复数问题的类型与解法
高中数学复数知识点总结
高中数学复数知识点总结复数是数学中一个重要的概念，它在高中数学中占据着重要的地位。
复数的引入，不仅拓展了数学的范畴，而且在实际问题中有着广泛的应用。
本文将对高中数学中关于复数的知识点进行总结，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这一部分内容。
一、复数的定义。
复数是由实数和虚数单位i组成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
实数可以看作是虚部为0的复数，而虚数可以看作是实部为0的复数。
二、复数的运算。
1. 复数的加法和减法。
设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，则z₁±z₂=(a₁±a₂)+(b₁±b₂)i。
2. 复数的乘法。
设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，则z₁×z₂=(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i。
3. 复数的除法。
设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，且z₂≠0，则z₁÷z₂=(a₁a₂+b₁b₂)/(a₂²+b₂²)+(b₁a₂-a₁b₂)/(a₂²+b₂²)i。
三、复数的表示形式。
1. 三角形式。
若z=a+bi，设z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ=arg(z)。
2. 指数形式。
若z=a+bi，设z=re^(iθ)，其中r=|z|，θ=arg(z)。
四、复数的共轭和模。
1. 复数的共轭。
设z=a+bi，则z的共轭是a-bi，记作z。
2. 复数的模。
设z=a+bi，则|z|=√(a²+b²)。
五、复数方程的解法。
1. 一元二次方程。
对于形如az²+bz+c=0的一元二次方程，可以使用求根公式z=(-b±√(b²-4ac))/(2a)来求解。
2. 复数方程。
对于形如az²+bz+c=0的复数方程，同样可以使用求根公式来求解，只是此时可能会有两个共轭复数解。
解复数方程的常见方法与技巧
解复数方程的常见方法与技巧复数方程是指含有复数变量的方程。
解复数方程是求出满足方程的所有复数解的过程。
在数学中，解复数方程的常见方法和技巧有以下几种。
一、图像法图像法是解复数方程的一种直观方法。
我们可以将复数方程转化为在复平面上的几何问题。
利用复数的模和幅角的性质，我们可以通过观察复平面上的图像来找到解。
例如，对于方程z^2=1，我们可以将其转化为在复平面上求两个点的问题，即找到模为1，幅角为0或π的点作为解。
通过画出复平面上的点和线，我们可以直观地找到方程的解。
二、代数方法代数方法是解复数方程的一种常用方法。
我们可以通过代数运算和方程变形来求解方程。
例如，对于方程z^2+2z+2=0，我们可以利用配方法将其转化为完全平方的形式。
然后，通过求解完全平方后的方程来找到解。
代数方法通常适用于形式更为复杂的复数方程。
三、方程组法方程组法是解复数方程组的一种有效方法。
当复数方程中存在多个未知量时，我们可以将其转化为一个方程组，然后通过求解方程组来找到解。
例如，对于方程组z^2+w=5和2z+w=3，我们可以联立这两个方程，消去变量w，然后求解剩余的未知量z。
通过方程组法，我们可以将复数方程中的多个未知量转化为一个或几个方程，从而求解复数方程。
四、三角形式法三角形式法是解复数方程的一种常用技巧。
利用复数的三角形式，我们可以将复数方程转化为三角方程，然后求解得到解。
例如，对于方程z^2=2，我们可以将复数z表示为模和幅角的形式，然后将方程转化为一个三角方程。
通过求解三角方程，我们可以找到复数方程的解。
总结起来，解复数方程的常见方法和技巧包括图像法、代数方法、方程组法和三角形式法。
不同的方法适用于不同类型的复数方程。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的方法来解决复数方程。
通过灵活运用这些方法和技巧，我们可以高效地求解复数方程，进而提升数学解题的能力和水平。
这些是解复数方程的常见方法与技巧，希望对你有所帮助。
复数的运算与复数方程的解法
复数的运算与复数方程的解法复数是由实数和虚数组成的数，包含实部和虚部。
在复数的运算中，可以进行加法、减法、乘法和除法操作。
同时，复数也可用于解决复数方程。
一、复数的加减法运算复数的加减法运算可以通过实部和虚部的相加减来完成。
假设有两个复数z1和z2，分别表示为z1=a1+bi，z2=a2+bi，其中a1和a2为实部，b为虚部。
