 2.【解析】由题意取双曲线的一条渐近线:0l bx ay -=，利用点到线的距离公式求出||FA ，由勾股定理可得||OA ，根据面积公式得到a 、c 的关系式，计算可得.【详解】解：由题意取双曲线的一条渐近线:0l bx ay -=，则||FA b ==，由勾股定理得||OA a ===，21124OAF S ab c ∆==，解得2222ab c a b ==+，即a b =，c =，则离心率ce a==【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.15．已知数列{}n a 是等差数列，84a =，且2a ，4a ，5a 成等比数列，则11a =______． 【答案】4或10.【解析】设数列{}n a 的公差为d ，由等比中项的概念求出0d =或15a d =-，再结合84a =即可求出通项公式，即可得解.【详解】解：设数列{}n a 的公差为d ，由2a ，4a ，5a 成等比数列得()()()211134a d a d a d +=+⨯+，解得2150d a d +=，则0d =或15a d =-．又84a =，当0d =时，4n a =，则114a =；当15a d =-时，由8174a a d =+=，解得2d =且110a =-，则212n a n =-，即1110a =．综上得满足条件的114a =或10故答案为：4或10 【点睛】本题考查等差、等比数列的性质，属于基础题.16．如图，三棱锥P ABC -的体积为24，又90PBC ABC ∠=∠=︒，3BC =，4AB =，PB =，且PBA ∠为锐角，则PA 与平面ABC 所成的角为_____________________．【答案】2π. 【解析】首先由线面垂直的判定定理得到BC ⊥平面PAB ，由线面垂直的性质得到BC PA ⊥，由111sin 332PAB V S BC PB AB PBA BC ∆=⋅=⋅⋅⋅∠⋅计算出sin PBA ∠，再根据同角三角函数的基本关系得到cos PBA ∠，在PAB ∆中，由余弦定理求出PA 的值，即可得到PA AB ⊥，从而得到PA ⊥平面ABC ，即可得解. 【详解】解：因90PBC ABC ∠=∠=︒，即BC AB ⊥，BC PB ⊥， 又AB Ì平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，PB AB B ⋂= 所以BC ⊥平面PAB ，又3BC =，4AB =，410PB =13PC =，5AC =，由三棱锥的体111sin 81024332PAB V S BC PB AB PBA BC PBA ∆=⋅=⋅⋅⋅∠⋅=∠=，解得310sin PBA ∠=，又PBA ∠为锐角，所以10cos PBA ∠=， 在PAB ∆中，由余弦定理得2101601624410144PA =+-⨯⨯=，即12PA =，则222PB PA AB =+，故PA AB ⊥，由BC ⊥平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，BC PA ∴⊥，BC ⊂平面ABC ，AB Ì平面ABC ，AB BC B ⋂=，故PA ⊥平面ABC ，故PA 与平面ABC 所成的角为2π． 故答案为：2π 【点睛】本题考查线面垂直的判定及性质定理的应用，锥体的体积计算，属于中档题.三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，121n n a S +-=． （I ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若3log n n b a =，数列2221n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：12n T <．【答案】（I ）13-=n n a ；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（I ）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式；（Ⅱ）由（I ）可得n b 的通项公式，从而得到22211(21)(21)n n b b n n +=⋅-⋅+，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】解：（I ）当1n =时，由11a =，2121a a -=得23a =；当2n ≥时，121n n a S --=，两式相减得()1120n n n n a a S S +----=， 即13n n a a +=(2)n ≥，又2133a a ==， 故13n n a a +=恒成立，则数列{}n a 是公比为3的等比数列，可得13-=n n a ． （Ⅱ）由（I ）得313log log 31n n n b a n -===-，则22211111(21)(21)22121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，则111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭． 1021n >+Q11112212n ⎛⎫∴-< ⎪+⎝⎭ 故12n T <【点睛】本题考查等比数列的通项公式的计算，裂项相消法求和，属于中档题.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，11AC BC AA ===，AC BC ⊥，且D ，E ，F ，1D 分别为棱AB ，BC ，AC ，11A B 的中点．（I ）证明：直线1A F 与1B E 共面；（Ⅱ）证明：平面11A B EF ⊥平面11CC D D ；并试写出D 到平面11A B EF 的距离（不必写出计算过程）．【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（I ）由中位线的性质可得//EF AB ，再由棱柱的性质可得11//A B AB ，根据平行线的传递性可得11//EF A B ，从而得到四点共面，即可得证；（Ⅱ）首先可得CD AB ⊥，再由线面垂直的性质得到1CC AB ⊥，从而得到AB ⊥平面11CC D D ，再根据//EF AB ，即可得到EF ⊥平面11CC D D ，从而得证；设CD EF O =I ，则1OD =平面11A B EF I 平面11CC D D ，过D 作1DH OD ⊥于H ，可得DH 即为D 到平面11A B EF 的距离，再在三角形中利用勾股定理及相似三角形的性质计算可得. 【详解】解：（I ）证明：E Q ，F 分别是BC ，AC 的中点，//EF AB ∴， 由棱柱性质易得11//A B AB ，11//EF A B ∴，E ∴，F ，1A ，1B 四点共面，即直线1A F 与1B E 共面．（Ⅱ）同（I ）易证四边形11CC D D 为平行四边形，又1AC BC ==，D 为AB 中点，则CD AB ⊥，又1CC ⊥Q 平面ABC ，AB Ì平面ABC ，1CC AB ∴⊥，1CD CC C =Q I ，CD ⊂平面11CC D D ，1CC ⊂平面11CC D DAB ∴⊥平面11CC D D ，又//EF AB Q ，EF ∴⊥平面11CC D D ，又EF ⊂Q 平面11A B EF ，∴平面11A B EF ⊥平面11CC D D 得证．D 到平面11A B EF 的距离为13．（解答）如图，设CD EF O =I，则1OD =平面11A B EF I 平面11CC D D ，过D 作1DH OD ⊥于H ，可得DH 即为D 到平面11A B EF 的距离．