消费者理论：对偶与显示偏好
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01消费者理论：偏好、效用、约束与选择.
Consumer’s Theory
Ranking也意味着，无差异曲线 不能相交
1.1.2
偏好关系与理性
14
人并不总是理性的 过于自信
• 中彩者（中彩的金额平均为$479545）与没有中彩的 人之间的幸福感没有显著的差异，中彩后，中彩者 的生活幸福水平并没有提高！！！那为什么还去买 彩票？
Consumer’s Theory
R
n +
9
考虑定义在消费集 X
x1 x2：
上的二元关系“ ”
• “x1 至少与x2一样好” • 或 “x1 不比x2差”
Consumer’s Theory
1.1.1
偏好关系三个公理
10
Axiom 1：完备性(Completeness) x1,x2X， 有x1 x2或x2 x1。
消费者理论
版权所有，仅供复旦大学学生学习使用，未经允许请勿擅自引用或传播
Consumer’s Theory
2
一、偏好、效用、约束、选择 二、需求 三、比较静态分析
Consumer’s Theory
四、显示偏好
一、偏好、效用、约束与选择
Preference, Utility, Constraint and Choice
22
偏好关系具有何种性质才能用一个连续的实值函 数来表示？即效用函数的存在性问题。 Debreu(1954)：任意满足公理1、2与连续性的二元 关系都可以用连续的实值函数来代表。(MWG) 这说明，存在性并不依赖于对“tastes”的假设 为了简化数学证明、增强直感性，严格单调性也 被引入“存在性定理” 效用函数的存在性定理：如果二元关系 满足完备 性、传递性、连续性和严格单调性，那么就存在 n u ( ) : R R 来 连续的实值函数（效用函数）： 表示偏好关系
Ranking也意味着，无差异曲线 不能相交
1.1.2
偏好关系与理性
14
人并不总是理性的 过于自信
• 中彩者（中彩的金额平均为$479545）与没有中彩的 人之间的幸福感没有显著的差异，中彩后，中彩者 的生活幸福水平并没有提高！！！那为什么还去买 彩票？
Consumer’s Theory
R
n +
9
考虑定义在消费集 X
x1 x2：
上的二元关系“ ”
• “x1 至少与x2一样好” • 或 “x1 不比x2差”
Consumer’s Theory
1.1.1
偏好关系三个公理
10
Axiom 1：完备性(Completeness) x1,x2X， 有x1 x2或x2 x1。
消费者理论
版权所有，仅供复旦大学学生学习使用，未经允许请勿擅自引用或传播
Consumer’s Theory
2
一、偏好、效用、约束、选择 二、需求 三、比较静态分析
Consumer’s Theory
四、显示偏好
一、偏好、效用、约束与选择
Preference, Utility, Constraint and Choice
22
偏好关系具有何种性质才能用一个连续的实值函 数来表示？即效用函数的存在性问题。 Debreu(1954)：任意满足公理1、2与连续性的二元 关系都可以用连续的实值函数来代表。(MWG) 这说明，存在性并不依赖于对“tastes”的假设 为了简化数学证明、增强直感性，严格单调性也 被引入“存在性定理” 效用函数的存在性定理：如果二元关系 满足完备 性、传递性、连续性和严格单调性，那么就存在 n u ( ) : R R 来 连续的实值函数（效用函数）： 表示偏好关系
