2023高三数学第一次月考试题

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2023-2024学年天津市南开中学高三上学期第一次月考数学试题及答案

南开中学2024届高三第一次月检测数学学科试卷考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.第Ｉ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}2|230A x x x =-->，{}1,2,3,4B =，则()A B ⋂=Rð（）A. {}1,2 B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}42. “sin 0x =”是“cos 1x =”的（）A 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()||sin 2f x x x =的部分图象可能是（）AB. C. D.4. 下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上单调递减的是（）A. 2y = B. sin xy x=C. )lg2y x=- D. e e 2x xy --=5. 计算：0ln 228241.1e log 1lg10ln e log +-+++的值（）A. 0B.152C. 2D. 36. 已知1sin 3a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（）A. a c b<< B. a b c << C. b a c << D. c a b<<7.π2cos 63αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）..A. 19-B.19C.13D.898. 将函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为()y g x =，有下列命题：①函数()g x 的图象关于直线πx =对称 ②函数()g x 图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称③函数()g x 在π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 ④函数()g x 在[]0,2π上恰有5个极值点其中正确命题个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 设函数ln 2,0()π1sin ,π042x x x f x x x ω⎧+->⎪=⎨⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（）A. 131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B. 174⎡⎢⎣C. 49121652⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D. 65121732⎡⎫⎪⎢⎣⎭，第II 卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）10. 已知i 是虚数单位，化简32i12i-+的结果为____________．11.在代数式521x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为_____________．12. 函数()()ππ2sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则π=3f ⎛⎫⎪⎝⎭__________．的的13. 在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60 和30 ，第一排A 点和最后一排E 点的距离为（如图所示），则旗杆的高度为____________米．14. 已知定义在[)0+∞，上的函数()f x ，当[0,2)x ∈时，()()1611f x x =--，且对任意的实数1[2222)n n x +∈--，（*2N n n ∈，≥），都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若函数()()log a g x f x x =-有且仅有五个零点，则a 的取值范围__________.15. 记()ln f x x ax b =++（0a >）在区间[],2t t +（t 为正数）上的最大值为(),t M a b ，若{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=，则实数t 的最大值为__________.三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16. 已知函数()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+-⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值.17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2C π≠，已知cos 2cos cos b c A a B C -=.（1）求角B 的大小；（2）若223125b c ac +=-，求ABC 面积的最大值.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，E 为棱PC 的中点.（1）证明：//BE 平面PAD ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）求点D 到平面PBC 的距离.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，短轴长为.（1）求C 的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM △，求k 的值.20. 已知函数()11lnx aF x x x =--+.（Ⅰ）设函数()()()1h x x F x =-，当2a =时，证明：当1x >时，()0h x >；（Ⅱ）若()0F x >恒成立，求实数a 取值范围；（Ⅲ）若a 使()F x 有两个不同的零点12,x x，证明：21a a x x e e -<-<-.的南开中学2024届高三第一次月检测数学学科试卷考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.第Ｉ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}2|230A x x x =-->，{}1,2,3,4B =，则()A B ⋂=Rð（）A. {}1,2 B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}4【答案】B 【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由2230x x -->，即()()130x x +->，解得3x >或1x <-，所以{}2|230{|1A x x x x x =-->=<-或3}x >，所以{}|13A x x =-≤≤R ð，又{}1,2,3,4B =，所以(){}1,2,3A B ⋂=R ð.故选：B2. “sin 0x =”是“cos 1x =”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分性和必要性的定义结合同角三角函数的关系即可得出结论.【详解】解：因为sin 0x =，根据三角函数的基本关系式，可得cos 1x ==±，反之：若cos 1x =，根据三角函数的基本关系式，可得sin 0x ==，所以“sin 0x =”是“cos 1x =”的必要不充分条件.故选：C.3. 函数()||sin 2f x x x =的部分图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是奇函数，排除B ，再取特殊值验证.【详解】因为()()||sin 2||sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-所以()f x 是奇函数，排除B ，由02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，排除A ，由44f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，排除D ．故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4. 下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上单调递减的是（）A. 2y = B. sin x y x=C. )lg2y x=- D. e e 2x xy --=【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性定义、对数函数、指数函数单调性，结合复合函数的单调性依次判断各个选项即可.【详解】A 选项：()()2f x f x -==，不是奇函数，故A 选项错误；B 选项：()()()sin sin sin x x xf x f x x x x---====--，不是奇函数，故B 选项错误；C 选项：因为()f x 的定义域为R ，且()()))()22lg 2lg2lg 414lg10f x f x x x x x -+=++=+-==，∴()f x 是奇函数．设2t x ==因为t =()0,∞+上单调递减，lg y t =在()0,∞+上单调递增，由复合函数单调性知，()f x 在()0,∞+上单调递减，故C 选项正确；D 选项：()11e 2e x xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为1e e ,xxy y ==-在()0,∞+上都单调递增，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，故D 选项错误，故选：C ．5. 计算：0ln 228241.1e log 1lg10ln e log +-+++的值（）A. 0B.152C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】根据指数及对数的运算法则计算可得；【详解】0ln 222423151.1e log 1lg10ln e log 812012log 222+-+++=+-+++=.故选：B6. 已知1sin 3a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（）A. a c b <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b<<【答案】A 【解析】【分析】化简得13c =，构造函数()sin ,0,2πf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，通过导数可证得sin ,0,2πx x x ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭，可得a c <，而0.91133b c ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，从而可得答案．【详解】2711lg 912lg 31log 922lg 2723lg 33c ==⨯=⨯=.设()sin ,0,2πf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则有()cos 10f x x '=-<，()f x 单调递减，从而()(0)0f x f <=，所以sin ,0,2πx x x ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭，故11sin 33<，即a c <，而0.91133b c ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，故有a c b <<．故选：A ．7.π2cos63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭，则πsin26α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A.19- B.19C.13D.89【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.π2cos63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭，12sin cos23ααα⎫+-=⎪⎪⎭，1π2cos sin263ααα⎛⎫+=+=⎪⎝⎭.πππsin2cos2626αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππcos2cosπ233αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππcos22sin136αα⎛⎫⎛⎫=-+=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2212139⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭.故选：A8. 将函数()π3sin26f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为()y g x=，有下列命题：①函数()g x的图象关于直线πx=对称②函数()g x的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称③函数()g x在π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增④函数()g x 在[]0,2π上恰有5个极值点其中正确的命题个数为（）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象平移变换的特点，利用正弦弦函数的对称性、单调性、最值，结合函数的极值点定义逐项判断即可求解.【详解】函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为()πππ3sin 23sin 2666y g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，对于①，当πx =时，()π3π3sin 2π62g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，不是函数()y g x =的最值，故①错误；对于②，当π12x =时，πππ3sin 2012126g ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②正确；对于③，当π5π,2424x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2,644x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故函数在该区间上单调递增，故③正确；对于④，令(ππ2πZ 62x k k -=+∈，解得()ππZ 23k x k =+∈，当0,1,2,3k =时，π5π4π11π,,,3636x =，在[]0,2π上有4个极值点，故④错误．故选：B.9. 设函数ln 2,0()π1sin ,π042x x x f x x x ω⎧+->⎪=⎨⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（）A. 131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B. 172144⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C. 49121652⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D. 65121732⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】C 【解析】【分析】分段函数分段处理，在1x >，01x <<各有1个零点，所以π0x -≤≤有5个零点，利用三角函数求出所有的零点，保证π0x -≤≤之间有5个零点即可.【详解】由题，当1x ≥时，()ln 2f x x x =+-，显然()f x 在()1,+∞上单调递增，且()110f =-<，()22ln 220f =+->，此时()f x 在()1,+∞在有一个零点；当01x <<时，()ln 2f x x x =--，1()10f x x'=-<，所以()f x 在()0,1上单调递减，2211()220e ef =+->，此时()f x 在()0,1上只有一个零点；所有当π0x -≤≤时，()π1sin 42f x x ω⎛⎫+- ⎪⎝⎭=有5个零点，令()0f x =，则π1sin 42x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即ππ2π46x k ω+=+，或π5π2π46x k ω+=+，k ∈Z ，解得π2π12k x ω-+=，或7π2π12k x ω-+=，k ∈Z ，当0k =时，12π7π1212,x x ωω--==；当1k =时，34π7π2π2π1212,x x ωω----==；当2k =时，56π7π4π4π1212,x x ωω----==；由题可得π0x -≤≤区间内的5个零点，即π4π12π7π4π12πωω⎧--⎪≥-⎪⎪⎨⎪--⎪<-⎪⎩，解得54912126ω≤<，即49651212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，.故选：C.【点睛】分段函数的零点问题点睛：根据函数的特点分别考虑函数在每段区间上的单调性，结合零点存在性定理，得到每一段区间上的零点的个数，从而得出函数在定义域内的零点个数.第II 卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）10. 已知i 是虚数单位，化简32i12i-+的结果为____________．【答案】18i 55--【解析】分析】运用复数运算法则计算即可.【【详解】2232i (32i)(12i)36i 2i 4i 38i 418i 12i (12i)(12i)14i 1455-----+--====--++--+.故答案为：18i 55--.11.在代数式521x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为_____________．【答案】-5【解析】【分析】写出二项式定理的通项，化简后，使得x 的指数幂为0，即可求得k 的值.【详解】521x ⎫-⎪⎭的展开式的通项为：()51552215521C C 1rrrr r r r T x x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令5502r -=，解得1r =，所以()11215C 15T +=-=-，521x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为5-.故答案为：-512. 函数()()ππ2sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则π=3f ⎛⎫⎪⎝⎭__________．【解析】【分析】根据函数()f x 的图象结合正弦函数的图象及性质，求得函数的解析式，再代入求值即可.【详解】由函数()f x 的图象可知，35ππ3π41234T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则2π=πT ω=，2ω=.把5π12x =代入()f x ，则5ππ22π122k ϕ⨯+=+，而ππ22ϕ-<<，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以ππππ=2sin 22sin 3333f ⎛⎫⎛⎫⨯-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.13. 在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60 和30 ，第一排A 点和最后一排E 点的距离为（如图所示），则旗杆的高度为____________米．【答案】27【解析】【分析】根据已知可得30ECA ∠= ，在EAC 中由正弦定理可得AC ，再利用t ABC R 中计算可得答案.【详解】由图可得3609012012030∠=---= ECA ，在EAC sin 30= EA，即sin 452sin 30===EA AC ，在t ABC R 中，60CAB ∠= ，可得sin 6027=⨯== BC AC 米.故答案为：27.14. 已知定义在[)0+∞，上的函数()f x ，当[0,2)x ∈时，()()1611f x x =--，且对任意的实数1[2222)n n x +∈--，（*2N n n ∈，≥），都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若函数()()log a g x f x x =-有且仅有五个零点，则a 的取值范围__________.【答案】1410⎛ ⎝【解析】【分析】写出()f x 的解析式并画出()f x 的图象，结合已知条件将问题转化为()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点，结合图象分析即可求得结果.【详解】当[0,2)x ∈，()16(1|1|)f x x =--，当2n =时，[2,6)x ∈，此时1[0,2)2x -∈，则11()(1)16(1|2|)8(1|2|)22222x x xf x f =-=⨯--=--，当3n =时，[6,14)x ∈，此时1[2,6)2x -∈，则1155()(1)8(1||)4(1||)2224242x x x f x f =-=⨯--=--，当4n =时，[14,30)x ∈，此时1[6,14)2x-∈，则111111()(1)4(1||)2(1||)2228484x x x f x f =-=⨯--=--，……因为()()log a g x f x x =-有且仅有5个零点，所以()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点，如图所示，由图可知，当log a y x =经过点(10,4)A 时，两函数图象有4个交点，经过点(22,2)B 时，两函数图象有6个交点，所以当()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点时，则1log 104log 222a aa >⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得1410a <<.故答案为：1410（.15. 记()ln f x x ax b =++（0a >）在区间[],2t t +（t 为正数）上的最大值为(),t M a b ，若{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=，则实数t 的最大值为__________.【答案】14##0.25【解析】【分析】由函数单调性性质及图象变换可画出()f x 的图象，进而可得(,)()t M a b f t ≥，结合已知条件可知只需()ln 3f t a ≥+，即(ln )ln 3t at b a -++≥+，由()(2)f t f t =+可得ln(2)ln 2(1)2t t a t b ++++=-，联立两者进而可求得结果.【详解】设()ln g x x ax b =++，（0a >），定义域为(0,)+∞，由单调性性质可知，()g x 在(0,)+∞上单调递增，当x 趋近于0时，()g x 趋近于-∞；当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于+∞，设0()0g x =，则()g x 的图象如图所示，所以()f x 的图象如图所示，则由图象可知，{}max (),()(2)()(,)max (),(2)(2),()(2)t f t f t f t f x M a b f t f t f t f t f t ≥+⎧==+=⎨+<+⎩，所以(,)()t M a b f t ≥，如图所示，当()(2)f t f t =+时，有(ln )ln(2)(2)t at b t a t b -++=++++，则ln(2)ln 2(1)2t t a t b ++++=-，①又因为{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=，所以()ln 3f t a ≥+，即(ln )ln 3t at b a -++≥+，所以ln ln 3b t at a ≤----，②由①②得ln(2)ln 2(1)ln ln 32t t a t t at a ++++≤-----，整理得ln(2)ln 2ln 3ln 9t t t +≥+=，即29t t +≥，所以14t ≤.故t 的最大值为14.故答案为：14【点睛】恒成立问题解题方法指导：方法1：分离参数法求最值.(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．(2)()a f x ≥恒成立⇔max ()a f x ≥；()a f x ≤恒成立⇔min ()a f x ≤；()a f x ≥能成立⇔min ()a f x ≥；()a f x ≤能成立⇔max ()a f x ≤.方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16. 已知函数()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+-⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值.【答案】（1）πT =，()5ππ122k x k =+∈Z （2）min 1y =，max 2y =.【解析】【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式化简，再根据周期公式、对称轴公式进行求解；（2）由x 的取值范围求出整体角的取值范围，再结合正弦型函数图像及性质得出结果.【小问1详解】()()2πcos 2sin πcos 2f x x x x ⎤⎛⎫=+-+⋅ ⎪⎥⎝⎭⎦)22sin cos 1cos2sin2x x x x x =+⋅=-+sin22sin 23x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故周期为2ππ2T ==，令2π,32x k k ππ-=+∈Z ，解得()5ππ122k x k =+∈Z ，对称轴方程()5ππ122k x k =+∈Z ，【小问2详解】()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵ππ42x ≤≤，∴ππ2π2,363t x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，当π6t =时，即π4x =时，()min π1sin sin 62t ==，此时min 1y =，当π2t =时，即5π12x =时，()max πsin sin 12t ==，此时max 2y =.17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2C π≠，已知cos 2cos cos b c A a B C -=.（1）求角B 的大小；（2）若223125b c ac +=-，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）3π（2【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角或余弦定理化简原式，根据2C π≠，所以cos 0C ≠或2222a b c b+-≠，化简即可得出1cos 2B =，即可得出答案；（1）根据余弦定理结合第一问得出的角B 的大小得出222a c b ac +-=，结合已知223125b c ac +=-，得出224412a ac c ++=，根据基本不等式得出22412422a c ac a c +=-≥⋅⋅即32ac ≤，即可由三角形面积公式得出答案；或将224412a ac c ++=化简为2(2)12a c +=，由三角形面积公式结合基本不等式得出ABC 的面积212sin 222a c S ac B c +⎫===⋅≤=⎪⎭，即可得出答案.【小问1详解】方法一：由cos 2cos cos b c A a B C -=根据正弦定理边化角得：sin sin cos 2sin cos cos B C A A B C -=，即()sin sin cos 2sin cos cos A C C A A B C +-=，所以sin cos 2sin cos cos A C A B C =，因为2C π≠，所以cos 0C ≠，又sin 0A >，所以1cos 2B =，又0πB <<，所以3B π=.方法二：由cos 2cos cos b c A a B C -=根据余弦定理：得2222222cos 22b c a a b c b c a B bc ab+-+--=⋅，即2222222cos 22b c a a b c B b b -++-=⋅，因为2C π≠，所以22202a b c b+-≠，所以1cos 2B =，又0πB <<，得3B π=.小问2详解】方法一：由（1）及余弦定理知2221cos 22a cb B ac +-==，所以222a c b ac +-=，因为223125b c ac +=-，所以()2221235a c c ac ac +---=，化简得224412a ac c ++=，因为0,0a c >>，所以22412422a c ac a c +=-≥⋅⋅，所以32ac ≤，当且仅当2a c ==a c ==时取等号，所以ABC的面积1sin 2S ac B ==≤，所以ABC方法二：由（1）及余弦定理知2221cos 22a cb B ac +-==，所以222a c b ac +-=.因为223125b c ac +=-，所以()2221235a c c ac ac +---=，化简得224412a ac c ++=，即2(2)12a c +=，所以ABC的面积212sin 222a c S ac B c +⎫===⋅≤=⎪⎭，【当且仅当2a c ==a c ==时取等号，所以ABC 18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，E 为棱PC 的中点.（1）证明：//BE 平面PAD ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）求点D 到平面PBC 的距离.【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）以A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行；（2）求出平面PBD 的一个法向量，再由向量法求解；（3）求出平面PBC 的法向量()2111,,n x y z =，再由向量法求解.【小问1详解】解：以点A 为原点，AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()002P ,,，由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ，向量()0,1,1BE = ，()1,0,0AB =，故0BE AB ⋅= ，又AB为平面PAD 的一个法向量，又BE ⊄面PAD ，所以//BE 平面PAD .【小问2详解】向量()1,2,0BD =-，()1,0,2PB =- ，()0,1,1BE = 设(),,n x y z = 为平面PBD 的法向量，则0n BD n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，得()2,1,1n =为平面PBD 的一个法向量，所以cos ,n BE n BE n BE⋅===⋅所以直线BE 与平面PBD【小问3详解】向量()1,2,0BC = ，设平面PBC 的法向量()2111,,n x y z =，220n BC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11112020x y x z +=⎧⎨-=⎩，令11y =-，得()22,1,1n =- 为平面PBC 的一个法向量，则22BD n d n ⋅===.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，短轴长为..（1）求C 的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM △，求k 的值.【答案】（1）22142x y += （2）【解析】【分析】（1）根据题意得出,a b 的值，进而可得结果；（2）设直线l 的方程为()2y k x =+，将其与椭圆方程联立，得出EM 斜率，联立方程组得出M 点的坐标，利用点到直线距离公式式，结合韦达定理以及三角形面积公式将面积表示为关于k 的方程，解出即可得结果.小问1详解】由题意可得2222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，b =，c =∴椭圆C 的方程为22142x y +=.【小问2详解】易知椭圆左顶点()2,0A -，设直线l 的方程为()2y k x =+，则()0,2E k ，()0,2H k -，由()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消y 可得()2222128840k x k x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，∴()()422644841216k k k ∆=--+=，【则有2122812k x x k +=-+，21228412k x x k-=+，∴()2012214212k x x x k =+=-+，()0022212=+=+k y k x k ，∴0012OP y k x k ==-，∴直线EM 的斜率2EM k k =，∴直线EM 的方程为22y kx k =+，直线AH 的方程为()2y k x =-+，∴点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴点M 到直线:20l kx y k -+=的距离d =，∴AB ==∴1||2AP AB ==∴241132212APM k S AP d k =⋅=⨯==+△，解得k =.20. 已知函数()11lnx a F x x x =--+.（Ⅰ）设函数()()()1h x x F x =-，当2a =时，证明：当1x >时，()0h x >；（Ⅱ）若()0F x >恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若a 使()F x 有两个不同的零点12,x x ，证明：21a a x x e e -<-<-.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2a ≤；（Ⅲ）证明见解析.【解析】分析】（Ⅰ）当2a =时对()h x 求导，证明1x >时，()0h x '>即可.（Ⅱ）设函数()()1ln 1a x f x x x -=-+，根据函数的单调性判断ln x 与()11a x x -+的关系，根据()0F x >恒成立，确定a 的取值范围；（Ⅲ）根据函数的单调性求出2121a a t t x x e e --<-<-，得到【21t t -==，证明结论成立即可.【详解】（Ⅰ）()()ln 111x a h x x x x ⎛⎫=--⎪-+⎝⎭当2a =时，()()()21ln 21ln 111x x h x x x x x x -⎛⎫=--=- ⎪-++⎝⎭()()()()()()()()2222221211111114x x x x h x x x x x x x x +---+-'=-==+++，当1x >时，()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上为单调递增函数，因为()10h =，所以()()10h x h >=，（Ⅱ）设函数()()1ln 1a x f x x x -=-+，则()()()222111x a x f x x x +-+'=+，令()()2211g x x a x =+-+，当1a ≤时，当0x >时，()0g x >，当12a <≤时，2480a a ∆=-≤，得()0g x ≥，所以当2a ≤时，()f x 在()0,∞+上为单调递增函数，且()10f =，所以有()101f x x >-，可得()0F x >．当2a >时，有2480a a ∆=->，此时()g x 有两个零点，设为12,t t ，且12t t <.又因为()12210t t a +=->，121t t =，所以1201t t <<<，在()21,t 上，()f x 为单调递减函数，所以此时有()0f x <，即()1ln 1a x x x -<+，得ln 011x a x x -<-+，此时()0F x >不恒成立，综上2a ≤．（Ⅲ）若()F x 有两个不同的零点12, x x ，不妨设12x x <，则12, x x 为()()1ln 1a x f x x x -=-+的两个零点，且11x ≠，21x ≠，由（Ⅱ）知此时2a >，并且()f x 在()10,t ，()2,t +∞为单调递增函数，在()12,t t 上为单调递减函数，且()10f =，所以()10f t >，()20f t <，因为()201a a a f e e -=-<+，()201aa a f e e =>+，1a a e e -<<，且()f x 图象连续不断，所以()11,a x e t -∈，()22,a x t e∈，所以2121a a t t x x e e--<-<-，因为21t t -==综上得:21||a a x x e e -<-<-.【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法（1）分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.（2）数形结合法结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于x 轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.（3）主参换位法把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.。

