八年级数学分式方程精讲精练
八年级数学上册_153_分式方程例题讲解_新人教版
八年级数学上册_153_分式方程例题讲解_新人教版15.3分式方程1．分式方程的概念分母中含未知数的方程叫做分式方程．谈重点分式方程与整式方程的区别从分式方程的定义可以看出分式方程有两个重要特征：一是方程；二是分母中含未知数．因此整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含未知数．【例1】下列方程：①A．①②C．③④2.分式方程的解法(1)解分式方程的基本思路：去分母分式方程――→整式方程．转化(2)解分式方程的一般方法和步骤：①去分母：即在方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原方程的根，使最简公分母等于0的根不是原方程的根，必须舍去．(3)对分式方程解法的理解：①解分式方程的基本思想是转化，即把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程从而确定分式方程的解；②将分式方程转化为整式方程时，是将分式方程两边同乘最简公分母，当所乘的整式不为零时，所得整式方程与原分式方程同解；当所乘整式为零时，所求出的未知数的值就不是原分式方程的解；③在解分式方程时，方程两边约去含有未知数的公因式时，若该公因式的值为零，会造成原方程失根，所以在解分式方程时，两边不能同时除以含有未知数的公因式；④验根的方法：代入原分式方程，看左右两边是否相等，但这种方法较麻烦，直接代入最简公分母验根较为简捷．【例2】解下列方程：某－331＋某1某21，②＝2，③＝5.其中是分式方程的有()．5某5＋某22某B．②③D．②③④736某522(2)－1＝.某＋某某－某某－12某－55－2某2分式方程的应用主要是列方程解应用题，它与列一元一次方程解应用题的基本思路和方法是一样的．列分式方程解应用题的一般步骤：①审：审清题意；②找：找出相等关系；③设：设未知数；④列：列出方程；⑤解：解这个分式方程；⑥验：既要检验根是否是所列分式方程的根，又要检验根是否符合题意；⑦答：写出答案．【例3】今年春季我国西南五省持续干旱，旱情牵动着全国人民的心．“一方有难、八方支援”，某厂计划生产1800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务．求原计划每天生产多少吨纯净水？解：设原计划每天生产某吨纯净水，18001800则依据题意，得＝3，某1.5某整理，得4.5某＝900，解之，得某＝200.把某＝200代入原方程，成立，∴某＝200是原方程的解．答：原计划每天生产200吨纯净水．4．分式方程无解型问题解答分式方程无解型问题的方法是：首先将分式方程转化为整式方程，然后再将分式方程的增根(使分式方程的分母为零的未知数的值)代入整式方程(因为方程若有增根，则增根是通过解整式方程而得到的，故它满足整式方程)，从而求出方程中的参数值．列分式方程解实际问题时，关键是从实际问题中找出等量关系．另外，还要注意对方程的根进行检验．检验时，要注意双重检验：既要根据所列方程进行检验，又要根据实际问题进行检验．举例：甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等．已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，问甲、乙两人每天各加工多少个玩具？解：设甲每天加工某个玩具，则乙每天加工(35－某)个玩具．90120，解得，某＝15.某35－某经检验，某＝15是原方程的解且符合实际意义．所以35－某＝35－15＝20(个)．答：甲每天加工15个玩具，乙每天加工20个玩具．【例4－1】已知关于某的分式方程a－11有增根，则a＝________.某＋2解析：去分母得a－1＝某＋2，将某＝－2代入得a－1＝0，解得a＝1.答案：1【例4－2】若关于某的方程某－2m2无解，求m的值．某－3某－3解：方程两边同乘(某－3)，得某－2＝m＋2(某－3)．整理，得m＝－某＋4.因为当某＝3时，分式方程无解，所以m＝1.【例5】某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．(1)求第一批购进书包的单价是多少元？(2)若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？解：(1)设第一批购进书包的单价是某元，则第二批购进书包的单价为(某＋4)元．20006300某3＝，解得某＝80.某某＋4经检验，某＝80是原方程的解．答：第一批购进书包的单价是80元．20006300(2)某(120－80)＋84)＝1000＋2700＝3700(元)．8084 2000解法二：(2000＋6300)＝12000－8300＝3700(元)．80答：商店共盈利3700元．在解分式方程中的阅读题时，首先要认真阅读题意，仔细观察列举的条件，观察比较所给各方程的特点和它的解与原方程的关系，发现解答过程的错误或探究得出其中的规律，然后根据题目的要求改正题目中的错误或者根据发现的规律解答提出的问题．阅读理解题是新课标理念下的创新题型，应予以重视．7．分式方程中的开放型问题分式方程中的开放型问题，其答案一般不唯一．有两种类型：一是条件开放型问题，二是结论开放型问题．6解答这类题目的一般方法是：通过条件，联想有关概念或法则，探求结论．例如：请根据所给方程＋某解：甲、乙两人合作加工一批零件，已知甲比乙每小时多加工5个零件，他们合作6h完成了加工任务．问：甲、乙每小时各加工零件多少个？这批零件共有几个？8．列分式方程解答综合性问题解答应用题的关键是弄清题目中的数量关系，选择合适的关系式列出分式方程，求出方程的解来解决问题．如果涉及用其他知识的综合题，应认真分析题意建立适当的数学模型来解答．例如：从甲地到乙地共50千米，其中开始的10千米是平路，中间的20千米是上坡路，余下的20千米又是平路．小明骑自行车从甲地出发，经过2小时10分钟到达甲、乙两地的中点，再经过1小时50分钟到达乙地，求小明在平路上的速度(假设小明在平路和上坡路上保持匀速)．解：设小明在平路上的速度为某千米/时，13101120＝3，6某6某解得某＝15.经检验，某＝15是所列方程的解，且符合题意．答：小明在平路上的速度为15千米/时．【例6】先阅读下列一段文字，然后解答问题：111已知方程某1的解是某1＝2，某2＝－.某22121方程某－＝某1＝3，某2.某33131方程某－＝某1＝4，某2.某44141方程某－＝某1＝5，某2.某55110问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程某－10某11和你的同伴互相交流．1解：某1＝11，某2方程的左边是未知数与其倒数的差，方程的右边是比带分数的整数部分大1的11数与其倒数的差，此时方程的解就可以直接写出了．【例7】请选择一组a，b的值，写出一个形如样的分式方程可以是__________．解析：根据题意，把某＝2化简整理，得a＝4b.再任意给出一对a，b的值，使其满足a＝4b即可．写出一个题目所要求的分式方程，如当a＝4，b＝1时，所写的方程为答案：【例8】某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米？(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种？请你帮助设计出来．解：(1)设甲工程队每天能铺设某米，则乙工程队每天能铺设(某－20)米．350250根据题意得，解得某＝70.某某－20检验：某＝70是原分式方程的解．答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米．(2)设分配给甲工程队y米，a某＋2＝b的关于某的分式方程，使它的解为某＝2，这a某＋2＝b中，41.某＋241(不唯一)某＋2则分配给乙工程队(1000－y)米．y70≤10，由题意，得解得500≤y≤700.1000－y50所以分配方案有3种．方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米；方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米．。
八年级数学专题20 分式方程(知识点串讲)(解析版)
专题20 分式方程【重点突破】知识点一分式方程解分式方程的基本1）去分母(两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程)。
2）解整式方程(去括号-移项/合并同类项-系数化为1)。
3）检验(把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母为0 ，则x=a不是分式方程的解若最简公分母不为0，则x=a是分式方程的解4）写出答案增根的概念：在分式方程化为整式方程的过程时，若整式方程的根使最简公分母为0（即根使整式方程成立，但分式方程中分母为0 ），那么这个根叫做原分式方程的增根。
知识点二利用分式方程解决实际问题分式方程解决实际问题的步骤：1. 根据题意找等量关系2. 设未知数3. 列出方程4. 解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）5. 写答案【考查题型】考查题型一分式方程的定义典例1．（2020·无锡市第一女子中学初二期中）下列关于x的方程中，是分式方程的是( )．A．132x=B．12x=C．2354x x++=D．3x－2y＝1【答案】B 【提示】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断． 【详解】A. C. D 项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；B. 方程分母中含未知数x ，故是分式方程， 故选B. 【名师点拨】本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.变式1-1．（2020·兴安盟期末）下列关于x 的方程是分式方程的是( )A ．23356x x ++-=;B ．137x x a-=-+; C ．x a b x a b a b -=-; D ．2(1)11x x -=-【答案】D 【解析】根据分式方程的定义——分母中含有未知数的方程.故选D.变式1-3．（2020·锡林郭勒市期末）下列方程是分式方程的是（ ） A ．1023x-= B ．42x=- C ．213x -=D ．2x +1=3x【答案】B 【解析】A 选项是一元一次方程；B 选项的方程的分母中含有未知数，所以为分式方程；C 选项是一元二次方程；D 选项是一元一次方程. 故选B.考查题型二 解分式方程典例2．（2020·衡水市期末）解分式方程2x 23x 11x++=--时，去分母后变形为 A ．()()2x 23x 1++=-B ．()2x 23x 1-+=-C ．()()2x 231?x -+=- D ．()()2x 23x 1-+=-【答案】D 【解析】试题提示：方程22311xx x++=--，两边都乘以x-1去分母后得：2-（x+2）=3（x-1），故选D.变式2-1．（2018·安阳市期末）方程1223x x=+的解为（）A．x=﹣1 B．x=0 C．x=35D．x=1【答案】D【解析】提示：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．详解：去分母得：x+3=4x，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解，故选D．名师点拨：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．变式2-2．（2019·文登区期中）若分式方程1133a xx x-+=--有增根，则a的值是( )A．4 B．0或4 C．0 D．0或﹣4 【答案】A【解析】试题解析：方程两边同时乘以x-3得，1+x-3=a-x，∵方程有增根，∴x-3=0，解得x=3．∴1+3-3=a-3，解得a=4．故选A.变式2-3．（2020·余杭区期中）解分式方程11x-+1=0，正确的结果是（）A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．无解【答案】A【提示】先去分母化为整式方程,再求解即可.【详解】11x-+1=0，1+x-1=0，x=0，经检验：x=0是原方程的根， 故选A.考查题型三 分式方程的解典例3．（2020·成都市期末）已知关于x 的分式方程21m x -+=1的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m≤3 B ．m≤3且m≠2C ．m ＜3D ．m ＜3且m≠2【答案】D 【提示】解方程得到方程的解，再根据解为负数得到关于m 的不等式结合分式的分母不为零，即可求得m 的取值范围. 