1. 加法运算z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i2. 减法运算z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i通过以上公式，我们可以利用实部和虚部对复数进行相加减运算。
二、复数的乘法运算复数的乘法运算可以通过公式(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i来完成。
1. 将两个复数展开并按照实部和虚部分别相乘，得到的结果相加即可。
例如，有复数z1=3+2i，z2=4-5i，我们可以将它们进行乘法运算：z1*z2=(3+2i)(4-5i)=(3*4-2*5)+(3*(-5)+2*4)i=(12-10)+(-15+8)i=2-7i三、复数的除法运算复数的除法运算可以通过乘法的逆运算-相乘数的倒数来完成。
假设有两个复数z1和z2，分别表示为z1=a1+bi，z2=a2+bi，其中a1和a2为实部，b为虚部。
1. 将复数z2的共轭复数(实部相同，虚部取相反数)作为除数，即z2的共轭复数为a2-bi。
2. 将z1乘以z2的共轭复数。
3. 将结果的实部除以z2和z2的共轭复数的模的平方，虚部除以模的平方，得到的商即为除法运算结果。
四、复数方程的解法复数方程是指方程中未知数是复数的方程，一般形式为az + b = 0，其中a和b为已知复数。
1. 将方程转化为标准形式：az = -b。
2. 计算方程中的变量z，得到复数解。
例如，解复数方程2z + 3i = 0：2z = -3iz = -3i/2通过以上步骤，我们可以求解复数方程的解。
总结：复数的运算可以通过实部和虚部的加减乘除运算完成，运算的结果仍然是一个复数。
解决数学中的复数方程复数的运算与解法
解决数学中的复数方程复数的运算与解法解决数学中的复数方程——复数的运算与解法数学中的复数方程是指包含复数的方程。
复数本质上是由实数和虚数部分组成，表示为a+bi，其中a是实部，bi是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
在解决复数方程的过程中，我们需要了解复数的运算规则和解法。
一、复数的运算规则1. 加法运算：将两个复数的实部和虚部分别相加即可。
例如：(2 + 3i) + (-4 + 5i) = (2 - 4) + (3 + 5)i = -2 + 8i2. 减法运算：将两个复数的实部和虚部分别相减即可。
例如：(2 + 3i) - (-4 + 5i) = (2 + 4) + (3 - 5)i = 6 - 2i3. 乘法运算：根据FOIL法则，将两个复数的实部和虚部进行分别相乘，并结合虚数单位的平方规则，得到最终结果。
例如：(2 + 3i) * (-4 + 5i) = (2 * -4) + (2 * 5i) + (3i * -4) + (3i * 5i)= -8 + 10i - 12i + 15i²= -8 + 10i - 12i - 15= -23 - 2i4. 除法运算：将两个复数分别乘以其共轭复数，再利用共轭复数的性质进行化简。
最后将结果分别除以共轭复数的模的平方。
例如：(2 + 3i) / (-4 + 5i) = (2 + 3i)(-4 - 5i) / (-4 + 5i)(-4 - 5i)= (-8 - 10i - 12i + 15) / (16 + 20i - 20i - 25i²)= (-17 - 22i) / (41)= -17/41 - 22i/41二、复数方程的解法1. 一元一次复数方程的解法：一元一次复数方程的一般形式为az + b = 0，其中a和b为复数，z 为未知数。
解法与实数方程类似，将方程转化为az = -b，并通过除以a 的操作解得z。
例如：3z + 5i = 7 - 2i3z = 7 - 2i - 5iz = (7 - 2i - 5i) / 32. 二次复数方程的解法：二次复数方程的一般形式为az² + bz + c = 0，其中a、b和c为复数，z为未知数。
高中数学解题技巧之复数方程求解
高中数学解题技巧之复数方程求解在高中数学中，复数方程是一个重要的内容，它涉及到复数的运算和方程的解法。
掌握复数方程的求解技巧，不仅可以帮助我们解决具体的问题，还能提高我们的数学思维能力。
本文将介绍一些常见的复数方程求解方法，并通过具体的题目进行说明，帮助读者更好地理解和应用。
一、一次方程的复数解复数方程中的一次方程是最简单的一种情况，它可以表示为：ax + b = 0其中，a和b都是实数，x是复数。
要求解这个方程，我们可以通过移项和化简的方法来进行。
例题1：求解方程2x + 3 = 0解法：首先，将方程中的常数项3移到等式的右边，得到2x = -3。
