高中数学空间几何解题思路及常见题型
2023年高中数学基础知识梳理及基础题型归纳-立体几何模块-第七节 立体几何中的向量方法
第七节 立体几何中的向量方法一、空间向量与平行关系【知识点11】直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量的定义直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的法向量． 注：直线的方向向量(平面的法向量)不唯一？【例1】如图3，已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面SAB 的一个法向量； (3)求平面SCD 的一个法向量．【反思】1.利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组：(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.[练习1]正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图322所示的空间直角坐标系中，求：图322(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量．【知识点12】空间中平行关系的向量表示【类型一】用向量证明线线平行【例1】如图323所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．图323111111112EB1，BF＝2F A1.求证：EF∥AC1.【类型二】用向量证明线面平行【例2】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．【练习2】在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD ＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.【类型三】利用向量证明面面平行【例3】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，试证明平面A1BD∥平面CB1D1.【练习3】如图329，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?图329二、空间向量与垂直关系【知识点13】空间中垂直关系的向量表示【类型一】用向量证明线面垂直【例1】如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD．【练习1】如图3215，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.图3215【类型二】用向量法证明面面垂直【例2】如图3212所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E 为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．＝2BD．求证：平面DEA⊥平面ECA．三、空间向量与空间角【知识点14】空间角的向量求解方法【类型一】求两条异面直线所成的角【例1】如图，在三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB ＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．θ＝φθ＝π－φ点，则AE，SD所成的角的余弦值为多少？【类型二】求直线与平面所成的角【例2】如图，四棱锥PABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC ＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面P AB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【练习2】如图，在四棱锥P ABCD 中，平面P AD⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.(1)求证：PD ⊥平面P AB ．(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AMAP 的值；若不存在，说明理由．【类型三】求二面角【例3】如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A PB C 的余弦值.旋转轴旋转120°得到的，G 是DF ︵的中点．图3224(1)设P 是CE ︵上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小；(2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E AG C 的大小．【练习4】如图，在三棱锥PABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.(1)求证：AB∥GH；(2)求二面角DGHE的余弦值．四、空间向量与距离【知识点15】利用空间向量求距离(※)【例1】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离．【练习1】如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，DG＝13DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求D1A1到平面EFGH的距离．点到平面的距离：先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面的法向量上的射影长．如图，设n＝(a，b，c)是平面α的一个法向量，P0(x0，y0，z0)为α外一点，P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则点P0到平面α的距离：d＝|PP0→·n||n|＝|a(x0－x)＋b(y0－y)＋c(z0－z)|a2＋b2＋c2.注：线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.。
2023年高考之立体几何和空间向量考点解读
3
=
2
1
1
|AB|·|BC|=
×2×
2
2
1
所 以 VP-ABC = S△ABC ·|PM|=
2 2=2 2,
3
1
26
。
×2 2× 3=
3
3
考查,