在1Rt CDD ∆中，1AC BC ==Q ，AC BC ⊥，2AB ∴=，2CD =，则2OD =，又111DD AA ==，则在1Rt ODD ∆中，2211132184OD OD DD =+=+=故1113OD DD DH OD ⋅==，即D 到平面11A B EF 的距离为13．【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，线线平行的证明，点面距的计算，属于中档题. 19．函数()2cos sin()sin 2f x x x x θ=⋅++的图象关于直线2x θ=对称，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（I ）求θ的值；（Ⅱ）判断函数()f x 的最小正周期；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数()f x 的最值． 【答案】（I ）3πθ=；（Ⅱ）见解析.【解析】（I ）由函数()f x 的图象关于直线2x θ=对称，得(0)()f f θ=即可得到方程解得.（Ⅱ）由（I ）得()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据周期公式及正弦函数的性质计算可得. 【详解】解：（I ）由函数()f x 的图象关于直线2x θ=对称，得(0)()f f θ=，即2sin 2cos sin 2sin 2θθθθ=+，又sin 22sin cos θθθ=⋅则()22sin 2coscos 10θθθ⋅+-=，又0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0θ>，cos 0θ>，由22cos cos 10θθ+-=解得cos 1θ=-（舍去）或1cos 2θ=，由0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得3πθ=；此时1()2cos sin sin 22cos sin cos sin 2322f x x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅++=⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31sin 2cos 22cos 2222222262x x x x x π⎫⎛⎫=++=++=++⎪ ⎪⎭⎝⎭，又52362f x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭526x ππ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()f x =恒成立，故3πθ=满足条件．（Ⅱ）由（I ）得3()3sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 则()f x 的最小正周期22T ππ==； 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 则1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 当7266x ππ+=，即2x π=时，函数()f x 有最小值0；当262x ππ+=，即6x π=，函数()f x 有最大值332． 【点睛】本题考查三角函数的性质，三角恒等变换的化简问题，属于中档题.20．已知抛物线2:4C y x =，()1,2A ，(),0B m ，其中0m >，过B 的直线l 交抛物线C 与M ，N ．（I ）当5m =，且直线l 垂直于x 轴时，求证：AMN ∆为直角三角形；（Ⅱ）若OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，当点P 在直线l 上时，是否存在实数m ，使得AM AN ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）存在，6m =.【解析】（I ）由题意:5l x =，代入24y x =中，求出M ，N 的坐标，计算出AM u u u u r ，AN u u u r ，AM AN ⋅u u u u r u u u r即可得证；（Ⅱ）由题意可得四边形OAPB 为平行四边形，则2BP OA k k ==，设直线:2() l y x m=-，211,4yM y⎛⎫⎪⎝⎭，222,4yN y⎛⎫⎪⎝⎭联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，要使AM AN⊥则0AM AN⋅=uuu r uuu r得到方程计算可得.【详解】（I）证明：由题意:5l x=，代入24y x=中解得25y=±，不妨取(5,25)M，(5,25)N-，则(4,252)AM=-u u u u r，(4,252)AN=--u u u r，所以(4,252)(4,252)16(204)0AM AN⋅=-⋅--=--=u u u u r u u u r，AM AN∴⊥，即AMN∆为直角三角形得证．（Ⅱ）由题意可得四边形OAPB为平行四边形，则2BP OAk k==，设直线:2()l y x m=-，211,4yM y⎛⎫⎪⎝⎭，222,4yN y⎛⎫⎪⎝⎭联立22()4y x my x=-⎧⎨=⎩得2240y y m--=，由题意，判别式4160m∆=+>，122y y+=，124y y m=-，要使AM AN⊥则0AM AN⋅=uuu r uuu r，又2111,24yAM y⎛⎫=--⎪⎝⎭u u u u r，2221,24yAN y⎛⎫=--⎪⎝⎭u u u r，即()()2212121122044y yy y⎛⎫⎛⎫--+--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭化简，得()()1222160y y+++=，即()12122200y y y y+++=，代入解得6m=．故6m=时，有AM AN⊥【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，向量垂直的坐标表示，根与系数的关系的应用，属于中档题.21．已知函数()(sin 1)x f x ax x e =--⋅()a ∈R ，()f x '是其导函数． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在0x =处的切线方程；（Ⅱ）若1a ≥，证明：()f x '在区间()0,π内至多有1个零点． 【答案】（Ⅰ）10x y ++=；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）求出函数的导函数，计算出()0f '与(0)f 利用点斜式求出直线方程；（Ⅱ）由()(sin cos 1)xf x ax x x a e '=--+-⋅，设()sin cos 1g x ax x x a =--+-，则()0f x '=，即()0g x =，对()g x 求导，研究其单调性及零点情况，即可得证. 【详解】解：（Ⅰ）当1a =时，()(sin cos )xf x x x x e '=--⋅，则()01f '=-，又(0)1f =-，则()f x 在0x =处的切线方程为：1y x +=-， 即10x y ++=．（Ⅱ）()(sin cos 1)xf x ax x x a e '=--+-⋅Q ，又0x e >，设()sin cos 1g x ax x x a =--+-，()0f x '∴=，()0g x ∴=()cos sin 4g x a x x x a π⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭，因(0,)x π∈(4x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 又1a ≥，故()0g x '≥对(0,)x π∈恒成立，即()g x 在区间()0,π单调递增； 又(0)2g a =-，()(1)0g a ππ=+>；故当12a ≤≤时，(0)20g a =-≤，此时()f x '在区间()0,π内恰好有1个零点． 