然后，将方程两边同时除以2，得到x = -3/2。
所以，方程2x + 3 = 0的解为x = -3/2。
例题2：求解方程3x - 2i = 0解法：首先，将方程中的常数项-2i移到等式的右边，得到3x = 2i。
然后，将方程两边同时除以3，得到x = 2i/3。
所以，方程3x - 2i = 0的解为x = 2i/3。
通过以上两个例题可以看出，一次方程的复数解可以通过移项和化简的方法求解，注意在复数解中，虚部的表示方式为i。
二、二次方程的复数解二次方程是复数方程中常见的一种情况，它可以表示为：ax² + bx + c = 0其中，a、b、c都是实数，x是复数。
要求解这个方程，我们可以通过配方法、求根公式和因式分解的方法来进行。
例题3：求解方程x² + 4x + 5 = 0解法：首先，根据二次方程的求根公式，可以得到方程的两个根为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a将方程的系数带入公式中，可以得到x = (-4 ± √(-4))/ 2 = -2 ± i。
所以，方程x²+ 4x + 5 = 0的解为x = -2 ± i。
例题4：求解方程2x² + 3x + 1 = 0解法：首先，根据因式分解的方法，可以将方程进行分解为(2x + 1)(x + 1) = 0。
高三数学 复数的运算,在复数集中解方程,复数运算的几何意义 知识精讲
高三数学 复数的运算，在复数集中解方程，复数运算的几何意义 知识精讲（一）复数的运算（1）复数的代数形式：()z a bi a b R =+∈,；（2）复数的加法与减法：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±； （3）复数的乘法与除法：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++；a bi c di ac bd c d bc adc d i ++=+++-+2222； （4）z z z z z z z z z m n m n m n mn n n n⋅==⋅=⋅+，，()()1212； （5）i 的周期性ii i i i i n Z n n n n 414243411++-+==-=-=∈，，，()； （6）ω的性质及应用：若n 为虚数，且ω31=，则称ω为1的虚立方根， 1的立方根为112321232，，-+--i i 且有性质：102++=ωω。
ωωωωω3211===-，，（7）常用计算结果：①()()a bi a bi a b +-=+22； ②()122±=±i i ；③11+-=ii i ； ④122±⎛⎝⎫⎭⎪=±i i 。
（二）在复数集中解方程（1）形如()f z z z ，，||=0型的复数方程解法，通常设()z x yi x y R =+∈,，利用复数相等的充要条件，将复数问题实数化。
（2）一元二次方程ax bx c 20++=，若a 、b 、c 中至少有一个虚数，则 ①求根公式仍适用； ②韦达定理仍适用；③判别式判别根的情况无效； ④虚根成对出现性质无效。
（3）解形如ax b n+=0的二项方程()a b C ,∈（三）复数运算的几何意义（1）复数加、减法的几何意义（平行四边形和三角形法则） （2）复数乘法的几何意义（逆时针和顺时针旋转） （3）复数除法的几何意义 （4）复数开方的几何意义注意：有关模与辐角（主值）的变化。
高中数学复数方程求解与代数性质解题方法
高中数学复数方程求解与代数性质解题方法在高中数学中，复数方程是一个重要的内容，它涉及到复数的性质和运算，也是解析几何和函数的基础。
本文将介绍一些常见的复数方程求解方法，并结合具体题目来说明解题的技巧和考点，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握这一知识点。
一、一元复数方程的求解1. 一次方程：一元复数方程中，一次方程是最简单的形式。
例如，我们考虑求解方程z + 3 = 5，其中z为复数。
解这个方程的关键是找到z的实部和虚部。
对于这个方程，实部为Re(z) + 3 = 5，虚部为Im(z) = 0。
因此，我们可以得到z = 2 + 0i。
2. 二次方程：一元复数方程中，二次方程是较为复杂的形式。
例如，我们考虑求解方程z^2 + 2z + 3 = 0。
解这个方程的一种方法是利用求根公式，即z = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)。
将方程中的系数代入公式，我们可以得到z = (-2 ± √(-8))/(2)。
由于√(-8) = 2i√2，因此解为z = -1 ± i√2。
