1.3复数的乘幂与方根
复变函数：第三节 复数的乘幂与方根
i
sin
4
n
(
2)n
cos
n 4
i
sin
n 4
cos
n 4
i
sin
n 4
n2
22
cos
n
.
4
例4 计算 3 1 i 的值.
解
1i
2
1 2
1 2
i
2cos
4
i
sin
4
3
1i
6
2cos
4
2k 3
i sin
4
2k
3
(k 0,1,2).
即
w0
6
2cos
12
i
记作 zn , zn z z z .
n个
对于任何正整数n, 有 zn rn(cosn i sin n ).
如果我们定义zn
1 zn
,
那么当n
为负整数时,
上式仍成立.
2.棣莫佛公式
当 z 的模 r 1,即 z cos i sin ,
(cos i sin )n cosn i sin n .
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
例5 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8
2
cos
1-3复数的乘幂与方根
2 2
23
2
2 z 2 Re z 3
解: 设 z x iy, 则 2 z 2 Re z 3
y
即为 2 x 2 y 2 2 x 3
0
3 4
x
9 整理得： y 3 x 4
7
点为 z1 1 和z2 2 i , 例2 已知正三角形的两个顶 求它的另一个顶点 .
y
解
如图所示,
o
z3
z2 2 i
3
x
将表示 z2 z1 的向量
z1 1 z 3 绕 z1 旋转 (或 )就得 3 3 到另一个向量, 它的终点即为所求顶点z3 (或 z ). 3
已知曲线： x , y 0, F
若令 z x iy,
代入得： zz zz F , 2i 2
zz zz 则 x , y 2 2i
0 为曲线的复数形式方程.
18
例5
指出下列方程表示的曲线
(1) z i 2
解:法 1.
由几何意义 z i 2 即 z i 2 表示到 i
n in
n
r
n
cos n i sin n
1 n , 那么当 n 为负整数时, z
n个
z z , Argz nArgz
n
如果我们定义 z 上式仍成立.
n
10
2.棣莫佛公式
当 z 的模 r 1, 即 z cos i sin ,
(cos i sin )n cos n i sin n . 棣莫佛公式
由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:
高二数学复数的乘方与根式的求解方法
高二数学复数的乘方与根式的求解方法复数是数学中一个重要的概念，它由实数部分和虚数部分组成。
在高二数学中，我们需要掌握复数的乘方和根式的求解方法。
本文将详细介绍高二数学中复数的乘方和根式的求解方法。
一、复数的乘方复数的乘方是指对一个复数进行指数运算，即复数的幂。
复数的幂可以通过极坐标形式和指数形式来求解。
1. 极坐标形式如果我们将复数表示为幅角和模长的形式，即z = r(cosθ + isinθ)，其中r表示模长，θ表示幅角，那么复数的乘方可以通过将模长和幅角分别进行乘方来求解。
例如，对复数z = 2(cosπ/6 + isinπ/6)进行平方，我们可以将幅角π/6倍增，模长2进行平方，即得到z² = 4(cosπ/3 + isinπ/3)。
2. 指数形式复数的指数形式是指将复数表示为指数函数的形式，即z = re^(iθ)，其中r表示模长，θ表示幅角。
对于复数的乘方，我们可以直接对指数进行运算。
例如，对复数z = 2e^(iπ/6)进行平方，我们可以直接对指数进行平方，即得到z² = 4e^(iπ/3)。
二、复数的根式求解方法复数的根式是指对一个复数求根的过程，即解复数的等式。
复数的根式可以通过极坐标形式和指数形式来求解。
1. 极坐标形式对于复数的根式，我们可以使用极坐标形式进行求解。
假设我们要求解复数z的n次根，那么根式的公式可以表示为 w =r^(1/n)(cos(θ+2kπ)/n + isin(θ+2kπ)/n)，其中r表示模长，θ表示幅角，k 为整数。
例如，要求解复数z = 8(cosπ/4 + isinπ/4)的平方根，即求解 w² =8(cosπ/8 + isinπ/8)。
根据公式，我们可以得到两个平方根，分别为w₁= 2(cosπ/16 + isinπ/16)和w₂ = 2(cos17π/16 + isin17π/16)。
2. 指数形式对于复数的根式，我们也可以使用指数形式进行求解。
复数概念与运算
2kπ 4
k 0,1, 2, 3
w0 2(1 i ), w1 2(1 i ),
w2 2(1 i ), w3 2(1 i ).
