排队问题-数学建模
数学建模排队论
数学建模排队论（最新版）目录一、数学建模与排队论简介二、数学建模的方法与应用三、排队论的概念及其应用四、数学建模在排队论中的应用案例五、总结正文一、数学建模与排队论简介数学建模是一种运用数学方法来描述和解决实际问题的科学方法，其目的是通过建立数学模型，揭示问题的本质，从而为解决实际问题提供理论依据。
而排队论是研究随机服务系统中顾客等待现象的一种数学理论，主要用于分析和优化服务系统的性能，以提高服务效率和顾客满意度。
二、数学建模的方法与应用数学建模的方法主要包括概率论、统计学、微分方程等。
这些方法在各个领域都有广泛的应用，如在经济学中分析市场需求、预测价格波动；在生物学中研究生物种群的数量变化等。
数学建模在排队论中也有着重要的应用，可以帮助我们理解顾客等待现象，优化服务系统。
三、排队论的概念及其应用排队论主要研究服务系统中的顾客到达、服务、离开等过程，以及顾客等待时间、服务时间等随机变量。
排队论的应用领域非常广泛，涉及到服务行业、交通工程、通信系统等。
通过排队论的分析，可以有效地优化服务系统的结构和策略，减少顾客等待时间，提高服务质量。
四、数学建模在排队论中的应用案例以一家医院挂号为例，我们可以通过数学建模和排队论来分析和优化挂号流程。
首先，我们可以建立一个概率模型，描述病人到达、挂号、就诊等过程。
然后，通过分析模型中的参数，如到达率、服务率等，可以得到病人等待时间的分布，从而为优化挂号流程提供依据。
例如，可以通过增加挂号窗口、提高挂号效率等措施，来减少病人的等待时间。
五、总结数学建模与排队论在实际应用中相辅相成，通过建立数学模型，可以更好地理解和优化排队现象。
数学建模--排队论
B表示顾客源的数目；C表示服务规则；
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M /M /1/ / /FCFS
表示了一个顾客的到达时间间隔服从相同的负指数分布， 服务时间为负指数分布、单个服务台、 系统容量为无限、 顾客量无限、排队规则为先来先服务的排队模型。
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四、排队系统的主要数量指标和记号
1、队长和排队长 2、等待时间和逗留时间 3、忙期和闲期
排队论（Queueing Theory）
现实生活中的实例：
进餐馆就餐 到图书馆借书 去售票处购票 在车站等车等等
课件
2
一、排队系统的特征及排队论：
顾客为了得到某中服务而到达系统，若不能获得服 务而允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离 开系统。
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排队的形式：
顾客到达
队列
服务台
服务完成后离去
记
,
并设
1,
n 则：Cn
n1,2,
pnnp0
n1,2,
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其中：
p0
1
1
n
1
n
n0
1
n1
因此： p n(1)n
n0 ,1 ,
课件
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②几个主要数量指标
平均队长：
Ln 0nnp n 0n (1)n1
平均排队长：
Lq (n1)pn L(1p0)L n1
2 2 1 ()
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关于顾客在系统中的逗留时间T，说明服从参数
的负指数分布，P T t e ( ) t
t 0
因此，平均逗留时间W为：
WE(T) 1
顾客在系统中逗留时间为等待时间和接受服务时间之和：
数学建模-排队论(二)
基本的排队模型
一、随机服务过程基本组成 二、随机服务记号方案 三、排队论的重要公式
一、基本组成
排队系统
输入 来源
顾客
队列
服务机构 服务完离开
排队系统的三个基本组成部分