7显示偏好理论
图形表示。
2.2、显示偏好原理 直接显示偏好：（x1，x2）是在价格（p1，
p2）下选择的消费束，（y1，y2）是使 p1x1+p2x2≥p1y1+p2y2
成立的另一个消费束。
同时假设消费者总是在他能够购买的消费束 中选择他最偏好的消费束。
那么，有偏好关系（x1，x2）}（y1，y2）。
原因：第二个价格下第一个消费束是可选择 的，假设第一个消费束的福利更高，消费者 就选择第一个。事实相反，表明假设错误。
4.2、不同时间消费状况的福利比较 数量指数：(w1x1t+w2x2t)/(w1x1b+w2x2b)
拉氏数量指数Lq、帕氏数量指数Pq。 Lq =(p1bx1t+p2bx2t)/(p1bx1b+p2bx2b) Pq =(p1tx1t+p2tx2t)/(p1tx1b+p2tx2b) 帕氏数量指数大于1，t时期福利较好。
价格为（p1，p2）购买的消费束。对另一个 消费束（y1，y2），如果有：
p1x1+p2x2≥p1y1+p2y2
那么（x1，x2）比（y1，y2）先被选择。
注释: 通常人们使用“显示偏好”，考虑到后面显
示偏好原理也是用类似的词，所以使用“先 被选择”。
所以，（x1，x2）比（y1，y2）先被选择。 也就是说，（x1，x2）被直接显示偏好于 （y1，y2）。
场的资源配置。这与通常的需求分析相对应。
消费者行为分析集中体现理性原理。
主要有两种方法：效用最大化模型、显示偏 好模型。
1.2、效用最大化模型 基本思想：假设消费者心中存在一个偏好，
消费者是按照自己的偏好配置资源。给定偏 好和资源约束，用效用函数描述偏好，把消 费者资源配置问题归纳为效用最大化模型。
2.2、显示偏好原理 直接显示偏好：（x1，x2）是在价格（p1，
p2）下选择的消费束，（y1，y2）是使 p1x1+p2x2≥p1y1+p2y2
成立的另一个消费束。
同时假设消费者总是在他能够购买的消费束 中选择他最偏好的消费束。
那么，有偏好关系（x1，x2）}（y1，y2）。
原因：第二个价格下第一个消费束是可选择 的，假设第一个消费束的福利更高，消费者 就选择第一个。事实相反，表明假设错误。
4.2、不同时间消费状况的福利比较 数量指数：(w1x1t+w2x2t)/(w1x1b+w2x2b)
拉氏数量指数Lq、帕氏数量指数Pq。 Lq =(p1bx1t+p2bx2t)/(p1bx1b+p2bx2b) Pq =(p1tx1t+p2tx2t)/(p1tx1b+p2tx2b) 帕氏数量指数大于1，t时期福利较好。
价格为（p1，p2）购买的消费束。对另一个 消费束（y1，y2），如果有：
p1x1+p2x2≥p1y1+p2y2
那么（x1，x2）比（y1，y2）先被选择。
注释: 通常人们使用“显示偏好”，考虑到后面显
示偏好原理也是用类似的词，所以使用“先 被选择”。
所以，（x1，x2）比（y1，y2）先被选择。 也就是说，（x1，x2）被直接显示偏好于 （y1，y2）。
场的资源配置。这与通常的需求分析相对应。
消费者行为分析集中体现理性原理。
主要有两种方法：效用最大化模型、显示偏 好模型。
1.2、效用最大化模型 基本思想：假设消费者心中存在一个偏好，
消费者是按照自己的偏好配置资源。给定偏 好和资源约束，用效用函数描述偏好，把消 费者资源配置问题归纳为效用最大化模型。
第三章 显示偏好理论..
