2020年高考数学一轮复习讲练测浙江版专题4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式(讲)含解析
2020年浙江高考数学一轮复习：同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式第二节••＞必过数材美(1)平方关系：2 2sin a+ cos a= ；(2)商数关系：sin a tan a= .cos a1.同角三角函数的基本关系式组序一-二二三四五六角2k n+ oc(k€ Z) n+ a—a n— a n2 ― a三+ a2正弦sin a—sin a—sin a sin a cos a竺』余弦cos a—cos a cos a—cos_a sin a—sin a正切tan a tan a—tan a—tan_a 口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限2.诱导公式［小题体验］1.已知sin 35,a€ 0,寸，贝"sin(卄 %)=答案:2.若tan 0= 2，则2cos a 3抽a的值为3cos a+ 4sin a答案:1 103.化简sin(- 1 071°sin 99°+ sin(- 171°sin(—261 °的结果为________ .解析：原式=(—sin 1 071°sin 99°+ sin 171°sin 261°=—sin(3X 360。
一9°)sin(90°+ 9°+ sin(180°—9°sin(270°—9° = sin 9°os 9°—sin 9°os 9°= 0.答案：0必过易措关1利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数, 其步骤：去负一脱周一化锐.特别注意函数名称和符号的确定.2•在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. ［小题纠偏］51.已知a 是第二象限角，Sin a= 13贝V COS a=2. (1)sin ― 315= (2)tan答案：⑴屮（2）33.已知tan考点一 三角函数的诱导公式 基础送分型考点- ［题组练透］自主练透1.(2018 宁波模拟)sin 210°cos 120°的值为()B •-警111解析：选 A sin 210°os 120 — sin 30°- cos60° = 1X 2 盲2. （2019嵊州模拟）已知sin （ n M_ —寸，贝V cos& —竽丿的值为（ ）B.解析：选B 因为sin （廿a = -1=— sin a,所以cos3n 1 a — 2 _ 一 sin a - 一 2~3，贝U tan” (—2sin a 'f — cos a 什 cos af ( a=1 + sin 2a+ sin a —CO$a2sin g ：OS a+ COS a_ COS a l + 2sin a 2sin a+ sin a sin a 1 + 2sin a 1 tan a3、nV aV 2 n COS (a — 7 n 尹一 5，求 sin(3 + a tan［谨记通法］1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤任意塑 枉意正 利用诱导0 — 211 利用透导和的 山的的他的处式二三角旳函数也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了. 2.利用诱导公式化简三角函数的要求 (1) 化简过程是恒等变形；(2) 结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.答案：—二34.(易错题)设f ( a=2sin n+ a COS n — 2 J 3 n , 1 + sin a+ cos —+ a — COS n+ a」+ aa — sinsin — 丫的值.a —亍的值.解: • ' COS (a — 7 n ) COS (7 n — M = COS ( 一 M =—a=—二 COS a= 35=sin( n+ a解:5.已知tan6••• sin(3 n+ a t a n考点二同角三角函数的基本关系重点保分型考点［典例引领］一sin a+ 3cos a . .21.已知3cos a—sin a = 5，则解析:tan a+ 3 .依题意得：3—a+a=5,tan a= 2.二sin2a—sin2sin a—sin ocos a acos a=sin师生共研cocos a的值为（a+ COS a 22— 2 25.2.已知sinm—30= m+^，cos4—2m0=解析: 因为sin 0=心,m + 5cos 0= g，所以sin2 0+ 加0=吧2+ 4—202m+ 5 vm 5 丿,m+ 5 丿m+ m+ 5 1，解得m= 8, 所以sin 0= 13, cos 0=—卷，所以tan 0=詈量=—务所以tan(k n+ 0(k€ Z)=tan 0=— 5 12.答案: 5 123.已知sin 0+ cos 0= 3, 0€ 0,n，贝U sin 0—cos 0的值为解析: 因为(sin 0+ cos 02= sin20+ cos20+ 2sin 0 cos 0= 1 + 2sin 9cos 0= ¥，所以2sin97 0cos 0= 9,2 2 2 2 则(sin 0—cos 0 = sin 0+ cos 0—2sin 0cos 0= 1 —2sin 0cos 0= 9.又因为0€ [p,所以sin 0v cos 0,即sin 0—cos 0< 0,所以sin 0—cos 0=—弋.3答案：—［由题悟法］2 tan a—tan a2 = ~2tan a+ 1 2 + 1222 2［即时应用］—cos 3有最大值43.已知 sin acos a= 8,且宁< a< 3n，则 cosa- sin a的值为(1.5若sin a=- 13，且a 为第四象限角，则 tan a 的值等于（ 12 5 B .12 5 5 12_5 12解析：选D 法一：因为a 为第四象限的角,故 cos a= 1 — sin a=-132=挣—_5_ sin a 135 所以tan a= =cos a 1213 12'法二：因为a 是第四象限角, 且sin a=— 13，所以可在a 的终边上取一点 P （12 , — 5）,13则tan a= y2. （2019缙云模拟）设sin a+ sin 3=寸，贝V sin a — cos ? 3的最大值为（ ）1112解析: 1 1 2选 D 因为 sin a+ sin 3= 3，所以 sin a= ；— sin 3因为一1w sin a< 1，所以一~3 3 3< sin pw 1.1 2 11 当 sin 2 -12,当 Sin卜― ,sin a0=—U3cos(2—0 , |q <n ，贝 y 0等于( )解析：选B • •• cos av 0,sin av 0 且 |cos a v |sin a, • cos a — sin a>0, 21 3又(cos a — sin a = 1 — 2sin 久cos a= 1 — 2 x-= 4,• cos a — sin a='.24.已知sin( —aV n ，贝V sin a — cos a= 解析： 由 sin( — a) — cos( n- a=¥，得 sin a+ cos a=¥，①3 32 7将①两边平方得1 +2sin 处0s a = 2，故2sin 〃os a =- 9.■ 2 ■ •- (sin a — cos a) = 1 — 2sin 久cos a= 1 —-7 =普. n 4又 T 一 V aV n, •• sin a> 0 , cos aV 0. • Sin a — COS a= .23答案：4一抓基础，多练小题做到眼疾手快1.n所以 tan a=tana =— sin a=n 3 3 =_3.3所以 sin a=—于.因为| av n，所以a=—2.已知 sin( n3B .-n 解析：选 D ■/ sin( n 0)= —. 3cos(2 —0),•••— sin B= — /cos 0, ••• tan 0=^/3.•- 10|< n, • 0=n3. （2019嘉兴模拟）已知sin a, cos a 是方程3x 2— 2x + a = 0的两个根，则实数 a 的值为（）sin a+ cos a= §, sin 久cos a=亍所以 sin 2 a+ cod a= (sin a+ cosa)2— 2sin acos a= 4 —竽=1,解得 a =— 6.4. 1 — 2sin n+ 2 cos n+ 2 =()C. ±sin 2— cos 2)解析：选 A - 1 — 2sin n+ 2 cos n+ 2=1 — 2sin 2 cos 2= sin 22— 2sin 2 cos 2+ cos ?2 =|sin 2— cos 2|. 又• n< 2< n,2• sin 2>0, cos 2< 0.• |sin 2— cos 2= sin 2— cos 2.5.如果sin( n A) = 2那么cos^— A j 的值是 ______________解析：• sin(卄 A)= 2，•— sin A =*.—保咼考，全练题型做到咼考达标解析：选B 因为tan （ a — n ）3解析：选B 由题可得,A. sin 2— cos 2B. cos 2— sin 2D . sin 2+ cos 23 厂1.已知 tan( a — n )”，且•. cos3 所以 tan a= 一.4 又因为a€ 所以a 为第三象限的角， (n 4 sin a+ 2 = cos a=— 5. 2.已知 f(x) = asin(nc+ a) + bcos(nc+ 3+ 4,若 f(2 018) = 5,贝U f(2 019)的值是( ) B . 