2023届河北省邢台市第二中学高三上学期第一次月考数学试题(解析版)

2023届河北省邢台市第二中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设集合{}{}{}0,1,2,3,4,(3)0,24,U A x x x B x x x *==-==≤≤∈N ，则()U A B =（） A ．{2,4} B ．{2,3,4} C ．{2} D ．{1,2,3,4}【答案】A【分析】解出集合A ，再进行补集交集运算即可. 【详解】12(3)00,3x x x x -=⇒==，则{}{}0,3,1,2,4UA A ==，又{}2,3,4B =，所以(){}24UA B =，.故选：A. 2．已知复数21iz =-，复数z 是复数z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A ．1BC ．2D ．【答案】C【分析】根据复数的运算性质，得到2z z z ⋅=，即可求解.【详解】根据复数的运算性质，可得2222221i 1i z z z ⎛⎫⋅==== ⎪ ⎪--⎝⎭. 故选；C ．3．设1z 、2z 是复数，则下列说法中正确的是（） A ．若120z z +=，则12z z = B ．若12z z +∈R ，则1z 、2z 互为共轭复数C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =【答案】C【分析】求出12z z =-可判断A 选项；利用共轭复数的定义可判断B 选项；利用复数的乘法可判断C 选项；利用特殊值法可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若120z z +=，则120z z +=，可得12z z =-，A 错；对于B 选项，设111i z a b =+，()2221212i ,,,z a b a a b b =+∈R ，则()()121212i z z a a b b +=+++，由题意可得120b b +=，则12b b =-，但1a 、2a 不一定相等，故1z 、2z 不一定互为共轭复数，B 错；对于C 选项，设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，222z z a b z ∴⋅=+=，若12=z z ，22111222z z z z z z ⋅===⋅，C 对；对于D 选项，取11i z =+，21i z =-，则12z z =但()2211i 2i z =+=，()2221i 2i z =-=-，则2212z z ≠，D 错. 故选：C. 4．记函数2log 2xy x=-的定义域为集合A ，若“x A ∈”是关于x 的不等式()22200x mx m m +-<>成立”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．()0,2D ．(]0,2【答案】B【分析】求出函数2log 2x y x=-的定义域得集合A ，解不等式()22200x mx m m +-<>得m 的范围，根据充分不必要条件的定义可得答案.【详解】函数2log 2xy x =-有意义的条件为02x x>-，解得02x <<，所以{}02A x x =<<，不等式()22200x mx m m +-<>，即()()20x m x m +-<，因为0m >，所以2m x m -<<，记不等式()22200x mx m m +-<>的解集为集合B ，所以A B ⊆，所以220≥⎧⎨-≤⎩m m ，得2m ≥.故选：B ．5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在区间()1,+∞上单调递增，则满足()()13f x f x ->+的x 的取值范围为（） A ．()1,-+∞ B ．(),1-∞- C ．()1,1- D ．(),1-∞【答案】B【分析】先求出函数()f x 的对称轴，再根据单调性和对称性可知，自变量离对称轴越远，其函数值越大，由此结论列式可解得结果.【详解】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=-，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，又()f x 在区间()1,+∞上单调递增，所以在(,1)-∞上单调递减，因为()()13f x f x ->+，()()|11||31|x x -->+-，即2x x ->+，平方后解得1x <-. 所以x 的取值范围为(,1)-∞-. 故选：B.6．如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，O 是CD 上一点，且2CO OD =，则下列说法中正确的个数是（）①0OA OB OC ++=；②过点O 作一条直线与边,AC BC 分别相交于点,E F ，若34CE CA =，CF CB μ=(01)μ≤≤，则34μ=； ③若△ABC 是边长为1的正三角形，M 是边AC 上的动点，则BM MD ⋅的取值范围是323,464⎡⎤--⎢⎥⎣⎦A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【分析】由1122CD CA CB =+，2,3OC CD OA OD DA =-=+，OB OD DA =-，结合向量的运算判断①；由,,E O F 三点共线结合向量的数乘运算判断②；建立坐标系，利用坐标运算结合二次函数的性质判断③.【详解】对于①：1122CD CA CB =+，2,3OC CD OA OD DA =-=+，OB OD DB =+OD DA =-，故22220333OA OB OC CD OD CD CD ++=-+=-+=，故①正确；对于②：1351()34123OE OC CE CA CB CA CA CB =+=-++=-，111()333OF OC CF CA CB CB CA CB μμ⎛⎫=+=-++=-+- ⎪⎝⎭，因为,,E O F 三点共线，所以OF OEλ=，即511231133λμλ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得4,355λμ=-=，故②错误；对于③：以点D 作为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系，113,0,,0,0,,(0,0)222A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13,,(1,0)22AC AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，设,[0,1]AM t AC t =∈，因为1313,(1,0)1,2222BM AM AB t t t t ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，113113,0,,222222MD AD AM t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以221113311222442BM MD t t t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=---=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当1t =时，43BM MD ⋅=-，当38t =时，2364BM MD ⋅=-，即BM MD ⋅的取值范围是323,464⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故③正确；故选：C7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[ 3.7]4,[2.3]2-=-=.已知()[ln ]f x x x =，当()0f x =时，x 的取值集合为A ，则下列选项为x A ∈的充分不必要条件的是（） A ．(0,1)x ∈ B ．e)x ∈C ．(1,2)x ∈D ．()2,e x ∈【答案】B【分析】令()ln g x x x =，根据高斯函数知()0f x =时，0()1g x ≤<，利用导数分析不等式的解集，即可得解.【详解】令()ln ,0g x x x x =>，由题意()0f x =时，0()1g x ≤<，()ln 1g x x '=+，1e x ∴<时，()0g x '<，1e x >时，()0g x '>，所以()g x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，显然1(0,)ex ∈时，()0g x <，又(1)0g =，所以0()1g x ≤<的解为0[1,)x x ∈，其中0()1g x =，因为(2)2ln 2ln 41g ==>，1g ==<，(e)eln e e 1g ==>，所以 0[1,)x ，故选：B8．设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（） A ．[]1,2 B ．[]1,3C ．[]0,2D ．[]2,3【答案】A【分析】当1x >时，结合不等式求得其最小值为123a -，当1x ≤时，()()229f x x a a =-+-，根据函数()f x 的最小值为()1f ，列出不等式组，即可求解.【详解】当1x >时，221688333123x a x a a a x x x +-=++-≥=-，当且仅当28x x=时，等号成立；即当1x >时，函数()f x 的最小值为123a -，当1x ≤时，()()222299f x x ax x a a =-+=-+-，要使得函数()f x 的最小值为()1f ，则满足()11102123a f a a ≥⎧⎨=-≤-⎩，解得12a ≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,2. 故选：A.二、多选题9．下列命题正确的是（）A ．函数2()ln f x mx x =-在(1,2)上单调递增的一个必要不充分条件是1|4m m ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭B ．“2a b +>”是“2a b +>”充分不必要条件C ．“1a > ”是“11a<”的必要不充分条件 D ．命题“[]22,3,10x mx mx ∃∈-+≥”是假命题，则实数m 的取值范围为1{|}6m m ≤-【答案】AB【分析】求得1()2f x mx x '=-，转化为212mx x≥在(1,2)x ∈上恒成立，可判定A 正确；由绝对值三角不等式，结合充要条件的判定，可判定B 正确；由分式不等式的解法，结合充要条件的判定，可判定C 不正确；转化为命题“[]22,3,10x mx mx ∀∈-+<””是真命题，结合分离参数法，可判断D 错误.【详解】对于A 中，由函数2()ln f x mx x =-，可得1()2f x mx x'=-，若函数()f x 在(1,2)上单调递增，即当(1,2)x ∈时，1()20f x mx x'=-≥恒成立，即212mx x ≥在(1,2)x ∈上恒成立，又由当(1,2)x ∈时，max 211()22x <，即12m ≥，函数()f x 在(1,2)上单调递增的一个必要不充分条件是1|4m m ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，所以A 正确；对于B 中，由绝对值三角不等式，可得2a b a b +≥+>，所以充分性成立；反之：例如：当1,3a b ==-时，满足2a b +>，此时2a b +=，即必要性不成立，所以“2a b +>”是“2a b +>”充分不必要条件，所以B 正确；对于C 中，由1110aa a--=<，解得1a >或0a <，所以“1a > ”是“11a<”的充分不必要条件，所以C 不正确；对于D 中，由命题“[]22,3,10x mx mx ∃∈-+≥”是假命题，可得命题“[]22,3,10x mx mx ∀∈-+<””是真命题，当[]2,3x ∈时，20x x ->恒成立，所以只需21m x x<--在[]2,3x ∈上恒成立，当2x =时，min 211()3x x -=--，所以13m <-，所以D 错误. 故选：AB.10．用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()()*A B C A C B =-，已知集合()()2222,,,2x y y x a A x y B x y x y y x ⎧⎧+==+⎧⎫⎧⎫⎪==⎨⎨⎬⎨⎨⎬+==⎩⎭⎩⎭⎪⎩⎩∣∣，若*1A B =，则实数a 的取值可能为（） A ．14-B ．21-C ．1003D ．2021【答案】BCD【分析】先求出()1C A =，从而得到()0C B =或()2C B =，利用()1C B =即方程有一个根得到14a =-，那么排除掉A 选项，其他三个选项为正确结果.【详解】由(){}1,1A =，可得()1C A =，若*1A B =，有()0C B =或()2C B =.当()1C B =时，方程组2,y x a y x=+⎧⎨=⎩中消去y 有：20x x a --=，则Δ140a =+=，解得：14a =-，可得若*1A B =，则实数a 的取值范围为14aa ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭∣，可知选项为:BCD . 故选：BCD11．下列说法中错误的有（） A ．两个非零向量,a b ，若||||||a b a b ，则a 与b 共线且反向B ．已知13(2,3),(,)24a b =-=-不能作为平面内所有向量的一个基底C ．已知向量(2,1),(3,1)a b ==-，向量b 在向量a 上的投影向量是D ．若非零向量a ，b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角是60 【答案】CD【分析】由||||||a b a b 计算判断A ；由共线向量的坐标表示判断B ；求出向量b 在向量a 上的投影向量判断C ；求出向量a 与a b +的夹角判断D 作答. 【详解】对于A ，由||||||a b a b 两边平方得：||||a b a b -⋅=，而,a b 是非零向量，则a 与b 共线且反向，A 正确；对于B ，13(2,3),(,)24a b =-=-，且有312()(3)042⨯---⨯=，则//a b ，,a b 不能作为平面内所有向量的一个基底，B 正确；对于C ，向量(2,1),(3,1)a b ==-，向量b 在向量a 上的投影向量是2||a ba a a ⋅=-，C 错误；对于D ，a ，b 是非零向量，作,OA a OB b ==，因||||||a b a b ==-，则OAB 是正三角形，如图，取线段AB 中点D ，则30DOA ∠=，有2+=a b OD ，即a 与a b +的夹角是30，D 错误. 故选：CD12．设函数()2101,0lg ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的值可能是（）A ．0B ．1C ．99D ．100【答案】BC【分析】首先根据题意画出图象，根据二次函数的性质得到1210x x +=-，根据对数函数的性质得到431x x =，从而得到()()123433110x x x x x x ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭，再根据函数单调性求解即可.【详解】如图所示：因为关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，所以01a <≤.2101y x x =++的对称轴为5x =-，所以1210x x +=-.因为34lg lg x x =，所以34lg lg 0x x +=，即341x x =，431x x=.因为3lg 1x ≤，所以31110x ≤<. 所以()()123433110x x x x x x ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭，因为110y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1110x ≤<为减函数，所以()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-.故选：BC三、填空题13．已知向量a ，b ，c 满足，0a b c ++=，2a =，3b =，5c =，则⋅=a b _________. 【答案】6【分析】由0a b c ++=，得a b c +=-，两边平方化简可得答案【详解】由0a b c ++=，得a b c +=-，两边平方，得2222a a b b c +⋅+=，因为235a b c ===，，，所以42925a b +⋅+=，得·6a b =. 故答案为：6.14．若函数()f x 与()g x 同在一个区间内取同一个自变量时，同时取得相同的最小值，则称这两个函数为“兄弟函数”，已知函数()()2,f x x bx c b c =++∈R 与()21x x g x x-+=是定义在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“兄弟函数”，那么()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是___________. 【答案】2【分析】利用基本不等式求出()g x 的最小值及对应的x 的值，根据“兄弟函数”的定义可知()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为()11f =，根据二次函数的性质求出b 、c 的值，即可得到()f x 的解析式，最后根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：211()111x x g x x x x -+==+-≥=，当且仅当1x x=即1x =时取等号， ∴当1x =时，()g x 取最小值()11g =．函数()f x 与()g x 同在一个区间内取同一个自变量时，同时取得相同的最小值，则称这两个函数为“兄弟函数”，∴函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为()11f =．∴点()1,1为抛物线2()f x x bx c =++的顶点．∴212414b c b ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∴22b c =-⎧⎨=⎩． 2()22f x x x ∴=-+．()y f x∴=在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间[]1,2上单调递增．1524f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22f =， ()f x ∴在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是2．故答案为：2．15．已知0a >，0b >，下面四个结论：①22ab a b a b +≤+；②若0a b >>，则241()ab b b a b ++-的最小值为4；③若a b >，则22c c a b≤；④若11111a b +=++，则2+a b 的最小值为其中正确结论的序号是______．（把你认为正确的结论的序号都填上）【答案】①③④【分析】对于①，由222a b ab +≥，得2224a b ab ab ++≥，然后变形后判断，对于②，变形后利用基本不等式判断，对于③，由不等式的性质判断，对于④，将11(122)11a b a b ⎛⎫++++ ⎪++⎝⎭展开由基本不等式可推导出结果【详解】对于①，因为222a b ab +≥，所以2224a b ab ab ++≥，即2()4a b ab +≥，因为0a >，0b >，所以22ab a ba b +≤+，所以①正确，对于②，因为0a b >>，所以0a b ->，所以2224141()()()ab b b a b b b a b b b a b ⎛⎫++=++-+ ⎪--⎝⎭ 6≥=，当且仅当224b b =，1()()b a b b a b -=-，即a b ==②错误，对于③，因为0a b >>，所以110a b <<，因为2c ≥0，所以22c c a b≤，所以③正确，对于④，因为112(1)1(122)3331111b a a b a b a b ++⎛⎫++++=++≥+=+ ⎪++++⎝⎭当且仅当2(1)111b a a b ++=++，即a b ==因为11111a b +=++，所以1223a b +++≥+2a b +≥，当且仅当a b ==④正确，故答案为：①③④16．