瓦尔拉斯律是说消费者花费掉她的所有财富，从广 义上理解，消费者在生命期内花费掉她的所有资源。
，对所
经济管理学院
经济系
中级微观经济学
瓦尔拉斯需求函数实际上是给出了一个选择
规则，进而给出了一个选择结构。这样一个选择
结构满足显示偏好弱公理用瓦尔拉斯需求函数可
表述为：（为简单见，假设x（p，m）是单值的 并且假设它是连续可微的）
假设某个人在消费集X上有一个理性偏好 关系 义 可产生一个选择结构 ，对于X 中的一个非空子集族B，定 ，由此 ，我们说这个
选择结构是由理性偏好关系
产生的。
经济管理学院
经济系
中级微观经济学
命题 3.1: 假设
产生的选择结构
是理性偏好关系，那么由
满足显示偏好弱公理。
这个命题表明，如果消费者行为是为了 追求效用最大化，那么她的行为一定满足显 示偏好弱公理。从这个意义上说，显示偏好 理论是偏好理论的一般化。
中级微观经济学
第三章 显示偏好理论
显示偏好理论是模型消费者选择行为
的另一种方法，它是直接对消费者行为强
加一个显示偏好弱公理，这类似于偏好理
论对消费者偏好强加一个理性假设，显示
偏好理论是偏好理论的一般化。
经济管理学院
经济系
中级微观经济学
一、 选择规则
消费者选择行为用选择结构来表示，一个选
择结构由两部分组成：
命题3.2: 如果是一个选择结构满足 （1）显示偏好弱公理，
（2）B中包含X中的所有元素个数小于或
等于2的子集。
那么存在一个理性化偏好关系
而言理性化选择规则 化偏好关系是唯一的。
相对于B
，并且这样的理性
，对所
经济管理学院
经济系
中级微观经济学
瓦尔拉斯需求函数实际上是给出了一个选择
规则，进而给出了一个选择结构。这样一个选择
结构满足显示偏好弱公理用瓦尔拉斯需求函数可
表述为：（为简单见，假设x（p，m）是单值的 并且假设它是连续可微的）
假设某个人在消费集X上有一个理性偏好 关系 义 可产生一个选择结构 ，对于X 中的一个非空子集族B，定 ，由此 ，我们说这个
选择结构是由理性偏好关系
产生的。
经济管理学院
经济系
中级微观经济学
命题 3.1: 假设
产生的选择结构
是理性偏好关系，那么由
满足显示偏好弱公理。
这个命题表明，如果消费者行为是为了 追求效用最大化，那么她的行为一定满足显 示偏好弱公理。从这个意义上说，显示偏好 理论是偏好理论的一般化。
中级微观经济学
第三章 显示偏好理论
显示偏好理论是模型消费者选择行为
的另一种方法，它是直接对消费者行为强
加一个显示偏好弱公理，这类似于偏好理
论对消费者偏好强加一个理性假设，显示
偏好理论是偏好理论的一般化。
经济管理学院
经济系
中级微观经济学
一、 选择规则
消费者选择行为用选择结构来表示，一个选
择结构由两部分组成：
命题3.2: 如果是一个选择结构满足 （1）显示偏好弱公理，
（2）B中包含X中的所有元素个数小于或
等于2的子集。
那么存在一个理性化偏好关系
而言理性化选择规则 化偏好关系是唯一的。
相对于B
，并且这样的理性
中级微观经济学讲义-2
第二讲 消费者理论
四、显示偏好简介
（一）显示偏好弱公理
与古典的从偏好关系到效用函数再到需 求函数的逻辑思路不同， 求函数的逻辑思路不同，萨缪尔森从行为结 果本身推导人的行为准则，抛却了效用理论 果本身推导人的行为准则， 中的许多主管假定，而仅需要一些隐含的、 中的许多主管假定，而仅需要一些隐含的、 弱的要求，比如一致性。 弱的要求，比如一致性。
第二讲 消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（二）效用最大化－续（2） 效用最大化－
罗伊恒等式】 【罗伊恒等式】 构造拉格朗日函数 L( x , λ ) = u( x ) + λ ( y − px )， ∂v ( p, y ) ∂L( x * , λ* ) 根据包络定理， 根据包络定理， = = λ*以及 ∂y ∂y ∂v ( p, y ) ∂L( x * , λ* ) = = − λ* x i*，可以得到 ∂ pi ∂p i ∂v ( p , y ) − ∂ pi x i* = x i ( p, y ) = ∂v ( p , y ) ∂y
