以网格为载体的图形平移与旋转
北师大版八年级下册数学 第三章 图形的平移与旋转 简单的图案设计
探究新知
方法总结 图案形成过程的分析方法
解这类题首先要仔细观察图形,找出构成该图形的基本 图案,这些基本图案一般都会重复多次出现,然后结合几 种图形变换的概念和性质看这些基本图案通过怎样的 变换才能最终得到所给图形.
巩固练习
变式训练
如图,甲、乙、丙、丁四个图中的图2是由图1经过轴对称、平移、 旋转这三种运动变换而得到的,请分别分析出它们是如何运动变 换的.图中每个方格的单位长度为1.
探究新知
方法总结
设计图案时要注意两点: 一是要把设计的图案当作一个整体,即整体构思; 二是作图的过程中可以把图案中几个相邻的基本图案当作 一个新的基本图案,要明确图案设计及作图的要求,图案作 完后,一定要检验图形是否符合题意.
巩固练习
变式训练
下列四个图形中,若以其中一部分作为基本图案,无论用旋转
还是平移都不能得到的图形是(
)
C
探究新知
知识点 4
图案设计欣赏
运动美
探究新知
运动美
探究新知
探究新知
★★★
★★★
★★★★★ ★★★★★
★★★★★★★★★★★
★★★★★★★★★
★★★★★★★
★★★★★
★★★
组合美
★
连接中考
（2020·枣庄）如图的四个三角形中，不能 由△ABC经过旋转或平移得到的是 ( B )
正方形组成.
课堂检测
能力提升题
1.为了美化环境,需在一块正方形的空地上分别种植四种不同的 花草.现要将这块空地分割成4块全等图形,且分割后整个图形成 中心对称图形.现给出一种画法(如图①),请按上述要求,再画出3 种不同的画法.
课堂检测 解:答案不唯一.如图所示:
利用平移、旋转设计图案_课件
正四边形和正六边形不 能
因为 90°×3 + 120°×1 ≠360°
或 90°×2 + 120°×2
<归纳 > 用边长相等的两种正多边形平面镶嵌的条件 是 这两种正多边形内角度数的整数倍的和等于 360°
探究5：只用一种形状、大小相同的任意三角形能镶嵌成一个 平面图案吗？
<分析> 能，如图
我们试着用前面的方法研 究<分析> 如图
因为任意三角形都有 ∠所1以+有∠2+∠3=180° 2任(∠意1三+∠角2形+∠能3镶)=嵌36成0平° 面图案 。
平面镶嵌的条件:拼接在同一个顶点处的多边形的 内角之和等于360°
方格纸上图形的旋转变换进 阶
O
A
B
C
提高练习
1.观察方格纸中图形的运动，并与同伴进行交流 。 ⑴图形A如何运动得到图形B？ ⑵图形B如何运动得到图形C？ ⑶你还有什么办法将图形A运动得到图形C？
A
B
C
提高练习
请你用图（1）的四块拼板，在图（2）中评出图（3），并 说一说你的操作过程。
拓展练习
O
O
A
’
B
你能通过卡片的平移和旋转将图2“还原”为图1 吗请？尝试用一定的方式将“还原”的过程记录下来，与同伴交 流用。卡片按你的思考过程摆一摆，看一看“还原”到原来的图 片了吗？
精品 课件
小学数学五年级下册 5 图形的运动（三）
利用平移、旋转设计图案
人教版
特级教师优秀课件精选
教学目标
通过在方格纸上平移、旋转的方式用七巧板拼组鱼图，加 深学生对已经学过的平移、旋转等知识的理解，发展空间 观念。 通过看一看、做一做、说一说等活动，观察、再操作、后 交流反馈。在交流反馈中加深对图形变换的基本特征和方 法的理解。 在活动中欣赏图形拼组所创造出的美，进一步感受平移、 旋转在生活中的应用，体会数学的价值。
一道中考网格作图题多样性解法的探究与思考
一道中考网格作图题多样性解法的探究与思考作者：许柱周斌来源：《中学数学杂志(初中版)》2022年第06期【摘要】义务教育课程标准（2022年版）的变化之一，增加了学业质量标准和考试命题建议，明确提出了素养立意的命题原则.文章通过对2022年江苏省宿迁市中考第27题网格作图题多样性解法的探究，谈谈对以核心素养为导向的考试命题的思考.【关键词】网格作图；多样性；数学素养网格是义务教育阶段研究“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”的工具.教学从能用直尺或三角板在网格中画平行线、垂线，到借助网格探究平移、旋转和轴对称等图形变换特征以及研究函数的图象和性质，让学生积累丰富的活动经验，掌握相应的基本技能.为此，以网格作图为背景的考试命题成为了近几年的新方向.网格作图的要求是：只使用无刻度直尺，利用格点来作图.本文通过对2022年江苏省宿迁市中考第27题网格作图题多样性解法的探究，谈谈对以核心素养为导向的考试命题的思考.1 试题呈现（2022年江苏省宿迁市第27题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D，M均为格点.【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图1的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB，CD，相交于点P，并给出部分说理过程.请你补充完整：解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE.在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAC=12，在Rt△CDE中，，所以tan∠BAC=tan∠DCE，所以∠BAC=∠DCE.