输入过程 (顾客到达规律) 排队规则 (顾客按照一定规则排队等待服务) 服务机构 (服务机构的设置，服务台的数量，
服务的方式，服务时间分布等)
队列容量
有限/无限
排队规则
先来先服务(FCFS)；后来先服务(LCFS)；随 机服务(RSS)；有优先权的服务(PS)；排队模 型中也用到服务中的“一般规则（GD）”它 包括前三种排队规则。
基本排队模型－服务规则
服务机构可以有一个，也可以有多个； 对于多个服务台可以是并列、串列、混合
排列； 服务方式可以是一个或成批； 服务时间分布：
排队论
（Queueing Theory）
排队等候随机服务现象
商店、超市等收款处排队付款 车站、民航等售票处依次购买车船票 各种生产系统、存储系统、运输系统等
一系列等待现象比比皆是
排队论的基本概念
研究随机的排队服务模型的主要工具是 排队论，排队论又称为随机服务系统理论 是研究由顾客、服务机构及其排队现象所 构成的一种排队系统的理论。
若 时,即 1 此时顾客在 系统中的逗留时间服从参数为 的
指数分布。
三、排队论的重要公式
平均到达率：单位时间 平均队长： 内到达顾客的平均数 平均服务率：单位时间 内被服务顾客的平均数 平均等待时间： 服务强度：/
AB AB AB
A
B
第t时刻有 n-1个顾客
Pn1(t) Pn1(t)
服务率问题、顾客满意问题）
数学建模之排队问题
排队问题教程一：复习期望公式()i i p a X P ==，∑=ii i p a EX ，()()∑=ii i p a g X Eg二：排队问题单个服务台排队系统问题（比如理发店只有一个理发师情况）：假定顾客到达时间间隔()λ/1~e X 分钟，每个顾客接受服务的时间长度为()μ/1~e Y 分钟，假定1）、在时间段[]t t t ∆+,内有一个顾客到达的概率为()2t o t ∆+∆λ 2）、在时间段[]t t t ∆+,内有两个或以上顾客到达的概率为()2t o ∆ 3）、在时间段[]t t t ∆+,内有一个顾客接受完服务离开概率为()2t o t ∆+∆μ 4）、在时间段[]t t t ∆+,内有两个或以上顾客离开的概率为()2t o ∆用()t p n 表示在t 时刻，没有离开的顾客数（由于指数分布无记忆性，正在接受服务的顾客还需要接受的服务时间和任何一个顾客的接受服务时间同分布）。
记t 时刻在服务系统总人数n 的概率为()t p n ，则在t t ∆+时刻在服务系统总人数n 的概率()t t p n ∆+由以下几个不相容部分构成a)：t 时刻有n 个顾客，时间段[]t t t ∆+,内没有顾客到达，也没有顾客离开，概率 ()t p t o t t o t n ))(1))((1(∆-∆-∆-∆-μλb)：t 时刻有n 个顾客，时间段[]t t t ∆+,内有1顾客到达，有1顾客离开，概率 ()t p t t n ⋅∆⋅∆μλc)：t 时刻有n-1个顾客，时间段[]t t t ∆+,内有1顾客到达，没有顾客离开 概率()t p t o t t n 1))(1(-∆-∆-∆μλd)：t 时刻有n+1个顾客，时间段[]t t t ∆+,内没有顾客到达，有1个顾客离开 概率()t p t o t t n 1))(1(+∆-∆-∆λμ e)：其他情况，概率()t o ∆由上面分析，()()()()()()()t o t p t t t p t t p t t t t p ∆+∆-⋅∆+⋅⋅∆-+⋅∆⋅∆=∆+1000111λμλμλ()()[]()()()t o t p t o t t t p t o t t t t t o t t o t t p t t p n n n n ∆+∆-∆-∆+∆-∆-∆+∆⋅∆+∆-∆-∆-∆-=∆++-11))(1())(1())(1))((1(λμμλμλμλ，1≥n简写()()()()()()00111p t t t p t t t p t o t λμλ+∆=-∆⋅+∆⋅-∆+∆()()[]()()()t o t p t t p t t t t p t t p n n n n ∆+⋅∆+⋅∆+∆-∆-=∆++-11)1)(1(μλμλ即()()()()()t o t p t t p t t p t t p ∆+⋅∆+⋅∆⋅-=-∆+1000μλ()()()()()()()t o t p t t p t t t p t p t t p n n n n n ∆+⋅∆+⋅∆+∆+-=-∆++-11μλμλ因此得到()()()()t p t p t p 100⋅+⋅-='μλ()()()()()()t p t p t p t p n n n n 11+-⋅+⋅++-='μλμλ假定()k t k p t p −−→−∞→，()()0−−→−∞'→t k t p 得到 010=⋅+⋅-p p μλ()011=⋅+⋅++-+-n n n p p p μλμλ把0p 当作已知，求解通项n p >将p(1)用)0(/p μλ代入得()()()n n n n p p p p μλμλλμμλμ001=→-+-=再，由1=∑kkp，我们得到()10=∑∞=n np μλ，>因此μλμ-=0p ， nnn p p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=μλμλμμλ0 问题1：系统平均有几个人没有离开？解答：系统有n 个人没有离开的概率n p ，因此，系统中滞留人数平均∑∞=0n n np>问题2：系统中排队等待服务平均有几个人？()∑∞=-11n npn>问题3：系统中平均每个人排队等待时间？解答：当一个顾客进入系统中，发现前面已经有n 个顾客在系统中，则他排队等待的平均时间就是这n 个顾客的平均服务时间总和（由于指数分布无记忆特性，不管正在接受服务的顾客已经服务了多少时间，其还要接受的服务时间依然服从相同的指数的分布）因此系统中平均每个人排队等待时间为nn pn∑∞=0μ>问题4：系统中每个顾客逗留时间平均？解答：每个顾客平均排队用时+每个顾客平均服务用时为所求 >。
核酸检测排队问题数学建模
核酸检测排队问题数学建模核酸检测排队问题是一个典型的排队论问题。
排队论是数学的一个分支，主要研究排队等待和系统服务的问题。
以下是一个简单的数学模型来描述这个问题：1. 模型假设：假设核酸检测点只有一个，即只有一个服务台。
到达过程服从泊松分布，即每单位时间到达的人数是一个随机变量，且这个随机变量服从泊松分布。
服务时间服从指数分布，即每个人接受核酸检测所需的时间是一个随机变量，且这个随机变量服从指数分布。
2. 排队系统的表示：M/M/1表示：到达过程是泊松分布（M表示"Markovian"，即到达是相互独立的），服务时间也是指数分布（第二个M表示"Markovian"），并且只有一个服务台（1）。
3. 系统状态：系统状态可以用一个非负整数n 来表示，表示当前排队等待的人数。
4. 系统平衡方程：系统的平衡方程组为：P(0) = ρP(1) + (1 - ρ)P(0)其中 P(n) 表示系统中有 n 个人在等待的概率，ρ 是平均到达率与平均服务率之比。
5. 求解平衡方程：求解平衡方程可以得到 P(0), P(1), P(2), ... 等。
6. 性能指标：系统通常关注的性能指标包括：平均排队长度、平均等待时间、平均忙期等。
这些都可以通过求解平衡方程得到。
7. 扩展模型：如果考虑多个核酸检测点（服务台），则模型变为 M/M/c，其中 c 是服务台的数量。
如果考虑到达率和服务率随时间变化的情况，则模型会更复杂。
8. 实际应用：根据这个模型，可以预测在某个时间段内需要多少个核酸检测点来满足需求，或者预测某个时间段内的平均排队长度等。
这个模型提供了一个基本的框架来描述核酸检测排队问题，但实际情况可能更复杂，需要考虑更多的因素。
数学建模排队论模型
数学建模排队论模型排队论模型是一种数学建模方法，用于研究排队系统中的等待时间、服务效率和资源利用率等问题。
排队论模型可以应用于各种领域，如交通运输、医疗服务、银行业务等。
本文将介绍排队论模型的基本概念和应用。
一、排队论模型的基本概念排队论模型的基本概念包括：顾客到达率、服务率、队列长度、等待时间、系统利用率等。
顾客到达率是指单位时间内到达系统的顾客数量，通常用λ表示。
服务率是指单位时间内一个服务员能够完成服务的顾客数量，通常用μ表示。
队列长度是指系统中正在等待服务的顾客数量。
等待时间是指顾客在队列中等待服务的时间。
