初中函数图像及性质
函数的定义
一、自变量与应变量
在数学中，通常我们用X来表示y的式子描述函数解析式。
那么y随着x变化而变化，则我们把x叫做自变量，y叫做应变量，即y是x函数。
次函数的图像及性质
一、一次例函数定义
形如y = kx • b k = 0这样的函数叫一次函数。
二、正比例函数
当一次函数y=kx ^bknO中b = 0时，y = kx k = 0叫正比例函数。
三、正比函数性质
1、正比例函数图像为恒过坐标原点0,0和点0,b的直线。
且与y轴的截距是b，与y 轴的交点坐标为0,b。
2、当k 0时，正比例y=kx的函数图像过一、三象限，
y随x的增大而增大。
3、当k :: 0时，正比例y=kx的函数图像过二、四象限, y随x的
增大而减小。
四、一次函数图像及性质
1、当k 0, b・0时，一次函数y二kx • b的图像过一、二、三象限。
2、当k 0, b ：：：0时，一次函数y = kx • b的图像过一、三、四象限。
3、当k :: 0, b・0时，一次函数y = kx • b的图像过
一、二、四象限。
4、当k ::: 0, b . 0时，一次函数y = kx • b的图像过二、三、四象限。
五、一次函数图像与坐标轴围成的三角形面积公式
设一次函数y二kx • b k = 0与坐标轴所围成的三角形为AOB则S.AOB 为多少?
2
2
形如y = ax 2 • bx c
0这样的函数
叫做二次函数。
二、 二次函数的图像
二次函数的图像是抛物线。
如右图所示
三、 二次函数的性质
六、用函数的观点看不等式
设两个一次函数y y 1 = k 1x - b 1和y 2
= k 2x - b 2的交点 为点X o ,y 。
，如图可知
(1) 当 x X o 时，y i y 2 ；
(2) 当 x =x 。
时，力二 y 2 ；
(3) 当 x ::: X o 日寸,y i ::: y 2。
反比例函数图像及性质
一、反比例函数定义
k
形如y k=0这样的函数叫反比例函数。
k 叫比例系数k 为常数
x
二、反比例函数的图像
反比例函数图像为双曲线。
三、 反比例函数的性质
2、 当k 0时，反比例函数y=k
的图像分布在一、三象限
x
k
3、 当k ： 0时，反比例函数的图像分布在二、四象限,
x
四、 反比例函数图像上的点。
k 点p x o , y o 在反比例函数y = - k = 0的图像上x ° -y 。
= k x
五、反比例函数图像上图形面积与比例系数 k 的关系 1、在y=k 中^如上A 图所示S^
3、在y 尹中 x
k y = x =|k 4、在 y = 二次函数图像及性质二 2、在 中 B Q 中 图所示S 四边形OABC = k >AB -S.Q CD
、二次函数定义
O
B
1、 二次函数y = ax 2 bx • c a = 0的图像恒过点0,c ，且与y 轴的截距为c ;
2、 当a 0时，二次函数y = ax 2 bx • c a = 0的图像抛物线开口向上，且有最 小值；
1、 三点式：已知二次函数图像上三点，求函数解析式如下
已知点Ax^y !、Bx 2,y 2、C X 3,y 3在一个二次函数图像上，则求该二次函数 解析式。
解：设这个二次函数解析式为 y =ax 2 • bx • c ，
AX
把题中三点分别代入解析式得
"axj 十bx t +c = y t a -
」ax ； +bx 2 +c =y 2 解得也=一 然后扌世/跌袋的值分别带入
假设的解析式中，此题得解
2、 两点式：已知二次函数图像与x 轴的两个交点，
求函数解析式如下
已知二次函数图像与x 轴的交点分别为点A x t ,0
与点B X 2,0，求函数解析式如下
解：设这个二次函数解析式为 y 二ax-x t x-X 2 ,然后利用多项式乘法展开后
合并同类项，降幕排列的y = ax 2 -a x t x 2 x ax t x 2，通常考出两点式的题型， a 的值会很容易求出。
3、顶点式：已知二次函数的对称轴与最值求二次函数解析式如下 3、 当a ：0时, 大值；
*y
二次函数y = ax 2
bx • c a = 0的图像抛物线开口向上，且有最 4、 二次函数y =ax 2 bx c a 四、二次函数的形式
：寸称轴为直线最值为"叮'
A (X 1,0 已知二次函数的对称轴为直线X = h ，
o
o
y
最值（最大值或者最小值）为k。
则它的解析式为y =a（x _h f +k，这种题
型中a的也很容易求出4、顶点式的变形考法，也就是通常常考内容，利润问题和最值问题。
解决这类
*h,k 问题时，一般分为3个步骤：
（1）列出二次函数解析式
（2）把这个二次函数解析式配方成顶点式的形式
（3）根据顶点式直接可以写出当x = h时，
①当a 0 时，y min =k ；◎当a . 0 时，『max =k ；
求两个函数图像的交点
求两个函数图像交点的题型，通常都是把这两个函数解析式联立成方程组，然后解次方程组，求得的方程组的对应X的值与相应y的值，正好就构成两个函数图像的其中一个交点的坐标。
归纳为：方程组的解就是图像的交点，图像的交点就是方程组的解。
初二数学一次函数的图像和性质(基础)