当2a >时，(0)20g a =->，此时()f x '在区间()0,π内没有零点； 综上结论得证． 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、零点，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程21x y ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2(53cos 2)8ρθ-=.（1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值.【答案】（1）240x y --=，2214x y +=；（2. 【解析】（1）直线l 方程消去参数即可求得直线l 的普通方程，曲线C 的方程根据直角坐标与极坐标的转化关系即可求得曲线C 的直角坐标方程；（2）根据点到直线的距离公式，然后代入曲线的参数方程形式，即可求出答案. 【详解】（1）由直线l 的参数方程消参数t ，有222(1)x y =+=++， 即l 的普通方程为240x y --=， 由2(53cos 2)8ρθ-=， 得()222253cos sin 8ρρθθ--=，则()22225338x yxy +-+=，化简得2214x y +=；（2）由（1）可设C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），则C 上的点到l距离d =整理得4d πα⎛⎫-+ ⎪=≥故当4πα=-时，即C 上的点2⎫-⎪⎪⎭到直线l 距离最小，.【点睛】本题主要考查了直线的参数方程，曲线的极坐标方程，椭圆的参数方程，属于一般题. 23．已知a ，b ，c 为正数，且满足1a b c ++=.证明： （1）13ab bc ac ++≤； （2）11110a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥ 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）根据分析法，结合不等式关系中222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥，即可证明不等式成立；（2）根据题中条件，直接构造基本不等式进行证明即可. 【详解】（1）1a b c ++=Q ，2222()2221a b c a b c ab bc ac ∴++=+++++=，又由均值不等式，得222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥，则222222222222a b b c a c a b c ab bc ac +++++=++≥++，3()1ab bc ac ∴++≤，即13ab bc ac ++≤得证； （2）a Q ，b ，0c >，1a b c ++=，1a ∴，1b ，10c>，则1111a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4b a c a b c a b a c c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又由均值不等式得2b a a b +≥=， 同理可得2c a a c+≥，2b cc b +≥，则1114610a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当13a b c ===时等号成立，得证. 【点睛】本题考查了不等式的证明，基本不等式的应用，属于中档题. 这是解析版。
2020届第一学期高三期末教学质量检测(文数)套题带答案解析
2020届第一学期高三期末教学质量检测数 学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1. 若(1)2z i i -=，则z = A. 1i -- B. 1i -+ C. 1i - D. 1i + 2. 已知集合{}2|30A x x x =-<，{}0,1,2,3B =，则A B I 等于A. {0,1,2,3}B. {1,2,3}C. {1,2}D. {0,3}3.已知向量,a b r r 满足||1,||2,a b ==r r且a r 与b r的夹角为60o ，则||a b +=r rA.7 B. 3 C. 5 D. 22 4. 已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5633a a a -=+，则7S =A ．42B ．21C ．7D ．35. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图(90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生)，则下列结论中不一定正确的是A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C ．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10％6. 已知(1,2)P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线上,则该双曲线的离心率为A. 10B. 2C. 5D. 37. 函数31()(1)x x e f x x e +=-(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为8. 为了纪念中华人民共和国成立70周年，某单位计划印制纪念图A . O y x O y xB . O y xC OyxD .图2 案.为了测算纪念图案的面积，如图1，作一个面积约为212cm 的正六边形将其包含在内，并向正六边形内随机投掷300个点，已知有124个点落在纪念图案部分，据此可以估计纪念图案的面积约为A. 23cmB. 24cmC. 25cmD. 26cm 9. 已知函数1()sin()23f x x π=-，把函数()f x 的图象上每个点向右平移3π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一条对称轴方程为A. 34x π= B. x π= C. 2x π= D. 73x π=10. 设α是给定的平面，,A B 是不在α内的任意两点.有下列四个命题：①在α内存在直线与直线AB 异面； ②在α内存在直线与直线AB 相交； ③存在过直线AB 的平面与α垂直； ④存在过直线AB 的平面与α平行. 其中，一定正确的是A. ①②③B. ①③C. ①④D. ③④11. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的左焦点为F ，直线y =与椭圆C 相交于,A B 两点，且AFBF ⊥,则椭圆C 的离心率为A ．12B 1CD 1 12. 已知函数()()f x x R ∈满足()(2)f x f x =--，函数11()()x xg x a e e --=-，若方程()()f xg x =有2019个解，记为(1,2,...,2019)i x i =，则20191ii x==∑A.2019B.4038C.2020D.4040二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上．