1
一般情况下, n z z n n个根就是以原点为中心、
1
半径为 r n 的圆的内接正多边 形的n个顶点所表示的复数.
y
w1
w0
o
w2
x
w3
1.4 复数在几何上的应用举例
z x iy z x iy z x iy z x iy
共轭复数的性质
1 z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ;
z1 z2
z1 z2
.
2 z z z
3 z z Re(z)2 Im(z)2 .
4 z z 2 Re(z), z z 2i Im(z).
z1 z3 z2 z1 z2 z1
z1z3z2 3
z1
z2
z2
z12
z22
i
z3 z2 e 3
i
z1 z3 e 3
z32 z1z2
z1 z2
z2 z3
z2 z3
z3 z1
z1 z3 z2 z3
1.5 复球面与无穷远点 复数可以用平面上的点表示，这是复数的几何表示法
Argz2 .
两个复数相乘的几何意义
y •z
z1 z2
r
i sin(1 2 )].
复数的乘幂
zk rk (cosk i sink )
o
12
r1
•
r2
z2
x
k 1, 2, , n ,
z1z2 zn r1r2 rn[cos(1 2 n )
对虚数单位的规定：
第一章3复数的乘幂与方根
第二节
复数的运算
一、复数的代数运算及共轭复数的运算法则
二、复数的代数运算的几何表示
三、复数的乘幂与方根
三、复数的乘幂与方根
1. 乘幂
设复数 ≠ 0, = (cos+sin),
则 = (cosn+sinn) ，为正整数．
规定 z
−n
1
= n.
z
), w3 = 2 (cos
+ i sin
),
16
16
16
16
1
8
1
8
这四个根是内接于以原点为圆心，半径为 2的圆的正方形的顶点
8
谢谢观看！
当 = , + 1, ⋯ 时，这些根又重复出现.
=
=
1
[cos
2 在几何上，
+ 2
+ 2
+ sin
], = 0,1,2, ⋯ , − 1
1
的个值是以原点为圆心， 为
半径的圆的内接正边形的个顶点.
例3．求 1 + .
4
解： 1 + = 2(cos + sin )
特别地，当 = 1时，得到棣莫弗公式
(cos+sin) = cosn+sinn.
2. 方根
z 称为的次方根.
设 z = r (cos + i sin ), w = (cos + i sin )
方程 wn = z 的根 w ，即 w =
n
n
有 (cos n + i sin n ) = r (cos + i sin )
中考知识点复数的乘方与开方
中考知识点复数的乘方与开方一、复数的乘方在数学中，复数的乘方是指将一个复数自乘若干次的运算。
复数的表示形式为a+bi，其中a和b分别是实数部分和虚数部分。
复数的乘方可以通过将实数部分和虚数部分分别展开，并利用幂运算规则进行计算。
复数的乘方的计算方法如下：1. 将复数表示成指数形式复数a+bi可以表示为模长和辐角的指数形式，即a+bi=r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
2. 使用欧拉公式展开根据欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ，将复数表示为指数形式后，可以方便地使用欧拉公式展开。
3. 应用幂运算法则计算将复数的指数形式展开后，可以根据指数幂运算法则进行计算。
例如，(a+bi)^n可以展开为(a+bi)(a+bi)(a+bi)...(a+bi)的形式，然后利用幂运算法则进行计算。
二、复数的开方复数的开方是指求一个复数的平方根，即找到一个复数，使得它的平方等于给定的复数。
复数的开方可以通过将复数转化为极坐标形式，然后利用平方根的性质进行计算。
复数的开方的计算方法如下：1. 将复数表示成极坐标形式复数a+bi可以表示为模长和辐角的极坐标形式，即a+bi=r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
2. 求模长的开方复数的模长的开方可以通过求模长的平方根得到，即r的开方。
3. 求辐角的平分复数的辐角的平分可以通过将辐角除以2得到的值。
4. 求得复数的开方将模长的开方和辐角的平分代入极坐标形式中，可以得到复数的开方。
三、例题解析1. 求解复数i的乘方和平方根(1) 复数i的乘方将复数i表示为指数形式，即i=cos(π/2)+isin(π/2)，根据欧拉公式可得i=e^(iπ/2)。
因此，i的乘方可以通过幂运算法则进行计算。
(2) 复数i的平方根将复数i表示为极坐标形式，即i=1(cos(π/2)+isin(π/2))，根据平方根的性质可得i的平方根为√1e^(iπ/4)。
1.3 复数的乘幂与方根
)3
eπi
1.
