对称性在积分计算中应用修订版
对称性在高等数学积分计算中的应用
对称性在高等数学积分计算中的应用作者：刘记川来源：《课程教育研究·学法教法研究》2017年第09期【摘要】积分计算是高等数学教学中的重点和难点之一，如何进行积分计算，教学过程中对每一类积分都给出了相应的计算方法。
然而有些积分的被积函数和积分区域比较复杂，计算起来比较困难，甚至有些积分采用常规的方法无法计算。
对称性是积分计算中经常采用的积分技巧，可以把问题简单化，减少计算量。
对具有一定特性的被积函数和积分区域，对称性可以展现出高效快捷的计算优势。
【关键词】对称性积分【中图分类号】O172.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）09-0031-02积分学是高等数学教学中的重点和难点，内容包括二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分[1，2]。
在高等数学教学的过程中，对每一类积分都罗列出很多种计算方法。
每一类积分计算都有很多的难点，想要真正的掌握并非易事，并且各种积分之间的相互转化就更为复杂。
然而在积分计算的过程中，有些积分的积分区域比较特殊（例如：积分区域具有对称性）或者被积函数具有奇偶性，这类积分的计算运用一定的技巧，可以省掉繁琐的计算过程，从而达到简单、快捷、高效和准确的目的。
一、定义对称性主要是指积分区域的对称性。
二维平面上的区域关于坐标轴的对称以及关于直线y=x对称。
三维中是空间区域关于三个坐标面的对称以及关于面y=x，z=x和y=z的对称。
轮换对称性是对称性的一种特殊情况，二维上是关于直线y=x对称，三维上是关于面y=x，z=x 和y=z的对称。
定义1.1：坐标轴对称：区域，对任意的（x，y）∈D，如果（x，-y）∈D，则区域D关于x轴对称；如果（-x，y）∈D，则区域D关于y轴对称。
定义1.2：坐标面对称：区域，对任意的（x，y，z）∈Ω，如果（x，y，-z）∈Ω，则区域Ω关于xoy面对称；如果（x，-y，z）∈Ω，则区域Ω关于xoz面对称；如果（-x，y，z）∈Ω，则区域Ω关于yoz 面对称。
对称性在积分计算中的应用
㊀㊀㊀１３７㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７对称性在积分计算中的应用对称性在积分计算中的应用Һ姚晓闺㊀陈俊霞㊀丁小婷㊀（陆军炮兵防空兵学院基础部数学教研室，安徽㊀合肥㊀２３００３１）㊀㊀ʌ摘要ɔ在数学范围内，特别是在积分方面，对称性的应用极为普遍．在研究和计算积分类的问题时，对称性的应用对简化解题过程㊁优化计算步骤的作用十分显著，这也使其成为积分计算中一种不可或缺的手段．利用对称性计算积分主要包括两方面：一是积分区域关于坐标面㊁坐标轴和原点对称的情况下被积函数具有奇偶性的积分；二是积分区域关于积分变量具有轮换对称性的情况下的积分．本文通过对各类积分的对称性进行归纳总结，使读者能够有效理解和掌握．ʌ关键词ɔ对称性；积分区域；被积函数；积分计算；积分一㊁定积分的对称性及其应用定理㊀若ｆ（ｘ）在［－ａ，ａ］上可积，则（１）当ｆ－ｘ()＝－ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝０；（２）当ｆ－ｘ()＝ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝２ʏａ０ｆ（ｘ）ｄｘ．例㊀求ʏπ０ｘｓｉｎｘ１＋ｃｏｓ２ｘｄｘ．解㊀令ｘ＝π２＋ｔ，则原式＝ʏπ２－π２π２＋ｔ()ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝ʏπ２－π２ｔｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＋π２ʏπ２－π２ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝０＋πʏπ２０ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝πａｒｃｔａｎｓｉｎｔπ２０＝π２４．二㊁重积分的对称性及其应用１．二重积分的对称性原理二重积分具有以下对称性：定理１㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０｝．当Ｄ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．定理２㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴和ｙ轴都对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）或ｆ－ｘ，ｙ()＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ－ｘ，ｙ()＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０，ｙȡ０｝．定理３㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于原点对称，则１）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．定理４㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝ｘ对称，则１）∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄｘｄｙ；２）当ｆ（ｙ，ｘ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；３）当ｆ（ｙ，ｘ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．当Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝－ｘ对称时，也有类似结论．例１㊀求∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１｝．解㊀易知题中被积函数｜ｘ｜＋｜ｙ｜为ｘ，ｙ的偶函数，且Ｄ区域具有对称性．记Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１，且ｘȡ０，ｙȡ０｝，于是㊀㊀㊀㊀㊀１３８数学学习与研究㊀２０２２ １７∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４ʏ１０ｄｘʏ１－ｘ０（ｘ＋ｙ）ｄｙ＝２ʏ１０１－ｘ２()ｄｘ＝４３．例２㊀求∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ，其中Ｄ为ｙ＝ｘ３㊁ｙ＝１㊁ｘ＝－１所围区域，ｆ是连续函数．解㊀此题积分区域Ｄ关于坐标轴不具有对称性，根据积分区域的特点，做辅助曲线ｙ＝－ｘ３，将Ｄ分为Ｄ１和Ｄ２，它们分别关于ｙ轴和ｘ轴对称，而ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）关于ｘ是奇函数，关于ｙ也是奇函数．故∬Ｄｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝∬Ｄ１ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＋∬Ｄ２ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝０．原式＝∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘｄｘｄｙ＝ʏ０－１ｄｘʏ－ｘ３ｘ３ｘｄｙ＝－２５．２．三重积分的对称性原理定理１㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于ｘＯｙ面对称，Ω１是Ω在ｘＯｙ面上方部分，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．当Ω关于其他坐标面对称时，也有类似结论．定理２㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于原点对称，Ω１是Ω位于过原点Ｏ的平面一侧的部分．则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．例㊀计算三重积分∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ，其中Ω为区域｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１，ｚȡ０｝．解㊀设Ω１表示开球｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１｝，注意到Ω关于ｙＯｚ面对称，而Ω１关于三个坐标面都是对称的，所以∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ＝∭Ωｘ２＋２ｘｚ＋ｚ２()ｄＶ＝∭Ωｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１２∭Ω１ｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３∭Ωｘ２＋ｙ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３ʏ２π０ｄθʏπ０ｓｉｎφｄφʏ１０ｒ４ｄｒ＝４１５π．三㊁对弧长的曲线积分的对称性及其应用定理㊀设Ｌ是平面上分段光滑的曲线，且Ｐ（ｘ，ｙ）在Ｌ上连续．１）若Ｌ关于ｘ轴对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，－ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，－ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在上半平面的部分．当Ｌ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．２）若Ｌ关于原点对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在右半平面或上半平面部分．例㊀计算ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ，其中曲线Ｌ是椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１，其周长为ａ．解㊀由于Ｌ关于ｘ轴对称且２ｘｙ是关于ｙ的奇函数，故ʏＬ２ｘｙｄｓ＝０，则ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＋ʏＬ２ｘｙｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ１２ｄｓ＝１２ʏＬ１㊃ｄｓ＝１２ａ．四㊁对面积的曲面积分的对称性及其应用定理［２］㊀设有界光滑或分片光滑曲面 关于ｘＯｙ平面对称，ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）为曲面 上的连续函数，则∬ ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝２∬ １ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．其中 １：ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）ȡ０．㊀㊀㊀１３９㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７当 关于ｙＯｚ面㊁ｚＯｘ面对称时，也有类似结论．五㊁积分区域关于积分变量具有轮换对称性情况下的积分定义㊀设ΩɪＲ３，如果（ｘ，ｙ，ｚ）ɪΩ时，都有（ｚ，ｘ，ｙ），（ｙ，ｚ，ｘ）ɪΩ，，则称区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性．定理１［３］㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＶ＝１３∭Ω［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＶ．推论㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ）ｄＶ．