因为∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠ACP+∠BAC=90°，所以∠APC=90°，即AB⊥CD.【拓展应用】（1）如图2是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM，写出作法，并给出证明；（2）如图3是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P，使AM2=AP·AB，写出作法，不用证明.2 解法探究史宁中教授指出，“数学的结论往往是‘看’出来的.”［1］“看”需要凭借良好的直觉，而直觉需要活动经验的积累.网格作图是通过直接找格点或通过格点找间接的点，即借助无刻度的直尺作直线（线段）或直线（线段）与直线（线段）的交点来完成，故写作法时，要体现出网格中所取的格点.2.1 正确作法赏析对于【操作探究】：tan∠DCE=DECE=12.对于【拓展应用】（1）：方法一构造垂线弗莱登塔尔指出，“学习数学唯一正确的方法就是‘再创造’.”“再创造”是将“操作探究”中所隐藏的新知识、新技能及数学方法等内容，通过阅读去发现或创造出来.“拓展应用”中“在BM 上找出一点P，使PM=AM”，所用到的知识是垂径定理（过点A作半径OM的垂线）；方法是从“操作探究”中的体验获得的“用无刻度的直尺画两条互相垂直的线段”知识技能迁移得出较为直接的（1）问思路1.思路1：如图4，在网格中取格点C，连接AC并延长交圆O于点P（也可取格点G，连接AG或CG交圆O于点P）.方法二构造平行线网格中线段之间存在特殊的位置关系（平行和垂直），故基于原有的知识经验，过由若干个相邻方格组成的矩形的对角线所作的直线（线段），与按相同的方式作出的另一条直线（线段）互为平行线，再利用两直线平行，同位角相等以及同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进而得出（1）问思路2.思路2：如图5，在网格中取格点C，连接BC并延长交圆O于点P（也可取网格右下角格点H，连接HB或HC并延长交圆O于点P）.方法三构造垂直平分线网格中亦可以作出特殊的四边形（菱形、正方形），因此，可以利用特殊四边形的对角线互相垂直平分，推得角相等，进而得出（1）问的思路3，4，5等.思路3：如图6，在网格中取格点F，E，Q，连接MQ，作射线EF交MQ于点N，作射线ON交圆O于点P.思路4：如图7，在网格中取格点N，C，E，连接EN，MB相交于点Q，連接CQ并延长交圆O于点P.思路5：如图8，在网格中取格点G，N，C，E，F，连接EF，GN相交于点D，作射线OD交圆O于点P.方法四构造相似三角形题目条件中所给的点A，B，M均为格点，因此△ABM为格点三角形.因为AB为直径，则△ABM是边长之比为1∶2∶5的格点直角三角形.为此，我们可以构造两直角边比为1∶2的直角三角形得出（1）问中的思路6，7，8，9，10等.思路6：如图9，在网格中取格点E，F，连接EF并延长交圆O于点P.思路7：如图10，在网格中取格点C，连接AC并延长交圆O于点P（类似思路1，证明方法不同）.思路8：如图11，在网格中取格点F，C，连接CF交圆O于点P（也可以取D，E，连接CD，CE，DE，DF，EF或延长可得点P），这里通过两点控制变量，有6种方法得出点P.思路9：如图12，在网格中取格点D，C，连接CD交圆O于点P.思路10：（间接法）如图13，在网格中取格点E，N，C，D，连接BC交圆O于点Q，连接QO并延长交圆O于点P.方法五利用三角函数《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）对于三角函数知识要求为，利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值.由于学生提前了解高中相关三角函数的知识，故得出（1）中的思路11，12等.思路11：如图14，在网格中取格点E，F，C，连接MC，EF并延长交于点H，连接OH 交圆O于点P.简证：利用高中三角函数知識，求出∠AOM与∠MOP正切值都等于43，得出点P就是所求的点.思路12：如图15，在网格中取格点N，E，连接EN交MO于点Q，连接AQ并延长交圆O于点P.简证：这种作法需要利用高中知识作图，但证明既可以利用高中知识，也可以利用初中知识.由图直接得出tan∠AEN=43，用高中三角函数诱导公式，可得tan∠AOM=tan（∠EOM－∠EOA）=43.故∠AOM=∠AEN.由“同底同侧顶角相等的两个三角形，四点共圆”，得A，E，O，Q四点共圆，再利用“圆的内接四边形对角互补”，得出∠AQO=∠AEO=90°，根据垂径定理，可证明PM=AM.若利用初中知识证明，须以点O为坐标原点，以OE所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设E（－3，0）、N（1，3）、M（－1，3）、A（－3，1），可先求出直线yEN=34x+94，yOM=－3x，得点Q（－35，95），根据点A（－3，1），可求得yAQ=13x+2，所以kOM·kAQ=－1，所以OM⊥AQ，根据垂径定理可得PM=AM.对于【拓展应用】（2）：思路1：如图16，在网格中取格点D，连接MD交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（简证：连接OA，类比操作探究，可证OA⊥MD，求得∠AMP=∠ABM.）