一是空间线面关系 的 命 题 真 假 的 判 断,
以选填题的形式考查,
属 于 基 础 题;
二是空间
线线、
线面、
面面平行和垂 直 关 系 交 汇 的 综 合
命题,
(
2)若 ∠POF =1
2
0
°,求 三 棱 锥 PABC
|A1A| -|AM| =
2
6
。
2
2
1
2=
2
解 析:(
1)连 接 DE ,
OF ,设 |AF|=
→
→
→
则 B→
t|AC|,
F =BA + AF = (
1-t)
BA +
→
→
所求体积 V =
76
。
=
6
1
6
×(
4+1+ 4×1)
×
3
2
考点解读:空 间 几 何 体 的 结 构 特 征 是 立
则该圆锥的
1
2
0
°,
4
体积为(
胡银伟
33
2
=
2
-
3
2
2
|PC| -|OC|
2
2
=
= 6。所以圆锥的体积 V
1
1
2
2
π×|OA| ×|PO|= π× (3)× 6=
高一立体几何题型及解题方法
高一立体几何题型及解题方法
高一立体几何是数学中的一个重要部分，也是高中数学中难度较大的内容之一。
下面介绍一些高一立体几何的题型及解题方法。
1. 空间向量题型
空间向量题型是高一立体几何中比较基础的题型，需要掌握空间向量的基本概念和运算规律。
解题时需要根据向量的定义和性质，运用向量加法、数乘等基本运算法则，求解向量的模长、方向余弦等相关量。
2. 空间几何体积题型
空间几何体积题型是高一立体几何中比较常见的题型，需要掌握各种几何体的面积和体积公式，并能够灵活运用这些公式进行计算。
解题时需要注意几何体的立体图形，确定所求的体积或面积，再根据公式进行计算。
3. 立体图形的相似题型
立体图形的相似题型需要掌握几何体的相似性质和基本比例关系，能够根据相似性质推导出几何体的相关量。
解题时需要注意几何体的相似条件，确定所求的比例关系，再根据比例关系求解相关量。
4. 空间几何位置关系题型
空间几何位置关系题型需要掌握空间中点、线、面的位置关系及相关性质。
解题时需要注意点、线、面的位置关系，确定所求的相关量，再根据相关性质进行计算。
总之，高一立体几何的题型比较多，需要学生具备扎实的基础知
识和灵活的解题思路，加强对几何图形和空间位置关系的理解和掌握，才能顺利解决高一立体几何的各种题型。
高中数学必修2立体几何常考题型：空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系【知识梳理】1．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号暗示a⊂αa∩α＝A a∥α图形暗示2．两个平面的位置关系位置关系图示暗示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β＝l 有无数个公共点(在一条直线上)【常考题型】题型一、直线与平面的位置关系【例1】下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中说法正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]对于①，直线a在平面α外包孕两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α纷歧定平行，∴①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a纷歧定平行于α.∴②说法错误．对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行．∴③说法正确．[答案] B【类题通法】空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．【对点训练】1．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条必然与这个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C①正确；②错误，如图1所示，l1∥m，而m⊂α，l1⊂α；③正确，如图2所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C1与直线BD异面，A1C1⊂平面A1B1C1D1，且BD∥平面A1B1C1D1，故③正确；④错误，直线还可能与平面相交．由此可知，①③正确，故选C.题型二、平面与平面的位置关系【例2】(1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？[解](1)不正确．如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，a n，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，a n，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．【类题通法】两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.【对点训练】2．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共有8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．答案：4 63．如图所示，平面ABC与三棱柱ABC－A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行．∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．【练习反馈】1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有()A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能解析：选C由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．2.如图所示，用符号语言可暗示为()A．α∩β＝lB．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂α解析：选D显然图中α∥β，且l⊂α.3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．答案：平行4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．解析：若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在独一的平面与已知平面平行．答案：0或15．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．由于a、b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.。