已知函数(),0ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()1g x f x mx =--，当实数m 的取值范围为________时，()g x 的零点最多. 【答案】210m e <<【分析】作出函数()f x 的图象，由()0g x =得() +1f x mx =，设+1y mx =，分0m =，0m <，>0m 分别讨论+1y mx =与()f x 的交点个数，当>0m 时，求得+1y mx =与xy e =相切时切线的斜率，+1y mx =与ln y x =相切时切线的斜率，由此可求得实数m 的取值范围.【详解】解：作出函数()f x 的图象如图：由()0g x =得() +1f x mx =，设+1y mx =，当0m =时，+1y mx =与()f x 有2个交点；当0m <时，+1y mx =与()f x 有2个交点；. 当>0m 时，设+1y mx =与x y e =相切，切点为()11,x x e ，则'e x y =，所以切线的斜率为11x k e =，其切线方程为：()111x xy e e x x -=-，又因切线恒过点()01，，所以()11110x x e e x -=-，解得10x =，所以切线的斜率为011k e ==，当>0m 时，设+1y mx =与ln y x =相切，切点为()22,ln x x ，则'1y x=，所以切线的斜率为221k x =，其切线方程为：()2221ln y x x x x -=-，又因切线恒过点()01，，所以()22211ln 0x x x -=-，解得22x e =，所以切线的斜率为221k e =，所以当m 1≥时，+1y mx =与()f x 有1个交点；当211m e <<时，+1y mx =与()f x 有2个交点；当21m e=时，+1y mx =与()f x 有3个交点；当210m e <<时，+1y mx =与()f x 有4个交点；所以实数m 的取值范围为210m e <<时，()g x 的零点最多，故答案为：210m e <<.四、解答题17．已知函数()22f x x mx n =++的图象过点()1,1-，且满足()()23f f -=．(1)求函数()f x 的解析式：(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；(3)若0x 满足()00f x x =，则称0x 为函数()y f x =的不动点，函数()()g x f x tx t =-+有两个不相等且正的不动点，求t 的取值范围．【答案】(1)()2221f x x x =--；(2)()2min23263,,2331,,2221221,2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪⎡⎤=--<<⎨⎣⎦⎪⎪--≥⎪⎩；(3)1t >.【分析】(1)根据f (x )图像过点()1,1-，且满足()()23f f -=列出关于m 和n 的方程组即可求解；(2)讨论对称轴与区间的位置关系，即可求二次函数的最小值； (3)由题可知方程x ＝g (x )有两个正根，根据韦达定理即可求出t 的范围. 【详解】(1)∵()f x 的图象过点()1,1-， ∴21m n ++=-① 又()()23f f -=， ∴82183m n m n -+=++② 由①②解2m =-，1n =-，∴()2221f x x x =--；(2)()2213221222f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，[],2x a a ∈+，当122a +≤，即32a ≤-时，函数()f x 在[],2a a +上单调递减，∴()()2min 2263f x f a a a ⎡⎤=+=++⎣⎦；当122a a <<+，即3122a -<<时，函数()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增，∴()min1322f x f ⎛⎫⎡⎤==- ⎪⎣⎦⎝⎭；当12a ≥时，函数()f x 在[],2a a +上单调递增， ∴()()2min221f x f a a a ⎡⎤==--⎣⎦．综上，()2min23263,,2331,,2221221,2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪⎡⎤=--<<⎨⎣⎦⎪⎪--≥⎪⎩．(3)设()()g x f x tx t =-+有两个不相等的不动点1x 、2x ，且1>0x ，20x >，∴()g x x =，即方程()22310x t x t -++-=有两个不相等的正实根1x 、2x ．∴()()21212Δ3810,30,2102t t t x x t x x ⎧⎪=+-->⎪+⎪+=>⎨⎪-⎪=>⎪⎩，解得1t >． 18．在①323n n b T =+，②{}n b 为等比数列，且13b =，23143T T T =+这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题．已知数列21n a n =-，数列{}n b 的前n 项和是n T ，______． (1)求数列{}n b 的通项公式；(2)若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n M ，证明：对任意n *∈N 均有1n M ≤恒成立．【答案】(1)3nn b =(2)证明见解析【分析】（1）若选①，利用退一相减法可得通项公式；若选②，直接可得数列的首项及公比，进而可得通项公式；（2）利用错位相减法可得n M ，进而得证.【详解】(1)解：若选①，当1n =时，11132323b T b =+=+，即13b =；当2n ≥时，323n n b T =+，11323n n b T --=+，作差可得1332n n n b b b --=，即13n n b b -=，所以数列{}n b 为等比数列，其首项为13b =，公比3q =，所以1333n nn b -=⨯=；若选②，23143T T T =+，则121231443b b b b b b +=+++，即323b b =，又数列{}n b 为等比数列，所以3q =，且13b =，所以1333n nn b -=⨯=；(2)证明：由（1）得3nn b =，所以()2112133nn n n a n n b -⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭，所以()()23111111135232133333n nn M n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()23411111113523213333313n n n n n M +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()2311111111122222133333233n nn n M n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()211112133112113313n n n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+--⨯ ⎪⎝⎭- ()121121333n n n +⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212233n n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()1113nn M n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，又n *∈N ，所以()11113nn M n ⎛⎫=-+⋅< ⎪⎝⎭恒成立.19．第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x 千台空调，需另投入资金R 万元，且2210,040901945010000,40x ax x R x x x x ⎧+≤<⎪=⎨-+≥⎪⎩.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R =4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完. (1)求2022年该企业年利润W （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式； (2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.【答案】(1)2210600260,040919010000,40x x x W x x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-+-≥⎪⎩(2)当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元【分析】（1）由题意可知10x =时，R =4000，代入函数中可求出a ，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润W （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式，（2）分别当040x ≤<和40x ≥求出函数的最大值，比较即可得答案【详解】(1)由题意知，当10x =时，()21010104000R x a =⨯+=，所以a =300. 当040x ≤<时，()229001030026010600260W x x x x x =-+-=-+-；当40x ≥时，22901945010000919010000900260x x x x W x x x-+-+-=--=. 所以2210600260,040919010000,40x x x W x x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-+-≥⎪⎩，(2)当040x ≤<时，()210308740W x =--+，所以当30x =时，W 有最大值，最大值为8740；当40x ≥时，10000100009190291908990W x x x x ⎛⎫=-++≤-⋅+= ⎪⎝⎭，当且仅当10000x x=，即x =100时，W 有最大值，最大值为8990. 因为87408990<，所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元. 20．为了使更多人参与到冰雪运动中，某校组织了一次简易冰壶比赛.每场比赛由两支队伍对抗进行，每队由2名成员组成，共进行3局.每局比赛时，两队成员交替发球，每名成员只能从发球区（MN 左侧）掷冰壶一次.当所有成员全部掷完冰壶后，开始计分.若冰壶未到达营垒区，计1-分；若冰壶能准确到达营垒区，计2分，整场比赛累计得分多者获得比赛胜利.已知A 队两名成员甲､乙每次将冰壶投掷到营垒区的概率分别为12和13，B 队两名成员丙､丁每次将冰壶投掷到营垒区的概率均为12.假设两队投掷的冰壶在运动过程中无碰撞，每名成员投掷冰壶相互独立，每局比赛互不影响.(1)求A 队每局得分X 的分布列及期望；(2)若第一局比赛结束后，A 队得1分，B 队得4分，求A 队最终获得本场比赛胜利且总积分比B 队高3分的概率.【答案】(1)分布列见解析，期望为12；(2)43576.【分析】（1）根据题设写出X 的所有可能取值及对应概率，即可得到分布列，再根据分布列求期望即可；（2）同（1）写出B 的分布列，根据题设写出A 队获胜且总积分比B 队高3分所有可能情况，再求出各情况的概率，最后加总即可得结果.【详解】(1)由题设，X 的所有可能取值为2-，1，4，且X 的分布列如下：所以()21413262E X =-++=.(2)设B 队每局得分为Y ，同理Y 的分布列为记A 队､B 队在后两局总得分分别为x ､y ，则所包含的情况如下：()111111132,42362244576P x y ⎛⎫==-=⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，()111115,122264224P x y ==-=⨯⨯⨯⨯⨯=， ()11111168,22662244576P x y ⎛⎫===⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，故A 队最终获得本场比赛胜利且总积分比B 队高3分的概率为13164357624576576++=.21．如图所示：已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，离心率e =A 是椭圆的右顶点，直线l 过点()1,0M -交椭圆于C ，D 两点，交y 轴于点P ，PC CM λ=，PD DM μ=．记ACD △的面积为S ．(1)求椭圆E 的标准方程； (2)求S 的取值范围； (3)求证：λμ+为定值．【答案】(1)2214x y +=；(2)33； (3)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，求出半焦距c 及b 即可作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆E 的方程联立，结合韦达定理求出面积S 的表达式即可求解作答.（3）由（2）中信息，用点C ，D 的坐标表示出,λμ即可计算作答. 【详解】(1)令椭圆E 的半焦距为c ，依题意，2a =，3c e a ==3c =2221b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=.(2)依题意，直线l 不垂直于坐标轴，设直线l ：1x ty =-，0t ≠，设1122(,),(,)C x y D x y ，由22144x ty x y =-⎧⎨+=⎩消去x 并整理得：22(4)230t y ty +--=，则12224t y y t +=+，12234y y t =-+， 2222121212122221243||()()4()44t t y y y y y y y y t t +--=+-+=++由（1）知(2,0)A，则有1216||||12S AM y y =⋅-==，令u >1y u u =+在)+∞则0S <<所以S的取值范围是. (3)由（2）知，1(0,)P t ，由PC CM λ=得111()y y tλ-=-，即111ty λ=-+，而PD DM μ=，同理211u ty =-+，因此，2121212221184222334t y y t t ty ty ty y t λμ+++=-++=-+=-+=--+，所以83λμ+=-为定值.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 22．已知函数2()ln f x ax x x =--． (1)当1a =时，求()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在定义域内有两个不相等的零点12,x x ． ①求实数a 的取值范围；②证明：()()12122ln +>-+f x x x x ．【答案】(1)单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞ (2)① 01a <<；②证明见解析【分析】（1）求导得(21)(1)()x x f x x+-'=，判断导函数符号确定原函数单调性，注意函数定义域；（2）①利用参变分离得2ln x x a x +=，即y a =与2ln x x y x +=有两个交点，判断函数单调性理解计算；②()()12122ln +>-+f x x x x 等价于()()212122+-+>a x x x x ，借助于函数零点整理得()121212ln ln 2⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭x x x x x x ，即证1ln 21t t t +⋅>-，构建函数结合导数证明．【详解】(1)当1a =时，函数2()ln f x x x x =--，定义域为(0,)+∞．2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x--+-'=--==．由()0f x '=，得1x =．当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞． (2)①若函数()f x 在定义域内有两个不相等的零点12,x x ，则方程2ln 0ax x x --=有两个不等的实根．即方程2ln x xa x +=有两个不等的实根．记2ln ()(0)+=>x x g x x x ，则32(n )l 1x x xg x --'=，记()12ln (0)=-->m x x x x ，则()m x 在(0,)+∞上单减，且(1)0m =， ∴当01x <<时，()0,()0'>>m x g x ；当1x >时，()0,()0'<<m x g x ， ∴()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减． ∴max ()(1)1g x g ==．又∵10g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭且当1x >时，()0>g x ，∴方程为()g x a =有两个不等的实根时，01a <<．∴当01a <<时函数()f x 在定义域内有两个不相等的零点12,x x ． ②要证()()12122ln +>-+f x x x x ，只需证()()()()212121212ln 2ln +-+-+>-+a x x x x x x x x ，只需证()()212122+-+>a x x x x ，因为22111222ln 0,ln 0--=--=ax x x ax x x ，两式相减得： ()()()22121212ln ln 0-----=a x x x x x x ．整理得()121212ln ln 1-+=+-x x a x x x x ．所以只需证()()12121212ln ln 12⎛⎫-++-+> ⎪-⎝⎭x x x x x x x x ，即证()121212ln ln 2⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭x x x x x x ，即1121221ln 21+⋅>-x x x xx x ，不妨设120x x <<，令12(01)x t t x =<<，第 21 页共 21 页只需证1ln 21t t t +⋅>-，只需证(1)ln 2(1)0+--<t t t ，设()(1)ln 2(1)=+--n t t t t ，只需证当01t <<时，()0<n t 即可． ∵221111()ln 1,()0(01)-=+-='''-=<<<t n t t n t t t t t t， ∴()n t '在（(0,1)单调递减，∴当01t <<时，()(1)0''>=n t n ，∴()n t 在(0,1)单调递增，当01t <<时()(1)0n t n <=， ∴原不等式得证．【点睛】在证明()()212122+-+>a x x x x ，利用函数零点得()121212ln ln 1-+=+-x x a x x x x ，代入消去a 得()121212ln ln 2⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭x x x x x x ，进一步处理得1121221ln 21+⋅>-x x x x x x 换元分析．。

