密度矩阵重整化讲解
第2章密度矩阵
用V(t)表示二能级间与时间有关的微扰矩阵元。
V (t) ua * H1ubdq
可以通过适当地选取ua和ub的位相因子，使上面的积分为实数，得到
V (t) ua * H1ubdq ub * H1uadq (16)
则式（13）可以表示为：
ia ib
aEa bEb
bV aV
(t (t
) )
(Ha
H1 )
i
t
将=aua+bub代入上式，得
(Ha
H1 )(aua
bub )
i
t
(aua
bub )
(12)
可以求出系数a(t)、b(t)随时间变化时所应满足的方程．它的表达式如下
aEa b ua * H1ubdq ia bEb a ub * H1uadq ib
(13)
Back
上式已考虑到
密度矩阵之迹等于1
归一化的波函数 ( k )* k dq 1 利用式（1） (r,t) an (t)un (q) (1)
n
( amk um ) * ankundq (amk ) *ank um *undq 1
m
n
本征函数 的正交性
um
*undq
mn
1 0
(m n) (m n)
（4）不含时间因 素的哈密顿
算符。
本征值方程
Ha (aua
bub )
i
t
(aua
bub )
H aua H aub
Eaua Ebub
（6）
aEaua bEbub i(aua bub )
将ua*、ub*分别左乘上式各
项，对整个空间坐标积分
a b
i
密度矩阵纯化
密度矩阵纯化在量子力学中，密度矩阵是描述系统状态的重要工具。
而密度矩阵纯化则是一种将系统从混合态转化为纯态的方法。
本文将详细介绍密度矩阵纯化的原理和应用，以及相关的实验技术和未来的发展方向。
一、密度矩阵基本概念密度矩阵是一个描述量子系统状态的矩阵，通常用符号ρ表示。
在量子力学中，我们通常用波函数描述系统的状态，但当系统处于混合态时，波函数无法完全描述其状态。
此时，我们需要引入密度矩阵来描述系统的状态。
二、混合态与纯态在量子力学中，系统的状态可以是纯态或混合态。
纯态是指系统处于一个确定的状态，可以用一个波函数表示。
而混合态是指系统处于多个可能的状态，以一定的概率分布出现。
混合态的密度矩阵是一个对角矩阵，对角元素表示系统处于各个纯态的概率。
三、密度矩阵的表示形式密度矩阵是一个厄米矩阵，它的本征值是非负实数。
密度矩阵的表示形式可以是纯态表示或混合态表示。
在纯态表示中，密度矩阵只有一个非零本征值，其他本征值为零。
而在混合态表示中，密度矩阵的本征值都是非负实数。
四、密度矩阵的演化密度矩阵的演化可以用密度矩阵方程来描述。
在一个封闭系统中，密度矩阵的演化满足冯诺依曼方程。
而在一个开放系统中，密度矩阵的演化还要考虑到与环境的相互作用。
五、密度矩阵纯化的原理密度矩阵纯化是一种将系统从混合态转化为纯态的方法。
其基本原理是通过对系统的测量操作，将系统从混合态投影到一个确定的纯态上。
在测量操作之后，我们可以得到一个纯态密度矩阵，描述系统处于一个确定的状态。
六、密度矩阵纯化的应用密度矩阵纯化在量子信息和量子计算中有着广泛的应用。
例如，在量子通信中，密度矩阵纯化可以提高量子信道的传输质量。
在量子计算中，密度矩阵纯化可以提高量子比特的纠缠度，从而提高计算效率。
七、密度矩阵纯化的实验技术密度矩阵纯化的实验技术包括态制备、测量和反馈控制等方面。
通过精确控制这些实验技术，可以实现对系统密度矩阵的纯化操作。
目前，实验室中已经实现了对单个量子比特和多个量子比特的密度矩阵纯化。
03_密度矩阵
第三章密度矩阵方法
§3.1 纯态与混态
§3.2 密度矩阵及其性质
§3.3 密度矩阵应用实例
§3.4 量子纠缠态
一、统计描述问题的提出
二、纯态与混态
三、密度矩阵的引入
一、密度矩阵的定义二、密度矩阵的一般性质
三、密度矩阵的运动方程
四、密度矩阵的独立变量个数一、两能级体系的密度矩阵
二、量子统计中的密度矩阵一、纠缠态引入的历史背景
VS
第二次索尔维论战（1930）1927 第五届索尔维会议
德布罗意的导波理论
薛定谔：”真实的系统是
一个处于所有可能状态的经典系统的复合系统，它通过将ΨΨ*作为权重函数而获得。
”
爱因斯坦：“认为|Ψ|2是表示一个粒子存在于完全确定的地方的几率，这样的一种解释（即正统解释）就必须以完全特殊的超距作用为前
提，从而不允许连续分布在空间中的波同时在胶片的两个部分表现出自己的作用。
”
玻尔等人的反击
玻尔的回答：引力红移效应
?
