第4章VNM效用函数与风险升水

等式左边：
2 h E[u ( w0 h)] E[u ( w0 ) hu ' ( w0 ) u '' ( w0 ) (h 2 )] 2 2 E ( h ) '' ' u ( w0 ) E (h)u ( w0 ) u ( w0 ) (h 2 ) 2
E(h) 0，E(h2 )为h 的方差，略去高阶,得:
的曲率表示的。由于它是对一个财富水平下的 风险的度量，所以又被称为是局部绝对风险规 避度量。这在于说明在财富收益水平绝对量上 的增加或损失。
u '' ( w) R( w) ' u ( w)
相对风险规避系数：
u ( w) w ( w) ' u ( w)
''
经济学含义：
边际效用相对于财富水平的弹性
u( g ) u( E ( g ) P)
3、保险费
令Z 表示一个均值为和方差为 的随机变量，
2
并设消费者拥有x的财富： 保险费 I：u x I E u x +Z
消费者购买保险是为了规避风险，那么消费者 愿意出多少钱来规避风险呢？ 如果没有保险，消费者的预期效用为 E u x+Z 购买保险后，消费者的收入带来的效用应该等 于存在风险时的期望效用。
2 i 1 n
| an E( A) | Pn
一个例子
工作1的期望收入： 0.5*2000+0.5*1000=1500 工作2的期望收入： 0.99*1510+0.01*510=1500
平均离差=P1×结果1的离差+P2×结果2的离差
工作1的平均离差：
0.5 500元 0.5 500元=500元
, an ), 若有如下情况：
u( E ( g )) Eu( g )
风险规避
u( )为凹函数
u( E ( g )) Eu( g )
风险中立
u( )为线性函数
u( E ( g )) Eu( g )
风险偏好
u( )为凸函数
§3.风险规避的度量 1、风险规避系数
绝对风险规避系数：由决策者的效用函数
3h

由效用函数的凹性可知：
E[u h (w)] E[u 2h (w)] E[u 3h (w)]

说明赌局的风险越大，期望效用水平越低。 风险厌恶时，当上升时，风险升水（保险价格） P也上升。当损失出现时，消费者认为其效用 损失大得多。为免灾，他愿支付较高的保险价 格。
风险升水（E(h)=0,P=R）与投保人的财富 绝对水平不一定有关
风险规避：

抽奖所带来的期望效用小于那笔固定 的奖金所带来的效用。数学含义：
1. 效用函数是凹的：
u ( x) 0, u ( x) 0
' ''
2. Jensen不等式
u( E(W )) 1u( x1 )
nu( xn )
风险偏好者
u(E(W )) u(1, , n ; x1, , xn ) 1u( x1 )
u
E
nu( xn ) u(W )
u ( x)
D
C
A
O
10
15
20
x
( 千元)
风险偏好：

抽奖所带来的期望效用大于那笔固定 的奖金所带来的效用。数学含义：
1. 效用函数是凸的：
u ( x) 0, u ( x) 0
' ''
2. u(E(W )) 1u( x1 )
nu( xn )
C


S
u ( w)
T
u(w1 )
R
p
O
w1
CE
E(g)
w2
w
风险升水P：一个赌局的确定性等价与这个赌 局的期望收入之间的差距，即
P E ( g ) CE
或者说，风险升水指一个完全确定的收入E(g) 转化为两个不确定的收入w1和w2时，消费者由 于面临风险付出的代价。赌博g含的风险相当于 使一个确定的收入E(g)减少了P，即
A B, C A, C B则 : PA (1 P)C PB (1 P)C A B, C A, C B则 : PA (1 P)C PB (1 P)C



例： 设A=获1000元,B=获10元,C=死亡。对大多数 人，1000元>10元>死亡。 设10元为一确定的状态。则必定存在概率 0<P<1，使得：
4、风险升水与风险规避程度的关系
消费者的期望效用函数可写成：
E[u(w0 h)](h可以小于零, E(h) 0)
若消费者支付R给保险公司，他得到一个确定 的效用水平 u(w0 R) ，根据确定性等值：
E[u(w0 h)] u(w0 R)
用泰勒级数展开上式：
等式右边：
u(w0 R) u(w0 ) Ru' (w0 ) 高阶项
对于有多个可能结果的赌博，消费者的期 望效用为：
单赌gs ( p1a1 , p2a2 ,
Eu ( g s ) piu (ai )
i 1 n
, pn an )
期望效用函数的作用：当消费者面临不确定性 时，可用期望效用最大化分析消费者的行为。
四.期望效用函数

