运营管理排队模型公式推导
§3MMs排队模型
word§3 M/M/s排队模型一、单服务台模型(即M/M/1/∞/∞或 M/M/1) 到达间隔: 负指数(参数为λ:到达率)分布; 服务时间: 负指数(参数为μ:服务率)分布; 服务台数: 1;系统容量: 无限;排队长度(客源): 无限;服务规如此: FCFS.1. 队长的分布word设{}n p P N n ==0,1,2,...n =为系统平稳后队长N 的概率分布, 如此由 (1) 12011......n n n n n C λλλμμμ---=, 1,2,...n =(累积服务率) (2) 011(1)nn p C ∞==+∑ (无客的概率) (3) 0n n p C p =, 1,2,...n = (有n 客的概率)word与n λλ=,0,1,2,...n =和n μμ=,1,2,...n =, 并记λρμ=(服务强度, 一般1ρ<) 可得wordn n n C λρμ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 1,2,...n = 故有 0n n p p ρ=, 1,2,...n =其中 011(1)nn p C ∞==+∑11(1)n n ρ∞==+∑word110111n n ρρρ--∞=⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑. 因此 (1)n n p ρρ=-,0,1,2,...n =.无客的概率: 01p ρ=-,至少有一客的概率ρ 服务台处于忙的概率=繁忙程度(即服务强度)=服务机构的利用率word如单位时间,2λ=, 5μ=,如此,即40%在忙.2. 几个主要指标(1) 系统中平均顾客数=平均队长wordword(2) 系统中等待的平均顾客数=平均排队长.可以证明(见第二版P328的注释)在M/M/1中, 顾客在系统中逗留时间服从参数为的word负指数分布, 即密度分布函数:()()(),0.t f t e t μλμλ--=-≥ 分布函数:()()()1,0.t F t P T t e t μλ--=≤=-≥ 于是得(3) 在系统中顾客平均逗留时间1[]W E T μλ==-;word(4) 在队列中顾客平均等待时间 因为 逗留时间=等待时间q T +服务时间V , 即q T T V =+ 故1()()q q W E T E V W μ=+=+, 从而得1q W W W ρρμμλ=-==-word另外还可得到(时间与空间关系):L W λ=和q q L W λ=这两个常称为Little 公式.各公式可记忆如下:由λ和μ 服务效率λρμ=,word从逗留时间1W μλ=-→等待时间q W W ρ= 队长L W λ=→排队队长q L L ρ=或q q L W λ=还可导出关系1q W W μ=+和1q L L λμ=+word3. 服务机构的忙期B和闲期I分析(1) 因为忙期=至少一客的概率ρ, 闲期=无客的概率1ρ-→忙期时间长度/闲期时间长度=1ρρ-(2) 因为忙闲交替,次数平均→平均忙期时间长度/平均闲期word时间长度=1ρρ-→1BIρρ=-.(3) 又由分布无记忆性和到达与服务相互独立性→任闲时刻起,下一客到达间隔仍为λ负指数分布→平均闲期=下一客到达间隔1λ→1Iλ=→平均忙期=111B Wρρλμλ=⋅==--word即顾客平均逗留时间, 实际意义是明显的.例1一个铁路列车编组站, 设待编列车到达时间间隔负指数分布, 平均到达率2列/h; 编组时间服从负指数分布, 平均20min 可编一组. 编组站上共有2股道, 当均被占用时, 不能接车, 再来的列车只能停在站外或前方站. 求word(1) 在平稳状态下系统中列车的平均数;(2) 每一列车的平均停留时间;(3) 等待编组的列车的平均数.如果列车因站中的2股道均被占用而停在站外或前方站时, 每列车的费用为a 元/h, 求每天由于列车在站外等待而造成的损失.解 这里 2λ=,3μ=,213λρμ==<word(1) 列车的平均数21L ρρ==-(小时) (2) 列车的平均逗留时间 212L W λ===(小时) (3) 等待编组的列车平均数word24233q L L ρ=-=-=(列) (4) 等待编组时间 23q W W ρ==(小时) (5) 记列车平均延误(2道满,不能进站)时间为0W ,如此0012{2}(1)W W P N W p p p =⋅>=⋅---word3320.2963ρ⎛⎫=== ⎪⎝⎭(小时) 故每天列车由于等待而支出的平均费用 0242420.29614.2E W a a a λ==⨯⨯⨯=(元).例2 某修理店只有一个修理工, 来修理的顾客到达过程为Poisson 流, 平均4人/h; 修理时间服从word负指数分布, 平均需要6 min. 