dead alife 101010c c c c +⇒+
定性解释：
dead
alife 101010c c c c +⇒+不对，而是
dead
1alife 0101010⊗+⊗⇒+c c c c 二、纠缠态的分类三、两体可分离态的判据
四、两体纠缠纯态的纠缠度。
量子态层析密度矩阵
量子态层析密度矩阵引言量子态层析密度矩阵是量子力学领域中重要的概念之一。
它描述了量子系统的状态以及对系统进行测量时可能得到的结果的概率分布。
在本文中，我们将深入探讨量子态层析密度矩阵的定义、性质以及应用。
量子态的表示在量子力学中，一个物理系统的状态可以用一个矢量表示。
如果系统是纯态，那么它可以用一个复数的列向量表示。
例如，一个二能级系统的纯态可以表示为：|ψ⟩=[a b]其中a和b都是复数，满足|a|2+|b|2=1。
这表示了系统处于第一个能级和第二个能级的概率分别为|a|2和|b|2。
然而，当系统处于混合态时，我们不能用一个单一的矢量来表示它的状态。
这时我们需要引入密度矩阵的概念。
密度矩阵的定义密度矩阵是一个厄米矩阵，它可以用来描述一个混合态。
对于一个纯态，它的密度矩阵可以表示为：ρ=|ψ⟩⟨ψ|其中|ψ⟩是系统的纯态矢量。
而对于一个混合态，它的密度矩阵可以表示为：ρ=∑p ii|ψi⟩⟨ψi|其中p i是处于纯态|ψi⟩的概率。
密度矩阵的性质密度矩阵具有一些重要的性质，下面我们将逐一介绍。
1. 归一性密度矩阵是一个厄米矩阵，它的迹等于1，即Tr(ρ)=1。
这是因为一个物理系统的状态必须是归一化的。
2. 正定性密度矩阵是一个正定矩阵，即它的所有本征值都大于等于0。
这是因为密度矩阵描述的是一个概率分布，概率必须是非负的。
3. 纯态和混合态的区别如果一个系统的密度矩阵是一个纯态，那么它的谱分解只有一个非零本征值，其他本征值都为0。
而如果一个系统的密度矩阵是一个混合态，那么它的谱分解有多个非零本征值。
4. 密度矩阵的演化密度矩阵可以描述量子系统的演化。
如果一个系统在时间t后的密度矩阵为ρ(t)，那么它在时间t+Δt后的密度矩阵可以表示为：ρ(t+Δt)=U(t,t+Δt)ρ(t)U(t,t+Δt)†其中U(t,t+Δt)是演化算符。
密度矩阵的应用密度矩阵在量子力学中有广泛的应用。
下面我们将介绍一些常见的应用。
密度矩阵重整化方法
密度矩阵重整化方法4.1 密度矩阵4.1.1 纯态与混合态凡是能在希尔伯特空间中的一个矢量可以描写的状态，我们都称为纯态；两个纯态|1ψ>和|2ψ>，通过叠加可以得到另一个纯态>ψ|:>ψ|=1c |1ψ>+2c |2ψ>有时，量子系统所处的状态，由于统计物理的原因或者量子力学本身的原因无法用一个态矢量来描写，系统并不处在一个确定的态中，而是有可能处在|1ψ>,|2ψ>…等各个态中，分别有概率1w 、2w 、3w 、……。
这个状态无法用一个态矢量表示，我们称之为混合态。
密度矩阵专门用来表示混合态。
任何量子态，不管是纯态，还是混合态，都可以用密度矩阵表示。
4.1.2 密度矩阵密度矩阵是量子力学的一个重要概念,是1927年von Neumann 为了描述量子力学中 的统计概念而引进的，它在量子力学中的主要作用是扩展了态矢量的应用范围,运用求解密度算符的方法能比求解态矢的方法更为普遍地描述一个系统的信息. 用态矢描写的状态可以等价地用一个态密度算符来描写;而一个用密度算符描写的状态却不一定能用一个态矢来描写. 也就是说,混合态以及原子系统只能用密度算符的方法来刻画,而不能用态矢量来刻画. 态矢量或波函数,只能描述纯态,纯态经过相干叠加得到的仍然是纯态. 由若干状态的非相干叠加得到的是混合态. 任一量子系统的任何状态(纯态或混合态) ,总可以用一个厄米的、本征值非负的、迹为1的密度矩阵来表示.具体的说，纯态是一种可以直接用态矢量 >ψ|来描述的量子态，混合态则是由几种纯态依照统计概率组成的量子态。