定理２㊀设积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，则有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄσ＝１２∬Ｄ［ｆ（ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｘ）］ｄσ．对于第一类曲线积分和曲面积分，同理可得到如下定理：定理３㊀设曲线Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有ʏΓｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄｓ＝１３ʏΓ［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄｓ．定理４㊀设曲面 关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝∬ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＳ＝∬ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＳ＝１３∬［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＳ．例１㊀计算二重积分∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２ɤ４，ｘȡ０，ｙȡ０｝，ｆ（ｘ）为Ｄ上的正值连续函数，ａ，ｂ为常数．解㊀易知积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，由定理２，得∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ＝１２∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＋ａｆ（ｙ）＋ｂｆ（ｘ）ｆ（ｙ）＋ｆ（ｘ）éëêêùûúúｄσ＝１２（ａ＋ｂ）∬Ｄｄσ＝１２（ａ＋ｂ）ˑ１４πˑ２２＝（ａ＋ｂ）２π．例２㊀计算曲线积分ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ，其中Γ：ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝ａ２，ｘ＋ｙ＋ｚ＝０．{解㊀因为积分区域Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，由定理３，得ɥΓｙ２ｄｓ＝ɥΓｚ２ｄｓ＝１３ɥΓ（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝１３ａ２ɥΓｄｓ＝１３ａ２ˑ２πａ＝２３πａ３，所以，ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝２ɥΓｙ２ｄｓ＝４３πａ３．六㊁结束语本文通过实际例题有力地说明了对称性方法对计算效率的提高和优化是切实可行的．通过各类积分综合题的计算回顾了对称性的相关知识点，较好地说明了对称性在积分计算中的应用．与其他解题方法相比较，对称性由于其显著的优化作用和简单易用，在积分领域一骑绝尘，得到了广泛的应用，使读者在领略数学独特魅力的同时，还激发人们无尽的想象力，使对称性的应用充满无限的可能．ʌ参考文献ɔ［１］同济大学应用数学系．高等数学（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７：８０－８６．［２］胡纪华，王静先．对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用［Ｊ］，江西科学，２０１２（１）：１－４．［３］秦勇．轮换对称性在积分中的应用［Ｊ］．常州工学院学报，２０１５（３）：６８－７１．［４］张锴．对称性在物理问题中的应用［Ｊ］．科技信息，２０１１（３５）：８９５－８９６．［５］刘洁，戴长城．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．邵阳学院学报，２００８（４）：２８－３２．［６］曹斌，孙艳．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．吉林师范大学学报，２０１２（３）：１３０－１３３．［７］张东，张宁．对称性在物理学中的应用研究［Ｊ］．北京联合大学学报，２００６（１）：２１－２４．［８］费时龙，张增林，李杰．多元函数中值定理的推广及应用［Ｊ］．安庆师范学院学报，２０１１（１）：８８－８９．。
对称性在积分运算中的应用
人 们 经 常 利 用 函数 的奇 偶 性 来 简 化 定 积 分 计
算Ⅲ ， 即若 厂 （ ｚ ）在 ［ 一ａ ， 。 ］上 连续 ， 则 有
Ｌ ｆ （ ｚ ， ） 如 ＝ ｆ Ｉ ｏ ｉ （ ， ） 曲 一
划。 ［ 厂 （ ｚ ， ） ＋ （ ． ｙ ， ｚ ） ，
Ｌ ｆ （ 一 矾，
其中Ｄ 表示 Ｄ 中直线 Ｙ — ｚ上 （ 或 下）方 的部 分．
证 明 取关 于直 线 Ｙ— 对 称 的分 割 ， 将 区域
某 种对 称 性． 当厂 （ Ｐ）在 力 中各对 称 点 处 的 函数 值 的绝对 值相 等且 符 号相反 ， 即＿ 厂 （ Ｐ） 为相 应 于 区域
ｌ ｉ ｍ
当对 区域 力 及被 积 函数 （ Ｐ） 赋 以具 体 的含义
￣ ｆ （ ８ 一 ｊ Ｊ 。 厂 （ ） ｄ
＝
所以， 式（ １ ）成立 ． 式（ ２ ） 和式（ ３ ）易证 ， 从 略． 性质 ２ 设 函数 ｆ （ ｘ， Ｙ， ２ ） 在 闭 区域 上 连续 ，
…ｆ （ ｚ ， ｚ ， ） ｄ ｖ ．
证 明 与性质 １的证 明类 似 ， 从 略．
类 似地 ， 还 有 以下轮 换 性质 ． 性质 ３ 设 函数 ｆ （ ｘ， Ｙ， ｚ ）在 光滑 曲线 Ｉ １ 上 连
基金项 目： 南 京 邮 电大 学 教 改 项 目（ Ｊ ＧＯ Ｏ Ｔ １ １ Ｊ Ｘ４ ０ ） 作者简介 ： 宋洪雪（ １ ９ ７ ７－ －） ， 女， 辽宁西丰人 ， 硕士 ， 讲师 ， 从 事 非 线 性
动力系统研究． Ｅ ｍａ ｉ ｌ ： ｓ ｏ ｎ ｇ ｈ ｘ ＠ｎ ｊ ｕ ｐ ｔ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ
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高 等 数 学 研 究
对称性在积分中的应用
华北水利水电学院数学实践报告华北水利水电学院对称性在积分中的应用学院：环境与市政工程学院专业：建筑环境与设备工程班级：2010108成员：王永辉 201010804朱虹光 201010810余维召 201010811对称性在积分中的应用积分的计算是积分运用中的一个难点.在某些积分的计算过程中，若能利用对称性，则可以简化积分的计算过程.本文介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的几个结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化重积分，曲线积分，曲面积分的计算方法.另外，对于曲面积分的计算，本文还给出了利用积分曲面关于变量的轮换对称性简化曲面积分的计算，是曲面积分的计算更加便捷.积分的对称性包括重积分，曲线积分，曲面积分的对称性.在积分计算中，根据题目的条件，充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分相关的定理和结论，再结合相关的实例进行具体的探讨.本文结合积分域关于平行于坐标轴的直线，平行于坐标面的平面，平行于坐标轴对角线的直线的对称性定义，以及相应对称区域上定理中的函数约定在该区域都连续或偏导数连续定义1： 设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -⇔∈,则D 关于直线a x =对称，对称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ⇔)2,(y b x -),(y x D ∈，则D 关于直线b y =对称，称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称（显然当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称）定义2: 设平面区域为D ,若点),(y x D ∈⇔),(a x a y --，则D 关于a x y +=对称，称点),(y x 与),(a x a y --是关于a x y +=的对称点.若点),(y x D ∈⇔),(x a y a --D ∈，则D 关于直线z y ±=对称） 1、 二重积分的对称性定理定理1：设有界闭区域12D D D =,1D 与2D 关于y 或x 轴对称.设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，那么（ⅰ）若),(y x f 是关于y （或x ）的奇函数，则(,)Dif x y d σ⎰⎰0=（ⅱ）若),(y x f 是关于y （或x ）的偶函数，则Df(x,y)d σ⎰⎰=2(,)Dif x y d σ⎰⎰1(=i ，)2注释：设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续（ⅰ）若D 关于y 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD x y x f d y x f y x f d y x f !),(),(2),(,0),(为偶函数关于变量，如果关于变量为奇函数如果σσ其中1D 是D 的右半部分:1D =}0|),{(≥∈x D y x（ii ）若D 关于x 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD y y x f d y x f y x f d y x f 2),(),(2),(,0),(为偶函数关于变量，如果关于变量为奇函数如果σσ其中2D 是D 的上半部分：2D =}0|),{(≥∈y D y x定理2：设有界闭区域D 关于x 轴和y 轴均对称，函数),(y x f 在D 上连续且),(y x f 关x 和y 均为偶函数，则⎰⎰⎰⎰=DD d y x f d y x f 3),(4),(σσ其中3D 是D 的第一象限的部分：3D =}0,0|),{(≥≥∈y x D y x 定理3：则设有界闭区域D 关于原点对称，函数),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=--=DD D y x f y x f d y x f d y x f y x f y x f d y x f 12),(),(,),(2),(2),(),(,0),(如果如果σσσ其中1D =}0|),{(≥∈x D y x ，2D =}0|),{(≥∈y D y x 例1：计算⎰⎰Dxydxdy ，其中D 由下列双纽线围成：(1) )(2)(22222y x y x -=+ (2)xy y x 2)(222=+解：（1）由于)(2)(22222y x y x -=+围成的区域关于x 轴y 轴均对称，而被积函数xy 关于x （或y 轴）为奇函数则有⎰⎰Dxydxdy 0=（2）由)(2)(22222y x y x -=+围成的区域对称于原点，而被积函数xy 是关于x ,y 的偶函数则有⎰⎰Dxydxdy =2⎰⎰1D xydxdy由极坐标知θθsin ,cos r y r x ==，代入xy y x 2)(222=+得θ2sin =r 且由xy 0>，知02sin 212>θr则20πθ≤≤于是⎰⎰Dxydxdy 61cos 2sin 220sin 03=⎰⎰dr r d θθθπθ定理4：设有界闭区域D 关于x y =对称, 函数),(y x f 在D 上连续，则Df(x,y)d σ⎰⎰=(,)Df y x d σ⎰⎰例2：设函数f(x)在]1,0[上的正值连续函数 证明：()()1()()()2Daf x bf y dxdy a b f x f y +=++⎰⎰，其中b a,为常数，1}y x,0|y){(x,D ≤≤=证明：∵积分区域D 关于x y =对称∴(,)(,)DDf x y d f y x d σσ=⎰⎰⎰⎰设()()()()Daf x bf y I dxdy f x f y +=+⎰⎰由函数关于两个变量()()()()Daf x bf y I dxdy f x f y +=+⎰⎰，以上两式相,得2()DI a b dxdy a b =+=+⎰⎰，从而1()2I a b =+一般地，有以下定理：定理5：设有界闭区域12D D D =，1D 与2D 关于直线0:=++c by ax L 对称， 函数),(y x f 在D 上连续，那么：（ⅰ）若),(y x f 是关于直线L 的奇函数，则(,)Df x y d σ⎰⎰0=（ⅱ）若),(y x f 是关于直线L 的偶函数，则(,)Df x y d σ=⎰⎰2(,)Dif x y d σ⎰⎰1(=i ，)22、三重积分的对称性定理定理6：设空间有界闭区域12Ω=ΩΩ，1Ω与2Ω关于xoy 坐标面对称，函数),,(z y x f 在Ω上连续，那么：（ⅰ）若),,(z y x f 是关于z 的奇函数，则(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰=0（ⅱ）若),,(z y x f 是关于z 的偶函数，则：(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰=2⎰⎰⎰Ω1),,(dv z y x f同时，若Ω关于yox 坐标面对称，),,(z y x f 关于奇函数或偶函数；或者若Ω关于xoz 坐标面对称),,(z y x f 关于y 为奇函数或偶函数，同样也有类似结论.