试求:(1) 修理店空闲的概率;(2) 店内恰有3个顾客的概率;(3) 店内至少有1个顾客的概率;(4) 在店内的平均顾客数;(5) 每位顾客在店内的平均逗留时间;(6) 等待服务的平均顾客数;(7) 每位顾客平均等待服务时间;word(8) 顾客在店内等待时间超过10min 的概率. 解这里 4λ=,1/0.110μ==,215λρμ==< (1) 修理店空闲的概率0112/50.6p ρ=-=-=(2) 店内恰有3个顾客的概率word33332(1)10.03855p ρρ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(3) 店内至少有1个顾客的概率0{1}12/50.4P N p ρ≥=-===(4) 在店内的平均顾客数2/50.67112/5L ρρ===--(人)word(5) 每位顾客在店内的平均逗留时间0.6710(min)4LW λ==≈ (6) 等待服务的平均顾客数0.40.670.268q L L ρ==⨯=(人)(7) 每位顾客平均等待服务时间0.2684(min)4qq L W λ==≈word(8) 顾客在店内等待时间超过10min 的概率.11101615{10}0.3679P T ee ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭>===.二、多服务台模型(即M/M/s/∞/∞ 或 M/M/s) 到达间隔: 负指数(参数为λ:到达率)分布;单台服务时间: 负指数(参数为μ:服务率)分布; 服务台数: s; 12s μμμμ====word系统容量: 无限;排队长度(客源): 无限; 服务规如此: FCFS.数据分析设{}n p P N n ==0,1,2,...n =为系统平稳后队长N 的概率分布, 如此服务台队列⋅⋅⋅⋅⋅⋅μ1μ2sμs 个word,0,1,2,...n n λλ==和系统的服务率,1,2,3,...,,,1,...n n n ss n s s μμμ=⎧=⎨=+⎩记s ss ρλρμ==, 如此当1s ρ<时, 不至越排越长,word称s ρ为系统的服务强度或服务机构的平均利用率. 由前面的(1),(2)和(3)公式得(/),1,2,3,...,!(/)(/),!!nn s n s nn s n s n C n ss s s s λμλμλλμμ--⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪=≥ ⎪⎪⎝⎭⎩故word00,1,2,3,...,!,!nn nn sp n s n p p n ss s ρρ-⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 其中1100!!(1)n s s n s p n s ρρρ--=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦∑.当n s ≥时, 顾客要等待. 记这个等待的概率为word0(,)!(1)sn n ss c s p p s ρρρ∞===-∑称为Erlang 等待公式. (1) 平均排队长011()()!sn sq n sn s n s p L n s p n s s ρρ∞∞-=+=+=-=-∑∑0021d !d !(1)s s n s s s n s sp p s s ρρρρρρρ∞=⎛⎫== ⎪-⎝⎭∑word或(,)1sq sc s L ρρρ=-.(2) 正在承受服务的顾客的平均数1s n n n n ss np s p -∞===+∑∑1000!!(1)n ss n s n p s p n s ρρρ-==+-∑word11101(1)!(1)!(1)n s s n s p n s ρρρρρ---=⎡⎤=+=⎢⎥---⎣⎦∑s 与s 无关. 奇!(3) 平均队长L =平均排队长+平均承受服务的顾客数q L ρ=+.对多台服务系统, 仍有Little 公式:word L W λ=, 1q q L W W λμ==-例3 考虑一个医院医院急诊的管理问题. 根据统计资料, 急论据病人相继到达的时间间隔服从负指数分布, 平均每0.5h 来一个; 医生处理一个病人的时间也服从负指数分布, 平均需要20min. 该急word诊室已有一个医生, 管理人员现考虑是否需要再增加一个医生.