江苏省盐城2024-2025学年高三上学期10月月考试题数学含答案

2025届高三年级第一次阶段性考试数学（答案在最后）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}{2,,A y y x x B x y ==∈==R ，则A B = （）A.∅B.RC.0,1D.−∞,12.已知条件:12p x -≤<，条件:q x a >，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为（）A.{2}a a >∣B.{2}a a ≥∣C.{1}a a <-∣D.{1}aa ≤-∣3.设函数()f x x x =，则不等式()()332log 3log 0f x f x +-<的解集是（）A .1,2727⎛⎫⎪⎝⎭B.10,27⎛⎫⎪⎝⎭C.()0,27 D.()27,+∞4.已知tan 2θ=，则πsin cos24πsin 4θθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A.15-B.73-C.15D.735.在ABC V 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且()cos 2cos a B c b A c +-=，则ABC V 的形状为（）A .等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形6.已知函数()f x 满足()()22f x f x --=-+，对任意(]12,,2x x ∈-∞-，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，且()00f =，则()0f x >的解集是（）A.()(),22,∞∞--⋃+ B.()2,2-C.()(),40,-∞-+∞ D.()4,0-7.函数()ln f x x =与函数()212g x mx =+有两个不同的交点，则m 的取值范围是（）A .21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.21,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.210,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭8.在锐角三角形ABC 中，2A B ∠=∠，则2b cb+的范围是（）A.1,32⎛⎫⎪⎝⎭B.1,43⎛⎫⎪⎝⎭ C.43,32⎛⎫⎪⎝⎭D.12,2⎛⎫⎪⎝⎭二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.若函数()2101xy a b a a =-->≠且的图象过第一，三，四象限，则（）A.01a << B.1a > C.0b > D.0b <10.下列说法正确的是（）A.函数()2f x 的定义域为()0,1，则函数()1f x -的定义域为()1,1-B.y =与y x =表示同一个函数C.关于x 的不等式()()10ax a x -+>的解集为{},1A B xx =≥∣，若A B ⊆，则0a =D.若13,24a b a b -<+<<-<，则23a b +的取值范围为913,22⎛⎫-⎪⎝⎭11.设1a >，0b >，且ln 2a b =-，则下列关系式可能成立的是（）A.a b= B.eb a -= C.2024a b= D.eab ≤三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡的相应位置．12.不等式312x ≥--的解集为________．13.化简：()()()()sin 180cos 180tan 90sin 270αααα︒-︒-︒-=︒+______.14.在ABC V ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，BD BC ⊥交AC 于点D ，且1BD =，则2a c +的最小值为___________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（1）设命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a <；命题q ：实数x 满足23100x x +->，且q 是p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．（2）已知不等式210ax bx -->的解集是1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭，求不等式20x bx a --≥的解集．16.函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象先向右平移π4个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，求()g x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；17.已知函数()e xf x =与函数()lng x x =，函数()()()11x g x g x ϕ=++-的定义域为D .（1）求()x ϕ的定义域和值域；（2）若存在x D ∈，使得(2)1()mf x f x ≥-成立，求m 的取值范围；（3）已知函数()y h x =的图象关于点(),P a b 中心对称的充要条件是函数()y h x a b =+-为奇函数.利用上述结论，求函数()1ey f x =+的对称中心.18.设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-，BC ，AC 边上的两条中线AD ，BE 相交于点P ．（1）求BAC ∠；（2）若AD =，BE ＝2，cos 14DPE ∠=，求ABC 的面积．19.已知函数2()e 31x a f x ax ax -=+-+，a ∈R .（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处切线的方程；（2）当1a >时，试判断()f x 在[1,)+∞上零点的个数，并说明理由；（3）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.2025届高三年级第一次阶段性考试数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡的相应位置．【12题答案】【答案】(](),12,-∞-+∞ 【13题答案】【答案】cos α【14题答案】【答案】3四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）(,5]-∞-；（2）{2x x ≤或}3x ≥.【16题答案】【答案】（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）最大值为2-【17题答案】【答案】（1）定义域为()1,1-，值域为(],0-∞（2）14m ≥-（3）11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭【18题答案】【答案】（1）π3（2）【19题答案】【答案】（1）0y =（2）1个，理由见解析（3）(,1]-∞。

宁夏银川一中2023届高三上学期第一次月考数学(理)试题含答案

x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，
得曲线C的直角坐标方程为x2+y2=6x+2y，即（x-3）2+（y-1）2=10，．．．．．．．．．．．2分
由，消去参数t，得直线l的普通方程为x+y-3=0．．．．．．．．．．．．4分
（2）由（1）知直线l的参数方程可化为（t为参数），．．．．．．．．．．．6分
A．0.2481B．0.3471C．0.4582D．0.7345
5．记为等差数列的前n项和．若，，则
A．18B．36
C．-18D．-54
6．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的
竹管，吹出不同的音调．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益
一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度
银川一中2023届高三年级第一次月考
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
A．127B．129C．131D．133
8．已知函数，则不等式的解集为
A． B． C． D．
9．已知 ,且 ,则
A． B． C． D．
10．实数中值最大的是
A． B． C． D．
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．已知数列满足，且，若 ,数列的前n项和为，则

湖南省常德市第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题

常德市第一中学2025届高三第一次月水平检测数学时量：120分钟满分：150分一、单选题。

（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

）1．已知集合{}{}21,24A x x B x x =-≤=-<≤，则A B = （）A ．{}4x x ≤B ．{}34x x ≤≤C ．{}23x x -<≤D ．{}24x x -<≤2．命题“x ∃∈R ，ln e 0x x x ++>”的否定是（）A ．x ∃∈R ，ln e 0x x x ++≤B ．x ∀∈R ，ln e 0x x x ++≤C ．x ∀∉R ，ln e 0x x x ++≤D ．x ∃∉R ，ln e 0x x x ++<3．设5log 2a =，25log 3b =，0.20.6c =，则（）A ．c b a>>B ．c a b>>C ．b a c>>D ．a c b>>4．近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为181425G L ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，G 表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg20.301≈）（）A ．16B ．72C ．74D ．905．“1m £”是“函数()()22log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．对于三次函数()()³²0f x ax bx cx d a =+++≠给出定义:设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数32115()33212f x x x x =-+-，请你根据上面探究结果，计算12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）A ．1010B ．2020C ．2023D ．20247．()1212,[1,e]x x x x ∀∈≠，均有122121ln ln x x x x a x x -<-成立，则a 的取值范围为（）A ．(],0-∞B ．[)1,+∞C ．[]0,1D ．[)0,+∞8．已知函数()()22e ,e xf x x x ag x x =-+=-，若(][]12,0,1,e x x ∞∀∈-∃∈，使()()12g x f x ≤成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[)2e 1,-+∞B ．12e 1,e ∞⎡⎫+-+⎪⎢⎣⎭C ．)2e ,⎡+∞⎣D ．21e ,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭二、多选题（本题有3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）9．下列选项中正确的有（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若集合{}{}20|1,2,A B x ax =-=+=，且B A ⊆，则实数a 的取值所组成的集合是{}1,2-．C ．若不等式20ax bx c ++>的解集为{}3|1x x <<，则不等式20cx bx a ++<的解集为1{3x x <或1}x >D ．已知函数()1y f x =+的定义域是[]2,3-，则()1y f x =-的定义域是[]0,5．10．已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A ．ab 的最小值是14B ．222a b +最小值为23CD ．12aa b+的最小值是111．已知函数()1e ,01ln ,04x x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，下列选项中正确的是（）A ．()f x 在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减B ．()f x 有极大值C ．()f x 无最小值D ．若函数()()()()2[]24h x f x af x a =-+∈R 恰有6个零点，则实数a 的取值范围是5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知命题“[]1,5x ∃∈，使得1e 0xa x--<”是假命题，则实数a 的取值范围是.13．已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数，偶函数，且()()e xf xg x +=，则()()22f xg x -=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.14．设函数()2e e xf x ax x =--，若在()0,∞+上满足()0f x <的正整数至多有两个，则实数a 的取值范围是．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）15．（13分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知向量,m n 满足(2,6m a =-，)2sin ,n B b =，且m n ⊥．(1)求角A ；(2)若ABC 是锐角三角形，且3a =，求ABC 周长的取值范围．16．（15分）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，11113PD A D =，11123QC C D =，M 为线段BD 上的动点，M '是点M 关于AD 所在直线的对称点.(1)求证：1MB PQ ⊥；(2)求三棱锥1Q PMB -的体积；(3)当2BM DM =时，求二面角M PQ M '--的余弦值的绝对值.17．（15分）数列{}n a 满足321212222n n a a a a n -+++⋯+=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若n nnb a =，求{}n b 的前n 项和n T ．18．（17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点与点3,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭连线的斜率为2，且点()1,e 在椭圆C 上(其中e 为C 的离心率)．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)已知点(2,0)D ，过点P 的直线l 与C 交于A ，B 两点，直线DA ，DB 分别交C 于M ，N 两点，试问直线MN 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19．（17分）已知()2ln x ax x bf x x++=(1)当3,1a b =-=-时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)已知()f x 有两个极值点12,x x ，且满足()()120f x f x +=，求b 的值；(3)在(2)的条件下，若()1f x x ≥-+在[)1,+∞上恒成立，求a 的取值范围．参考答案：1．C 2．B3．B4．C5．B 6．B 7．B 8．B9．CD10．BC 11．ABD 12．(],e 1∞--13．1-14．3e 3e ,9⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦11．【详解】对于A ，当0x ≤时，1()e x f x x +=-，则111()(e e )e (1)x x x f x x x +++'=-+=-+，当1x <-时，()0f x '>，当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(),1∞--上单调递增，在()1,0-上单调递减，所以A 正确，对于B ，由选项A 可知()f x 在(),1∞--上单调递增，在()1,0-上单调递减，所以()f x 在=1x -处取得极大值，所以B 正确，对于C ，当0x >时，14141ln ,e 14()ln 41ln ,0e 4x x f x x x x ⎧-≥⎪⎪=-=⎨⎪-<<⎪⎩，当14e x ≥时，1ln 04x -≥，当140e x <<时，1ln 04x ->，所以当0x >时，()0f x ≥，因为()f x 在(),1∞--上单调递增，在()1,0-上单调递减，且当0x ≤时，()0f x ≥恒成立，综上，()f x 的值域为[0,)+∞，所以()f x 有最小值0，所以C 错误，对于D ，因为()f x 在(),1∞--上单调递增，在()1,0-上单调递减，()11f -=，(0)0f =，14141ln ,e 14()ln 41ln ,0e 4x x f x x x x ⎧-≥⎪⎪=-=⎨⎪-<<⎪⎩所以()f x 的大致图象如图所示由()0h x =，得()()2[]240f x af x -+=，令()f x t =，则2240t at -+=，由()f x 的图象可知，要使()h x 有6个零点，则方程2240t at -+=有两个不相等的实数根12,t t ，不妨令12t t <，若120,01t t =<<，则由图可知()h x 有6个零点，但202040a -⨯+≠，所以不符合题意，所以1201,1t t <<>，因为2020440a -⨯+=>，所以21240a -+<，解得52a >，即实数a 的取值范围是5,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ABD 14．3e 3e ,9⎛⎤--∞ ⎝⎦【详解】由在()0,∞+上满足()2e e 0xf x ax x =--<的正整数至多有两个，即在()0,∞+上满足2e e x x a x ->的正整数至多有两个，设()2e e x xg x x -=，0x >，则()()3e 2e xx x g x x -+'=，设()()e 2e x h x x x =-+，0x >，则()()e 1e x h x x '=-+，0x >，设()()e 1e x m x x =-+，0x >，则()e 0xm x x '=>恒成立，则()m x 在()0,∞+上单调递增，即()()0e 10m x m >=->，即()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又()10h =，所以当()0,1x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 单调递增；所以当1x =时，()g x 取最小值，又在()0,∞+上满足()2e e x x a g x x ->=的正整数至多有两个，则()3e 3e39a g -≤=，即3e 3e ,9a ⎛⎤-∈-∞ ⎥⎝⎦，故答案为：3e 3e ,9⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.15．(1)π3A =或2π3.(2)(333,9]+【详解】（1）解：∵m n ⊥，∴22sin 60a B b =，即22sin 6a B b =.由正弦定理得2sin sin 3A B B .∵sin 0B ≠，∴3sin 2A =，∵(0,π)A ∈，∴π3A =或2π3.（2）∵3a =，且三角形ABC 为锐角三角形，∴π3A =.∴由正弦定理得23sin sin sin 32a b cA B C====.∴23sin b B =，23sin c C =.∴)2π23sin sin 3sin sin 3b c B C B B⎤⎛⎫+=+=+- ⎪⎥⎝⎭⎦，31333sin cos sin 3sin 2222B B B B B ⎫⎫=++=+⎪⎪⎪⎪⎭⎭)331π33sin cos 32sin cos 6sin 2226B B B B B ⎛⎫⎛⎫=+=⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又∵ABC 为锐角三角形，∴π02B <<，∴2π0π32B <-<，得ππ62B <<，ππ2π363B <+<.∴3πsin()126B <+≤，336sin 66B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，∴336b c <+≤，又∵3a =，∴3339a b c +<++≤.∴ABC 的周长的取值范围为(333,9]+.16．(1)证明见解析(2)52(3)1719【详解】（1）证明：连接1111,AC B D .由11123QC C D =，得11113QD C D =，又11113PD A D =，则有11//PQ AC ，正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面1111D C B A ，11AC ⊂平面1111D C B A ，得111BB A C ⊥，又正方形1111D C B A 中，1111B D AC ⊥，1111BB B D B ⋂=，111,BB B D ⊂平面11BB D D ，所以11AC ⊥平面11BB D D ，由1MB ⊂平面11BB D D ，得111AC MB ⊥.又11//PQ A C ，所以1PQ MB ⊥.（2）111D P D Q ==，22112PQ D P D Q =+=，111111,A B C B A P C Q ==，1111Rt Rt A B P C B Q ≅ ，222222*********B P B Q A P A B ==+=+=，有1113B P B Q ==1221111521322222PQB PQ S PQ PB ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，∴11115332Q PMB M PQB PQB V V S --==⨯⨯= .（3）如图所示，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0)D ，(3,0,0)A ，(1,0,3)P ，(0,1,3)Q ，当2BM DM =时，有(1,1,0)M ，则(1,1,0)M -'，(1,1,0)PQ =- ，(1,2,3)QM -'=- .(0,1,3)PM =-设()111,,m x y z = 为平面QPM '的一个法向量，∴111110230PQ m x y QM m x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅='--=⎪⎩ ，令13x =，得113,1y z ==-，可得()3,3,1m =- .设()222,,n x y z = 为平面QPM 的一个法向量，∴2222030PQ n x y PM n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令23x =，得223,1y z ==，可得(3,3,1)n = .设M PQ M '--所成的角为θ∴17cos 19991991m n m n θ⋅==⋅++⨯++ .17．(1)2nn a =(2)222n nn T +=-【详解】（1）数列{}n a 满足321212222n n a a a a n -++++= ，当2n ≥时，()31212221222n n a a a a n --+++⋯+=-，两式相减可得，122nn a -=，所以2n n a =，当1n =时，1122a ==也满足上式，所以2n n a =；（2）由（1）得2n n n b =，所以231232222nn nT =++++ ，则234111*********n n n n n T +-=+++++ ，两式相减的，2311111(1)11111222112222222212n n n n n n n n n T +++-+=++++-=-=-- ，所以222n nn T +=-．18．(1)2212x y +=(2)是定值，定值为2-（1）由题意可得22222221023211c c a a b a b c-⎧=⎪-⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得222211a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的标准方程为2212xy +=；（2）由题意可知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为()312x m y =-+，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，则直线DA 的方程为1122x x y y -=+．联立11222212x x y y x y -⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得()()22111132220x y x y y y -+-+=则2113132y y y x =-，即13132y y x =-．代入1122x x y y -=+，得()13112312322232x x x x -=+=---．同理可得()2442231,322232y y x x x ==---．因为()()()()21211213214312123232323211232232MNy y y x y x y y x x k x x x x x x -------===-----()()()21112112123332322222,y my m y my m m y y m y y m y y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦===---所以直线MN 的斜率为定值，且定值为2-．19．(1)1y x =-+(2)1b =-(3)[)3,2--【详解】（1）当3,1a b =-=-时，()()13ln ,10f x x x f x =--=，所以()2311f x x x '=-+，所以()11f '=-．所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-+．（2）因为()()ln ,0,b f x x a x x x =++∈+∞，所以()2221a b x ax bf x x x x +-=+-='，因为()f x 有两个极值点12,x x ，所以()f x '有两个大于0的变号零点，所以方程20x ax b +-=有两个不等正根，所以21212Δ4000a b x x b x x a ⎧=+>⎪=->⎨⎪+=->⎩，解得2400a bb a ⎧>-⎪<⎨⎪<⎩，又因为()()120f x f x +=，即有112212ln ln 0b b x a x x a x x x +++++=，整理得()()12121212ln 0x x x x a x x bx x ++++=，代入1212,x x b x x a =-+=-，可得()()ln 0aa ab b b--+-+=-，解得1b =-，又因为240a ba ⎧>-⎨<⎩，所以可得2a <-，经检验，符合题意．（3）由(2)可知1b =-且2a <-，从而()1ln f x x a x x=+-，因为()1f x x ≥-+在[)1,+∞上恒成立，令()()[)112ln 1,1,g x f x x x a x x x=+-=+--∈+∞，则有()0g x ≥在[)1,+∞上恒成立，易得()12ln1110g a =+--=，因为()2221212a x ax g x x x x ++=++='，所以()13g a '=+，令()[)()221,1,,13h x x ax x h a =++∈+∞=+，对称轴4a x =-，①当32a -≤<-时，()3130,44a h a x =+≥=-≤，所以()h x 在[)1,+∞单调递增，从而()()130h x h a ≥=+≥恒成立，所以()()20h x g x x ='≥在[)1,+∞也恒成立，所以()g x 在[)1,+∞单调递增，从而()()10g x g ≥=恒成立．②当3a <-时，()130h a =+<，所以2210x ax ++=有两个不等实根34,x x （不妨设34x x <），所以341x x <<，且当()41,x x ∈时，()0h x <，从而()()20h x g x x='<，所以()g x 在[]41,x 上单调递减，所以()()410g x g <=，与“()0g x ≥在[)1,+∞上恒成立”矛盾，综上，a 的取值范围是[)3,2--。

宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高三上学期第一次月考试题-数学(含答案)

银川一中2025届高三年级第一次月考数学试卷命题教师：注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．命题p ：x ∀∈R ，2210x mx -+>的否定是A ．x ∀∈R ，2210x mx -+≤B ．x ∃∈R ，2210x mx -+<C ．x ∃∈R ，2210x mx -+>D ．x ∃∈R ，2210x mx -+≤2．已知函数21(1),()2(1).x x f x x x x -+<⎧=⎨-≥⎩则((1))f f -的值为A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．33．“3a > ”是“函数2()(2)2f x a x x =-- 在(1,+)∞上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知2081.5.12,,log 42a b c -⎛⎫ ⎝⎭=⎪==，则,,a b c 的大小关系为A ．c<a<bB ．c b a<<C ．b a c <<D ．b<c<a 5．在同一个坐标系中，函数()log a f x x =，()x g x a -=，()a h x x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．6．函数()f x ax x =的图象经过点(1,1)-，则关于x 的不等式29()(40)f x f x +-<解集为 A ．(,1)(4,)-∞-+∞ B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)∞∞--⋃+D ．(4,1)-7．中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为a,b,c的三角形，其面积S 可由公式S =1=)2p a b c ++（，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足14,6a b c +==，则此三角形面积的最大值为A ．6B ．C ．12D ．8．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，设函数()()11132x g x x -⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则函数()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为A ．2B ．4C ．6D ．8二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）9．下列运算正确的是A=B ．()326a a =C ．42log 32log 3=D ．2lg5lg2log 5÷=10. 已知函数()y f x =是定义域为R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，下列说法正确的有A ．函数()y f x =的周期为4B ．(0)0f =C ．(2024)1f =D ．(1)(1)f x f x -=+11．已知函数()24,0,31,0,x x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩其中()()()f a f b f c λ===，且a b c <<，则A ．()232f f -=-⎡⎤⎣⎦B ．函数()()()g x f x f λ=-有2个零点C ．314log ,45a b c ⎛⎫++∈+ ⎪⎝⎭D ．()34log 5,0abc ∈-三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．已知集合A ＝{}01x x ≤≤，B ＝{}13x a x -≤≤，若A B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为．13．已知函数()()231m f x m m x +=+-是幂函数，且该函数是偶函数，则f 的值是．14．已知函数()34x f x x =--在区间[1,2]上存在一个零点，用二分法求该零点的近似值，其参考数据如下：(1.6000)0.200f ≈，(1.5875)0.133f ≈，(1.5750)0.067f ≈，(1.5625)0.003f ≈，(1.5562)0.029f ≈-，(1.5500)0.060f ≈-，据此可得该零点的近似值为．（精确到0.01）四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．(13分)已知x ，y ，z 均为正数，且246x y z ==.(1)证明：111x y z+>；(2)若6log 4z =，求x ，y 的值，并比较2x ，3y ，4z 的大小.16．(15分)已知函数()121(0),,R 4x f x m x x m =>∈+，当121x x =+时，()()1212f x f x +=. (1)求m 的值；(2)已知()120n n a f f f f n n n ⎫⎫⎫⎛⎛⎛=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭，求n a 的解析式.17．(15分)已知函数2ln(),0,()23,0,a x x f x x x x +-<⎧=⎨-++≥⎩且(e)3f -=．(1)求实数a 的值； (2)若函数()()=-g x f x k 在R 上恰有两个零点，求实数k 的取值范围．18．(17分)已知函数()e x f x =与函数()ln g x x =，函数()()()11x g x g x ϕ=++-的定义域为D ．(1)求()x ϕ的定义域和值域；(2)若存在x D ∈，使得)(1)2(x f x mf -≥成立，求m 的取值范围； (3)已知函数()y h x =的图象关于点(),P a b 中心对称的充要条件是函数()y h x a b =+-为奇函数．利用上述结论，求函数()1ey f x =+的对称中心． 19．(17分)银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．(1)设技术改造后，甲方案第n 年的利润为n a （万元），乙方案第n 年的利润为n b （万元），请写出n a 、n b 的表达式；(2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据101.1 2.594≈，101.313.79)≈2025届高三第一次月考试卷答案一、单选题1． D 2． C 3． A 4． B5． C 6． B 7． B 8． B二、多选题9． BD 10. ABD 11． ACD.三、填空题12．2. 13．4 14．1.56.四、解答题15．已知x ，y ，z 均为正数，且246x y z ==.(1)证明：111x y z+>；(2)若6log 4z =，求x ，y 的值，并比较2x ，3y ，4z 的大小.【详解】（1）令2461x y z k ===>，则2log x k =，4log y k =，6log z k =，11log 2log 4log 8k k k x y ∴+=+=，1log 6k z=.1k > ，log 8log 6k k ∴>，111x y z∴+>.（2）6log 4z = ，64z ∴=，则244x y ==，2x ∴=，1y =，4664log 4log 256z ∴==.3462566<< ，63log 2564∴<<，342y z x ∴<<.16．已知函数()121(0),,R 4x f x m x x m =>∈+，当121x x =+时，()()1212f x f x +=.(1)求m 的值；(2)已知()120n n a f f f f n n n ⎫⎫⎫⎛⎛⎛=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭，求n a 的解析式.【详解】（1）()()1212111442x x f x f x m m +=+=++，即()()()()2112242444x x x x m m m m +++=++()()121212242444444x x x x x x m m m +⋅++=+⇒+()()()12122224444442x x x x m m m m ⇒=++=+---，()()()()()121222442024420x x x x m m m m ⇒---+=⇒-++-=，12444x x +≥== ，当且仅当1244x x =，即12x x =取等号，又0m >，124420,2x x m m ∴++->∴=.（2）由()120n n a f f f f n n n ⎫⎫⎫⎛⎛⎛=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭，得 ()10n n n a f f f n n -⎫⎫⎛⎛=+++ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭，又当121x x =+时，()()1212f x f x +=所以两式相加可得 ()()1112002n n n n n a f f f f f f n n n n ⎡⎤⎡-⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以 14n n a +=17．已知函数2ln(),0,()23,0,a x x f x x x x +-<⎧=⎨-++≥⎩且(e)3f -=．(1)求实数a 的值；(2)若函数()()=-g x f x k 在R 上恰有两个零点，求实数k 的取值范围．【详解】（1）因为2ln(),0,()23,0,a x x f x x x x +-<⎧=⎨-++≥⎩且(e)3f -=，所以()(e)ln e 3f a -=+=，解得2a =；（2）由（1）可得22ln(),0()23,0x x f x x x x +-<⎧=⎨-++≥⎩，当0x <时()2ln()f x x =+-，函数()f x 在(),0∞-上单调递减，且()R f x ∈；当0x ≥时()22()2314f x x x x =-++=--+，则()f x 在[]0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，且()14f =，()03f =，即()(],4f x ∞∈-；所以()f x 的图象如下所示：因为函数()()=-g x f x k 在R 上恰有两个零点，即函数()y f x =与y k =在R 上恰有两个交点，由图可知3k <或4k =，即实数k 的取值范围为(){},34∞-⋃.18．已知函数()e x f x =与函数()ln g x x =，函数()()()11x g x g x ϕ=++-的定义域为D ．(1)求()x ϕ的定义域和值域；(2)若存在x D ∈，使得()()21mf x f x -…成立，求m 的取值范围；(3)已知函数()y h x =的图象关于点(),P a b 中心对称的充要条件是函数()y h x a b =+-为奇函数．利用上述结论，求函数()1ey f x =+的对称中心．【详解】（1）由题意可得()()()()()11ln 1ln 1x g x g x x x ϕ=++-=++-．由1010x x +>⎧⎨->⎩，得11x -<<，故()1,1D =-．又()()2ln 1x x ϕ=-，且(]210,1x -∈，()x ϕ∴的值域为(],0-∞；（2）()()21mf x f x -…，即2e 1e x x m -…，则211e e x xm -…．存在x D ∈，使得()()21mf x f x -…成立，2min 11ee x x m ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭…．而2211111e e e24x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，∴当11e 2x =，即ln2x D =∈时，211e ex x -取得最小值14-，故14m -…；（3）设()()1ey h x f x ==+的对称中心为(),a b ，则函数()()t x h x a b =+-是奇函数，即()1e e x a t x b +=-+是奇函数，则()()110e e e e x a x a t x t x b b -++-+=-+-=++恒成立，()()()()1122e e 2e 2e e e e 0e e e e x a x a x a x a a x a x ab +-+-+++-++++-+++∴=++恒成立，所以()()1122e e 2e 2e e e e 0x a x a x a x a a b +-+-+++++-+++=恒成立，所以22(12e)(e e )2(e e e )0x a x a a b b b +-+-++--=，因为上式对任意实数x 恒成立，所以2212e 0e e e 0a b b b -=⎧⎨--=⎩，得12e 1b a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以函数()1e y f x =+图象的对称中心为11,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．19．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．(1)设技术改造后，甲方案第n 年的利润为n a （万元），乙方案第n 年的利润为n b （万元），请写出n a 、n b 的表达式；(2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据101.1 2.594≈，101.313.79)≈【答案】(1)11.3n n a -=，0.50.5n b n =+,N n *∈(2)采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多【详解】（1）对于甲方案，1年后，利润为1（万元）．2年后，利润为111(10.3) 1.3+=⨯，3年后，利润为211.3(10.3) 1.3+=⨯（万元），……故n 年后，利润为11.3n -（万元），因此11.3n n a -=，N n *∈对于乙方案，1年后，利润为1（万元）．2年后，利润为10.5+，3年后，利润为0.50.510.521++=+⨯（万元），……故n 年后，利润为()10.51n +⨯-（万元），因此()10.510.50.5n b n n =+⨯-=+，N n *∈（2）甲方案十年共获利109(1.3)11(130%)(130%)42.631.31-+++⋯++==-（万元），10年后，到期时银行贷款本息为1010(10.1)25.94+=（万元），故甲方案的净收益为42.6325.9416.7-≈（万元），乙方案十年共获利1 1.5(190.5)32.5++⋯++⨯=（万元），贷款本息为119101111(110%)(110%)(110%)17.530.1⋅-+++⋯++++=≈（万元），故乙方案的净收益为32.517.5315-=（万元），由16.715>，故采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多。