例7：求下列曲面所界的均匀物体的重心坐标222x y z a b c++，c z =解： 若令cos ,sin ,x ar y br z z θθ===，则质量为203zcc abcM ab dz d rdr ππθ==⎰⎰⎰设重心坐标为0x ,0y ,o z 由对称性知000==y x ，而o z =22033..44z cc abc cdz d rdr abc ππθπ=⎰⎰⎰于是，重心为点（0,0,34c ） ※曲线积分的对称性1、第一型曲线积分的对称性定理定理7：设平面内光滑曲线12L L L =+,1L 与2L 关于x （或y ）轴对称，函数),(y x f 在L 上连续，那么：（ⅰ）若),(y x f 是关于y (或x )的奇函数，则(,)f x y ds ⎰0=（ⅱ）若),(y x f 是关于y (或x )的偶函数，则(,)f x y ds ⎰=2(,)if x y ds ⎰1(i =,)2注：设平面分段光滑曲线L 关于y 轴对称，则10,(,)(,)(,),(,)LL f x y f x y ds f x y ds f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰如果关于变量x 为奇函数2如果关于变量为偶函数其中1L 是L 的右半段：1L =}0|),{(≥∈x D y x定理8：设平面内光滑曲线12L L L =+,1L 与2L 关于x 轴对称且方向相反，函数),(y x p 在L 上连续，那么：（ⅰ）若),(y x p 是关于x 的偶函数，则(,)p x y dx ⎰0=（ⅱ）若),(y x p 是关于y 的奇函数，则(,)2(,)ip x y dx p x y dx =⎰⎰1(i =,)2例4：求曲线积分[]22()cos(2)sin(2)xy ce xy dx xy dy -++⎰，其中c 是单位圆周221x y +=，方向为逆时针方向解： ∵曲线积分c 可分为上,下两个对称的部分，在对称点),(y x 与),(y x -上， 函数22()cos(2)xy e xy dx -+大小相同，但投影元素dx 在上半圆为负，下半圆为正∴22()cos(2)xy e xy dx -+在对称的两个半圆上大小相等，符号相反故22()cos(2)xy ce xy dx -+⎰0=类似可知22()sin(2)xy ce xy dy -+⎰0=因此[]22()cos(2)sin(2)xy ce xy dx xy dy -++⎰0=定理9：设L 是xoy 平面上关于直线a x =对称的一条曲线弧 （ⅰ）若),(y x f =),2(y x a f --,则(,)Lf x y ds ⎰0=（ⅱ）若),(y x f =),2(y x a f -,则(,)Lf x y ds ⎰=21(,)L f x y ds ⎰})|),{((1a x L y x L ≤∈=例5：计算3(2)LI y y x ds =+-⎰，其中L 是曲线22(2)4x y -+=所围成的回路解： ∵L 关于轴及直线2=x 对称∴3(2)(2)2LLLI y y ds x ds ds =+--+⎰⎰⎰设),(y x f =32y y + 则),(y x f =),(y x f -设 ),(y x g =2-x则),2(y x f --=2-x =),(y x f 即200I ++=lds ⎰=8π2、第二类曲线积分的对称性定理定理1：对于第二类曲线积分还需考虑投影元素的符号.当积分方向与坐标正方向之间的夹角小于2π时，投影元素为正，否则为负.就(,)p x y dx ⎰而言，考察(,)p x y dx 在对称点上的符号定理2：若积分曲线T 关于x ,y ,z 具轮换对称性，则(,,)(,,)(,,)tttp x y z dz p y z x dy p z x y dx ==⎰⎰⎰=13 (,,)(,,)(,,)tp x y z dz p y z x dy p z x y dx ++⎰ 定理3：设L 是xoy 平面上关于a x =对称的一条光滑曲线弧，12L L L =+，任意),(y x ∈L ,有),2(y x a -∈2L ，且1L ，2L 在y 轴投影方向相反，则（ⅰ）若θ),(y x =-θ),2(y x a -,则(,)Lx y dy θ⎰0=（ⅱ）若θ),(y x =θ),2(y x a -,则(,)L x y dy θ⎰=2(,)Lx y dy θ⎰定理3中，若1L ，2L 在x 轴投影方向相同，其他条件不变，则有 （ⅰ）若p ),(y x =-p ),2(y x a -,则(,)Lp x y dx ⎰0=（ⅱ）若θ),(y x =θ),2(y x a -,则(,)Lp x y dx ⎰=21(,)L p x y dx ⎰例：计算I =|2|(2)(1)LLx x y dx -+--⎰⎰,其中抛物线2(2)x -上从)1,1(A 到)1,3(B 的一段弧解：I =|2|(2)(1)LLx x y dx -+--⎰⎰=12I I +因为关于2=x 对称θ),4(y x =|2|-x θ),(y x由定理3有)1)(2(),4(---=-y x y x p =),(y x p -所以2I =0，即12I I I =+0=※曲面积分的对称性定义1：若∀)(),,(321N n R D x x x x p n n n ∈⊂∈⋅⋅⋅⋅⋅有),,(1211111-+⋯⋯i x x x x x x p n)2,1(n i D n ⋯=∈成立，则称n D 关于),,(321n x x x x p ⋅⋅⋅⋅⋅具有轮换对称性.定义2：若函数),,(321n x x x x F ⋅⋅⋅⋅⋅),,(321n x x x x F ⋅⋅⋅⋅⋅≡)2,1(n i X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，则称函数),,(321n x x x x F ⋅⋅⋅⋅⋅关于函数n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅321,,具有轮换对称性. 1、第一类曲面积分对称性定理定理1：若积分曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+，在对称点上被积函数的绝对值相等{即光滑曲面S 关于xoy (或yoz ,或zox )坐标面对称}，则有（ⅰ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰0=,在对称点上),,(z y x f 取相反的符号{即),,(z y x f 关于z(或x ,或y )的奇函数}（ⅱ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰=2(,,)sf x y z ds ⎰⎰，在对称点上),,(z y x f 取相同的符号{即),,(z y x f 为关于z (或x ,或y )的偶函数}推论1：若光滑曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+,且关于原点对称， 则（ⅰ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰0=，为关于z (或x ,或y )的奇函数（ⅱ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰=81(,,)s f x y z ds ⎰⎰,),,(z y x f 为关于z (或x ,或y )的偶函数例1：计算下列面积的曲面积分，()x y z ds ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222x y z a ++=上z h ≥)0(a h <<的部分解： 利用对称性知xds yds ∑∑=⎰⎰⎰⎰0=设xy D ={|),(y x 2222x y a h +≤-} 则()x y z ds ∑++⎰⎰=zds ∑⎰⎰=⎰⎰=aDxydxdy ⎰⎰=22()a a h π-例2:计算曲面积分x ∑⎰⎰,其中2222:x y z a ∑++=解： 令22221:x y z a ∑++=，0,0,0x a y a z a ≤≤≤≤≤≤ 则 2221:,0,0D x y a x a y a +≤≤≤≤≤ds ==∑关于原点对称，解被积函数),,(z y x f =x 为关于),,(z y x 的偶函数由推论1.1x ∑⎰⎰=8x ∑⎰⎰=a881D x dsdy ⎰⎰⎰⎰=189cos 8D d r a θθdr r d a a⎰⎰=209cos 8πθθ=a810117!!7.108!!264a a ππ= 定理2：若积分曲面∑关于x ,y ,z 具有轮换对称性，则：(,,)(,,)(,,)f x y z ds f y z x ds f z x y ds ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰1(,,)(,,)(,,)3f x y z ds f y z x ds f z x y ds ∑∑∑=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例3：计算曲面积分2z ds ∑⎰⎰，其中s 是球面2222x y z a ++=解：如果按照常规方法来解，计算量比较大，如果利用对称函数的特性，非常简捷∵球面2222x y z a ++=关于x ,y ,z 具有对称性∴222x ds y ds z ds ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰∴2z ds ∑⎰⎰=2221()3x y z ds ∑++⎰⎰ =21133a ds ds ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 22214.433a a a ππ== 2、第二类曲面积分的对称性定理利用对称性计算第二类曲面积分同样需要注意投影元素的符号.现以曲面积分(,,)sf x y z ds ⎰⎰为例来讨论.当曲面指定侧上动点的法线方向与z 轴正向成锐角时，面积元素ds 在xoy 面上的投影dxdy 为正减钝角时为负.一般地，有如下定理：定理1：若积分曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+，在对称点上|f|的值相等，则有（ⅰ）1(,,)s f x y z dxdy ⎰⎰0=，在对称点上fdxdy 取相反的符号（ⅱ）1(,,)s f x y z dxdy ⎰⎰=21(,,)s f x y z dxdy ⎰⎰，在对称点上fdxdy 的符号相同,对于积分1(,,)s f x y z dydz ⎰⎰，1(,,)s f x y z dzdx ⎰⎰也有类似的结论定理2：若积分曲面∑关于x ,y ,z 具有轮换对称性，则：(,,)(,,)(,,)p x y z dydz p y z x dzdx p z x y dxdy ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰=1(,,)(,,)(,,)3p x y z dydz p y z x dzdx p z x y dxdy ∑++⎰⎰ 例3：计算sxdydz ydxdy zdxdy ++⎰⎰，其中S 是球面2222x y z R ++=的外侧解： ∵球面2222x y z R ++=关于x ,y ,z 具有对称性∴sssxdydz ydxdz zdxdy ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰先计算sxdydz ⎰⎰为此应分别考虑前半球面（记为1S ）及后半球面（记为2S ）上的曲面部分1S的方程为x =它在oyz 平面上的投影域y D 为圆域222y z R +≤，因此，若用1w S 表示前半球面的外侧则有：1S w Dyxdydz σ=⎰⎰=230023R d r R πθπ=⎰⎰ 对于在后半球面2S 上的曲面积分，由于2S的方程为：x =后外侧，故关于后半球面外侧（记为2w S ）的曲面积分为：2S w xdydz =⎰⎰Dy σ=323R π 因此S xdydz =⎰⎰31243S w S wxdyxz xdydz R π+=⎰⎰⎰⎰ 3S Sxdydz ydxdz zdxdy xdyxz ++=⎰⎰⎰⎰ 334343R R ππ=⋅= ※小结应用对称性计算积分时应注意以下几点：1.