(完整word)复数高考题型归类
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复 数1．复数的概念： （1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
2．复数集整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。
应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。
4．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ； （3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
（6）特殊复数的运算：① ni (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ；③ 若ω=-21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.5．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).（2）复数z=a+bi 的模且2||z z z ⋅==a 2+b 2.6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
(完整版)复数高考题型归类
复数高考题型归类解析例1 （2013年高考全国卷文科）J + ?4 =（1 一0 （）・A+- * - y* R _ 1 + 2~^C-1 + -^-£ D. I 十寺i点评本题考査了臭数的运算性遁;⑴（1 士厅 =士血⑵】的立方棍为I •呱叭且常二例2 （2011年高壇全国卷理科）=（）・A+i B. -£ C, 7T +i D.^5 -i点评解此题先在分母中提取- i,逛约分再化简，大大优化了解题过程*例』（2013年高考题全国卷）若复数工满足（3 -4》=1 4 + 3：I .则盂的虚鄱为（人A, - 4 B. ■令C+ 4 D.点评此题考査了复数的模和虚部的槪念*例4 （2012年高考全国卷）下面是关于复数= 2 -—f—.的四个命题：-1 4- iR： I zl = 2,环/ = 2i, 的井扼寝数为1 +<;巴注的虚部为-1-其中真命题为（人扎P“P、B+尸’為"只D P」，巴点评求复数乂这类题一般解法是用待定系数袪，设出事=a + bi（a,b E/C）*求例& （2007年高垮湖北卷〉设胃寸为实數’且i 士+rhr 青，则“厂一• 点坪本骊羣点等責复数相等的充要条件的运用.側了（2010年高垮重庆卷）复平面内'星数亠+ （1 +再门‘对应的点位于（>■1 + t乩第一象限第二象隈G第二象限D第四象限点评解答此类題的一股方法是：H）先将更数变形化为a + bi（血上G R）的形式*（2）抿据点所fifiR求解・•.例8（2008年高考广东卷）已知0 < a < 2,复数2的实祁为4虚部为1，则I上I的耽值范围是一-练习：1•如果复数z=1+ai满足条件|z| v 2，那么实数a的取值范围是[ ]A. 2 2,2、2B. （-2,2）C. （-1 , 1）D. .3, 32•在平行四边形OABC中，顶点O, A, C分别表示0,3+ 2i, —2 + 4i.则对角线CA所表示的复数的模为_____ ;例5 （2008年高考全国卷）已知复数A.=3+2T,复数工满足z *矶-3z+知，则复数i 3•已知复数z i= i（1 —i）2, |z|= 1，则Z—z i|的取值范围是 --- ；五、技巧运算型•这类题除用到复数的运算祛则外，还要掌握一 些运算技巧.z 满足|z|2— 2|z| — 3 = 0,则复数z 对应点的练习:1•已知复数 轨迹是( 例10(2012年江苏高考模拟题｝已知复数匸A.1个圆B.线段C.2个点D.2个圆Bb 1 — i C. i D,2•如果复数 z 满足 Z + 2i| + |z — 2i| = 4，那么 |z + i + 1的最 小值是( A.1 B. . 2C.2D. ,53•若|z — 2|= |z + 2,贝U |z — 1|的最小值是荒平面内的(hA*第一象限 U 第三象限B-第二象限 D.第四象限点评的交汇此题建复数几何意义与三角順数性质七、轨迹方程型例打 e R 人则丄的对应点府Z的轨迹甘程为—.点评结合两个臭数相薛的条件准芷参数方 程曲参后得轨迹方理「应认真体佥.点评本题是复数与数列的交汇，通过数列考 査复数运算.例12 若出上为锐肃三爲形的两个内角，则复 数 J ：= (co&B - aiiiA) + i( sinfi - cotk4)对应的点位于复数高考题型归类解析例1 （2013年高考全国卷文科）J +=（1 一 0（ ）・A + - * - y *R _ 1 + 2~^C-1 + -^-£ D. I 十寺i点评 本题考査了臭数的运算性輕;⑴（1 ±0° =士 ⑵1的立方棍为I •呱叭且常二 例2 （2011年高壇全国卷理科）=（ ）•A +i B. -£ C, 7T +i D.^3 -i点评解此题先在分母中提取- b 先约分再 化简,大大优化了解题过程”二、基本概念型|例3（2013年高考题全国卷）若复数z 满足（咅 7小 7 4 +3£l t 则卫的虔部为（）, 44A. -4B. -y G4 D.于点评 此题考杳了复数的模和虚部的柢念- 例4 （2C12年高考全国卷）下面是关于复数壬 2 =—的四个命题： 二I 和 尸i ： I 上 I = 2t P ? :z 3 = 2i, 片注的井扼复数为1 +i; 巴注的虚部为-1- 其中真命题为（ 人扎P“P、 B+尸’為"只D P 」，巴例5（2008年高考全国卷）已知复数坯訂+ 2i,复数J 满足:*殆=3工+,则复数i = ______ .点评本题竜点時董复数相等的充奧条件的运用*例7 （2010年画考重庆卷）复平曲内’星数-^― +（1 + An 3对应的点位于（>-）+1乩第一象限 氐第二象隈C 第二象限 IK 第四象限点评 牌答此类題的一般方法是：门）先将复 数变形化为口 +加（血上e /?）的形式；（2）根据点所 在位宜求解.948（2008年高考广东卷）已知0 < a <人复数 I 的实祁为5虚部为1 ■则I 上I 的取值范围是一-练习：1•如果复数z=1+ai 满足条件|z| v 2，那么实数a 的取值 范围是［］A. 2.2,2 .2B. （-2,2）C. （-1 , 1）D. . 3, . 32•在平行四边形 OABC 中，顶点O , A , C 分别表示0,3+ 2i , — 2 + 4i.则对角线CA 所表示的复数的模为 _____ ; 3•已知复数z i = i （1 — i ）2, |z|= 1,则|z — z i |的最大值.这类题除用到复数的运算祛则外’还要掌握一 些运算技巧，例!0（2012年江苏岛考複拟题｝已知复数工=1 +五*则|辛工+ , +…十为（）.1 ■ I A, J + i B. 1 - i C i D ・「i例11 数列仏爲中4 =(1 +叽利*点評 求复数乂这类题一般解法是用待定系数 法■设出 a = e H ） f 求 a %6.例& Q007年高考湖北卷［设为实数.且(1 - E N*),则％的值为( )*A. 2B. -2C.2i 1024*点评本题是复数与数列的交汇，通过数列考査复数运算.例12 若/』为锐肃三鶴形的两个内角，则复数 m = ( co&B - sinA ) + i( v>in8 -cotk4 )对应的点位于境平面内的( )-扎第一象限庄第二象限G第三象限 D.第四象限点评此側是集数几何意丈与三角帳数性质的交汇例打^^ = a+i(a e R人则丄的对应点財X的轨迹方■程为—.点评结合两个貝数相等的条件■建立参数方程■消参后得轨迹方程「应认真休会.已知复数z满足|z|2—2|z|— 3 = 0,则复数z对应点的轨迹是()A.1个圆B.线段C.2个点D.2个圆答案A解析由题意可知(|z|— 3)(|z|+ 1) = 0,即|z|= 3 或|z|=— 1.•- |z|> 0, A |z|= 3.•••复数z对应的轨迹是1个圆•小值是()A.1 B. .'2C.2D. '5答案A解析设复数—2i,2i, —(1 + i)在复平面内对应的点分别为Z1, Z2, Z3,因为|z+ 2i|+ |z—2i| = 4,乙Z2= 4，所最小值，Z o Z3= 1.