【详解】21m x -+=1， 解得：x=m ﹣3， ∵关于x 的分式方程21m x -+=1的解是负数， ∴m ﹣3＜0， 解得：m ＜3，当x=m ﹣3=﹣1时，方程无解， 则m≠2，故m 的取值范围是：m ＜3且m≠2， 故选D ． 【名师点拨】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的分母不为零是解题关键． 变式3-1．（2020·西安市期中）若关于x 的方程333x m mx x++--=3的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜92B ．m ＜92且m≠32C ．m ＞﹣94D ．m ＞﹣94且m≠﹣34【答案】B 【详解】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=292m-+，已知关于x的方程333x m mx x++--=3的解为正数，所以﹣2m+9＞0，解得m＜92，当x=3时，x=292m-+=3，解得：m=32，所以m的取值范围是：m＜92且m≠32．故答案选B．变式3-2．（2020·兰州市期末）若关于x的方程111m xx x----=0有增根，则m的值是A．3 B．2 C．1 D．－1 【答案】B【解析】试题提示：若关于x的方程111m xx x----=0有增根，则x=1为增根．把方程去分母可得m-1-x=0，把x=1代入可得m-1-1=0，解得m=2.变式3-3．（2020·贵阳市期末）若144m xx x--=--无解，则m的值是（）A．－2B．2C．3D．－3【答案】C【解析】试题解析：方程两边都乘（x-4）得：m+1-x=0，∵方程无解，∴x-4=0，即x=4，∴m+1-4=0，即m=3，故选C．名师点拨：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．考查题型四分式方程的实际应用典例4．（2019·南宁市期末）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？【答案】（1）乙队单独完成需90天；（2）在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．【提示】（1）求的是乙的工效，工作时间明显．一定是根据工作总量来列等量关系．等量关系为：甲20天的工作量+甲乙合作24天的工作总量=1．（2）根据题意，分别求出三种情况的费用，然后把在工期内的情况进行比较即可．【详解】解：（1）设乙队单独完成需x天．根据题意，得：11120()241 6060x⨯++⨯=．解这个方程得：x=90．经检验，x=90是原方程的解．∴乙队单独完成需90天．（2）设甲、乙合作完成需y天，则有11()1 6090y+⨯=，解得，y=36；①甲单独完成需付工程款为：60×3.5=210（万元）．②乙单独完成超过计划天数不符题意，③甲、乙合作完成需付工程款为：36×（3.5+2）=198（万元）．答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．【名师点拨】本题考查分式方程的应用，提示题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．变式4-1．（2019·天水市期末）我市从2018 年1 月1 日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8 万元购进A、B 两种型号的电动自行车共30 辆，其中每辆B 型电动自行车比每辆A 型电动自行车多500 元．用5 万元购进的A 型电动自行车与用6 万元购进的B 型电动自行车数量一样．（1）求A、B 两种型号电动自行车的进货单价；（2）若A 型电动自行车每辆售价为2800 元，B 型电动自行车每辆售价为3500 元，设该商店计划购进A 型电动自行车m 辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y 元．写出y 与m 之间的函数关系式；（3）该商店如何进货才能获得最大利润；此时最大利润是多少元．【答案】（1）A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为2500 元3000 元；（2）y=﹣200m+15000（20≤m≤30）；（3）m=20 时，y 有最大值，最大值为11000 元．【提示】（1）设A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为x 元、（x+500）元，根据用5 万元购进的A 型电动自行车与用6 万元购进的B 型电动自行车数量一样，列分式方程即可解决问题；（2）根据总利润=A 型的利润+B 型的利润，列出函数关系式即可；（3）利用一次函数的性质即可解决问题．【详解】解：（1）设A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为x 元、（x+500）元，由题意：50000x=60000x+500，解得：x=2500，经检验：x=2500 是分式方程的解，答：A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为2500 元3000 元；（2）y=300m+500（30﹣m）=﹣200m+15000（20≤m≤30）；（3）∵y=300m+500（30﹣m）=﹣200m+15000，∵﹣200＜0，20≤m≤30，∴m=20 时，y 有最大值，最大值为11000 元．【名师点拨】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用等知识，读懂题意，找准等量关系列出方程，找准数量关系列出函数关系是解题的关键．变式4-2．（2020·九江市期末）某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？【答案】（1）A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条；（2）80．【提示】（1）设B 型芯片的单价为x 元/条，则A 型芯片的单价为（x ﹣9）元/条，根据数量=总价÷单价结合用3120元购买A 型芯片的条数与用4200元购买B 型芯片的条数相等，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买a 条A 型芯片，则购买（200﹣a ）条B 型芯片，根据总价=单价×数量，即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）设B 型芯片的单价为x 元/条，则A 型芯片的单价为（x ﹣9）元/条，根据题意得：312042009x x=-， 解得：x ＝35，经检验，x ＝35是原方程的解， ∴x ﹣9＝26．答：A 型芯片的单价为26元/条，B 型芯片的单价为35元/条．（2）设购买a 条A 型芯片，则购买（200﹣a ）条B 型芯片，根据题意得： 26a +35（200﹣a ）＝6280， 解得：a ＝80．答：购买了80条A 型芯片． 【名师点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．变式4-3．（2019阳泉市期末）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的43倍，甲队比乙队多筑路20天． （1）求乙队筑路的总公里数；（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里． 【答案】（1）80；（2）0.8． 【解析】试题提示：（1）根据乙队筑路总千米数是甲队筑路总千米数的43倍列式计算即可得； （2）设甲队平均每天筑路5x 千米，则乙队平均每天筑路8x 千米，根据题意可得等量关系：甲队筑路用的天数-20=乙队筑路用的天数，列出方程解方程即可．试题解析：(1)60×43＝80(千米)，即乙队筑路的总千米数为80千米． (2)设甲队平均每天筑路5x 千米，则乙队平均每天筑路8x 千米， 根据题意，得608020=58x x-， 解得x ＝110， 经检验，x ＝110是原分式方程的解且符合题意，110×8＝45， 答：乙队平均每天筑路45千米．【名师点拨】本题考查了分式方程的应用，关键是弄懂题意，找出题中的数量关系，根据数量关系确定等量关系．变式4-4．（2020·佳木斯市期末）为支援灾区，某校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A 、B 两种型号的学习用品共1000件．已知B 型学习用品的单价比A 型学习用品的单价多10元，用180元购买B 型学习用品的件数与用120元购买A 型学习用品的件数相同． （1）求A 、B 两种学习用品的单价各是多少元？（2）若购买这批学习用品的费用不超过28000元，则最多购买B 型学习用品多少件？ 【答案】（1）A 型学习用品20元，B 型学习用品30元；（2）800． 【解析】（1）设A 种学习用品的单价是x 元，根据题意，得18012010x x=+，解得x ＝20．经检验，x ＝20是原方程的解．所以x +10＝30． 答：A 、B 两种学习用品的单价分别是20元和30元．（2）设购买B 型学习用品m 件，根据题意，得30m +20(1000－m )≤28000，解得m ≤800．所以，最多购买B 型学习用品800件．。
人教版八年级数学讲义解分式方程(含解析)(2020年最新)
第11讲解分式方程知识定位讲解用时：5分钟A 、适用范围：人教版初二，基础较好；B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习解分式方程。
分式的内容在初中数学中占有重要地位，特别是利用分式方程解决实际问题，是重要的应用数学模型。
在中考中，有关分式的内容所占比例较大，所以要重视本节课知识的学习，学会解分式方程。
知识梳理讲解用时：20分钟分式方程22x 1、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.100602020vv3162x x 分式方程整式方程2、判断下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程?2231323=π212x x x x x xx x4371111052131xy x x xx x x x解分式方程的步骤在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数学思想方法：转化的数学思想.增根的定义：由去分母后所得的整式方程解出的，使分母为零的根.分式方程的解法：去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围，可能产生增根).分式方程有增根和无解的区别：（1）分式方程有增根：指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，扩大了未知数的取值范围产生的未知数的值，从而使分式方程无解.（2）分式方程无解：指的是无论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，包含两种情况：原方程化去分母后的整式方程无解；原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而使原方程无解.100602020vv转化一元一次方程两边同乘以（20+v ）（20-v ），得100（20-v ）=60（20+v ）解得：v=5检验：当v=5代入分式方程，左边=4=右边所以v=5是原方程的解.解：课堂精讲精练【例题1】下列方程：①；②=2；③y=x；④=；⑤y+1=；⑥1+3（x﹣2）=7﹣x；⑦y2﹣3=．其中，分式方程有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断即可．解：下列方程：①；②=2；③y=x；④=；⑤y+1=；⑥1+3（x﹣2）=7﹣x；⑦y2﹣3=是分式方程的是：②④⑤，共3个；故选：C．讲解用时：2分钟解题思路：此题考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．教学建议：熟练掌握分式方程的定义，学会判断分式方程.难度： 2 适应场景：当堂例题例题来源：荣成市校级月考年份：2015【练习1.1】在关于x的方程：①=+，②﹣=0，③ax2=+1，④=，⑤=，⑥+=中，是整式方程，是分式方程．【答案】②③④；①⑤【解析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．解：①=+，⑤=的分母中含未知数，是分式方程；②﹣=0，③ax2=+1，④=的分母中不含未知数，是整式方程；故答案是：②③④；①⑤．