必须兼顾被积函数和积分区域两个方面，只有当两个方面面都具有某种对称性是才能利用，如果只有积分区域具有某种对称性，这时根据具体情况，我们可以把被积函数经过恒等变形使之具有某种对称性，在考虑利用上述结论2.对第二类曲线积分和第二类曲面积分，在利用对称性时，尚需考虑积分路 线的方向和曲面的侧，确定投影元素的符号，需慎重3.有些问题利用轮换对称性可得到简便的解答对于重积分，曲线积分，曲面积分等定理的研究，是积分学运用的一个难点.本 文在探讨相关定理的同时，特别是巧妙的运用其对称性的特点，通过具体实例对积分运用的几个重要的定理进行了一些列研究，发现积分区域与被积函数二者均具对称性时，运用上述对称性定理可以极大地简化计算过程，尤其对于第二类曲线积分和第二类曲面积分来说，应用此方法能够 方向和曲面侧的讨论，简化了计算的过程，给积分的运算带来了便捷，.在以后的学习中，只要我们能把对称性这个重要的特点结合在实际中，相信一定会达到了事倍功半的效果.。
对称性在定积分计算中的应用
、
Ｊ ｎ
１ 厂 （ ｚ ） ｇ （ ｚ ） 一 ｄ ｘ — ｃ ｆ Ｉ － ｇ （ ｚ ） ． ｄ ｘ ．
Ｊ ｎ
，
） 对 称 ， 则 看
ｒ ｂ
证 明 因 ， （ ｚ ） 关 于点 （ 于 直线 ｚ一 对称 ， 得
， ） 对称， ｇ（ ｚ ） 关 ‘
２ ｃ Ｉ ｇ（ ｚ ） ｄ ｘ一 ， ．
称， 又 函数 ｇ（ ｚ ） 关 于直线 ｚ一 ａ＠ ｂ 对称 由 定 理 １
可 得结 论成 立．
定理 ２ 嘲 设 函数 ｇ （ ｚ ） 在［ 口 ， ６ ］ 上 连续且 关 于
直 线 一 下 ａ＠ｂ对 称
，
收 稿 日期 ： ２ ０ ｌ ３ — ０ ５ — ２ ４ ； 修 改 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ９ — １ ０ 作者 简 介 ： 许永立 （ １ ９ ６ ９－ －） ， 男 ， 陕西兴平人 ， 助教 ， 从 事 大 学 数 学 研
Ｊ ｆ （ ｘ ） ｄ ｘ —ｃ （ ６ 一 ｎ ） ・
证 明 显 然 ｇ （ ）一 １ 关 于直 线 ｚ一 — ａ＋ ｂ对
厂（ 口＋ ｂ— ｚ）一 ２ ｃ － 一－ 厂 （ ｚ） ，
ｇ（ ａ＋ ｂ— ｚ）＝ ＝ ＝ｇ（ ｚ） ．
称， 又， （ ｚ ）关 于点 （ 生 ， ） 对称 ， 由定理 １ 可 得
续， 函数 厂 （ ｚ ） 关 于点 （ 于直 线 一 下 ａ－ ｂ － ｂ对称
，
定理 １ 将 条件 “ 对称 于原 点 的 区间” 放宽 为一 般 的闭
区间， 且侧 重 于利用 被积 函数 曲线 的对 称性 ．
则 有
推论 １ 设 － 厂 （ ｚ ）在 ［ ａ ， ６ ］上 连 续 且 关 于 点
对称性在积分中应用
对称性在积分中的应用摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系, 小到分子原子.根据对称性, 我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化. 本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题, 主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性, 从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法. 另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算. 积分的计算是高等数学教学的难点, 在积分计算时, 许多问题用“正规” 的方法解决，反而把计算复杂化, 而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷, 达到事半功倍的效果.关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称目录一、引言二、相关对称的定义（一）区域对称的定义（二）函数对称性定义（三）轮换对称的定义三、重积分的对称性（一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性（一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性（一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结参考文献引言积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性•在积分计算中，根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果•下面我将从积分对称性的定理及结论，再结合相关的实例进行具体探讨•本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性，平行于坐标面的平面等的对称性定义•二、相关的定义定义1：设平面区域为D ,若点(x, y) • D= (2a-x,y),则D关于直线x = a对称,对称点(x,y)与(2a - x,y)是关于x = a的对称点•若点(x, y) € D = (x,2b-y)-D(x, y),则D关于直线y二b对称，称点(x, y)与(x,2b - y)是关于y = b的对称(显然当a =0,b = 0对D关于y , x轴对称).定义2:设平面区域为D ,若点(x, y) • D = (y—a,x-a),则D y二x，a对称，称点(x, y)与(y - a, x - a)是关于y 二x • a 的对称点.若点(x, y) • D = (a - y,a - x)-D，贝U D关于直线y 对称.注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义.空间对称区域.定义3: (1)若对-(x, y, z^ 1,点(x,y,-z)・1 ,则称空间区域门关于xoy面对称;利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标面的对称性.⑵ 若对P(x, y, z)匕0 ,二点(x, y,—z)匕O ,则称空间区域0关于z轴对称；利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标轴的对称性.(3)若对_(x, y, z^ 1 1, -J点(-x,-y,-z) • 11,则称空间区域门关于坐标原点对称.⑷ 若对一(x, y,z) •门，T点(y,乙x),(z, x, 1 1 ,则称空间区域门关于x, y, z具有轮换对称性.定义4:若函数f(x)在区间- a,a上连续且有f(x-a) = f(x • a),则f(x)关于x二a对称当且仅当a = 0时f (-x)二f (x),则f (x)为偶函数.若f (a - x) =-f (a x),则f(x)为关于a,0中心对称.当且仅当a=0时有f(_x)-_f(x)则f(x)为奇函数.若f (x -a) = f (x • a)且f (a -x) = - f (a x)则f (x)既关于x = a对称，又关于a,0 中心对称.定义5 若n元函数f(X i,X2，…，X n)三f (X i,X i 1,…，X n,X i,…，x：丄)，(i =1,2，…,n ), 则称n元函数f (X i,X2，…，X n)关于X i,X2，…，X n具有轮换对称性•定义6：若- p(X i,X2, ,X n) D n R n( n N)有P i(X i,X i 1, ,X n,X i,厶J D n(i =1,2，…，n)成立，则称D n关于p(X i,X2，…,X n)具有轮换对称性.三、重积分的对称性(一)对称性在定积分中的应用利用函数图形的对称性可简化定积分的计算■在特殊情况下，甚至可以求出原函数不是初等函数的定积分■因此掌握对称性在积分中的方法是必要的■下面首先给出一个引理，由此得出一系列的结论，并通过实例说明这是结论的应用■引理设函数f (x)在a - h, a h上连续,则有f (x)dx = f (a x) f (a - x) dx (1)证令x二a t,有a h h hf(x)dx f(a t)dt f(a t)dta -h ' -h 0令t u,则0 0 hf (a t)dt = f (a -u)du = i f (a - u)du•山h 0将( 3)式带入(2)式,并将积分变量统一成x ,则(x)dx = ° f (a x) f (a - x)dx dx特别地，令a =0，就得公式:f(x)dx= ：〔f(x) f (-x)d x由函数奇偶性的定义及上式，易知定理1设函数f (x)在［- h, h上连续，那么h h2)若 f(x)为偶函数，则f(x)dx=2 f(x)dx■_hoh3)若f(x)为奇函数，则 』f(x)dx=O次结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大的帮助,是奇函数，后一部分是偶函数，运用定理1的结论简化其计算.2一 ： cosxdx 2_ cosxdx匕x 21 2 2cosxdx=2注：而对于任 意区间上的定积分问题，可以平移 到对称区间Lh,h 1上求解。
对称性在积分计算中的应用研究【开题报告】
开题报告信息与计算科学对称性在积分计算中的应用研究一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义对称性（symmetry ）是现代物理学中的一个核心概念, 它泛指规范对称性（gaugesymmetry) , 或局域对称性local symmetry ）和整体对称性（global symmetry ）. 它是指一[1]个理论的拉格朗日量或运动方程在某些变数的变化下的不变性. 如果这些变数随时空变化, 这个不变性被称为规范对称性, 反之则被称为整体对称性. 物理学中最简单的对称性例子是牛顿运动方程的伽利略变换不变性和麦克斯韦方程的洛伦兹变换不变性和相位不变性. 数学上, 这些对称性由群论来表述. 上述例子中的群分别对应著伽利略群, 洛伦兹群和U(1)群. 对称群为连续群和分立群的情形分别被称为连续对称性（continuous symmetry)和分立对称性(discrete symmetry). 德国数学家外尔(Hermann Weyl)是把这套数学方法运用於物[2]理学中并意识到规范对称重要性的第一人. 1950年代杨振宁和米尔斯意识到规范对称性可以完全决定一个理论的拉格朗日量的形式, 并构造了核作用的SU(2)规范理论.[3]我这次论文方向主要涉及对称性在积分计算中的应用. 在积分的计算中充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇、偶性, 往往可以简化计算, 达到事半功倍的效果. 近年来, 在全国研究生入学考试数学试题中不乏涉及对称性的积分试题. 本文将系统地介绍有关[4]内容并举出相关例子.以二重积分为例若积分区间关于变元具有轮换对称性, 则必有D ,x y 积分区域关于直线对称. 因此在某些复杂的积分过程中, 若能注意并充分利用积分D y x =区域的轮换对称性往往可以简化积分计算过程, 提高解题效率. 例如[6](1) , 1(,)(,)((,)(,))2D D f x y d f y x d f x y f y x d σσσ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 若关于直线对称,记为中位与直线上半部分区域, 则有D y x =1D D y x =. 