数分第5章22导数的应用：费尔马定理和达布定理

1[ 2
f
( x0 )
. f( x0 )]
这与（*）矛盾.故定理结论成立. 证毕
作业.习题 5.1 P132 EX1.
EX3.
当
x (x0

,
x0 ) 时，f
( x) x
f ( x0 ) x0

0
，则
f( x0 )

0
.
当 x ( x0, x0 ) 时，
f
(
x) x

f( x0
x0
)

0
，则
f( x0 ) 0 .
但
f( x0 ) f ( x0 ) f( x0 ) ，
. ∵ lim xa
f (x) f (a) xa

， f(a) 0
lim
xb
f (x) f (b) xb

f(b) 0
0,x (a, a ), f ( x) f (a) 0,
xa
x (b , b), f ( x) f (b) 0,
例 1 如果函数 f (x) 在(a,b) 内可导，那么
f ( x) 在 (a,b) 内无第一类间断点。
证明 反证法，设 x0 (a,b) 是 f ( x) 的第一类间断点，
则 f( x0 ) 与 f( x0 ) 都存在，至少有一个 f ( x0 ) .
不妨设
f ( x0 )

1 2
[f(x0源自)f( x0 )] ，（*）
x1 ( x0 , x0 ) ，在[x1, x0]上用 Darboux 介值定理，
， ∵
f ( x1 )
1 2
[
f
(
x0
)

f( x0 )]
f ( x0 )
∴存在
( x1,
x0 ) ，f
(
)

有 F(x)在[a,b]可导，F(a) 0, F(b) 0 ，
由 1）知存在 (a,b) ，F( ) 0 ，即 f ( ) .证毕
注 1 仅导函数存在就保证导函数有介值定理，不要求
导函数是连续函数，故连续函数的介值定理不能用。 平行问题：连续函数介值定理的连续条件可降低吗？
有定义，若 x U( x0 ,0 ) ，有
f ( x) f ( x0 ) ， 或 f ( x) f ( x0 ) ，
则称 f ( x0 ) 为 f ( x) 的极大值或极小值，简称极值.
称 x0 为 f ( x) 的极大值点或极小值点，简称极值点.
定理 5.1.1（费尔马定理）
若 f ( x) 在点 x0 可导，且 x0 是 f ( x) 的极值点， 则 f ( x0 ) 0 . 证明：不妨设 x0 是 f ( x) 的极大值点，即 0 ， 当 x (x0 , x0 ) 时，f ( x) f ( x0 ) .
xb
即 a1 (a, a ) ， f (a1 ) f (a) ，
有 b1 (b , b) ， f (b1 ) f (b) ，
∴ f ( x) 在[a,b]上的最大值在内部达到.
即存在 (a,b) ， f ( x) 在 取到最大值.
显然， 是 f ( x) 的极大值点， ∴ f ( ) 0 . 2）不妨设 f(b) f(a) ，设 F( x) f ( x) x ，
f( x0 )
lim
x x0
f (x) ，
由极限定义，对 0

1 [
2
f
( x0 )
f( x0 )] ，
(0, x0 a) ，当 x (x0 , x0) 时，有
f ( x) f( x0 ) 0 ，
即
f (x)
f( x0 ) 0
∴ f ( x0 ) 0 .
证毕
Fermat 定理的几何意义 如果函数 f ( x) 在极值点 x0 可导，则曲线 y f (x)
在点 (x0, f (x0 )) 存在平行于 x 轴的切线.
若 f ( x0 ) 0，则称 x0 为 f (x) 的驻点或稳定点.
5.1.2 Darboux定理
5.1 费尔马定理和达布定理
最值定理在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.
如图，1 是[a,b]整体上的最大值点，
y
2 不是整体上的最大值点，
y f (x)
但 2 在局部是最大值点，
oa
局部是最大值点，给出名称，即 2
1 b x
5.1.1 极值的定义与费尔马定理 定义 5.1.1 设函数 f ( x) 在 x0 的某邻域U(x0,0) 内
定理 5.1.2(Darboux 导函数介值定理)
设函数 f ( x)在[a, b] 上可导，且 f(a) f(b) ， 介于
f(a) 与 f(b) 之间,则存在 (a, b) ，使 f ( ) .
证明 1）当 f(a) 0 与 f(b) 0 时， (a,b) ， st. f ( ) 0.