思路2：如图17，连接MO并延长交圆O于点E，在网格中取格点F，连接EF并延长交圆O于点Q，连接MQ交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（类似还可以在网格中取格点G，连接EG交圆O于点Q，连接MQ交AB于点P.）思路3：如图18，在网格中取格点D，连接BD并延长交圆O于点E，连接EM交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（可证格点△AMB≌△ADB，推出∠EBA=∠MBA，证得∠AME=∠MBA.）思路4：如图19，在网格中取格点D，连接MD交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（简证：证得两个阴影三角形相似，得∠AMD=∠MBA，类似（2）问思路1，证法不同.）思路5：如图20，在网格中取格点C，N，连接CN交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.也可以在网格中取格点C1，C2，C3，N1，连接任意两点（或延长）交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.2.2 典型错误剖析错解1：审题不清.拓展应用题（1）误作PM与PB相等.如图21，在网格中取格点C，连接OC并延长交圆O于点P.错解2：作近似点.如图22，在网格中取格点C，连接OC交圆O于点P.通过计算不难得出，点P是非常接近所求作的点.使用三角函数诱导公式可以求得tan∠AOM=3－131+3×13=43，tan∠MOC=tan（∠MON+∠EOC）=tan∠MON+tan∠EOC1－tan∠MON·tan∠EOC=13+341－13×34=139.因为tan∠AOM≠tan∠MOC，所以PM≠AM.错解3：增加网格.如图23，由于条件中所给定的网格不能够完成6×2矩形的构造，在自行添加的网格中取格点C，连接BC交圆O于点P（简证：连接AC，根据OM∥BC，得∠MOA=∠CBA）.尽管点P就是所求的点，但在自行添加网格的条件下找出的格点是“不守规矩”的作法.因题目所限定的作图工具为无刻度的直尺，故可以通过原图的格点构造网格外新的点，作出点P（如图24，利用格点M，C，E，D，作射线MC，ED）.3 素养表现课标（2022年版）总目标是：通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界［2］（以下简称“三会”）.2022年宿迁中考第27题考查学生在操作探究的基础上，借助网格中的格点，用无刻度的直尺作图，着重考查以下五个素养：（1）几何直观.拓展应用（1），在BM上找出一点P，使PM=AM，由于题目属于网格作图，只有利用网格中的格点才可以作出满足条件的图形.根据题目结论可知，若PM等于AM，必定有OM⊥AP.利用直尺可以直观的找到符合OM⊥AP且经过格点的点（思路1中的C，G）.试题的命制也充分考虑评价公平性，为防止学生答题过程中的无意识操作，利用“投机取巧”也可以做对，故题目要求写出作法，并给出证明.提出明确的答题指令，杜绝“无意识的操作”也能做对的现象，变为“有目标的思考”并表达.（2）模型观念.模型观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识.从“操作探究”到“拓展应用”，由指定任务出发，通过阅读理解、自主探究、解决问题，获得新知识、新方法.最后，利用“操作探究”所获得的数学模型来解决“拓展应用”这一类问题，模型观念重点考查学生体会和理解数学及数学应用的能力.（3）推理能力.一方面，中考试题命制要有区分度，在“操作探究”环节，因tan∠BAC=tan∠DCE且tan∠BAC=BCAC=12，故推理得出在Rt△CDE中，tan∠DCE=DECE=12.另一方面，网格作图和尺规作图类似，多运用逆向逻辑推理.如拓展应用（1），先把结论PM=AM看作条件，推理得出应该有的结论（OM⊥AP），进而利用“操作探究”中的思想、方法找出BM上符合条件的点P.（4）运算能力.运算能力是“三会”中学会用数学的思维思考现实世界的重要表现形式之一.操作探究环节，借助格点的特性，构造直角三角形，通过观察，计算相关三角函数值得出结论.特别是在拓展应用环节1，考生利用原有的知识经验（思路12），通过构造平面直角坐标系，计算证明格点P就是所求作的格点，尽管繁琐，但考查了学生用代数的方法推出几何结论的能力.拓展应用环节2，学生通过严谨的计算，若满足AM2=AP·AB，则AP=22.先算出数值，后定位置，故直接连接小正方形的对角线，确定点P位置.思路11：如图14，在网格中取格点E，F，C，连接MC，EF并延长交于点H，连接OH 交圆O于点P.简证：利用高中三角函数知识，求出∠AOM与∠MOP正切值都等于43，得出点P就是所求的点.思路12：如图15，在网格中取格点N，E，连接EN交MO于点Q，连接AQ并延长交圆O于点P.简证：这种作法需要利用高中知识作图，但证明既可以利用高中知识，也可以利用初中知识.由图直接得出tan∠AEN=43，用高中三角函数诱导公式，可得tan∠AOM=tan（∠EOM－∠EOA）=43.故∠AOM=∠AEN.