13. 已知函数10,()02019,x x e f x x x +<⎧=⎨≥-⎩，满足(1)()0f f a -+=，则a 的值为______.14. 已知2sin()45πα+=，则cos()4πα-= . 15. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足cos cos 2cos bA aB c B +=，b =则ABC ∆外接圆的面积为______.16. 如图2，六氟化硫)(6SF 的分子是一个正八面体结构，其中6个氟原子)(F 恰好在正八面体的顶点上，而硫原子)(S 恰好是正八面体的中心.若把该分子放入一个球内，则这个球的体积 与六氟化硫分子体积之比的最小值为______.三、解答题: 本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：本大题共5小题，每小题12分，共60分. 17. (本小题满分12分) 已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2312a a +=，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. (本小题满分12分) 某农科所对冬季昼夜温差（最高温度与最低温度的差）大小与某反季节大豆新品种一天内发芽数之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月6日每天昼夜最高、最低的温度 (如图3)，以及实验室每天每100颗种子中的发芽数情况(如图4)，得到如下资料：图3 图4（1）请画出发芽数y 与温差x 的散点图；（2）若建立发芽数y 与温差x 之间的线性回归模型，请用相关系数说明建立模型的合理性；（3）①求出发芽数y 与温差x 之间的回归方程ˆˆˆya bx =+(系数精确到0.01)；②若12月7日的昼夜温差为8℃，通过建立的y 关于x 的回归方程，估计该实验室12月7日当天100颗种子的发芽数.参考数据：66611175,1622051i i i i i i i x y x y ======∑∑∑，662222116 4.2,6 6.5iii i xx yy ==-≈-∑∑.参考公式：相关系数：222211ni in ni i i i x y nx yr x nx y ny ==-⋅=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑（当||0.75r >时，具有较强的相关关系）.回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距计算公式：1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yb ay bx xnx ==-⋅==--∑∑.19. (本小题满分12分)如图5，,AD BC 是等腰梯形CDEF 的两条高，2AD AE CD ===，点M 是线段AE 的中点，将该等腰梯形沿着两条高,AD BC 折叠成如图6所示的四棱锥P ABCD -(,E F 重合，记为点P )．（1）求证：BM DP ⊥；（2）求点M 到平面BDP 距离h .图5 图620．(本小题满分12分)已知函数ax e x f x 2)(-=)(R a ∈． （1）若)(x f 的极值为0，求实数a 的值；（2）若x x x x f 2ln 2)(-≥对于)4,2(∈x 恒成立，求实数a 的取值范围．21. (本小题满分12分)已知抛物线2:4C y x =，在x 轴正半轴上任意选定一点(,0)(0)M m m >,过点M 作与x 轴垂直的直线交C 于,P Q 两点.（1）设1m =，证明：抛物线2:4C y x =在点,P Q 处的切线方程的交点N 与点M 关于原点O 对称；（2）通过解答（1），猜想求过抛物线2:2(0)C y px p =>上一点00(,)G x y （不为原点）的切线方程的一种做法，并加以证明.（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为224650x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为32sin()42πρθ+=-． （1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 在C 上，点Q 在l 上，求||PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标.23. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()12f x x x =+--.（1）解不等式1)(≤x f ；（2）记函数)(x f 的最大值为s ，(,,0)a b c s a b c >，证明：3a b c ≥.数学（文科）参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCABBDDCCBDA二、填空题 13. 201814.2515. 4π16.π三、解答题17. 解：(1)因为{}n a 是正数等比数列，且11a =，23+12a a =，所以1211112a a q a q =⎧⎨+=⎩，即2120q q +-= …………2分 分解得(4)(3)0q q +-=，又因为0n a >，所以3q =，…………5分 所以数列{}n a 的通项公式为13n n a -=； …………6分(2) 因为{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列， 所以122)1(1-=⨯-+=-n n a b n n ，…………7分所以121321n n n b n a n -=-+=+-，…………8分所以12n n T b b b =+++L)123()33()13(110-++++++=-n n Λ …………9分 )1231()333(110-+++++++=-n n ΛΛ…………10分2)121(3131nn n -++--= …………11分 21232-+=n n…………12分 18. 解：(1) 散点图如图所示……4分(2)6166222211751626205164660.9520.754.2 6.5 4.266i ii i i i i x y x yr x x y y ===-⋅-⨯⨯=≈=≈>⨯⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑， ……6分 因为y 与x 的相关系数近似为0.9520.75>，说明y 与x 的线性相关程度较强，从而建立发芽数y 与温差x 之间的线性回归模型是合理的； …………7分 (3) 由最小二乘估计公式，得61622221751626205162666ˆ 1.474.2 4.26i ii ii x y x ybxx ==-⋅-⨯⨯=≈=≈-∑∑ …………9分 16275ˆˆ= 1.478.6366ay bx =--⨯≈ …………10分所以ˆ 1.478.63yx =+…………11分当8x =时，ˆ 1.4788.6320y=⨯+≈(颗) 所以，估计该实验室12月7日当天种子的发芽数为20颗. ……12分说明：系数ˆb在[1.45,1.49]，$a 在[8.38,8.88]范围内均给满分.（注意：学生有可能直接用原始数据计算）19. 