故选A.8.若|z—2|= |z+ 2|,贝U |z—1|的最小值是______ .答案1解析由|z—2|= |z+ 2|,知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(一2,0)距离相等的点，即虚轴.|z—1|表示z对应的点与(1,0)的距离.• |z—1|min = 1.12.集合M = {z|z—1|W 1, z€ C}, N= {z|z—1 —i| = |z—2|, z€ C}，集合P= M A N.(1) 指出集合P在复平面上所表示的图形；(2) 求集合P中复数模的最大值和最小值.解(1)由|z—1|< 1可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z—1 —i| = z —2可知，集合N在复平面内所对应点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线I,因此集合P是圆面截直线I所得的一条线段AB，如图所示.5.如果复数z满足|z+ 2i| + |z—2i| = 4,那么|z+ i + 11的最以复数z的几何意义为线段Z1Z2，如图所示，问题转因此作Z3Z0丄Z1Z2于Z o，则Z3与Z o的距离即为所求的化为：动点⑵圆的方程为x2+ y2—2x= 0,直线I的方程为y= x— 1.x2+ y2—2x= 0,解得y= x—12 + .2 2 2—、2 2A（—2 ，T），B（_2 ，— T）.•••|0A|= ‘2+ . 2, |0B|= 2 — ,, 2.•••点O到直线I的距离为¥，且过o向I作垂线，垂•集合P中复数模的最大值为 2 + \… 2，最小值为专.。
高考复数的知识题型总结归类
高考复数的知识题型总结一、复数的有关概念(1)复数1.定义：形如a+6i (a, 6WR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位,满足f= —1.二i,产三-1, Z，n-3=-i, 小= 1.)2.表示方法：复数通常用字母z表示，即z=a+6i (a, 6CR),叫做复数的代数形式，a叫做复数z的实部，6叫做复数z的虚部.(注意b是虚部而不是bi)(2)复数集1.定义：全体复数所成的集合叫做复数集.2.表示：大写字母C.(3)复数的分类’3正实数L= 0，-- 是实数QT上;实数0复数z=a+例—负实数一纯虚数hi、3n是虚数1&工°为£2”非纯虚数的虚敷复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系（4 ）复数相等的充要条件a+ 6i = c+ 力=a=c 且b=da+6i = 0=a=6=0. （a, b, c, d 均为实数）说明：要求复数相等要先将复数化为2=&+历（a, 6£R）的形式，即分离实部和虚部.二、复平面的概念点Z的横坐标是a,纵坐标是6,复数*a+6f（a、6£R）可用点Z（a, 6）表示, 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.（1）实轴上的点都表示实数.(2)虚轴上的点都表示纯虚数.(3)原点对应的有序实数对为(0, 0)三、复数的两种几何意义(1)复数z=a+bi (a, Z>GR) -*对应复平而内的点Z (a, b).(2)复数z=a+6i (a, b£R) -*平而向量一OZ复数Z=a+罚(a1亡犬)—寸应点—―->向量无对应四、复数的模复数z=a+6i (a, 6CR)对应的向量为OZ ,则&的模叫做复数z的模，记作;z ,且|z|=^7F 注意：两个虚数是不可以比较大小的，但它们的模表示实数，可以比较大小.五、复数的运算设％=a+6，，z^c+di(a^ b、c、d£R)是任意两个复数，%与Z2 的加法运算律：^+^2= (a^bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d) i.%与Z2 的减法运算律：4-纥=(a+6f)-(c+d£) = (a-c) + (Zy^£Z1 与诙的乘法运算律：21.乏二(a^bi) (c^di)-(ac— bd)^(bc^ad) i.cic + bd ^bc- ad .Z,与否的除法运算律：2一生二（/方）・（6人）=1+/2 /+/ （分母要利用平方差实数化）六、共甄复数1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共枕复数，虚部不等于0的两个共枕复数也叫做共枕虚数.通常记复数Z的共辗复数为5 o例如z=3 + 5i与5=3 — 5i互为共辄复数2.共辗复数的性质（1）实数的共规复数仍然是它本身⑵2区=团:团，（3）两个共规复数对应的点关于实轴对称七、常用结论.⑴"i,（2）（l-i）2=-2i⑶- = -/(5)— = -/ 1 + Z(6)(。
高考数学 真题分类汇编：专题(15)复数(理科)及答案
专题十五 复数1.【20xx 高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．【考点定位】复数的运算．【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题．2.【20xx 高考四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i【答案】C【解析】32222i i i i i i i i-=--=-+=，选C. 【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3.【20xx 高考广东，理2】若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（ ）A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i -【答案】D ．【解析】因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ．【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，z a bi =+的共轭复数为z a bi =-．4.【20xx 高考新课标1，理1】设复数z 满足11z z+-=i ，则|z|=( )（A ）1 （B （C （D ）2【答案】A【解析】由11z i z +=-得，11i z i -+=+=(1)(1)(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z ，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.5.【20xx 高考北京，理1】复数()i 2i -=（ ）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意21i =-.【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i =-，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.6.【20xx 高考湖北，理1】 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-【答案】A【解析】i i i i -=⋅=⨯31514607,所以607i 的共轭复数．．．．为i ，选A . 【考点定位】共轭复数.【名师点睛】复数中，i 是虚数单位,24142434111()n n n n i i i i i i i n +++=-==-=-=∈Z ；，，，7.【20xx 高考山东，理2】若复数z 满足1z i i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+【答案】A 【解析】因为1z i i=-，所以，()11z i i i =-=+ ，所以，1z i =- 故选：A. 【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.8.