2023-2024学年龙岩市一中高三数学上学期第一次月考卷附答案解析

2023-2024学年龙岩市一中高三数学上学期第一次月考卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}223,N ,18400A xx n n B x x x ==+∈=--<∣∣，则A B ⋂中的元素个数为（）A ．8B ．9C ．10D ．112．已知(),()f x g x 是定义在R 上的函数，则“()()y f x g x =+是R 上的偶函数”是“(),()f x g x 都是R 上的偶函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列命题中，错误的命题有（）A ．函数()f x x =与()()2g x x =不是同一个函数B ．命题“[]00,1x ∃∈，2001x x +≥”的否定为“[]0,1x ∀∈，21x x +<”C ．设函数()22020x x x f x x +<⎧=⎨≥⎩，则()f x 在R 上单调递增D ．设,R x y ∈，则“x y <”是“2()0x y y -⋅<”的必要不充分条件4．已知函数()ln ,01,0x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则使得()()12f x f x +≥成立的x 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．[]1,1-C ．[)1,+∞D ．(](],10,1-∞- 5．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少14，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（）A ．8B ．9C ．10D ．116．设定义在R 上的奇函数()f x 在（0，+∞）上单调递增，且()10f =，则不等式()()0x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦的解集为（）A ．{}10>1x x x -<<或B ．{}101x x x <-<<或C ．{}1>1x x x <-或D ．{}1001x x x -<<<<或7．已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（）A ．a b c<<B ．c b a <<C ．c<a<b D ．a c b<<8．定义在()0,4上的函数()f x 满足()()22f x f x -=+，02x <≤时()ln f x x =，若()f x kx >的解集为{}04x x a b x <<<<或，其中a b <，则实数k 的取值范围为（）A ．ln 2,2+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知A B 、为实数集R 的非空集合，则A B 的必要不充分条件可以是（）A ．AB A= B ．R A B =∅ ðC ．R B ðR A ðD ．R RB A = ð10．已知,,a b c ∈R ，下列命题为真命题的是（）A ．若0a b <<，则22a ab b <<B ．若a b >，则ac 2>bc 2C ．若22ac bc >，则a b >D ．若1a b >>，则11b b a a+>+11．已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足()32-f x 为偶函数，()21f x -为奇函数，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的周期为2B ．函数()f x 的周期为4C ．函数()f x 关于点()1,0-中心对称D ．()20230f =12．函数()e x ax f x =和()ln x g x ax=有相同的最大值b ，直线y m =与两曲线()y f x =和()y g x =恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为123,,x x x ，则下列说法正确的是（）A ．1a =B ．1b e =C ．1322x x x +=D ．2132x x x =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数集R ，集合{}{}22log 1,Z 45A x x B x x x =<=∈+≤，则()R A B ⋂=ð14．已知正实数a ，b 满足3ab a b ++=，则2a b +的最小值为．15．已知()24,1,log ,2,ax x f x x x +≤⎧=⎨≥⎩则()()0f f =；若函数()f x 的值域为[)1,+∞，则a 的最小值为．16．已知函数2019sin ,10()|log ,0x x f x x x π--≤≤⎧=⎨⎩，若a b c d <<<，且()()()()f a f b f c f d ===，则a b cd +的值为.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．已知集合{}2680A x x x =-+<，{}22430B x x ax a =-+<．（1）若1a =，求()R B A ð；（2）若0a >，设:p x A ∈，:q x B ∈，已知p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．已知函数()121xf x a =+-是奇函数．（1）求a ；（2）若()1ln 0f x x ⋅⎡⎤⎣⎦-<，求x 的范围．19．已知函数321(1)()32k f x x x +=-，1()3g x kx =-，且()f x 在区间(2,)+∞上为增函数.(1)求实数k 的取值范围；(2)若函数()f x 与()g x 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围.20．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出(N )x x *∈名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310()500x a -万元()0a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x .(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？21．已知函数()()22log f x x a x =+-是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.(1)若函数()f x 与()g x 有相同的零点，求t 的值；(2)若13,,24e x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()12f x g x ≤，求t 的取值范围.22．已知函数()()2122e x f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦，a ∈R ．(1)讨论函数()f x 单调性；(2)当0a =时，若函数()()()11g x f x m x =---在[)0,∞+有两个不同零点，求实数m 的取值范围．1．B【分析】解一元二次不等式化简集合B ，再根据已知列出不等式，求解判断作答.【详解】解不等式218400x x --<得：220x -<<，即{|220}B x x =-<<，而{}23,N A xx n n ==+∈∣，由22320n -<+<解得：51722n -<<，又N n ∈，显然满足51722n -<<的自然数有9个，所以A B ⋂中的元素个数为9.故选：B2．B【分析】根据偶函数的定义，从(),()f x g x 是定义在R 上的偶函数出发去推导()()y f x g x =+的奇偶性，然后再进行反向推理即可.【详解】由(),()f x g x 都是R 上的偶函数，得()(),()()f x f x g x g x -=-=，设()()()(R)c x f x g x x =+∈，()()()()()()c x f x g x f x g x c x ∴-=-+-=+=，()y c x ∴=为偶函数，即“(),()f x g x 都是R 上的偶函数时，则()()f x g x +必为偶函数”，反之，“若()()f x g x +为偶函数，则不一定能推出(),()f x g x 都是R 上的偶函数”，例如：取222(),(),()()2f x x x g x x x f x g x x =-=++=，则()()f x g x +是R 上的偶函数，而(),()f x g x 都不具备奇偶性，故“()()y f x g x =+是R 上的偶函数”是“(),()f x g x 都是R 上的偶函数”的必要不充分条件.故选：B ．3．C【分析】对于A 选项，定义域不同，函数不同，故A 正确；对于B 选项，由存在量词命题与全称量词命题否定关系，可判断B 正确；对于C 选项，举反例否定其是增函数，可得C 错误；对于D 选项，举反例说明不充分，并且可证明其是必要条件，故D 正确.【详解】对于A 选项，因为两个函数的定义域不同，所以两个函数是不同的函数，故A 正确；对于B 选项，因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以B 正确；对于C 选项，因为0.10-<，但是()()0.1 1.810f f -=>=，与增函数定义矛盾，所以C 错误；对于D 选项，若x y <，当0y =时，推不出2()0x y y -⋅<，当2()0x y y -⋅<时，0y ≠且x y <，所以D 正确.故选：C.4．D【分析】当120x x +≥>时有()()12f x f x +>成立；当10,20x x +<<时有()()12f x f x +=成立，故x 的取值范围可求.【详解】当0x >时()ln f x x =为增函数，故120x x +≥>时有()()12f x f x +>成立所以01x <≤；当0x <时()1f x =，故10,20x x +<<时有()()12f x f x +=成立，所以1x <-综上所述：(](],10,1x ∈-∞- 故选：D5．D【分析】设至少需要过滤n 次，则10.0210.0014n⎛⎫⨯-≤ ⎪⎝⎭，结合指数与对数的互化解不等式，由此可得结论．【详解】设至少需要过滤n 次，则10.0210.0014n ⎛⎫⨯-≤ ⎪⎝⎭，即31420n ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,所以3lg204nlg≤-，即lg2010.301010.42lg4lg320.30100.4471n +≥=≈-⨯-，又n N ∈，所以11n ≥，所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求,故选D ．【点睛】本题主要考查指数与对数的运算，考查学生的阅读能力，考查学生的建模能力，属于中档题．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.6．D【分析】分析出函数()f x 在(),0∞-上是增函数，由()()0x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦得出()0xf x <，分0x <和0x >解不等式()0xf x <，即可得出原不等式的解集.【详解】解：由于奇函数()f x 在()0,∞+上是增函数，则该函数在(),0∞-上也是增函数，且()()f x f x -=-，()10f = ，()()110f f ∴-=-=，由()()0x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦可得()20xf x <，即()0xf x <.当0x <时，得()()01f x f >=-，解得10x -<<；当0x >时，可得()()01f x f <=，解得01x <<.因此，原不等式的解集为{10x x -<<或}01x <<.故选：D.7．A【分析】0.20.20.20.2e e ln e b ==，令()ln f x x x =，利用导数求出函数()f x 的单调区间，令()e 1x g x x =--，利用导数求出函数()g x 的单调区间，从而可得出0.2e 和1.2的大小，从而可得出,a b 的大小关系，将,b c 两边同时取对数，然后作差，从而可得出,b c 的大小关系，即可得出结论.【详解】解：0.20.20.20.2e e ln e b ==，6ln1.2 1.2ln1.25a ==，令()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10e x <<时，()0f x '<，当1ex >时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，令()e 1x g x x =--，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增，所以()()0.200g g >=，即0.21e 10.2 1.2e>+=>，所以()()0.2e 1.2f f >，即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得()0.211ln ln 0.2e ln 55b ==+，由13c =，得1ln ln 3c =，11151ln ln ln ln ln 35535c b -=--=-，因为55625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 3>，所以51ln 35>，所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >，所以c b >，综上所述a b c <<.故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.8．B【分析】根据题意可知：函数()f x 关于2x =对称，作出函数()f x 在区间(0,4)上的图象，然后根据函数的图象和不等式的解集确定实数k 的取值范围即可.【详解】因为函数()f x 满足()()22f x f x -=+，所以函数()f x 关于2x =对称，作出函数()f x 在区间(0,4)上的图象，又因为不等式()f x kx >的解集为{}04x x a b x <<<<或，其中a b <，根据图象可知：当直线y kx =过点(2,ln 2)时为临界状态，此时ln 22k =，故要使不等式()f x kx >的解集为{}04x x a b x <<<<或，其中a b <，则ln 22k ≥，故选：B .9．ABD【分析】根据集合间的关系与运算及充分必要条件的判定一一判定选项即可.【详解】由A B A =⇒ A B ⊆¿AB ，而A B ⇒A B A = ，即选项A 符合题意；由R A B =∅ ðA B ⇒⊆¿AB ，而A B ⇒R A B =∅ ð，即选项B 符合题意；由R B ðR A ð⇒A B ，故选项C 不符合题意；由R R B A =⇒ ðA B ⊆¿AB ，而A B ⇒R R B A = ð，即选项D 符合题意.故选：ABD.10．CD 【分析】由不等式的性质可判断ABC ，由作差法可判断D.【详解】对于A ，若0a b <<，则22a ab b >>，A 错误；对于B ，若a b >,且0c =时，则22ac bc =，B 错误；对于C ，若22ac bc >，则0c ≠，故20c >，则必有a b >，C 正确；对于D ，若1a b >>，则+1(1)(1)0+1(1)(1)b b a b b a a b a a a a a a +-+--==>++，所以11b b a a +>+，D 正确.故选：CD11．BCD【分析】利用函数的奇偶性、对称性与周期性对选项逐一分析即可.【详解】解：因为()32-f x 为偶函数，所以()()3232f x f x -=--，所以()()22f x f x -=--，则()()4f x f x =--，所以函数()f x 关于直线2x =-对称，因为()21f x -为奇函数，所以()()2121f x f x -=---，所以()()11f x f x -=---，所以()()2f x f x =---，所以函数()f x 关于点()1,0-中心对称，故C 正确，由()()4f x f x =--与()()2f x f x =---得()()24f f x x =-----，即()()24f f x x -=--，故()()4f x f x -=，所以函数()f x 的周期为4，故A 不正确，B 正确；()()()20235064110f f f =⨯-=-=，故D 正确.故选：BCD.12．ABD【分析】利用导数的性质，根据最大值的定义，结合数形结合思想、指数与对数恒等式进行求解即可.