排队模型

2.2制造系统的排队网络模型
对于制造系统中的排队现象 ,同样可以通过排队理论进行描 述和分析。例如 ,对于一台或一组相同功能的加工设备对相 同类型零件进行加工的情况 ,可用排队系统进行描述,对于 由多种类型设备组成的加工单元和车间对多种类型零件进 行加工的情况,则可用排队网络进行描述。 图3即为一由m台数控机床和n个夹具组成的摩托车零件数 控加工系统。由于在该系统中夹具的数量是固定的 ,加工完 一个零件空出一个夹具后 ,才能投入一个新的零件,因此系 统中最多只有n个零件。
服务机构（从机构形式和工作状况来看可分为以下几种情 况） 1服务机构可以没有服务员，也可以有一个或多个 服务员。 2在有多个服务台的情形中，它们可以是平行并列 的，也可以前后排列的，也可以是混合的。 a中是单队-单服务台的情形;b是多对-多服务台的情 形；c是单队-多服务台的情形；d是多服务台的情形（e）是 多服务台的情形
M/M/1系统的 状态转移图
其中
λ 为顾客到达速率，
μ 为服务机构的服务速率
由状态转移图 ,可写出状态转移率矩阵如下式所示
é- l êm ê Q=ê 0 ê ê 0 ê ë M
l 0 0 - (m + l ) l 0 m - (m + l ) l m - (m + l ) 0 M M M
Lù Lú ú Lú Lú ú Mú û
(1-3)
矩阵Q 的建立规则是 : Q 的元素 表示系统从状态 i 向状态 j 转移的速率,并且其行和为零。
根据以上给出的P和Q,可得PM/M/1系统状态方程的 具体形式如下:
lpn -1 - (l + m ) pn + mpn +1 = 0,
此外 ,由概率的概念可得以下补充方程:
- lp0 + mp1 = 0,
n = 0 n 1
(1-4)
P
n =0