假设一个量子系统处于纯态 >>>321|,|,|ψψψ ……的概率分别为 1w ，2w ，3w ……，则这混合态量子系统的密度算符 ρ 为||j ii i w ψψρ<>=∑注意到所有概率的总和为1：1=∑iiw假设}{|>i b 是一组规范正交基，则对应于密度算符的密度矩阵 ℘ ，其每一个元素 j i ,℘ 为>><<>==<℘∑j k k i kk j i ij b b w b b ||||ψψρ对于这量子系统，可观察量 的期望值为)(||||A tr A A w A ii i ii i i ρψρψψψ=><=><>=<∑∑是可观察量对于每一个纯态的期望值 ><i i A ψψ||乘以其权值 i w 后的总和。
量子化学第四章密度矩阵
第四章 密度矩阵与密度泛函上一章，我们介绍了多电子体系波函数 12(,,,)N x x x ψ⋅⋅⋅，一般说来求力学量的平均值，我们总是将其对应的算符作用在波函数上，再求积分，即A A ψψ∧=，所以利用*ψψ，我们可以定义密度函数和密度矩阵，全对称坐标函数及力学量平均值可以用密度函数或密度矩阵直接写出。
§4.1密度函数和密度矩阵§4.1.1密度函数四维（三维坐标+自旋）中某一电子i ，当不考虑其他所有电子处于任何可能位置时，它出现在x处的小体积元d τ中的机率为：111111111(,,,,,,)(,,,,,,)i i i N i i i N i i Nd x x x x x x x x x x d d d d τψψττττ*-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎰(4.1)注意到*1Nd ψψτ=⎰看出(4.1)式只不过去掉i τ的积分符号，是i x的函数。
因N 个电子是不可分辨的，所以电子中的任一个出现在x处的d τ中的几率相同，由此定义电子的密度函数：11121223()(,,,)(,,,)N N N x N x x x x x x d d d ρψψτττ*=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎰11()x ρ 表示的是1x处的小体积元中出现任何一个（以前的是电子i ，所以差N ）电子而不管其它电子出现在何处时的几率密度。
同样，任何两个给定的电子当不考虑其余电子出现在任何处时，它们在所给定的 1x 和2x处的小体积元1d τ和2d τ中同时出现的几率也是相同的。
（如(1,2),(3,4)但电子不可辨，几率相同）因此也可以定义两个电子的密度函数212121234(,)(,,,)(,,,)2N N NN x x x x x x x x d d dρψψτττ*⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⎰推而广之，q 个电子的密度函数为：12121212(,,,)(,,,)(,,,)q q N N q q N N x x x x x x x x x d d dq ρψψτττ*++⎛⎫⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⎰它表示在四维空间中，任意q 个电子在12,,,q x x x ⋅⋅⋅处的q 个小体积元12,,,qd d d τττ⋅⋅⋅中，各有一个电子同时出现而不管其它N-q 个电子在何处出现时的几率密度。
密度矩阵重整化群的学习
一 一