解：(1) 因为AD EF ⊥，所以,AD AP AD AB ⊥⊥， 又AP AB A =I ，,平面⊂AP AB ABP所以AD ABP ⊥平面 …………2分 因为平面⊂BM ABP ，所以AD BM ⊥；…………3分由已知得，2AB AP BP ===，所以ABP ∆是等边三角形，又因为点M 是AP 的中点，所以BM AP ⊥； …………4分因为,,AD BM AP BM AD AP A ⊥⊥=I ，,平面⊂AD AP ADP 所以BM ADP ⊥平面…………5分因为平面⊂DP ADP ，所以BM DP ⊥. …………6分 (2) 取BP 中点N ，连结DN ，因为AD ABP ⊥平面，2AB AP AD ===， 所以22DP BD ==，所以DN BP ⊥ 所以，在Rt DPN ∆中，22817DN DP PN =-=-=，…………7分所以1127722DBP S BP DN ∆=⨯⨯=⨯⨯=， …………8分因为AD ABP ⊥平面，所以13D BMP BMP V AD S -∆=⨯⨯，…………9分因为M BDP D BMP V V --=，所以1133BDP BMP h S AD S ∆∆⨯⨯=⨯⨯，…………10分又2211222BMP ABP S S AB ∆====…………11分所以BMP BDP AD S h S ∆∆⨯===，即点M 到平面BDP的距离为7. …………12分 20.解：（1）由题得'()2xf x e a =- …………1分 ①当0a ≤时，'()0f x >恒成立∴()f x 在(+)-∞∞，上单调递增，没有极值. …………2分 ②当0a >时，由'()=0f x ，得ln 2x a = …………3分 当(,ln 2)x a ∈-∞时，'()0f x <，()f x 在(,ln 2)a -∞上单调递减当(ln 2,)x a ∈+∞时，'()0f x >，()f x 在(ln 2,)a +∞上单调递增 …………4分 ∴()f x 在ln 2x a =时取到极小值，∵()f x 的极值为0 ∴(ln 2)0f a = …………5分 ∴ln 22ln 20aea a -=即 2(1ln 2)0a a -= ∴2ea =…………6分 （2）由题得22ln 2xe ax x x x -≥-对于(2,4)x ∈恒成立∴222ln xe a x x ≤+-对于(2,4)x ∈恒成立 …………7分 令()22ln xe H x x x =+-，原问题转化为min 2()a H x ≤，(2,4)x ∈ …………8分 又22'()x x e x e x H x x--=，令()2x x G x e x e x =--，则'()20xG x e x =->在(2,4)x ∈上恒成立 ∴()G x 在(24)，上单调递增 …………9分 ∴222()(2)2440G x G e e e >=--=->∴'()0H x > ∴()22ln xe H x x x=+-在(2,4)上单调递增 …………10分∴2()(2)22ln 22eH x H ≥=+- …………11分 ∴2ln 214e a ≤-+ …………12分 21. （1）解法一：证明：当1=m 时，点(1,0)M ，)2,1(P ，)2,1(-Q ， …………1分 设在点P 处的切线的斜率为k （0≠k ），联立⎩⎨⎧=+-=x y x k y 42)1(2得0242=+--k y y k ， …………2分 由0)2(441=+-•-=∆k k，得1=k …………3分 故在点P 处的切线方程为1+=x y ， …………4分同理，求得在点Q 的切线方程为1--=x y ， …………5分 由11y x y x =+⎧⎨=--⎩得交点)0,1(-N ，所以交点N 与点M 关于原点O 对称 …………6分解法二：1=m 时，点(1,0)M ，)2,1(P ，)2,1(-Q ， …………1分 由x y 42=得x y 2±=，故xy 1='或xy 1-=' …………3分所以在点P 处的切线方程为12-=-x y 即1+=x y …………4分 在点Q 处的切线方程为)1(2--=+x y 即1--=x y …………5分由⎩⎨⎧--=+=11x y x y 得交点)0,1(-N ，所以交点N 与M 关于原点O 对称 …………6分（2）解法一：过点000(,)(0)G x y x ≠,作与x 轴垂直的直线交x 轴于点)0,(0x M ，作点M 关于原点对称的点)0,(0x M -'，猜想切线方程为直线'GM ：)(200x x x y y +=，即00()y y p x x =+，其中2002y px =…8分联立002()2y y p x x y px =+⎧⎨=⎩得200102y y y px -+=…………10分 22200001402y px y y ∆=-⨯=-=Q…………11分所以00()y y p x x =+与抛物线px y 22=相切. …………12分解法二：过点000(,)(0)G x y x ≠,作与x 轴垂直的直线交x 轴于点)0,(0x M ，作点M 关于原点对称的点)0,(0x M -'，猜想切线方程为直线'GM ：)(2000x x x y y +=，即00()y y p x x =+，其中202y px =…8分由px y 22= 得x p y 2±=，xp y 212•='∴或'y = …………9分所以在点00(,)G x y 处的切线斜率为01212x p k •=或02212x p k •-=故点00(,)G x y 处的切线方程为)(212000x x x p y y -•=-或00)y y x x -=- …10分 由022px y =0y0y =- 所以在点00(,)G x y 处切线方程为000()py y x x y -=- …………11分 整理得2000y y y px px -=-，即00()y y p x x =+. …………12分22. 解：（1）圆C 的方程可化为22(2)(3)8x y -+-=，圆心为(2,3)C ,半径为∴圆C的参数方程为23x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数） …………3分直线l 的极坐标方程可化为sin cos 3ρθρθ+=- cos sin xyρθρθ=⎧⎨=⎩Q ∴直线l 的直角坐标方程为30x y ++= …………5分 （2）法一：设曲线C 上的点P ,3)αα+， …………6分点P 到直线l ：30x y ++=的距离：)24d πα===++ …8分当54πα=时，min 1)+2PQ =-= …………9分 此时点P 的坐标为(0,1)，所以min PQ =P 的坐标为(0,1). …………10分 法二：曲线C 是以(2,3)C为圆心，半径为的圆， …………6分圆心(2,3)C 到直线l ：30x y ++=的距离d ==， …………7分所以min PQ == …………8分 此时直线PQ 经过圆心(2,3)C ，且与直线l ：30x y ++=垂直，1PQ l k k ⋅=-，所以1PQ k =，PQ 所在直线方程为32y x -=-，+1y x =即 …………9分联立直线和圆的方程22+14650y x x y x y =⎧⎨+--+=⎩ 解得01x y =⎧⎨=⎩ 或 45x y =⎧⎨=⎩ 当PQ 取得最小值时，点P 的坐标为(0,1)所以min PQ =P 的坐标为(0,1). …………10分23. 解：(1)3,1()21,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩， ………2分①当1x ≤-时，31-≤恒成立，所以1x ≤-； ………3分②当12x -<<时，211x -≤即1x ≤，所以11x -<≤； ………4分 ③当2x ≥时，31≤显然不成立，所以不合题意；综上所述，不等式的解集为(,1]-∞. ………5分 (2) 由(1)知max ()3f x s ==3+=………6分由基本不等式可得a cbc ca b bc a ab 222++≥+++++6= ………9分当且仅当1a b c ===3+≥ ………10分。
20-20学年江西省吉安市高三上学期期末数学复习卷 (有解析)
