简单多面体的定义
高中数学必修课件第一章简单多面体
改进建议1
加强对多面体定义和分类的学 习，多观察、多比较不同多面 体的特征，加深对它们的认识 。
易混点2
在计算多面体的顶点数时，容 易忽略欧拉公式的应用条件。
改进建议2
明确欧拉公式的应用条件，即 适用于简单多面体，同时要注 意公式中各个量的含义和计算
章节测试题及答案解析
题目2
一个多面体的面数为8，棱数为15， 求该多面体的顶点数。
答案2
根据欧拉公式，多面体的顶点数V、 面数F和棱数E之间满足关系V+F-E=2 。将已知的F=8，E=15代入公式，得 到V=2+E-F=2+15-8=9，因此该多 面体的顶点数为9。
易错易混点剖析及改进建议
易错点1
多面体的性质
多面体的面、棱、顶点数之间的关系，以及多面体的欧拉公式等。
简单多面体的识别和作图
能够识别常见的简单多面体，并掌握其作图方法。
章节测试题及答案解析
题目1
请列举出五种不同的简单多面体，并简述它们的特征。
答案1
五种不同的简单多面体包括三棱锥、四棱锥、正方体、长方体和五棱柱。它们的特征分别是三棱锥有一个面是三 角形，其余三个面是三角形或四边形；四棱锥有一个面是四边形，其余四个面是三角形；正方体六个面都是正方 形；长方体六个面都是矩形；五棱柱有两个平行的五边形底面，侧面是矩形。
蜂巢
蜂巢是由正六边形组成的 简单多面体结构，这种结 构既节省材料又具有良好 的稳定性。
病毒
一些病毒粒子也呈现出多 面体形态，如二十面体病 毒，这些病毒粒子具有复 杂的对称性和几何结构。
科技创新中简单多面体应用案例
纳米材料
科学家利用简单多面体结构设计出具 有特定功能的纳米材料，如纳米立方 体、纳米球等，这些材料在医药、环 保等领域具有广泛应用。
多面体与欧拉公式-欧拉公式多面体
(E) 多面体的各面内角总和为3600° (F) 多面体是正二十面体
一、 复习 二、 引入 三、 归纳 四、 运用
例1
例2 练
习 五、小 结
1 .定义 2 .判断 3 .新课
① 三棱锥 ② 四棱锥 ③ 三棱柱
［说出下列简单多面体的顶点数、面数、 棱数 寄
多面体 三棱锥 四棱锥
顶点数V
4 5
面数F
4 5
棱数E
6
8
三棱柱
6
5
9
一、 复习 二、 引入
1 .定义 2.判断 3 .新课
① 三棱锥 ② 四棱锥 ③ 三棱柱 ④ 四棱柱
I说出下列简单多面体的顶点数、面数、 I棱数
4 .欧拉简
介
5 .证明 !1!
运用 例1 例2
解・设。60分子中形状为五边
"形和六边形的面各有■X个
和y个°
「•V二60, F=x+y, E=3X60 + 2
由欧拉公式，可得： 60+ &+》)
-3 X 6。手 2=2
又由多边形的边数可表示C60的棱数，即:
(5x+6y) 4- 2= (3 X 60) 4-2
什么规律？
E
多面体 顶点数V 面数F 棱数E
规律
--- A4-
■
. N棱锥 -N+1- -N+1- -2N -
•
□
O
N棱柱 -2N - -N+2 - - 3N -
多面体的概念
例5、判断下列各说法是否正确：
(1)有两个全等的多边形的面相互平行，其余各面是平
行四边形的多面体是棱柱； × (2)棱柱的侧棱彼此平行；
√
(3)棱柱的高等于棱柱的侧棱长； × (4)有两个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱； ×
(5)底面是正方形的棱柱是一种长方体。
×
(6)所有棱长都相等的直棱柱是一种正方体。 × (7)底面是菱形的棱柱是一种平行六面体。 √ (8)侧面都是全等矩形的棱柱是一种正棱柱。 ×
例6、判断下列各说法是否正确：
(1)底面是正多边形的棱锥是正棱锥；（ × ） (2)各侧棱的长都相等的棱锥是正棱锥；（ × ） (3)各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；（ × ） (4)棱锥的高可以是棱锥的一条侧棱长；（ √ ） (5)正四面体是一种正三棱锥。（ √ ）
A B
C
例3 、下列命题中的假命题是( B ) A. 直棱柱的侧棱就是直棱柱的高. B. 有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱. C. 直棱柱的侧面是矩形. D. 有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱.