由“同底同侧顶角相等的两个三角形，四点共圆”，得A，E，O，Q四点共圆，再利用“圆的内接四边形对角互补”，得出∠AQO=∠AEO=90°，根据垂径定理，可证明PM=AM.若利用初中知识证明，须以点O为坐标原点，以OE所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设E（－3，0）、N（1，3）、M（－1，3）、A（－3，1），可先求出直线yEN=34x+94，yOM=－3x，得点Q（－35，95），根据点A（－3，1），可求得yAQ=13x+2，所以kOM·kAQ=－1，所以OM⊥AQ，根据垂径定理可得PM=AM.对于【拓展应用】（2）：思路1：如图16，在网格中取格点D，连接MD交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（简证：连接OA，类比操作探究，可证OA⊥MD，求得∠AMP=∠ABM.）思路2：如图17，连接MO并延长交圆O于点E，在网格中取格点F，连接EF并延长交圆O于点Q，连接MQ交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（类似还可以在网格中取格點G，连接EG交圆O于点Q，连接MQ交AB于点P.）思路3：如图18，在网格中取格点D，连接BD并延长交圆O于点E，连接EM交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（可证格点△AMB≌△ADB，推出∠EBA=∠MBA，证得∠AME=∠MBA.）思路4：如图19，在网格中取格点D，连接MD交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.（简证：证得两个阴影三角形相似，得∠AMD=∠MBA，类似（2）问思路1，证法不同.）思路5：如图20，在网格中取格点C，N，连接CN交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.也可以在网格中取格点C1，C2，C3，N1，连接任意两点（或延长）交AB于点P，则满足AM2=AP·AB.2.2 典型错误剖析错解1：审题不清.拓展应用题（1）误作PM与PB相等.如图21，在网格中取格点C，连接OC并延长交圆O于点P.错解2：作近似点.如图22，在网格中取格点C，连接OC交圆O于点P.通过计算不难得出，点P是非常接近所求作的点.使用三角函数诱导公式可以求得tan∠AOM=3－131+3×13=43，tan∠MOC=tan（∠MON+∠EOC）=tan∠MON+tan∠EOC1－tan∠MON·tan∠EOC=13+341－13×34=139.因为tan∠AOM≠tan∠MOC，所以PM≠AM.错解3：增加网格.如图23，由于条件中所给定的网格不能够完成6×2矩形的构造，在自行添加的网格中取格点C，连接BC交圆O于点P（简证：连接AC，根据OM∥BC，得∠MOA=∠CBA）.尽管点P就是所求的点，但在自行添加网格的条件下找出的格点是“不守规矩”的作法.因题目所限定的作图工具为无刻度的直尺，故可以通过原图的格点构造网格外新的点，作出点P（如图24，利用格点M，C，E，D，作射线MC，ED）.3 素养表现课标（2022年版）总目标是：通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界［2］（以下简称“三会”）.2022年宿迁中考第27题考查学生在操作探究的基础上，借助网格中的格点，用无刻度的直尺作图，着重考查以下五个素养：（1）几何直观.拓展应用（1），在BM上找出一点P，使PM=AM，由于题目属于网格作图，只有利用网格中的格点才可以作出满足条件的图形.根据题目结论可知，若PM等于AM，必定有OM⊥AP.利用直尺可以直观的找到符合OM⊥AP且经过格点的点（思路1中的C，G）.试题的命制也充分考虑评价公平性，为防止学生答题过程中的无意识操作，利用“投机取巧”也可以做对，故题目要求写出作法，并给出证明.提出明确的答题指令，杜绝“无意识的操作”也能做对的现象，变为“有目标的思考”并表达.（2）模型观念.模型观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识.从“操作探究”到“拓展应用”，由指定任务出发，通过阅读理解、自主探究、解决问题，获得新知识、新方法.最后，利用“操作探究”所获得的数学模型来解决“拓展应用”这一类问题，模型观念重点考查学生体会和理解数学及数学应用的能力.（3）推理能力.一方面，中考试题命制要有区分度，在“操作探究”环节，因tan∠BAC=tan∠DCE且tan∠BAC=BCAC=12，故推理得出在Rt△CDE中，tan∠DCE=DECE=12.另一方面，网格作图和尺规作图类似，多运用逆向逻辑推理.如拓展应用（1），先把结论PM=AM看作条件，推理得出应该有的结论（OM⊥AP），进而利用“操作探究”中的思想、方法找出BM上符合条件的点P.（4）运算能力.运算能力是“三会”中学会用数学的思维思考现实世界的重要表现形式之一.操作探究环节，借助格点的特性，构造直角三角形，通过观察，计算相关三角函数值得出结论.特别是在拓展应用环节1，考生利用原有的知识经验（思路12），通过构造平面直角坐标系，计算证明格点P就是所求作的格点，尽管繁琐，但考查了学生用代数的方法推出几何结论的能力.拓展应用环节2，学生通过严谨的计算，若满足AM2=AP·AB，则AP=22.先算出数值，后定位置，故直接连接小正方形的对角线，确定点P位置.。