3 解析：选 B •/ f(2 018) = 5, ••• asin(2 018 n+ a) + bcos(2 018 n+ 4= 5, 即 asin a+ bcos = 1. • f(2 019) = asin(2 019 n+ a) + bcos(2 019 n+ 4 =— asin a — bcos 3+ 4=— 1 + 4 = 3.cos (1 009 — 2 %)的值为( ) 3. （2018宁波五校联考）已知倾斜角为 a 的直线 l 与直线 x + 2y — 3 = 0垂直，则解析: 选B 由题意可得tan a= 2, 2 cos a — sin a 所以 cos (1 009 n — 2 a)=— cos2a =— 2 T~ sin a+ cos a‘ 丄 2 1 — tan a 32 = _ tan a+1 5. 4.当-为第二象限角，且 sin 1 — sin ---的值是(解析：选 B •/ sin +7 =B .=i 时，寸1 — sin - . - 一. . = =—1.- - - - cos 2 — Sin 2 cos 2 — sin 25.若 sin a 是 5x 2— 7x — 6= 0 的根，则•-在第一象限，且cos -e < si 2-n 2,所以 cos ~7：+ 0 + sin 孑—0 = 0.答案：0 18. (2019 义乌模拟)已知 tan( — a = -2，则 sin 2a —2co(a 1解析：因为 tan( — a =- tan a =- 2，所以 tan a = 2•所以 sna^cos^ sin 2 a — 2cof a2 s tan a+ 1 4 + 1 5 2 = = _ tan a — 24 — 2 2.答案：59. (2018嘉兴七校联考)已知cos(75+ a)=寻，a 是第三象限角.求sin(195°— a)+ cos(a sin — a 2 n — a =( 解析：选 B 由 5x 2— 7x — 6= 0,得 x = — 3或 x = 2. 5 ‘ 2 3 cos a — cos a tan a 1 5 则 sin a=— .故原式= =sin =-. 5 sin a (— sin a •— sin a — sin a 3 若sin 0, cos 0是方程4x 2 + 2mx + m = 0的两根，则 m 的值为( 6.1+ J .'5 B . 1 — ,5 1 ±. 5 解析：选 B 由题意知sin 0+cos■/ (sin 0+ cos 0)2= 1 + 2sin 9cos 0, /• m W 0 或 解析：由题意知，cos^n* cosn — n —0=a ,.2 2 Sin a+ COS a兀+ a—15°的值.解：因为cos(75° + a= 73,且a 是第三象限角，所以75°+ a 是第四象限角，所以sin(75°13+ a =— 1 — cos 75° + a=— 所以 sin(195° — a) + cos(a — 15°) = sin( a — 15°) + cos(a — 15°) = sin [( a+ 75° —90° + cos [( a+ 75° — 90° =— cos(a + 75° + sin(a+ 75° =—卷一曙 171?10.已知 sin(3 + 0 = 3 求 ------- ；0丫+ 0一1]+3 cos 0[cosn — 0 — 1]cos 0— 2 n：os 0— n —sin —的值. 0 1解：■/ sin(3 卄 0)=— sin 0= 3, 3 ••• sin 0=—丄 3H 亠 —cos 0 •原式= + cos 0 — cos 0— 1 \ 2 ~2 cos 0 _____ cos 0 • — cos 0)+ cos 0 =—2—= 18 —12 . I 3丿 —+ 1 + cos 0 cos 0 cos ? cos 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1. sin 21 °+ sin 22°+…+ sin 290°= 2 2 2 2 2解析：sin 1 ° + sin 2°+ …+ sin 90 °= sin 1 ° + sin 2°+ …+ sin_44° + sin_45° + cos 44° + 2 一一。
第4章 §4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式--新高考数学新题型一轮复习课件
新高考数学新题型一轮复习课件第四章§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式考试要求1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.2.掌握诱导公式，并会简单应用.落实主干知识课时精练探究核心题型内容索引L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识知识梳理1.同角三角函数的基本关系sin2α＋cos2α＝1(1)平方关系： .(2)商数关系： .2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－α正弦sin α___________________________余弦cos α____________________________正切tan α___________－tan α 口诀奇变偶不变，符号看象限－sin α－sin αsin αcos αcos α－cos αcos α－cos αsin α－sin αtan α－tan α同角三角函数的基本关系式的常见变形sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( )(2)若α∈R ，则tan α＝ 恒成立.( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( )√×××教材改编题＝－sin 2α.－sin 2αT A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型题型一同角三角函数基本关系例1 (1)已知cos α＝，则13sin α＋5tan α＝ .0∴α是第二或第三象限角.①若α是第二象限角，②若α是第三象限角，综上，13sin α＋5tan α＝0.sin2α＋sin αcos α＋2因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，教师备选√可得tan α＝2，√由诱导公式得因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以cos α<0，所以sin α－cos α>0，(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.√方法一 因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ方法二 (弦化切法)因为tan θ＝－2，＝sin θ(sin θ＋cos θ)题型二诱导公式√√教师备选√易知函数f(x)＝a x－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P(2,3)，√所以tan x＝－3，(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.跟踪训练2 (1)已知cos(75°＋α)＝，求cos(105°－α)＋sin(15°－α) 0＝ .因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)](2)(2022·盐城南阳中学月考)设tan(5π＋α)＝2，则＝ .3由已知tan(5π＋α)＝tan α＝2，题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用。
2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第四章第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式含答案
第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.2．诱导公式[小题体验]1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin(π＋α)＝______. 答案：－452．若tan θ＝12，则2cos α－3sin α3cos α＋4sin α的值为________．答案：1103．化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为________． 解析：原式＝(－sin 1 071°)sin 99°＋sin 171°sin 261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0. 答案：01．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． [小题纠偏]1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝________. 答案：－12132．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝________， (2)tan ⎝⎛⎭⎫－26π3＝________. 答案：(1)22(2) 3考点一 三角函数的诱导公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2018·宁波模拟)sin 210°cos 120°的值为( ) A ．14B ．－34C ．－32D ．34解析：选A sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝12×12＝14.2．