二、复数方程的代数性质解题方法1. 复数的共轭性质：复数的共轭性质是解复数方程的重要工具。
例如，我们考虑求解方程z + conj(z) = 8，其中z为复数，conj(z)表示z的共轭复数。
根据共轭性质，我们知道conj(z + conj(z)) = 2Re(z)，即方程可以化简为2Re(z) = 8。
因此，我们可以得到Re(z) = 4，即z的实部为4。
由于方程没有虚部，因此z为实数4。
2. 复数的模性质：复数的模性质也是解复数方程的重要工具。
例如，我们考虑求解方程|z - 2| = |z + 2|，其中z为复数。
根据模的定义，我们知道|z - 2|表示z与2之间的距离，|z + 2|表示z与-2之间的距离。
因此，方程的解是在与2和-2的距离相等的点上。
根据几何直观，我们可以得到解为x轴上的点，即z为实数。
高考数学一轮总复习复数的运算与复数方程的解法与复数函数的性质
高考数学一轮总复习复数的运算与复数方程的解法与复数函数的性质复数是数学中的一个重要概念，它包括实部和虚部。
在高考数学中，复数的运算、复数方程的解法以及复数函数的性质都是经常出现的考点。
本文将对这三个内容进行详细的讲解。
一、复数的运算复数的运算主要包括加减法、乘法和除法。
复数的加减法就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
例如，(2+3i)+(4+5i)=6+8i，(4-2i)-(3+5i)=1-7i。
复数的乘法是将实部与实部相乘然后减去虚部与虚部相乘。
例如，(2+3i)*(4+5i)=7+22i，(4-2i)*(3+5i)=26+10i。
复数的除法需要将分母有理化，将分子与分母乘以共轭复数，再进行简化。
例如，(2+3i)/(4+5i)=(23-2i)/41。
二、复数方程的解法复数方程是指方程中含有未知数的复数解的方程。
对于一元一次复数方程a+bi=0，解析解为x=-b/a。
对于一元二次复数方程ax^2+bx+c=0，可以使用求根公式进行求解。
其中，根的公式为x1,x2=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
若b^2-4ac>0，则方程有两个不相等的实根；若b^2-4ac=0，则方程有两个相等的实根；若b^2-4ac<0，则方程有两个共轭复数根。
三、复数函数的性质复数函数是指函数自变量或者函数取值是复数的函数。
复数函数的性质主要包括奇偶性、周期性和双曲线。
对于函数f(x)，若f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。
对于周期性，复数函数f(x)的周期是指存在常数T>0，使得f(x+T)=f(x)成立。
对于双曲线，复数函数f(x)的双曲线是指将复平面看作坐标平面后，函数的图像在复平面上的表示为双曲线。
总结：高考数学中关于复数的运算、复数方程的解法以及复数函数的性质都是需要掌握的重要知识点。
掌握了复数的运算规则，能够灵活运用加减法、乘法和除法进行计算。
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复数问题的类型与解法大家知道，复数问题是近几年高考的热点问题之一，基本上每卷必有一个五分小题。
从题型来看是，属于选择题或填空题，难度系数都比较低。
纵观近几年高考试题，复数问题归结起来主要包括：①复数的概念问题；②复数的运算问题；③复数几何意义的问题；④给定一定的条件，求参数的值（或潜在范围）的问题等几种类型。
各种类型结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同。
那么在解答复数问题时，如何抓住问题的特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：1、复数Z=（2+i ）（1+i ）的共轭复数为（ ）A 3-3iB 3+3iC 1+3iD 1-3i【解析】【知识点】①复数运算法则与方法；②共轭复数的定义与性质。
【解题思路】运用复数运算的法则和方法对圆锥复数进行运算，根据共轭复数的定义与性质就可作出选择。
【详细解答】Q Z=（2+i ）（1+i ）=2+2i+i+2i =1+3i ，∴Z =1-3i ，⇒D 正确，∴选D 。
2、已知复数Z=2+i ，则Z. Z =（ ）B C 3 D 5【解析】【知识点】①复数运算法则与方法；②共轭复数的定义与性质。
【解题思路】运用共轭复数的性质，得到共轭复数，根据复数的运算法则和方法通过运算就可作出选择。
【详细解答】Q Z=2+i ，∴Z =2-i ，⇒ Z. Z =（2+i ）（2-i ）=4-2i =4+1=5，⇒D 正确，∴选D 。