系统利用率是指系统中所有服务员的利用率之和。
排队论模型可以分为单队列模型和多队列模型。
单队列模型是指系统中只有一个队列，多个服务员依次为顾客提供服务。
多队列模型是指系统中有多个队列，每个队列对应一个服务员，顾客可以选择任意一个队列等待服务。
二、排队论模型的应用排队论模型可以应用于各种领域，如交通运输、医疗服务、银行业务等。
下面以银行业务为例，介绍排队论模型的应用。
在银行业务中，顾客到达率和服务率是两个重要的参数。
顾客到达率受到银行营业时间、银行位置、顾客数量等因素的影响。
服务率受到银行服务员数量、服务质量、服务时间等因素的影响。
为了提高银行的服务效率和资源利用率，可以采用排队论模型进行优化。
首先需要确定银行的顾客到达率和服务率，然后根据排队论模型计算出等待时间、队列长度、系统利用率等指标。
根据这些指标，可以制定相应的服务策略，如增加服务员数量、优化服务流程、提高服务质量等。
例如，如果银行的顾客到达率较高，服务员数量较少，导致顾客等待时间较长，可以考虑增加服务员数量或优化服务流程，以缩短顾客等待时间。
如果银行的服务率较低，导致服务员利用率较低，可以考虑提高服务质量或增加服务时间，以提高服务员利用率。
三、排队论模型的局限性排队论模型虽然可以应用于各种领域，但也存在一些局限性。
首先，排队论模型假设顾客到达率和服务率是稳定的，但实际情况中这些参数可能会发生变化。
核酸检测排队问题数学建模
核酸检测排队问题数学建模摘要：一、背景介绍二、核酸检测排队问题描述三、数学建模思路和方法四、模型求解与分析五、结论与展望正文：正文一、背景介绍随着新冠疫情的不断发展，核酸检测已经成为疫情防控的重要手段。
在实际检测过程中，采样点和检测机构的数量、检测速度等因素都会影响排队等待的时间。
为了有效减少等待时间，提高检测效率，本文针对核酸检测排队问题进行数学建模，旨在寻求最优的采样点和检测机构数量以及检测速度。
二、核酸检测排队问题描述假设某地区有多个核酸检测采样点，每个采样点可以采集到的样本数量有限。
同时，样本需要送到检测机构进行检测，检测机构的数量和检测速度也会影响整个检测过程。
在排队等待检测的过程中，每个采样点的样本到达检测机构的时间和排队等待时间之和称为总等待时间。
我们需要找到合适的采样点和检测机构数量以及检测速度，使得总等待时间最小。
三、数学建模思路和方法为了描述核酸检测排队问题，我们可以建立一个数学模型。
首先，我们设xij 表示第i 个采样点采集的样本送到第j 个检测机构进行检测，其中i=1,2,...,m；j=1,2,...,n。
同时，我们设f_i 表示第i 个采样点的样本到达检测机构的时间，g_j 表示第j 个检测机构的检测速度。
排队等待时间可以用一个矩阵H 来表示，其中H[i][j] 表示第i 个采样点的样本在第j 个检测机构排队等待的时间。
我们的目标是最小化总等待时间，即求解以下优化问题：min ∑(xij * H[i][j])s.t.∑xij = 1 (i=1,2,...,m) # 每个采样点的样本数量之和为1xij ≥ 0 (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n) # 变量非负四、模型求解与分析通过数学建模的方法，我们可以求解出最优的采样点和检测机构数量以及检测速度。
在得到最优解之后，我们可以根据实际情况调整采样点和检测机构的工作策略，从而有效降低排队等待时间，提高检测效率。
有关银行排队的问题-数学建模
有关银行排队的问题龙山中学李佩璇赵麟凤张方蕾指导老师曹燕摘要目前排队问题是各银行普遍存在的问题，文章利用数学建模的方式，通过亲身实践调查以及搜寻有关的资料，对数学模型进行求解，得到理论上既经济又高效的方式。
关键字银行排队泊松分布服务时间等待时间一．说明及假设说明：银行排队问题作为排队系统，其基本结构由输入过程 (顾客流量)、服务时间 (业务办理时间)、服务机构 (服务窗口设置)和排队规则等四个部分构成。
根据对相关资料的调查，常用的分布规律有：泊松分布、爱尔朗分布、等长分布等。
在排队系统中，泊松分布是应用最为广泛的（P（x）=（m^x/x!)*e^(-m)）。