(2019·嵊州模拟)已知sin(π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫a －3π2的值为( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选B 因为sin(π＋α)＝－12＝－sin α，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＝－12. 3．已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α ＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.答案：－334．(易错题)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α⎝⎛⎭⎫sin α≠－12，求f ⎝⎛⎭⎫－23π6的值． 解：∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α ＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α， ∴f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3. 5．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2的值． 解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2 ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． 考点二 同角三角函数的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C ．15D ．25解析：选D 依题意得：tan α＋33－tan α＝5，∴tan α＝2.∴sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.2．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(m ≠0)，则tan(k π＋θ)(k ∈Z)的值为________．解析：因为sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，所以sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝8，所以sin θ＝513，cos θ＝－1213，所以tan θ＝sin θcos θ＝－512.所以tan(k π＋θ)(k ∈Z )＝tan θ＝－512. 答案：－5123．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为________． 解析：因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cosθ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝29.又因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0， 所以sin θ－cos θ＝－23. 答案：－23[由题悟法]同角三角函数基本关系式的应用技巧1．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A ．125B ．－125C ．512D ．－512解析：选D 法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－5132＝1213， 所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．(2019·缙云模拟)设sin α＋sin β＝13，则sin α－cos 2β的最大值为( )A ．－35B ．－23C ．－1112D ．49解析：选D 因为sin α＋sin β＝13，所以sin α＝13－sin β.因为－1≤sin α≤1，所以－23≤sin β ≤1.所以sin α－cos 2β＝13－sin β－1＋sin 2β＝⎝⎛⎭⎫sin β－122－1112，当sin β＝－23时，sin α－cos 2β有最大值49. 3．已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B ．32C ．－34D ．34解析：选B ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|， ∴cos α－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 4．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π，则sin α－cos α＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sin α＋cos α＝23，① 将①两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169. 又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝43.答案：43一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·嘉兴七校联考)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝32，且|α|＜π2，则tan α＝( ) A ．－33B ．33C ．－ 3D ． 3解析：选C 因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝32，所以sin α＝－32.因为|α|＜π2，所以α＝－π3，所以tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫－π3＝－ 3.2．已知s in(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3. ∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.3．(2019·嘉兴模拟)已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两个根，则实数a 的值为( ) A ．56B ．－56C ．43D ．34解析：选B 由题可得，sin α＋cos α＝23，sin αcos α＝a 3.所以sin 2α＋cos 2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝49－2a3＝1，解得a ＝－56.4．1－2sin (π＋2)cos (π＋2)＝( ) A ．sin 2－cos 2 B ．cos 2－sin 2 C ．±(sin 2－cos 2) D ．sin 2＋cos 2解析：选A1－2sin (π＋2)cos (π＋2)＝1－2sin 2·cos 2＝sin 22－2sin 2·cos 2＋cos 22＝|sin 2－cos 2|. 又∵π2＜2＜π，∴sin 2＞0，cos 2＜0. ∴|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.5．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A 的值是________． 解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A ＝－sin A ＝12. 答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析：选B 因为tan(α－π)＝34，所以tan α＝34.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2， 所以α为第三象限的角， sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45. 2．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 018)＝5，则f (2 019)的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B ∵f (2 018)＝5，∴a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＋4＝5， 即a sin α＋b cos β＝1.∴f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3.3．(2018·宁波五校联考)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ()1 009π－2α的值为( ) A ．－35B ．35C ．2D ．－12解析：选B 由题意可得tan α＝2，所以cos ()1 009π－2α＝－cos 2α＝－cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝－1－tan 2αtan 2α＋1＝35.4．当θ为第二象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sin θ2的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．0解析：选B ∵sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝13， ∴cos θ2＝13，∴θ2在第一象限，且cos θ2＜sin θ2， ∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝⎛⎭⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1.5．