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．教学建议：难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】解分式方程：﹣=1．【答案】无解【解析】分式方程变形后去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：化为整式方程得：3x﹣（4﹣x2）=x（x﹣1），化简得：4x=4，解得：x=1，经检验x=1时，x（x﹣1）=0，原方程无意义，所以x=1是原方程的增根，所以原方程无解．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．教学建议：解分式方程中很重要的一步要验根，保证分母不等于0.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：岐山县一模年份：2018【练习2.1】解分式方程：+=．【答案】无解【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：2x+4﹣4x=3x﹣6，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无实数解．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．教学建议：解分式方程中很重要的一步要验根，保证分母不等于0.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：兴庆区校级一模年份：2018【练习2.2】解方程（1）﹣1=．（2）=．【答案】（1）无解；（2）x=1【解析】（1）直接找出公分母进而去分母解方程即可；（2）直接找出公分母进而去分母解方程即可．解：（1）﹣1=去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，解得：x=1，检验：当x=1时，（x﹣1）（x+2）=0，故此方程无实数根；（2）=去分母得：2x+1=3x，解得：x=1，检验：当x=1时，x（2x+1）≠0，故x=1是原方程的解．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了分式方程的解法，正确掌握解题方法是解题关键．教学建议：熟练掌握解分式方程的步骤，最后一定要验根，保证分母不等于0. 难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：澧县三模年份：2018 【例题3】关于x的分式方程=﹣2的根是负数，试确定a的取值范围．关于本题有同学解答如下：解：两边同乘以（x+3），得x﹣a=﹣2（x+3）．化简，得3x=a﹣6．所以x=．因为原方程的根是负数，所以＜0，得a＜6．所以当a＜6时，原方程的根是负数．你认为上述解答正确吗？如果不正确，请说明出错原因，并写出正确解答．【答案】不正确，没有考虑分母不为0的条件【解析】不正确，没有考虑分母不为0的条件，写出正确解答过程即可．解：不正确，没有考虑分母不为0这个条件，正确解答为：两边同乘以（x+3），得x﹣a=﹣2（x+3），化简，得3x=a﹣6，所以x=，因为原方程的根是负数，所以＜0，且≠﹣3，得a＜6且a≠3，所以当a＜6且a≠﹣3时，原方程的根是负数．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．教学建议：在解分式方程的过程中，时刻注意分母不等于0.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：泰兴市校级期中年份：2018【练习3.1】如果关于x的方程+3=无解，试求m的值？【答案】m=1【解析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出m的值即可．解：去分母得：m+3x﹣6=x﹣1，由分式方程无解，得到x﹣2=0，即x=2，把x=2代入方程得：m=1．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．教学建议：在解分式方程的过程中，时刻注意分母不等于0.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：筠连县校级期中年份：2017【练习3.2】若关于x的分式方程=1的解为正数，求m的取值范围．【答案】m＞2且m≠3【解析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出m的范围即可．解：去分母得：m﹣3=x﹣1，解得：x=m﹣2，由分式方程的解为正数，得到m﹣2＞0，且m﹣2≠1，解得：m＞2且m≠3．解题思路：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．教学建议：先化分式方程为整式方程，保证分母不等于0，然后解一元一次不等式.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：杜尔伯特县校级期中年份：2018【例题4】已知关于x的方程+=3．（1）当m取何值时，此方程的解为x=3；（2）当m取何值时，此方程会产生增根；（3）当此方程的解是正数时，求m的取值范围．【答案】（1）m=-3；（2）m=-4；（3）m＞-6且m≠-4【解析】（1）把x=3代入方程+=3即可得出m的值；（2）根据增根的定义，得出增根x=2，从而得出m的值；（3）把分式方程化为整式方程，根据解为正数，得出m的取值范围．解：（1）把x=3代入方程+=3，得m=﹣3；（2）方程的增根为x=2，2x+m=3x﹣6，所以m=﹣4；（3）去分母得，2x+m=3x﹣6，解得x=m+6，因为x＞0，所以m+6＞0，解得m＞﹣6，因为x≠2，所以m≠﹣4．解题思路：本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，掌握方程和不等式的解法是解题的关键．教学建议：熟练解分式方程的步骤以及分式方程有增根的情况.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：淮安校级期末年份：2015【练习4.1】（1）若解关于x的分式方程+=会产生增根，求m的值．（2）若方程=﹣1的解是正数，求a的取值范围．【答案】（1）m=﹣4或6；（2）a＜2且a≠﹣4【解析】（1）根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．（2）先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围．解：（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得2（x+2）+mx=3（x﹣2）∵最简公分母为（x+2）（x﹣2），∴原方程增根为x=±2，∴把x=2代入整式方程，得m=﹣4．把x=﹣2代入整式方程，得m=6．综上，可知m=﹣4或6．（2）解：去分母，得2x+a=2﹣x解得：x=，∵解为正数，∴，∴2﹣a＞0，∴a＜2，且x≠2，∴a≠﹣4∴a＜2且a≠﹣4．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的增根、分式方程的解、一元一次不等式，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．教学建议：熟练解分式方程的步骤以及分式方程有增根的情况.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：简阳市校级月考年份：2015【练习4.2】若方程+=2有增根，求m的值．【答案】0【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+1）2）=0，得到x=﹣1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．解：方程的两边都乘以（x+1）2，得m+2x（x+1）=2（x+1）2．化简，得m=2x+2∵原方程有增根，∴最简公分母（x+1）2=0，解得x=﹣1，当x=﹣1时，m=2×（﹣1）+2=0．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．教学建议：熟练解分式方程的步骤以及分式方程有增根的情况.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：原阳县校级月考年份：2016【例题5】已知方程+=有增根，求k的值．【答案】k=-1【解析】根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．解：方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得x（x+1）+k（x+1）=x（x﹣1）∵原方程有增根，∴最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，∴增根是x=1或﹣1，当x=1时，k=-1；当x=﹣1时，k无解．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．教学建议：熟练解分式方程的步骤以及分式方程有增根的情况.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】若分式方程﹣=有增根，求k值及增根．【答案】3或6或9【解析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x（x+1）（x﹣1）=0，所以增根是x=0或﹣1或1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．解：方程两边都乘x（x+1）（x﹣1），得x（k﹣1）﹣（x+1）=（x﹣1）（k﹣5），∵原方程有增根，∴最简公分母x（x+1）（x﹣1），∴增根是x=0或﹣1或1，当x=0时，k=6；当x=﹣1时，k=9；当x=1时，k=3．故k值为3或6或9．讲解用时：3分钟解题思路：增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．教学建议：熟练解分式方程的步骤以及分式方程有增根的情况.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg．如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，请列出关于x的分式方程．【答案】=【解析】关键描述语是：“两块面积相同的小麦试验田”；等量关系为：第一块试验田的面积=第二块试验田的面积．解：设第一块试验田每公顷的产量为xkg，则第一块试验田的面积为：，第二块试验田的面积为：．由题意得：=．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．教学建议：学会用分式方程去解决实际问题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】一辆汽车计划从A地出发开往相距180千米的B地，事发突然，加速为原速的1.5倍，结果比计划提前40分钟到达B地，求原计划平均每小时行驶多少千米？【答案】90【解析】设原计划平均每小时行驶x千米，则加速后平均每小时行驶 1.5x千米，根据时间=路程÷速度结合结果比计划提前40分钟到达，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设原计划平均每小时行驶x千米，则加速后平均每小时行驶 1.5x千米，根据题意得：﹣=，解得：x=90，经检验，x=90是原分式方程的根，且符合题意．答：原计划平均每小时行驶90千米．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．教学建议：学会用分式方程去解决实际问题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：盘龙区模拟年份：2018【例题7】某校举行书法比赛，为奖励优胜学生，购买了一些钢笔和毛笔，已知毛笔单价是钢笔单价的 1.5倍，购买钢笔用了1500元，购买毛笔用了1800元，购买钢笔的数量比购买毛笔的数量多30支，求钢笔的单价．【答案】10元/支【解析】设钢笔的单价为x元/支，则毛笔的单价为 1.5x元/支，根据数量=总价÷单价结合购买钢笔的数量比购买毛笔的数量多30支，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设钢笔的单价为x元/支，则毛笔的单价为 1.5x元/支，根据题意得：﹣=30，解得：x=10，经检验，x=10是原分式方程的解，且符合题意．