常见的服务时间分布有定长分布、负指数分布和爱尔朗分布。
一般来说，简单的排队系统的服务时问往往服从负指数分布（F (t)=1一e-μt t≥0）。
服务机构是指服务台的个数。
其类型有：单服务台、多服务台；对银行排队系统来说，一般是属于多服务台。
假设：1.分布规律：假设顾客到达是符合泊松分布的。
2.服务时间：系统服务时间符合负指数分布3.服务机构：银行排队系统属于多服务台4.每个服务台的队伍是趋于一样长,5.顾客到达后服务窗口无空闲时就进入队列排队..二．建模结合所调查的资料，银行的排队问题的基本数学模型可表示为M/M/C模型。
M/M/c模型表示输入过程 (顾客到达)为泊松输入、服务时间服从负指数分布、共有C个服务窗口的排队系统模型。
该模型的主要数量指标用符号可表示为：L s：表示系统中的顾客数，包括排队等候的和正在接受服务的所有顾客 (也称为平均队长)L q ：表示系统中排队等候的顾客数 (称为平均队列长)T q：表示顾客在系统中的平均等待时间(即平均排队等待时间)T s：表示顾客在系统中的平均逗留时间(包括等待时间和服务时间)λ：表示顾客的平均到达率 (称为顾客到达速率)；μ：表示系统的平均服务率 (即服务台的平均服务速率 )；ρ：表示服务强度，其值为有效的平均到达率λ与平均服务率μ之比，即= λ／μ。
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第九届“新秀杯”校园数学建模竞赛摘要医院有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有4个病人，医生每小时可诊断5人，病人的到来服从Poisson流，诊断时间服从负指数分布。
根据题目所给信息，可以很明显看出本题是单服务台的排队模型，因此需要用到排队理论来求解这些问题。
本题需要用到排队理论中最简单的M/M/1/∞/∞模型，通过对病人到来及诊断时间的统计研究，得出这些数量指标的统计规律。
针对问题一，通过分析任意时刻t内到达的病人数为n的概率，使用数学期望的方法，，可以得出平均病人数及等待的平均病人数。
由题目给出条件病人的到来服从参数为λ的泊松分布，诊断时间服从参数为μ负指数分布，可以得出病人的平均看病所需时间及病人平均排队等待时间。
以及分析该医院的服务强度，可以粗略的分析该科室的工作状况。
针对问题二，在问题一的条件基础下，要求99%的病人有座位。
可以先假设出座位个数，由于每个时刻病人到来的个数是随机且独立，不可能同时到达两批病人，考虑到来病人的个数与座位之间的关系，考虑病人数不同时，有座位的概率不同。
所以用独立事件概率的加法可以得出概率需要大于等于0.99，从而反推出所需座位数。
针对问题三，分析问题可得，需要求出单位平均损失可以通过题目每小时病人到来数可以得出平均每天医院到来数。
根据问题一结论，可以得出平均看病所花时间，从而求出每天的平均损失。
针对问题四，只需要利用问题一，问题二，问题三的结论并改变医生每小时诊断时间，嵌套进来就能求解。
关键字：排队理论M/M/1/∞/∞模型数学期望Poisson流负指数分布一、问题提出某单位医院的一个科室有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有4个病人，医生每小时可诊断5人，病人的到来服从Poisson流，诊断时间服从负指数分布。
(1)试分析该科室的工作状况：(2)如要求99%以上的病人有座，该科室至少设多少座位？(3)如果该单位每天24小时上班，病人因看病1小时而耽误工作单位要损失30元，这样单位平均损失多少元？(4)如果该科室提高看病速度，每小时平均可诊断6人，单位每天可减少损失多少？可减少多少座位？二、模型的准备根据题目所给信息，可以很明显看出本题是单服务台的排队模型，日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。
该模型显著特点是：服务设施是一个或者多个，需要被服务的人是无限制的，因此被服务者需要等待一段时间，因此会出现排队现象，被服务者的到来是完全随机的。