解 这是一个M/M/s/∞模型, 有2λ=,3μ=,23λρμ==, 1,2s = 由前面的公式, 结果列表如下指标 模型 s=1 s=2 空闲的概率p 005word 有1个病人的概率p1有2个病人的概率p2平均病人数L平均等待病人数L q2病人平均逗留时间W病人平均等待时间W q1病人需要等待的概率P{T q>0} 0.667(=1p0) 0.167(=1p0p1)等待时间超过0.5小时的概率P{T q>0.5}等待时间超过1小时的概率P{T q>1}如果是一个医生值班, 如此病人等待时间明显长.word结论是两个医生较适宜.例4某售票处有三个窗口,顾客的到达服从泊松过λ=人/min. 服务(售票)程,平均到达率每分钟0.9μ=人/min. 时间服从负指数分布, 平均服务率0.4现设顾客到达后排成一队,依次向空闲的窗口购票,这是M/M/s模型, 其中word2.2533,2.25,134s s s λλρμμ=====< 由公式可得:(1) 整个售票处空闲概率1100!!(1)n s s n s P n s ρρρ--=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦∑ 0012310.07482.25 2.25 2.25 2.2510!1!2!3!1 2.25/3p ==+++-word(2) 平均排队长02!(1)s sq s p L s ρρρ=-320.0748 2.253/4 1.703!(1/4)q L ⨯⋅==(人)平均队长:/ 1.7 2.25 3.95q L L λμ=+=+=(人)(3) 平均等待时间word 1.70 1.890.9q q L W λ===(min)平均逗留时间1/ 1.891/0.4 4.39q W W μ=+=+=(分钟)(4) 顾客到达后必须等(即系统中顾客数已有3)的概率30 2.250.0748(3,2.25)0.57!(1)3!1/4s s p c s ρρ⋅⋅===-⋅.word在上例中, 假如顾客到达后在每个窗口前各排一队,且中途不换队, 如此M/M/3/∞ 3个M/M/1/∞ 如如下图所示(b).10.4μ=窗口0.3λ=(b)0.4μ=窗口20.4μ=窗口310.4μ=窗口0.9λ=0.4μ=窗口20.4μ=窗口3(a)0.9λ=0.3λ=0.3λ=word 每个队的平均到达率为1230.9/30.3λλλ====(人/分钟)结果比拟如下指标模型M/M/3 M/M/1服务台空闲的概率P00.25(每个子系统) 顾客必须等待的概率P(n≥平均排队长Lq 2.25(每个子系统) 平均队长 L 9.00(整个系统) 平均逗留时间 W 4.39(分钟) 10(分钟)平均等待时间 Wq 1.89(分钟) 7.5(分钟)word单队比三队优越.百度知道编组站是铁路网上集中办理大量货物列车到达、解体、编组出发、直通和其它列车作业，并为此设有比拟完善的调车作业的车站。
排队模型——精选推荐
排队模型一 1. 一般的排队过程为：顾客由顾客源出发，到达服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服务后就离开。
排队过程的一般过程可用下图表示。
我们所说的排队系统就是指图中方框所包括的部分:在现实生活中的排队现象是多种多样的，对上面所说的“顾客”和“服务员”要作广泛的理解。
它们可以是人，也可以是某种物质或设备。
排队可以是有形的，也可以是无形的。
尽管排队系统是多种多样的，但从决定排队系统进程的因素来看，它有三个基本的组成部分，这就是输入过程、排队规则及服务机构.1)输入过程：描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。
包括：顾客源中顾客的数量是有限还是无限；顾客到达的方式是单个到达还是成批到达；顾客相继到达的间隔时间分布是确定型的还是随机型的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳。
2)排队规则：描述顾客排队等待的队列和接受服务的次序。
包括：即时制还是等待制；等待制下队列的情况（是单列还是多列，顾客能不能中途退出，多列时各列间的顾客能不能相互转移）；等待制下顾客接受服务的次序（先到先服务，后到先服务，随机服务，有优先权的服务）。
3)服务机构：描述服务台(员)的机构形式和工作情况。
包括：服务台（员）的数目和排列情况；服务台（员）的服务方式；服务时间是确定型的还是随机型的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳。
