流体静力学
流体静力学方程式
流体静力学方程式流体静力学是研究流体在静止状态下的力学性质的学科。
它是流体力学的一个分支，研究流体静止时的压力、密度、重力等因素对流体的影响。
本文将介绍流体静力学的方程式及其应用。
正文流体静力学方程式是描述流体静止时的力学行为的数学表达式。
主要包括两个方程式：流体静力平衡方程和流体连续性方程。
一、流体静力平衡方程流体静力平衡方程是基于力的平衡原理得出的。
它可以用来描述流体内外压力的均衡状态。
在一个封闭的容器中，流体的压力在各个方向上必须保持平衡。
这个平衡关系可以用以下方程式表示：P = ρg其中，P是压力场的梯度，ρ是流体的密度，g是重力加速度。
这个方程式表明流体中各个点的压力梯度与密度和重力加速度之间存在着一定的关系。
二、流体连续性方程流体连续性方程是基于流体质量守恒原理得出的。
它描述了流体在任意两个点之间质量的守恒关系。
对于一个不可压缩的流体（密度恒定），流体连续性方程可以用以下方程式表示：·v = 0其中，·v表示流体速度场的散度。
这个方程式表明流体在任意两个点之间的流量守恒，流出的质量等于流入的质量。
这两个方程式是流体静力学中的基本方程，通过它们可以计算流体静止时的压力分布和速度分布。
在实际的工程应用中，它们被广泛用于分析和设计涉及流体静力学的系统，如水坝、水管等。
总结起来，流体静力学方程式是描述流体静止时力学行为的基本数学表达式。
通过流体静力平衡方程和流体连续性方程，我们可以了解流体静态时的压力分布和速度分布，进而应用于实际工程中的设计和分析。
这些方程式为我们提供了深入理解流体静力学的基础，有助于我们更好地应对与流体静力学相关的问题。
流体力学中的流体静力学方程
流体力学中的流体静力学方程流体力学是研究流体运动和流体行为的物理学科。
它涉及到各种复杂的力学现象，其中之一就是流体静力学方程。
流体静力学方程描述了静止流体中各个点的力学平衡条件，它是流体力学的基础。
在介绍流体静力学方程之前，我们先来了解一下流体静力学的基本概念。
流体是一种无固定形状的物质，包括液体和气体。
流体的特性在很大程度上受到压力的影响。
流体静力学研究的是流体在静止状态下的力学行为，即不考虑流体的运动情况。
流体静力学方程可以通过两个基本方程来描述，分别是压力方程和流体压强分布方程。
1. 压力方程：在流体静力学中，压力是一个非常重要的参数。
它可以通过以下方程来描述：∇P = -ρg其中P是压力，∇P表示压力梯度，ρ是流体的密度，g是重力加速度。
上述方程意味着压力梯度的方向是压力降低的方向。
当流体静止时，压力在任意两点之间的变化只受到重力的影响。
这是因为重力会使流体向下运动，从而导致压力的变化。
2. 流体压强分布方程：流体压强分布方程是描述流体静止状态下压强分布的方程。
它可以通过以下方程来表示：P = P0 + ρgz其中P是流体某一点的压强，P0是参考点的压强，ρ是流体的密度，g是重力加速度，z是从参考点到目标点的垂直距离。
上述方程表明了流体压强随着高度的增加而递减。
这是因为在静止流体中，压强的变化只取决于液体的密度和重力的作用。
除了上述两个基本方程外，流体静力学还涉及到一些附加的方程，如流体的静力平衡方程和流体的表面张力方程。
这些方程在一些特殊情况下起到重要的作用，能够进一步描述流体静止时的行为。
总结起来，流体静力学方程是描述流体静止状态下的力学平衡条件的方程。
它们包括压力方程和流体压强分布方程，能够很好地描述流体静态行为。
在流体力学的研究中，深入理解和应用这些方程对于解决各种与流体静力学相关的问题非常重要。
流体静力学的基本概念