期望效用函数不是唯一的，如果u(· )是一个消 费者的期望效用函数，则其正仿射变换
风险中立者
u
E
u( E(W )) u(W )
u ( x)
D(C )
A
O
10
15
20
x
u( E (W )) u(W )
风险中性：

抽奖所带来的期望效用等于那笔固定 的奖金所带来的效用。
数学含义：效用函数是线性的

定义
u( )为VNM 效用函数.
对于单赌g ( P 1, P 2,
,P n ; a1 , a2 ,
Ch.4 期望效用函数与风险升水
本章要点
§1.不确定性与选择公理 §2.冯· 诺依曼—摩根斯坦效用函数 §3.风险的客观度量及对风险的主观态度 §4.风险规避的度量
§1. 期望效用函数
一、不确定性

经济活动中始终存在着决策的不确定性。 不确定性和风险是一个不同的概念，奈特在 《风险、不确定和利润》（1916）第一次区分 了经济活动中不确定性与风险，风险是可以计 算出客观概率的情况，不确定性是不可以计算 出客观概率的情况。
h

赌局2：50%的概率赢或输2h。其期望效用函 数为： 1 1
E[u 2 h ( w)] u ( w 2 h) u ( w 2 h) 2 2

赌局3：50%的概率赢或输3h。其期望效用函 数为：
1 1 E[u ( w)] u ( w 3h) u ( w 3h) 2 2
2、确定性等值与风险升水
u(w1 ) R, u(w2 ) S
1 若P ,则 1 P 2 2 1 1 w1 w2 E ( g ) 2 2
1 1 期望效用水平 Eu ( g ) R S 2 2

对于一个风险规避的消费者，我们有
u(E( g )) Eu g

如果消费者在不确定情形下的偏好符合上述公理， 则消费者从单赌g ( p, A, B)当中获得的期望效用 就可以表示为：
Eu( g ) pu( A) (1 p)u( B)
这就是所谓的期望效用函数，又称为冯诺依曼-摩 根斯坦（von Neumann-Morgenstein）效用函数
四.期望效用函数
保险费、确定性等价和风险升水
令Z 表示一个均值为 和方差为 2的随机变量， 并设消费者拥有x的财富： 确定性等价 CE：u x CE E u x +Z 风险升水 ：u x E u x +Z 保险费 I：u x I E u x +Z 由上可知： CE I 且当 =0 时, I
工作2的平均离差：
0.99 10元 0.01 990元=19.8元
你愿意选择哪一种工作？
二、对风险的主观态度

你愿意选择哪份工作？ 你愿意接受一笔数额的奖金还是参加一次抽奖？ （抽奖存在不确定性，但其期望和那笔奖金相 等）
风险规避：愿意接受数额固定的奖金 风险中性：对于两者无差异 风险偏好：愿意参加抽奖
确定性等值是完全确定的收入量，此收入水平对应的 效用水平等于不确定条件下期望的效用水平，即CE满 足：
u(CE) Eu( g ) u(E g )

一个赌局的确定性等价应该小于这个赌局的期望收入， 即
CE E g
u ( w)
u ( E ( g ))
u(w2 )
1u(w1 ) 2u(w2 ) T
Var h '' u ( w0 ) Ru ( w0 ) u ( w0 ) u ( w0 ) 2 Var h u '' ( w0 ) R 2 u ' ( w0 )
'
也就是：
Var h u '' (w0 ) Var h R R w ' 2 u ( w0 ) 2

风险规避者
u(E(W )) u(1, , n ; x1, , xn ) 1u( x1 ) nu( xn ) u(W )
u
u ( x)
u ( E (W ))
u (W )

x1 E(W )