答：钢笔的单价为10元/支．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．教学建议：学会用分式方程去解决实际问题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：长春一模年份：2018【练习7.1】某条高速铁路全长540公里，高铁列车与动车组列车在该高速铁路上运行时，高铁列车的平均速度比动车组列车每小时快90公里，因此全程少用1小时，求高铁列车全程的运行时间．【答案】2小时【解析】设高铁列车全程的运行时间为x小时，则动车组列车全程的运行时间为（x+1）小时，根据速度=路程÷时间结合铁列车的平均速度比动车组列车每小时快90公里，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设高铁列车全程的运行时间为x小时，则动车组列车全程的运行时间为（x+1）小时，根据题意得：﹣=90，解得：x1=2，x2=﹣3，经检验，它们都是原方程的根，但x=﹣3不符合题意．答：高铁列车全程的运行时间为2小时．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．教学建议：学会用分式方程去解决实际问题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：松江区二模年份：2018【练习7.2】水果店老板用600元购进一批水果，很快售完；老板又用1250元购进第二批水果，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元，问第一批水果每件进价多少元？【答案】120【解析】设第一批水果每件进价为x元，则第二批水果每件进价为（x+5）元，根据用1250元所购件数是第一批的2倍，列方程求解．解：设第一批水果每件进价为x元，则第二批水果每件进价为（x+5）元，由题意得，×2=，解得：x=120，经检验：x=120是原分式方程的解，且符合题意．答：第一批水果每件进价为120元．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．教学建议：学会用分式方程去解决实际问题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：长春二模年份：2018课后作业【作业1】（1）化简：（2）方程的=解是．【答案】（1）﹣；（2）x=﹣4【解析】（1）先通分化为同分母分式相减，再根据法则计算可得；（2）根据解分式方程的步骤计算可得．解：（1）原式=﹣==﹣；（2）两边都乘以2（x+2）（x﹣2），得：8﹣2（x+2）=（x+2）（x﹣2），整理，得：x2+2x﹣8=0，解得：x=2或x=﹣4，检验：x=2时，2（x+2）（x﹣2）=0，舍去；x=﹣4时，2（x+2）（x﹣2）=24≠0，所以原分式方程的解为x=﹣4，故答案为：x=﹣4．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：高淳区二模年份：2018【作业2】若分式方程=a无解，求a的值．【答案】a=1或a=﹣1【解析】直接解分式方程进而分析得出答案a的值．解：∵分式方程=a无解，∴x﹣a=ax+a，整理得：（1﹣a）x=2a，则1﹣a=0或x==﹣1，解得：a=1或a=﹣1．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：吴江区校级月考年份：2017【作业3】（1）若分式方程=2﹣有增根，试求m的值．（2）当x为何值时，分式的值比分式的值大3．【答案】（1）5；（2）x=1【解析】（1）根据等式的性质，可把分式方程转化成整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；（2）根据两个分式值的关系，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．解：（1）方程两边都乘以（x﹣5），得x=2（x﹣5）+m．化简，得m=﹣x+10．分式方程的增根是x=5，把x=5代入方程得m=﹣5+10=5；（2）分式的值比分式的值大3，得﹣=3．方程得两边都乘以（x﹣2），得x﹣3﹣1=3（x﹣2）．解得x=1，检验：把x=1代入x﹣5≠0，x=1是原分式方程的解，当x=1时，分式的值比分式的值大3．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】（1）当m为何值时，方程+=会产生增根．（2）当m为何值时，方程+=无解．（3）已知关于x的方程﹣2=的解为正数，求m的取值范围．【答案】（1）m=﹣10或﹣4；（2）m≠﹣3；（3）m＜6，且m≠3【解析】（1）根据分式方程增根的定义进行解答即可；（2）根据分式方程无解的两种进行解答即可；（3）先解分式方程，再根据解为正数，得出m的取值范围．解：（1）∵方程+=会产生增根，∴x2﹣1=0，∴x=±1，分式方程化为整式方程后得，2（x﹣1）﹣5（x+1）=m，当x=1时，m=﹣10；当x=﹣1时，m=﹣4；∴当m=﹣10或﹣4时，方程+=会产生增根；（2）分式方程化为整式方程后得，3（x+2）+m（x﹣2）=12，整理得，（3+m）x=2m+6，当3+m≠0时，x=2，经检验x=2是分式方程的增根，当m=﹣3时，方程有无数个解，∴当m≠﹣3时，方程+=无解；（3）分式方程化为整式方程后得，x﹣2（x﹣3）=m，整理得，﹣x=m﹣6，∴x=6﹣m，∵关于x的方程﹣2=的解为正数，∴6﹣m＞0且6﹣m≠3，m＜6，且m≠3，∴m的取值范围m＜6，且m≠3；难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】一条小船顺流航行50km后，又立即返回原地．如果船在静水中的速度为akm/h，水流的速度为8km/h，那么顺流航行比逆流航行少用多少小时？【答案】【解析】先求出顺流速度，再求出逆流速度，根据时间=路程÷速度，分别求出逆流航行时间，顺流航行时间，相减即可得出顺流航行比逆流航行少用时间．解：依题意有﹣==小时．答：顺流航行比逆流航行少用小时．难度： 4 适应场景：练习题例题来源：石家庄校级月考年份：2009。
初二下数学分式方程经典例题及练习
初二数学分式方程专题一、考点、热点回顾分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。
解分式方程的步骤：（1）能化简的先化简；（2）方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；（3）解整式方程；（4）验根．增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
（验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。
）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
列方程应用题的步骤是什么？(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：(1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．(2)数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法．(3)工程问题基本公式：工作量=工时×工效．(4)顺水逆水问题v顺水=v静水+v水．v逆水=v静水-v水．即时知识梳理1．分式方程:分母中含有的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.（验根的方法：将所求得的未知数的知数的值代入）3.列方程解决实际问题的步骤（1）审；找出 （2）设； （3）列；（4）解；检验：是否是原方程的根；这个根在实际问题中是否有实际意义； （5）答；二、典型例题题型一:分式方程题型 【例1】解下列分式方程 （1）114112=---+x x x ； （2）x x x x -+=++4535；（3）4441=+++x x x x ； （4）61244444402222y y y y y y y y +++---++-=2例2、 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356练习：（1）11115674x x x x +=+++++（2）121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+--（3）【例2】（1）若关于x 的方程211333x x kx x x x ++-=-- 有增根,求增根和k 的值（2）、m 为何值时，关于x 的方程22432x m x x x -+-=+2会产生增根？ 解：方程两边都乘以x 24-，得2436x m x x ++=- 整理，得()m x -=-110242401111x x x xx x x x+++=-+++当时，如果方程产生增根，那么，即或（）若，则（）若，则（）综上所述，当或时，原方程产生增根m x m x x x x m m x m m m ≠=---===-=--=∴=-=---=-∴==-11014022121012422101263462 说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根 练习： 1．若解分式方程2111x x m x x x x+-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. --12或B. -12或C. 12或D. 12或-分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。
八年级数学分式方程的增根与无解知识点讲解及典例解析
基础义务教育资料分式方程的增根与无解分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：例1 解方程2344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解．例2 解方程22321++-=+-xx x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）．整理得0x ＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．例3若方程32x x --=2m x-无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ．解这个方程，得x=3－m ．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m ，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．例4当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
人教版八年级上册数学《分式方程》分式说课复习(分式方程及其解法)
x+5=10．
解得
x=5．
x=5是原分式方 程的解吗？
将x=5代入原分式方程检验，发现这时分母 x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义．因 此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式 方程的解，实际上，这个分式方程无解.
巩固练习
练习3 解方程并检验.
1 2 . 2x x 3
解：最简公分母为
巩固练习
练习4
解关于x 的方程
x
a
a
b
1（ b ≠ 1）.
解：方程两边同乘x-a，得
a+b（x-a）= x-a
去括号，得 a+bx-ab =x-a
移项、合并同类项，得
（b-1）x = ab-2a
∴x
ab 2a b 1
检验：当 x
ab b
2a 1
时，∵
b
≠
1，∴b-1
≠0，
x ab 2a
方程① 当v=6时，（30+v）（30-v）≠0，这就是说，去分
母时，方程①两边乘了同一个不为0的式子，因此
方程② 所当得x=整5时式，方（程x的-5）解（与x①+的5）解=相0，同这. 就是说，去分母
时，方程②两边乘了同一个等于0的式子，这时所 得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这 样的解不是②的解.
解：设该厂原来每天加工x个零件，则采用新技 术后，每天加工2x个零件，
根据完成时间的等量关系，得
100 600 100 7
x
2x
去分母，得200 + 500 =14x，
解得
x = 50.
检验：x = 50时，2x ≠ 0.
所以x = 50是原方程的根.