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则 sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)＝( )A ．35B ．53C ．45D ．54解析：选B 由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35或x ＝2.则sin α＝－35.故原式＝cos α(－cos α)·tan 2αsin α·(－sin α)·(－sin α)＝1－sin α＝53.6．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5D ．－1－ 5解析：选B 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.7．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． 解析：由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 答案：08．(2019·义乌模拟)已知tan(π－α)＝－2，则1sin 2α－2cos 2α＝________.解析：因为tan(π－α)＝－tan α＝－2，所以tan α＝2.所以1sin 2α－2cos 2α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α－2cos 2α＝tan 2α＋1tan 2α－2＝4＋14－2＝52.答案：529．(2018·嘉兴七校联考)已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角．求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值． 解：因为cos(75°＋α)＝513，且α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角，所以sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α)＝－1213.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝sin(α－15°)＋cos(α－15°)＝sin [(α＋75°)－90°]＋cos [(α＋75°)－90°]＝－cos(α＋75°)＋sin(α＋75°)＝－513－1213＝－1713. 10．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13.∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ·(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.答案：9122．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)．(1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ； 当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时， f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ， 综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009 ＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018＝sin 2π2 018＋sin 2⎝⎛⎭⎫π2－π2 018 ＝sin 2π2 018＋cos 2π2 018＝1.。
浙江专用2020版高考数学大一轮复习课时174.2同角三角函数的基本关系和诱导公式课件
13 3 44 2
同角三角函数的基本关系
典例3 (1)(2017杭州四校高三上期中)已知- <α<0,sin α+cos α=1 ,则
2
5
1 的值为 ( B )
cos2α sin2α
A. 7 B. 25 C. 7
D. 24
5
7
5
5
故tan
α=
3 4
.
解法二:把等式平方得(3sin α+4cos α)2=25,即
9sin2α+24sin αcos α+16cos2α=25(sin2α+cos2α),
两边同时除以cos2α,整理得
16tan2α-24tan α+9=0,
解得tan α= 3 .
4
解法三:设4sin α-3cos α=x,则
3 2 2
3
3
θ
6
所以cos
5
6
θ
-sin2
θ
6
=-
3 - 2 =- 2
33 3
3.
◆探究
若本例(2)的条件不变,求sin
3
θ +sin
2
3
θ 的值.
解析
sin
3
θ
0°到360°
的角的三角函数
锐角三角函数
2.三角函数式化简的方向 (1)切化弦,统一名. (2)用诱导公式,统一角. (3)用因式分解将式子变形,化为最简.
2020高考数学(文)一轮练习：专题四 三角函数、解三角形(2)同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式
专题四 三角函数、解三角形（2）同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式1、已知锐角α满足π3cos()65α+=，则πsin(2)3α+=（ ） A ．1225 B ．1225± C ．2425D ．2425± 2、已知α是第二象限角，5sin 13α=，则cos α= ( ) A ．1213- B ．513- C. 513 D. 12133、若sin()cos cos()sin m αβααβα---=,且β为第三象限角,则cos β的值为( )B.D. 4、已知3cos 5α=-,且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ( )A. 10-B. 710C. 10D.105、已知(0,)2πα∈,cos α=,则1sin 2cos 2αα-= ( ) A.13B. 12C. 13- D. 12-6、若4cos 5α=-,α是第三象限的角,则sin()4πα-= ( )A. 10-B. 10C. 10-7、若π3sin 25α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,且为第二象限角,则tan a = ( ) A. 43- B. 34- C. 43 D. 348、如果sin 2cos 0αα+=,那么2sin 3sin cos ααα+的值为() A. 25 B. 25- C. 35 D. 35-9、tan 2α=-,则2212sin cos 45αα+的值为( ) A. 1725 B. 257C.725D. 2517 10、若tan m α=,32ππα<<,则sin cos αα⋅的值为( )B.21m m+ C. 21m m ±+ D.11、cos1050︒=（ ）A. 2B.12C. 12- D. 2- 12、sin570︒=( )A.12-B.12C. 13、sin 45cos15cos45sin165-︒︒-︒︒的值是( )A. B.12 C.12- D.14、已知1cos()123θπ-=,则5sin()12θπ+的值是( )A.13B.3C.13-D.3- 15、化简：()()()()sin 1440cos 1080cos 180sin 180αααα︒+⋅-︒=-︒-⋅--︒________． 16、如果1cos()2A π+=-，那么sin 2A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.17、已知角α的终边经过点(1,2)P -，则sin(π)2cos(2π)πsin sin()2αααα++-=++___________. 18、若3sin()65απ+=，则cos()3απ-=________. 19、已知sin 3cos 0αα-=,则πcos(2)2α+= . 20、已知π3sin()25α-=,则cos(π)α-=___________ 21、已知π1sin(),33α-= 则5πcos()6α-=_____． 22、πsin sin πtan 3π23πcos sin 2ααααα⎛⎫+(+)(+) ⎪⎝⎭=⎛⎫+(-) ⎪⎝⎭ ． 23、如果A 为锐角，1sin(π)2A +=-，那么cos(π)A -=_________．答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：∵锐角α满足π3cos()65α+=，∴π6α+也是锐角，由三角函数的基本关系式可得π4sin()65α+==， 则πππ24sin(2)2sin()cos()36625ααα+=++=，故选C ．2答案及解析：答案：A 解析：因为α是第二象限角,所以cos 0α<.由同角函数关系式知12cos 13α==-,故选A.3答案及解析：答案：B解析：4答案及解析：答案：D解析：因为已知3cos5α=-,且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴4 sin5α==,则πππ43sin sin cos cos sin44455ααα⎛⎫+=+=-= ⎪⎝⎭.5答案及解析：答案：D解析：由cosα=得sinα=,所以3sin225α==,4cos25α=-,所以1sin21cos22αα-=-,故选D.6答案及解析：答案：D解析：7答案及解析：答案：A解析：8答案及解析：答案：B解析：9答案及解析：答案：C解析：10答案及解析：答案：B解析：11答案及解析：答案：A解析：12答案及解析：答案：A解析：13答案及解析：答案：B解析：14答案及解析：答案：A解析：15答案及解析：答案：1解析：16答案及解析：答案：1 2解析：因为1cos()2Aπ+=-，即11cos,sin()cos222A A Aπ=+==17答案及解析：答案：-4解析：18答案及解析：答案：3 5解析：19答案及解析：答案：3 5 -解析：20答案及解析：答案：3 5 -解析：21答案及解析：答案：1 3 -解析：22答案及解析：答案：1解析：23答案及解析：答案：解析：。