【20xx 高考安徽，理1】设i 是虚数单位，则复数21i i-在复平面内所对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限【答案】B 【解析】由题意22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi =+在复平面内一一对应的点为(,)Z a b .9.【20xx 高考重庆，理11】设复数a +bi （a ，b ∈R ），则（a +bi ）（a -bi ）=________.【答案】3【解析】由a +得=，即223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.【考点定位】复数的运算.【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算支持．本题首先根据复数模的定义得a +，复数相乘可根据平方差公式求得()()a bi a bi +-22()a bi =-22a b =+，也可根据共轭复数的性质得()()a bi a bi +-22a b =+．10.【20xx 高考天津，理9】i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .【答案】2-【解析】()()()12212i a i a a i -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =-.【考点定位】复数相关概念与复数的运算.【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.11.【20xx 江苏高考，3】设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.【解析】22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=【考点定位】复数的模【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：2211121222||||||||||||.||z z z z z z z z z z ==⋅=，， 12.【20xx 高考湖南，理1】已知()211i i z -=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --【答案】D.【考点定位】复数的计算.【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.13.【20xx 高考上海，理2】若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【答案】1142i +【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142a bi a bi i a b z i ++-=+⇒==⇒=+且 【考点定位】复数相等，共轭复数【名师点睛】研究复数问题一般将其设为(,)z a bi a b R =+∈形式，利用复数相等充要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为(,)z a bi a b R =-∈，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加.【20xx 高考上海，理15】设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若1z 、2z 皆是实数，则12z z -一定不是虚数，因此当12z z -是虚数时，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当1z 、2z 中至少有一个数是虚数，12z z -不一定是虚数，如12z z i ==，即充分性不成立，选B.【考点定位】复数概念，充要关系【名师点睛】形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.。
复数知识点归纳(可编辑修改word版)
精心整理复数【知识梳理】一'复数的基本概念1、虚数单位的性质，叫做虚数单位，并规定：①/可与实数进行四则运算；②这样方程"=-1就有解了，解2、复数的概念(1)定义：形如a + bi(ch heR)的数叫做复数，其中f叫做虚数单位，《叫做，b叫做。
全体复数所成的集合C叫做复数集。
复数通常用字母Z表示，即z = a + hi(a. h^R)对于复数的定义要注意以下几点：® z = a + bi(a, bWR)被称为复数的代数形式，其中加表示b与虚数单位j相乘②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式(2)分类:例题：当实数W为何值时，复数伽-5加+ 6) +伽2-3加”是实数？虚数？纯虚数? 二'复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小例题：已知(x + y-3) + (x-4)/ = 0求x*的值a + hi与c + di共轨o a = cj7 = —d («,b,c、d w R)Z = a + hi的共觇复数记作z = a- hi ,且z •四'复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，兀轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
页脚内容精心整理2、复数的儿何意义复数z = a + hi 与复平面内的点Z(a.h)及平面向量OZ=(a.h) (a.h e R)是一一对应关系(复数的实质 是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量) 相等的向量表示同一个复数 例题：(1)当实数w 为何值时，复平面内表示复数Z = (itr - S/H +15) + (/tr - 5m -14)/的点①位于第三象限；②位于直线y = x 上(2) 复平面内AB = (2,6),已知CD//AB ,求CD 对应的复数 3、复数的模:桥的模，记彳勺b 球"+林，表示点(條仍到原点的距离，卑若Zi=a + hi, % =c + di,则ZI-Z2表示仗上)到(c\d)的距离，即 例题：已知z = 2 + i ,琲z j 申的值 五'复数的运算(1) 运算法则：设 Zi=« + bi，Z2=c+〃i, a, b, c,① Z] ± Z2 = G + 加 + C + 山=(G + c) + (/? + d ) j ② Zi • Z2 = (" + bi) • (c + di) = (ac -hd) + (be + ad )i③ Z] _(a + bi) _ (a + hi){c- di) _ (ac + hd) + (be - ad)i Z2 (c + di) (c + di) - (c -di) (2) 儿何总义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行•如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的儿何意义，即=+ ,= 六'常用结论(1) i , r =-b F = -i, /■* = 1求厂，只需将《除以4看余数是儿就是j 的儿次 例题：严=(2) (l+/)- = 2/ (!-/)-=-2/ (3) (一]±£沪=1,(]±£O 3=_]2 2 2 2【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“ J ”或"X ”)(1) 方程界+x+1=0没有解.()页脚内容⑵复数z=a-^ln(a, bWR)中，虚部为仞.()(3) 复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( (4) 原点是实轴与虚轴的交点.()(5) 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(【考点自测】向量＜9^的模叫做复数z = G +-E A J(a —c)2+e-d)2yZa1.(2015•安徽)设i是虚数单位，则复数(I-i)(l+2i)等于(A・3 + 3iB•— 1 +3iC・3 + iD•— 1 +i2.