变
2 2
函
数
此外，显然有 (1)3 1.
由此引出方根的概念。
8
§1.3 复数的乘幂与方根
§1.3 复数的乘幂与方根
第 一 三、 复数的方根 P15
章
复数求方根是复数乘幂的逆运算。
复 数
定义
设 z 是给定的复数，n 是正整数，求所有满足wn z 的
与 复
复数 w ，称为把复数 z 开 n 次方，或者称为求复数 z 的
2e 3 .
1
12
§1.2 复数的几种表示
附：关于 Arg (z1 z2 ) Arg z1 Arg z2(在集合意义下)
第
一
所谓“在集合意义下”是指：
章 分别从集合 Arg z1 中与集合 Arg z2 中任取一个
复 数
元素(即辐角)，相加后，得到集合Arg (z1 z2 ) 中的
与
一个元素(即辐角)。
2e 6
有
复 数
πi
5π i
( π 5π )i
(1 3 i)( 3 i) 2e 3 2e 6 4e 3 6
与
复
πi
变
4e 2 4 i .
函 数
1 3i 3i
πi
2e 3
5π i
( π 5π )i
7π i
e 3 6 e 6
2e 6
cos 7π i sin 7π 3 1 i .
章 复
wk
n
z
n
r
i(
en
2k n
)
,
(k 0,1, , n 1) .
数 与
描述 在复平面上， 这 n 个根均匀地
2023年大学_《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载
2023年《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载《高等数学》第四册内容简介第一篇复变函数论第一章复数与复变函数第一节复数1.1.1. 复数域1.1.2. 复平面1.1.3. 复数的模与幅角1.1.4. 复数的乘幂与方根第二节复变函数的基本概念1.2.1. 区域与约当曲线1.2.2. 复变函数的概念1.2.3. 复变函数的极限与连续性第三节复球面与无穷远点1.3.1. 复球面1.3.2. 闭平面上的几个概念习题第二章解析函数第一节解析函数的概念及哥西一黎曼条件 2.1.1. 导数的定义2.1.2. 哥西一黎曼条件2.1.3. 解析函数的定义第二节解析函数与调和函数的关系2.2.1. 共轭调和函数的求法2.2.2. 共轭调和函数的几何意义第三节初等解析函数2.3.1. 初等单值函数2.3.2. 初等多值函数习题第三章哥西定理哥西积分第一节复变积分的概念及其简单性质3.1.1. 复变积分的定义及其计算方法3.1.2. 复变积分的简单性质第二节哥西积分定理及其推广3.2.1. 哥西积分定理3.2.2. 不定积分3.2.3. 哥西积分定理推广到复围线的情形第三节哥西积分公式及其推广3.3.1. 哥西积分公式3.3.2. 解析函数的无限次可微性3.3.3. 模的最大值原理哥西不等式刘维尔定理摩勒纳定理第四节解析函数在平面场中的应用3.4.1. 什么叫平面场3.4.2. 复位势3.4.3. 举例习题第四章解析函数的幂级数表示第一节函数项级数的基本性质4.1.1. 数项级数4.1.2. 一致收敛的函数项级数第二节幂级数与解析函数4.2.1. 幂级数的敛散性4.2.2. 解析函数的幂级数表示第三节罗朗级数4.3.1. 双边幂级数的收敛圆环4.3.2. 解析函数的罗朗展式4.3.3. 罗朗展式举例第四节单值函数的孤立奇点4.4.1. 孤立奇点的`三种类型4.4.2. 可去奇点……习题第五章残数及其应用第六章保角变换第二篇数学物理方程第七章一维波动方程的付氏解第八章热传导方程的付氏解第九章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解第十章波动方程的达朗贝尔解第十一章数学物理方程的解的积分方式第十二章定解问题的适定性第十三章付里叶变换第十四章拉普拉斯变换第三篇特殊函数第十五章勒让德多项式球函数第十六章贝塞耳函数柱函数第十七章厄密多项式和拉盖尔多项式附录《高等数学》第四册目录本书内容为数学物理方法，包括复变函数论、数学物理方程、积分变换和特殊函数等部分，可供综合大学和师范学院物理类专业作为教材。
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1.3复数的乘幂与方根
一、乘积与商
定理一.