n
= 1,
Pn 0
n = 0,1,2,L
(1-5)
n 1 - ) (1-6) 解上述方程1-4和1-5 ，求得稳态概率： Pn = (
其中 = l / m 称为通行强度，一般 1
2.多机多队列系统
多机多队列系统即前面所说的排队网络。这类系统的 数学描述比较复杂。考虑到排队网络模型主要从宏观稳态 的角度来描述系统 ,因此获取系统状态的稳态概率是模型求 解的主要任务。 定理 4. 1 设闭排队网络有 m+1个节点 ,且满足以下条件 : (1)网 络中的节点属于M/M/1系统 ,服务时间服从负指数分 布 ,服务速度为 m ; (2)系统中顾客数量 N为常数; m (3)顾客在节点i接受服务后转移至接点j的概率为Pij,且 pij = 1
j =0
又以λi 表示节点i的顾客到达率,其满足方程组
li = li p ji
j =0 m
i = 0,1,L , m
(1-7) (1-8)
以vi 表示一个顾客访问节点i的平均数 ,即
vi = vi p ji
j =0 m
i = 0,1,L , m
以ni 表示节点i的顾客数 ,系统状态为 K = (n0 , n1 ,L , nm ) 系统状态的集合为S,则系统的稳态状态概率为
图1. 排队系统的组成
排队系统由三个部分组成，分别是输入过程，排队过程， 服务过程。 输入过程(有几种可能情况，当然并不是互相排斥的) 1.顾客的总体的组成可能是有限的，也可能是 无限的。 2.顾客到来的方式可能是一个一个的，也可能 是成批的。 3.顾客相继到达的间隔时间可以是确定型的， 也可以是随机型的。 4.顾客的到达可以是相互独立的。 5.输入过程可以是平稳的，也可以是非平稳的。 平稳是指相继到达的间隔时间分布和所含参数都是与 时间无关的
排队规则 1即时制（损失制）在这种情况下，顾客可以随即 离去，也可以排队等候。随即离去的叫做即时制。 2等待制，排队等候的叫做等待制。而其中等待制 又分为以下几种。 （1）先到先服务，按到达次序接受服务。 （2）后到先服务，后到的最先接受服务。 （3）随机服务，指服务员从等待的顾客中随机选取 其中一位进行服务，不管到达的先后顺序。 （4）有优先权的服务，如医院对于病情严重的患者 将给予优先治疗。
(1-16)
上式即为计算Cn 的迭代公式，其初始值为
Ci (0) = 1 i = 0,1,2,L , m
j
C0 ( j ) = 0
j = 0,1,2,L , n
1 系统分析的目的 1.1 对已有制造系统，通过系统分析可求出所需 性能指标，以便对系统进行改进和调整（如结构改 进和参数调整），从而挖掘现有系统的潜力，提高 系统的使用效果。 1.2 对于制造系统设计，可作为其设计流程中的 一个环节，如对待建系统的性能进行评估等，为方 案、结构和参数优化等提供准确信息。 2 系统分析方法 2.1基于排队理论的分析方法 2.2 计算机仿真分析方法 2.3.Petri 网分析方法 2.4 基于随机过程理论的分析方法
图3. 多台数控机床串联组成的排队网络
制造系统的排队网络模型就是通过排队网络来对制造系统 的某些特征和属性进行描述。例如 ,利用排队网络模型可以 描述系统的宏观运行过程,由此可了解系统的宏观状态和性 能指标,如系统中各设备的繁忙程度、负荷不均匀的程度、 系统的生产速度、系统的运行效率等。 当然,作为一种模型,用排队网络对制造系统进行描述需做某 些方面的假设 :例如 ,认为零件以某种概率分布进人系统和 到达各工位(服务机构)进行加工,并且工位前的缓冲存储空间 足够大,可以容纳所有到达该工位等待加工的零件等。 排队理论用于制造系统建模始于20世纪70年代末。柔性制 造系统的排队网络模型就是其典型例子之一。
现实生活中与工程实际中存在着大量排队现象，例如， 城市交通中汽车通过路口的等待、货物储运中的顺序装 卸、计算机系统中的多任务处理、生产车间中的作业调 度等。为了研究排队现象，揭示其内在规律，一种关于 排队现象的理论————排队论遍应运而生。 根据、排队规则和要务机构3个基本组成部分。
按照排队论的定义,排队网络是一种可对顾客进行两种 或两种以上服务的排队系统，也称为多节点排队系统（1 个服务机构被视为1个节点）。图2所示即为由3个服务机 构组成的排队网络。在该系统中，存在多种顾客，在该系 统中，存在多种顾客，有的需要服务机构1和服务机构2提 供服务，有的顾客需要服务机构1和服务机构3提供服务。
例1
一 个用于加工箱体类零件的柔性制造系统(flexible manufacturing system, FMS)由m台加工中心、一台自动运输 小车、n个托盘和若干个分布于各加工中心处的缓冲存储 装置等组成。该FMS的工作过程为,首先将零件(毛坯或半 成品)安 装于夹具上等待进人系统,当系统内送出一个加工 完的零件时，装卸人员即将其从托盘上卸下,然后将等待 进人系统的新零件固定于空出的托盘上,并随托盘一起进 人系统,由自动小车运送到工艺规程规定的工位进行加工。 一道工序加工完后再由自动小车运送到下一工序的加工设 备处加土 。若零件在该系统中的所有工序都已完成,则由 自动小车将其送到系统外 。
如果将上式按多项式相乘展开, Z n 的系数就是归一化因子 C(n )。 因此 G(Z)可写成如下形式： G (Z ) = C (n )Z n (1-12)
n =0
再定义下列表达式 显然; 即 故有：
Gi (Z ) =
k =0 i
1 1 - k Z
= Ci ( j )Z j
j =0
1 基本概念
基于排队理论的分析方法 ,是在建立制造系统的排 队系统模型或排队网络模型的基础上 ,利用排队论的有关 理论和方法求解模型的有关参数 ,从而揭示制造系统性能 的一种制造系统性能分析方法。 为便于理解,下面首先介绍单机单队列系统的分析方 法，然后，以典型柔性制造系统为例，进一步讨论多机 多队列的分析方法。
侯殿龙
1.排队现象、排队系统与排队网络 2.制造系统的排队网络模型 3.制造系统的排队网络建模实例 4.制造系统排队模型的数学描述 5.基于排队理论的分析方法

基于排队网络的建模方法是对车间级和单元级等底 层制造系统建模的一种常用方法。该方法的理论基础是 排队论，在对制造系统做出一定假设的基础上,可以从宏 观、稳态的角度对较底层制造系统的属性和行为进行描 述,并给出制造系统某些性能指标的解析解，因此在制造 系统的性能分析和规划设计等方面得到较多应用。
由于在这一制造系统中,加工完了的零件立即被毛坯或 半成品所取代 ,因此系统内的工件数量为常数 ,等于托盘数 量n。根据此特征,可建立该系统的闭环排队网络模型,如图4 所示。在该模型中,毛坯 /零件工位的作用就是实现上述零 件与毛坯的置换功能。模型中的其他部分比较容易理解,不 再赘述。
图4. 柔性制造系统的排队网络模型

(1-13) (1-14) (1-15)
1 Gi (Z ) = Gi -1 (Z ) 1 - i Z
Gi (Z ) = i ZGi (Z ) + Gi -1 (Z )
Ci ( j ) = i Ci ( j - 1) + Ci -1 ( j ), i = 1,2,L , m; j = 1,2,L , n
1 m ni P(n0 , n1 , n2 ,..., nm ) = i C (n ) i =0
(1-9)
i = 0,1,L , m
式中, C (n ) =
K S i = 0

m
in
i
i = vi / m i
(1-10)
用上述定理求解实际问题时 ,归一化因子 C(n)的计算往往比较 复杂。为简化C(n)的计算 ,Buzen推导出求 C(n)的有效算法,现介 绍如下。 首先定义下列表达式 m 1 2 2 (1-11) G (Z ) = (1 + 0 Z + 0 Z + L)L (1 + m Z + m Z + L) = i =0 1 - i Z