方格图在简单图形的平移中的应用
方格图在《简单图形的平移》中的应用邯郸市邯郸县明珠实验小学郝淑敏在小学数学教学中，教师可以使用方格图这个数学工具对学生空间思维能力进行训练。
在《新课程标准》中也明确指出“能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。
”下面我结合冀教版三年级下册5-7页《简单图形的平移》这节课来谈一谈方格图的使用价值及策略。
一、使用方格图，充分动手操作，加强直观感知，培养空间观念出示教材第5页情境图1、师：把一个长方形纸片A放在方格纸上，向右平移到B的位置，平移了几个方格？学生拿出方格纸自己操作，小组交流平移的过程、方法结果。
师：现在，把图形移回原来的位置。
说一说现在图形向什么方向平移，移动了几个方格。
生：图形向左平移了5个方格。
师：你是怎样判断的？生1：刚才向右平移了5个方格，现在平移到原来的位置，方向相反，向左平移，距离是一样。
生2：按长方形左边的一条边数的。
2、师：把纸片从A处向下平移到C的位置，平移了几个格？学生独立完成，教师巡视，重点了解学生平移的方向和位置是否正确。
指名学生投影演示。
然后再将图形平移回到A，再说出平移的方向和格数。
三年级儿童对空间的想象还需要依附一定直观物体的支持，方格图正为学生认识平移现象提供了实物支持。
这两次活动是由学生自己动手操作实物，实际操作更能加深学生对平移特征的直观体验。
二、基于对方格图的操作经验，发挥丰富相像，训练空间思维能力师：同学们，请你你们认真想一想，如果把纸片A向左平移到D的位置，平移了几个方格？让学生先说一说。
师：同学们自己动手移一移，你想的和做的一样吗？这次活动学生首先进行猜想，依据方格图实物模型抽象出平移的特征；然后动手操作、比较结果，在主观上逐步形成有关平移的空间表象，空间思维能力得到训练。
努力去创造性地使用各种数学工具为教学服务，为学生各方面数学能力的培养创造良好的条件，是我在今后教学中的追求。
CAD中利用偏移网格进行图形平移与旋转
CAD中利用偏移网格进行图形平移与旋转在CAD设计中，偏移网格是一种非常实用的工具，可以用来实现图形的平移与旋转。
它能够使得设计师在制作复杂的图形时更加高效和准确，下面就让我们一起来学习一下如何在CAD中运用偏移网格进行图形的平移与旋转吧。
首先，打开CAD软件并新建一个文件。
选择适合你工作的单位和比例，然后绘制一个基本图形，可以是一个简单的矩形或者任何你想测试的形状。
接下来，我们将学习如何使用偏移网格实现图形的平移。
首先，选择要平移的图形，然后进入编辑模式。
在编辑工具栏中，找到偏移网格工具并点击。
然后，在弹出的对话框中，选择网格的平移选项。
现在，你可以选择平移的距离和方向。
点击图形的某个点作为参考点，然后向任意方向拖动鼠标，即可实现图形的平移。
CAD会自动绘制出一个网格，以参考点为中心，帮助你完成平移操作。
在完成平移后，按下Enter键退出编辑模式，你的图形就成功平移了。
接下来，我们将学习如何使用偏移网格实现图形的旋转。
同样，选择要旋转的图形并进入编辑模式。
找到偏移网格工具并点击，然后选择网格的旋转选项。
在旋转操作中，同样需要选择一个参考点。
点击图形的某个点作为参考点，然后向外画一条线，即可确定旋转的方向和角度。
CAD会自动绘制出一个旋转网格，以参考点为中心，帮助你进行旋转操作。
在完成旋转后，按下Enter键退出编辑模式，你的图形就成功旋转了。
总结一下，通过使用CAD中的偏移网格功能，我们可以轻松实现图形的平移与旋转操作。
只需要选择要操作的图形，并选择适当的参考点，然后按照需要进行平移或旋转操作，即可获得想要的效果。
这种方法非常简便和高效，适用于各种类型的图形设计。
值得注意的是，在使用偏移网格进行平移或旋转操作时，需要注意选择合适的参考点，以确保操作的准确性。
同时，也可以通过调整网格的大小和密度，来适应不同的设计需求。
希望以上的教程对于你在CAD设计中的平移与旋转操作有所帮助。
通过学习和实践，相信你可以更加熟练地运用偏移网格工具，提高工作效率，并创作出更加精彩的设计作品。
图形的平移与旋转
解 如图，OA＝3，PA＝4，
∵线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，
∴OA 旋转到 x 轴负半轴 OA′ 的位置， ∠P′A′O ＝
∠PAO＝90°，OA′＝OA＝3，P′A′＝PA＝4，
A.把△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B.把△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C.把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D.把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位
2.如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边
形ABFD的周长为( C )
∵PB＝ 22＋32＝ 13， 90π· 13 13 ∴点 B 运动的最短路径长＝ 180 ＝ 2 π.