x 2 f x1 , ∀t ∈ [0,1] ⇒ x t = tx 2 + (1 − t )x1 ~ x1 f ~ 公理 7 : 严格凸性 x 2 ≠ x1 , x 2 f x1 ⇒ x t f x1 ~ (排除了无差异集凹向原 点 < 多元化消费 > )
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
（一）偏好关系－续（1） 偏好关系－
偏好公理： 偏好公理： 公理 4 : 局部非饱和性 公理 5 : 严格单调性 公理 6 : 凸性 ∀x 0 ∈ R n , ∃ε > 0 , ∃x ∈ B ε ( x 0 ) I R n ⇒ x f x 0 + + (排除了无差异区域的存 在 ) ∀x 0， x1 ∈ R n ， x1 ≥ x 0 ⇒ x1 f x 0 + ~ (排除了无差异集向上弯 曲)
北大高微讲义第3章 显示偏好理论
所以,有(x1j − x0j ) = (x2j − x0j ) + (x1j − x2j )
两边同除以∆pj
,得:
(x1j − x0j ) ∆p j
=
(x2j − x0j ) ∆p j
+
(x1j − x2j ) ∆p j
(2)
以(1)替代(2)中最后一项的∆pj ,有:
(x1j − x0j ) ∆p j
设 x t 是 价 格 p t时 被 选 择 的 商 品 束 , x是使得pt xt > pt x 的另一个商品束, 则 称 x t 直 接 地 显 示 出 严 格 优 于 x。 记为：xt P D x
4
3.1 显示偏好公理
3、间接显示偏好( indirectly revealed preference) 亦称：传递闭包关系（transitive closure）
即: ∆p∆x ≤ 0
22
3.4 希克斯补偿和斯拉茨基补偿
二、显示偏好和两种补偿的符号：
结论：
对于两种不同定义的补偿效应的符
号来说，均有
∆p∆x ≤ 0
23
3.4 希克斯补偿和斯拉茨基补偿
三、希克斯补偿需求曲线和斯拉茨基补偿 需求曲线
24
第3章 显示偏好理论
• 3.1 显示偏好公理 • 3.2 显示偏好和无差异曲线 • 3.3 显示偏好和斯拉茨基方程 • 3.4 希克斯补偿和斯拉茨基补偿 • 3.5 显示偏好和生活水平比较
第1部分 消费者行为理论
• 第1章 消费者的最优决策 • 第2章 比较静态分析 • 第3章 显示偏好理论 • 第4章 需求 • 第5章 消费者的福利变化 • 第6章 库恩 --- 塔克条件 • 第7章 不确定条件下的个人选择
7、消费者行为理论_显示偏好
CH 7 显示偏好观察期内，偏好，具有稳定性。
一、显示偏好假设：偏好严格凸→每个预算约束，有且只有一个需求束。
显示偏好：按预算，本来应该选择商品束1，但实际，却选择了商品束2；商品束2是商品束1的显示偏好。
(x l ，x 2)：是阴影中所有商品束的直接显示偏好、间接显示偏好，所以，对(x l ，x 2)的偏好超过对所有商品束的偏好。
穿过(x l ，x 2)的无差异曲线，必定在阴影区之上。
2、间接显示偏好已知：X ≥Y ，∴ X 是Z 二、显示偏好与偏好1、 X 是Y 的显示偏好=对X 的偏好>对Y 的偏好？答案：不对。
“显示偏好”——在Y 能被购买的情况下，选择X —— 对消费者行为的描述。
“偏好” ——从一开始， X 就排在Y 的前头 —— 对喜欢程度的排序。
如果消费者是理性的，“显示偏好”隐含“偏好”。
2、 偏好传递→显示偏好传递。
三、恢复偏好在理性假设下，通过观察消费者的选择行为，可以估计偏好，观察到的行为越多，估计越准确。
如：根据消费者的选择→知道消费者的偏好→位于X 以上的阴影区里的消费束>X ，下阴影区里的消费束<X →经过X 的无差异曲线，必定位于两个阴影之间。
※ 四、显示偏好的弱公理消费者有能力购买却没有购买的东西，一定比他最终选择的东西差。