12(,),(,)(,)(,)0,(,)(,)D D f x y d f x y f y x f x y d f x y f y x σσ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩⎰⎰⎰⎰积分在数学分析中是相当重要的一项内容, 而在计算积分的过程中, 我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有某种对称性的题型. 那么, 如果我们在解题中发掘或注意到问题的对称性, 并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去, 往往可以简化计算过程, 收到意想不到的效果, 引起感情激荡, 造成感情上的共鸣, 更好地感知、理解数学美. 特别是对[7]于有些题目, 我们甚至可以不用计算就可以直接判断出其结果. 在积分计算中利用对称性来解题这种方法, 是一种探索性的发现方法, 它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能. 因此, 在积分计算中, 可以利用对称性来帮助求解, 不过我们在应用对称性求积分时还必须注意: 必须兼顾被积函数与积分区域两个方面, 只有当两个方面的对称性相匹配时才能利用; 对于第二型曲线积分与曲面积分, 在利用对称性时, 还需考虑路线的方向和曲面的侧, 应慎重; 合理利用对称性以求简便计算.[8]二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题研究的基本内容: 对称性在积分计算中的应用研究解决的主要问题:1． 总结各种积分的计算方法2． 将应用对称性求解的方法, 与原来的方法比较看优化之处.三、研究步骤、方法及措施：一．研究步骤:1． 查阅相关资料, 做好笔记;2． 仔细阅读研究文献资料;3． 在老师指导下确定整个论文的思路, 列出论文提纲, 撰写开题报告;4． 翻译英文资料;5． 开题报告通过后撰写毕业论文;6． 上交论文初稿;7．反复修改论文, 修改英文翻译, 撰写文献综述;8．论文定稿.二．方法、措施: 通过到图书馆、上网等查阅收集资料, 参考相关内容在老师指导下, 归纳整理各类问题四、参考文献[1] 王仲春等编著. 数学思维与数学方法论[M]. 北京: 高等教育出版社, 1991,.[2] 王寿生等编. 130 所高校研究生高等数学入学试题选解及分析[M] 沈阳: 辽宁科技出版社,1988.[3] 陈仲、洪祖德编. 高等数学·研究生入学试题与典型例题选解[M]. 南京: 南京大学出版社, 1986.[4] 同济大学数学教研室主编. 高等数学[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.[5] 龚冬保. 数学考研典型题[M]. 西安: 西安交通大学出版社, 2000.[6] 陈增政, 徐进明. 利用对称性简化被积函数是线性函数解的计算[J]. 工科数学, 1994,4(10): 181~183.[7] D. Bennis, N. Mahdou . Strongly gornstein p rojective, injective [J], and flat modules1J PureApp l Algebra, 2007; 210: 437~445.[8] I.M , Gelfand, G.E.Shilov. Generalized functions, vol. I [M]. New York: Academic Press1964.。
对称性在积分计算中的应用
对称性在积分计算中的应用摘要：在积分计算中，运用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，以及轮换对称性可以简化计算.本文总结了对称性在定积分、重积分、曲线积分以及曲面积分计算中的应用.对于积分区域不具有对称性的情形，文中总结了几种方法来创造对称性，如平移变换、伸缩变换、区域划分等.关键词：对称性；奇偶性；积分计算；轮换对称引言数学是一个充满了美的世界，对称性不仅是数学美的重要特征，也是一个非常重要的艺术要素，因此很有必要去探讨一下对称性在解题这门艺术中的应用.在学习的过程中，常常发现自己在计算积分时，把简单的问题复杂化而增加了计算的难度，若在积分的计算中能充分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性以及轮换对称性，就能简化计算.很多文献讨论了对称性在积分计算中的应用这个问题.如文献[3]和文献[4]主要讨论了二重积分的对称性定理及其应用，得出了当积分区域关于x轴（或y轴、或原点）对称且被积函数关于变量x（或y）为奇函数或偶函数时的对称性定理.文献[5]讨论了轮换对称性在各类积分计算中的应用.文献[6]讨论了对称性在三重积分计算中的应用，得出了当积分区域关于某个坐标面对称且被积函数是关于某变量的奇函数或偶函数时的对称性定理.文献[7]给出了积分区域关于变量x,y,z的轮换对称性定义.文献[13]将定积分、重积分、第一型曲线积分和第一型曲面积分的对称性定理写成统一的形式.当积分区域不具有对称性时，不能直接利用对称性来简化计算，但有时可以通过适当的变换化积分区域为对称区域.本文总结了几种创造对称性的方法，如伸缩变换、平移变换、区域划分等，有时候可以将两种变换结合起来使用.1.对称性在定积分计算中的应用在定积分的计算中，根据积分区间的对称性和被积函数的奇偶性，可以简化计算.定理1.1[1] 设f(x)在[?a,a]上连续，则当f(x)是奇函数时，?当f(x)是偶函数时，?a?aa?af(x)dx?0；f(x)dx?2?f(x)dx.a1周口师范本科毕业论文（设计）证明?a?af(x)dx??af(x)dx?0?a?0?af(x)dx.令x??t，有dx??dt.则?当f(x)为偶函数时，当f(x)为奇函数时，f(x)dx???f(?t)dt?a0f(?t)dt.a?a0f(?t)dt??a0f(t)dt，则?aa?aaf(x)dx?2?f(x)dx.?af(?t)dt???f(t)dt，则??af(x)dx?0.下面我们来看一个例题.例1?x3sin2x2?计算定积分I???6?x2?x???dx.2?2?x?3x?5? 2解3I??2?2xsinxx?3x?56232??2?2x(2?x)dx.2由于xsinxx?3x?5622是变量x的奇函数，由定理1.1知?2?2xsinxx?3x?56232由于x(2?x2)是变量x的偶函数，由定理1.1知?则I?0?16?16.2?2x(2?x)dx?2?x(2?x)dx?16，2202在定积分的计算中，当积分区间关于原点对称时，我们容易想到用对称性，而当积分区间为任意有限区间?a,b?时，我们往往想不到去利用对称性.实际上，积分区间?a,b?一定关于直线x?12bbaa(a?b)对称，由此我们可以得出如下定理.定理1.2[2]设f(x)在?a,b?上连续，则?f(x)dx??f(a?b?x)dx.只需令x?a?b?t即可证明此定理.这一公式对于积分的计算并没有多少的帮助，但从该公式易得如下推论.推论1设f(x)在?a,b?上连续，则? baf(x)dx??ba12[f(x)?f(a?b?x)]dx.对于有些计算起来非常困难甚至无法计算的积分，我们只需将被积函数换成[f(x)?f(a?b?x)]就能简化运算.21例2计算定积分?4ln(9?x)ln(9?x)?ln(3?x).22周口师范本科毕业论文（设计）解记f(x)?442，则f(6?x)?，由推论1知?f(x)dx??212f(x)?f(6?x)]dx?4212dx?1.我们已经总结了对称性在定积分计算中的应用，从上面的讨论中我们可以看出根据对称性确实可以简化计算，下面来讨论对称性在重积分计算中的应用.2.对称性在重积分计算中的应用2.1对称性在二重积分计算中的应用我们已经讨论了对称性在定积分计算中的应用，得出了相应的结论.对于二重积分，我们主要讨论积分区域关于x轴（或y轴）对称、关于原点对称以及轮换对称性.定理2.1.1[3]x设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于轴对称.如果函数f(x,y)是关于y的奇函数，即f(x,?y)??f(x,y)，(x,y)?D，则??f(x,y)d??0；如果f(x,y)是关于y的偶函数，即f(x,?y)?f(x,y)，D(x,y)?D，则??f(x,y)d??2??f(x,y)d?.DD1其中D1是D在x轴上方的平面区域.同理可写出积分区域关于y轴对称的情形.证明根据二重积分的性质得??Df(x,y)d????f(x,y)d??D1??D2f(x,y)d?，其中D1??(x,y)?D|y?0?，D2??(x,y)?D|y?0?.作变量替换x?x,y??t，(x,t)?D1.则J??(x,y)?(x,t)?100?1??1.若f(x,y)为关于y的奇函数，则??D2f(x,y)d????D1f(x,?t)J?????f(x,t)d?????f(x,y)d?D1D1，3周口师范本科毕业论文（设计）??Df(x,y)d????f(x,y)d??D1D1f(x,y)d??0，若f(x,y)为关于y的偶函数，则??D2f(x,y)d????f(x,?t)Jd??D1??D1f(x,t)d????D1f(x,y)d?，??Df(x,y)d????f(x,y)d??D1??D1f(x,y)d??2??f(x,y)d?D1.综合以上可知结论成立.例3计算二重积分??y3sin2xd?，其中D是由x?y?1，x?y?1和x?0围D成的平面闭区域.解由于区域D关于x轴对称，且f(x,y)?y3sin2x是关于变量y的奇函数，则由定理2.1.1知??y3sin2xd??0.D由定理2.1.1可得如下推论.推论2设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续，若积分区域D既关于x轴对称，又关于y轴对称，则⑴若函数f(x,y)关于变量x,y均为偶函数，则??f(x,y)d??4??f(x,y)d?.DD1其中D1是区域D在第一象限的部分，D1??(x,y)?D|x?0,y?0?.⑵若函数f(x,y)关于变量x或变量y为奇函数，则??f(x,y)d??0.D当积分区域关于原点对称时，我们可以得到如下的定理.定理2.1.2?4?设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于原点对称.如果f(?x,?y)??f(x,y)，(x,y)?D，则??Df(x,y)d??0；如果f(?x,?y)?f(x,y)，(x,y)?D，则??f(x,y)d??2??f(x,y)d??2??f(x,y)d?，DD1D2其中D1??(x,y)?D|x?0?，D2??(x,y)?D|y?0?.为了叙述的方便，我们给出区域关于x,y的轮换对称性的定义.定义2.1.1设D为一有界可度量平面区域（或光滑平面曲线段），如果对于任意(x,y)?D，存在(y,x)?D，则称区域D（或光滑平面曲线段）关于x,y具4周口师范本科毕业论文（设计）有轮换对称性.关于区域的轮换对称性，有如下定理.定理2.1.3[5]x,y设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于具有轮换对称性，则??f(x,y)d??D??Df(y,x)d?.上面所列推论及定理的证明方法均与定理2.1.1类似，此处不再赘述，下面给出相应的例题.例4解计算二重积分I?I???(xD2?5x?3y?2)d?，其中D:x2?y2?1.??(5x?3y)d??D??Dxd??2由于D关于原点对称，且5x?3y是??2d?，D(x,y)的奇函数，则由定理2.1.2知??(5x?3y)d??0.故D2?01I???Dxd??2??2d???Dd??(rcos?)rdr?2??2094?.例5计算二重积分I???其中f(x)是区间??1,1?上的?，正值连续函数，D??(x,y)|x2?y2?1,x?0,y?0?.解由于积极分区域D关于x,y具有轮换对称性，则由定理2.1.3得I?所以I???2D1??D?????D?，a?bd??2??d??D?2(a?b).2.2对称性在三重积分计算中的应用经过分析，我们可以很容易地看到对称性在三重积分计算中的应用与二重积分非常类似，根据对称性在二重积分计算中的结论可以得到下面的定理.定理2.2.1[6]设函数f(x,y,z)是定义在空间有界区域?上的连续函数，且?关于坐标平面x?0对称，则(1)若f(x,y,z)是关于变量x的奇函数，则???f(x,y,z)dV?0；?(2)若f(x,y,z)是关于变量x的偶函数，则?1是?的前半部分，?1??(x,y,z)??|x?0?.同理可写出?关于坐标平面y?0（或z?0）对称时的情形.