《工程数学》教案19连续型随机变量的数学期望
2019年概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征第一节数学期望.ppt
三、随机变量函数的数学期望
使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的 分布，一般是比较复杂的 . 那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的 分布求得E[g(X)]呢？
于是
1 1 (1 n)n n 1 E(X) k n 2 n 2 k 1
n
二、连续型随机变量的数学期望
定义2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，如
果积分
绝对收敛，则称该积分的值
为随机变量X的数学期望或者均值，记为EX，即
如果积分
发散，则称X的数学期
望不存在。
二、连续型随机变量的数学期望
随机变量的数字特征
第一节 数学期望
在第二章中，我们讨论了随机变量及其分布， 如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概 率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确 定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随 机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特 征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字 特征是重要的 . 常用的数字特征：数学期望，方差.
E (5 X ) 5 E ( X ) 5 0.45 2.25 (元).
设寿命 X 服从指数分布, 概率密度为 1 x 10 , x 0, e f ( x ) 10 x 0. 0, 试求该商店一台家用电 器收费 Y 的数学期望.
二、连续型随机变量的数学期望
1 x 10 0.1 1 e 0.0952, dx 解： P{ X 1} e 0 10 2 1 x 10 P{1 X 2} e dx 1 10 e 0.1 e 0.2 0.0861,
《工程数学》教案20期望的简单性质
《工程数学》教案20期望的简单性质教案编号：《工程数学》教案20教学时长：2课时教学目标：1.理解期望的定义；2.掌握期望的简单性质；3.能够灵活运用期望的性质解决实际问题。
教学重点：理解和运用期望的简单性质。
教学难点：能够灵活运用期望的性质解决实际问题。
教学准备：教材、教具、示例题、习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1.引导学生思考：我们之前学过了期望的定义是什么？期望的定义有哪些特点？2.学生回答问题，引出本节课的主题。
二、讲解期望的简单性质（10分钟）1.定理1：期望的线性性质。
设X、Y是两个随机变量，a、b是常数，则E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)。
2.解释定理1的意义和应用场景。
3.示例1：人投硬币，硬币正面出现的概率为p，反面出现的概率为1-p。
X表示正面朝上的次数，Y表示反面朝上的次数。
求E(X+Y)。
4.讲解示例1的解题过程。
三、讲解期望的简单性质（续）（15分钟）1.定理2：独立事件的期望。
设X、Y是两个相互独立的随机变量，则E(XY)=E(X)E(Y)。
2.解释定理2的意义和应用场景。
3.示例2：人投掷两颗骰子，X表示第一颗骰子的点数，Y表示第二颗骰子的点数。
求E(XY)。
4.讲解示例2的解题过程。
四、讲解期望的简单性质（续）（15分钟）1.定理3：加法法则。
设A、B是两个事件，X是随机变量，定义随机变量I(A)如下：I(A)=1，若A发生；I(A)=0，若A不发生。
则E(X)=E(XI(A))+E(XI(B))-E(XI(AB))。
2.解释定理3的意义和应用场景。
3.示例3：君每天开车上班，出门晚了会遇到交通拥堵，造成他迟到的概率为p，不迟到的概率为1-p。
X表示他是否迟到，Y表示他遇到交通拥堵。
求E(X)。
4.讲解示例3的解题过程。
五、练习（20分钟）1.出示练习题，要求学生独立完成。
2.学生上台讲解解题思路和方法。
3.引导学生思考，如何运用期望的简单性质解决实际问题。
《工程数学》教案17连续型随机变量
《工程数学》教案17连续型随机变量教案编号：《工程数学》教案17教学目标：1.了解连续型随机变量及其特点。
2.理解连续型随机变量的概率密度函数及其性质。
3.学会计算连续型随机变量的概率、期望和方差。
教学重点：1.连续型随机变量的概率密度函数及其性质。
2.连续型随机变量的期望和方差的计算。
教学难点：1.连续型随机变量的概率密度函数及其性质的理解。
2.连续型随机变量的期望和方差的计算方法的掌握。
教具准备：教材、黑板、彩色粉笔、PPT教学过程：Step 1：导入新知识（10分钟）1.向学生介绍连续型随机变量的概念，并与离散型随机变量进行对比。
2.引导学生思考连续型随机变量与离散型随机变量的区别，以及为何需要引入连续型随机变量的概念。
Step 2：连续型随机变量的概念（15分钟）1.介绍连续型随机变量的定义，并解释连续型随机变量的特点。
包括无法列举所有可能的取值、概率不是点概率而是区间概率等。
