量子电子学-密度矩阵

∂ (au a + bub ) ∂t
（6 ）
u ) u a + b aEa u a + bEb ub = i=(a b
i ⎫ = − aEa ⎪ a = ⎬ = − i bE ⎪ b b = ⎭
（7 ） （8 ）
单位体积中处在低能级上的原子数N1为 N1 = N V b(t )
2
将ua*、ub*分别左乘上式各 项，对整个空间坐标积分
N
∑
k
系综平均值 为：
< F >= ∑ Pk Fk
k =1
N
N
(13) (14)
< F >= Tr ( ρF )
(15)
∑
k =1
k
令 ρ nm = am * an (5)
算符F的矩阵元
m ,n
F = ∑ ρ nm Fmn
F = Tr ( ρF ) (6)
将式（2）、 （7）代入式 （8），得：
< F >=
密度矩阵的运动方程为
Hψ = i= ∂ψ ∂t
左乘um*，并对变量q积分得 系统的哈密顿算 符 H的矩阵元 令 H mn = ∫ u m * Hu n
∂ρ nm i = − ∑ ( H np ρ pm − ρ np H pm ) = ∂t
∂ρ i = − [H , ρ ] ∂t =
N
m≠ n
∫u
m
* H ∑ a n u n = i= ∫
1 N ∑∑ (ank ) * ank N k =1 n =1 =
密度矩阵之迹等于1。对于由N个 系统构成的系综，当各个系统处于 不同微观态的几率不相等时，也可 以证明Tr(ρ)=1这一性质。
k * k ρ *mn = ⎢∑ Pk (an ) am ⎥ = ρ nm
⎡Nຫໍສະໝຸດ ⎤ ⎦*k k k k (am ) * ⋅an = am ⋅ an ⋅ e iϕmn
2 V
2
< F >= Tr ( ρF ) = ρ aa Faa + ρ ab Fba + ρ ba Fab + ρ bb Fbb
某一物理量的平均值不仅取决于对角元,还和非对角元有 ） 关.前一部分表示了各本征态中相应的平均值,后一部分表 示两个本征态之间的干涉效应对平均值的贡献.
（3
H a (au a + bub ) = i=
从式(5)可以看出，ρnm起着几率密度的作用，因此称ρnm的集合为 密度矩阵，ρnm为密度矩阵元。以上就是纯态的密度矩阵。
1 N k k = ∑ (am ) * an (11) N k =1
< F >= ∑ ρ nm Fmn = Tr ( ρF )
m ,n
只要求得系综的密度矩阵，任何宏观可观察量都可以 由式(15)计算
二能级原子系统的密度矩阵
⎡ aa * ab *⎤ ⎡ ρ aa 根据密度矩阵的定义，得 ρ = ⎢a * b bb *⎥ = ⎢ ρ ⎣ ⎦ ⎣ ba
孤立二能级原子系统
ρ ab ⎤ ρ bb ⎥ ⎦
（2 ）
ρ = ψψ * = ⎢ ⎥[a * b *] = ⎢ ⎥ ⎣a * b bb *⎦ ⎣b ⎦
2、密度矩阵的运动方程
如果原子系统的状态是随时间变化的，那么密度矩阵也是随时 间变化的。下面就来求它的运动方程。
k k ρ nm = ∑ Pk (am ) * an k =1 N
k ∂a k ⎤ ∂ρ nm N ⎡ ∂[(am )*] k k = ∑ Pk ⎢ )* n ⎥ an + (am ∂t ∂t ⎦ k =1 ⎣ ∂t
∂a n i = − ∑ H np a p ∂t = p
复数共厄
∗ ∂am i = ∑ H pm a* p ∂t = p
当系统为混合系统时：
ρ nm =
k k 对系综的平均值为零，此时密度矩阵的非 相同的，则 [(a m ) * ⋅a n ] 对角元 1 k k ρ nm = ∑ (am ) * an =0
n
也就是说,若每一个系统的幅角是随机分布的，则N个系统组成的系 综的ρnm=0。假若N个系统中的每一个系统的幅角不是随机分布或者 不完全随机分布，则ρnm≠0 。所以ρnm表示了系统的幅角之间的混乱 程度或相干性。后面将会看到ρnm愈大，相干性愈好，系综的极化强 度也愈大。
∂ u m * ∑ an u n ∂t n
与时间有关 的薛定谔方 Hψ = i= ∂ψ ∂t 程为
ψ (r , t ) = ∑ an (t )u n (q )
n
H ∑ a n u n = i=
n
∂ ∑ an u n ∂t n
k ∂ρ nm N ⎡ ∂[(am ∂a k ⎤ )*] k k = ∑ Pk ⎢ )* n ⎥ an + (am ∂t ∂t ⎦ k =1 ⎣ ∂t
本征函数的 正交归一性
∂a n i = − ∑ H np a p ∂t = p
[H, ρ]=Hρ-ρH 如果t=0时的密度矩阵已知，便可由该式确定任何其他瞬间 的密度矩阵。