一次函数的图像和性质1. 理解一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系；2. 能正确画出一次函数的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．4. 能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．要点一、一次函数的定义一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.一次函数的定义域是一切实数.一般地，我们把函数（为常数）叫做常值函数.它的自变量由所讨论的问题确定.要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.要点二、一次函数的图象与性质1. 函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线；当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.2. 一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：（为常数，且）过（0，）和（，0）点的一条直线、的取值函数变化规律随的增大而增大随的增大而减小3. 、对一次函数的图象和性质的影响：一条直线与轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，直线的截距是.由于值的不同，则直线相对于轴正方向的倾斜程度不同，这个常数称为直线的斜率.决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置、一起决定直线经过的象限4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：（1）与相交；（2），且与平行；要点三、待定系数法求一次函数解析式一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要点四、一次函数与一元一次方程（组）的关系一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.要点五、一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.典型例题类型一、待定系数法求函数的解析式1、根据函数的图象，求函数的解析式．【变式1】已知一次函数的图象与正比例函数的图象平行且经过(2，1)点，则一次函数的解析式为____【变式2】（1）已知直线，与直线平行，且与轴的交点是（0，），则直线解析式为___________________．（2）若直线与平行，且同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差1个单位长度，则直线解析式为__________________．类型二、一次函数图象的应用2、为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量(度)与应付电费(元)的关系如图所示．根据图象求出与的函数关系式．【变式】小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是()A.14分钟B.17分钟C.18分钟D.20分钟类型三、一次函数的性质3、已知一次函数．（1）当、是什么数时，随的增大而增大；（2）当、是什么数时，函数图象经过原点；（3）若图象经过一、二、三象限，求、的取值范围.【变式】函数在直角坐标系中的图象可能是（）．4、下列函数中，其图象同时满足两个条件①随着的增大而增大②与轴的正半轴相交．则它的解析式为（）A． B． C．D．【变式】函数在直角坐标系中的图象可能是（）．类型四、一次函数与一元一次方程（组），一元一次不等式5、若直线与轴交于（5，0）点，那么关于的方程的解为______. 【变式1】如图，已知直线，则关于的方程的解＝_________.【变式2】若方程组的解为你能说出一次函数与的图象的交点坐标吗6、如图，直线交坐标轴于A（－3，0）、B（0，5）两点，则不等式＜0的解集为（）A．＞－3B．＜－3C．＞3D．＜3【变式】如图，直线与坐标轴的两个交点分别为A（2，0）和B（0，－3），则不等式＋3≥0的解集是（）A．≥0B．≤0C．≥2D．≤2巩固练习一.选择题1. 已知一次函数的图象如图所示，那么的取值范围是（）A． B． C． D．2．一次函数的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3. 已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是（）A. B. C. D.4. 若函数与的图象交于轴上一点，则的值为（）A．4 B．－4 C．D．±45．已知直线和直线相交于点(2，)，则、的值分别为（）．A．2，3 B．3，2 C．，2 D．，36. 如图，已知函数和的图象交于点P（－2，－5），则下列结论正确的是（）A．