(2015•课标全国1 )已知复数Z满足(zT)i=l+i，贝Uz等于(A・一2-iB・一2 + iC・2-iD・2 + i 3•在复平面内，复数6+5i, -2 + 3i对应的点分别为q, B•若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(A・4+8iB・8+2iC・2+4iD・4+i4.已知"，"SR, i是虚数单位.若a+i=2-bi,则(«+hi)2等于(A・3-4iB・3+4iC・4-3iD・4+3i 5.已知O+2i)=4+3i,则2=【题型分析】题型一复数的概念例1⑴设i是虚数单位•若复数z=a-(aGR)是纯虚数，则"的值为(A. — 3B.— 1C.1D.3(2)己知aSR,复数zi=2+di, Z2=l-2i,若为纯虚数，则复数的虚部为(A・lB・iC・D・0⑶若0=（"* +加+1） +伽2 + m_4）i伽SR）, Z2 = 3-2i,贝1」"加=1” 是"ZI=Z2” 的（A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分乂不必要条件引申探究1.对本例⑴中的复数Z,若lzl=，求"的值2.在本例⑵中，若为实数，则a二思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项精心整理（1）复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只謝e复数化为代数形式,列岀实部和虚部满足的方程（不等式）组即可.（2）解题时一定要先看复数是否为U + bi（u , bSR）的形式,以确定实部和虚部.跟踪训练1 （1）若复数z=Cv2-l）+Cv-l）i为纯虚数，则实数X的值为（A.-IB-0CJD.-1 或I （2）（2014•浙江）已知1是虚数单位，心bSR,则S=b=r是“（“+bi）2=2i”的（A•充分不必要条件B•必要不充分条件C.充分必要条件D•既不充分也不必要条件题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2 （1）（2015-湖北）i为虚数单位，河7的共辄复数为（A.iB. —iC.lD.— 1 (2)(2015•北京)复数i(2-i)等于(AJ+2iB・l-2iC・一l+2iD・一l-2i命题点2复数的除法运算例3 （1）（2015-湖南）S知= l+i（i为虚数单位），则复数Z等于（A.l+iBJ — iC.— I +iD.— 1 ⑵()6+ =命题点3复数的运算与复数概念的综合间题例4 （1）（2015・天津）i是虚数单位，若复数（l—2i）S+i）是纯虚数，则实数a的值为⑵（2014•江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则Z的实部为命题点4复数的综合运算例5 （1）（2014•安徽）设i是虚数单位，表示复数Z的共轨复数•若z=l+i，则+ i•等于（A・一2B・一2iC・2D・2i⑵若复数Z满足（3—4i）z=l4+3ih则Z的虚部为（A.—4B.—C.4D.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法•复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.⑵复数的除法•除法的关键是分子分母同乘以分母的共馳复数,解题中要注意把i的幕写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综^题,先?IJ用复数的运算法则化简,F化为a + , bWR)的形式,再结合相关定义解答.⑷复数的运算与复数几何意义的综合题•先利用复数的运算法则化简,一般化为a + ln(a , bSR)的形式,再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法则进行运算,要注意运算顺序,要先算乘除，后算加减,有括号要先算括号里面的.跟踪训练2 (1)(206山东)若复数Z满足=i,其中i为虚数单位，贝"等于(A.I — iB・l +iC・—1 — iD.— 1 +i(2严= __________ .(3)+ 2016= ______题型三复数的几何意义例6 (1)(2014-重庆)实部为一2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的(A•第一象限B•第-•象限C•第三象限D•第四象限⑵△ABC的三个顶点对应的复数分别为ZI, Z2, Z3r若复数Z满足U-zil=lz-Z21=lz-Z3U贝iJz对应的点为△ABC的( )页脚内容A•内心B•垂心C.lfi心D・外心思维升华因为复平面内的点.向量及向量对应的复数是——对应的，要求某个向量对应的复数时, 只要找出所求向a的始点和终点,或者用向量相等直接给岀结论即可.跟踪训练3仃J如图，在复平面内，点A表示复数Z,则图中表示Z的共觇复数的点是(A・AB・BC・CD・D⑵已知z是复数，z+2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z+di)2在复平面内对应的点在第一象限,【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例已知川y为共辄复数，且(x+y)-—3xyi=4—6i,求后y.页脚内容精心整理思维点拨 ⑴」y 为共牠复数，可用复数的基本形式表示岀来； ⑵利用复数相等,将复数问题转化为实数问题. 温馨提醒（1）复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法.（2） 本题求解的关键是先把心y 用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方 法.（3）本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1・复数的代数形式的运算主要有加.减.乘.除及求低次方根•除法实际上是分母实数化的过程. 2•复数z = « +仞@ . bSR ）是由它的实部和虚部唯一确定的,两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的主要方法•对”个复数Z = a + bi （“ ,eR ）,既要从整体的角度去认识它,把复 数看成一个整体,又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.3•在复数的几何意义中,加法和减法对应向量的三角形法则,其方向是应注意的问题，平移往街口加法、减法相结合. 【失误与防范】1 •判定复数是实数,仅注重虚部等于0是不够的,还需考虑它的实部是否有意义. 2•两个虚数不能比较大小.3•注意复数的虚部是指在卄洌@ , bWR ）中的实数»即虚部是一个实数.【巩固练习】1.（2015-福建）若（1+0+（2 — 3i ）=«+bi3 beR, i 是虚数单位），则G 方的值分别等于（ A.3, —2C3 -3 2•设z=+i,则Izl 等于（A.BCD.2 3.（2015•课标全国］［）若"为实数，且（2+"i ）（a — 2i ） = -4i,则"等于（ A.-IB-0CJD-2 4•若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z,则表示复数的点是（A.EB.FC.GD.H5. （2014•江西）是Z 的共觇复数，若z+=2,（Z —）i=2（i 为虚数单位），则z 等于（ A.l +iB ・ —1 — iC. — 1 +iD ・l — i6. (2015•江苏)设复数z 满足z2=3+4i(i 是虚数单位)，则Z 的模为. 7•若=u+bia b 为实数，i 为虚数单位)，贝iJ«+/7= ____________ •&复数(3 + i)加一(2+i)对应的点在第三象限内，则实数山的取值范圉是 9•汁算：(1)； (2)；⑶+ ； (4).10.复数z 】 = + (10-«2)i, z2=+(加一5)i,若i+z2是实数，求实数《的值.【能力提升】 B ・3,2 D.-L411 •复数Z" Z2满足Z I=/N+(4—/zP)ir Z2=2cos&+0+3sin&)i("h 几&eR),并且Zi=Z2，则x 的取值范^是(12.设和)="+"(“eN)则集合中元素的个数为(AJB.2C.3D.无数个13•已知复数且lz-2l=.则的最大值为_______________________ •14.设《eR,若复数Z= +在复平面内对应的点在直线x+y=0上，则《的值为.15.若1+i是关于X的实系数方程界+应+Q=0的一个复数根，则〃= _________________【巩固练习参考答案】1 A・2・B・3・B・4・D・5・D・6・・7・3・&"】＜• 9•解(1)= = - 1 - 3i・ (2) = = = = + i・(3) + = + = + =- 1.(4)=10•解1 +Z2 = + ("2 - 10)1 + + (2a - 5)1= + [(o^ - 10) + (2a - 5)]i =+ (a- + 2a - 15)i.V1 + Z2 是实数,A«- + - 15 = 0 ,解彳專a= - 5 或w = 3.又(0 + 5)(。