高中数学高考专题(5)立体几何的高考解答题型及求解策略
高中数学高考专题(5)立体几何的高考解答题型及求解策略立体几何的解答题型主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先是利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再计算几何体的体积．试题背景有折叠问题、探索性问题等，考查空间想象能力、逻辑思维能力及转化与化归思想的应用能力.题型一线面位置关系的证明题型概览：空间中线面的平行与垂直的证明有两种思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量法来论证，应用向量证明线、面的位置关系的关键是把空间线面位置关系的判定定理和性质定理与空间向量建立对应关系，把空间位置关系的证明转化为空间向量的运算，通过运算解决证明问题．这里以传统方法为例建立审题程序与答题模板，向量方法参照本专题题型二．如图，四边形ABCD是菱形，四边形MADN是矩形，平面MADN⊥平面ABCD，E、F分别为MA、DC的中点，求证：(1)EF∥平面MNCB；(2)平面MAC⊥平面BND.[审题程序]第一步：利用中位线、平行四边形的性质在四边形MNCB内确定与EF平行的直线；第二步：在平面MAC和平面BND中寻找与另一平面垂直的直线；第三步：应用面面垂直、菱形的性质，由线线垂直解决．[规范解答](1)如图，取NC的中点G，连接FG，MG.因为ME∥ND且ME＝12ND，F、G分别为DC、NC的中点，FG∥ND且FG＝12ND，所以FG与ME平行且相等，所以四边形MEFG是平行四边形，所以EF∥MG，又MG⊂平面MNCB，EF⊄平面MNCB，所以EF∥平面MNCB.(2)如图，连接BD、MC.因为四边形MADN是矩形，所以ND⊥AD.因为平面MADN⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面MADN＝AD，DN⊂平面MADN，所以ND⊥平面ABCD，所以ND⊥AC.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为BD∩ND＝D，所以AC⊥平面BDN.又AC⊂平面MAC，所以平面MAC⊥平面BDN.[答题模板]解决这类问题的答题模板如下：1．(2016·北京西城区高三期末)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G，H分别是CE，CF的中点．(1)求证：AC⊥平面BDEF；(2)求证：平面BDGH∥平面AEF；(3)求多面体ABCDEF的体积．[解](1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，且AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面BDEF.(2)证明：在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF.又GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF.设AC∩BD＝O，连接OH.在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF.因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF.因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.(3)由(1)得AC⊥平面BDEF.因为AO＝2，四边形BDEF的面积S▱BDEF＝3×22＝62，＝4.所以四棱锥A－BDEF的体积V1＝13×AO×S▱BDEF同理，四棱锥C－BDEF的体积V2＝4.所以多面体ABCDEF的体积V＝V1＋V2＝8.题型二求空间几何体的体积题型概览：计算几何体的体积，关键是根据条件找出相应的底面和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．(1)直接法：对于规则几何体，直接利用公式计算即可．(2)割补法：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算．经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体．(3)等体积法：一般利用三棱锥的“等积性”求三棱锥体积，可以把任何一个面作为三棱锥的底面．注意两点：一是求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算；二是利用“等积性”可求“点到面的距离”，关键是在面中选取三个点，与已知点构成三棱锥．(2016·全国卷Ⅲ)如图，四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面P AB；(2)求四面体N－BCM的体积．[审题程序]第一步：由线线平行或面面平行证明(1)；第二步：由N 为PC 中点，推证四面体N －BCM 的高与P A 的关系； 第三步：利用直接法求四面体的体积．[规范解答] (1)由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形， 于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N －BCM 的体积V N －BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453. [答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：2．(2016·深圳一模)如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面SBC是正三角形，E是SB的中点，且AE⊥平面SBC.(1)证明：SD∥平面ACE；(2)若AB⊥AS，BC＝2，求点S到平面ABC的距离．[解](1)证明：连接BD，交AC于点F，连接EF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴F是BD的中点，又∵E是SB的中点，∴EF∥SD.