＜－2时，＜B．＜－2时，＞C．＜0 D．＜0二.填空题7. 如果直线经过第一、二、三象限，那么______0．8. 点是一次函数图象上的两个点，且，则_ ．（填＞，＜或＝）9. 已知一次函数的图象与直线平行, 则＝______.10. 一次函数的图象与轴的交点坐标是_____，与轴的交点坐标是______．11. 一次函数与的图象如图，则方程的解是________.12. 已知不等式＞的解集是＜2，则直线与的交点坐标是_______.三.解答题13. 已知一次函数，（1）当______时，它的图象经过原点；（2）当______时，它的图象经过点(0，－2)；（3）当______时，它的图象与轴的交点在轴的上方；（4）当______时，它的图象平行于直线；（5）当______时，随的增大而减小.14. 已知与成正比例，且当＝1时，＝5（1）求与之间的函数关系式；（2）若图象与轴交于A点，与交于B点，求△AOB的面积.15. 如图所示，根据图中信息．（1）你能写出、的值吗？（2）你能写出P点的坐标吗？（3）当为何值时，＞？。
初三二次函数的图像与性质
初三二次函数的图像与性质二次函数是初中数学中的一个重要概念。
在数学学习的过程中，我们常常会接触到二次函数，并且需要了解它的图像特点以及性质。
本文将详细介绍初三二次函数的图像和性质，并且给出相关的例题和解析。
一、二次函数的定义及一般式二次函数是指函数$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数且$a\neq 0$。
它的图像是抛物线，并且开口的方向由$a$的正负决定。
当$a>0$时，抛物线开口向上；而当$a<0$时，抛物线开口向下。
二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数。
其中，$a$代表抛物线的开口方向与开口的大小，$b$影响抛物线的位置，$c$影响抛物线和$y$轴的交点。
【例题1】某二次函数的方程是$y=2x^2-3x+1$，求该二次函数的图像和性质。
解：根据给定的二次函数方程，我们可以得到$a=2$，$b=-3$，$c=1$。
由于$a>0$，所以抛物线开口向上。
考虑二次函数的图像特点，我们可以使用一些方法来绘制它的图像。
首先，我们可以找出抛物线的对称轴，对称轴的方程为$x=-\frac{b}{2a}$。
代入$a=2$，$b=-3$，我们得到$x=-\frac{-3}{2\times2}=\frac{3}{4}$。
因此，对称轴的方程为$x=\frac{3}{4}$。
接下来，我们需要计算抛物线的顶点坐标。
顶点坐标可以通过将对称轴的$x$坐标代入原函数方程计算得到。
将$x=\frac{3}{4}$代入$y=2x^2-3x+1$，我们得到$y=2(\frac{3}{4})^2-3(\frac{3}{4})+1=\frac{9}{8}-\frac{9}{4}+1=\frac{1}{8}$。
因此，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。
不难看出，根据顶点的坐标和对称轴的方程，我们可以绘制出该二次函数的图像。
它是一个开口向上的抛物线，对称轴为$x=\frac{3}{4}$，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。
正弦函数和余弦函数的图像与性质
例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值 时的自变量 x 的值. (2) y 3sin x cos x (1) y sin(2 x )
4 解:(1)视为 y sin u , u 2 x 4
8 3 当 u 2k ，即 x k , k Z 时， 2 8 ymin 1 2
二、正弦函数与余弦函数的周期
对于任意 x R 都有
sin( x 2k ) sin x, k Z cos( x 2k ) cos x, k Z
正弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2
周期，最小正周期是 2 余弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2 周期，最小正周期是 2
注：一般三角函数的周期都是指最小正周期
1 (1) f ( x) cos 2 x (2) f ( x) sin( x ) 2 6 解: (1)设 f ( x)的周期为 T f ( x T ) f ( x)
即 cos[2( x T )] cos 2 x 即 cos(2 x 2T ) cos 2 x 即 对任意 u 都成立：cos(u 2T ) cos u 因此 2T 2 ，从而 T 解毕
第六章 三角函数
5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质
一、正弦函数和余弦函数的概念 实数集与角的集合可以建立一一对应的关系， 每一个确定的角都对应唯一的正弦(余弦)值. 因此，任意给定一个实数 x ，有唯一确定的值
sin x(cos x) 与之对应.