复数高考题汇总(K12教育文档)
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复数高考题汇总一．选择题 1.下列n 的取值中,使n i =1(i 是虚数单位）的是 ( ）A.n=2 B 。
n=3 C 。
n=4 D 。
n=52。
设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z +=（ ) A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ． 1i +3.在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于 （ ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4。
复数31i i --等于 ( ） A ．i 21+ B 。
12i - C 。
2i + D.2i -5。
i 是虚数单位,若17(,)2i a bi a b R i+=+∈-,则乘积ab 的值是（ ） （A)－15 （B ）－3 (C ）3 （D)156。
若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．1-或17.复数32322323i i i i+--=-+ （ ） (A)0 （B ）2 （C ）-2i (D ）28。
复数2(12)34i i+-的值是 （ ) Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.－i Ｄ。
i9.已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1,则z 的取值范围是（ ）A ．(15)， B ．(13)， C ．(1 D ．(110。
高考数学真题题型分类解析专题专题02 复数
一、复数的概念
（ ） 叫虚数单位，满足 ，当 时， ． 1 i
i2 = −1 k ∈ Z
i 4k = 1, i 4 k +1 = i, i 4k + 2 = −1, i 4k +3 = −i
（2）形如 a + bi(a, b∈ R) 的数叫复数，记作 a +bi∈C ．
高考数学真题题型分类解析 专题 02 复数
命题解读
考向
高考对复数的考查，重点是复数的运 共轭复数、复数的除法运算
算、概念、复数的模、复数的几何意义 等，难度较低.
复数的乘法运算 复数的几何意义
复数的模
考查统计 2022·新高考Ⅰ卷，2 2023·新高考Ⅰ卷，2 2024 新高考Ⅰ卷，2 2022·新高考Ⅱ卷，2 2023 新高考Ⅱ卷，1 2024·新高考Ⅱ卷，1
综上所述，无论方程的判别式b2 −4ac 的符号如何，韦达定理都成立，于是韦达定理能被推广到复数根的
情况，即实系数一元二次方程ax2 +bx + c = 0（ a 、b 、c∈ R 且a ≠ 0 ）的两个根与系数满足关系
， x1
+
x2
=
−
b a
x1 x2
=
c a
4 / 11
一、单选题
1．（2024·安徽芜湖·三模）已知复数
=
(1− i)2
−2i
=
= −1− i .
−2i
故选：D
5．（2024·山东德州·三模）已知复数 z 满足： z − i(2 + z) = 0 ，则 z = （ ）
． ． ． ． A −1− i B −1+ i C 1+ i D 1− i 【答案】B
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(复数)汇编(附答案)
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(复数)汇编考点01 求复数的实部与虚部1．（2020∙全国∙高考真题）复数113i-的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．3102．（2020∙江苏∙高考真题）已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 .考点02 复数相等1．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （ ） A ．‐1B ．0 ∙C ．1D ．22．（2022∙浙江∙高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（ ） A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（ ） A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（ ） A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-5．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -考点03 共轭复数1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设z ，则z z ⋅=（ ）A ．2-BC ．D ．22．（2024∙全国甲卷∙高考真题）若5i z =+，则()i z z +=（ ） A ．10iB ．2iC ．10D ．23．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1B ．1C ．1-D ．1-4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）设252i1i i z +=++，则z =（ ）A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +5．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1i22iz -=+，则z z -=（ ） A ．i -B ．iC ．0D ．16．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1z =-，则1zzz =-（ ）A ．1-B ．1-C ．13-D ．13-8．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．29．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -10．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +考点04 复数的模1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知1i z =--，则z =（ ）A ．0B ．1C D ．22．（2023∙全国乙卷∙高考真题）232i 2i ++=（ ）A ．1B ．2CD ．53．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2022∙北京∙高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（ ） A ．1B ．5C ．7D ．255．（2020∙全国∙高考真题）若312i i z =++，则||=z （ ） A ．0 B ．1CD ．