20-20学年江西省吉安市高三上学期期末数学复习卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−3<x <1}，B ={x|x ≤−1}则A ∩(C R B)=( )A. [−1,1)B. (−1,1)C. (−1,1]D. [−l,1)2. 设复数z =1−3i 2+i，则|z|=( )A. √3B. √2C. 2D. 13. 若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +13，则a 6=( )A. 64B. −64C. 32D. −324. 设a =log 213，b =(12)3，c =312，则( )A. c <b <aB. a <b <cC. c <a <bD. b <a <c5. 下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的是( )A. y =(12)−xB. y =sinx 2C. y =x|x|D. y =ln|x|6. 已知角α满足sinα+cosα=13，则sin 2(π4−α)=( )A. 118B. 718C. 1718D. 497. 设等边△ABC 边长为6，若BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. −6√21 B. 6√21 C. −18 D. 188. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为( )A. 4B. 2√3C. 2√2D. 2√59. 函数f(x)=2sin x −2sin xcosx 在[0,2π]的零点个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 510.若圆x2+y2−4x−4y−10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2√2，则直线l的斜率的取值范围是()A. [2−√3,1]B. [√33,√3]C. [2−√3,2+√3]D. [0,+∞)11.△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p⃗=(sinB,a+c)，q⃗=(sinC−sinA,b−a).若∃λ∈R，使p⃗=λq⃗，则角C的大小为()A. π6B. 2π3C. π3D. π212.已知椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为()A. x22+y2=1 B. x23+y22=1 C. x24+y23=1 D. x25+y24=1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x,y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0，则z=3x−y的最小值等于______．14.设F1，F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|=√6|OP|，则C的离心率为___________．15.已知等差数列｛a n｝的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于______．16.如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，则PC与平面PAB所成角的正切值为_____________三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=3a n−3．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=log3a2n−1，数列{1b n⋅b n+1}的前n项和为T n，求证：13≤T n<12．18. 在如图所示的多面体ABCDE 中，已知AB//DE ，AB ⊥AD ，△ACD 是正三角形，AD =DE =2AB =2，BC =√5，F 是CD 的中点． (1)求证：AF//平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE ； (3)求D 到平面BCE 的距离．19. 已知函数f(x)=2sin(ωx −π6)，(ω>0,x ∈R)的最小正周期为2π．(1)求f(0)的值；(2)若cosθ=−35，θ∈(π2,π)，求f(θ+π3).20. 已知抛物线C ：y 2=2px(P >0)的焦点到直线l ：y =2x +2的距离为4√55．(1)求抛物线C 的方程；(2)若O 为坐标原点，A(1,−2)，是否存在平行于OA 的直线l′，使得直线l′与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l′的距离等于√55？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由．21. 已知函数f(x)=(x −a −1)e x−1，a >0．(1)当a =1时，求y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程； (2)设函数g(x)=f(x)+alnx −x ，求g(x)的极值点．22. 在直角坐标系xOy 中直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=2sinθ． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长度．23.已知a，b都是大于零的实数．(1)证明：a2b +b2a≥a+b；(2)若a>b，证明：a2+ab3+1a(a−b)>4．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查集合的混合运算，属于简单题． 解：C R B ={x|x >−1}，A ∩(C R B)= (−1,1)， 故选B ．2.答案：B解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 解：∵z =1−3i 2+i =(1−3i)(2−i)(2+i)(2−i)=−1−7i 5=−15−75i ，∴|z|=√(−15)2+(−75)2=√2． 故选B ．3.答案：C解析：解：数列{a n }的前n 项和S n =23a n +13①， 则S n−1=23a n−1+13②， ①−②得：a n =23a n −23a n−1， 所以：a nan−1=2(常数)，当n =1时，s 1=23a 1+13=a 1， 解得：a 1=1所以数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列． 则：a n =1⋅2n−1=2n−1． 所以：a 6=26−1=32． 故选：C ．直接利用递推关系式求出数列的通项公式．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．4.答案：B解析：解：a=log213<0，b=(12)3∈(0,1)，c=312>1，∴c>b>a．故选：B．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：D解析：解：对于A，y=(12)−x是非奇非偶函数，是单调增函数，所以A不正确；对于B，y=sinx2，函数是偶函数，在定义域范围内不是单调函数，所以B不正确；对于C，y=x|x|是奇函数，所以C不正确；对于D，y=ln|x|是偶函数，在(0,+∞)单调递增函数，所以D正确；故选：D．