八年级数学分式方程的典型例题优秀课件
速度
3x x
时间
150 3x 250 x
四、分式方程的实际应用
1、从甲到乙乘坐高铁路程为150千米，乘坐普通列车的路程为 250千米。高铁的平均速度是普通列车平均速度的3倍，高铁的乘 车时间比普通列车的乘车时间缩短了2小时，高铁的平均速度是 每小时多少千米？
解. 设普通列车的平均速度是 x km/h，
则高铁的平均速度是 3x km/h
由题意得
250 150 2 x 3x
解得 x 100
检验：当 x 100 时， 3x 0
所以原分式方程的解是 x 100 3x 100
答 ：高铁的平均速度是300km/h。
2、甲、乙两船从相距300 km的A，B两地同时出发相向而行，甲船从A地 顺流航行180 km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6 km/h， 假设甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h，那么求两船在静水中的速度。
x的方程
x3
k
1
x 2 (x 1)(x 2)
的解是负数，求
k 的取值范围．
解. 方程两边同时乘 (x 1)(x 2) 得 (x 1)(x 3) k (x 1)(x 2) 化简得 x2 2x 3 k x2 x 2 解得 x k 1
∵方程的解是负数，且 x 1 0、x 2 0 ∴ x 0且x 1、x 2 ∴ k 1 0且k +1 1、k 1 2 ∴解得 k 1且k 0、k 3
2400+840
3240 0.9x
由题意得 3240 2400 =30 解得 x 40 0.9x x
4、某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为
2 400元.为扩大销量减少库存，4月份在3月份的售价根底上打9折销售，结果销
分式精讲精练55道
2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍（苏科版）专题1.5分式精讲精练（11大核心考点深度分类导练，例题11道+变式44道）【知识梳理】1.分式的有关概念：分式有意义的条件是 不为零；分式无意义的条件是分母 ；分式值为零的条件是 为零且 不为零．注意：分式有意义的条件是分母不为0，无意义的条件是分母为0．分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．2.分式的性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 的整式，分式的值 ．用式子表示为)0()0(≠÷÷=≠⋅⋅=C C B C A B A C CB C A B A注意：（1） 是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；（2）将分式化简，即 ，要先找出分子、分母的 ，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别 ，然后再 ，约分应彻底；（3）巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值．3．分式的加减运算 加减法法则：① 同分母的分式相加减：分母 ， 相加减②异分母的分式相加减：先，变为同分母的分式，然后再加减．注意：（1）分式加减运算的运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．（2）异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的．求最简公分母的方法是：①将各个分母分解因式；②找各分母系数的最小公倍数；③找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足②③的因式之积即为各分式的最简公分母．4.分式的乘除运算（1）乘法法则：分式乘分式，用作为积的分子，作为积的分母．乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式．注意：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．5.分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算，再将除法化为，进行化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是分式或整式．【典例剖析】【例1】要使分式x1(x1)(x2)有意义，x的取值应满足（ ）A．x≠﹣2B．x≠1C．x≠﹣2或x≠1D．x≠﹣2且x≠1【变式训练】1．（2023春•洛江区校级月考）下列各式中，分式的个数为（ ）a2x1，xπ1，―3ab，12x+y，12x y，12x+y．A．5B．4C．3D．22．（2023•余姚市校级模拟）若代数式x1x1有意义，则x的取值范围是（ ）A．x≠1B．x≠﹣1C．x＞1D．x＞﹣1 3．（2023春•原阳县月考）下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）A ．x a|x|2B ．x 2x 1C ．3x 1x2D ．x 22x 214．（2023•河北模拟）式子2a ﹣a ÷b 可以化为（ ）A ．abB ．―abC ．2a ―abD ．2a ―b a【例2】若分式|x|2x 2的值为零，则x 的值为 ﹣2 ．【变式训练】5．（2023•瑞安市模拟）若分式2x 4x 3的值为0，则x 的值为（ ）A ．x ＝2B ．x ＝3C ．x ＝﹣2D ．x ＝06．（2022秋•大连期末）分式x 249x 7的值为零，则x 的值为（ ）A ．±7B ．7C ．﹣7D ．07．（2023春•鼓楼区校级月考）下列关于分式的判断，正确的是（ ）A ．当x ＝2时，x 1x 2的值为零B ．当x 为任意实数时，3x 21的值总为正数C ．无论x 为何值，3x 1不可能得整数值D ．当x ≠3时，x 3x有意义8．（2023春•原阳县月考）有一个分式，两位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时的取值范围是m ≠1；请你写出满足上述全部特点的一个分式： ．【例3】将分式x yx 2y 中x 、y 的值都变为原来的2倍，则该分式的值（ ）A ．变为原来的2倍B ．变为原来的4倍C ．不变D ．变为原来的一半【变式训练】9．（2023春•西乡塘区校级月考）如果把分式3xyx y 中的x 、y 同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）A ．缩小为原来的12B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．不变10．（2023春•宜宾月考）下列各分式正确的是（ ）A ．b a =b 2a2B ．x 6x3=x 2C ．x 25xx 210x 25=xx 5 D ．―x 1x y =x 1x y11．（2023春•原阳县月考）不改变分式3x 1x 27x 2的值，使分式的分子、分母中x 的最高次项的系数都是正数，应该是（ ）A ．3x 1x 27x 2B ．3x 1x 27x 2C ．3x 1x 27x 2D ．3x 1x 27x 212．（2023•佛山一模）已知b ＞a ＞0，下列选项正确的是（ ）A ．ab ＜a 1b 1B ．a b ＞a 1b 1C ．1a 21＜1(a 1)2D ．ab ＜a mb m【例4】分式a3b 2和59a 2b的最简公分母是 ．【变式训练】13．（2023春•宜宾月考）下列各分式中，是最简分式的是（ ）A ．xyx 2B ．y 2yxyC ．x 2y 2x yD ．x 2y 2x y14．（2022秋•思明区期末）若9x9△是一个最简分式，则△可以是（ ）A ．xB ．13C ．3D ．3x15．（2023春•宜宾月考）23x 2(x y)，23x 3y ，12xy 的最简公分母是 ．16．（2022秋•新华区校级期末）有分别写有x ，x +1，x ﹣1的三张卡片，若从中任选一个作为分式()x 21的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有 的卡片．【例5】化简x 2y 2(y x)2的结果是 ．【变式训练】17．约分①36xy 2z 36yz 2②m 242m m 2③82mm216．18．约分：（1）36xy2z36yz2（2）82mm216（3）m244m 2m m2．19．通分：（1）x6ab2，y9a2bc；（2）1x216，12x8．20．通分：（1）4a5b2c，3c10a2b，5b2ac2（2）x(2x4)2，16x3x2，2xx24．【例6】已知1a―1b=13，则abb a的值等于 3 ．【变式训练】21．（2023•海曙区校级一模）若ab=2，则2a bb= ．22．（2023•荔湾区校级开学）已知3m6的值为正整数，则整数m的值为 ．23．（2022秋•福清市期末）已知分式2x ax b（a，b为常数）满足表格中的信息：x的取值20.5c 分式的值无意义03则c的值是 ．24．（2022秋•九龙坡区校级期末）已知x2=y3=z5≠0，则分式3x2y z5x2y3z的值为 ．【例7】计算（xy﹣x2）÷x yxy的结果（ ）A．1yB．x2y C．﹣x2y D．﹣xy【变式训练】25．（2022秋•阳谷县期末）计算(x2x)2÷x24x22x的结果是 ．26．（2023•襄州区开学）计算（ab）2÷（2a25b）⋅a5b= ．27．计算：（1）ab⋅ba2；（2）(a2―a)÷aa1；（3）x21y÷x1y2．28．计算：（1）8m2n4⋅(―3m4n3)÷(―m2n2)；（2）xx21÷x2yx2x；（3）―(mn)5⋅(―n2m)4÷(―mn)4；（4）(xy+x2)÷x22xy y2xy⋅x yx3．【例8】计算：x2x1―x+1＝ ．【变式训练】29．（2023•阳城县一模）化简x2x24―x22xx24x4的结果是（ ）A．1xx2B．x1x2C．xx2D．1x230．（2023•东港区校级一模）观察下列各式：a1＝1，a2=25，a3=14，…，它们按一定规律排列，第n个数记为a n，且满足则1a n+1a n+2=2a n+1，则a2023＝ ．31．计算：（1）21a+a22a3(a1)2（2）11x+2x1x2．32．计算：（1）x2x1―x―1（2）x2x22x―x1x24x4（3）(xy―x2)(1x+1y x)（4）（x﹣1―8x1）÷x3x1．【例9】同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升（x≠y），妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢？（ ）A．爸爸B．妈妈C．一样D．不确定【变式训练】33．（2022秋•南岗区期末）某次列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，可求得提速前列车的平均速度为 km/h．34．（2022秋•裕华区校级期末）某生产车间要制造a个零件，原计划每天制造x个，后为了供货需要，每天多制造6个，可提前 天完成任务．35．（2022•思明区校级模拟）生活中有这么一个现象：“有一杯a克的糖水里含有b克糖，如果在这杯糖水里再加入m克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”，其中a＞b＞0，m＞0．（1）加入m克糖之前糖水的含糖率A＝ ；加入m克糖之后糖水的含糖率B＝ ；（2）请你解释一下这个生活中的现象．36．有A，B两箱水果，A箱水果重量为（a﹣1）2kg，B箱水果重量为（a2﹣1）kg（其中a＞1），售完后，两箱水果都卖了120元．（1）哪箱水果的单价要高些？（2）两箱水果中高的单价是低的单价的多少倍？【例10】化简（1）2a4a24+1 （2）x2y2x22xy y2÷（x2―xyx y）【变式训练】37．（2023春•沙坪坝区校级月考）计算：（1）x22xx1―11x；（2）x4x3÷(x―3―7x3)．38．（2023春•兴化市月考）计算：（1）2x2―xx2；（2）2aa24⋅a2a+aa2．39．（2023•南京一模）计算（1a1―a21a22a1）÷a2aa1．40．（2023•榆次区一模）下面是小敏同学化简分式(5x2―1)⋅x3x29的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：原式=(5x2―1)⋅x3(x3)(x3)……第一步=51x2⋅1x3……第二步=4x2⋅1x3⋯⋯第三步=4x2x6……第四步任务一：填空：①第一步中分母的变形用到的公式是 ；②第 步开始出现错误，错误的原因是 ；任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果．【例11】已知ab=54，求aa b+ba b―b2a2b2的值．【变式训练】41．（2023•镇海区校级模拟）先化简，再求值：x1x22x1÷（x2x1x1―x﹣1）―1x2，然后从﹣1，0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．42．（2023•雁塔区校级四模）先化简，再求值：x2x2x÷(1x1+1―x)，其中x＝﹣3．43．（2023•天长市一模）已知A=xy y2y2x2÷(1x y―1x y)．（1）化简A；（2）当x2+y2＝13，xy＝﹣6时，求A的值．44．（2018秋•闵行区期末）阅读材料：已知xx21=13，求x2x41的值解：由xx21=13得，x21x=3，则有x+1x=3，由此可得，x41x2=x2+1x2=（x+1x）2﹣2＝32﹣2＝7；所以，x2x41=17．xx2x1=a，用a的代数式表示x2x4x21的值．请理解上述材料后求：已知。