2020年浙江高考数学一轮复习课堂测试：同角三角函数的基本关系与诱导公式
课时跟踪检测（二^一）同角三角函数的基本关系与诱导公式一抓基础，多练小题做到眼疾手快2 •已矢口 sin( n E) "^^3cos(2 — 0), i q <n 贝y 0等于( )nD. 3解析：选 D •/ sin(廿 q= — • 3cos(2 — 0, ••• — sin 0=—羽cos 0, ••• tan 0=筋.•-1 ei< 2，• 0=3解析：2 a 2 2 选 B 由题可得，sin a+ cos a= 3, sin 久cos a= §.所以 sin a+ cos a= (sin a+ cosa)2— 2sin ccos a= 4 — 2^= 1，解得 a = — 5.9 3 64.1 — 2sin n+2 cos n+ 2 =()A . sin 2— cos 2B . cos 2— sin 2C . ±sin 2— cos 2)D . sin 2+ cos 2解析：选 A 1 — 2sin n+ 2 cos n+ 2=.1 — 2sin 2 cos 2= sin 22— 2sin 2 cos 2+ cos ?2=|sin 2— cos 2|.1.（2018嘉兴七校联考）已知cos号 + a= ¥，且 I a l <n ，则 tan a=()B • i 3D .3aj=— sin a=¥，所以 sin a=—誓.因为 | a<n ，所以a=—扌,所以tan a=tann=- 37t3. （2019嘉兴模拟）已知 为（）sin a, cos a 是方程3x 2— 2x + a = 0的两个根，则实数 a 的值解析：选C 因为又••• n< 2v n2sin 2>0, cos 2< 0.••• |sin 2—cos 2|= sin 2—cos 2.5.如果sin( n A) = 2,那么cosj^f— A :的值是____________1 1 解析：■/ sin( n A)= ，•—sin A=?.• cos®— A =—sin A=1. \2 J 2答案：1二保咼考，全练题型做到咼考达标1.已知tan( a— nA 4，且a€ g,则sin Ja+ n 戶(B.3解析：选B 因为tan( a— nA3,4所以tan aA 3.又因为a€牙，篦,所以a为第三象限的角,2.已知f(x) = asin(nc+ a) + bcos(nc+ 3+ 4,若f(2 018) = 5,贝U f(2 019)的值是()A. 2B. 3C. 4D. 5解析：选 B ••• f(2 018) = 5,•asin(2 018 n+ a) + bcos(2 018 n+ 3+ 4= 5,即asin a+ bcos 3= 1.•f(2 019) = asin(2 019 n+ a) + bcos(2 019 n+ 3+ 4 =—asin a—bcos 3+ 4=—1 + 4 = 3.3. (2018宁波五校联考)已知倾斜角为a的直线1与直线x + 2y—3 = 0垂直，则cos(1 009 —2 %)的值为(A —3A. 5 )B. 5sin a+ n = cos a=—4 5.CM.^<I T E •^AE ^O V E .E^H<嗒Lg esElCM+L HEHu ・sG —址E■ E9soog uw z +L丿&w o o u w ).孚——Lm号+L <)s运E亘呈w b BoH E +XIUZ+X0咽4<9so 。
(浙江专版)2020年高考数学一轮复习 专题4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式(讲)
第02节 同角三角函数的基本关系及诱导公式【考纲解读】个函数值中【知识清单】1．同角三角函数的基本关系式 同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝cos αsin α，k ∈Z π. 2．利用诱导公式化简求值 六组诱导公式对于角“2kπ±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”3．特殊角的三角函数值（熟记）【重点难点突破】考点1 同角三角函数的基本关系式【1-1】若为第三象限，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为为第三象限，所以．因此，故选择B．【1-2】【2017届浙江杭州地区四校高三上学期联考】已知，，则的值为（）A. B.C. D.【答案】B.【1-3】【2018届陕西省咸阳市一模】已知为第二象限角，且，则（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】 由，可得，所以，所以， 又因为为第二象限角，则，所以，所以，故选A.【领悟技法】1.利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用cos αsin α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2.注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 3. 三角函数求值与化简必会的三种方法(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,a sin 2x+b sin x cos x+c cos 2x等类型可进行弦化切.(2)“1”的灵活代换法:1=sin 2θ+cos 2θ=(sin θ+cos θ)2-2sin θcos θ=tan 等.(3)和积转换法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ,(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2的关系进行变形、转化. 【触类旁通】【变式一】若，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2【答案】C【解析】，因此得，由于，，因此，，由于， ，又由于，，得，故答案为C.【变式二】【2017安徽马鞍山二模】已知，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【变式三】【2018届贵州省贵阳市8月摸底】已知，则__________．【答案】-3【解析】考点2 利用诱导公式化简求值【2-1】【2018届贵州省贵阳市适应性考试（二）】已知,且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题设条件可得，再根据同角三角函数关系式可得，，然后根据诱导公式化简，即可得解.详解：∵∴∵∴，则.∵∴故选A.【2-2】【2018届江西省六校第五次联考】已知，，则__________.【答案】【解析】∵，∴cosα<0.∵7sin2α=2cosα,即14sinαcosα=2cosα,∴，则.【2-3】化简【答案】当时，原式当时，原式【解析】（1）当时，原式；（2）当时，原式.【领悟技法】1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等,常见的互补关系有-θ与+θ,+θ与-θ,+θ与-θ等.4.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.【触类旁通】【变式一】若，是第三象限的角，则（）A． B． C． D．【答案】B.【解析】由题意，因为是第三象限的角，所以，因此.【变式二】【2018届浙江省名校协作体上学期】已知，且，则_____，_____．【答案】【变式三】已知，求【答案】18【解析】由题有，，原式【易错试题常警惕】易错典例：,那么( )A. B. - C. D. -易错分析：(1)k值的正负一撮；（2）表达式符号易错正确解析：温馨提醒：1.本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这一转化思想的应用.2.同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍.3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。
高考数学一轮复习专题训练—同角三角函数的基本关系式与诱导公式