阵元 降到 了 １ ０ ％及 以下，这样 可 以降低 内存 的使用 量 。 但 即便简化成这样，用 Ｌ ａ ｎ ｃ Ｚ Ｏ 方法等能够直接精确对角 化 的部分仍然还是很小的尺寸 。特别是对 于强关联系统来 说，推广到热力学极 限十分困难 。 后来 ， 在１ ９ ７ ５ 年 的时候， Ｗ ｉ １ ｓ ｏ ｎ 第一次提出了Ｎ Ｒ Ｇ 算法 。 学习了 Ｎ Ｒ Ｇ 方法后 ，我们知道用 Ｎ Ｒ Ｇ 方法要降低自由度，来 缩小维度空间，又通过不断地进行约化，收敛真实系统，从
与交通运输 系统的协调呼应 。无论是运输原材料 ，还是人 员快速抵达 ，都建立在科学 的运输系统设计上。 ３ ． ３交通运输设计 对 于石化企业而 言，科学的交通运输 设计是非常关键 的。 快速便捷的交通运输， 对 于优化石化企业 的生产 效率 ， 提升石化企业 的经济效益具有重要 的作用 。石化企业 的运 输方式是 比较 多元的，为 了协调运输 的安全及成本，可 以 选择管道运输 。一方面 ，石化企业 的产 品是存在一定 的危 险 ，甚至是剧 毒的，因此为避免对周 围环境的影响，应该 集 中设置装卸区，同时避免装卸区与其他物流区的紧邻 。 另一方面，石 化企业 的产品运输线 、人车运输线应该相互 分离 ，既能够保障运输 的快速安全 ，也能够保护场 区人员
而完成计算。然而，这个算法也有很大缺陷。在计算一些像 量子蒙特卡洛方法是强关联体系中的基本方法，有广泛 维海森堡模型之类的问题时 ，边界问题无法处理，在叠加 的应用。 Ｎ 方法是 Ｄ Ｍ Ｒ Ｇ 方法的前身，主要是为了减少计算， 模块的时候会出现无限深势阱的状况 ， 因而导致很大的误差 。 去除不必要的自由度。Ｄ Ｍ Ｒ Ｇ 方法是 Ｎ Ｒ Ｇ 方法的改进，处理好 Ｗ ｉ ｌ ｓ ｏ ｎ的学生 Ｗ ｈ ｉ ｔ ｅ发现了 Ｎ Ｒ Ｇ算法 的这些问题 ，又 了边界问题，解决 了达不到最大丰度的问题。这三种方法都 进 行 了许 多深入 的研究，最终在 １ ９ ９ ２ 年提 出 了密度矩阵 是强关联体系中的重要方法。 因此 ， 很有必要学习这三种方法 。 重整化群算法 ，弥补 了 Ｎ Ｒ Ｇ 算法在格点模型 中的不足 。 ２密度矩 阵重整化群 算法 在使用 Ｄ Ｍ Ｒ Ｇ算法 的时候 ，我们首先将 整个 系统拆分为两 个 子系统 “ 系统 ”和 “ 环境 ”。这两个子系统构成一个超 ２ ． １历史背景 个量子多体系统 ，如果想要对它进行数值计算用来 块 。操作时 ，将两个子系统分别进行对角化 ，再筛选 出一 求它的近似解就会遇到一些困难 。由于希 尔伯特空间呈指 些哈密顿量 的本征值较大的本征态 。这样就能够选 出对结 数增长 的缘故 ，当系统尺寸呈指数增长时，希尔伯特空间 果影响较大的部分 ，简化计算 。 会 以ｎ 次方倍的速度迅速增长 。这样 的增长速度太快， ２ ． ２量子蒙特 卡洛方法 量子蒙特卡洛方法是强关联系统模型中一种重要的近似 在对 哈密顿量进行对角化来求它 的本征波 函数 的时候，计 算量就大大增加 ，占用太大 内存空间，使计算所需的硬件 求解的方法 ，在学习 Ｎ Ｒ Ｇ 和Ｄ Ｍ Ｒ Ｇ 方法之前，就 已经知道量 要求提高 ，不利于计算 。 子蒙特卡洛方法能应用于强关联体系的模型中。许多强关联 但事实上 ，在实际研 究中发现 ，在这众多的计算数据 系统中的问题都是用量子蒙特卡洛方法来解决的，至今仍被 中，有很 多数据对最后的结果过影响很小，完全可 以忽略 广泛应用。 所以， 量子蒙特卡洛方法的学习也是非常必要的。 不计 ，可 以只关心比较重要的几个 。像基态和一些低能 量子蒙特 卡洛方法是 由蒙特卡洛方法应用 于量子力学 激发态 。因此可 以使用稀疏矩阵储存，稀疏矩阵使非零矩 中的部分 。蒙特卡洛方法主要用于研究随机的物理 问题 。
用密度矩阵重整化群研究一维Hubbard模型
