密度矩阵重整化方法

密度矩阵重整化方法 4.1 密度矩阵 4.1.1 纯态与混合态 凡是能在希尔伯特空间中的一个矢量可以描写的状态，我们都称为纯态；两个纯态

|1>和|2

>，通过叠加可以得到另一个纯态|:

|=1c|1>+2c|2>

有时，量子系统所处的状态，由于统计物理的原因或者量子力学本身的原因无法用一个态矢量来描写，系统并不处在一个确定的态中，而是有可能处在|1>,|2>…等各个态中，

分别有概率1w 、2w 、3w 、……。这个状态无法用一个态矢量表示，我们称之为混合态。 密度矩阵专门用来表示混合态。任何量子态，不管是纯态，还是混合态，都可以用密度矩阵表示。 4.1.2 密度矩阵 密度矩阵是量子力学的一个重要概念,是1927年von Neumann为了描述量子力学中 的统计概念而引进的，它在量子力学中的主要作用是扩展了态矢量的应用范围,运用求解密度算符的方法能比求解态矢的方法更为普遍地描述一个系统的信息. 用态矢描写的状态可以等价地用一个态密度算符来描写;而一个用密度算符描写的状态却不一定能用一个态矢来描写. 也就是说,混合态以及原子系统只能用密度算符的方法来刻画,而不能用态矢量来刻画. 态矢量或波函数,只能描述纯态,纯态经过相干叠加得到的仍然是纯态. 由若干状态的非相干叠加得到的是混合态. 任一量子系统的任何状态(纯态或混合态) ,总可以用一个厄米的、本征值非负的、迹为1的密度矩阵来表示.

具体的说，纯态是一种可以直接用态矢量 |来描述的量子态，混合态则是由几种纯态依照统计概率组成的量子态。假设一个量子系统处于纯态 321|,|,| ……的概率分别为 1w，2w，3w……，则这混合态量子系统的密度算符  为 ||jiiiw

注意到所有概率的总和为1： 1iiw 假设}{|ib 是一组规范正交基，则对应于密度算符的密度矩阵  ，其每一个元素 ji, 为 jkkikkjiijbbwbb||||

对于这量子系统，可观察量 的期望值为 )(||||AtrAAwAiiiiiii

是可观察量 对于每一个纯态的期望值 iiA||乘以其权值 iw 后的总和。 4.1.3 约化密度矩阵 对于一个多自由度的体系,如果只测量与它的部分自由度相关的可观测量,测量就是不完全量,同样,对于一个复合体系,若只对其子体系的力学量进行观测,也是一个不完全测量,此时对它的任何一个子体系的量子态的描述,必须用约化密度矩阵. 约化密度矩阵是通过对整个系统中的密度矩阵的某一子系求部分迹得到的. 也就是说,如果只对一个大系统中的一部分(它的某个子系统)感兴趣,约化密度矩阵就应当对这个大系统的其余部分求迹. 举一个简单的例子，在两粒子1 ，2构成的系统中，希望求粒子1的某个物理量F(1)的平均值，设粒子1和2各有一组基矢{|i>}和{m}，则在1,2两粒子空间的直积空间中，系统的台式的一般形式是： mimiimc|||

为了使|归一化，系数imc应该满足 imimc2||=1

处在纯态|时，系统的密度算符是 ||||||*''''''miimmimiimmicc 而密度矩阵元immi,''=''mic*imc 现在求粒子1的某个物理量F(1)的平均值： < F(1)>=tr[F(1)]

=''''''||||||)1(||njnjnjnjjnnjF =njnnjjjjjF'''||||||)1(| 令 2||)1(trnnn



2tr

：只对粒子2取迹。

（1）还是粒子1空间的算符，称为粒子1的约化密度算符，在粒子1的某个表象中的矩

阵，称为粒子1的约化密度矩阵。 如此，F(1)的平均值： )]1()1([)1(1FtrF

这个表达式与粒子2无关，只是在粒子1空间的关系。 4.2 重整化方法

重整化方法是一个循环的过程，根据某一个原则在循环的每一步中保留部

分状态，一方面，随着“系统”的“格点”数增加，“系统”的希尔伯特空间维数保持在一定的量级，或者说运算量不再是指数增加的，而是线性增加的；另一方面，即使在很多步循环后，这些被保留的状态经过若干次“放大”后，依然能够“精确地”（在一定的精度范围以内）被用来表示“系统”某一些状态（对应于每一个能量尺度）。

示意图如下： 4.3 密度矩阵重整化方法DMRG 在密度矩阵重整化方法中（DMRG），我们将整个系统看做一个超块（super block）。为了降低超块的维度，我们人为的将其分为系统块（system block）和环境块（environment block）。假设系统块（system block）和 环境块（environment block）的基矢是{|i>}(i=1,2,……

sM)和{|j}（j=1,2……eM）。sM和eM一般并没有要求，可以等，也可以不等。超块

（super block）的哈密顿量的矩阵表示所对应的基矢为{S|}={|i>}{|j>}. 超块的哈密顿量BBH的某个本征态可以写成张量级的形式：

jiMiMjjijijise||,||||),(|11

假设{au|}（a=1,…，m过重整变化矩阵与原来空间{i|}的基矢相联系。从某种意义来说，我们可以将基矢{au|}看做是基矢{i|}的一种“旋转”： simniaiaMamniuu,2,1;,2,1;||1





假设系统子空间的算符用{|au>}来表示，那么，我们得到的超级块的哈密顿量BBH~的，与BBH的本征函数|Ψ>所对应的，本征函数应表示成：

jiujajujamaMiMjaiamaMjsee||),(~||),(~~|

11111





aiu（i=1,2……sM；a=1,……m

赖于{au|}。根据变分原理,这些基矢{au|}应由下面的泛函数极小得到：

2111111),(~),(||),(~||),(~||seseMiMjmaai

aMiMjmaujaji

jujajiji



首先： ''1,),(~aaajMjajaja

e

ja

 然后，我们运用矩阵的奇值分解的办法来讲),(ji分解：



jMiuDji1),(

''1''1),min(aaajMjajaaaiMiaies

eSuumMMM







故 esseseseMjajjmaMmaiMiiaMmMiMjmaajaiaajaiaMiMjMmaajaiarjiMiMjmaaiuuDDuuDuuDujaji111112111221111

2111

2)(

),(~),(







如果我们选择{au}（ma,1）是{u}的子集，则{v}应该与{v}同集。对应于{au}，选择{av}为{v}的子集。由于正交性条件，

eMjrjajMmmavve,1;2,1,01

因此，我们得到： seMiMjmaMmajaiaajaiaDvuvuD111122)(



所以,对于给定的m,当我们所需要的优化子空间基矢{au}（=1,2,……m）是{iu}（=1,2……sM）的子集，并且，{2a}（a=1,2，……m）是{2D}(=1,2……M)中的m

个最大值的结合时，有极小值为：MmrMmrrDD!2!2~||

最后，我们得到的约化密度矩阵'121),(),()',(iiMMjuuDjijiiie 写成矩阵的形式：uDu2 所以我们所要找的优化子空间基矢是约化密度矩阵的本征矢，并且，对相应的本征值是最大的一部分。