同角三角函数的基本关系式与诱导公式考纲要求 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan__α.2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α正切 tan αtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (3)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立.( )(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)对任意的角α，sin 2α＋cos 2α＝1. (2)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴上时，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13，当k 为偶数时，sin α＝－13.2.已知tan α＝2，则3sin α－cos αsin α＋2cos α＝( )A.54B.－54C.53D.－53答案 A解析 原式＝3tan α－1tan α＋2＝3×2－12＋2＝54.3.已知α为锐角，且cos α＝45，则sin(π＋α)＝( )A.－35B.35C.－45D.45答案 A解析 由题意得sin α＝1－cos 2α＝35，故sin(π＋α)＝－sin α＝－35.4.(2021·天津南开质检)cos 480°＝( ) A.－12B.12C.－32D.32答案 A解析 由诱导公式可得cos 480°＝cos(540°－60°)＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12.故选A.5.(2021·成都诊断)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝15，则下列结论错误的是( )A.θ∈⎝⎛⎭⎫π2，πB.cos θ＝－35C.tan θ＝－34D.sin θ－cos θ＝75答案 C解析 ∵sin θ＋cos θ＝15，①∴(sin θ＋cos θ)2＝⎝⎛⎭⎫152， 即sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝125，∴2sin θcos θ＝－2425，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925，∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，cos θ<0， ∴θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin θ－cos θ＝75.② ①＋②得sin θ＝45，①－②得cos θ＝－35，∴tan θ＝sin θcos θ＝45－35＝－43.6.(2021·海南期末)若cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝15，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________.答案 15解析 sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝15.考点一 诱导公式的应用1.化简cos （π＋α）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫11π2－αcos （π－α）sin （－π－α）sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的结果是( )A.－1B.1C.tan αD.－tan α答案 C解析 由诱导公式，得原式＝－cos α·（－sin α）·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α－cos α·sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin 2α·cos α－sin α·cos 2α＝tan α，故选C.2.(2021·长春模拟)已知α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3，则角α＝( ) A.π12 B.π6C.π4D.π3答案 C解析 由条件得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，又因为α为锐角，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，即sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3，所以有α－π3＝π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3，解得α＝π4，故选C. 3.(2021·皖北名校联考)sin 613°＋cos 1 063°＋tan(－30°)的值为________. 答案 －33解析 sin 613°＋cos 1 063°－tan 30°＝sin(180°＋73°)＋cos(－17°)－tan 30°＝－sin 73°＋cos(－17°)－tan 30°＝－cos 17°＋cos 17°－33＝－33. 感悟升华 1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 考点二 同角三角函数基本关系及其应用角度1 切弦互化【例1】 (1)已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于( )A.1517B.－1517C.817D.－817(2)已知曲线f (x )＝23x 3在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝( )A.12B.2C.35D.－38答案 (1)D (2)C解析 (1)因为tan α＝－815，所以sin αcos α＝－815，所以cos α＝－158sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝64289，又α是第四象限角，所以sin α＝－817.(2)由f ′(x )＝2x 2，得tan α＝f ′(1)＝2， 故sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α－12tan α＋1＝35.故选C.角度2 sin α±cos α与sin αcos α的转化【例2】(2020·东北三省三校联考)若sin θ－cos θ＝43，且θ∈⎝⎛⎭⎫34π，π，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝( ) A.－23B.23C.－43D.43答案 A解析 由sin θ－cos θ＝43得1－2sin θcos θ＝169，即2sin θcos θ＝－79，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝29，又θ∈⎝⎛⎭⎫34π，π，∴sin θ＋cos θ<0， ∴sin θ＋cos θ＝－23， 则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sin θ＋cos θ＝－23，故选A. 感悟升华 1.(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化.(2)形如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切.2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.【训练1】 (1)已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan(π＋α)等于( )A.－513B.513C.－125D.125(2)(2021·兰州诊断)已知sin α＋cos α＝75，则tan α＝________.答案 (1)C (2)43或34解析 (1)因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－125.(2)将sin α＋cos α＝75两边平方得1＋2sin αcos α＝4925，∴sin αcos α＝1225，∴sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝1225， 整理得12tan 2α－25tan α＋12＝0，解得tan α＝43或tan α＝34.考点三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用【例3】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( ) A.53B.23C.13D.59(2)已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. (3)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________. 答案 (1)A (2)－33(3)0 解析 (1)由3cos 2α－8cos α＝5， 得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5， 即3cos 2α－4cos α－4＝0， 解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去).又因为α∈(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53.故选A. (2)∵⎝⎛⎭⎫π6－α＋⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝π， ∴tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.(3)∵cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 感悟升华 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π6－θ与5π6＋θ，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等.【训练2】 (1)已知α是第四象限角，且3sin 2α＝8cos α，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2 021π2＝( ) A.