判断函数的奇偶性以及函数的单调性推出结果即可．本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断，基本知识的考查．6.答案：C解析：本题考查同角三角关系式，考查两角和与差的三角函数，考查三角函数的化简与求值，属基础题．因为，所以，，，代入求值即可．解：因为，所以，，=12(1+89)=1718． 故选C ．7.答案：C解析：解：∵等边△ABC 边长为6，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12×(13×36−36−23×6×6×12)=−18． 故选：C ．根据题意得出BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，运用数量积求解即可． 本题考查了平面向量的运算，数量积的求解，属于中档题，关键是分解向量．8.答案：C解析：本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的棱长的求法及应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型．首先把三视图转换为几何体，进一步求出结果． 解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：最长的棱长为AB =√22+22=2√2． 故选：C ．9.答案：B解析：本题考查求三角函数的零点个数，属于基础题．化简f(x)=2sinx(1−cosx)=0，得sinx=0或cosx=1，分别求解即可得出结果．解：令f(x)=2sinx−sin2x=2sinx−2sinxcosx=2sinx(1−cosx)=0，得sinx=0或cosx=1．∵x∈[0,2π]，由sinx=0可得x=0，π或2π；由cosx=1可得x=0或2π，∴x=0，π或2π，∴f(x)在[0,2π]上的零点个数为3．故选：B．10.答案：C解析：本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．求出圆心为C(2,2)、半径r=3√2，根据圆的性质可得：当圆上至少有三个不同的点到直线l的距离为2√2时，圆心到直线的距离应小于或等于√2，由此利用点到直线的距离公式和直线的斜率公式加以计算，即可得到直线l的倾斜角的取值范围．解：圆x2+y2−4x−4y−10=0化简为标准方程，可得(x−2)2+(y−2)2=18，∴圆心坐标为C(2,2)，半径r=3√2，∵在圆上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2√2，∴圆心到直线的距离d≤3√2−2√2=√2，由点到直线的距离公式，得22≤√2，整理得a2+b2+4ab⩽0，∵b≠0∴(−ab )2−4(−ab)+1≤0，解之得−ab ∈[2−√3,2+√3]∴直线l:ax +by =0的斜率k =−ab ∈[2−√3,2+√3]． 故选C ．11.答案：C解析：解：∵∃λ使得p⃗ =λq ⃗ ，∴p ⃗ //q ⃗ ． ∴(a +c)(sinC −sinA)−(b −a)sinB =0．由正弦定理可得：(a +c)(c −a)−(b −a)b =0，化为c 2−a 2−b 2+ab =0， 由余弦定理可得：cosC =a 2+b 2−c 22ab=12．∵C ∈(0,π)，∴C =π3． 故选：C ．由于∃λ使得p⃗ =λq ⃗ ，可得p ⃗ //q ⃗ .于是(a +c)(sinC −sinA)−(b −a)sinB =0.利用正弦定理可得：(a +c)(c −a)−(b −a)b =0，再利用余弦定理即可得出． 本题考查了向量共线定理、正弦定理和余弦定理，属于中档题．12.答案：B解析：本题考查了椭圆的性质，属中档题．根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a =√3，b =√2，可得椭圆的方程． 解：∵|AF 2|=2|BF 2|，∴|AB|=3|BF 2|， 又|AB|=|BF 1|，∴|BF 1|=3|BF 2|， 又|BF 1|+|BF 2|=2a ，∴|BF 2|=a2， ∴|AF 2|=|AF 1|=a ，|BF 1|=32a ， 在Rt △AF 2O 中，cos∠AF 2O =1a ，在△BF 1F 2中，由余弦定理可得cos∠BF 2F 1=4+(a 2)2−(32a)22×2×a2，根据cos∠AF 2O +cos∠BF 2F 1=0，可得1a+4−2a 22a=0，解得a 2=3，∴a =√3．b 2=a 2−c 2=3−1=2．所以椭圆C 的方程为：x 23+y 22=1．故选B ． 13.答案：−72解析：作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)， 所以z =3x −y 的最小值z min =3⋅(−1)−12=−72．故答案为：−72． 14.答案：√3解析：本题考查双曲线的离心率的求法，属于中档题．注意运用双曲线的交点到渐近线的距离为b ，再利用余弦定理求b ，c ，a 的关系．解：由已知得|PF 2|=b,|OF 2|=c ，则|OP|=a ．在中，，在△PF 1F 2中，=b 2+4c 2−(√6a)22b·2c =bc ， 化简得b 2+4c 2−6a 2=4b 2，则c2=3a2，故e=√3．故答案为√3．15.答案：−6解析：此题考查了等差数列的通项公式，以及等比数列的性质，熟练掌握通项公式及性质是解本题的关键．由公差d的值为2，根据等差数列的通项公式分别表示出a3和a4，由a1，a3，a4成等比数列，利用等比数列的性质列出关于首项a1的值，再由公差d的值，利用等差数列的通项公式即可求出a2的值．解：由等差数列{a n}的公差为2，得到a3=a1+4，a4=a1+6，又a1，a3，a4成等比数列，∴(a1+4)2=a1⋅(a1+6)，解得：a1=−8，则a2=a1+d=−8+2=−6．故答案为−6．16.答案：√22解析：本题考查线面角的求解及线面垂直的判定，由已知可得BC⊥平面PAB，则∠CPB为PC与平面PAB 所成角，求出它的正切即可求解．解：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB，所以∠CPB为PC与平面PAB所成角，又PA=AB=2，PA⊥AB，所以PB =2√2， 所以． 故答案为√22． 17.答案：解：(Ⅰ)2S n =3a n −3，可得2a 1=2S 1=3a 1−3，解得a 1=3，n ≥2时，2S n−1=3a n−1−3，相减可得2a n =2S n −2S n−1=3a n −3−3a n−1+3，化为a n =3a n−1，则an a n−1=3，故数列{a n }为公比为3的等比数列， 经验证，n =1也符合，可得a n =3⋅3n−1=3n ；故a n =3n(Ⅱ)证明：b n =log 3a 2n−1=log 332n−1=2n −1，可得1b n b n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，即前n 项和为T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12−12(2n+1)，由{T n }为递增数列，可得T n ≥T 1=13，且T n <12，可得13≤T n <12．解析：本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式的运用，考查数列的裂项相消求和和数列的单调性，考查运算能力，属于中档题．