第２ 期 Leabharlann 新 乡学院学报 （自然科学版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｎ ｉｎ ｎ ｖ ｒｉ ｒ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ ｄｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｏ ｘａ ｇＵ ｉｅｓ ｙＮａ ａ Ｓ ｉ ｃ ｉｏ ） Ｘｉ ｔ（ ｕ ｅ Ｅ ｉ
２１ ０ ２年 ４月
Ａｐ ． ０１ ｒ２ ２
口』 ，
同时 ，保 证不 同 ａ 对应 的态 Ｉｎ 彼此 正交 ． 值 ｕ）
此时， 可令｝） ∑（，ａ Ｉ ， ＝ Ｉ ）“，当∑ Ｊ 小＝时，可将 Ｓ写成矩阵的形式 Ｖ ＝ Ｊ ． 则ｌ ∑ Ｕ Ｉ） 。 ）） 『 ） ａｖ １ ａ
１ 约 化 密度矩 阵
密 度矩 阵重 整化群 方 法（ ＭＲ 的关 键 是引 入约 化密度 矩 阵 ，它可 以帮助我 们选择 保 留那些 重要 的态 ， Ｄ Ｇ） 从 而提 高重 整化 的精 度 ． 先 ，介 绍 密度矩 阵 的性质 ． 首
假设 目 系统与外界环境共 同构成一个封闭的大系统 ， 标 即所谓超快（ ｐｒ ｌ ｋ， ｓ ｅ ｂ ｃ）若用一个波函数 Ｉ 来 ｕ ｏ 描述它 ，用 ｌ（＝ ，， ， 表示 目标系统的状态 ， Ｉ （ ＝ ，， Ｉ 描述外界环境的状态（ 中 ， 为各 ｉ ｉ １ …，） ） ２ 用 Ｊ １ …， ） ） ２ ， 其 、
精 确 度 与 保 留 态数 目 ｍ 及 扫 描 次 数 ｎ之 间 的 关 系．
关 键 词 ： 密 度 矩 阵 ； 重 整 化 群 ；Ｈ ｂ ａｄ模 型 ｕ ｂｒ
中图 分 类号 ：０ ８ ． ４ １３
文献 标 志码 ：Ａ
文 章 编 号 ： １７ — ３ ６２ １ ） ２ ０ １— ３ ６ ４ ３ ２ （０ ２ ０ — ｌ７ ０
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Sz
1 2
1 0Leabharlann 01量子效应： SxSy SySx
Heisenberg 相互作用: JS1 S2
H2 分子
JS1
S2
143JJ
4
Singlet Triplet
能量 三重态
J 单态
Particle in a box
0
N
sin
密度矩阵重整化群及其在凝聚态物理中的应用
向涛 中科院理论物理所
凝聚态物理多体理论需要解决的问题是什么？
一个多体相互作用系统在某个特定状态 (例 如基态) 下的物理性质 困难点：不可微扰
密度矩阵重整化群
系统的总自由度随粒子数呈指数增长: mN (m = 2, 3, …, N ~1023)
优化处理多粒子相互作用体系的一种数值重整化群方法
10-7
10-10
10-13 0
L=70 50 30
20 40 60 80 100 Number of States Retained
Monte Carlo或 其它近似方法
误差 ~ 1%
1D量子系统 DMRG的误差 远小于其它近 似方法
密度矩阵重整化群方法发展的主要进展
• 零温，实空间：1992
• 热力学计算(TMRG)：经典系统 1995，1D量子系 统 1996 • 高维空间：动量空间1995，分子第一性原理计算 1998 ，待进一步发展 • 动力学关联函数计算：零温及1D有限温度 1999 • 非平衡态 (含时演化) 问题：2001，待进一步发展 • 与Monte Carlo方法的结合：1999，有很大的发展 空间
构造并对角化约化密度 矩阵
Lanczos方法
H 0 a0 0 b1 1 H 1 b1 0 a1 1 b2 2 H 2 b2 1 a2 2 b3 3