2.到达和服务过程的模型2.1 到达过程的模型用表示第i 个顾客到达的时间,.i t 称为第i 个到达时间间隔.1i i T t t +=−i 我们用的特征来刻画顾客到达过程. 最常见的情况是独立同分布. 用X 表示这样的随机变量.12,,T T 12,,T T 如果X 服从参数为λ的指数分布.这时1()()i E T E X λ==即平均每隔1λ来一个顾客.换句话说,单位时间理平均有λ个顾客到来.称λ为到达速率. 用表示到时刻t 为止到达的顾客总数,则在上面的假设下()N t ()()N t P t λ∼.除了指数分布外,常用的还有爱尔朗分布,其密度函数为1()(), 0.(1)!k RxR Rx e f x x k −−=≥− 这时2(), ()i i k k E T D T R R==. k 叫形状参数, R 叫速率参数.当取λ使得R k λ=, 则爱尔朗分布可以看成是k 个独立的服从参数为λ的指数分布随机变量的和的分布.2.2服务过程的模型一般总是认为不同顾客接受服务占用的时间长短是相互独立的. 用Y表示一个客户接受服务的时间长短, 它是一个随机变量.若Y的分布是参数为μ的指数分布, 意味着一个顾客的服务时间平均为1μ. 单位时间里可以完成的平均顾客数为μ.若Y服从形状参数为k, 速率参数为R kμ=的爱尔朗分布, 则平均服务时间为1μ, 根据爱尔朗分布的性质, 可以将Y看作是k个相继子服务的总时间, 每个子服务都服从参数为1kμ的指数分布且相互独立.在排队论中,我们常用如下字母表示特定的到达时间间隔或服务时间分布:M: i.i.d. 指数分布D: i.i.d. 的确定分布E k: i.i.d. 的形参为k的爱尔朗分布GI: 到达时间间隔是i.i.d. 的某种一般分布G: 服务时间是i.i.d. 的某种一般分布在处理实际排队系统时，需要把有关的原始资料进行统计，确定顾客到达间隔和服务时间的经验分布，然后按照统计学的方法确定符合哪种理论分布。
排队论公式1
系统空闲的概率
系统有n个顾客的概率（顾客损失率）
系统至少有1个顾客的概率
顾客的有效到达率
系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均顾客数
（每位）顾客在店内的平均逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
排队论公式一
M/M/1/ /
标准模型
Po = l -
M/G/I/ q
1-Po= P = 7
-p
W n = W s
M/M/1/N/
系统容量有限模型
”=队伍容量+1
1 - p
P°= l- P N + 1
(N + 1)P N* 1
■■:
1=
(1 _
p。
)
L(|
W Q
=
■
入：每小时到达店内人数
卩：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数P：系统忙着的概率，
M/M/1/ q /m
顾客源有限模型
m=^统只有m+1种状态
1
Po =
p m!
zL(ni - i)! p
M/D/1/N/ 严 ------
m!
占=川-vU - P(1)
t q= 3 - (1 -弘)
⑷严-
t- w
tl
排队论公式二
M/M/C/ q /m
多服务台模型
单队，并列C个服务台
C 1
M/ /1/ q /m
(Cp)c p
L[l =C!(l - p
Ls
入：每小时到达店内人数
卩：每小时可以服务的人数，1/每名客户
服务时间的分钟数
P：系统忙着的概率，八命。
se运营管理35排队模型
•到达 •服务 •病人 •时间 •时间
•1 •0 •4 •2 •5 •4 •3 •10 •4 •4 •15 •4 •5 •20 •4 •6 •25 •4 •7 •30 •4 •8 •35 •4 •9 •40 •4 •10 •45 •4 •11 •50 •4
•12 •55 •4 •7:00
•7:10
•7:20
se运营管理35排队模型
等待是日常生活的一部分
•“这不有趣吗？”
排队(等待)现象
排队可以是顾客或工件等待服务或加工.
服务系统 生产系统
排队造成浪费
•为什么会出现排队现象？
•顾客
•到达
•顾客排队
• 服务设施
•顾客
•离开
服务设施的能力小于服务需求?
平均到达率（顾客/小时）高于平均服务率（顾客/小时）， 就像红酸果案例中的情况一样。
•Blocked calls •挂断的 calls
•(忙音)
•(等不及)
•丢失的call
•等待成本 •Goodwill损失 •Sales流失
•服务成本
•对财务的影响 •$$$ 收入 $$$
影响等待时间的因素
资源利用率 u 平均服务时间 p 变动性: CV ＝
CVa = 顾客到达的间隔时间的ＣＶ CVp = 服务时间的ＣＶ
另一种计算资源利用率的方法
资源利用率 =
实例：
平均到达率为每小时10位顾客； 每个服务台的平均服务时间为10分钟，这样一
个服务台平均一小时可以为6位顾客提供服务； 共有两个服务台； 因此服务台利用率为 10/(2*6) = 0.833 或者说
83.3%
•一个理想化的服务过程, 但可能吗?