【变式4】 (2017· 盐城)如图，在边长为1的小正方形网格中，将△ABC 13 π 绕某点旋转到△A′B′C′的位置，则点B运动的最短路径长为_______. 2
解
答案
解题要领
旋转变换是几何证明题中一种很重要的解题技巧，在同一平
剖析
正确解答
分析与反思
错误答案展示 解：在AM、MN、NB中，MN是一个定值，因此AM＋MN ＋NB的最小值就是求AM＋NB的最小值.如图，连接AB交河岸边为M， 过M作MN垂直于河岸的另一边，则MN为最佳的造桥位置.
剖析
正确解答
分析与反思
剖析 虽然A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸，由于 MN是一个定值，要求出AM＋MN＋NB最短，关键在于使AM＋BN最 短，根据“两点之间线段最短”，为此，最有效的办法还是把它们移 到一起讨论，利用平行四边形的特征可以实现这一目的. 正确解答 解：如图，作BB′垂直于河岸GH，使BB′等于河宽，连接 AB′，与河岸EF交于点M，作MN⊥GH， 则MN∥BB′，MN＝BB′， ∵MNBB′为平行四边形，∴NB＝MB′. 根据“两点之间线段最短”可知，AB′最短，
初三年级上册数学专题07网格(坐标系)中的旋转作图及旋转证明(典题精析)
微专题七__网格(坐标系)中的旋转作图及旋转证明__[学生用书A30]一网格(坐标系)中的旋转作图(教材P62习题23.1第4题)如图1，分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°和180°后的图形．图1解：如答图，△A1B1C1是△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形；△A2B2C2是旋转180°后的图形．教材母题答图【思想方法】网格(坐标系)中旋转作图的一般步骤：①找出原图形中的关键点；②确定旋转中心、旋转角及旋转方向；③根据旋转的性质作出关键点的对应点；④按原图的关键点连接顺序连接作出的所有点，并标上相应字母．[2018·青岛]如图2，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别是点A′，B′，则A′点的坐标是(D)图2A．(－1，3)B．(4，0)C．(3，－3)D．(5，－1)[2017·威海]如图3，A点的坐标为(－1，5)，B点的坐标为(3，3)，C 点的坐标为(5，3)，D点的坐标为(3，－1)．小明发现线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是__(1，1)或(4，4)__．图3【解析】先根据点A，B的坐标建立坐标系，当A和C，B和D为对应点时，如答图①，旋转中心是(1，1)；当A和D，B和C为对应点时，如答图②，旋转中心是(4，4)．变形2答图[2017·齐齐哈尔]如图4，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，4)，B(－5，2)，C(－2，1)．(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；(2)画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2.图4变形3答图解：(1)如答图，△A1B1C1即为所求；(2)如答图，△A2B2C2即为所求．二旋转证明(教材P63习题23.1第10题)如图5，△ABD，△AEC都是等边三角形．BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？图5解：BE＝DC.理由：∵△ABD是等边三角形，∴AB＝AD，∠BAD＝60°，同理得AE＝AC，∠EAC＝60°，∴以点A为旋转中心将△ABE顺时针旋转60°就得到△ADC，∴△ABE≌△ADC，∴BE＝DC.【思想方法】旋转前后的图形全等，借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于找到解题突破口，疏通解题思路．[2017·舟山改编]如图6，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12cm(如图①)，点G为边BC(EF)的中点，边FD与AB相交于点H，此时线段BH的长是__12(3－1)cm__．现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转60°(如图②)，则点H的初位置与旋转后的末位置间的距离是__(12－63)cm__．(结果保留根号)图6变形1答图【解析】如答图，作HM⊥BC于M，设HM＝x，则MC＝x，BM＝3x，∴x＋3x＝12，解得x＝6(3－1)，BH＝2x＝12(3－1)cm；当三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转60°时，点F恰好落在AB上的点H1处，△CGH1为等边三角形，作H1N⊥BC于N，则GH1＝6cm，NH1＝33cm，BH1＝63cm，HH1＝BH1－BH＝63－12(3－1)＝(12－63)cm.如图7，将一个钝角三角形ABC(其中∠ABC＝120°)绕点B顺时针旋转得到△A1BC1，使得C点落在AB边延长线上的点C1处，连接AA1.图7(1)写出旋转角的度数；(2)求证：∠A1AC＝∠C1.解：(1)旋转角的度数为60°；(2)证明：∵∠ABC＝∠A1BC1＝120°，∴∠ABA1＝∠CBC1＝60°，∴∠A1BC＝60°.∵AB＝A1B，∴△ABA1是等边三角形，∴∠AA1B＝∠A1BC＝60°，∴AA1∥BC，∴∠A1AC＝∠C.∵△ABC≌△A1BC1，∴∠C＝∠C1，∴∠A1AC＝∠C1.[2018·绍兴]小敏思考解决如下问题：原题：如图8①，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠P AQ＝∠B，求证：AP＝AQ.图8(1)小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化：把∠P AQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图②，此时她证明了AE＝AF.请你证明．