2.通过实例引导学生理解连续型随机变量的概念。
Step 3：连续型随机变量的概率密度函数（20分钟）1.定义连续型随机变量的概率密度函数。
2.介绍概率密度函数的性质：非负性、归一性和非负可积性。
3.通过实例演示如何求解连续型随机变量的概率。
Step 4：连续型随机变量的期望和方差（25分钟）1.介绍连续型随机变量的期望和方差的定义。
2.讲解期望和方差的计算方法，包括定积分法和变量变换法。
3.通过实例演示如何计算连续型随机变量的期望和方差。
Step 5：练习与讨论（20分钟）1.分发练习题，让学生在课堂上独立完成。
2.指导学生讨论练习题答案，解答学生的问题。
Step 6：小结（10分钟）1.对本节课的内容进行总结，强调连续型随机变量的概念及其概率密度函数的性质。
2.提醒学生复习重点内容，做好课后的预习准备。
教学反思：连续型随机变量是概率论中的一个重要概念，对于工程数学的学习和应用有着重要意义。
本节课通过引导学生思考和实例演示的方式，帮助学生理解了连续型随机变量及其概率密度函数的概念和性质，以及如何计算连续型随机变量的期望和方差。
连续型随机变量的数学期望与方差
(1)D( )
E[
E( )]2
[x
E( )]2
p( x)dx
(2)方差的简便计算公式
D( )=E（ 2） E（2 ）
x2 p(x)dx
x p( x)dx
例2 随机变量的概率密度函数
6x(1 x)，当0 x 1
p(x)
0
当x 0或x 1时
求随机变量的方差。
12
4、方差的性质 设 k ,b,c均为常数，则有
E( ) xp(x)dx
15
2、数学期望的性质
(1)EaX b aEX b
(2)EaX aEX
(3)EX b EX b
(4)Eb b
(5)EX Y EX EY
(6)E( f ( )) f (x)p(x)dx
(6)E f ( ) f (xk )PK
k
16
（二）连续型随机变量ξ取值的方差
(1)D(c) 0
(2)D(k ) k 2D( ) (3)D( b) D( )
(4)D(k b) k 2D( )
13
下页
三、练习
• 课本第90页 第6题
14
四、小结 （一）连续型随机变量ξ取值的数学期望
1、连续型随机变量的数学期望的定义 p(x) 设连续型随机变量 的密度函数为
若积分 xp(x绝)d对x 收敛，则 的数学期望为：
x0 x1 x2 L xn
xi xi1 xi
b i
【xi
,
xi
）
+1
y p(x)
o
x0b0 x1 xi bi xi1
xn x
6
连续型随机变量ξ的概率分布
ξ 【x0 , x1）【x1, x2）
大学生工程数学概率论教案
一、教学目标1. 让学生掌握概率论的基本概念、性质和运算方法。
2. 培养学生运用概率论解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和严谨的数学素养。
二、教学内容1. 概率论的基本概念：样本空间、事件、概率、条件概率、独立事件。
2. 概率运算：加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。
3. 随机变量及其分布：离散型随机变量、连续型随机变量、分布函数、期望、方差。
4. 大数定律与中心极限定理。
三、教学过程第一课时：概率论的基本概念1. 导入新课：通过生活中的实例引入概率论的基本概念。
2. 讲解样本空间、事件、概率等基本概念。
3. 通过实例讲解概率的运算方法，如加法公式、乘法公式等。
4. 课堂练习：让学生完成课后习题，巩固所学知识。
第二课时：条件概率与独立事件1. 复习上节课的内容，讲解条件概率与独立事件的定义。
2. 通过实例讲解条件概率的计算方法。
3. 讲解独立事件的性质和计算方法。
4. 课堂练习：让学生完成课后习题，巩固所学知识。
第三课时：随机变量及其分布1. 复习上节课的内容，讲解随机变量的定义。
2. 讲解离散型随机变量和连续型随机变量的分布函数。
3. 讲解期望、方差等基本统计量。
4. 课堂练习：让学生完成课后习题，巩固所学知识。
第四课时：大数定律与中心极限定理1. 复习上节课的内容，讲解大数定律和中心极限定理。
2. 通过实例讲解大数定律和中心极限定理的应用。
3. 课堂练习：让学生完成课后习题，巩固所学知识。
第五课时：概率论在实际问题中的应用1. 复习前四节课的内容，讲解概率论在实际问题中的应用。
2. 通过实例讲解概率论在工程、经济、医学等领域的应用。
3. 课堂讨论：让学生分组讨论概率论在实际问题中的应用，并分享讨论成果。
四、教学评价1. 课后作业：检查学生对基本概念、性质和运算方法的掌握程度。
2. 课堂练习：观察学生在课堂上的表现，了解学生对知识点的理解程度。
3. 课堂讨论：评估学生在实际应用中的分析能力和团队协作能力。
4.2 连续型随机变量的数学期望
1
xe
(
x )2 2 2
dx
2
故此项积分为0.
t x
1ຫໍສະໝຸດ t2( t )e 2 dt
2
N(0,1) 的 密 度 函 数 的归1性，积分为1.
t2
te 2 dt
1
t2
e 2 dt
2
2
+
定义：设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x)，如果 xf ( x)dx
+
绝对收敛，则称 xf ( x)dx 的值为X的数学期望，记为E(X)
+
即 E( X ) xf ( x)dx
+
如果积分 | x | f ( x)dx 发散，则称随机变量X的数学期望不存在.