26．（2020∙全国∙高考真题）若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1CD ．27．（2020∙全国∙高考真题）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -= . 8．（2019∙全国∙高考真题）设3i12iz -=+，则z =A ．2 BC D ．19．（2019∙天津∙高考真题）i 是虚数单位，则51ii-+的值为 . 10．（2019∙浙江∙高考真题）复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z = .考点05 复数的几何意义1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1B ．1C ．1-D ．1-3．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2020∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（ ）． A ．12i +B ．2i -+C ．12i -D ．2i --5．（2019∙全国∙高考真题）设z =‐3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．（2019∙全国∙高考真题）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y += B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=参考答案考点01 求复数的实部与虚部1．（2020∙全国∙高考真题）复数113i-的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D【详细分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【答案详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【名师点评】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 2．（2020∙江苏∙高考真题）已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 . 【答案】3【详细分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值. 【答案详解】∵复数()()12z i i =+-∴2223z i i i i =-+-=+ ∴复数的实部为3.故答案为：3.【名师点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．考点02 复数相等1．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （ ） A ．‐1 B ．0 ∙ C ．1 D ．2【答案】C【详细分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【答案详解】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=，所以22210a a =⎧⎨-=⎩，解得：1a =． 故选：C.2．（2022∙浙江∙高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（ ） A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==【详细分析】利用复数相等的条件可求,a b .【答案详解】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=， 故选：B.3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（ ） A ．1,1a b ==- B ．1,1a b == C ．1,1a b =-= D ．1,1a b =-=-【答案】A【详细分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【答案详解】因为,a b ÎR ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-． 故选：A.4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（ ） A ．1,2a b ==- B ．1,2a b =-= C ．1,2a b == D ．1,2a b =-=-【答案】A【详细分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可 【答案详解】12z i =-12i (12i)(1)(22)i z az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩ 故选:A5．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．1i + D ．1i -【答案】C【详细分析】设i z a b =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【答案详解】设i z a b =+，则i z a b =-，则()()2346i 46i z z z z a b ++-=+=+， 所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1i z =+. 故选：C.考点03 共轭复数1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设z ，则z z ⋅=（ ）A ．2-BC ．D ．2【详细分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【答案详解】依题意得，z =，故22i 2zz =-=. 故选：D2．（2024∙全国甲卷∙高考真题）若5i z =+，则()i z z +=（ ） A ．10i B ．2i C ．10 D ．2【答案】A【详细分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【答案详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=. 故选：A3．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1B ．1C ．1- D ．1-【答案】D【详细分析】根据复数的几何意义先求出复数z ，然后利用共轭复数的定义计算.【答案详解】z 在复平面对应的点是(-，根据复数的几何意义，1z =-，由共轭复数的定义可知，1z =-. 故选：D4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）设252i1i i z +=++，则z =（ ）A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +【答案】B【详细分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【答案详解】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+. 故选：B.5．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1i22iz -=+，则z z -=（ ） A ．i - B ．i C ．0D ．1【答案】A【详细分析】根据复数的除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出． 【答案详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．6．