－223B.－13C.223D.13(2)(2020·上海徐汇区期中)若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 答案 (1)C (2)35解析(1)∵3sin 2α＝8cos α，∴sin 2α＋⎝⎛⎭⎫3sin 2α82＝1， 整理可得9sin 4α＋64sin 2α－64＝0， 解得sin 2α＝89或sin 2α＝－8(舍去)，又∵α是第四象限角，∴sin α＝－223，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋2 021π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋1 010π＋π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α＝223，故选C. (2)∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35.A 级 基础巩固一、选择题 1.tan 420°＝( ) A.－ 3 B. 3 C.33D.－33答案 B解析 tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝ 3. 2.若角α的终边在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A.3B.－3C.1D.－1答案 B解析 由角α的终边在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3，故选B. 3.已知3s in(π＋θ)＝cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A.－π6B.－π3C.π6D.π3答案 A解析 ∵3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)， ∴－3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－33， ∵|θ|<π2，∴θ＝－π6.4.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79答案 A解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫432＝－79. 5.1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝( )A.sin 2－cos 2B.sin 2＋cos 2C.±(sin 2－cos 2)D.cos 2－sin 2答案 A 解析1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝1－2sin 2cos 2＝（sin 2－cos 2）2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 6.已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35 B.－35C.－3D.3答案 A 解析sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.故选A.7.(2021·四川名校联考)在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，则cos A －sin A 的值为( )A.－32B.－52C.52D.±32答案 B解析 ∵在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，∴A 为钝角，∴cos A －sin A <0， ∴cos A －sin A ＝－（cos A －sin A ）2 ＝－cos 2A ＋sin 2A －2sin A cos A ＝－1－2×⎝⎛⎭⎫－18＝－52. 8.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝( ) A.355B.377C.31010D.13答案 C解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0. 消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角). 二、填空题9.(2021·西安调研)sin(－570°)＋cos(－2 640°)＋tan 1 665°＝________.答案 1解析 原式＝sin(－570°＋720°)＋cos(－2 640°＋2 880°)＋tan(1 665°－1 620°)＝sin 150°＋cos 240°＋tan 45°＝sin 30°－cos 60°＋1＝12－12＋1＝1. 10.若sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝________. 答案 35解析 sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋θ ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35. 11.已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________.答案 －43解析 由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43. 12.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________.答案 1－ 5解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2，解得m ＝1±5， 又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.B 级 能力提升13.已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.15B.55C.33D.255答案 B解析 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos α≠0，所以 2sin α＝cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以5sin 2α＝1，sin 2α＝15，sin α＝55.故选B. 14.已知α∈[0，2π)，cos α＋3sin α＝10，则tan α＝( )A.－3B.3或13C.3D.13 答案 C解析 因为(cos α＋3sin α)2＝10，所以cos 2α＋6sin αcos α＋9sin 2α＝10，所以cos 2α＋6sin αcos α＋9sin 2αcos 2α＋sin 2α＝10，所以1＋6tan α＋9tan 2α1＋tan 2α＝10，所以tan α＝3. 15.(2021·嘉兴联考)已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝________，cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.答案 －74 34 解析 sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α， ∵α为钝角，∴34π<π4＋α<54π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－1－⎝⎛⎭⎫342＝－74.cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34. 16.已知2θ是第一象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么tan θ＝________. 答案 22解析 因为sin 4θ＋cos 4θ＝59， 所以(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59. 所以sin θcos θ＝23，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝23， 即tan θ1＋tan 2θ＝23，解得tan θ＝2或tan θ＝22. 又因为2θ为第一象限角，所以2k π<2θ<2k π＋π2，k ∈Z . 所以k π<θ<π4＋k π，k ∈Z . 所以0<tan θ<1.所以tan θ＝22.。
高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件
A.
5
π
6
3
5
− = ，则sin −
故选C.
=(
)
√
4
B.
5
解：依题意，知sin −
2π
3
2π
3
= sin[
3
C.−
5
π
π
− − ]
6
2
4
D.−
5
= −cos(
π
− )
6
= −cos
π
6
− =
3
− .
5
【巩固强化】
1
3
1.已知cos = ，且 为第四象限角，则sin =(
4
5
cos 2 = .则sin 2 = 2sin cos = −4cos2 = − .故选A.
（2）已知sin + cos =
A.−
3 5
，则tan
5
+
1
tan
B.
√
2
5
5
2
=(
C.−
)
4
5
5
4
D.
9
5
解：原式两边平方，得sin 2 + 2sin cos + cos 2 = .
A.−
√
1
2
1
2
B.
解：因为tan = −3，所以cos ≠
1
3
cos +sin
0.所以
cos −sin
)
C.−
1
3
1+ −3
1− −3
D.