八年级数学上册期末考点大串讲(人教版)专题20 分式方程(知识点串讲)(解析版)
专题20 分式方程知识网络重难突破知识点一分式方程解分式方程的基本1）去分母(两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程)。
2）解整式方程(去括号-移项/合并同类项-系数化为1)。
3）检验(把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母为0 ，则x=a不是分式方程的解若最简公分母不为0，则x=a是分式方程的解4）写出答案增根的概念：在分式方程化为整式方程的过程时，若整式方程的根使最简公分母为0（即根使整式方程成立，但分式方程中分母为0 ），那么这个根叫做原分式方程的增根。
典例1（2019·保定市期中）若关于x的分式方程233x mx x-=--有增根，则m的值是（）A．﹣3 B．1 C．2 D．3 【答案】B【详解】解：方程两边都乘x-3，得x-2=m∵原方程有增根， ∴最简公分母x-3=0， 解得x=3， 当x=3时，m=1 故m 的值是1． 故选：B ．典例2（2019·菏泽市期中）已知分式方程312(1)(2)x kx x x +=++-+的解为非负数，求k 的取值范围（ ） A ．5k ≥ B ．1k ≥-C ．5k ≥且6k ≠D ．1k ≥-且0k ≠【答案】D 【详解】解：分式方程转化为整式方程得，(3)(1)k (1)(2)x x x x +-=+-+ 解得：k 1x =+解为非负数，则k+10≥， ∴k -1≥ 又∵x≠1且x≠-2， ∴k+11k+1-2≠≠， ∴k -1≥ ，且k 0≠ 故选D典例3（2019·石家庄市期中）若 x=3 是分式方程2102a x x --=- 的根，则 a 的值是A ．5B ．-5C ．3D ．-3【答案】A 【解析】把x=3代入原分式方程得，210332a --=-，解得，a=5，经检验a=5适合原方程. 故选A.典例4（2019·济南市期中）如果分式方程244x ax x=+--无解，则a 的值为（ ） A ．-4B ．12C ．2D ．-2【答案】A 【详解】 去分母得x=8+a ，当分母x-4=0时方程无解，解x-4=0得x=4时方程无解． 则a 的值是-4．故选A ．典例5（2019·重庆市期末）已知关于x 的分式方程329133x mxx x--+=---无解，则m 的值为（ ） A ．1m = B ．4m =C ．3m =D ．1m =或4m =【答案】D 【详解】解：去分母得：3−2x−9＋mx ＝−x ＋3， 整理得：（m−1）x ＝9，当m−1＝0，即m ＝1时，该整式方程无解；当m−1≠0，即m≠1时，由分式方程无解，得到x−3＝0，即x ＝3， 把x ＝3代入整式方程得：3m−3＝9， 解得：m ＝4，综上，m 的值为1或4， 故选：D ．知识点二 利用分式方程解决实际问题分式方程解决实际问题的步骤： 1. 根据题意找等量关系 2. 设未知数 3. 列出方程4. 解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）5. 写答案 工程问题典例1（2019·盐城市期中）某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾,调用甲车清理了一半垃圾,为了加快进度,再调用乙车,两车合作1.2小时清理完另一半垃圾.若甲车单独清理全部垃圾需6小时,设乙车单独清理全部垃圾的时间为x 小时,根据题意可列出方程为( )A．1.2 1.216x+=B．1.2 1.213x+=C．1.2 1.2132x+=D．1.2 1.2162x+=【答案】D 【详解】根据题意，甲车单独清理全部垃圾需6小时,则甲车的工作效率为16，设乙车单独清理全部垃圾的时间为x时,则乙车的工作效率为1x，根据“两车合作1.2小时清理完另一半垃圾”可列得方程1111.262x⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭.故选D.典例2（2019·徐州市期中）某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个.设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为（）A．2010154xx+=+B．2010154xx-=+C．201015xx+=D．201015xx-=【答案】A 【详解】由题意可得列方程式是：2010154xx+=+．故选：A．典例3（2019·张家界市期中）某钢厂原计划生产300吨钢，每天生产x吨．由于应用新技术，每天增加生产10吨，因此提前1天完成任务，可列方程为（）A．300300110x x=--B．300300110x x=-+C．300300110x x=--D．300300110x x=-+【答案】D 【详解】原计划用的时间为：300x，实际用的时间为：30010x+，可列方程为：300300110x x=-+．故选D．典例4（2018·恩施市期末）有一项工程，甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期3天才能完成.现甲、乙合做2天，余下由乙单独做正好按期完成，设甲单独做需要x天完成，则下列所列方程错误的是( )A．1122()133xx x x-++=++B．213xx x+=+C．2213xx x++=+D．23x xx x-=+【答案】C 【详解】解：设甲单独做需x 天，则乙单独做需（x+3）天，由题意得：1122()133x x x x -++=++， 或213xx x +=+， 213x x x +=+也可以变形为23x x x x-=+， ∴只有C 是错误的； 故选择：C.典例5（2019·焦作市期中）一项工程，甲单独做需要m 天完成，乙单独做需要n 天完成，则甲、乙合作完成工程需要的天数为（ ） A ．m +n B ．2m n+ C ．mnm n+ D ．m nnm + 【答案】C 【详解】设总工程量为1，则甲每天可完成1m，乙每天可完成1n ，所以甲乙合作每天的工作效率为11m n+所以甲、乙合作完成工程需要的天数为111mnm n m n=++故答案选C 距离问题典例1（2019·六盘水市期末）熊大、熊二发现光头强在距离它们300米处伐木，熊二便匀速跑过去阻止，2分钟后熊大以熊二1.2倍的速度跑过去，结果它们同时到达，如果设熊二的速度为x 米/分钟，那么可列方程为( ).A ．30030021.2x x -= B ．30030021.2x x -=+ C ．30030021.2x x-= D ．30030021.2x x-=+ 【答案】C 【详解】解：设熊二的速度为x 米/分钟，则熊大的速度为1.2x 米/分钟， 根据题意可得：30030021.2x x-=， 故选：C ．典例2（2018·青岛市期中）为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行40公里的时间与乙匀速骑行35公里的时间相同，已知甲每小时比乙多骑行2公里，设甲每小时骑行x 公里，根据题意列出的方程正确的是（ ） A ．40352x x =- B ．40352x x =+ C ．40352x x=+ D ．40352x x=- 【答案】A 【详解】解：设甲每小时骑行x 公里，根据题意得：40352x x =- 故选：A.典例3（2019·苏州市期末）,A B 两地的铁路长210千米，动车的平均速度是原来火车的平均速度的1.8倍，这样从A 地到B 地的行驶时间缩短了1.5小时，设原来火车的平均速度为x 千米/时，则下列方程正确的是（ ）A ．2102101.8 1.5x x += B ．2102101.8 1.4x x -=C ．2102101.5 1.8x x+=D ．2102101.5 1.8x x-= 【答案】D 【详解】设原来火车的平均速度为x 千米/时，则动车运行后的平均速度为1.8x ， 由题意得2102101.5 1.8x x-=典例4（2019·重庆市期末）重庆、昆明两地相距700km ．渝昆高速公路开通后，在重庆、昆明两地间行驶的长途客车平均速度提高了25km/h ，而从重庆地到昆明的时间缩短了3小时．求长途客车原来的平均速度．设长途客车原来的平均速度为x km/h ，则根据题意可列方程为（ ） A ．B ．C．D．【答案】A【详解】解：设长途客车原来的平均速度为xkm/h，则原来从重庆地到昆明的时间为，平均速度提高了25km/h后所花时间为，根据题意提速后所花时间缩短3个小时，∴，故选：A．典例5（2019·晋安区期末）某特快列车在最近一次的铁路大提速后，时速提高了30千米/小时，则该列车行驶350千米所用的时间比原来少用1小时，若该列车提速前的速度是x千米/小时，下列所列方程正确的是（）A．350350130x x-=-B．350350130x x-=-C．350350130x x-=+D．350350130x x-=+【答案】C 【详解】解：原来走350千米所用的时间为350x，，现在走350千米所用的时间为：35030x+，所以可列方程为：350350130x x-=+，故选C．销售问题典例1（2019·宁波市期末）随着电影《流浪地球》的热映，其同名科幻小说的销量也急剧上升．某书店分别用600元和900元两次购进该小说，第二次数量比第一次多50套，且两次进价相同．若设该书店第一次购进x套，由题意列方程正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】设该书店第一次购进x套，由题意得故选C.典例2（2019·连云港市期中）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场.一汽贸公司经销某品牌新能源汽车.去年销售总额为5000万元，今年1~5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元.销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年一整年的少20%，今年1~5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1~5月份每辆车的销售价格为x万元.根据题意，列方程正确的是( )A．B．C．D．【答案】A【详解】∵今年1~5月份每辆车的销售价格为x万元，∴去年每辆车的销售价格为（x+1）万元，则有故选A.故选：D.典例3（2018·东营市期末）小颖上月在文具店正好用30元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小颖只比上次多用了6元钱，却比上次多买了8本，若设她上月买了x本笔记本，则根据题意可列方程为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：由“却比上次多买了8本”可知本月买了本，由“小颖只比上次多用了6元钱”可知本月花费了36元，根据“每本比上月便宜1元”可列出方程故选：D典例4（2019·泰兴市期末）小明15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本(两人的钱恰好用完)，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x 元，根据题意可列出的方程为( ) A ．15243x x =+ B ．15243x x =- C ．15243x x=+ D ．15243x x=- 【答案】A 【详解】找到等量关系为两人买的笔记本数量15243x x ∴=+ 故选A典例5（2019·通州区期末）为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了甲、乙两类玩具，其中甲类玩具的进价比乙类玩具的进价每个多5元，经调查：用1000元购进甲类玩具的数量与用750元购进乙类玩具的数量相同．设甲类玩具的进价为x 元/个，根据题意可列方程为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A 【详解】解：设甲类玩具的进价为x 元/个，则乙类玩具的进价为（x−5）元/个， 由题意得，，故选：A ．巩固训练一、选择题（共10小题）1．（2018·重庆万州市期末）若数a使关于x的不等式组112352x xx x a-+⎧<⎪⎨⎪-≥+⎩有且只有四个整数解，且使关于y的方程2211y a ay y++=--的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为（）A．3-B．2-C．1 D．