所以，下图的情况不会出现： 1、显示偏好弱公理(W ARP)：如果，12(,)x x 是12(,)y y 的直接显示偏好，且12(,)x x 、12(,)y y 不同，那么，12(,)y y 不可能是12(,)x x 的直接显示偏好。
换言之：如果，商品束12(,)x x 的价格12(,)p p ，商品束12(,)y y 的价格12(,)q q ，那么，只要 p l x l + p 2x 2≥p l y l + p 2y 2（价格相同），就不可能有 q l y l + q 2y 2≥q l x l + q 2x 2。
第07章-显示偏好
x2
x2*
在凸性、单调良性偏好下， 在凸性、单调良性偏好下， 在预算约束下， 在预算约束下，存在一个 最优消费束。 最优消费束。
x1*
x1
1. 直接显示偏好 Direct Preference Revelation
x2
消费束X 消费束X*和Y都满足预算 约束，但消费者选择了 约束，
x* y
消费束 x*，而没有选择 说明什么？ 消费束 y。说明什么？
C
B 与B
A B C D
I
D
A
B
B
C D
A
D
C, B
D
A ，且 C
有C
I
A，A ，
I
B, B
I
违反显示偏好强公理
≺ ≺ ≺ ≺
D
≺ ≺ ≺ ≺
≺ ≺ ≺ ≺
≺ ≺ ≺ ≺
≺ ≺ ≺ ≺
≺ ≺ ≺ ≺
A
C
B C
D D
恢复偏好（无差异曲线） Recovering Indifference Curves
(10, 1) $22 $21 $12
(5, 5) $20 $15 $15
(5, 4) $18 $14 $13
圈中的消费束消费者能支付，但他没有选择。 圈中的消费束消费者能支付，但他没有选择。
C hoices ( 10, 1) ( 5, 5) ( 5, 4) Prices ( $2, $2) $22 ( $2, $1) $21 ( $1, $2) $12 $20 $15 $15 $18 $14 $13
第六讲
第七章 显示偏好
Revealed Preference
第七章 显示偏好－－主要要点
显示偏好的概念 – 直接显示偏好和间接显示偏好 显示偏好弱公理和显示偏好强公理 检验消费者的行为是否效用最大化行为 恢复偏好
02消费者理论：需求
2.4.3 补偿需求函数的性质
32
PubliCcoFnsinuamnecre’s Theory
❖Prop. 1：h(p,u)在
n
上是连续函数
❖Prop. 2：h(p,u)是p的零次齐次函数
h(tp,u)=h(p,u), t>0
证明：Shephard’s Lemma
❖Prop. 3：The Compensated Law of
e(pt,u)=ptxt=tp1xt+(1-t)p2xt≥tp1x1+(1-t)p2x2， 即e(pt,u)≥te(p1,u)+(1-t)e(p2,u)，从而e(p,u)对
p凹。
PubliCcoFnsinuamnecre’s Theory
支出函数的性质
20
PubliCcoFnsinuamnecre’s Theory
29
(Substitution Effect & Income Effect)
x2 m/p2
o
x0 xh
x0=x(p0,m) x1=x(p1,m)
xh=h(p1,u0)
x1
=x(p1,m+m)
u1 u0
x1
PubliCcoFnsinuamnecre’s Theory
Hicks补偿
Substitution Effect & Income Effect 30
❖ 在现代理论中，效用函数仅仅是一个归纳消费者偏好所 包含的信息的方便工具
偏好关系
“Represent”
PubliCcoFnsinuamnecre’s Theory
无差异曲线
效用函数
补充说明
4
❖偏好假设（or理性偏好or一致偏好）对于 现代消费者理论是必需的吗？
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微观经济学:对偶与显示偏好
（Consumer’s Theory ）
What have we learned?