=
1+tan
【名师推荐资料】(浙江专版)新2020年高考数学一轮复习 专题4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式(讲)
第02节 同角三角函数的基本关系及诱导公式【考纲解读】个函数值中【知识清单】1．同角三角函数的基本关系式 同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝cos αsin α，k ∈Z π. 2．利用诱导公式化简求值 六组诱导公式对于角“2kπ±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”3．特殊角的三角函数值（熟记）【重点难点突破】考点1 同角三角函数的基本关系式【1-1】若为第三象限，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为为第三象限，所以．因此，故选择B．【1-2】【2017届浙江杭州地区四校高三上学期联考】已知，，则的值为（）A. B.C. D.【答案】B.【1-3】【2018届陕西省咸阳市一模】已知为第二象限角，且，则（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】 由，可得，所以，所以， 又因为为第二象限角，则，所以，所以，故选A.【领悟技法】1.利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用cos αsin α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2.注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 3. 三角函数求值与化简必会的三种方法(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,a sin 2x+b sin x cos x+c cos 2x等类型可进行弦化切.(2)“1”的灵活代换法:1=sin 2θ+cos 2θ=(sin θ+cos θ)2-2sin θcos θ=tan 等.(3)和积转换法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ,(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2的关系进行变形、转化. 【触类旁通】【变式一】若，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2【答案】C【解析】，因此得，由于，，因此，，由于， ，又由于，，得，故答案为C.【变式二】【2017安徽马鞍山二模】已知，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【变式三】【2018届贵州省贵阳市8月摸底】已知，则__________．【答案】-3【解析】考点2 利用诱导公式化简求值【2-1】【2018届贵州省贵阳市适应性考试（二）】已知,且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题设条件可得，再根据同角三角函数关系式可得，，然后根据诱导公式化简，即可得解.详解：∵∴∵∴，则.∵∴故选A.【2-2】【2018届江西省六校第五次联考】已知，，则__________.【答案】【解析】∵，∴cosα<0.∵7sin2α=2cosα,即14sinαcosα=2cosα,∴，则.【2-3】化简【答案】当时，原式当时，原式【解析】（1）当时，原式；（2）当时，原式.【领悟技法】1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等,常见的互补关系有-θ与+θ,+θ与-θ,+θ与-θ等.4.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.【触类旁通】【变式一】若，是第三象限的角，则（）A． B． C． D．【答案】B.【解析】由题意，因为是第三象限的角，所以，因此.【变式二】【2018届浙江省名校协作体上学期】已知，且，则_____，_____．【答案】【变式三】已知，求【答案】18【解析】由题有，，原式【易错试题常警惕】易错典例：,那么( )A. B. - C. D. -易错分析：(1)k值的正负一撮；（2）表达式符号易错正确解析：温馨提醒：1.本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这一转化思想的应用.2.同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍.3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）
第四章 三角函数与解三角形
第02讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式 ---讲
1. 理解同角三角函数的基本关系.
2. 掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.
3.高考预测： （1）1.公式的应用.
（2）高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查方式以小题或在大题中应用为主． 4.备考重点：
（1）掌握诱导公式，注意灵活运用诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系； （2）掌握同角三角函数基本关系式，注意同角的三个函数值中
知一求二.
知识点1．同角三角函数的基本关系式
同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛
⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 【典例1】（2019·北京高考模拟（文））已知
，且tan 2α=
，那么sin α=（ ）
A ．3
3-
B ．3
6-
C ．
3
6 D ．
3
3
【答案】B 【解析】 因为， >0，故3(,
)2
παπ∈ 即， 又
，
解得：sin α=3
6- 故选 ：B
【规律方法】
同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用sin 2α＋cos 2
α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦
切互化．
(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
【变式1】（2019·全国高考模拟（文））若α∈（
π2，π），sin α3
tan α=（ ） A ．2- B ．3-
C ．2
2
-
D 2
【答案】C 【解析】 ∵α∈（
2π，π），且sin α=3，∴cos α=6tan 22α=- ． 故选：C ．
知识点2．利用诱导公式化简求值
六组诱导公式
角 函数 2k π＋α(k ∈Z ) π＋α －α π－α π
2－α π2＋α 正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切
tan_α
tan_α
－tan_α
－tan_α
对于角“k π
2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为
奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”
【典例2】（2016·全国高考真题（文））已知θ是第四象限角，且sin （θ+）=，则tan （θ–）= . 【答案】
∵θ是第四象限角，
∴，则，
又sin（θ），
∴cos（θ）．
∴cos（）＝sin（θ），sin（）＝cos（θ）．
则tan（θ）＝﹣tan（）．
故答案为：．
【总结提升】
用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等,常见的互补关系有-θ与+θ,+θ与
-θ,+θ与-θ等.
【变式2】（2019·陕西高考模拟（文））已知，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
，由诱导公式即可求解.
因为，则．故应选C．
知识点3．特殊角的三角函数值（熟记）
【典例3】求值：sin(－1 200°)cos1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝ . 【答案】1
【解析】原式
【总结提升】
利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.
【变式3】（2019·云南省玉溪第一中学高考模拟（文））等于（）
A．1
2
B．
2
1
-C．
3
2
D．
3
2
-
【答案】C
【解析】
由题，故选C.
考点1 同角三角函数的基本关系式
【典例4】（2019·上海高考模拟）设且，若，则______．【答案】1
【解析】
设且，若，
所以：， =1,
又+=1，
， =1，
又
=
=
=
，
故答案为：1．
【总结提升】
(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
【变式4】（2019·江苏高考模拟）在平面直角坐标系中，若曲线与在
上交点的横坐标为，则的值为_ __．
【答案】
【解析】
由题可得：，解得：，又
所以
又，解得：
所以
考点2 sinα cosα与sinαcosα的关系及应用
【典例5】（2019·山东高三期末（理））已知，，则（）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】
由题意知，，①
，即，
，为钝角，，
，
，
，②
由①②解得，
，故选B.
【规律方法】
三角函数求值与化简必会的三种方法
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,等类型可进行弦化切.
(2)“1”的灵活代换法:等.
(3)和积转换法:利用的关系进行变形、转化.
【变式5】（2018·河北高考模拟（理））已知，，则的值为( ) A． B． C． D．
【答案】B 【解析】 ∵，∴
，
∴
，又∵
，∴
，∴
，
∴，故选B.
考点3 利用诱导公式化简求值
【典例6】化简
【答案】当时，原式1=-；当
时，原式1=.
【解析】（1）当
时，
原式；
（2）当
时，
原式
.
【规律方法】
1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.
2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
【变式6】（2018届贵州省贵阳市适应性考试（二））已知,且
，则
（ ） A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 ∵
∵
∴，则.
∵
∴
故选A.
考点4 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
【典例7】（2018·山东高三期中（文））若是的一个内角，且，则
的值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
已知是的一个内角，则0＜θ＜π，结合，
可知sinθ＞0，cosθ＜0，
=sinθ-cosθ，∵
∴，
∴.故选D.
【总结提升】
三角形中的三角函数关系式
【变式7】（2019·河北高考模拟（文））已知，且α为第三象限角，则cosα=（）
A B．C D．
【解析】
∵，∴
1 sin
3
α=-.
∵，
∴，即28
cos
9
α=，
又∵α为第三象限角，∴. 故选B.。