因此排队论又称为随机服务系统理论，它是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标(等待时间、排队长度、忙期长短等)的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。
排队系统又称服务系统。
服务系统由服务机构和服务对象构成。
排队系统包括三个组成部分：输入过程：考察的是顾客到达服务系统的规律。
它可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。
本题是病人随机到达且服从泊松分布。
排队规则：分为等待制、损失制和混合制三种。
当顾客到达时，所有服务机构都被占用，则顾客排队等候，即为等待制。
在等待制中，为顾客进行服务的次序可以是先到先服务，或后到先服务，或是随机服务和有优先权服务。
如果顾客来到后看到服务机构没有空闲立即离去，则为损失制。
有些系统因留给顾客排队等待的空间有限，因此超过所能容纳人数的顾客必须离开系统，这种排队规则就是混合制。
本题中不考虑优先制，而是先到先服务，且队伍可以无限长，不考虑容量问题。
服务机构：可以是一个或多个服务台。
多个服务台可以是平行排列的，也可以是串连排列的。
服务时间一般也分成确定型和随机型两种。
而随机型服务时间v 则服从一定的随机分布。
本题的服务台(医生)是有限且唯一的，诊断时间是随机的，且服从负指数分布。
排队论主要研究排队系统运行的效率，估计服务质量。
因此，研究排队问题，首先要确定判断系统运行优劣的基本量化指标，并求出这些指标的概率分布和数学特征。
要研究的系统运行指标主要有：1、排队模型的表示X/Y/Z/A/B/CX—顾客相继到达的间隔时间的分布；Y—服务时间的分布；M—负指数分布、D—确定型、Ek —k阶爱尔兰分布；Z—服务台个数；A—系统容量限制(默认为∞)；B—顾客源数目(默认为∞)；C—服务规则(默认为先到先服务FCFS)。
2、排队系统的衡量指标队长Ls—系统中的顾客总数；排队长Lq—队列中的顾客数；逗留时间Ws—顾客在系统中的停留时间；等待时间Wq—顾客在队列中的等待时间；忙期—服务机构两次空闲的时间间隔；服务强度ρ；稳态—系统运行充分长时间后，初始状态的影响基本消失，系统状态不再随时间变化。
3、到达间隔时间与服务时间的分布泊松分布；负指数分布；爱尔兰分布；Poisson分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松在1838年时发表。
泊松分布的参数是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
泊松分布的期望和方差均为λ。
负指数分布又称指数分布。
泊松事件流的等待时间（相继两次出现之间的间隔）服从指数分布。
指数函数的一个重要特征是无记忆性。
这表示如果一个随机变量呈指数分布，当s,t>0时有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。
即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。
如果指数分布的参数为λ，则指数分布的期望为1/λ。
根据以上资料，解决本题的科室的工作状态问题，只需要运用排队论中最简单的单服务台，即M/M/1/∞/∞模型即可。
下面通过对该问题进行排队论模型嵌套进行求解。
三、模型假设1.首先确定医生的接待能力、病人的客源为无限大，且排除医生，病人的心理因素及插队等意外情况的发生。
2.排队只排一排，根据先到先得的原则，且每次医生只看一个病人，且每个病人肯定能得出诊断。
3.假设每段时间到来的病人数基本稳定，不会出现剧增和很长一段时间无人看病的问题。
四、符号说明符号意义n 任意时刻t内到达的病人数（个）Ls 平均病人数（个）Lq 等待的平均病人数（个）Ws 病人的平均看病（包括等待时间）时间(h) Wq 病人平均排队等待时间(h)λ单位时间内到达病人的平均数（个/h）μ单位时间内能诊断完的病人的平均数（个/h）m 座位数（个）T 看病耽误的时间(h)Q 损失的钱(元)ρ服务强度五、模型建立与解决：问题1模型建立与解决问题1模型建立：已知病人的到来服从Poisson流，即服从参数为λ的泊松分布，其中λ表示单位时间内到达病人的平均数。