流体静力学的基本概念流体静力学是研究流体静止状态下力学问题的一个分支学科，它研究的是流体在没有任何外力作用下的平衡状态。
本文将介绍流体静力学的基本概念，涵盖了流体的特性、静压力、浮力和大气压等内容。
一、流体的特性流体是指能够流动的物质，包括液体和气体。
流体的特性包括密度、压强、粘性和流动性。
密度是指单位体积内所含质量的量度，它影响着流体的静力学性质。
压强是指单位面积上受到的力的大小，它是流体静力学研究的重要参数。
粘性是流体流动的内在性质，它主要影响流体的黏滞阻力。
流动性是指流体具有流动性质的特性，它使得流体可以流动而不断变形。
二、静压力静压力是指流体由于自身重力而产生的压力。
根据帕斯卡定律，静压力只与流体的高度和密度有关，与容器的形状和大小无关。
静压力的计算公式为P = ρgh，其中P表示静压力，ρ表示流体的密度，g表示重力加速度，h表示流体的高度。
静压力在生活中广泛应用，例如水压问题、水塔和大气压计等。
三、浮力浮力是指物体在液体中受到的向上的力。
根据阿基米德原理，浮力的大小等于被物体所取代的液体的重量。
浮力对于确定物体在液体中的浮沉状态非常重要。
当物体的密度大于液体时，物体将沉没；当物体的密度小于液体时，物体将浮起。
浮力广泛应用于海洋工程、船舶浮力和潜水等领域。
四、大气压大气压是指大气层对单位面积造成的压力。
大气压随着高度的上升而递减，这是由于大气层的厚度不均匀性造成的。
常用的大气压单位是帕斯卡（Pa），标准大气压为101.325kPa。
大气压力对于气象学、高空飞行和气压计测量等领域具有重要意义。
结语本文介绍了流体静力学的基本概念，包括流体的特性、静压力、浮力和大气压。
了解流体静力学可以帮助我们理解流体在静止状态下的行为特点和力学问题。
学习流体静力学不仅是物理学和工程学等学科的基础，也是探索自然界中流体行为的重要一步。
流体力学中的流体静力学
流体力学中的流体静力学流体静力学是流体力学的一个分支，研究静止流体的行为。
它涉及到压力、力的作用和流体的静压力等方面。
本文将介绍流体静力学的基本概念、原理和应用。
一、流体静力学概述流体静力学主要研究静止流体的性质，不考虑流体的运动。
在流体静力学中，我们关注的是流体的压力以及压力的传递和计算。
1.1 压力的定义压力是指单位面积上所受的力，可以用公式P=F/A来表示，其中P 为压力，F为作用力，A为受力面积。
通常情况下，压力是沿法线方向均匀分布的，即P=F/A。
1.2 流体静力学的基本原理根据帕斯卡定律，当外力作用于静止的不可压缩流体时，流体中各点的压强相等。
这意味着在静止流体中，压力在整个流体中传递是均匀且无损失的。
1.3 流体静压力流体静压力是指流体由于受到重力或外力的作用而在垂直平面上的压力。
在静止的流体中，静压力在不同的深度处有不同的大小，按照帕斯卡定律，静压力随深度的增加而增加。
二、流体静压力的计算在流体静力学中，计算流体静压力的方法是基于重力和液体的密度。
下面将介绍两个常见的计算流体静压力的公式。
2.1 绝对压力公式对于水平面上的静止液体，绝对压力公式可以通过公式P=ρgh计算，其中ρ为液体的密度，g为重力加速度，h为液体的高度。
2.2 相对压力公式相对压力是指相对于外部环境的压力变化。
对于不考虑大气压力的情况下，相对压力公式可以通过公式P=ρg(h2-h1)计算，其中h2和h1分别表示液体的两个高度。
三、流体静力学的应用流体静力学在实际工程和科学研究中有广泛的应用。
下面将介绍几个常见的应用场景。
3.1 液体压力传感器流体静压力的均匀性和无损失传递的特性使得它可以用于液体压力传感器的设计。
通过测量液体静压力，可以获得液体容器内液位的信息，进而对液体的流量和压力进行控制。