EX
n
kP( X
k0
k)
n
kC
k n
k0
pk (1
p)nk
n
k
k 1
n! k !(n k)!
pk (1
p)nk
n
np
(n 1)!
pk 1 (1 p)(n1)(k1)
k1 (k 1)!(n k )!
l k 1 n1
np
一、连续型随机变量的数学期望
设：X是连续型随机变量，密度函数为f (x). 问题：如何寻找一个体现随机变量平均值的量.
阴影面积近 似为 f (xi)xi
将X离散化. 在数轴上取等分点：… x2< x1< x0 <x1<x2<… xi+1−xi=x，i=0,1,…., 并设xi都是f(x)的连续点. 则
概率论与数理统计4.2连续型随机变量的数学期望
例11 设(X,Y )服从以点 (0, 0), (0, 2), (1, 0)为顶点的三角形区域 A上
的均匀分布,试求函数 Z XY的数学期望.
解 三角形区域 A 如图3-1, 易知 A 的面积为1，故
1 (x, y) D f (x, y) 0 其它
y 2
A O
x y 1 2
1 x
河北农业大学理学院
EX=
xf X (x)dx
而
同理
河北农业大学理学院
二维连续型随机变量数学期望的例题分析
例 1 已知 X,Y的联合密度函数
求，EX,EY 解：
同理
y
y=x
0
1
x
河北农业大学理学院
概率论与数理统计
连续型随机变量函数的数学期望
二维连续型随机变量函数的数学期望
E(g(X )) g(x) f (x)dx
b
a
x [a,b]
0
其它
所以
EX=
xf (x)dx
b a
x
b
1abd1xa21
a
x
2bb 2a
河北农业大学理学院
一维连续型随机变量数学期望的例题分析
例1 设随机变量X服从参数为λ的指数分布,求EX.
解
X的概率密度函数为
ex
f (x)
0
x0 x0
所以,
EX=
xf (x)dx
xexdx xd (ex )
连续型随机变量函数的数学期望例题分析
于是
E(Z) E(XY )
xy f (x, y)dxdy
y 21Biblioteka 2 (1 x )xydxdy 0 dx 0 xydy A
概率论与数理统计：连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望下面我们考虑连续型随机变量的数学期望，连续型随机变量的数学期望的定义和含义完全类似于离散型场合，用密度函数代替分布列，积分代替和式，就可以把离散型场合推广到连续场合.【引例】（正态分布）设随机变量2~(,)X N μσ,X 的数学期望如何求呢？ 连续型随机变量的数学期望定义4.2 设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ．若积分()d x f x x +∞-∞⎰收敛,则称积分()d xf x x +∞-∞⎰为随机变量X 的数学期望，简称期望或均值,记为()E X ,即()()d E X xf x x+∞-∞=⎰．若积分()d x f x x +∞-∞⎰不收敛,则称随机变量X的数学期望不存在．注 （1）数学期望)(X E 是一个实数，它由分布唯一确定；（2）数学期望)(X E 的数学解释就是X 加权平均，权就是密度函数，若X 表示价格，则)(X E 表示平均价格，从分布观点看数学期望，则数学期望是分布的重心位置；（3）定义中要求积分dx x xf ⎰+∞∞-)(绝对收敛，其原因同离散型情形一样.例4.4 设随机变量X 服从柯西分布,其概率密度为21()()π(1)f x x x =-∞<<+∞+, 试证：X 的数学期望不存在． 证明 因为2201()d d 2d π(1)π(1)xx f x x x x x x x +∞+∞+∞-∞-∞=⋅=++⎰⎰⎰ 201ln(1)πx +∞=+=+∞，即()d x f x x +∞-∞⎰不收敛,所以()E X 不存在.例4.5（均匀分布）设随机变量X 在区间(,)a b 上服从均匀分布,求()E X .解 随机变量X 的概率密度为1,,()0,a x b f x b a ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其他,则1()()d d 2baa bE X xf x x x x b a +∞-∞+==⋅=-⎰⎰ 例4.6（指数分布）设随机变量X 服从参数为θ指数分布,其概率密度为11e 0()00x x f x x θθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，， 0θ>,求()E X .