(2)受以上(1)的启发，在原题中，添加辅助线：如图③，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F.请你继续完成原题的证明．(3)如果在原题中添加条件：AB＝4，∠B＝60°，如图①.请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分)．解：(1)证明：在菱形ABCD中，∠B＋∠C＝180°，∠B＝∠D，AB＝AD，∵∠EAF＝∠B，∴∠C＋∠EAF＝180°，∴∠AEC＋∠AFC＝180°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∴∠AFC＝∠AFD＝90°，∴△AEB≌△AFD，∴AE＝AF.(2)证明：∵∠PAQ＝∠B，∴∠C＋∠P AQ＝180°，∴∠APC＋∠AQF＝180°，∵∠APC＋∠APE＝180°，∴∠AQF＝∠APE，又∵∠AEP＝∠AFQ＝90°，AE＝AF，∴△AEP≌△AFQ，∴AP＝AQ.(3)不唯一，举例如下：层次1：①求∠D的度数．答案：∠D＝60°.②分别求∠BAD，∠BCD的度数．答案：∠BAD＝∠BCD＝120°.③求菱形ABCD的周长．答案：16.④分别求BC，CD，AD的长．答案：4，4，4.层次2：①求PC＋CQ的值．答案：4.②求BP＋QD的值．答案：4.③求∠APC＋∠AQC的值．答案：180°.层次3：①求四边形APCQ的面积．答案：4 3.②求△ABP与△AQD的面积和．答案：4 3.③求四边形APCQ周长的最小值．答案：4＋4 3.[2018·烟台]【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图9①，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB 的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB 的度数．(1)请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】(2)如图②，若点P是6正方形ABCD外一点，P A＝3，PB＝1，PC＝11，求∠APB 的度数．图9解：(1)选思路一：如答图①，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∵PB＝P′B＝2，∠P′BP＝90°，∴PP′＝22，∠BPP′＝45°.又∵AP′＝CP＝3，AP＝1，∴AP2＋P′P2＝1＋8＝9＝P′A2，∴∠APP′＝90°，∴∠APB＝45°＋90°＝135°.变形4答图(2)如答图②，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∵PB＝P′B＝1，∠P′BP＝90°，∴PP′＝2，∠BPP′＝45°.又∵AP′＝CP＝11，AP＝3，∴AP2＋P′P2＝9＋2＝11＝P′A2，∴∠APP′＝90°，∴∠APB＝90°－45°＝45°.观察可知每2次变换，A点向左平移1个单位，故A2018为A向左平移1009个单位，即A2－20172，。
网格中的图形变换专题
网格中的图形变换专题1．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A 、B 两点的位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶 点的三角形的面积为1个平方单位，则点C 的个数有（ ） （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个2．在正方形网格中，ABC △的位置如图2所示，则cos B ∠的值为（ ） A ．12B．2C．2D．33、在图的方格纸中，每个小正文形的边长都是1，若一个三角形的 每个顶点都在小正方形的顶点上，则称这个三角形为格点三角形，请你在方格纸中任意画出两个全等的格点钝角三角形。
4．2008年奥运火炬将在我省传递（传递路线为：昆明—丽江—香格里拉），某校学生小明在我省地图上设定的临沧市位置点的坐标为（–1，0），火炬传递起点昆明市位置点的坐标为（1，1）．如图，请帮助小明确定出火炬传递终点香格里拉位置点的坐标为___________． 5．如图4，在12×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位），⊙A 的半径为1，⊙B 的半径为2，要使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示位置需向右平移 个单位．6．一青蛙在如图88⨯网格的格点（小正方形的顶点）上跳跃，青蛙每次所跳的 A 开始连续跳六次正好跳回到点A ，则所构成的封闭图形的面积的最大值是 ．7．三角形在正方形网格纸中的位置如图2所示，则sin α的值是A. 43 B. 34 C. 53 D. 54（图4）CA E H8．（8分）如图7，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC △的顶点均在格点上，点C 的坐标为(41) ，． ①把ABC △向上平移5个单位后得到对应的111A B C △，画出111A B C △，并写出1C 的坐标；②以原点O 为对称中心，画出ABC △与关于原点O 对称的222A B C △，并写出点2C 的坐标．③以原点O 为旋转中心，画出把ABC △顺时针旋转90°的图形△A 3B 3C 3，并写出C 3的坐标．25.如图,在直角坐标系中,点P 的坐标为(3,4),将OP 绕原点O 逆时针旋转90°得到线段OP ′,(1)在图中画出线段OP ′;(2)求P ′的坐标和PP ′的长度.9.（本小题7分）在如图的方格纸中，每个小正方形的边长都为l ， △ABC 与△A 1B 1C 1构成的图形是中心对称图形．(l ）画出此中心对称图形的对称中心O ； (2）画出将△A 1B 1C 1，沿直线DE 方向向上平移5格得到的△A 2B 2C 2;(3）要使△A 2B 2C 2与△CC 1C 2垂合，则△A 2B 2C 2绕点C 2顺时针方向旋转，至少要旋转多少度？（不要求证明）25题图（第18题）18．