证明由三重积分的性质得????f(x,y,z)dV?????1f(x,y,z)dV?????2f(x,y,z)dV，其中?1??(x,y,z)??|x?0?，?2??(x,y,z)??|x?0?.作变量替换x??t,y?y,z?z，(t,y,z)??1，则?(x,y,z)?(t,y,z)?1?0001000??1.1J?(1)当f(x,y,z)为关于变量x的奇函数时，有????2f(x,y,z)dV????f(?t,y,z)JdV?????f(t,y,z)dV?????f(x,y,z)dV?1?1?1????f(x,y,z)dV?????1f(x,y,z)dV?????1f(x,y,z)dV?0.(2)当f(x,y,z)为关于变量x的偶函数时，有????2f(x,y,z)dV????f(?t,y,z)JdV??1????1?1f(t,y,z)dV?????1f(x,y,z)dV，????f(x,y,z)dV?2???f(x,y,z)dV.综合(1)和(2)可知结论成立.例6z?计算三重积分I?????(x?z)dV，其中?是由曲面z?与.解I?????xdV?????zdV，由于?关于坐标面x?0对称，且x为关于变量x的奇函数，则由定理2.2.1知???xdV?0.则?I?????zdV??2?0?40d??d??rcos?rsin?dr?201?8.与二重积分类似，我们也可得到如下结论.6周口师范本科毕业论文（设计）定理2.2.2设函数f(x,y,z)是定义在空间有界区域?上的连续函数，且?关于原点对称，则(1)若f(?x,?y,?z)??f(x,y,z)，(x,y,z)??，则???f(x,y,z)dV?0；?(2)若f(?x,?y,?z)?f(x,y,z)，(x,y,z)??，则????f(x,y,z)dV?2???f(x,y,z)dV?2???f(x,y,z)dV?2???f(x,y,z)dV?1?2?3.其中?1??(x,y,z)??|x?0?，?2??(x,y,z)??|y?0?，?3??(x,y,z)??|z?0?为了方便叙述，我们先给出一个空间几何体关于x,y,z的轮换对称性定义.定义2.2.1[7]设?是一有界可度量的集几何体（?可为空间区域、空间曲线或曲面块），且它的边界光滑，若对任意的(x,y,z)??，都存在(y,z,x)??，存在(z,x,y)??，则称?关于x,y,z具有轮换对称性.关于空间区域的轮换对称性，我们有如下的定理.定理2.2.3设函数f(x,y,z)是定义在空间有界区域?上的连续函数，且?关于x,y,z具有轮换对称性，则???f(x,y,z)dV????f(y,z,x)dV???????f(z,x,y)dV.例7解计算三重积分???xyzdV，其中?:x2?y2?z2?4.?由于?关于原点对称，且xyz是关于(x,y,z)奇函数，由定理2.2.2知???xyzdV??0.例8[8]解计算???(x?y?z)2d?.其中?为正方体0?x?1，0?y?1,0?z?1.<B< body>。
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对称性在积分计算中应用Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998毕业设计（论文）题目：对称性在积分计算中应用学院：数理学院专业名称：信息与计算科学学号： 02学生姓名：鲍品指导教师：张晓燕2011年 5 月 20 日对称性在积分计算中的应用摘要对称性的应用很广泛，尤其在数学，物理学，化学等方面都有体现[1]。
本论文主要是探讨一下对称性在积分计算中的应用。
积分在微积分学中既是重点又是难点，特别是在解决积分计算问题上，方法比较灵活。
常见的积分方法有换元法和分部积分法，这些方法在解决一般的问题上还是奏效的，但是对于复杂的微积分计算和证明问题就显得有些心有余而力不足。
假如我们稍仔细地观察题目，很多时候我们会发现积分区域或被积函数具有某种对称性。
如果我们将对称性巧妙地应用到解决这类问题中去，不仅简化了计算过程而且还节省计算时间。
利用对称性解题方法比较灵活也十分重要。
接下来本论文将从定积分，重积分，曲线积分以及曲面积分四大方面入手，深入探讨对称性在积分计算中的应用。
最后分析利用对称性解题的条件与优势，总结出应用相关性质解题时要注意哪些方面。
关键词定积分，重积分，曲线积分，曲面积分，对称性，奇偶性AbstractThe application of symmetry is very widespread, particularly in mathematics, physics, chemistry and other aspects of embodied. This paper is to explore the symmetry in the integral calculation.Integral calculus is difficult in both the focus, especially in solving the problem of integral calculation, the method more flexible. The common integral method are the substitution of variables and the integration by parts. These methods are effective in the solution general question, but appear regarding the complex calculus computation and the proof question somewhat has more desire than energy. If we carefully observe the subject a little, usually we will find regional integration or product function has a symmetry. If we applied the symmetry skillfully to solve such problems, this not only simplifies the calculation process but also save computing time.More flexible use of problem-solving approach symmetry is also important, Then the paper will be integral, double integral, curve and surface integrals four points in a bid to further investigate the symmetry in the integral calculation. Finally, we solve problems by analyzing the symmetry of the conditions of use and advantages, summed up the nature of problem solving application related to the attention of what.Key wordsdefinite integral, heavy integral, curvilinear integral, surface integral, symmetry, parity目录1、绪论 (1)研究背景 (1)研究意义 (1)研究的思路及结构的安排 (2)2、对称性在定积分计算中的应用 (2)3、对称性在重积分计算中的应用 (3)二重积分计算 (3)三重积分计算 (6)4、对称性在曲线积分计算中的应用 (9)第一型曲线积分计算 (9)第二型曲线积分计算 (10)5、对称性在曲面积分计算中的应用 (11)第一型曲面积分计算 (11)第二型曲面积分计算 (13)6、对称性解题方法总结 (15)7、致谢 (16)8、参考文献 (17)1、绪论研究背景众所周知，对称性能给人以美的享受，客观世界中的许多事物都具有对称性。
自然界的对称性为数学研究提供了一种独特的方法即对称方法[25] 。
所谓对称性,意味着在某种变换下的不变性或组元的构形在其自同构变换群下所具有的不变性。
事实上。
数学中的对称性是比具体事物的对称性更深层次的对称。
一方面，对称性在数学上的表现是普遍的，如几何图形中的轴对称、中心对称、镜像对称、正弦曲线等无不呈现出对称性[6,7]；另一方面，数学思想与方法是解决问题的灵魂，在众多的解题方法论中，对称性思想与运用是解题方法中非常重要的思想方法与常见的解题策略，灵活运用对称性解题也是大学生应该具备的数学素养，尤其在利用积分区间关于原点的对称性和被积函数的奇偶性简化积分计算是积分运算中最常用的一种方法。
目前，数学教材一般只给出定积分理论中的对称性结论的例题，对于重积分、曲线积分以及曲面积分大都要求转化为定积分后再利用对称性求解。
那么, 对于重积分、曲线积分以及曲面积分理论中是否也有类似的结论呢研究意义积分在微积分学中占有极为重要的地位, 它与微分相比, 难度大, 方法灵活。
掌握常见的积分方法如换元法和分部积分法是十分必要的, 但是只掌握这些方法是远远不够的, 在某些复杂的微积分计算和证明过程中，特别是涉及三元及三元以上的多元微积分问题，用常规的方法解决十分困难。
若能注意并充分利用积分区域的对称性、被积函数的奇偶性以及积分变量的轮换对称性探求多元函数微积分的简化途径，利用其结果计算，可以简化计算过程，提高解题效率。
对于有些原本并不具有对称性的问题，我们要善于根据问题的特点构造对称性，从而达到简化问题的目的。
其实，对于重积分、曲线积分以及曲面积分理论中是否也有类似的结论[8]。
对称性在定积分计算中的应用在许多课题研究上已经介绍得很全面，然而对于对称性在重积分，曲线积分以及曲面积分计算中的应用，相关的文献对其也有探讨，但都相对比较零散，有的甚至很少涉及[9]。
本文将把重点放在研究对称性在重积分，曲线积分以及曲面积分计算中的应用，归纳总结出利用平面区域的对称性来简化积分计算的相关结论。
研究的思路及结构的安排本文将首先指出所要研究的方向，指出其研究意义。
其次利用对称性相关结论来简化定积分计算，然后从重积分，曲线积分和曲面积分三大方面，分别证明对称性相关性质，并结合实例加以验证。
最后对本文内容进行分析总结。
本文一共六章，其结构安排如下:第一章绪论，主要阐述研究背景，研究的意义以及研究的方法。
第二章，在遇到定积分计算问题上，利用对称性能简化计算，节省时间，提高效率。
第三章，第四章以及第五章，先分别证明其对称性相关性质，然后例举实例加以验证。
第六章，分析对称性在解决积分计算问题上的优势，同时总结应用对称性解题时要注意哪些方面。
2、对称性在定积分计算中的应用性质[10] ()[,]f x a a -设在区间上可积：(1)()()0;aa f x f x dx -=⎰若为奇函数，则(2)()()2().a aaf x f x dx f x dx -=⎰⎰若为偶函数，则(1)()()()()()()aaa aaaaaf x x t f x dx f t d t f t dt f x dx-----==--=-=-⎰⎰⎰⎰证明：当为奇函数时：令则2()0,()0.a a aaf x dx f x dx --==⎰⎰所以即000(2)()()()()()()()aa aaaaf x f x dx f x dx f x dx f t d t f x dx--=+=--+⎰⎰⎰⎰⎰当是偶函数时：()()aaf x dx f x dx =+⎰⎰ 0()2().aaaf x dx f x dx -=⎰⎰所以2020.2cos .2cos 2cos()2cos 1()2cos d fx d dx dx f x xf x xππππππθθθπθθπ--+=-=-=-++--=-⎰⎰⎰⎰例2.1：计算积分解：令则其中为偶函数，则202cos 2cos()d dx fx πππθθπ-=-++-⎰⎰=022cos 2cos 2cos dx dx dxx x xπππππ---==---⎰⎰⎰ tan,2xt =令则 2222000222111224112cos 2211dx t t dx dx t t xt t π+∞+∞++==-----++⎰⎰⎰2024.0133dt t π+∞+∞===+⎰3、对称性在重积分计算中的应用二重积分计算1把性质2.