∵SD⊄平面ACE，EF⊂平面ACE，∴SD∥平面ACE.(2)∵AB⊥AS，BC＝BS＝2，且E是SB的中点，∴AE＝1.∵AE⊥平面SBC，BS、CE⊂平面SBC，∴AE⊥BS，AE⊥CE.∴AB＝AE2＋BE2＝ 2.又侧面SBC 是正三角形，∴CE ＝3， ∴AC ＝AE 2＋CE 2＝2，∴△ABC 是底边长为2，腰长为2的等腰三角形， ∴S △ABC ＝12×2×4－12＝72.设点S 到平面ABC 的距离为h .由V 三棱锥S －ABC ＝V 三棱锥A －SBC ，得13h ·S △ABC ＝13AE ·S △SBC ，∴h ＝AE ·S △SBC S △ABC ＝237＝2217.题型三 立体几何中的探索性问题题型概览：如果知道的是试题的结论，而要求的却是试题的某一个存在性条件(如存在某个定点、定直线、定值等)，这种试题称为存在探索型试题．解题策略一般是先假设结论成立，然后以该结论作为一个已知条件，再结合题目中的其他已知条件，逆推(即从后往前推)，一步一步推出所要求的特殊条件，即要求的存在性条件．若能求出，则存在；若不能求出，则不存在．(2016·石家庄调研)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，E 在线段B 1C 1上，B 1E ＝3EC 1，AC ＝BC ＝CC 1＝4.(1)求证：BC ⊥AC 1；(2)试探究：在AC 上是否存在点F ，满足EF ∥平面A 1ABB 1？若存在，请指出点F 的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．[审题程序]第一步：由B 1E ＝3EC 1及EF ∥平面A 1ABB 1猜想点F 的位置；第二步：在平面A 1ABB 1内探求与EF 平行的直线或寻找经过EF 与平面A 1ABB 1平行的平面； 第三步：由线线平行或面面平行推理论证．[规范解答] (1)证明：∵AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥AA 1. 又∵BC ⊥AC ，AA 1∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面AA 1C 1C . 又AC 1⊂平面AA 1C 1C ，∴BC ⊥AC 1.(2)解法一：当AF＝3FC时，EF∥平面A1ABB1.证明如下：如图1，在平面A1B1C1内过点E作EG∥A1C1交A1B1于点G，连接AG.∵B1E＝3EC1，∴EG＝34A1C1.又AF∥A1C1且AF＝3，4A1C1∴AF∥EG且AF＝EG，∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥AG.又EF⊄平面A1ABB1，AG⊂平面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1.解法二：当AF＝3FC时，EF∥平面A1ABB1.证明如下：如图2，在平面BCC1B1内过点E作EG∥BB1交BC于点G，连接FG. ∵EG∥BB1，EG⊄平面A1ABB1，BB1⊂平面A1ABB1，∴EG∥平面A1ABB1.∵B1E＝3EC1，∴BG＝3GC，∴FG∥AB.又AB⊂平面A1ABB1，FG⊄平面A1ABB1，∴FG∥平面A1ABB1.又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面A1ABB1.∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面A1ABB1.[答题模板]解决这类问题的答题模板如下：3．如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，M为A1B1的中点．(1)证明：MC⊥AB；(2)若AA1＝26，侧棱CC1上是否存在点P，使得MC⊥平面ABP？若存在，求PC的长；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：取AB的中点N，连接MN，CN，则MN⊥底面ABC，MN⊥AB.因为△ABC是正三角形，所以NC⊥AB.因为MN∩NC＝N，MN⊂平面MNC，NC⊂平面MNC，所以AB⊥平面MNC，所以AB⊥MC.(2)由(1)知MC⊥AB，若存在点P使得MC⊥平面ABP，则必有MC⊥BP.过M作MQ⊥B1C1，垂足为Q，连接QC，则QC是MC在平面BCC1B1内的射影，只需QC⊥BP即可，此时Rt△QC1C与Rt△PCB相似，QC1C1C ＝PCCB，所以PC＝QC1·CBC1C＝3×426＝6，点P恰好是CC1的中点．。
高考立体几何知识点与题型精讲
高考立体几何知识点与题型精讲在高考数学中，立体几何是一个重要的板块，它不仅考查学生的空间想象能力，还对逻辑推理和数学运算能力有较高要求。
接下来，咱们就一起深入探讨一下高考立体几何的知识点和常见题型。
一、知识点梳理1、空间几何体的结构特征（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。
（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。
（3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。
2、空间几何体的表面积和体积（1）圆柱的表面积：S ＝2πr² ＋2πrl （r 为底面半径，l 为母线长）。
体积：V ＝πr²h （h 为高）。
（2）圆锥的表面积：S ＝πr² ＋πrl 。
体积：V ＝1/3πr²h 。
（3）球的表面积：S ＝4πR² 。
体积：V ＝4/3πR³ 。
3、空间点、直线、平面之间的位置关系（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
4、直线与平面平行的判定与性质（1）判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
（2）性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
5、平面与平面平行的判定与性质（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
6、直线与平面垂直的判定与性质（1）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
（2）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
7、平面与平面垂直的判定与性质（1）判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