• + 资源均衡使用 • + 缩短等待时间
排队论公式
M/M/1/∞/∞标准模型M/M/1/N/∞
系统容量有限模型
N=队伍容量+1
M/M/1/∞/m
顾客源有限模型
m=系统只有m+1种状态
M/M/C/∞/m
多服务台模型
单队，并列C个服务台
系统空闲的概率ρ
系统有n个顾客的概率
（顾客损失率）
系统至少有1个顾客的
概率1-
顾客的有效到达率
系统（每小时）顾客平
均数
（每小时）等待服务的
平均顾客数
=
（每位）顾客在店内的
平均逗留时间
（每位）顾客平均修理
时间
λ：每小时到达店内人数λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
ρ：系统忙着的概率，ρ：系统忙着的概率，
M/G/1/∞/∞M/D/1/N/∞M//1/∞/m 系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均
顾客数
（每位）顾客在店内的平均
逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数E(v):服务时间v的期望
D(v):方差
ρ：系统忙着的概率，λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
:服务时间v的期望
D(v):方差
ρ：系统忙着的概率，。
排队论公式推导过程
排队论公式推导过程排队论是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法。
在咱们生活中，排队的现象随处可见，比如在超市结账、银行办业务、餐厅等座位等等。
咱们先来说说排队论中的一些基本概念。
想象一下，你去一家热门的奶茶店买奶茶，顾客就是“输入”，奶茶店的服务员就是“服务台”，制作奶茶的过程就是“服务时间”，而排队等待的队伍就是“队列”。
排队论中的一个重要公式就是 M/M/1 排队模型的平均排队长度公式。
咱们来一步步推导一下。
假设平均到达率为λ，平均服务率为μ。
如果λ < μ，系统是稳定的，也就是队伍不会无限长下去。
首先，咱们来求一下系统中的空闲概率P₀。
因为没有顾客的概率，就等于服务台空闲的概率。
P₀ = 1 - λ/μ接下来，咱们算一下系统中的平均顾客数 L。
L = λ/(μ - λ)那平均排队长度 Lq 怎么算呢？这就要稍微动点脑筋啦。
Lq = λ²/(μ(μ - λ))推导过程是这样的：咱们先考虑一个时间段 t 内新到达的顾客数 N(t)，它服从参数为λt的泊松分布。
在这个时间段内完成服务离开的顾客数 M(t) 服从参数为μt 的泊松分布。
假设在时刻 0 系统为空，经过时间 t 后系统中的顾客数为 n 的概率Pn(t) 满足一个微分方程。
对这个微分方程求解，就能得到上面的那些公式啦。
我记得有一次，我去一家新开的面包店，人特别多，大家都在排队。
我站在那里，心里就琢磨着这排队的情况，不就和咱们学的排队论很像嘛。
我看着前面的人，计算着大概的到达率，再瞅瞅店员的动作，估计着服务率。
那时候我就在想，要是店家能根据这些数据合理安排人手，大家等待的时间就能大大缩短啦。
总之，排队论的公式推导虽然有点复杂，但只要咱们耐心琢磨，就能搞明白其中的道理。
而且这些公式在实际生活中的应用可广泛啦，能帮助我们优化各种服务系统，让大家的生活更加便捷高效！。
排队论公式1
排队论公式1 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
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排队论公式一
M/M/1/∞/∞ 标准模型
M/M/1/N/∞
系统容量有限模型 N=队伍容量+1
M/M/1/∞/m 顾客源有限模型
m=系统只有m+1种状态
M/M/C/∞/m 多服务台模型
单队，并列C 个服务台
系统空闲的概率
ρ
系统有n 个顾客的概率（顾客损失率）
系统至少有1个顾客的概率 1-
顾客的有效到达率
系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均顾客数
=
（每位）顾客在店内的平均逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
λ：每小时到达店内人数
λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数 μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数 ρ：系统忙着的概率，
ρ：系统忙着的概率，
M/G/1/∞/∞
M/D/1/N/∞
M/
/1/∞/m
系统（每小时）顾客平均数
（每小时）等待服务的平均顾客数
（每位）顾客在店内的平均逗留时间
（每位）顾客平均修理时间
λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数E(v):服务时间v的期望