例4、棱柱成为直棱柱的一个充要条件是( C ) A. 棱柱有一条侧棱与底面的两边垂直. B. 棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直. C. 棱柱有一个侧面是矩形，且它与底面垂直. D. 棱柱的侧面与底面都是矩形.
正三棱柱
正四棱柱
正六棱柱
(3)特殊性质的棱柱
底面是平行四边形的棱柱有六个面，且六个面都是
平行四边形。这样的棱柱叫做平行六面体.
D’ A’ B’ C’
D A B
C
底面是矩形的直棱柱叫做长方体
A’
D’ B’ D
C’
C B
A
所有棱长都相等的长方体叫做正方体
15.1 多面体的概念
14.4.2 空间平面与平面的位置关系
15.1 多面体的概念
生活中的多面体
金字塔
建筑
魔方 笔筒 纸箱 食盐晶体
一、多面体的概念 由若干个平面多边形围成的封闭几何体.
一、多面体的概念 由若干个平面多边形围成的封闭几何体. 顶点 多面体的 对角线
面
棱 棱
顶点 连结不在同一个面上的两个顶点的线段 叫做多面体的对角线. (区别于多面体的面的对角线)
P P
高
A B
顶点 侧面
C
A
D
侧棱 底面
B
C
三棱锥P ABC
四棱锥 P ABCD
四、棱锥的概念、表示及分类 (1)按底面多边形边数可分为： 三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥…… (2)底面为正多边形且底面中心与顶点连线 垂直于底面的棱锥称为正棱锥.
正棱锥的侧棱、侧面各有什么特点？
五、特殊四棱柱的命名 平行六面体 底面是平行四边形的四棱柱 长方体 底面是矩形的直棱柱 直四棱柱 正方体 棱长都相等的正四棱柱 正四棱柱
面
二、多面体的分类 多面体按照面数分别叫四面体、五面体…… 六面体 五面体 五面体
六面体
十二面体
面数最少的多面体有几个面？几条棱？
三、棱柱的概念、表示及分类
棱柱由一个平面多边形沿某一方向平移形成的
多面体.
底面 平移 平移 侧面 平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面. 多边形的边平移所成的面叫做棱柱的侧面.
三、棱柱的概念、表示及分类 (1)按底面多边形边数可分为： 三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱…… (2)按侧棱是否与底面垂直可分为： 斜棱柱和直棱柱 其中底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱
简单多面体欧拉公式证明
我们要证明简单多面体的欧拉公式。
欧拉公式是关于多面体顶点数、面数和边数的数学关系。
简单多面体是指没有洞的多面体。
欧拉公式是：对于一个简单多面体，其顶点数V、面数F和边数E满足：V - E + F = 2。
假设多面体的顶点数为V，面数为F，边数为E。
为了证明欧拉公式，我们可以考虑多面体的结构。
1.每个顶点连接3条边，所以顶点数V = 3 ×E / 2（因为每条边被两个顶点共享）。
2.每个面有3条边，所以F = 3 ×E / 2（因为每条边属于两个面）。
根据上述关系，我们可以得到：
V - E + F = (3 ×E / 2) - E + (3 ×E / 2) = 2 ×E / 2 = E = 2。
通过上述数学模型和推导，我们证明了简单多面体的欧拉公式：V - E + F = 2。
《7.1.1简单多面体》中职数学基础模块
棱柱的结构特性
棱柱的两个平行的面叫做棱柱的底面；
其余各面叫做棱柱的侧面；
两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；
侧棱
侧棱与底面的公共点叫做棱柱的顶点；
顶点 侧面
底面
7.1.1 简单多面体
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习
棱柱的结构特性
不在同一面上的两个顶点的连线叫做棱
柱的对角线；
高
两个底面所在平面的公垂线段或它的长
再见
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习
练习 P58 1，2
7.1.1 简单多面体
归纳小结
有两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻 两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫 做棱柱．
有一个面是多边形，其余各面都是由一个公共顶点的三 角形所围成的多面体叫做棱锥．
7.1.1 简单多面体
连结不在同一面上的两个顶点的线段叫 做多面体的对角线，如对角线DB．
7.1.1 简单多面体
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习
在生产实践中，棱柱和棱锥是最常见，也是最简单的多面体.下面， 我们就对它们的结构特性分别进行说明.