高中几何题型及解题方法
高中几何题型及解题方法
一、高中几何的基本概念和分类
高中几何是数学中的一门重要分支，主要研究空间中点、线、面及其相关性质。
根据研究对象的不同，高中几何可以分为以下几类：平面几何、立体几何、解析几何。
二、高中几何题型的特点和分类
高中几何题目种类繁多，大致可以分为以下几类：
1.证明题：要求根据已知条件和公理、定理，证明某一结论。
2.计算题：要求根据已知条件和公式，计算出未知量的值。
3.作图题：要求根据已知条件和要求，完成图形绘制。
4.分析题：要求分析几何图形的性质和关系，找出规律。
三、高中几何解题方法的概述
解题方法可以分为两类：一类是利用几何图形的性质直接解题，另一类是运用数学公式和定理推导解题。
在解题过程中，要学会观察、分析和转化问题。
四、针对不同题型的解题策略和技巧
1.证明题：首先要熟悉证明的格式和要求，理清思路，根据已知条件和定理逐步推导。
2.计算题：要熟练掌握公式和计算方法，注意步骤的严谨性。
3.作图题：要熟练画图技巧，注意图形规范，正确表达题目要求。
4.分析题：要善于从图形中发现线索，运用逻辑思维分析问题。
五、高中几何的学习建议和注意事项
1.打好基础，熟悉基本概念、定理和公式。
2.多做练习，提高解题能力和熟练度。
3.学会分类总结，梳理知识点和解题技巧。
4.注重课堂学习和自主学习，勤于思考和提问。
5.及时复习，巩固学过的内容，避免遗忘。
通过以上分析，我们可以发现高中几何的学习关键在于掌握基本概念、定理和公式，以及运用恰当的解题方法。
高中数学 立体几何知识点及解题思路
第一章 空间几何体一、常见几何体的定义能说出棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的定义和性质。
二、常见几何体的面积、体积公式1.圆柱：侧面积rl cl S π2==侧 （其中c 是底面周长，r 是底面半径，l 是圆柱的母线，也是高）表面积)(2222l r r r rl S S S +=⋅+=+=πππ底侧表h r sh V 2π==柱体2.圆锥：侧面积rl cl S π==21侧 （其中c 是底面周长，r 是底面半径，l 是圆锥的母线） 表面积)(2l r r r rl S S S +=+=+=πππ底侧表 h r sh V 23131π==椎体 3.圆台：侧面积l R r l R r S )(2)22(+=+=πππ侧 （其中r 、R 是上下底面半径，l 是圆台的母线） 表面积)()(2222R r Rl rl R r l R r S S S +++=+++=+=ππππ底侧表 h S S S S V )(31''++=台体 （其中'S 、S 是上下底面面积，h 是圆台的高） 4.球：表面积24R S π=表，体积334R V π=球 三、直观图：会用斜二侧画法画出平面图形的直观图。
画法步骤：①在原图中画一个直角坐标系，在新图中画一个夹角为45°的坐标系； ②与x 轴平行的线段仍然与x 轴平行，长度不变；与y 轴平行的线段仍然与y 轴平行，但是长度减半。
四、三视图1.投影：光线照射物体留在屏幕上的影子。
①中心投影：光由一点向外散射形成的投影。
②平行投影：在平行光线照射下形成的投影。
③正投影：光线正对着投影面时的平行投影。
2.三视图：正视图：光线从前向后的正投影；侧视图：光线从左向右的正投影；俯视图：光线从上向下的正投影。
三视图的性质：侧视图和正视图的高相同；俯视图和正视图的长相同；侧视图和俯视图的宽相同。
第二章：点、直线、平面之间的位置关系 一、立体几何中的公理与基本关系1.平面公理：公理1：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
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高中数学空间几何解题思路及常见题型
在高中数学中，空间几何是一个重要的考点，也是许多学生感到困惑的地方。
本文将介绍一些解题思路和常见题型，帮助学生更好地理解和应对空间几何问题。
一、解题思路
1. 空间几何问题的解题思路可以分为几个步骤：观察、分析、建立数学模型、
求解、验证。
首先，我们需要仔细观察题目中给出的条件和图形，理解题目的要求。
然后，根据观察到的条件，进行分析，找出问题的关键点。
接下来，我们需要建立数学模型，将问题转化为数学表达式或方程。
然后，求解数学模型，得到问题的答案。
最后，我们需要验证答案是否符合题目的要求，确保解答的准确性。
2. 在解决空间几何问题时，我们还可以利用几何图形的性质和定理进行推理。
例如，对于平面几何问题，我们可以利用平行线的性质、三角形的性质、相似三角形的性质等进行推理。
对于立体几何问题，我们可以利用平行面的性质、垂直面的性质、平行线与平面的交点等进行推理。
熟练掌握这些性质和定理，可以帮助我们更好地解决问题。
二、常见题型
1. 空间几何的投影问题
投影问题是空间几何中的常见题型之一。
在解决投影问题时，我们需要找到物
体在不同位置上的投影，并根据投影的性质进行分析。
例如，已知一个立方体在某个平面上的投影是一个正方形，我们可以利用正方形的性质推导出立方体的一些性质，如边长、体积等。
2. 空间几何的相交问题
相交问题是空间几何中的另一个常见题型。
在解决相交问题时，我们需要找到
两个或多个几何图形的交点，并根据交点的性质进行分析。
例如，已知两个平面相
交于一条直线，我们可以利用直线的性质推导出平面的一些性质，如夹角、平行性等。
3. 空间几何的距离问题
距离问题是空间几何中的常见题型之一。
在解决距离问题时，我们需要计算两
个点之间的距离，并根据距离的性质进行分析。
例如，已知一个点到一条直线的距离等于该点到另一条直线的距离，我们可以利用距离的性质推导出直线的一些性质，如平行性、垂直性等。
4. 空间几何的体积问题
体积问题是空间几何中的另一个常见题型。
在解决体积问题时，我们需要计算
物体的体积，并根据体积的性质进行分析。
例如，已知一个正方体的体积是8立方厘米，我们可以利用体积的性质推导出正方体的一些性质，如边长、表面积等。
三、举一反三
通过以上介绍的解题思路和常见题型，我们可以举一反三，应用到更复杂的空
间几何问题中。
例如，已知一个四面体的顶点坐标和体积，我们可以利用解题思路中的建立数学模型和求解方法，计算出四面体的其他性质，如底面积、高度等。
又如，已知一个球的表面积和体积，我们可以利用解题思路中的观察和分析方法，推导出球的半径和直径等。
总结起来，解决空间几何问题需要遵循一定的解题思路，同时掌握空间几何的
性质和定理。
通过熟练运用这些方法和技巧，我们可以更好地解决空间几何问题，提高数学解题的能力。
希望本文对高中学生和家长有所帮助，提升他们在空间几何方面的理解和应用能力。