函数 y sin x 叫做正弦函数 函数 y cos x 叫做余弦函数 正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
常用函数性质及图像
一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数．⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx (k 不为零)①k 不为零②x 指数为1③b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时， 直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1)解析式：y=kx（k 是常数，k≠0）(2)必过点：（0，0）、（1，k）(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时， 图像经过二、四象限(4)增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小(5)倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴3、一次函数及性质一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式y=kx+b (k 不为零)①k 不为零②x 指数为1③b 取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k、b 是常数，k ≠0)（2）必过点：（0，b）和（-kb，0）（3）走向：k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限⇔⎩⎨⎧><0b k 直线经过第一、二、四象限⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限（4）增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.（6）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.b>0b<0b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质正比例函数一次函数概念一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，是y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量范围X 为全体实数图象一条直线必过点（0，0）、（1，k）（0，b）和（-kb，0）走向k>0时，直线经过一、三象限；k<0时，直线经过二、四象限k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限增减性k>0，y 随x 的增大而增大；（从左向右上升）k<0，y 随x 的增大而减小。
初中高中数学七大函数的性质 图像
初中高中数学七大函数的性质图像1.一次函数(包括正比例函数)最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。
定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R值域：R奇偶性：无周期性：无平面直角坐标系解析式(下简称解析式):①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）③y-y1=k(x-x1)[点斜式]（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）⑤x/a-y/b=0[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性：①所需条件较多（3个）；②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；④参数较多，计算过于烦琐；⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。
设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。
2.二次函数：题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。
定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0，图象与x轴交于两点：（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)^2+t[配方式]此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；3.反比例函数在平面直角坐标系上的图象为双曲线。
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
基本初等函数图像及性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数1(yf (xx a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nmnm aaa ==(4) ()n n n b a ab=b.根式的性质；(1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂； (1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm 四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，f xxxx g ⎪⎫⎛=1)(记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。
人教初中数学八下 19.2.2《一次函数》一次函数的图像和性质课件 【经典初中数学课件汇编】
(1)下列函数中，y的值随x值的增大而
增大的函数是__C______.