3.2 水坝工程在水坝工程中，流体静力学可以帮助我们计算水压对水坝的压力。
通过对水坝的结构进行理论分析，可以确保水坝在水压作用下的稳定性和安全性。
第二章 流体静力学
h
h
一、解析法
如图所示，静止液体中有一倾斜放置的平面MN，试求作用 在该平面上的总压力。
1）粗线MN代表其侧视图，正面投影为绕其对称轴转90 度 2）平面MN的延伸面与自由液面的交角为；
3）坐标系：ox轴为平面MN的延伸面与自由液面的交线；
二、欧拉平衡微分方程的全微分形式
p X
x ×dx
p Y
y
×dy
p Z
z
×dz
p dx p dy p dz ( Xdx Ydy Zdz)
x y z
p p(x, y, z) dp p dx p dy p dz x y z
通常作用在流体上的单位 质量力是已知的，利用上 式便可求得流体静压强的 分布规律。
yD
sin Iox
P
sin Iox hc A
sin Iox yc sin A
I ox yc A
引入平行移轴公式 Iox Ic Ayc2
yD
I ox yc A
Ic yc2 A yc A
yc
Ic yc A
由此可知，压力中心D必位于受压面形心c之下。
说明：
工程中常见的受压平面多具有轴对称性（对称轴与
当流体存在真空时，工程习惯上用真空度（负压）表示。
真空
pv pabs pa
道 路
三者关系
当p>pa 时，绝对压强=表压强+当地大气压 当p<pa 时，绝对压强=当地大气压-真空度
p 表压强
p>pa 真空度
当地大气压 pa
绝对压强
p<pa
绝对真空 p=0
流体静力学
a. 测压管:利用液柱高度表达压强的原理制成的简
单的测量装置。
pA hA
pAlsin
b. U型水银测压计
p 0 水 h m 银 水 h 1 h 2
pAp0水 h1
c. 组合水银测压计
p
h1 a
空 气
h2
a h3
b
p水银 gh3 水银 gh2
gh1
b
水银
d. U型管压差计
pBpA水银 h
方程： d p(X dYxd Z y)dz
令 dp＝0 得
Xd Y xd Z yd 0 z
等压面性质：
（1）等压面就是等势面。 dpdU
（2）作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于 通过该点的等压面。
证明：沿等压面移动无穷小距离dL＝idx+jdy+kdz, 则单位质量 力做的功应为Xdx+Ydy+Zdz，显然它等于零，所以，质量 力与等压面相垂直。
对于不可压缩流体，γ＝const，积分（2）式得：
pzC
（3）
代入边界条件：z＝0时，p＝p0
则 C= p0
pp0 z
令 -z＝h 则
pp0 h
（4） （5）
——静力学基本方程
适用条件：静止、不可压缩流体。
二、静力学基本方程式的意义 由（3）式： z p C （6）
1、几何意义
z 位置水头
p 压强水头 该点压强的液柱高度
Ah1h2Bh2h
e. 组合式U形管压差计
p 1 p 2H h g h 2 h 1
2、金属测压计 原理：弹性元件在压强作用下产生弹性变形。 分类：弹簧管式（a）、薄膜式（b）压力表。
3.电测式压力计
流体力学流体静力学
Fy
Fz
1 dxdydz Y 6
1 dxdydz Z 6
11
工程流体力学
第三章、流体静力学
3、导出关系式
• 因流体微团平衡，据平衡条件，其各方向作用力之和均为 零。则在x方向上，有： Px Pn cos(n, x) Fx 0 • 将上面各表面力、质量力表达式代入后得
二、流体静平衡微分方程的积分
1、利用Euler平衡微分方程式求解静止流体中静压 强的分布，可将Euler方程分别乘以dx，dy，dz， 然后相加，得:
p p p dx dy dz ( Xdx Ydy Zdz) x y z 因为 p＝p（x，y，z），所以上式等号左边 为压强p的全微分dp，则上式可写为:
6
工程流体力学
第三章、流体静力学
由此特性可知，静止流体对固体壁 面的压强恒垂直指向壁面。
7
工程流体力学
第三章、流体静力学
2.静止流体中任意一点的各个方向的压力值都 相等。(大小性)
证明思路： 1、选取研究对象（微元体） 2、受力分析（质量力与表面力） 3、导出关系式 4、得出结论
8
px
工程流体力学
（2）质量力 微元体质量：M＝ρdxdydz 设作用在单位质量流体的质量力在x方向上的分量为X。
则质量力在x方向的合力为：X· ρdxdydz
3、导出关系式：
则:
对微元体应用平衡条件 F 0
p X dxdydz dxdydz 0 x
19
工程流体力学
第三章、流体静力学
4、结论：
第三章、流体静力学
以x轴方向为例，如图所示: 1、取研究对象 微元体：无穷小平行六面体， dx、dy、dz → 0 微元体中心：A(x, y, z) 边界面中心点: A1, A2 A1点坐标： A1(x-dx/2，y，z) A2点坐标： A2(x+dx/2，y，z)
流体力学(流体静力学)
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
按泰勒级数展开，把M、N点旳静压强写成
p 1
1 p
pM
p [(x dx) x] x 2
p 2
dx x
p 1
1 p
pN
p
[(x x
dx) x] 2
p
2
dx x
其中 p 为压力在x方向旳变化率。因为微元体旳面积取得足够小，
p1 p2
证明：从静止状态旳流体中引入直角坐标系中二维流体微元来
阐明。
设 y 方向宽度为1。ds 即表达任意方向微元表面。
分析 z 方向旳力平衡
表面力：
p1dscosθ=p1dx和p2dx两个力 二维流体微元旳体积：
z
dV 1 dxdz 2
质量力：
p1ds
ds dz x
θ dx
p3dz
y
Fz
1 2
dp ＝ρ1dU dp ＝ρ2dU 因为ρ1≠ρ2 且都不等于零，所以只有当dp和dU均为零时方程 式才干成立。所以其分界面必为等压面或等势面。
§2－4 流体静力学基本方程
重力作用下压力分布 相对平衡液体旳压力分布
§2—4 流体静力学基本方程
一、重力作用下压强分布
如图所示为一开口容器，其中盛有密度为ρ旳静止旳均匀液体 ，液体所受旳质量力只有重力，又ρ＝常数，重度γ＝ρg也为常数。 单位质量力在各坐标轴上旳分量为
（1）
Z 1 p 0
z
上式称为流体平衡微分方程式，它是 Euler在1755年首先提出 旳，故又称欧拉平衡方程式。它表达流体在质量力和表面力作用下 旳平衡条件。
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sin(2
)
sin(
2
)
2 prl
解2：∵ 右半壁内表面在x方向上的投影面积为：
Ax 2r l
∴
Fx p Ax 2 prl
流体力学基础
流体静力学
液体对固体壁面的作用力
液 压 传 动 中 的 实 例
流体力学基础
作 用 于 平 面 上 的 力
作 用 于 曲 面 上 的 力
流体静力学
压力的单位及其表示方法
Pa
液柱高单位
1atm 1.01325105 Pa 1mm水柱=9.8Pa 1mm汞柱=133.32Pa
流体力学基础
流体静力学
压力的单位及其表示方法
五、液体对固体壁面的作用力
如不考虑液体自重产生的那部分压力，固体表面上各点在某一方向 上所受静压力的总和便是液体在该方向上作用于固体表面的力。