马歇尔需求函数与间接效用函数 希克斯需求函数与支出函数 几个重要的恒等式 需求函数的性质与禀赋
2
补充：Hicks补偿与Slutsky补 两种补偿概念： 偿
Hicks补偿：在新价格水平下，保持原来的效用 水平，收入必须发生的变化
消费者行为理论中的对偶性
❖理性偏好假设是必须的吗？
显示偏好
6
货币测度的效用函数
若偏好满足严格单调性，则e(p,u) 对u严格递 增
u(·)对正单调变换具有不变性
用e(p,u)代表效用、偏好
——货币测度的效用函数 (Chap. 7.5)
7
货币测度的直接效用函数
给定p，对于消费束x，为购买与x同样好的 消费束所需要的最小支出？
Roy恒等式
积 性
x (p, m )
的 效 用 函 数
货 币 测 度
恒等 式
恒等 式
EMP
e(p, u )
p·h Shephard引理
h (p, u )
15
定理
u(x)在
n
上拟凹而且可微，一阶偏导严格为
正，那么间接效用函数 v(p,px)在
n
上取得
最小值，并且有：
u(x)min v(p,px) p0
v(p,m) = m/(Kp1ap21-a) 又由货币测度的间接效用函数的定义，有：
u(p;q,m) ≡ e(p,v(q,m)) = p1ap21-a m/(q1aq21-a)
直接效用函数？
m(p, x) ≡ e(p,u(x))=Kp1ap21-ax1ax21-a
11
应用：货币测度的效用函数
4
x0 xh
x0=x(p0,y) x1=x(p1,y)
xh=h(p1,u0)
x1
=x(p1,y+y)
u1 u0
x1
x1(p1,p20 ,y)
x1h (p1,p20,u1)
x1
对偶与显示偏好
Duality and Revealed Preferences
5
Questions
❖如何从间接效用函数得到直接效用函数？
应用：几个重要的恒等式&货币测度的效用函数
例2：已知两商品经济下的效用函数为
u(x1,x2) = (x1a+x2a)1/a 求相应的需求函数、货币测度的直接和间接效用函数
由支出最小化，可得e(p,u)= (p1b+p2b)1/b u 从而， 替换v(p,m)=u，则有：
v(p,m) = m (p1b+p2b)-1/b 又由Roy恒等式，可得x1(p,m), x2(p,m) 再由货币测度的直接效用函数的定义，有：
m(p,x) ≡ e(p,u(x)) = (p1b+p2b)1/b (x1a+x2a)1/a 以及货币测度的间接效用函数的定义，有：
12
u(p;q,m) ≡ e(p,v(q,m)) = (p1b+p2b)1/b(q1b+q2b)-1/bm
小结：e u
偏好
UM P 偶对
v ( p , m )可
Roy恒等式
x
n
p
0有
v(p,px)u(x)
如果 p 0 v(p,px)u(x)
u(x)m in v(p,px) p0
17
从间接效用函数到直接效用函 数
将收入标准化为1，则： 从而，直接效用函数为：
18
定理
u ( x )在
n 上拟凹而且可微，一阶偏导严格
为正，那么间接效用函数 v(p,p x)在
严格递增。 m(p,x)是效用函数的正单调变换。
10
应用：货币测度的效用函数
应用：几个重要的恒等式&货币测度的效用函数 例1：已知两商品经济下的支出函数为
e(p1,p2,u) = Kp1ap21-au 求相应的间接效用函数、直接效用函数、货币测度的效用函数、
需求函数 m = e(p, u)；v(p,m)=u，则有：
应用：从v到u
由直接效用函数的求解，
p i
u / xi x ju / x j
j
21
反需求函数 pi pi (x)
Hotelling’s Lemma：
如果函数v(p, m) 满足间接效用函数的性质 ，那么该函数就是一个间接效用函数，而 且根据上式所构造的函数就是产生该间接 效用函数的直接效用函数。
16
直接效用函数的构造: v u
v ( p , y ) m a xu (x ) s .t.p x y
v ( p ,y ) u ( x ) ifp x y
积 性
x (p, m )
的 效 用 函 数
货 币 测 度
恒等
式
EMP
e(p, u )
p·h Shephard引理
恒等 h ( p , u ) 式
13
间接效用函数与偏好
UM P
v(p, y)
偏好
EMP
e(p, u )
从间接效用函数能够恢复其偏好关系
14
小结
偏好
UM P 偶对
v ( p , m )可
△m=e(p+△p, u)-e(p, u) x(p+△p, m+△m)=x(p+△p, e(p+△p, u))
Slutsky补偿：在新价格水平下，保持原来的购 买力，收入必须发生的变化
△m= △p.x(p, m)
等价性
3
Hicks补x1h (p1,p20,u0)
p
0 1
p
0 2