【详解】()()(1)e e x xax a x f x f x -'=⇒=，当0a >时，当1x >时，()()0,f x f x '<单调递减，当1x <时，()()0,f x f x '>单调递增，所以当1x =时，函数()f x 有最大值，即()()max 1ea f x f ==；当a<0时，当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增，当1x <时，()()0,f x f x '<单调递减，所以当1x =时，函数()f x 有最小值，没有最大值，不符合题意，由()()2ln 1ln x x g x g x ax ax -'=⇒=，当0a >时，当e x >时，()()0,g x g x '<单调递减，当0e x <<时，()()0,g x g x '>单调递增，所以当ex =时，函数()g x 有最大值，即()()max 1e eg x g a ==；当a<0时，当e x >时，()()0,g x g x '>单调递增，当0e x <<时，()()0,g x g x '<单调递减，所以当e x =时，函数()g x 有最小值，没有最大值，不符合题意，于是有111,0,1,e ea a a ab ae =⇒=±>∴== ，因此选项AB 正确，两个函数图象如下图所示：由数形结合思想可知：当直线y m =经过点M 时，此时直线y m =与两曲线()y f x =和()y g x =恰好有三个交点，不妨设12301e x x x <<<<<，且12312223ln ln e e x x x x x x m x x ====，由()()1212212ln 2ln ln ln e ex x x x x f x f x x ==⇒=，又121,ln ln e 1x x <<=，又当1x <时，()f x 单调递增，所以12ln x x =，又()()3233223ln 3ln ln ln e ex x x x x f x f x x ==⇒=，又231,ln ln e 1x x >>=，又当1x >时，()f x 单调递减，所以23ln x x =，332222ln 1ln ln x x x x x x m===，22121ln x x x x m ==，于是有23213212x x x x x x x =⇒=，所以选项D 正确，故选：ABD【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，结合等式log b a a b =是解题的关键.13．{}2,3,4【分析】根据对数函数的性质及一元二次不等式的解法可求集合A 、B ，后求出R A ð再计算交集即可.【详解】由2log 1x <，解得02x <<，故()(][)R 0,2,02,A A =⇒=-∞+∞ ð，由245x x +≤，可解得14x ≤≤，又Z x ∈，所以{}1,2,3,4B =．故(){}R 2,3,4A B ⋂=ð.故答案为：{}2,3,414．423-【分析】化简得()()114a b ++=，()()22113a b a b +=+++-，再将1,1a b ++看成整体，利用基本不等式求解最小值即可【详解】由3ab a b ++=有()()114a b ++=，则()()22113a b a b +=+++-()()22113423a b ≥+⋅+-=-，当且仅当()()211a b +=+，即21a =-，221b =-时取等号.故答案为：423-15．23-【分析】根据函数的解析式，结合()21f =和一次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】()()()204log 42f f f ===，要使得函数()f x 的值域为[)1,+∞，则满足041a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得30a -≤≤，所以实数a 的最小值为3-．故答案为：①2；②-3.【点睛】本题考查了分段函数的性质，解题的关键点是画出函数的图象，考查了学生的识图能力和计算能力.16．1-【分析】先画出函数()f x 的图象，令()()()()f a f b f c f d k ====，根据三角函数的对称性，以及对数函数的性质，求出a b +和cd ，即可得出结果.【详解】解：作出函数2019sin ,10()|log ,0x x f x x x π--≤≤⎧=⎨⎩的图象如下：令()()()()f a f b f c f d k ====，则01k <<，由题意，结合图象可得，122a b +=-，20192019log log c k d k=-⎧⎨=⎩，所以1a b +=-，2019k c -=，2019k d =，因此112019k ka b cd -++-==-.故答案为：1-.17．（1）()[3,4)R B A ⋂=ð；（2）4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）将1a =代入题干，解不含参数的一元二次不等式，进而结合补集和交集的概念即可求出结果；（2）解含参数的一元二次不等式，进而由题意可得2,43a a ≤⎧⎨≤⎩且等号不能同时成立，即可得到结果.【详解】（1）当1a =时，{}2430(1,3)B x x x =-+<=，可得(,1][3,)R B =-∞⋃+∞ð，又由{}2680(2,4)A x x x =-+<=，所以()[3,4)R B A ⋂=ð．（2）当0a >时，可得(,3)B a a =．因为p 是q 的充分不必要条件，则A B Ü，可得2,43a a ≤⎧⎨≤⎩等号不能同时成立，解得423a ≤≤，所以实数a 的取值范围为4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦．18．（1）12a =；（2）()()20,1log 3,⋃+∞【解析】（1）由()f x 是奇函数可得()()f x f x -=-，即可列出等式求解a ；（2）原不等式等价于()ln 010x f x >⎧⎨-<⎩或()ln 010x f x <⎧⎨->⎩，分别解两个不等式组，结果取并集即可.【详解】（1） ()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，即112121x xa a -⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭，211212x x x a a +=---，12211212xx xa =-=--，解得12a =；（2）若()1ln 0f x x ⋅⎡⎤⎣⎦-<，则()ln 010x f x >⎧⎨-<⎩或()ln 010x f x <⎧⎨->⎩，()()1ln 011110231212x x x x x f x f x >⎧>>⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-<>=+<⎩⎩⎪-⎩，解得2log 3x >；()()01ln 0011110231212x x x x x f x f x <<⎧<<<⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-><=+>⎩⎩⎪-⎩，解得01x <<.综上所述，()()20,1log 3,x ∈⋃+∞.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，利用指数函数、对数函数的单调性解不等式，属于中档题.19．(1)(,1]-∞(2)(,13)-∞-【分析】（1）结合已知条件利用函数的单调性转化为2()(1)0f x x k x '=-+≥在(2,)+∞上恒成立，然后分离参数即可求解；（2）结合已知条件，将问题转化为()()()h x f x g x =-的零点问题，通过导函数求()h x 的单调性，进而通过零点个数即可求解.【详解】（1）由题意2()(1)f x x k x '=-+，因为()f x 在区间(2,)+∞上为增函数，所以2()(1)0f x x k x '=-+≥在(2,)+∞上恒成立，即1k x +≤在(2,)+∞上恒成立，所以12k +≤，即1k ≤，故k 的取值范围为(,1]-∞.（2）设()()()()3211323k x h x f x g x x kx +=-=-+-，则2()(1)()(1)h x x k x k x k x '=-++=--，结合已知条件，函数()f x 与()g x 的图象有三个不同的交点可转化为()h x 有三个零点，由（1）知1k ≤，①当1k =时，2()(1)0h x x '=-≥，故()h x 在R 上递增，则()h x 最多只有一个零点，不合题意；②当1k <时，()h x ，()h x '随x 的变化情况如下表：x(),k -∞k(,1)k 1(1,)+∞()h x '+0－0+()h x ↗极大值321623k k -+-↘极小值12k -↗由于102k -<，且当+x →∞时，()h x →+∞；当x →-∞时，()h x →-∞，欲使()h x 有三个零点，需3210623k k -+->，即()()21220k k k ---<，因为10k -<，所以2220k k -->，即13k <-，从而实数k 的取值范围(,13)-∞-.20．(1)500名(2)(]0,5【分析】（1）根据题意列出不等式()()10100010.2%101000x x ⋅-+≥⨯，即可求解；（2）根据题意得到3110()10(1000)(1)500500x a x x x -≤-+，转化为210001500x a x≤++在(0,500)x ∈上恒成立，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）解：由题意，可得()()10100010.2%101000x x ⋅-+≥⨯，即25000x x -≤，又因为0x >，解得0500x <≤，所以最多调整500名员工从事第三产业.（2）解：从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500xa x -万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元，则3110()10(1000)(1)500500x a x x x -≤-+，所以223110002500500-≤+--x ax x x x ，所以221000500x ax x ≤++，即210001500x a x ≤++在(0,500)x ∈上恒成立，因为21000210002244500500x x x x+≥⨯==，当且仅当21000500x x=时，即500x =时等号成立，所以5a ≤，又因为0a >，所以05a <≤，即实数a 的取值范围是(]0,5.21．（1）1t =；（2）[)4,+∞【分析】（1）根据题干得到()00f =，2log 0a =，解得1a =，0x =是函数()f x 的零点，所以()010g t =-=，进而求得t 值；（2）13,,24e x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()12f x g x ≤等价于()()max min f x g x ≤,根据函数的单调性得到函数的最值，即可求出结果.【详解】(1)因为()()22log f x x a x =+-是R 上的奇函数，所以()00f =，即2log 0a =，解得1a =.因为0x =是函数()f x 的零点，所以()010g t =-=，则1t =.(2)由(1)可得()()22log 1f x x x =+-，()121,221121,2x t x g x t x x t x ⎧-++≥⎪⎪=--=⎨⎪+-<⎪⎩，因为奇函数()()22221log 1log 1f x x x x x =+-=++，所以()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为()22max 333log 11444f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=-=-+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为()121,2121,2x t x g x x t x ⎧-++≥⎪⎪=⎨⎪+-<⎪⎩，所以()g x 在31,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.则()g x 的最小值为34g ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2g 中的较小的一个.因为33521442g t t ⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22213g t t =-⨯++=-.所以()()min 23g x g t ==-.因为123,,24x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()12f x f x ≤，所以13t ≤-.解得4t ≥.故t 的取值范围为[)4,+∞.【点睛】恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x >，若()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<；（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为()()min max f x g x >（需在同一处取得最值）.22．(1)答案见解析(2)112e m -≥-且1m ≠【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，对参数a 分0a >、0a =、a<0三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）首先求出()g x 解析式，求出导函数()g x '，再构造函数利用导数说明()g x '的单调性，从而对m 分四种情况讨论，利用导数说明函数的单调性，即可求出满足函数在[)0,∞+有两个不同零点的条件，从而求出参数的取值范围.【详解】（1）解：因为()()2122e x f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦定义域为R ，所以()()()211e e x x f x x ax x x a --'=+=+，当0a >时，令()0f x ¢>，解得0x >或x a <-，令()0f x '<，解得0a x -<<，所以()f x 在(),0a -上单调递减，在(),a -∞-和()0,∞+上单调递增，当0a =时()21e 0xf x x -'=≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，当a<0时，令()0f x ¢>，解得x a >-或0x <，令()0f x '<，解得0x a <<-，所以()f x 在()0,a -上单调递减，在(),0∞-和(),a -+∞上单调递增，综上可得，当0a >时，()f x 在(),0a -上单调递减，在(),a -∞-和()0,∞+上单调递增；当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当a<0时，()f x 在()0,a -上单调递减，在(),0∞-和(),a -+∞上单调递增；（2）解：当0a =时，()()()()()211122e 11x g x f x m x x x m x -=---=-+---，所以()21e x g x x m -'=-，令()()21e x P x g x x m -'==-，则()()212e 0x P x x x -'=+>，所以()21e x g x x m -'=-在[)0,∞+上单调递增，所以()()0g x g m ''≥=-，①当0m -≥，即0m ≤时()()00g x g m ''≥=-≥，所以()g x 在[)0,∞+上单调递增，又()10g =，所以函数()g x 只有一个零点，不符合题意，舍去；②当0m -<，即0m >时()()00g x g m ''≥=-<，又()()211e 0m g m m m '+=+->，所以存在唯一的()00,1x m ∈+，使得()00g x '=，当()00,x x ∈时，'()0g x <，当()0,x x ∈+∞时，'()0g x >所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()11g m '=-，当1m =时()10g '=，此时01x =，所以()()10g x g ≥=，函数()g x 只有一个零点，不符合题意，舍去；当1m ≠时()110g m '=-≠，01x ≠，此时有两个零点时，应满足()()0000g g x ⎧≥⎪⎨<⎪⎩，即()()()011200002e 1022e 110x m g x x x m x --⎧+-≥⎪⎨=-+---<⎪⎩，其中()()()()()0001112220000000022e 1122e e 11x x x g x x x m x x x x x ---=-+---=-+---()0132000222e 1x x x x -=-+-+-，设()()321222e 1x h x x x x -=-+-+-，()0,1x m ∈+，则()()()121e x h x x x x -'=+-，令()()()121e 0x h x x x x -'=+-=，解得1x =，所以当01x <<时()0h x '>，当11x m <<+时()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,1m +上单调递减，所以()()10h x h ≤=，即()()()012000022e 110x g x x x m x -=-+---<恒成立，所以112e m -≥-且1m ≠.【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理。