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详细分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【答案详解】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 3z z += 故选：D.7．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1z =-，则1zzz =-（ ）A ．1- B ．1- C ．13-D ．13-【答案】C【详细分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【答案详解】1(1113 4.z zz =-=--=+=113z zz ==-- 故选 ：C8．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）若i(1)1z -=，则z z +=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】D【详细分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z +.【答案详解】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D9．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设()()2346i z z z z ++-=+，则z =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．1i + D ．1i -【答案】C【详细分析】设i z a b =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【答案详解】设i z a b =+，则i z a b =-，则()()2346i 46i z z z z a b ++-=+=+， 所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1i z =+. 故选：C.10．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +【答案】C【详细分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【答案详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C.考点04 复数的模1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知1i z =--，则z =（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】C【详细分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【答案详解】若1i z =--，则z ==故选：C.2．（2023∙全国乙卷∙高考真题）232i 2i ++=（ ）A ．1B ．2CD ．5【答案】C【详细分析】由题意首先化简232i 2i ++，然后计算其模即可. 【答案详解】由题意可得232i 2i 212i 12i ++=--=-，则232i 2i 12i ++=-=故选：C.3．（2022∙全国甲卷∙高考真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详细分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【答案详解】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 3z z += 故选：D.4．（2022∙北京∙高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（ ） A ．1 B ．5C ．7D ．25【答案】B【详细分析】利用复数四则运算，先求出z ，再计算复数的模．【答案详解】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故|5|z ==．故选：B ．5．（2020∙全国∙高考真题）若312i i z =++，则||=z （ ） A ．0 B ．1C D ．2【答案】C【详细分析】先根据2i 1=-将z 化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．【答案详解】因为31+2i i 1+2i i 1i z =+=-=+，所以 z ==． 故选：C ．【名师点评】本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题．6．（2020∙全国∙高考真题）若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】D【详细分析】由题意首先求得22z z -的值，然后计算其模即可.【答案详解】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.【名师点评】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.7．（2020∙全国∙高考真题）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -= .【答案】【详细分析】方法一：令1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，根据复数的相等可求得2ac bd +=-，代入复数模长的公式中即可得到结果.方法二：设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形12OZ PZ 为菱形，12OZ OZ 2OP ===，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算12z z -. 【答案详解】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=+，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=， 222222()()2()4a c b d a c b d ac bd ∴+++=+++++=2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-===.故答案为：方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+,由已知122OZ OZ OP ====,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z z Z Z -==.【名师点评】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解 8．（2019∙全国∙高考真题）设3i12iz -=+，则z =A ．2 BC D ．1【答案】C【详细分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z ，再求z ．【答案详解】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z =，故选C ． 【名师点评】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解． 9．（2019∙天津∙高考真题）i 是虚数单位，则51ii-+的值为 .【详细分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．【答案详解】5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-． 【名师点评】本题考查了复数模的运算，是基础题. 10．（2019∙浙江∙高考真题）复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z = .