１.作用于平面上的力： 当固体表面为一平面时，静止液体对该平面的作用力F 等于静压力P
F
A0 A
F3
F4
F3
F4
流体力学基础
流体静力学
静压力及其特性
② 若法向力F均匀地作用在 重要性质
A上，则压力可表示为:
p F A
方向
流体静压力的方向必然是沿作用面的内法线方向；
？ 由于液体质点间的凝聚力很小，微小的切力作用就会引起 质点的相对运 动，这就破坏了流体的静力平衡。因此平衡 条件下的流体只能承受压应
① 求液体对固体壁面在某一方向上的分力。
先求出曲面面积A投影到该方向垂直面上的面积Ai，然后用压力p乘以
投影面积Ai，即：
Fi p Ai
② 求出各方向的分力后，按力的合成方法求出合力。即：
F
Fx2
F2 y
F2 z
流体力学基础
流体静力学
压力的单位及其表示方法
例：如图所示液压缸筒，半径为r，其中充满压力为p的液压油。求压力油 对缸筒右半壁内表面在x方向上的作用力Fx。
2.3 气体状态方程
1. 理想气体的状态方程：
理想气体是指没有粘性的气体。 当气体的 p , T 改变时,将引起v,ρ 的显著变化,这些物理量之间的关系服 从理想气体状态方程。
R为气体常数，干空气的
水蒸汽的
流体力学基础
气体状态方程
pv RT p RT
p RT
g
2 . 等温过程 —— 波义耳定律：
三、帕斯卡原理（静压传递原理）
密闭容器内，施加于静止液体内任一点上的压力，将以等 值同时传给液体各点。它是液压传动的基本原理。
如：液压千斤顶、水压机等均依此原理制成。
流体力学基础
流体静力学
帕斯卡原理
静压传动的特点： ① 传动必须在密闭容器中进行；
② 传递的压力（p）取决于外负载的大小，而与流量Q无关；
流体静力学
静压力及其特性
二、重力作用下静止液体的压力分布
1. 静 压 力 基 本 方 程
如图所示：容器中静止液
体所受的力有：液体重力
（FG）、液面上压力（p0） 及容器壁面作用在液体上
的反压力。
该液体中任意一点的静压力可从液体中取微元体进行研究，
微元体在垂直方向上的力的平衡方程为：
p A p0 A FG A p0 A gh A
p a
绝对真空
▪ 绝 对 压 力 ： p j pa gh pa pb
▪ 相 对 压 力 （ 表 压 ） ： pb p j pa gh
▪ 真空压力（真空度）：
pv pa p j pb ghv
流体力学基础
流体静力学
帕斯卡原理
2. 压力的换算：
应力 单位 法定计量单位
1
N m2
1
p p0 gh
静压力的基本方程
流体力学基础
流体静力学
重力作用下静止液体的压力分布
2. 结 论
① 液体内任意一点的压力由两部分组成
② 静止液体中压力随液体深度呈线性分布；
表面力：p0 质量力：ρgh
③压力相等的所有点组成的面积称为等压面。在重力作用下，对均质
连续介质，等压面是一个水平面；
p 0 连通器中，同一水平线上的
流体力学基础
流体静力学
一、液体静压力及其特性
1. 作 用 于 流 体 上 的 力
作用在液体上的力有两种，即质量力和表面力。
① 质量力: 指与流体质量成正比的力。
如：重力、惯性力
直线： F ma
离心： F mr
② 表面力: 指与流体的作用面积成正比的力。 如：固体壁面对液体的作用力，液体表面上气体的作用力等
由图例可知，两缸油液体积的变化 是相等的，即：
V A1v1 A2v2
又： Q V t
Q A1v1 A2v2
③ 液压传动可以将力放大或缩小。
流体力学基础
流体静力学
帕斯卡原理
p F1 F2
A1
A2
四、压力的单位及其表示方法
不同基准的压力表示法
p
p表 p绝
p 1
>
p
a
p
p
a
V
p 绝
p 2
<
第二章 流体力学基础