我们常见的一些物体，如三棱镜、砖块、六棱铅笔，都是具 有棱柱结构特性的物体.
那么这些物体有什么共同特征呢？
7.1.1 简单多面体
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习
棱柱的定义
通过观察，我们发现，有两个平面互相平
∙O'
行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边
形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何
体叫Байду номын сангаас棱柱．
O∙
7.1.1 简单多面体
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习
2019-2020学年北师大版高中数学必修二教师用书：1-1-2 简单多面体 Word版含答案
姓名，年级：时间：1．2 简单多面体1．多面体我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台都是简单多面体．2．棱柱(1）棱柱的有关概念两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫作棱柱．两个互相平行的面叫作棱柱的底面，其余各面叫作棱柱的侧面,棱柱的侧面是平行四边形．两个面的公共边叫作棱柱的棱，其中两个侧面的公共边叫作棱柱的侧棱，底面多边形与侧面的公共顶点叫作棱柱的顶点．（2)棱柱的分类①按底面多边形的边数：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……我们把这样的棱柱分别叫作三棱柱、四棱柱、五棱柱…….②按侧棱与底面是否垂直：3．棱锥（1）定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥．如右图棱锥记作:三棱锥S—ABC。
（2)正棱锥如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面全等,就称作正棱锥．(3)分类按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫作三棱锥、四棱锥、五棱锥……。
4．棱台（1)定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台．如右图棱台记作：三棱台ABC—A1B1C1。
（2）正棱台用正棱锥截得的棱台叫作正棱台．(3)分类按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台……。
1．给出下列图片:观察这些图片中的物体,你能得到什么样的空间几何体？请与下面轮廓图对应，并将它们进行分类．［答案] 图片中展示的几何体有：柱体、锥体、台体、球体四类.可作两种不同的分类：错误!2．正棱锥的侧面是什么样的三角形？正棱台的侧面呢？［答案］正棱锥的侧面是全等的等腰三角形；正棱台的侧面是全等的等腰梯形．3．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”）(1）棱柱的侧面都是平行四边形．（）（2）棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点．（)(3）棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形．( )（4)棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．( )（5)多面体至少有四个面．( ）（6）三棱锥也叫作四面体．（）［答案］（1）√(2)√（3）×(4)√(5)√（6）√题型一棱柱的几何特征【典例1】如图所示的直八棱柱，它的底面边长都是5厘米，侧棱长都是6厘米,回答下列问题：(1)这个八棱柱一共有多少面？它们的形状分别是什么图形？哪些面的形状、面积完全相同?（2)这个八棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？（3）沿一条侧棱将其侧面全部展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？[思路导引］棱柱的表面分为底面与侧面，底面可以是任意的平面多边形，而侧面只可以是平行四边形；棱柱的棱分为底棱和侧棱,侧棱相互平行，相对底棱相互平行．[解］(1)这个八棱柱一共有10个面，其中上、下两个底面，8个侧面；上、下底面是八边形，侧面都是长方形；上、下底面的形状、面积完全相同，8个侧面的形状、面积完全相同．（2）这个八棱柱一共有24条棱，其中侧棱的长度都是6厘米，其他棱长是5厘米．（3)将其侧面沿一条棱展开，展开图是一个长方形，长为5×8＝40(厘米）,宽为6厘米，所以面积是40×6＝240（平方厘米）．［针对训练1] 下列对棱柱的叙述中正确的是（)A．由面围成的几何体叫做棱柱B．至少有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱C．每相邻两个四边形的公共边互相平行的几何体叫做棱柱D．有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻的两个四边形的公共边互相平行的几何体叫棱柱[解析］由棱柱的定义可知，D正确．