m(p,x) ≡ e(p, u(x))
称上述m(p,x)为货币测度的直接效用函数
Min z0 p•z
s.t. u(z) u(x)
z
x
8
货币测度的间接效用函数
给定p，对于(q,m)，至少需要多少货币才能 达到(q,m)下所能达到的效用水平？
u(p;q,m) ≡ e(p,v(q,m))
称上述u(p;q,m)为货币测度的间接效用函数
Min z0 p•z
s.t. u(z) v(q,m)
9
货币度量的效用函数
含义：在价格p下，消费者需要多少货币才能 与其消费商品束x的境况一样好？
❖m(p,x)类似于支出函数(对p单调、齐次、凹 )
❖m(p,x)还是一个效用函数(当p固定时，对x)
P固定，e(p,u)对u递增。 若偏好满足连续性、严格单调性， e(p,u)对u
n
上取得最小值，并且有：
u(x) min v(p) p0
s.t.px 1
19
对偶应用：v到u
一个例子：
已知v(p1,p2,m)=lnm-alnp1-blnp2， 求u(x1,x2)
Min p : v(p1,p2,m)=lnm-alnp1-blnp2 st.:p1x1+p2x2=m
20
（Consumer’s Theory ）
What have we learned?
马歇尔需求函数与间接效用函数 希克斯需求函数与支出函数 几个重要的恒等式 需求函数的性质与禀赋
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补充：Hicks补偿与Slutsky补 两种补偿概念： 偿
Hicks补偿：在新价格水平下，保持原来的效用 水平，收入必须发生的变化
消费者行为理论中的对偶性
❖理性偏好假设是必须的吗？
显示偏好
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货币测度的效用函数
若偏好满足严格单调性，则e(p,u) 对u严格递 增
u(·)对正单调变换具有不变性
用e(p,u)代表效用、偏好
——货币测度的效用函数 (Chap. 7.5)
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货币测度的直接效用函数
给定p，对于消费束x，为购买与x同样好的 消费束所需要的最小支出？
Roy恒等式
积 性
x (p, m )
的 效 用 函 数
货 币 测 度
恒等 式
恒等 式
EMP
e(p, u )
p·h Shephard引理
h (p, u )
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定理
u(x)在
n
上拟凹而且可微，一阶偏导严格为
正，那么间接效用函数 v(p,px)在
n
上取得
最小值，并且有：
u(x)min v(p,px) p0
v(p,m) = m/(Kp1ap21-a) 又由货币测度的间接效用函数的定义，有：
u(p;q,m) ≡ e(p,v(q,m)) = p1ap21-a m/(q1aq21-a)
直接效用函数？
m(p, x) ≡ e(p,u(x))=Kp1ap21-ax1ax21-a
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应用：货币测度的效用函数
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x0 xh
x0=x(p0,y) x1=x(p1,y)
xh=h(p1,u0)
x1
=x(p1,y+y)
u1 u0
x1
x1(p1,p20 ,y)
x1h (p1,p20,u1)
x1
对偶与显示偏好
Duality and Revealed Preferences
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Questions
❖如何从间接效用函数得到直接效用函数？
应用：几个重要的恒等式&货币测度的效用函数
例2：已知两商品经济下的效用函数为
u(x1,x2) = (x1a+x2a)1/a 求相应的需求函数、货币测度的直接和间接效用函数
由支出最小化，可得e(p,u)= (p1b+p2b)1/b u 从而， 替换v(p,m)=u，则有：
v(p,m) = m (p1b+p2b)-1/b 又由Roy恒等式，可得x1(p,m), x2(p,m) 再由货币测度的直接效用函数的定义，有：
m(p,x) ≡ e(p,u(x)) = (p1b+p2b)1/b (x1a+x2a)1/a 以及货币测度的间接效用函数的定义，有：
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u(p;q,m) ≡ e(p,v(q,m)) = (p1b+p2b)1/b(q1b+q2b)-1/bm