2023-2024学年福建省龙岩市第一中学高三上学期第一次月考数学试题及答案

龙岩一中2024届高三上学期第一次月考数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一一次可使杂质含量减少1/4，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（）目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知A B 、为实数集R 的非空集合，则A B ≠⊂的必要不充分条件可以是（）A ．AB A ⋂=B ．A ∩C R B =C ．C R B ≠⊂C R AD ．B ∪C R A=R三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数集R ，集合A ＝{x|log 2x<1}，B ＝{x ∈Z |x 2＋4≤5x}，则(C R A)∩B ＝ 15. 已知()24,1,log ,2,ax x f x x x +≤⎧=⎨≥⎩则()()0f f =______；若函数()f x 的值域为[)1,+∞，则a 的最小值为______．17.（本题满分10分）已知集合{}2680A x x x =-+<，{}22430B x x ax a =-+<.（1）若a =1，求（C R B ）∩A ；（2）若a >0，设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，已知命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值围.18. （本题满分12分）已知函数1(=21xf x a +-）是奇函数.（1）求a ；（2）若[](1ln 0f x x -⋅<），求x 的范围.19．（本题满分12分）已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．（1）求实数k 的取值范围；（2）若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．20. （本题满分12分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出()*x x N∈名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元()0a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x .（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？21. （本题满分12分）已知函数())2log f x x =-是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.(1)若函数()f x 与()g x 有相同的零点，求t 的值；(2)若123,,24x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()12f x g x ≤，求t 的取值范围.22. （本题满分12分）已知函数()()2122e x f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦，a ∈R ．(1)讨论函数()f x 单调性；(2)当0a =时，若函数()()()11g x f x m x =---在[)0,∞+有两个不同零点，求实数m 的取值范围．龙岩一中2024届高三上学期第一次月考数学参考答案题号123456789101112答案BBCDDDABABDCDBCDABD13.{2，3，4}143-15.2, -316.-1两个函数图象如下图所示：121,ln ln e 1x x <<=，又当1x <时，()f x 单调递增，所以又由{}2680(2,4)A x x x =-+<=，所以()[)3,4B A ⋂=R ð.. ........5分（2）当0a >时，可得(),3B a a =.因为命题p 是命题q 的充分不必要条件，则A ≠⊂B ，可得243a a≤⎧⎨≤⎩，等号不能同时成立，解得423a ≤≤，所以实数a 的取值范围为4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ......10分18. .......1分.....................6分（用特殊值没检验的，扣2分）................8分.....................12分19．解：（1）由题意xk x xf )1()(2+-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数，≥0在区间（2，+∞）上恒成立..........2分即k+1≤x 恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k ..........4分 ( 没有等号扣2分)（2）设312)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ，)1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h ...........6分令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，①当1=k 时，0)1()(2≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意...........7分②当1<k 时，)(x h ，)(x h '随x 的变化情况如下表：x ),(k -∞k )1,(k 1),1(+∞)(x h '+0—0+)(x h ↗极大值312623-+-k k ↘极小值21-k ↗由于021<-k ，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根，故需0312623>-+-k k ，即0)22)(1(2<---k k k ...........10分∴⎩⎨⎧>--<02212k k k ，解得31-<k ,综上，所求k 的取值范围为31-<k ...........12分20. 解：（1）由题意，得()()10100010.2%101000x x -+≥⨯，..................3分即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤.即最多调整500名员工从事第三产业. ..........5分（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫- ⎪⎝⎭x a x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500⎛⎫-+⎪⎝⎭x x 万元，..............7分21. 解:(1)因为())2log f x x =-是R 上的奇函数，所以()00f =，即log 0=解得1a =..................2分因为0x =是函数()f x 的零点，所以()010g t =-=，则1t =....................4分(2)由(1)可得())2log f x x =-，()121,221121,2x t x g x t x x t x ⎧-++≥⎪⎪=--=⎨⎪+-<⎪⎩， (6)分因为奇函数())2log log f x x ==()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为()2max 33log 144f x f ⎫⎛⎫⎛⎫⎪=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭.......8分因为()121,2121,2x t x g x x t x ⎧-++≥⎪⎪=⎨⎪+-<⎪⎩，所以()gx 在31,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.则()g x 的最小值为34g ⎛⎫-⎪⎝⎭和()2g 中的较小的一个.因为33521442g t t ⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22213g t t =-⨯++=-.所以()()min 23g x g t ==-.............10分因为123,,24x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()12f x f x ≤，所以13t ≤-.解得4t ≥.故t 的取值范围为[)4,+∞.....................12分22. 解（1）：因为()()2122e x f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦定义域为R ，所以()()()211e e x xf x x ax x x a --'=+=+，..........1分当0a >时，令()0f x ¢>，解得0x >或x a <-，令()0f x '<，解得0a x -<<，所以()f x 在(),0a -上单调递减，在(),a -∞-和()0,∞+上单调递增，..........2分当0a =时()21e 0xf x x -'=≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增， ..........3分当a<0时，令()0f x ¢>，解得x a >-或0x <，令()0f x '<，解得0x a <<-，所以()f x 在()0,a -上单调递减，在(),0∞-和(),a -+∞上单调递增，..........4分综上可得，当0a >时，()f x 在(),0a -上单调递减，在(),a -∞-和()0,∞+上单调递增；当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当a<0时，()f x 在()0,a -上单调递减，在(),0∞-和(),a -+∞上单调递增；..........5分解（2）：当0a =时，()()()()()211122e 11x g x f x m x x x m x -=---=-+---，所以()21e x g x x m -'=-，令()()21e x P x g x x m -'==-，则()()212e 0x P x x x -'=+>，所以()21e x g x x m -'=-在[)0,∞+上单调递增，所以()()0g x g m ''≥=-，①当0m -≥，即0m ≤时()()00g x g m ''≥=-≥，所以()g x 在[)0,∞+上单调递增，又()10g =，所以函数()g x 只有一个零点，不符合题意，舍去；..........6分②当0m -<，即0m >时()()00g x g m ''≥=-<，又()()211e 0m g m m m '+=+->，所以存在唯一的()00,1x m ∈+，使得()00g x '=，当()00,x x ∈时，'()0g x <，当()0,x x ∈+∞时，'()0g x >所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()11g m '=-，当1m =时()10g '=，此时01x =，所以()()10g x g ≥=，函数()g x 只有一个零点，不符合题意，舍去；当1m ≠时()110g m '=-≠，01x ≠，此时有两个零点时，应满足()()0000g g x ⎧≥⎪⎨<⎪⎩，..........8分即()()()011200002e 1022e 110x m g x x x m x --⎧+-≥⎪⎨=-+---<⎪⎩，其中()()()()()0001112220000000022e 1122e e 11x x x g x x x m x x x x x ---=-+---=-+---()0132000222e 1x x x x -=-+-+-，..........9分设()()321222e 1x h x x x x -=-+-+-，()0,1x m ∈+，则()()()121e x h x x x x -'=+-，令()()()121e 0x h x x x x -'=+-=，解得1x =，所以当01x <<时()0h x '>，当11x m <<+时()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,1m +上单调递减，所以()()10h x h ≤=，..........11分即()()()012000022e 110x g x x x m x -=-+---<恒成立，所以112e m -≥-且1m ≠...........12分【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．龙岩一中2024届高三上学期第一次月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一故选：D5．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少1/4，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（）A．8B．9C．10D．11【答案】D【详解】设至少需要过滤n次，则10.0210.0014n⎛⎫⨯-≤⎪⎝⎭，即31420n⎛⎫≤⎪⎝⎭,所以3lg204nlg≤-，即lg2010.301010.42lg4lg320.30100.4471n+≥=≈-⨯-，又n N∈，所以11n≥，所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求,故选D．【点睛】本题主要考查指数与对数的运算，考查学生的阅读能力，考查学生的建模能力，属于中档题．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区ln二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知A B 、为实数集R 的非空集合，则A B ≠⊂的必要不充分条件可以是（）⊂-x 121,ln ln e 1x x <<=，又当1x <时，()f x 单调递增，所以()()3233223ln 3ln ln ln e ex x x x x f x f x x ==⇒=，又2x 所以23ln x x =，332222ln 1ln ln x x x x x x m ===，21ln x x =确，故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数集R ，集合A ＝{x|log 2x<1}，B ＝{x ∈Z |x 2＋4≤5x}，则(C R A)∩B ＝【答案】{2，3，4}解析　由log 2x<1，解得0<x<2，故A ＝(0，2)，故C R A ＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，由x 2＋4≤5x ，即x 2－5x ＋4≤0，解得1≤x ≤4，又x ∈Z ，所以B ＝{1，2，3，4}．15. 已知()24,1,log ,2,ax x f x x x +≤⎧=⎨≥⎩则()()0f f =______；若函数()f x 的值域为[)1,+∞，则a 的最小值为______．【答案】23- 【详解】()()()204log 42f f f ===，要使得函数()f x 的值域为[)1,+∞，则满足041a a ≤⎧⎨+≥，解得30a -≤≤，所以实数a 的最小值为3-．出文字说明、证明过程和演算步骤．17.（本题满分10分）已知集合{}2680A x x x =-+<，{}22430B x x ax a =-+<.（1）若a =1，求（C R B ）∩A ；（2）若a >0，设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，已知命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值围.17解：（1）当1a =时，{}2430(1,3)B x x x =-+<=，可得][(),13,=-∞⋃+∞R B ð，又由{}2680(2,4)A x x x =-+<=，所以()[)3,4B A ⋂=R ð.. ........5分（2）当0a >时，可得(),3B a a =.因为命题p 是命题q 的充分不必要条件，则A ≠⊂B ，可得243a a≤⎧⎨≤⎩，等号不能同时成立，解得423a ≤≤，所以实数a 的取值范围为4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (10)分18. （本题满分12分）已知函数1(=21x f x a +-）是奇函数.（1）求a ；（2）若[](1ln 0f x x -⋅<），求x 的范围........1分.....................6分（用特殊值没检验的，扣2分）.....................8分.....................12分19．（本题满分12分）已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．（1）求实数k 的取值范围；（2）若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．解：（1）由题意x k x x f )1()(2+-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数，≥0在区间（2，+∞）上恒成立..........2分即k+1≤x 恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k ..........4分 ( 没有等号扣2分)（2）设312)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ，)1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h ...........6分令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，②当1=k 时，0)1()(2≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意...........7分②当1<k 时，)(x h ，)(x h '随x 的变化情况如下表：x ),(k -∞k )1,(k 1),1(+∞)(x h '+0—0+)(x h ↗极大值312623-+-k k ↘极小值21-k ↗由于021<-k ，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根，故需0312623>-+-k k ，即0)22)(1(2<---k k k ...........10分∴⎩⎨⎧>--<02212k k k ，解得31-<k ,综上，所求k 的取值范围为31-<k ...........12分20. （本题满分12分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出()*x x N∈名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元()0a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x .（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？解：（1）由题意，得()()10100010.2%101000x x -+≥⨯，..................3分即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤.即最多调整500名员工从事第三产业. ..........5分（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫-⎪⎝⎭x a x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500⎛⎫-+ ⎪⎝⎭x x 万元，..............7分21. （本题满分12分）已知函数())2log f x x =是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.(1)若函数()f x 与()g x 有相同的零点，求t 的值；(2)若123,,24x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()12f x g x ≤，求t 的取值范围.解:(1)因为())2log f x x =是R 上的奇函数，所以()00f =，即log 0=解得1a =..................2分因为0x =是函数()f x 的零点，所以()010g t =-=，则1t =....................4分(2)由(1)可得())2log f x x =-，()121,221121,2x t x g x t x x t x ⎧-++≥⎪⎪=--=⎨⎪+-<⎪⎩，............6分因为奇函数())22log log f x x =-=()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为()2max 33log 144f x f ⎫⎛⎫⎛⎫⎪=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭.......8分因为()121,2121,2x t x g x x t x ⎧-++≥⎪⎪=⎨⎪+-<⎪⎩，所以()g x 在31,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.则()g x 的最小值为34g ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2g 中的较小的一个.因为33521442g t t ⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22213g t t =-⨯++=-.所以()()min 23g x g t ==-.............10分因为123,,24x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()12f x x ，所以13t ≤-.解得4t ≥.故t 的取值范围为[)4,+∞.....................12分22. （本题满分12分）已知函数()()2122e x f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦，a ∈R ．(1)讨论函数()f x 单调性；(2)当0a =时，若函数()()()11g x f x m x =---在[)0,∞+有两个不同零点，求实数m 的取值范围．解（1）：因为()()2122e x f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦定义域为R ，所以()()()211e e x xf x x ax x x a --'=+=+，..........1分当0a >时，令()0f x ¢>，解得0x >或x a <-，令()0f x '<，解得0a x -<<，所以()f x 在(),0a -上单调递减，在(),a -∞-和()0,∞+上单调递增，..........2分当0a =时()21e 0xf x x -'=≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增， ..........3分当a<0时，令()0f x ¢>，解得x a >-或0x <，令()0f x '<，解得0x a <<-，所以()f x 在()0,a -上单调递减，在(),0∞-和(),a -+∞上单调递增，..........4分综上可得，当0a >时，()f x 在(),0a -上单调递减，在(),a -∞-和()0,∞+上单调递增；当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当a<0时，()f x 在()0,a -上单调递减，在(),0∞-和(),a -+∞上单调递增；..........5分解（2）：当0a =时，()()()()()211122e 11x g x f x m x x x m x -=---=-+---，所以()21e x g x x m -'=-，令()()21e x P x g x x m -'==-，则()()212e 0x P x x x -'=+>，所以()21e x g x x m -'=-在[)0,∞+上单调递增，所以()()0g x g m ''≥=-，①当0m -≥，即0m ≤时()()00g x g m ''≥=-≥，所以()g x 在[)0,∞+上单调递增，又()10g =，所以函数()g x 只有一个零点，不符合题意，舍去；..........6分②当0m -<，即0m >时()()00g x g m ''≥=-<，又()()211e 0m g m m m '+=+->，所以存在唯一的()00,1x m ∈+，使得()00g x '=，当()00,x x ∈时，'()0g x <，当()0,x x ∈+∞时，'()0g x >所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()11g m '=-，当1m =时()10g '=，此时01x =，所以()()10g x g ≥=，函数()g x 只有一个零点，不符合题意，舍去；当1m ≠时()110g m '=-≠，01x ≠，此时有两个零点时，应满足()()0000g g x ⎧≥⎪⎨<⎪⎩，..........8分即()()()011200002e 1022e 110x m g x x x m x --⎧+-≥⎪⎨=-+---<⎪⎩，其中()()()()()0001112220000000022e 1122e e 11x x x g x x x m x x x x x ---=-+---=-+---()0132000222e 1x x x x -=-+-+-，..........9分设()()321222e 1x h x x x x -=-+-+-，()0,1x m ∈+，则()()()121ex h x x x x -'=+-，令()()()121e0x h x x x x -'=+-=，解得1x =，所以当01x <<时()0h x '>，当11x m <<+时()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,1m +上单调递减，所以()()10h x h ≤=，..........11分即()()()012000022e 110x g x x x m x -=-+---<恒成立，所以112e m -≥-且1m ≠...........12分【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

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XX 中学2022-2023学年度第一学期
高三数学月考试题
考试范围：集合与常用逻辑用语；时间：120分钟；命题人：
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写答题卡上；
2.回答选择题时，选出给每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效；
3.考试结束后，将本试卷和带卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.若集合A={x ∈N|x ≤√2 023},a=π,则下列结论正确的是( )
A.{a}⊆A
B.a ⊆A
C.{a}∈A
D.a ∉A
2.某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,这句话的等价命题是( ) A.不拥有的人们会幸福 B.幸福的人们不都拥有 C.拥有的人们不幸福 D.不拥有的人们不幸福
3.已知集合A={1,2,3},B={x|-1<x+1≤3,且x ∈Z},则A ∪B 等于( ) A.{1,2,3} B.{0,1,2,3} C.{-1,0,1,2,3} D.{-1,0,1,2}
4.已知A={(x,y)|4x-y=0},B={(x,y)|y=x 2+4},则A ∩B 等于( ) A.{(8,2)} B.{(2,4)} C.{(2,8)} D.{(4,2)}
5.已知集合A={x ∈N|x 2≤1},集合B={x ∈Z|-1≤x ≤3},则图中阴影部分表示的集合是( )
A.[1,3]
B.(1,3]
C.{-1,2,3}
D.{-1,0,2,3}
6.命题“∀x ∈R,x 2-x+2 023>0”的否定是( )
A.∃x 0∈R,x 02-x 0+2 023<0
B.∃x 0∈R,x 02
-x 0+2 023≤0
C.∀x ∈R,x 2-x+2 023<0
D.∀x ∈R,x 2
-x+2 023≤0
7.已知集合A={1,2,3},B={-1,0,1,2},若M ⊆A,且M ⊆B,则M 的个数为( ) A.1 B.3 C.4 D.6
8.已知命题p:函数f(x)=2x -2-x 在R 上单调递增,命题q:函数g(x)= sin[2(x+π
4)]为奇函数,则下列命题中真命题为( )
A.p ∧q
B.p ∧﹁q
C.﹁p ∧﹁q
D.﹁p ∨q 9.下列结论错误的是( )
A.“x=1”是“x 2-x=0”的充分不必要条件
B.已知命题p:∀x ∈R,x 2+1>0,则﹁p:∃x 0∈R,x 02
+1≤0 C.若复合命题p ∧q 是假命题,则p,q 都是假命题
D.命题“若x 2-x=0,则x=1”的逆否命题为“若x ≠1,则x 2-x ≠0”
10.设全集U={1,2,3,4,5,6},且U 的子集可表示由0,1组成的6位字符串,如:{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1,第4个字符为1,其余字符均为0的6位字符串010100,并规定,空集表示的字符串为000000;对于任意两集合A,B,我们定义集合运算A-B={x|x ∈A,且x ∉B},A*B=(A-B)∪(B-A).若A={2,3,4,5},B={3,5,6},则A*B 表示的6位字符串是( ) A.101010 B.011001 C.010101 D.000111
11.设m,n 为非零向量,则“m ·n>0”是“存在整数λ,使得m=λ n ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
12.记不等式组{x +y ≥6,
2x -y ≥0
表示的平面区域为D,命题p:∃(x,y)∈D,2x+y ≥9;命题q:∀(x,y)∈
D,2x+y ≤12.给出了四个命题:①p ∨q;②﹁p ∨q;③p ∧﹁q;④﹁p ∧﹁q,这四个命题中,所有真命题的编号是( )
A.①③
B.①②
C.②③
D.③④
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若“∃x 0∈[-1,2],x 02
-m>1”为假命题,则实数m 的最小值为 . 14.若集合A={x|8≤2-x
2+2x+a
≤12}中恰有唯一的元素,则实数a 的值为 .
15.已知函数f(x)=ln(x 2
+1),g(x)=(12
)x -m,若对∀x 1∈[0,3],∃x 2∈[1,2],使得f(x 1)≥g(x 2),则实
数m 的取值范围是 .
16.下列命题真命题的序号是 . ①∃x 0∈R,sin x 0+cos x 0=√3; ②若p:x
x -1<0,则﹁p:x
x -1≥0; ③lg x>lg y 是√x >√y 的充要条件;
④在△ABC 中,边a>b 是sin A>sin B 的充要条件;
⑤“a=2”是“函数f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的充要条件.
三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)
设全集U=R,集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}.
(1)求B及∁
U
(A∩B);
(2)若集合C={x|2x+a>0},满足B∪C=C,求实数a的取值集合.
18.(本小题满分12分)
设非空集合S具有如下性质:①元素都是正整数;②若x∈S,则10- x∈S.
(1)请你写出符合条件,且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个;
(2)是否存在恰有6个元素的集合S?若存在,写出所有的集合S;若不存在,请说明理由;
(3)由(1)(2)的解答过程启发我们,可以得出哪些关于集合S的一般性结论?(要求至少写出两个结论)
19.(本小题满分12分)
设p:2≤x<4,q:实数x满足x2-2ax-3a2<0(a>0).
(1)若a=1,且p,q都为真命题,求x的取值范围;
(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
20.(本小题满分12分) 已知a≥1
2
,y=-a2x2+ax+c,其中a,c均为实数.
证明:对于任意的x∈{x|0≤x≤1},均有y≤1成立的充要条件是c≤3
4
.
21.(本小题满分12分)
设t∈R,已知命题p:函数f(x)=x2-2tx+1有零点;命题q:∀x∈[1,+∞),1
x
-x≤4t2-1.
(1)当t=1时,判断命题q的真假;
(2)若p∨q为假命题,求t的取值范围.
22.(本小题满分12分)
已知不等式5
x-3
≥-1的解集为A,集合B={x|2ax2+(2-ab)x-b<0}.
(1)求集合A;
(2)当a>0,b=1时,求集合B;
(3)是否存在实数a,b使得x∈A是x∈B的充分条件,若存在,求出实数a,b满足的条件;若不存在,请说明理由.
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