3、二能级原子系统的密度矩阵
在激光的半经典理论和量子理论中，都将介质粒子视为简单的二能 级原子系统。也就是说，原子只有二个能级需要明显考虑，而其他 能级的影响可以通过引进阻尼项来加以概括。在此要讨论二能级原 子系统的密度矩阵及其运动方程。 二能级原子系统的波函数 假设原子具有高、低两个能级，其能量本征值分别为Ea、Eb，对 应的归一化能量本征函数分别为ua、ub，则原子波函数ψ(r, t)为
⎡a ⎤
⎡ aa * ab *⎤
ψ(r, t)=a(t)ua(q)+b(t)ub(q)
2
(1)
这时一个宏观可观察物理量的平均值为
首先假设所讨论的二能级原子系统是孤立的，不受外界的影响(忽 略自发辐射)，并且假若原子原来处于ua态(或ub态)，则它将始终停 留在ua态(或ub态)上。此时，孤立原子系统的波函数为 Ha 表明孤 ψ=aua(q)+bub(q) 立原子系统 ∂ψ H aψ = i= （4 不含时间因 波函数ψ(r, t)应满足如下薛定谔方程 ∂t ） 素的哈密顿 算符。 本征值方程
F = ∑ a m * a n Fmn (3)
m ,n
混态密度矩阵 多系统几率相等
当系综是由N个系统组成，且N个系统处于不同微观态的几率相 同，每一个系统可以用一个归一化波函数来表示。若第k个原子系 统的波函数用ψk(r, t)表示 k ψ k = ∑ an u n (7)
n
混态密度矩阵 多系统几率不等
1、密度矩阵 前言
激活介质包含有大量的原子(或分子或其他微观粒子)。在讨 论激活介质辐射场的相互作用时，我们只能给定宏观条件(例 如知道气体激光器中的放电电流、气体压强等)。但是宏观条 件确定之后，微观运动状态的各种可能性仍然很多，每一个 原子可以处于一切可能的微观态，并不能被宏观条件所控 制。所以，不能将激活介质当做一个整体而赋于一个确定的 随时间而变化的波函数。这样，即使知道了介质的初始分 布，也不可能求出以后某一时刻的波函数。 但是在研究激活介质和辐射场相互作用的宏观性质时，可以利 用统计规律性。由于在给定的宏观条件下，激活介质中原子的 状态有一固定的初始分布。可以通过求得在给定的时间间隔和 给定的空间体积内、原子系统被激发到两个能级中的一个或另 一个，并且其速度分量在给定范围内的几率，再对构成激活介 质的所有原子系统取平均值来求得介质对辐射场的影响。在这 种情况下，即讨论量子力学系综的统计性质时，会涉及到两种 平均：一种是按状态的平均，此为量子力学平均；另一种是将 此结果再按微观态出现的几率求平均，即为统计平均。当同时 涉及到这两种平均时，就可采用密度矩阵 密度矩阵的方法来处理。
k n
本征函数 ⎧1 的正交性 ∫ u m *u n dq = δ mn = ⎨ ⎩0 可以得到
( m = n) ( m ≠ n)
∑ (a
n
k n
k ) * an =1
(a m )* = a m e
k m
⎪ ⎭
k k k ϕ mn = ϕn − ϕm
∑ρ
n
nn
=∑
n
1 N k ∑ (an ) * ank N k =1
k
⎣ k =1
密度矩阵为厄米矩 阵。
纯态系统的密度矩阵元 ρnm，如图所示的复平面上 表示。
图中矢量即为ρnm，矢量与实轴间的夹角表示系统处于本征态un、 k k um的几率振幅 an 、a m 的乘积的相位差，而矢量的模是由系统处于本征态un、um的几 率振幅的乘积所决定。
k 1 k k ⋅ an ⋅ e iϕmn ∑ am N k =1 k 对于给定的本征态un、um，如果所有的值 ϕ mn 是等几率的，而 k k k k ⋅ an ) 的数值分布是 且当位相为 ϕ mn与 (ϕ mn + π ) 时，矢量的模 ( am
ψ (r , t ) = ∑ an (t )u n (q )
n
ψ (r, t)描述
(1)
式中un(q)为完备正交归一本征函数系；an(t)为系统处于本征态 un(q)的几率振幅。
纯态密度矩阵
现在考虑系统的某个物理可观察量F并求出它在系综表示中的 最终平均值。首先考虑纯态的情况。这时，可以由量子力学中 所熟悉的方法求得可观察物理量F的平均 F 式中q为广义坐标，ψ*为 值。 F = ∫ψ * Fψdq (2) 波函数ψ的复数共轭量。 式(2)的平均是量子力学固有统计性质的结 果。 若将式(1)代入式(2)，得
k k k k （1） ∫ (∑ a m u m ) *∑ a n u n dq = ∑ (a m ) *a n ∫ u m *u n dq = 1
ρ nn ≥ 0
ρ nm = ∑ Pk (a ) * a
k =1 k m N k n