小结：e u
偏好
UM P 偶对
v ( p , m )可
Roy恒等式
x
n
p
0有
v(p,px)u(x)
如果 p 0 v(p,px)u(x)
u(x)m in v(p,px) p0
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从间接效用函数到直接效用函 数
将收入标准化为1，则： 从而，直接效用函数为：
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定理
u ( x )在
n 上拟凹而且可微，一阶偏导严格
为正，那么间接效用函数 v(p,p x)在
严格递增。 m(p,x)是效用函数的正单调变换。
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应用：货币测度的效用函数
应用：几个重要的恒等式&货币测度的效用函数 例1：已知两商品经济下的支出函数为
e(p1,p2,u) = Kp1ap21-au 求相应的间接效用函数、直接效用函数、货币测度的效用函数、
需求函数 m = e(p, u)；v(p,m)=u，则有：
应用：从v到u
由直接效用函数的求解，
p i
u / xi x ju / x j
j
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反需求函数 pi pi (x)
Hotelling’s Lemma：
如果函数v(p, m) 满足间接效用函数的性质 ，那么该函数就是一个间接效用函数，而 且根据上式所构造的函数就是产生该间接 效用函数的直接效用函数。
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直接效用函数的构造: v u
v ( p , y ) m a xu (x ) s .t.p x y
v ( p ,y ) u ( x ) ifp x y
积 性
x (p, m )
的 效 用 函 数
货 币 测 度
恒等
式
EMP
e(p, u )
p·h Shephard引理
恒等 h ( p , u ) 式
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间接效用函数与偏好
UM P
v(p, y)
偏好
EMP
e(p, u )
从间接效用函数能够恢复其偏好关系
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小结
偏好
UM P 偶对
v ( p , m )可
△m=e(p+△p, u)-e(p, u) x(p+△p, m+△m)=x(p+△p, e(p+△p, u))
Slutsky补偿：在新价格水平下，保持原来的购 买力，收入必须发生的变化
△m= △p.x(p, m)
等价性
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Hicks补x1h (p1,p20,u0)
p
0 1
p
0 2
m(p,x) ≡ e(p, u(x))
称上述m(p,x)为货币测度的直接效用函数
Min z0 p•z
s.t. u(z) u(x)
z
x
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货币测度的间接效用函数
给定p，对于(q,m)，至少需要多少货币才能 达到(q,m)下所能达到的效用水平？
u(p;q,m) ≡ e(p,v(q,m))
称上述u(p;q,m)为货币测度的间接效用函数
Min z0 p•z
s.t. u(z) v(q,m)
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货币度量的效用函数
含义：在价格p下，消费者需要多少货币才能 与其消费商品束x的境况一样好？
❖m(p,x)类似于支出函数(对p单调、齐次、凹 )
❖m(p,x)还是一个效用函数(当p固定时，对x)
P固定，e(p,u)对u递增。 若偏好满足连续性、严格单调性， e(p,u)对u
n
上取得最小值，并且有：
u(x) min v(p) p0
s.t.px 1
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对偶应用：v到u
一个例子：
已知v(p1,p2,m)=lnm-alnp1-blnp2， 求u(x1,x2)
Min p : v(p1,p2,m)=lnm-alnp1-blnp2 st.:p1x1+p2x2=m
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