➢ 液气压传动的工作介质 ➢ 流体静力学 ➢ 气体状态方程 ➢ 流体动力学 ➢ 液压系统的压力损失 ➢ 孔口及缝隙的流量压力特性 ➢ 充、放气温度与时间的计算 ➢ 液压冲击和气穴
2.2流体静力学
流体静力学主要是讨论静止流体的力学特性及其基本 方程，以及在流体传动中的应用。
所谓“静止流体”指的是流体内部质点间没有相对运 动（处于平衡状态），不呈现粘性而言。
p1 p2 常数
T1
T2
5. 绝热状态： pVk 常数
绝热指数: 空 气:
k cp / cv
k 1.4
流体力学基础
气体状态方程
6. 多变过程：
在实际的工作过程中，气体的状态变化过程是复杂的，是一个 多变过程，其状态方程为：
p1V1n p2V2n 常数
当n=0时，p1=p2 ，为等压过程； 当n=1时，p1 V1=p2V2 ，为等温过程； 当n=±∞时，为等容过程；
力，而压力即为内法线方向。
大小
静止流体内任一点的流体静压力在各个方向上都相等，即：作用于一点的 流体静压力的大小与该点的作用面在空间的方位无关。
虽然同一点的各方向压力相等，但不同点的压力却不是一样的， 因流体 是连续介质，所以压力是空间坐标的连续函数， 即： P = f ( x. y. z )
流体力学基础
外力 从液体内部取出的分离体所受的力
流体力学基础
流体静力学
静压力及其特性
内力
2. 流体静压力及其特性
流体处于静止（或平衡）状态时，单位面积上所受到的法向力，称为 静压力（p）。
① 若包含液体某点的微小面积ΔA上所作用的法向力为ΔF， 则该点的静压力p定义为：
F1
F
2
取 F5分离体Ⅱ
△F △A
lim p
当n=k时，为绝热过程；
当k>n>1时，为多变过程；
流体力学基础
气体状态方程
小结与思考题
• 1. 静压传递特点？ • 2. 压力形成的机理？ • 3.液压传动的两个工作特性？
与平面面积A的乘积，其方向垂直于固体表面,其值为：F=PA。
２.作用于曲面上的力： 当固体表面为一曲面时，曲面上各点处静压力是不平行的，液体作用在 曲面上的力在不同方向也是不一样的。要计算液体作用在曲面上的力时，必 须明确所计算的方向。
流体力学基础
流体静力学
压力的单位及其表示方法
具体的计算方法如下所示：
气体状态变化缓慢或气流速度较低时， 气体与外界能进行充分的热交换，视为与 外界温度相等.
3. 等压过程 —— 盖·吕萨克定律：
0
T0 T 0 T
0 1 v
v 1
( K 1 )
273
流体力学基础
气体状态方程
pv 常数
p / 常数
v / T 常数
T 常数
4. 等容过程 —— 查理定律：
液压系统中压力的形成：
流体力学基础
流体静力学
当小活塞上作用力为F1时，小活塞下面液体所承受的
压力为：
p1
F1 A1
在平衡状态下，大活塞无杆腔端面所受压
力为：
p2
F2 A2
由帕斯卡原理： p p1 p2
p F1 F2
A1
A2
帕斯卡原理
负载的运动速度取决于流量Q，而与压力无关。 什么与流量Q有关呢 ?
压力值相等；不互溶液体的
ρ1
h1
h2
分界面的压力相等，即：流体力学基础
流体静力学
重力作用下静止液体的压力分布
④ 液面上的作用力p0将等值的传递到液体内的任意点。当p0 发生变化时，各点的压力值也相应的发生变化。
帕斯卡原理
流体力学基础
流体静力学
重力作用下静止液体的压力分布
解1： 取长度为 l ，宽度为ds的微小面积dA。
dA l ds l r d
压力油对dA的作用力为 dF=p ·dA ，方向为A 的法线方向。
dFx dF cos plr cos d
流体力学基础
流体静力学
液体对固体壁面的作用力
积分得：
2
Fx plr cos d 2
prl