推广到二重积分的计算中有下面的性质D x (,)(,)f x y f x y -=-性质3.1.1 若关于轴对称，当时，(,)0;Df x y d σ=⎰⎰有D1(,)(,),(,)2(,)Df x y f x y f x y d f x y d σσ-==⎰⎰⎰⎰当有，D1D 其中是的上半部分. D D ,()(),x x b x y x φφ≤≤-≤≤证明: 因为关于轴对称,所以不妨设：a 从而()()(,)(,),x bDax f x y d dx f x y dy φφσ-=⎰⎰⎰⎰(,)f x y y 如果函数是关于的奇函数,由上述定理1可知()()(,)0x x f x y dy φφ-=⎰()()(,)(,)0x bDax f x y d dxf x y dy φφσ-==⎰⎰⎰⎰故;(,)f x y y 如果函数是关于的偶函数,由上述定理1可知()()()(,)2(,)x x x f x y dy f x y dy φφφ-=⎰⎰()()()(,)(,)2(,)x x bb Dax af x y d dxf x y dy dxf x y dy φφφσ-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰故12(,),.D f x y d σ=⎰⎰结论得证类似性质3.1.1的有：D (,)(,),(,)0;Dy f x y f x y f x y d σ-=-=⎰⎰性质3.1.2若区域关于轴对称，当有1(,)(,)(,)2(,)DD f x y f x y f x y d f x y d σσ-==⎰⎰⎰⎰当时，有，D1D .其中是右半部分D (,)(,),(,)0Df x y f x y f x y d σ--=-=⎰⎰性质3.1.3 若关于原点对称，当有；1(,)(,)(,)2(,)D1D DD f x y f x y f x y d f x y d σσ--==⎰⎰⎰⎰当时，有，其中是的上半部分.[11]:D D3D4,3P x y D ∈证明设可分为关于原点对称的两个区域和，且任意的()11111;(,)4,.x x P x y D y y Jacobi =-⎧∈⎨=-⎩关于原点对称则由行列式11111110(,)101(,)x x y x y x J y y x y xy∂∂-∂∂∂====∂∂-∂∂∂ D4D4D4(,)(1,1)11(,).f x y dxdy f x y dx dy f x y Jdxdy ==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰而DD3D4(,)(,)(,)f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰=D3D3(,)(,)f x y dxdy f x y Jdxdy +--⎰⎰⎰⎰=D3D3(,)(,).f x y dxdy f x y dxdy +--⎰⎰⎰⎰(,)f x y 由此可知：当为奇函数时(,)0Df x y dxdy =⎰⎰(,)f x y 当为偶函数时3(,)2(,)DD f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰D (,)(,).DDy x f x y d f y x d σσ==⎰⎰⎰⎰性质3.1.4 设关于直线对称，则22221,D {(,)1,0}1Dxy I dxdy x y x y y x y +=+≤≥++⎰⎰例3.1.1 计算二重积分=其中 22221,11DDxyI dxdy dxdy x yx y =+++++⎰⎰⎰⎰解：221D (,)1y f x y x y=++因为关于轴对称，并且函数是关于的偶函数，22(,)1xyg x y x x y=++而函数是关于的奇函数，从而由性质3.1.2知， 122222211122ln 2,1112DD r dxdy dxdy d dr xyx yr ππθ===+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 222210,ln 2112D Dxy xy dxdy dxdy x y x y π+==++++⎰⎰⎰⎰故 . [11]222222()2z a x y x y y =++=例3.1.2求圆锥截圆柱面的有界部分立体的体积. 22D 2,xy x y y +≤解：立体在平面上的投影：()y f x x =根据积分区域是关于轴对称并且被积函数偶函数V 2.Da =⎰那么所得立体体积 cos ,sin .x r y r θθ==令{}D (,)0,02sin r r θθπθ≤≤≤≤则变为2sin 320166422sin .39xDa V a d arrdr d a θπθθθ====⎰⎰⎰⎰ 213,D .y Dedxdy y x y x -==⎰⎰例3.1.3 计算其中为直线与曲线围成的有界闭区域322222113121222(),1(1).y y y y y DD yy t Dy edxdy edxdy dy edx y y e dyt y edxdy t e dt e ------===-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解： 由积分区域关于原点对称及被积函数为关于的偶函数知令则三重积分计算0x ΩΩ=积分区域上的三重积分有类似于二重积分的性质性质3.2.1 若关于坐标面对称，则有1(,,)(,,)(,,)0;(,,)(,,)(,,)2(,,)f x y z f x y z f x y z dv f x y z f x y z f x y z dv f x y z dvΩΩΩ-=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰当时，有当时，有11{(,,)|0}x y z x ΩΩΩ=∈Ω≥其中是的前半部分： 0y Ω=性质3.2.2 若关于坐标面对称，则有(,,)(,,)(,,)0;f x y z f x y z f x y z dv Ω-=-=⎰⎰⎰当时，有1(,,)(,,)(,,)2(,,)f x y z f x y z f x y z dv f x y z dv ΩΩ-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰当时，有11{(,,)|0}x y z y ΩΩΩ=∈Ω≥其中是的前半部分：10(,,)(,,)(,,)0;(,,)(,,)(,,)2(,,)11{(,,)|0}z f x y z f x y z f x y z dv f x y z f x y z f x y z dv f x y z dvx y z z ΩΩΩΩ=-=-=-==ΩΩΩ=∈Ω≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质3.2.3 若关于坐标面对称，则有当时，有当时，有其中是的前半部分：[12]将以上性质推广使其具有一般性''(,,)(),()u f x y z f M M M M M ππ==Ω∈Ω性质3.2.4 设是定义在以平面为对称平面的三位区域上的三元函数，于关于互为对称点，''(),()()(),()f M u f M f M f M u f M ππ⎧-=Ω⎪=⎨=Ω⎪⎩则称为上关于平面的奇函数若则称为上关于平面的偶函数'111πΩΩΩΩ=若以为对称平面将区域分为与两部分，则的体积'1Ω的体积， ''11,M M ∈Ω∈Ω当且有10,(,,)(,,)2(,,),(,,)f x y z f x y z dv f x y z dv f x y z ΩΩΩ⎧⎪=⎨Ω⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰为上的连续奇函数为上的连续偶函数 '''''00010001'0000(,,),(,,),Ax By Cz D M x y z M x y z M M l l l x x y y z z A B CππΩ+++=∈Ω∈Ω---==证明：设区域以平面：为对称平面，则设过点与的直线为由于与平面垂直，因此直线的方程为：000(,,),0l p x y z Ax By Cz D x x y y z z AB C π+++=⎧⎪---⎨==⎪⎩设直线与平面的交点为解方程组200020002000(1)(1)(1)x A x ABy ACz AD p y AB x B y BC z BD z AC x BC y C z CD αααααααααα⎧=----⎪=-+---⎨⎪=--+--⎩得点的坐标为2221A B Cα=++其中'00''00'00222x x x y y p M M y z z z ⎧+=⎪⎪+⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩由于点又是与连线的中点,所以'20000'20000'20000(12)2222(12)2222(12)2x A x AB y AC z AD y AB x B y BC z BD z AC x BC y C z CD αααααααααααα⎧=----⎪=-+---⎨⎪=--+--⎩从而进一步得：''''''''11''''''1(,,)(,,)(,,)(,,)f x y z dxdydz f x y z dxdydz f x y z dx dy dz f x y z dx dy dz ΩΩΩΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰而对做变换：'2'2'2(12)2222(12)2222(12)2x A x AB y AC z AD y AB x B y BC z BD z AC x BC y C z CD αααααααααααα⎧=----⎪=-+---⎨⎪=--+--⎩雅克比式：222122*********A AB AC J AB B BC AC BC C ααααααααα--=------222(1)21A AB ACABB BC AC BCC α=--=- '''(,,)(,,)(,,),f x y z f x y z f x y z Ω=-当为上的奇函数时，11''''''(,,)(,,)f x y z dx dy dz f x y z J dxdydz ΩΩ=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰因此1(,,)f x y z dxdydz Ω=-⎰⎰⎰'''(,,)(,,)(,,),f x y z f x y z f x y z Ω=当为上的偶函数时，11''''''(,,)(,,)f x y z dx dy dz f x y z J dxdydz ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰因此1(,,)f x y z dxdydz Ω=⎰⎰⎰故有10,(,,)(,,)2(,,),(,,)f x y z f x y z dv f x y z dv f x y z ΩΩΩ⎧⎪=⎨Ω⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰为上的连续奇函数为上的连续偶函数222222222ln(1),1.1z x y z dv x y z x y z Ω+++Ω++=+++⎰⎰⎰例3.2.1计算其中是由球面围成的闭区域222222ln(1)01z x y z x y z x y z +++Ω+++解：积分区域关于平面对称，而被积函数 是关于的奇函数222222222222()ln[()1]ln(1)()110.z x y z z x y z x y z x y z -++-++++=-++-++++即由性质3.2.3知 故所求积分为222, 1.ze dv x y z ΩΩ++≤⎰⎰⎰例3.2.2 计算其中是球体102zzz e z z e dv e dv ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：被积函数是的偶函数，积分区域关于平面对称，故222110.x y z z z Ω++≤≥其中是上半球：，注意到被积函数只是的函数， 222111(,),[0,1]:1,x y D z D x y z Ω∈∈+≤-采用截面法，将表示为：其中11122z zz D e dv e dv e dz dxdy ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因此1202(1)2z e z dz ππ=⋅⋅-=⎰4、对称性在曲线积分计算中的应用第一型曲线积分计算(,)f x y L L x 性质4.1.1 为定义在二维光滑曲线上的函数，且关于轴对称，(,),(,)(,),(,)0;Lx y L f x y f x y f x y ds ∀∈-=-=⎰若则112(,)(,),(,)2(,).LL f x y f x y f x y ds f x y ds L L x -==⎰⎰若则，其中和是关于轴对称的两部分(,)f