2 【答案】C【详解】解不等式112352x xx x a-+⎧<⎪⎨⎪-≥+⎩，得524xax<⎧⎪⎨+≥⎪⎩，由于不等式组只有四个整数解，即254aa+≤<只有4个整数解，∴2014a+<≤，∴22a -<≤； 解分式方程2211y aay y ++=--，得2y a =-，∵分式方程的解为非负数，∴20210a a -≥⎧⎨--≠⎩，∴a≤2且a≠1，∴22a -<≤且a≠1，∴符合条件的所有整数a 为：-1，0，2，和为：-1+0+2=1，故选C.2．（2018·东台市期中）关于x 的分式方程2322x mmx x ++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是()A ．6m <-且2m ≠B ．6m >且2m ≠C ．6m <且2m ≠-D ．6m <且2m ≠【答案】D【解析】 详解：2322x mmx x ++=--去分母，得x+m+2m=3（x-2）解得x=62m -+∵关于x 的分式方程2322x m mx x ++=--的解为正实数∴x-2≠0，x ＞0 即62m -+≠2，62m -+＞0，解得m≠2且m ＜6故选：B.3．（2018·宜宾市期末）关于x 的分式方程3111m x x +=--有增根，则m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3-【答案】C【解析】详解：∵关于x 的分式方程3111m x x +=--有增根 ∴x-1=0解得x=1原方程两边同乘以x-1可得m-3=x-1把x=1代入可得m=3.故选：C.4．（2019·成都市期末）某市政工程队准备修建一条长1200米的污水处理管道．在修建完400米后，为了能赶在讯期前完成，采用新技术，工作效率比原来提升了25%．结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天修建管道x 米，依题意列方程得（ ）A ．120012004(125%)x x -=+B ．120040012004004(125%)x x ---=+ C ．120012004004(125%)x x --=+ D ．120040012004004(125%)x x ---=+ 【答案】B【详解】设原计划每天修建管道x 米, 根据题意的1200 x – ()4001200400 125x x ⎡⎤-+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦％=4, 1200 x - 400 x- ()1200400125x -+％=4, 1200400 x-- ()1200400125x -+％=4, 选项B 正确.5．（2019·大名县期中）若分式方程231222x a x x x x -+=--有增根，则实数a 的取值是（ ） A ．0或2B ．4C ．8D ．4或8【答案】D【详解】解：方程两边同乘x （x ﹣2），得3x ﹣a+x=2（x ﹣2），由题意得，分式方程的增根为0或2，当x=0时，﹣a=﹣4，解得，a=4，当x=2时，6﹣a+2=0，解得，a=8，故选：D ．6．（2018·青山区期末）甲、乙两船从相距300km 的A 、B 两地同时出发相向而行，甲船从A 地顺流航行180km 时与从B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h ，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h ，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）A ．1806x +=1206x - B ．1806x -=1206x + C ．1806x +=120x D ．180x =1206x - 【答案】A【解析】 详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h ，则求两船在静水中的速度可列方程为：1806x +=1206x -． 故选：A ．7．（2018·丰城市期末）已知关于x 的分式方程21m x -+=1的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m≤3B ．m≤3且m ≠2C ．m ＜3D ．m ＜3且m≠2 【答案】D【详解】 21m x -+=1， 解得：x=m ﹣3，∵关于x 的分式方程21m x -+=1的解是负数， ∴m ﹣3＜0，解得：m ＜3，当x=m ﹣3=﹣1时，方程无解，则m≠2，故m 的取值范围是：m ＜3且m≠2，故选D ．8．（2018·潍坊市期末）学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x 元，则可列方程为（ ）A ．10000x ﹣90005x -=100 B ．90005x -﹣10000x =100 C ．100005x -﹣9000x =100 D ．9000x ﹣100005x -=100 【答案】B 【详解】科普类图书平均每本的价格是x 元，则可列方程为：9000x 5-﹣10000x=100， 故选B ．9．（2019·营口市期末）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）A ．606030(125%)x x -=+B ．606030(125%)x x-=+ C ．60(125%)6030x x ⨯+-= D ．6060(125%)30x x⨯+-= 【答案】C【解析】详解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原来每天绿化的面积为125%x +万平方米， 依题意得：606030125%x x -=+，即()60125%6030x x ⨯+-=． 故选：C ．10．（2019·阜阳市期末）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．解：设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，故选A ．二、填空题（共5小题）11．（2018·苏州市期中）要使关于x 的方程121(2)(1)x x a x x x x +-=+-+-的解是正数，a 的取值范围是___．. 【答案】1a <-且a≠-3.【解析】 详解：()()12121x x a x x x x ---＋＝＋＋， 去分母得，(x ＋1)(x －1)－x (x ＋2)＝a ，去括号得，x 2－1－x 2－2x ＝a ，移项合并同类项得，－2x ＝a ＋1，系数化为1得，x ＝12a --. 根据题意得，12a --＞0，解得a ＜－1. 当x ＝1时，－2×1＝a ＋1，解得a ＝－3； 当x ＝－2时，－2×(－2)＝a ＋1，解得a ＝3. 所以a 的取值范围是a ＜－1且a ≠－3.故答案为a ＜－1且a ≠－3.12．（2017·牡丹区期末）已知关于x 的分式方程1a x +－221a x x x --+=0无解，则a 的值为____________. 【答案】-1或0或12 【解析】若关于x 的分式方程1a x +－221a x x x--+=0无解，则最简公分母为零或所化成的整式方程无解. 解：去分母方程两边同乘(1)x x + 得，(21)0ax a x ---=210ax a x -++=(1)210a x a +-+=(1)21a x a +=-当10a += 即1a =-时，整式方程无解，即分式方程无解；当10a +≠时，有0x =或1x =-时，分式方程无解，此时12a =或0a = 故答案为：-1或0或1213．（2018·武威市期末）关于x 的方程1101ax x +-=-有增根，则a =______. 【答案】-1【解析】 根据分式方程11ax x +-－1＝0有增根，可知x-1=0，解得x=1，然后把分式方程化为整式方程为：ax+1-（x-1）=0，代入x=1可求得a=-1.故答案为：-1.14．（2019·南京市期中）当m =____________时,解分式方程533x m x x-=--会出现增根． 【答案】2【解析】详解：分式方程可化为：x-5=-m ，由分母可知，分式方程的增根是3，当x=3时，3-5=-m ，解得m=2，故答案为：2．15．（2019·山亭区期末）若关于x的分式方程333x ax x+--=2a无解，则a的值为_____．【答案】1或1 2【解析】详解：去分母得：x-3a=2a（x-3），整理得：（1-2a）x=-3a，当1-2a=0时，方程无解，故a=12；当1-2a≠0时，x=312aa--=3时，分式方程无解，则a=1，故关于x的分式方程333x ax x+-+=2a无解，则a的值为：1或12．故答案为：1或12．三、解答题（共3小题）16．（2018·重庆市期末）某开发公司生产的960 件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用20 天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的23，公司需付甲工厂加工费用为每天80 元，乙工厂加工费用为每天120 元．（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天15 元的午餐补助费，请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．【答案】（1）甲工厂每天加工16 件产品，乙工厂每天加工24 件产品. （2）甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．见解析。
2019-2020年数学：16.3分式方程(二)精讲精练(人教新课标八年级下)
2019-2020年数学：16.3分式方程（二）精讲精练（人教新课标八年级下）【自主领悟】1．某饭馆用320元钱到商场去购买“白猫”洗洁精，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价买多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为（）A．320320200.5x x-=-B．320320200.5x x-=-C．3203200.520x x-=-D．3203200.520x x-=-2．某实验室现有30%的盐酸50克，要配制25%的稀盐酸，需加入x克水，下面是小华的学习小组所列的关于x的方程，你认为正确的是（）A．3050x+=25% B．5050x+=25% C．1515x+=25% D．1550x+=25%3．一项工程，甲、乙两人合做需m小时完成，甲独做需n小时完成，那么乙独做需____________小时完成．4．甲、乙制作某种零配件，甲每天比乙多做5个，甲制作75个零件所用的天数与乙制作50个零件的天数相等，则甲、乙每天制作的零件数分别为________________．5．某市为缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程能提前3个月完成，须将原定的工作效率提高12%，问原计划完成这项工程用多少个月？【自主探究】问题1某工厂计划x天内生产120件零件，由于采用新技术，每天增加生产3件，因此提前2天完成计划，列方程为（）A．12012022x x-=-B．12012032x x=-+C．12012032x x=-+D．12012032x x=--名师指导列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系，本题可用来列方程的相等关系是采用新技术后每天增加生产3件．由题意，原计划每天能生产零件120x件，采用新技术后提前两天即(2)x -天完成，所以每天能生产1202x -件，根据相等关系可列出方程12012032x x =--． 问题2 为改善居住环境，柳村拟在村后荒山上种植720棵树，由于共青团员的支持，实际每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计算每天种植多少棵？设原计划每天种植x 棵，根据题意得方程______ __．名师指导题目设原计划每天种植x 棵，那么可用来列方程的相等关系是实际比原计划提前4天完成任务．由题意，原计划植树720x天，而实际每天植树(20)x +棵，实际植树天数为72020x +天，所以根据相等关系可列方程720720420x x -=+． 问题3 甲队单独做一项工程刚好如期完成，乙队单独完成这项工程要比预期多用3天．若甲、乙两队合作2天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成，则规定的工期是多少天？名师指导本题的相等关系有两个“乙队单独完成这项工程要比预期多用3天”和“若甲、乙两队合作2天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成”．考虑到问题要求的是规定的工期，所以根据第二个相等关系来列方程比较直接，因此设规定的工期是x 天，则甲队完成这项工程要x 天，再根据第一个相等关系，乙队完成这项工程的天数就可以表示为(3)x +天．解题示范解：设规定的工期是x 天，则甲队完成这项工程要x 天，乙队完成这项工程要(3)x +天， 记总工程量为1，由题意可列方程111()2(2)133x x x x +⨯+-=++． 解这个方程，得6x =．检验：6x =时，(3)0x x +≠，6x =是原方程的解．