(Ⅰ)求得首项，n ≥2时，a n =S n −S n−1，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求； (Ⅱ)求得b n =log 332n−1=2n −1，可得1bn b n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，由数列的裂项相消求和和数列的单调性，即可得证． 18.答案：证明：(Ⅰ)取CE 的中点M ，连接BM ，MF ，∵F为CD的中点，∴MF−//12ED，又AB−//̲12ED，∴MF−//AB，四边形ABMF为平行四边形，∴MB//AF，∵MF⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，∴AF//平面BCE．(Ⅱ)∵△ACD是正三角形，∴AC=AD=CD=2，在△ABC中，AB=1，AC=2，BC=√5，∴AB2+AC2=BC2，故AB⊥AC，∴DE⊥AC，又DE⊥AD，AC∩AD=A∴DE⊥平面ACD∴DE⊥AF，又AF⊥CD，由(Ⅰ)得BM//AF∴DE⊥BM，BM⊥CD，DE∩CD=D∴BM⊥平面CDE，BM⊂平面BCE∴平面BCE⊥平面CDE解：(Ⅲ)连接DM，由于DE=DC，∴DM⊥CE，由(Ⅱ)知，平面BCE⊥平面CDE，∴DM⊥平面BCE，∴DM为D到平面BCE的距离，DM=√2，∴D到平面BCE的距离为√2．解析：(Ⅰ)取CE的中点M，连接BM，MF，推导出四边形ABMF为平行四边形，从而MB//AF，由此能证明AF//平面BCE．(Ⅱ)推导出AB⊥AC，DE⊥AC，DE⊥AD，从而DE⊥平面ACD，进而DE⊥AF，又AF⊥CD，DE⊥BM，从而BM⊥平面CDE，由此能证明平面BCE⊥平面CDE．(Ⅲ)连接DM，则DM⊥CE，从而DM⊥平面BCE，由此能求出D到平面BCE的距离．本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：(1)∵函数f(x)=2sin(ωx−π6)，(ω>0,x∈R)的最小正周期为2π，∴T =2πω=2π，得ω=1 ，∴f(x)=2sin(x −π6)，∴f(0)=2sin(−π6)=−2×12=−1， (2)∵cosθ=−35，θ∈(π2,π)，∴sinθ=√1−cos 2θ=45， ∴f(θ+π3)=2sin(θ+π3−π6)=2sin(θ+π6)=2sinθcos π6+2cosθsin π6 ，=2×45×√32+2(−35)×12=4√3−35．解析：(1)根据函数的周期性求出ω，然后即可求f(0)的值；(2)根据条件cosθ=−35，θ∈(π2,π)，求出sinθ，然后利用公式求f(θ+π3).本题主要考查三角函数的图象和性质，利用函数的周期性先求出ω=1是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和和差的正弦公式． 20.答案：解：(1)抛物线的焦点为(P 2,0)，d =√5=4√55，得p =2，p =−6(舍去)；∴抛物线C 的方程为y 2=4x …(4分) (2)假设存在符合题意的直线l′其方程为y =−2x +t由{y =−2x +t y 2=4x得y 2+2y −2t =0 ∵直线l′与抛物线C 有公共点，∴△=4+8t ≥0解得t ≥−12此外，由直线OA 与l′的距离d 1=√55可得√5=√5 解得t =±12因为−1∉[12,+∞),1∈[−12,+∞)所以符合题意的直线l′存在，其方程为2x +y −1=0…(12分)解析：(1)抛物线的焦点为(P 2,0)，焦点到直线l ：y =2x +2的距离，求解p ；得到抛物线方程．(2)假设存在符合题意的直线l′其方程为y =−2x +t ，由{y =−2x +t y 2=4x得y 2+2y −2t =0，然后转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质，抛物线方程的求法，考查转化思想以及计算能力． 21.答案：解：(1)当a =1时，f(x)=(x −2)e x−1，∴f ′(x)=(x −1)e x−1，∴k =f ′(2)=e ，∵f(2)=0，∴y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y =e(x −2)；(2)g(x)=f(x)+alnx −x=(x −a −1)e x−1+alnx −x ，x >0，∴g ′(x)=(x −a)e x−1+a x −1，x >0，由g ′(x)=(x −a)e x−1−x−a x =(x −a)(e x−1−1x )=0，可得x =1或x =a ，当0<a <1时，可得g(x)在(0,a)单调递增，在(a,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，可得g(x)在x =a 处取得极大值，在x =1处取得极小值；当a =1处，g(x)单调递增，无极值；当a >1时，可得g(x)在(0,1)单调递增，在(1,a)单调递减，在(a,+∞)单调递增，可得g(x)在x =1处取得极大值，在x =a 处取得极小值．解析：本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的极值，属于中档题．(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；(2)求得g(x)的解析式，求得导数，令g ′(x)=0，解方程可得x =1，x =a ，讨论0<a <1，a =1，a >1，可得单调性，即可得到极值点．22.答案：解：(1)直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t (t 为参数)，转换为直角坐标方程为x −y +1=0．曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=2sinθ，整理得(ρcosθ)2=2ρsinθ，转换为直角坐标方程为x 2=2y ．(2)把直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t ，代入x 2=2y ，得到：(√22t −1)2=2×√22t ， 整理得12t 2−2√2t +1=0，即：t 2−4√2t +2=0，故t 1+t 2=4√2，t 1t 2=2，所以：|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√6．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：证明：(1)∵a ，b 都是大于零的实数，∴a 2b +b ⩾2a,b 2a +a ⩾2b ， 两式相加得a 2b +b 2a ≥a +b ，当且仅当a =b 时取等号． ∴a 2b +b 2a ≥a +b ．(2)由(1)知a 2⩾b(a +b −b 2a )=ab +b 2(a−b)a ∵a >b ，∴a 2+a b 3+1a(a−b)⩾ab +b 2(a−b)a +ab 3+1a(a−b) =(ab +ab 3)+[b 2(a−b)a+1a(a−b)]⩾2a b +2b a >4，当且仅当a =2，b =1时等号成立， ∴a >b 时，a 2+a b 3+1a(a−b)>4．解析：(1)根据a ，b 都是大于零的实数，利用基本不等式得到a 2b +b ⩾2a,b 2a +a ⩾2b ，两式相加即可证明a 2b +b 2a≥a +b 成立； (2)由(1)知a 2⩾b(a +b −b 2a )=ab +b 2(a−b)a ，然后结合a >b ，利用基本不等式即可证明a 2+a b 3+1a(a−b)>4成立．本题考查了利用基本不等式和利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．。