【答案】2【详细分析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【答案详解】1|||1|2z i ==+.【名师点评】本题考查了复数模的运算，属于简单题.考点05 复数的几何意义1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【详细分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义详细分析判断.【答案详解】因为()()213i 3i 38i 3i 68i +-=+-=+，则所求复数对应的点为()6,8，位于第一象限.故选：A.2．（2023∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(-，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1B ．1C ．1- D ．1-【答案】D【详细分析】根据复数的几何意义先求出复数z ，然后利用共轭复数的定义计算.【答案详解】z 在复平面对应的点是(-，根据复数的几何意义，1z =-，由共轭复数的定义可知，1z =-.故选：D3．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）复数2i13i --在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【详细分析】利用复数的除法可化简2i13i --，从而可求对应的点的位置. 【答案详解】()()2i 13i 2i 55i 1i 13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，该点在第一象限，故选：A.4．（2020∙北京∙高考真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（ ）．A ．12i +B ．2i -+C ．12i -D ．2i -- 【答案】B【详细分析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果.【答案详解】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-.故选：B.【名师点评】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本详细分析求解能力，属基础题. 5．（2019∙全国∙高考真题）设z =‐3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【详细分析】先求出共轭复数再判断结果.【答案详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（‐3，‐2）位于第三象限．故选C ．【名师点评】本题考点为共轭复数，为基础题目．6．（2019∙全国∙高考真题）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x += 【答案】C【详细分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【答案详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -==则22(1)1y x +-=．故选C ．【名师点评】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．。
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复数高考题型归类解析
一、基本运算型
二、基本概念型
三、复数相等型
四、复数的几何意义型
练习：
1.如果复数z=1+ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值
范围是[ ]
A.()
22,22
- B.（-2，2） C.（-1，1） D.(3,3
-
2.在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3
＋2i，－2＋4i.则对角线CA
→
所表示的复数的模为；
3.已知复数z1＝i(1－i)2，|z|＝1|z－z1|的取值范围
是；
五、技巧运算型
六、知识交汇型
七、轨迹方程型练习：
1.已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是()
A.1个圆
B.线段
C.2个点
D.2个圆
2.如果复数z满足|z＋2i|＋|z－2i|＝4，那么|z＋i＋1|的最小值是()
A.1
B. 2
C.2
D. 5
3.若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是.
复数高考题型归类解析
一、基本运算型
二、基本概念型
三、复数相等型
四、复数的几何意义型
练习：
1.如果复数z=1+ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值
范围是[ ]
A.()
22,22
- B.（-2，2） C.（-1，1） D.()
3,3
-
2.在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3
＋2i，－2＋4i.则对角线CA
→
所表示的复数的模为；
3.已知复数z1＝i(1－i)2，|z|＝1，则|z－z1|的最大值.
五、技巧运算型
六、知识交汇型
七、轨迹方程型
已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是()
A.1个圆
B.线段
C.2个点
D.2个圆
答案 A
解析由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1.
∵|z|≥0，∴|z|＝3.
∴复数z对应的轨迹是1个圆.
5.如果复数z满足|z＋2i|＋|z－2i|＝4，那么|z＋i＋1|的最小值是()
A.1
B. 2
C.2
D. 5
答案 A
解析设复数－2i,2i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋2i|＋|z－2i|＝4，Z1Z2＝4，所以复数z的几何意义为线段Z1Z2，如图所示，问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求ZZ3的最小值.
因此作Z3Z0⊥Z1Z2于Z0，则Z3与Z0的距离即为所求的最小值，Z0Z3＝1.故选A.
8.若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是.
答案 1
解析由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴.|z－1|表示z对应的点与(1,0)的距离.∴|z－1|min＝1.
12.集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z －2|，z∈C}，集合P＝M∩N.
(1)指出集合P在复平面上所表示的图形；
(2)求集合P中复数模的最大值和最小值.
解(1)由|z－1|≤1可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z－1－i|＝|z－2|可知，集合N在复平面内所对应点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此集合P是圆面截直线l所得的一条线段AB，如图所示.
(2)圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 直线l 的方程为y ＝x －1.
解⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x －1
得 A (2＋22，22)，B (2－22，－22).
∴|OA |＝
2＋2，|OB |＝
2－ 2.
∵点O 到直线l 的距离为2
2，且过O 向l 作垂线，垂足在线段BE 上，∴
22
<2－ 2.
∴集合P 中复数模的最大值为2＋2，最小值为
22
.。