解 11101()()d ed eed exxxxE X xf x x x x x x θθθθθθθ----+∞+∞+∞-∞+∞+∞===-+=-=⎰⎰⎰例4.7（正态分布）设随机变量2~(,)X N μσ,求()E X . 解X 的概率密度为22()2(),x f x x μσ--=-∞<<+∞,因而22()2()()d d x E X xf x x x x μσ--+∞+∞-∞-∞==⎰⎰，令x t μσ-=,则2222()d d t t E X t t μσμ+∞+∞---∞-∞=+=⎰⎰ *柯西分布 2111)(x x f +⋅=π，由于+∞=∞++=+=+=⎰⎰⎰∞+∞+∞-∞+∞-0)1ln(1)1(2)1(1)(2022x dx x xdx x xdx x f x πππ故柯西分布的数学期望不存在，可见并不是所有的连续型随机变量的数学期望都是存在的.小结上面的结果，有下面公式例4.8 设某种电子元件的寿命X （以年计）具有概率密度函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<-≤≤=其它,043,2230,6)(x x x xx f求这种元件的平均寿命。
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《工程数学》教案19连续型随机变量的数学期望
教学目标：
1、了解连续型随机变量的概念及其特点；
2、掌握连续型随机变量的数学期望的求解方法。
教学内容：
一、连续型随机变量的概念及特点
连续型随机变量是指取值在一个区间内的随机变量。
与离散型随机变量不同，连续型随机变量的取值可以是无数个，因此其概率密度函数（PDF）具有一定的连续性。
二、连续型随机变量的数学期望的定义
对于连续型随机变量X，其数学期望E(X)可以通过积分的方式进行计算。
数学期望表示了随机变量在平均情况下的取值，并且是一个常数。
三、连续型随机变量的数学期望的计算方法
1、如果概率密度函数f(x)在x=a和x=b处连续，并且在[a,b]区间内可积，那么连续型随机变量X在该区间内的数学期望可以通过以下公式计算：
E(X) = ∫(a到b) x * f(x) dx
2、如果概率密度函数f(x)在整个实数轴上连续并可积，那么连续型随机变量X的数学期望可以通过以下公式计算：
E(X) = ∫(-∞到+∞) x * f(x) dx
四、例题讲解
例题1：
已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)=(3/2)*(x-1)，0<x<2，求X的数学期望。
解：根据连续型随机变量的数学期望的计算方法，可以得出：
E(X) = ∫(0到2) x * f(x) dx
= ∫(0到2) x * (3/2)*(x-1) dx
= ∫(0到2) (3/2)*(x^2-x) dx
=(3/2)*[x^3/3-x^2/2]在0到2之间的值
=(3/2)*[(8/3)-2/2-0]
=(3/2)*[(8/3)-1]
=(3/2)*(5/3)
=5/2
因此，X的数学期望为5/2
五、教学设计
1、引入：通过提问和讲解的方式引导学生回顾离散型随机变量的数
学期望的计算方法，并带入连续型随机变量的背景，引出连续型随机变量
的概念。
2、知识讲解：对连续型随机变量的概念和数学期望的定义进行详细
讲解，并结合具体例子进行说明。
3、方法演示：通过示范计算例题的方式，演示连续型随机变量数学期望的计算方法，并详细解读每一步的操作和思路。
4、练习：让学生进行练习，解决几道与连续型随机变量的数学期望相关的例题，巩固所学知识。
5、总结：对本节课的要点进行总结，强调连续型随机变量数学期望的求解方法和注意事项。
六、课后作业
练习题：
1、已知连续型随机变量X的概率密度函数为
f(x)=(1/π)*(1/(1+x^2))，求X的数学期望。
2、已知连续型随机变量X服从标准正态分布，求X的数学期望。
3、已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x) = ae^(bx)，
0<x<∞，其中a和b是常数，求X的数学期望。
拓展题：
4、已知连续型随机变量X的概率密度函数为
f(x)=(4/π)*(1/(1+x^2))，求X的数学期望。
5、已知连续型随机变量X的概率密度函数为
f(x)=(6/π^2)*(1/(1+x^2))，求X的数学期望。
教学反思：
通过本节课的教学，学生能够了解连续型随机变量的概念及其特点，并掌握了连续型随机变量的数学期望的求解方法。
在教学过程中，通过引
入、讲解、演示和练习等多种教学手段结合使用，提高了学生对知识的理解和运用能力。
此外，通过课后作业的设计，能够进一步巩固学生对连续型随机变量数学期望的求解方法的掌握程度。