（6分）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1． （1）画出将铅笔图形ABCDE 向上平移9格得到的铅笔图形11111A B C D E ； （2）将铅笔图形11111A B C D E 绕点1A 逆时针旋转90， 画出旋转后的铅笔图形12222A B C D E ．26．（8分）在边长为1的方格纸中建立直角坐标系xoy ，O 、A 、B 三点均为格点. （1）直接写出线段OB 的长；（2）将△OAB 绕点O 沿逆时针方向旋转90° 得到△OA ′B ′.请你画出△OA ′B ′，并求 在旋转过程中，点B 所经过的路径的长度.19.如图，在Rt OAB △中，90OAB ∠=，且点①画出OAB △向下平移3个单位后的111O A B △；②画出OAB △绕点O 逆时针旋转90后的22OA B △，并求点A 旋转到点2A 所经过的路线长（结果保留π）．24．（8分）在如图11的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC △的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）． (1) 画出ABC △绕点O 顺时针旋转90后的111A B C △； （2）求点A 旋转到1A 所经过的路线长．BAC DEA如图5，在平面直角坐标系xoy 中，(15)A -，， (10)B -，，(43)C -，． （1）求出ABC △的面积．（4分） （2）在图5中作出ABC △关于y 轴的对称图形111A B C △．（3分） （3）写出点111A B C ，，的坐标．（3分）22．（本小题满分6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1．（1）平移已知直角三角形，使直角顶点与点O 重合，画出平移后的三角形． （2）将平移后的三角形绕点O 逆时针旋转90，画出旋转后的图形．（3）在方格纸中任作一条直线作为对称轴，画出（1）和（2）所画图形的轴对称图形，得到一个美丽的图案．29.如图6，先将ΔABC 向下平移4个单位得到111A B C ∆，再以直线l 为对称轴将111A B C ∆作轴反射得到222A B C ∆，请在所给的方格纸中依次作出111A B C ∆和222A B C ∆．（图5）lCBA图6OCB如图方格纸中每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，∆ABC 的顶点在格点上，点B 的坐标为（5，－4），请你作出A B C '''∆，使A B C '''∆与∆ABC 关于y 轴对称，并写出B '的坐标. 21、（６分）如上图，在1010⨯正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．（1）作ABC △关于点P 的对称图形A B C '''△。
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以网格的图形平移与旋转
1.在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形变换为平移，如图，将网格中的三条线段沿网格线的方向（水平或垂直）平移后组成一个首位依次相接的三角形，至少需要移动（ ）. A.12格 B.11格 C.9格 D.8格
2.如图3，在平面中，三角形②、③是由三角形①依次旋转后所得的图形． （1）在图中标出旋转中心P 的位置； （2）在图上画出再次旋转后的三角形④．
图1
A B
图
2
图3
3.如图5，在网格中有一个四边形图案．
(1)请你画出此图案绕点O顺时针方向旋转900，1800，2700的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；
(2)若网格中每个小正方形的边长为l，旋转后点A的对应点依次为A1、A2、A3，求四边形AA1A2A3的面积；
4.如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你用旋转变换的方法，在方格纸上将该图形绕点0顺时针依次旋转90°，180°，270°，并画出它旋转后的图形，你会得到一个美丽的立图形，你试一试吧！但是涂阴影时要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果。
5.如图，方格纸中，每个小正方形的边长都是单位1，ABC △与111A B C △关于O 点成中心对称．
（1）画出将111A B C △沿直线DE 方向向上平移5个单位得到222A B C △； （2）画出将222A B C △绕点O 顺时针旋转180得到333A B C △； （3）求出四边形312CC C C 的面积．
6.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1．
（1）平移已知直角三角形，使直角顶点与点O 重合，画出平移后的三角形． （2）将平移后的三角形绕点O 逆时针旋转90，画出旋转后的图形． （3）在方格纸中任作一条直线作为对称轴，画出（1）和（2）所画图形的轴对称图形，得到一个美丽的图案．
（第22题）
7.顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9×9的正方形网格中有一个格点△ABC ，设网格中小正方形的边长为1个单位长度. （1）在网格中画出△ABC 向上平移4个单位后得到的△A 1B 1C 1. （2）在网格中画出△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后得到的△AB 2C 2. （3）在（1）中△ABC 向上平移过程中，求边AC 所扫过区域的面积.
8.如图所示，在四边形ABCD 中， （1）画出四边形A 1B 1C 1D 1，使四边形A 1B 1C 1D 1与四边形ABCD 关于直线MN 成轴对称；
（2）画出四边形A 2B 2C 2D 2.，使四边形A 2B 2C 2D 2与四边形ABCD 关于点O 中心对称.
（3）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2是否对称，.若对称请在图中画出对称轴或对称中心.
O N
A
B
C
D。