x y L L y 性质4.1.2设为定义在二维光滑曲线上的函数，且关于轴对称，(,),(,)(,),(,)0;Lx y L f x y f x y f x y ds ∀∈-=-=⎰若则112(,)(,),(,)2(,).LL f x y f x y f x y ds f x y ds L L y -==⎰⎰若则，其中和是关于轴对称的两部分[13](,)f x y L L 性质4.1.3设为定义在二维光滑曲线上的函数，且关于原点对称，(,),(,)(,),(,)0;Lx y L f x y f x y f x y ds ∀∈--=-=⎰若则112(,)(,),(,)2(,)LL f x y f x y f x y ds f x y ds L L --==⎰⎰若则，其中和是关于原点对称的两部分121:(),(),[,],L L L L x x t y y t t αβ=+==∈证明：因为关于原点对称，所以不妨设 2(),(),[,],L x x t y y t t αβ=-=-∈则：于是有12(,)(,)(,)LL L f x y ds f x y ds f x y ds =+⎰⎰⎰((),(((),(f x t y t f x t y t ββαα=+--⎰⎰[((),())((),(f x t y t f x t y t βα=+--⎰(,)(,)(,)0;Lf x y f x y f x y ds --=-=⎰故，当时，有(,)(,)f x y f x y --=当时，有1(,)2((),(2(,)LL f x y ds f x t y t f x y ds βα==⎰⎰⎰22221,,(345).43l x y l a x y xy ds +=++⎰例4.1.1设为椭圆其周长为计算曲线积分2222(345)(34)5lllx y xy ds x y ds xyds ++=++⎰⎰⎰解：，22(34)1212,(,)5llx y ds ds a l x f x y xy y +===⎰⎰其中因为关于轴对称，是关于的奇函数，50lxyds =⎰所以由性质4.1.1知22(345)12.lx y xy ds a ++=⎰故第二型曲线积分计算1L x L L 性质4.2.1 设分段光滑的平面曲线关于轴对称，且在上半平面部分 2L L 与在下半平面部分的方向相反，则(,)(,)0LP x y y P x y dx =⎰若关于变量是偶函数，则1(,)(,)2(,)LL P x y y P x y dx P x y dx =⎰⎰若关于变量是奇函数，则12112221(),(),,L L L L y y x x x x L y y x x x x =+==-证明：由，：从变到：从变到则12(,)(,)(,)LL L P x y dx P x y dx P x y dx =+⎰⎰⎰2112[,()][,()]x x x x P x y x dx P x y x dx =+-⎰⎰21{[,()][,()]}x x P x y x P x y x dx =--⎰(,)(,)(,)0LP x y P x y P x y dx =-=⎰当时，则211(,)(,)(,)2[,()]2(,)x LL x P x y P x y P x y dx P x y x dx P x y dx =--==⎰⎰⎰当时,则1L y L L 与性质4.2.1类似有性质4.2.2 设分段光滑的平面曲线关于轴对称，且在右半平面部分2L L 与在左半平面部分的方向相反，则(,)(,)0LQ x y x Q x y dy =⎰若关于变量是偶函数，则1(,)(,)2(,)LL Q x y x Q x y dy Q x y dy =⎰⎰若关于变量是奇函数，则2,(1,1)(1,1)Lx y dx L y x A B =-⎰例4.2.1计算其中是抛物线上从到的一段弧.12,x L L L =+解：化成对的定积分计算，12:,10;:,01L y x L y x ==从变到从变到，则1211LL L x y dx x y dx x y dx x =+=+⎰⎰⎰⎰⎰110=-+=⎰⎰22()22[cos(2)sin(2)],1,xy Ce xy dx xy dy C x y -+++=⎰例4.2.2 求曲线积分是单位圆周.方向逆时针方向(,)(,)C x y x y -解：积分曲线可分为上，下两个对称的部分.在对称点与上，22()cos(2),.xy e xy dx -+函数大小相同但投影元素在上半圆为负，下半圆为正22()cos(2)x y e xy dx -+因此，在对称的两个半圆上大小相等，符号相反22()cos(2)0xy Ce xy dx -+=⎰故22()sin(2)0x y Cexy dy -+=⎰类似可知22()[cos(2)sin(2)]0xy Ce xy dx xy dy -++=⎰因此5、对称性在曲面积分计算中的应用第一型曲面积分计算第一曲面积分类似于三重积分有以下性质:[14]0x ∑=性质5.1.1 设分片光滑曲面关于坐标面对称，则(,,)(,,)(,,)0;f x y z f x y z f x y z ds ∑-=-=⎰⎰当时，1(,,)(,,)(,,)2(,,).f x y z f x y z f x y z ds f x y z ds ∑∑-==⎰⎰⎰⎰当时，11{(,,)|0}x y z x ∑∑∑=∈∑≥其中是的前半部分：1110(,,)(,,)(,,)0;(,,)(,,)(,,)2(,,).{(,,)|0}y f x y z f x y z f x y z ds f x y z f x y z f x y z ds f x y z ds x y z y ∑∑∑∑=-=-=-==∑∑∑=∈∑≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质5.1.2 设分片光滑曲面关于坐标面对称，则当时，当时，其中是的右半部分：1110(,,)(,,)(,,)0;(,,)(,,)(,,)2(,,).{(,,)|0}z f x y z f x y z f x y z ds f x y z f x y z f x y z ds f x y z ds x y z z ∑∑∑∑=-=-=-==∑∑∑=∈∑≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质5.1.3 设分片光滑曲面关于坐标面对称，则当时，当时，其中是的上半部分：22222(),.I ax by cz d ds x y z R ∑=+++∑++=⎰⎰例5.1.1计算曲面积分其中是球面2()I ax by cz d ds ∑=+++⎰⎰解：2222[()()()222222]ax by cz d abxy aczx bcyz adx bdy cdz ds ∑=+++++++++⎰⎰根据曲面积分的对称性及被积函数的奇偶性可知：0xds yds zds xyds yzds xzds ∑∑∑∑∑∑=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222222,,x y z R x y z x ds y ds z ds ∑∑∑++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰因为球面关于具有对称性所以2()I ax by cz d ds ∑=+++⎰⎰因此222222221()()43a b c x y z ds R a π∑=+++++⎰⎰22222214[()]3R R a b c a π=+++第二型曲面积分计算112(,,)(,,),(,,)0;(,,)(,,)(,,)2(,,).xoy R x y z R x y z R x y z dxdy R x y z R x y z R x y z dxdy R x y z dxdy xoy xoy ∑∑∑∑-==-=-=∑∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质5.2.1设分片光滑的曲面关于平面对称，则若若，其中取在平面的上半空间，取在平面的下半空间.[15]121212(,),(,),,,xy z z x y z z x y xoy D ∑=∑+∑∑=∑=-∑∑证明：由：取定上侧;：取定下侧又在平面上的投影域为则12(,,)(,,)(,,)R x y z dxdy R x y z dxdy R x y z dxdy ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰[,,(,)][,,(,)]xyxyD D R x y z x y dxdy R x y z x y dxdy =--⎰⎰⎰⎰{[,,(,)][,,(,)]}xyD R x y z x y R x y z x y dxdy =--⎰⎰(,,)(,,)(,,)0R x y z R x y z R x y z dxdy ∑=-=⎰⎰当时，则；1(,,)(,,)(,,)2(,,)=2(,,).xyD R x y z R x y z R x y z dxdy R x y z dxdy R x y z dxdy ∑∑=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰当时，则类似性质5.2.1的有：yoz ∑性质5.2.2设分片光滑的曲面关于平面对称，则112(,,)(,,),(,,)0;(,,)(,,)(,,)2(,,).R x y z R x y z R x y z dydz R x y z R x y z R x y z dydz R x y z dydz yoz yoz ∑∑∑-==-=-=∑∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰若若，其中取在平面的前半空间，取在平面的后半空间.112(,,)(,,),(,,)0;(,,)(,,)(,,)2(,,).xoz R x y z R x y z R x y z dxdz R x y z R x y z R x y z dxdz R x y z dxdz xoz xoz ∑∑∑∑-==-=-=∑∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质5.2.3设分片光滑的曲面关于平面对称，则若若，其中取在平面的右半空间，取在平面的左半空间.2222222,103.x y x dydz y dxdz z dxdy z a b z ∑++∑+===⎰⎰例5.2.1计算其中是椭圆柱面介于和之间部分的外侧 2222(,,)0(,,),0P x y z x x yoz x dydz Q x y z y y xoz y dxdz ∑∑=∑==∑=⎰⎰⎰⎰解：因为是的偶函数，关于平面对称所以由性质5.2.2知类似地，因为是的偶函数关于平面对称所以由性质5.2.3知222210x y xoy a b∑+=又在平面上的投影为一头圆周，投影区域的面积为20z dxdy ∑=⎰⎰所以由性质5.2.1知22()()(),(0).y z dydz z x dzdx x y dxdy z x y z h h ∑-+-+-∑=+=>⎰⎰例5.2.2计算其中为曲面及平面所围成立体的表面外侧221212:z x y z h ∑=∑+∑∑=+∑=解：由，：取定下侧;取定上侧12(,,)P x y z y z x yoz yoz =-∑∑因为是的偶函数，关于平面对称，又在平面上的投影域面积为012()()()0y z dydz y z dydz y z dydz ∑∑∑-=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以由性质5.2.2知1(,,)Q x y z z x y xoz =-∑类似地，因为是的偶函数，关于平面对称， 20xoz ∑又在平面上的投影域面积为12()()()0z x dzdx z x dzdx z x dzdx ∑∑∑-=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以由性质5.2.3知1212,()()()xy xoy D x y dxdy x y dxdy x y dxdy∑∑∑∑∑-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰又记，在平面上的投影区域为由性质5.2.1知()()0xyxyD D x y dxdy x y dxdy =--+-=⎰⎰⎰⎰()()()0.y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-=⎰⎰所以6、对称性解题方法总结常见的积分计算方法有换元法和分部积分法，这些方法比较基础同时也是必要的，对于解决一些简单的积分计算问题有效。