两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它
们的辐角相加：1212z z z z ⋅=；1212rg()rg()rg()A z z A z A z =+或者12()
1212i z z rr e
θθ+=。
注：定理中1212rg()rg()rg()A z z A z A z =+两边是角的集合相等。
证明：令1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+
12121122(cos sin )(cos sin )z z r r i i θθθθ⋅=⋅++
1212121212[(cos cos sin sin )(sin cos cos sin )]r r i θθθθθθθθ=⋅-++ 121212[cos()sin()]r r i θθθθ=⋅+++
几何意义：将复数1z 按逆时针方向旋转一个 角度2()Arg z 再将其伸缩到2z 倍。
令1z i =+由复数乘法的几何意义说明下列 复数如何生产：
1.(1z +
；2.(1z -；3.(1)z i -
如何得到下列复数：
1. 将z 逆时针旋转120度，模扩大三倍
2. 将z 顺时针旋转120
定理二.
两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被
除数与除数的辐角之差。
即：
2211z z z z =；2211
rg()rg()rg()z
A A z A z z =- 注：定理中2
211
rg(
)rg()rg()z A A z A z z =-两边是角的集合相等。
证明：由除法定义2
1
z z z =
，即：21z zz =。
由定理一得：11z z z z ⋅=；11rg()rg()rg()A zz A z A z =+2211z z z z ∴
=；2211
rg()rg()rg()z
A A z A z z =- 定理一和定理二如果用复数的指数形式证明则更简单。
补充知识：设121122,i i z re z r e θθ==，则12()
1212i z z rr e
θθ+=；21()
2211
i z r e
z r θθ-= 令1z i =+，则z 除以哪个复数可满足下列要求。
1. 将z 逆时针旋转120度，模扩大三倍
2. 将z 顺时针旋转120度，模缩小至原来的三分之一
例1.已知正方形1234z z z z 的相对定点13(0,1),(2,5)z z -，求顶点1z 和4z 的坐标。
解：31212()()()42
2z z z z z i --=-⇒=+。
同理：41314()()sin )2344z z z z i z i ππ
-=-+⇒=-+
二、幂与根 n 个相同的复数z 的乘积，称为z 的n 次幂，记作n z ，即
n n z z z z =⋅ 共个
设i z re θ=由复数的乘法定理和数学归纳法可证明，(cos sin )n n n in z r n i r e θθθ=+=，特别地当1z =时，即cos sin i z e i θθθ==+，有：
(cos sin )cos sin n i n i n θθθθ+=+——棣模佛(De Moivre)公式 定义 1n n
z z
-=
，由定义得n n in z r e θ
---= 问题：给定复数z ，求所有的满足n z ω=的复数ω。
当0z ≠时，都有n 个ω满足要求。
每一个满足要求的ω都称为z 的n 次根。
ω，
注：开方——乘方的逆运算。
4i
=+
解：设i e ϕωρ=由n z ω=n in i e re ϕθρ=n r ρ⇒=，2()n k k Z ϕθπ
=+∈
2k i
n
θπ
ω+⇒=
=22sin
)k k i n
n
θπ
θπ
++=+(0,1,2,,1)k n =-
注：当0,1,,1k n =- 时，可得n 个不同的根，而k 取其它整数时，这些根又会重复出现。
例2.
解：1cos0sin 0i =+
，0202cos
sin (0,1,2)33k k i k ππ
++=+=
22sin
)(0,1,2,4,5)6
6
k k i k ππ
ππ
++=+=
例3.
令z i =
？ 解：2(cos
sin )66
z i π
π
=+
226
6
sin )(0,1,2,4,5,6)7
7
k k i k π
π
ππ++=+=
的n
n 个等分点，即它们是内接于该圆周的正n 边形的n 个顶点。