答：规定的工期是6天．归纳提炼列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．而难点则在于对题目已知条件的分析，也就是审题，一般来说应用题中的条件有两种，一种是显性的，直接在题目中明确给出，而另一种是隐性的，是以题目的隐含条件给出．问题3中的两个“如期完成”就是一个隐含条件．【自主检测】1． 新农村，新气象，农作物播种全部实现机械化．已知一台甲型播种机4天播完一块地的一半，后来又加入一台乙型播种，两台合播，1天播完这块地的另一半．求乙型播种单独播完这块地需要几天？设乙型播种单独播完这块地需要x 天，根据题意可列方程 ．2． 小王做90个零件所需要的时间和小李做120个零件所用的时间相同，又知每小时小王与小李两人共做35个机器零件．求小王、小李每小时各做多少个零件？设小王每小时做x 个零件，根据题意可列方程 ．3． 某商品的标价比成本高p %，当该商品降价出售，为了不亏本，降价幅度不得超过d %，请用p 表示d ．4． 某工地调来144人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走．怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工（停工等待）．为解决此问题，可设派x 人挖土，其他人运土．列方程为 ①14413x x -=；②1443x x -=；③3144x x +=；④3144x x=-．上述所列方程，正确的有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5． “五一”期间，东方中学“动感数学”活动小组的全体同学包租一辆面包车前去某景点游览，面包车的租价为180元．出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元车费．若设“动感数学”活动小组有x 人，则所列方程为 （ ）A ．18018032x x -=-B ．18018032x x -=+C．18018032x x-=+D．18018032x x-=-6．某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务．设原计划每天固沙造林x公顷，根据题意列方程正确的是（）A．24024054x x+=+B．24024054x x-=+C．24024054x x+=-D．24024054x x-=-7．在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．8．小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们所买的科普书比所买的文学书少一本．这种科普书和这种文学书的价格各是多少？小明和同学买了科普书和文学书各多少本？9．某商场销售某种商品，第一个月将此商品的进价提高25%作为销售价，共获利6000元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高10%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了80件，并且商场第二个月比第一个月多获利400元．问此商品的进价是多少元？商场第二个月共销售多少件？10．某单位将沿街的一部分房屋出租作为店面房，每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9．6万元，第二年为10．2万元．（1）求出租的房屋总间数；（2）分别求历年每间房屋的租金．【自主评价】一、自主检测提示3．设商品成本为1，则标价为(1%)p +，由题意，(1%)(1%)1p d +-=，整理得1%p d p =+ 二、自我反思1．错因分析2．矫正错误3．检测体会4．拓展延伸【例题】甲、乙两人两次同时在一家粮店购买大米，两次大米的价格分别为每千克a 元和b 元（a ≠b ）．甲每次买100千克大米，乙每次买100元大米．（1）用含a 、b 的代数式表示：甲两次购买大米共需付款 元，乙两次共购买 千克大米．若甲两次购买大米的平均单价为每千克1Q 元，乙两次购买大米的平均单价为每千克2Q 元，则1Q = ，2Q = ．（2）若规定谁两次购粮的平均价格低，谁购粮的方式就更合理，请你判断比较甲、乙两人的购粮方式，哪一个更合理，并说明你的理由．【参考答案】（1）1001002100100,,,2a b ab a b a b a b++++； （2）作差法：1Q －2Q =22()22()a b ab a b a b a b +--=++＞0．所以乙的购粮方式更合理．参考答案1．1112()142x+⨯=2．9012035x x=-3．1%pdp=+4．C 5．B 6．B （1）60天，（2）24天8．科普书7．5元/本、文学书5元/本；（2）科普书2本、文学书3本9．此商品进价是500元，第二个月共销售128件．10．（1）12间，（2）8000元、8500元。
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16.3 分式方程（一）
【自主领悟】
1．当x =______时，
13x x
++的值等于13． 2．当x =______时，424x x --的值与54
x x --的值相等． 3．若方程212x a x +=--的解是最小的正整数，则a 的值为________． 4．下列关于x 的方程，是分式方程的是 （ ）
A .23356x x ++-=
B .137x x a -=-+
C .x a b x a b a b -=-
D .2
(1)11
x x -=- 5．若3x 与61
x -互为相反数，则x 的值为 （ ） A .13 B .－13
C .1
D .－1 6．解方程： （1）
623-=x x ； （2）1613122-=-++x x x ．
【自主探究】
问题1 下列关于x 的方程中，是分式方程的是（ ）
A .23356x x ++-=
B .137x x a
-=-+ C .x a b x a b a b -=- D .2
(1)11
x x -=- 名师指导
判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．A 项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；B 项中方程分母含字母a ，但它不是表示未知数，也不是分式方程；同样C 项中的分母中不含表示未知数的字母；而D 项的方程分母中含未知数x ，所以D 项是正确答案．
问题2 若分式方程
2()2(1)5
x a a x -=--的解为3x =，则a 的值为__________． 名师指导 如果已知方程的解，求方程中含有的字母系数，一般方法是把已知的解直接代入原方程，再去解关于字母系数的新方程．
解题示范
把3x =代入方程
2()2(1)5x a a x -=--可得2(3)2(31)5a a -=--，解这个方程得5a =，所以a 的值为5．
问题3 若
11x -与11x +互为相反数，则可得方程___________，解得x =_________． 名师指导
两个式子互为相反数，即两式相加为0，所以可得方程11011
x x +=-+，解分式方程关键在于正确去分母，把方程两边同时乘以(1)(1)x x -+得(1)(1)0x x ++-=，解得0x =．求出结果后还应注意检验，以确保原方程的解有意义．
问题4 解方程：（1）
512552x x x +=--； （2）2236111
x x x +=+--． 名师指导
解分式方程时，其基本思路主要是利用转化思想，将分式方程化为整式方程，首先要根据等式的基本性质去分母，要注意必须是方程两边的每一项都要乘以各分母的最简公分母，尤其不能忘记方程中的常数，如方程（1）中的1，这一点往往容易被同学们忽视．
解题示范
解：（1）方程两边同乘25x -，得 525x x -=-．
解得0x =．
检验：0x =时25x -≠0，0是原分式方程的解．
（2）方程两边同乘(1)(1)x x +-，得
2(1)3(1)6x x -++=．
化简，得
516x +=．
解得1x =．
检验：1x =时(1)(1)0x x +-=，1不是原方程的解，原分式方程无解．
归纳提炼
解分式方程与解整式方程有一个根本的区别，就是解整式方程不要求写出检验过程，但解分式方程如果没有检验步骤，那将会是一个不完整的解题过程，检验是解方程的一个重要步骤，因为在去分母的同时，无形之中就扩大了未知数的取值范围，因此需要检验．判别时，只需将所解方程的根代入最简公分母，看其值是否为0，是0则须将其舍去．
【自主检测】
1．分式方程
13122
x x x --=--的解为 ． 2．要使分式15x x
++的值为13，则x 的值为____________． 3．如果424x x --的值与54x x --的值相等，则x =___________． 4．若分式方程2()2(1)5
x a a x -=--的解为3x =，则a 的值为__________． 5．若关于x 的方程
2233x m x x -=+--无解，则m 的值为___________． 6．下列方程中是分式方程的是 （ ）
A ．
(0)x a x a x =≠ B ．111235
x y -= C ．32x x x =+π D ．11132
x x +--=- 7．解分式方程13132x x x +-=，去分母后所得的方程是 （ ） A ．
12(31)3x -+= B ．12(31)2x x -+= C ．12(31)6x x -+= D ．1626x x -+= 8．化分式方程2213404411x x x
--=---为整式方程时，方程两边必须同乘 （ ）
A ．22(44)(1)(1)x x x ---
B ．24(1)(1)x x --
C ．24(1)(1)x x --
D ．4(1)(1)x x +-
9．下列说法中，错误的是 （ ）
A ．分式方程的解等于0，就说明这个分式方程无解
B ．解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程
C ．检验是解分式方程必不可少的步骤
D ．能使分式方程的最简公分母等于零的未知数的值不是原分式方程的解
10．解方程：（1）2
3
1x x =+； （2）12x -+ 3 =12x
x --．
11．解方程：（1）1121
-=---x x
x x ； （2）2236
111x x x +=+--．
12．若方程2122=---x k
x x
的一个解为2x =-，求代数式1
k k -+的值．
13．已知关于x 的方程2122x
m
x x -=--的解为正数，求m 的取值范围．
【自主评价】
一、自主检测提示
5．解含有字母系数m 的分式方程2233
x m x x -=+--，得4x m =-，因为原分式方程无解，所以方程的解4x m =-代入分母30x -=即430m --=，由此可求出m 的值． 13．解含有字母系数m 的分式方程
2122x m x x -=--，得2x m =--，因为原方程的解为正数，所以x ＞0，即2m --＞0，从而求出m 的取值范围．
二、自我反思
1．错因分析
2．矫正错误
3．检测体会
4．拓展延伸
【例题】阅读下列信息，增根：在分式方程的变形过中，有时可能会产生不适合原方程的根，即能满足去掉分母后的整式方程，但代入原分式方程则无意义，我们把这样的根叫做原分式方程的增根．请根据此知识，解决下述问题． 若分式方程223242
mx x x x +=--+有增根，试求m 的值． 【点拨】分式方程会有增根，即把方程的解代入各分母的最简公分母，其值为0，则240x -=，故方程产生的增根有两种可能：122,2x x ==-．由增根的定义可知， 122,2x x ==-是原方程去分母后化成的整式方程的根，将它们代入变形后的整式方程，可求出m 的值为－4或6．
总结：（1）产生增根的原因：解分式方程首先要去分母，方程两边同时乘以了一个含未知数的式子（最简公分母），而由此得到的整式方程求出的解，可能会使方程所乘的式子值为0（即最简公分母为0），从而导致出现结果是整式方程的解，但不满足原分式方程，它是增根．
（2）增根的求法：令公分母为0；
（3）求有增根的方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程即可．
【例题】阅读下列材料：
关于x 的方程
121x x +=的解是1x =；222x x +=的解是2x =；323
x x +=的解是3x =；222x x --=（即222
x x -+=-）的解是2x =-． （1）请观察上述方程与解的特征，x 的方程2m x x m +=（m ≠0）与上述方程有什么关系？猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可得到以下结论：如果方程的左边是一个未知数倒数的a 倍与这个未知数的
1a
的和等于2，那么这个方程的解是x a =．请用这个结论解关于x 的方程： 2212x a x a
+=+-（a ≥－1）．
【参考答案】（1）x m =；（2）x =
参考答案
1．0x = 2．1 3．－1 4．5 5．1 6．A 7．C 8．D 9．A 10．（1）2x =；（2）无解 11．（1）13x =
；（2）无解 12．133
13．m ＜－2。