A.y=-2x B.y=-2x+1
直线y = kx+b (k≠0) 的平移规律
y
x o
y = kx+b(b>0)
y = kx y = kx+b(b<0)
特性：当k相同时,两直线平行 y
o
x y=kx+b
y=kx
活动二、怎样画一次函数y=kx+b的图像最简单？
实践：用两点法在同一坐标系中画出函数y=2x－1
与y=－0.5x+1的图象．
度而得到；
推广： (1) 所有一次函数y=kx+b的图象都是_一__条__直__线_ ；
(2)直线 y=kx+b与直线y=kx_互__相__平__行___；
(3)直线 y=kx+b可以看作由直线y=kx_平__移_b__个__单__位_
而得到
当b>0，向上平移b个单位；
当b<0，向下平移 b 个单位。
16.1 二次根式
导入
1.如图所示的值表示正方形的
面积，则正方形的边长是 b 3 b-3
2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池，
它的半径为 2 m（ 取3.14）；
3、关系式中h 5t 2 ，用含有h的式子
表示t，则t为 h 。
5
新授:
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
九种基本初等函数图像及性质
九种基本初等函数图像及性质基本初等函数包括一次函数、平方函数、立方函数、根号函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数和正切函数等9种函数。
下面简单介绍它们的图像及性质。
一次函数的图像是一条直线，表达函数的形式为：y=ax+b(a≠0)，其中a表示斜率，b表示函数的截距，函数的性质是其增减性由斜率a决定。
平方函数的图像为一条凹凸不平的抛物线，表达函数的形式为：y=ax2+bx+c，其中a、b、c为实数，a≠0，此函数的性质是其单调性由a的正负决定，是增函数当a>0时，是减函数当a<0时。
立方函数的图像是一条弯曲的曲线，表达函数的形式为：y=ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d为实数，a≠0，函数的性质是其单调性由a的正负决定，是增函数当a>0时，是减函数当a<0时。
根号函数的图像是一条弯曲的曲线，表达函数的形式为：y=a√x+b，其中a、b为实数，a>0，此函数的性质是常数变动，函数的解析式在a变动时它的单调性也由正负变化。
指数函数的图像是一条右倾的曲线，表达函数的形式为：y=axb，其中a、b为实数，a>0、b≠0，函数的性质是其单调性由a、b的正负决定，是增函数当a>0且b>0时，是减函数当a>0且b<0时。
对数函数的图像是一个右倾的曲线，表达函数的形式为：y=alogx + b，其中a、b为实数，a>0，此函数的性质是变数变动，函数的解析式在x变动时它的单调性也由正负变化。
正弦函数的图像是一个周期性的曲线，表达函数的形式为：y=Asin（ωx+φ），其中A、ω、φ为实数，A>0，此函数的性质是其单调性由A的正负决定，是增函数当A>0时，是减函数当A<0时。
余弦函数的图像同正弦函数，表达函数的形式为：y=Acos（ωx+φ），其中A、ω、φ为实数，A>0，此函数的性质同正弦函数一样。
正切函数的图像为一个弯曲的曲线，表达函数的形式为：y=tanx，其中x代表，函数的性质是函数的单调性变化于π/2，函数的解析式在x变动到π。
人教版九年级上册数学 讲义 二次函数的图像与性质
C． D．
【例2】已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的大致图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图
象不经过( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【例3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＜0；③a－b＋c＜0；④a＋c＞0，其中正确结论的个数为（）．
3、抛物线 （ ）的顶点坐标公式：（ ， ）；对称轴是直线： ；当 时，函数有最值： 。
4、二次函数图像的平移：只要抛物线解析式中的a相同，它们之间可以相互平移得到，平移规律：左加右减，上加下减。
二、典型例题：
考点一：二次函数的定义
【例1】下列函数中，关于 的二次函数是（ ）。
A、 B、 C、 D、
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【例2】已知二次函数 ，若自变量 分别取 ， ， ，且 ，则对应的函数值 的大小关系正确的是（）
A. B. C. D.
三、强化训练：
【夯实基ห้องสมุดไป่ตู้】
1、二次函数 的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）
【例2】已知函数 （ 为常数）。
（1） 为何值时，这个函数为二次函数？
（2） 为何值时，这个函数为一次函数？
考点二：二次函数的顶点、对称轴、最值
【例1】写出下列抛物线的对称轴方程、顶点坐标及最大或最小值；
（1） （2） （3）
考点三：抛物线的平移（上加下减，左加右减）
【例1】把抛物线 向左平移2个单位，再向下平移2个单位，则所得的抛物线的表达式是；
A、4个B、3个C、2个D、1个
考点五：直线与抛物线的位置关系