,3、设复数Z 满足i （Z+1）=-3+2i(i 是虚数单位),则Z 的实部是 ；【解析】【知识点】①复数的定义与代数表示法；②复数实部的定义与确定方法。
【解题思路】设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法，通过运算把结果与条件的结果相比较，得到a ，b 的值，从而得出复数Z 的代数表示，根据复数实部的定义得到该复数的实部就可得出结果。
【详细解答】设Z=a+bi,Q i （Z+1）= i （a+bi +1）=ai+b 2i +i=-b+（a+1）i=-3+2i ，∴-b=-3，a+1=2，⇒a=1，b=3，∴ Z=1+3i, ⇒Z 的实部是1。
4、（1）若复数Z=1ai i +（其中a ∈R ，i 为虚数单位）的虚部为-1，则a= ； （2）复数Z=21i i+（i 为虚数单位）的虚部为 ； 【解析】【知识点】①复数运算法则与方法；②复数虚部的定义与确定方法；③一元一次方程的定义与解法。
【解题思路】（1）运用复数运算法则和方法通过运算，得到复数的代数表示式，根据复数虚部的定义得到关于a 的方程，求解方程就可求出a 的值；（2）运用复数运算法则和方法通过运算得到复数的代数表示式，根据分式虚部的定义就可得出结果。
【详细解答】（1）Q Z=1ai i += (1)(1)(1)ai i i i -+-= 221ai ai i --= 2a + 2a i 的虚部为-1，∴2a =-1， ⇒a=-2；（2）Q Z=21i i +=2(1)(1)(1)i i i i -+-=22221i i i --=1+i ，∴复数Z 的虚部为1。
5、（1）设有下列四个命题：1P ：若复数Z 满足1Z∈R ，则Z ∈R ；2P ：若复数Z 满足2Z ∈R ，则Z ∈R ；3P ：若复数1Z ，2Z 满足1Z 2Z ∈R ，则1Z =2Z ；4P ：若复数Z ∈R ，则Z ∈R 。
其中的真命题为（ ）A 1P ，3PB 1P ，4PC 2P ，3PD 2P ，4P（2）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A i 2(1)i +B 2i （1-i ）C 2(1)i + D i(1+i) 【解析】【知识点】①复数运算法则与方法；②共轭复数的定义与性质；③纯虚数的定义与性质；④命题真假判断的基本方法。
【解题思路】（1）运用复数运算法则和方法通过运算，结合命题真假判断的基本方法，分别对各命题的真假进行判断就可得出选项；（2）运用复数运算法则和方法对各选项通过运算，结合纯虚数的定义就可得出结果。
【详细解答】（1）对1P ，设Z=a+bi,Q1Z =1a bi +=a bi a bi a bi -+-（）.（）=22a bi a b -+=22a a b + -22b a b +i ∈R ，∴22b a b +=0，⇒b=0，∴Z ∈R ，1P 是真命题，可以排除C ，D ；对3P ，Q 复数1Z ，2Z 满足1Z 2Z ∈R ，∴复数1Z ，2Z 互为共轭复数，⇒1Z =2Z 正确，∴3P 为真命题，⇒A 正确，∴选A 。
（2）Q i 2(1)i +=i （1+2i+2i ）=22i =-2是实数，∴A 错误；Q 2i （1-i ）=2i +i=-1+i 不是纯虚数，∴B 错误；Q 2(1)i + =1+2i+2i =2i 是纯虚数，∴C 正确，⇒选C 。
6、设复数Z 满足（1+i ）Z=2i ，则|Z|=（ ）A 12D 2 【解析】【知识点】①复数运算法则与方法；②复数模的定义与求法。
【解题思路】设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法，通过运算结果与条件的结果比较求出a ，b 的值，得到复数的代数表示式，根据复数模的运算方法通过运算就可作出选择。
【详细解答】设Z=a+bi,Q（1+i）Z=（1+i）（a+bi）=a+bi+i+b2i=（a-b）+(1+b)i=2i，∴a-b=0，1+b=2，⇒a=b=1，∴Z=1+i，⇒，⇒C正确，∴选C。
7、i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为；【解析】【知识点】①复数的定义与代数表示法；②复数实部的定义与确定方法；③复数的运算法则和方法。
【解题思路】设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法，通过运算把结果与条件的结果相比较，得到a，b的值，从而得出复数Z的代数表示式，根据复数实部的定义得到该复数的实部就可得出结果。
【详细解答】设Z=a+bi,Q（1+i）z=（1+i）z=（1+i）（a+bi）=a+bi+i+b2i=（a-b）+(1+b)i=2，∴a-b=2，1+b=0，⇒a=3，b=-1，∴Z=3-i，∴复数Z的实部为3。