医生诊断时间服从参数为μ的负指数分布，其中μ表示单位时间内能诊断完的病人的平均数。
1)设任意时刻t内到达的病人数为n的概率为P n(t)，病人的到来服从泊松分布，因此单位时间内病人的到达数服从X~P(λ)，则时间间隔△t为内病人到来的数目为G~P(λ△t)。
则△t内1个病人到达的概率为P(G=1)=λ△t*e-λ△t=λ△t+o△t，反之没有病人到达的概率为P(G=0)=1-λ△t*e-λ△t=1-λ△t+o△t2)由于医生的诊断时间Y~E(μ)，故病人被诊断时，1个病人被诊断完的概率为P{Y≤Δt }=1 -e-μ△t=μΔt + o(Δt)，没有被诊断完的概率为1-μΔt + o(Δt)。
3)在t+△t时刻考虑n个病人到来的概率P n(t+△t)，△t足够小的情况下，有以下4种情况：①t时刻系统中有n个病人到来，没有病人到来且没有病人诊断完毕，其概率为：[1-λ△t+o(△t)][ 1-μ△t+o(△t)]= (1-λ△t-μ△t)+o(△t)；②t时刻系统中有n+1个病人到来，没有病人到来且有1个病人诊断完毕，其概率为：[1-λ△t+o(△t)][μ△t+o(△t)]=μ△t+o(△t)；③ t时刻系统中有n-1个病人到来，有1个病人到来且没有病人诊断完毕，其概率为：[λ△t+o(△t)][1-μ△t+o(△t)]= λ△t+o(△t)；④其他状态的概率为o(△t)。
由于四种情况相互独立且不可能同时发生，所以得到系统中有n个病人到来的概率P n(t+△t)满足：P n(t+△t)= P n(t)(1-λ△t-μ△t)+P n+1(t)μ△t+P n-1(t)λ△t+ o(△t)移项整理，两边同除以△t，得：=λP n-1(t)+μP n+1(t)-(λ+μ)P n(t)+令△t→0，得:=λP n-1(t)+μP n+1(t)-(λ+μ)P n(t) n=1，2…当n=0 时，因为:P0(t+△t)= P0(t)(1-λ△t)+ P1(t)(1-λ△t)μ△t+ o(△t)所以有:= -λP0(t)+μP1(t)对于稳态情形，与t无关，其导数为零。
因此，得到:问题1模型求解：这是关于Pn 的差分方程，也反映出了系统状态的转移关系，即每一状态都=(λ/μ)n(n≥1)是平衡的，求解得:=(λ/μ)，递推可得P由概率的性质知=1，将上式代入λ/μ<1 时可得到=1-λ/μ，P=(1-λ/μ)(λ/μ)n因为病人到达规律服从参数为λ的泊松分布，诊断时间服从参数为μ的负指数分布，其期望值就分别为λ，1/μ。
所以λ表示单位时间内平均到达的病人数，μ表示单位时间内能诊断完的病人数。
如果令ρ=λ/μ，这时ρ就表示相同时间内病人到达的平均数与能被诊断的平均数之比，它是刻画诊断效率和医院利用程度的重要标志，称ρ为服务强度。
上面在ρ<1的条件下得到了稳定状态下的概率Pn，n=0，1，2，…其实，如果ρ>1，可以证明排队长度将是无限增加的，即使ρ=1的情况下，P0(t)也是随时间而变化的，系统达不到稳定状态. 因此，这里只讨论ρ<1 时情况，从上面的推导知：P n=(1-ρ) ρn n=1,2…则服务系统的运行指标为：(1) 队长（平均病人数）：由于系统的状态为n 时即系统中有n个病人，由期望的定义得:(2) 排队长：（等待的平均病人数）=λ/(μ-λ)可以证明，病人在系统中看病时间服从参数为μ- 的负指数分布。
因此，有(3) 系统中病人的平均看病时间：(4) 系统中病人的平均等待时间：=题目中每小时平均有4个病人，医生每小时可诊断5人，病人的到来服从Poisson 流，诊断时间服从负指数分布。
可以得到医院平均病人数：(人)医院等待的平均病人数：(人)病人的平均看病（包括等待时间）时间：h病人平均排队等待时间：h医院当中没有病人的概率为：1-=0.2病人到来不需要等待的概率即是医院中没有病人的概率问题一结论：由上结果可得，病人到来不需要等待的概率为0.2，医院平均病人数为4人，医院等待的平均病人数为3.2人，病人的平均看病（包括等待时间）时间为1h，病人平均排队等待时间为0.8h。