D(v):方差
ρ：系统忙着的概率，λ：每小时到达店内人数
μ：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数
:服务时间v的期望
D(v):方差
ρ：系统忙着的概率，
3。
排队论公式
M/M/1/ g /m顾客源有限模型m=^统只有m+1种状态M/M/C/ g /m多服务台模型 单队，并列C 个服务台入：每小时到达店内人数卩：每小时可以服务的人数，1/每名客户 服务时间的分钟数排队论公式一系统空闲的概率 po = 1系统有n 个顾客的概率 （顾客损失率） P 11== (i- P )P系统至少有i 个顾客的 概率 1-()顾客的有效到达率 系统（每小时）顾客平 均数 （每小时）等待服务的 平均顾客数 （每位）顾客在店内的 平均逗留时间 （每位）顾客平均修理 时间 1 - P 1 - Pe =上L 卩押〉P NPpJ(N +3 — 731 - P 1 - PL W= —p ()=1mV m!iZ J (E - i)! 口 1 = 0% =Z 1 X k 11—徨C! 1 - p[]]!P” (m n)! 口 P(c P )C PXkp =p =--------U|p:系统忙着的概率，C Pp:系统忙着的概率,M/M/1// g标准模型M/M/1/N/ g系统容量有限模型”=队伍容量+1入：每小时到达店内人数卩：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数M/G/1/ /系统（每小时）顾客平均数p + k D(v) 耳=P* 2〔1 - P )排队论公式二M/D/1/N/ a M/ /1/ a /m（每小时）等待服务的平均顾客数（每位）顾客在店内的平均逗留时间(k+ 1)P2y p +ik(i^7)f, (k+l)p2q £2k(i - P)（每位）顾客平均修理时间入：每小时到达店内人数卩：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数E（v）:服务时间v的期望D（v）:方差P：系统忙着的概率, 八迸门瑁讪q qq 丄q n入：每小时到达店内人数卩：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数1J1.（V）-—'U:服务时间V的期望1D(v) 方差P：系统忙着的概率,。
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运营管理排队模型公式推导
简介
运营管理中的排队模型是用来研究顾客到达系统，并在系统中等待和接受服务的模型。
它可以帮助企业优化运营流程，提高服务质量，提升效率。
本文将对运营管理中常用的排队模型公式进行推导和解释。
系统组成
排队模型中的系统通常由以下几个部分组成：
•顾客：顾客是指需要接受服务的人或物。
在排队模型中，假设所有的顾客都是独立到达系统的。
•服务设备：服务设备是指提供服务的设备或人员。
它们可以是单个设备或多个设备，并且可以根据具体需求进行扩展。
•排队区域：排队区域是指顾客在等待服务时所处的区域。
在排队模型中，假设排队区域的容量无限大。
•到达率和服务率：到达率是指单位时间内到达系统的顾客平均数，通常用λ表示。
服务率是指单位时间内每个服务设备完成服务的顾客平均数，通常用μ表示。
单通道排队模型
单通道排队模型是指系统中只有一个服务设备的情况。
在单通道排队模型中，顾客到达的过程和服务的过程都是随机的，并且符合泊松过程和指数分布。
下面推导两个常用的公式：到达率和排队平均等待时间。
到达率（λ）
假设顾客到达时间的间隔服从参数为λ的指数分布，设顾客到达的平均时间间隔为1/λ，则到达率（λ）可以表示为：
λ = 1 / 平均到达时间间隔
排队平均等待时间（W）
假设服务时间服从参数为μ的指数分布，设顾客的平均服务时间为1/μ，则排队平均等待时间（W）可以表示为：
W = (1 / 服务率) / (1 - (到达率 / 服务率))
多通道排队模型
多通道排队模型是指系统中有多个服务设备的情况。
在多通道排队模型中，顾客到达的过程和服务的过程仍然是随机的，并且符合泊松过程和指数分布。
下面推导两个常用的公式：利用率和平均等待时间。
利用率（ρ）
利用率（ρ）表示服务设备被利用的程度，它可以表示为到达率（λ）和服务率（μ）的比值：
ρ = 到达率 / (通道数 * 服务率)
平均等待时间（W）
假设服务时间服从参数为μ的指数分布，设顾客的平均服务时间为1/μ，则平均等待时间（W）可以表示为：
W = (1 / 服务率) / (通道数 * (1 - 空闲概率))
其中，空闲概率可以表示为：
空闲概率 = 1 - 利用率
结论
排队模型是运营管理中常用的工具，通过对顾客到达和服务过程的建模，可以帮助企业优化运营流程。
本文对单通道和多通道排队模型的常用公式进行了推导和解释。
希望本文对你理解排队模型有所帮助！。