a0 b1
b1
a1 b2
b2 a2
b3
H
b3 a3 b4
Hsys Hs,e
Hs,e Henv
按系统的约化密度矩 阵的本征值保留状态
sys TrenveH
约化密度矩阵
sys Trenv
s,e s e
s,e
sys s,s' *s,es',e e
sys
,s s
经典重整化群方法:按能量保留状态
H Si Si1 i
H2 S1 S2
保留 H2 的 p 最小本征态
H4
H
L 2
H
R 2
S2
S3
保留 H4 的 p 最小本征态
H2n HnL HnR Sn Sn1
经典重整化群方法失败的原因
• 边界误差太大
Symmetric
Transfer Matrix T Non-symmetric
max | max>
Non-symmetric
Lattice size
Finite
Infinity (Finite time slices)
S=1/2 Heiserberg 模型的磁化率
c T
bM1
a M1 bM
bM aM
a0
1 2
a0
a1
a0 a12 4b12 a0
a1
1 2
a0
a1
a0 a12 4b12
DMRG与其它方法比较
Error of the Ground State Energy
总自由度数：2L
10-4
1D free fermions, half filling
计算量
• 主要CPU时间用于矩阵的对角化 • 实际计算的矩阵的维数：104 － 106
稀疏程度：10-30％ • 需要对角化的矩阵的个数：103 － 105 • 矩阵与矢量相乘的总次数：105 － 107 • 硬盘：10G － 200G
转移矩阵重整化群：有限温度DMRG方法
Z TreH TrTN / 2
i
i
i1 N 1
E0
2 cos
N 1
N
H ci1ci cici1
i 1
0 1
1 0 1
1 0 1
H
1 0 1
... ... ...
1 0 1
1
0
所研究的矩阵的特点
• 维数高: mN • 稀疏：90％或更多矩阵元为零 • 有一定的对称性（或守恒量〕：矩阵可
分块对角化
重整化群思想
标度变换：
W
0
dA,
W
0
/
dA'
,
irrelevant
作用量A与A’具有相同的泛函形式(称之为可重整 性)，这也是量子场论方法的基础
重正化群：只是一个半群
s
,e 2 0
e
约化密度矩阵的本 征值 等于其对应 的本征态 |> 在基 态上的投影振幅
DMRG 迭代过程
系统和环境中各加进一 个点并初始化或更新
H=Hsys+Henv+Hsys,env
用Lanczos或其它稀疏 矩阵对角化方法对角化 H 求出基态波函数
做基矢切断并求出变换 矩阵 Unp
• 切断误差太大 共 p2个状态 仅 p 个被保留
• 按能量取舍状态 有可能丢掉了一些 有用的状态而保留 了一些无用的状态
两个开边界子系统合 在一起其衔接部分的 状态与实际差的很远
改进的重整化群方法
• 边界误差减小
• 切断误差减小 2p个状态，保留p个
密度矩阵重整化群
Superblock
系统
环境
k
Nk / 2
N
Nm/a2x
空间
转移矩阵
eH eH/ L eH/ L
时间
转移矩阵重整化群与DMRG的比较
T=0 DMRG
TMRG
Target Matrix Target State Density matrix
Hamiltonian H Symmetric Ground state
用密度矩阵挑选 所要保留的基矢
用有限的几个基矢来 近似表示一个无穷维 空间中的一些状态
S = 1/2 Heisenberg 模型
N
H Si Si1
i1
Total degrees of freedom: 2N
Sx
1 2
0 1
1 0
Sy
1 2
0 i
i 0