［答案］D题型二棱锥、棱台的几何特征【典例2】(1）判断如图所示的物体是不是棱锥，为什么？(2)如图所示的多面体是不是棱台？[思路导引] 根据棱锥与棱台的几何特征判定．［解] （1）该物体不是棱锥．因为棱锥的定义中要求：各侧面有一个公共顶点，但侧面ABC与侧面CDE没有公共顶点,所以该物体不是棱锥．（2)根据棱台的定义，可以得到判断一个多面体是否是棱台的标准有两个：一是共点,二是平行．即各侧棱延长线要交于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不可．据此，图（1）中多面体侧棱延长线不相交于同一点,故不是棱台；图（2)中多面体不是由棱锥截得的，不是棱台;图（3）中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行,因此也不是棱台．棱锥、棱台结构特征问题的判断方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2）直接法[针对训练2］有下列三个命题:①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．其中正确的有( ）A．0个B．1个C．2个D．3个[解析] ①中的平面不一定平行于底面,故①错；②③可用反例去检验,如图所示，侧棱延长线不能相交于一点,故②③错．故选A.[答案］A题型三多面体的识别和判断【典例3】如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1。
多面体欧拉定理
多面体欧拉定理定理简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系对于简单多面体，有著名的欧拉公式：V-E+F=2简单多面体即表面经过连续变形可以变为球面的多面体。
多面体欧拉定理式中V表示多面体的顶点数，E表示棱数，F表示面数。
定理一证分析：以四面体ABCD为例。
将它的一个面BCD去掉，再使它变为平面图形，四面体的顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变（这里F1=F-1）。
因此，要研究V、E和F的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。
只需平面图形证明：V+F1-E=1（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E的值不变。
例如去掉BC，就减少一个面ABC。
同理，去掉棱CD、BD，也就各减少一个面ACD、ABD，由于V、F1-E的值都不变，因此V+F1-E的值不变（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E的值不变。
例如去掉CA，就减少一个顶点C。
同理去AD就减少一个顶点D，最后剩下AB。
在以上变化过程中，V+F1-E的值不变，V+F1-E=2-0-1=1，所以V+F-E= V+F1-E+1=2。
对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。
公式对任意简单多面体都是正确的。
定理意义（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律；（2）思想方法创新训练：在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；在方法上将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平，化为平面图形（立体图→平面图）。
（3）引入拓扑新学科：“拉开图”与以前的展开图是不同的，从立体图到拉开图，各面的形状，以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。
事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：拓扑学。
我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。
（4）给出多面体分类方法：在欧拉公式中，令f(p)=V+F-E，f(p)叫做欧拉示性数。
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简单多面体的定义
简单多面体（Simplex）是指由n个面组成的多边形，其中n > 3。
简单多面体可以定义为一个空间中的n个点，每个点都与其他点相关联，而且n个点之间不存在任何共同边。
一般来说，简单多面体的n 个点必须在同一个平面上。
简单多面体也可以在一个超平面上定义，其中超平面是一个超过n个维度的空间。
简单多面体的面数可能从3到无穷多，但它们的特点一定是简单多面体中的每个面都与另一个面的距离都不相等。
此外，简单多面体也要求每个面上的角度要与其他面相同，或者尽量相近。
简单多面体有许多种，其中最简单的形式是三角形，而最常用的是正多边形。
由此可见，简单多面体可以是一个多边形或者是一个立方体。
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