8、若（1+i）+（2-3i）=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A 3，-2B 3，2C 3，-3D -1，4【解析】【知识点】①复数运算的法则和方法；②两个复数相等的充分必要条件；③二元一次方程组的定义与解法。
【解题思路】运用复数运算法则和方法，通过运算把结果与条件的结果相比较，得到关于a，b的方程组，求解方程组就可得出结果。
【详细解答】Q（1+i）+（2-3i）=3-2i= a+bi，∴a=3，b=-2，⇒A正确，∴选A。
9、若复数Z满足：（3-4i）Z=|4+3i|，则Z的虚部为（）A -4B - 45C 4 D45【解析】【知识点】①复数运算法则和方法；②复数虚部的定义与确定方法；③复数模的定义与求法。
【解题思路】设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法，通过运算把结果与条件的结果相比较，得到a，b的值，从而得出复数Z的代数表示式，根据复数虚部的定义得到该复数的虚部就可得出结果。
【详细解答】设Z=a+bi,Q（3-4i）Z=（3-4i）（a+bi）=3a+3bi-4ai-4b2i=（3a+4b）+(-4a+3b)i==5，∴3a+4b=5，-4a+3b=0，⇒a=35，b=45，∴Z=35+45i，∴复数Z的虚部为45，⇒D正确，∴选D。
『思考问题1』（1）【典例1】是与复数的概念相关的问题，主要涉及复数的实部、虚部的定义，复数的分类，复数相等的充要条件，复数的模和共轭复数等问题，解决这类问题应该弄清如下问题：①复数实部与虚部的定义；②复数的分类；③复数相等的充要条件；④复数模的定义与计算方法；⑤共轭复数的定义与性质；（2）处理有关复数概念的问题，首先要注意复数标准的代数表示形式，如果复数不是标准的代数形式，则应通过代数运算把复数化成标准的代数形式，再根据定义解题。
〔练习1〕解答下列问题：1、若1Z =（2m +m+1）+（2m +m-4）i （m ∈R ），2Z =3-2i ，则“m=1”是“1Z =2Z ”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件2、已知a ∈R ，复数1Z =2+ai ，2Z =1-2i ，若12z z 为纯虚数，则复数12z z 的虚部为（ ） A 1 B i C 23D 0 3、如果复数21m i mi+-是实数，则实数m 等于（ ） A -1 B 1 C-D4、 设a 、b ∈R ，且b ≠0，若复数3（a+b)是实数，则（ ） A 2b =32a B 2a =32b C 2b =92a D 2a =92b5、设1Z 是复数，2Z =1Z -i 1Z （其中1Z 表示1Z 的共轭复数），已知2Z 的实部是-1，则2Z 的虚部为 ；6、复数222i i +的虚部为 ； 7、复数Z=a+bi ，a 、b ∈R ，且b ≠0，若2Z -4bZ 是实数，则有序实数对（a ，b ）可以是，（写出一个有序实数对即可）8、若复数（1+bi ）(2+i)是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b=（ ）A -2B -12C 12D 2 【典例2】解答下列问题：1、若Z （1+i ）=2i ，则Z=（ ）A -1-iB -1+iC 1-iD 1+i【解析】【知识点】①复数运算法则和方法；②复数相等的充分必要条件；③复数代数表示式。
【解题思路】设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法，通过运算把结果与条件的结果相比较，得到a ，b 的值，从而得出复数Z 的代数表示式就可得出结果。
【详细解答】设Z=a+bi,Q （1+i ）Z=（1+i ）（a+bi ）=a+bi+i+b 2i =（a-b ）+(1+b)i=2i ， ∴a-b=0，1+b=2，⇒a=b=1，∴Z=1+i ，⇒D 正确，∴选D 。
2、（1）31i i++=（ ） A 1+2i B 1-2i C 2+i D 2-i（2）（1+i ）（2+i ）=（ ）A 1-iB 1+3iC 3+iD 3+3i【解析】【知识点】①复数运算法则和方法；②复数标准代数表示式。
【解题思路】（1）运用复数运算法则和方法通过运算，得到复数的代数表示式就可得出选项；（2）运用复数运算法则和方法通过运算得到复数的代数表示式就可得出选项。
【详细解答】（1）Q 31i i ++=3)1)1)1)i i i i +-+-（（（（=22331i i i i -+--=2-i ，⇒D 正确，∴选D ；（2）Q （1+i ）（2+i ）=2+i+2i+2i =1+3i ，⇒B 正确，∴选B 。