第9章 相似性原理与量纲分析
量纲分析与相似原理
上一页 下一页 返回
下一页 返回
9.2 量纲分析
• 由量纲一致性原理可知，上式两侧的量纲是相同的，即 • 由伯努利方程可知，gh与V 2 /2有相同的量纲，于是给式（9−12）两
侧同除以 ，得
• 则上式两侧都应该是量纲为1 的。等式右侧的m 的量纲M 在变量g 和 h 中都未出现（ g 和h的量纲只包含L 和T），因此m 不可能与g 和h 组成一个量纲为1 的组合量，应从右侧的变量中删去；
上一页
返回
9.2 量纲分析
• 在前面一节讨论了量纲一致性原理，或量纲齐次性原理、量纲和谐原 理。量纲一致性原理要求，凡是正确反映客观规律的物理方程，其各 项的量纲必须是一致的。从量纲一致性原理可以得到一个重要推论： 一个正确反映客观规律的物理方程必然可以写成量纲为1 的形式。
• 在前面一节中讨论过自由落体运动，现在假设我们并不清楚物体在自 由降落过程中距离与落地速度及重力加速度之间的函数关系。设物体 的释放高度为h ，物体落地速度为V ，从物理常识出发，V 应该与物 体的质量m 、重力加速度g 和h 有关，即
第九章 量纲分析与相似原理
• 9.1 量纲与单位 • 9.2 量纲分析 • 9.3 泊金汉Π 定理 • 9.4 相似原理 • 9.5 模型实验
相似原理与量纲分析
CC 2
压强比尺 C p
C Cl
CC 2Cl 2
功能比尺 CW
功率比尺 CN
C Cl4 CCl7 / 2
CC 2Cl CC 3Cl 1
9.3 模型实验(Model Test)
二、模型的设计
在模型设计中通常是根据实验场地和模型制作 的条件先定出长度比例尺Cl，再以选定的Cl缩小原型 的几何尺寸，得出模型流动的几何边界。在一般情 况下模型流动采用与原型流动相同的液体，即Cρ 、 Cν为1。然后按所选用的相似准则确定速度比尺Cu和 流量比尺CQ，从而定出模型流动的流量。
二、几何相似
几何相似是指两个流动流场的几何形状相似，即 模型和原型中的对应长度成比例、对应角相等。
如以 l 表示某一长度，以下标m表示模型的量， 以下标p表示原型的量，则有
长度比尺
Cl
lp lm
面积比尺
CA
Ap Am
l
2 p
lm2
Cl2
体积比尺
CV
Vp Vm
l
3 p
lm3
Cl3
9.1 Basic Theory of Similitude
9.3 Dimensional Analysis
一、量纲的概念 导出量纲
速度 加速度 密度 力
第九章 量纲分析与相似原理
m
mp mm
pVp mVm
3l
✓ 力的比尺：
F
Pp Pm
Fp Fm
Gp Gm
Ip Im
mpap mmam
ma
l22v
❖ 力学相似：所有的计算结果均列于（P199）表动如果力学相似，则必
然存在着许许多多的比例尺），判断流动动力相似时作用 力的比例尺满足的约束关系称为相似准则。
v
1
l
1 15
v
vp vm
vm
vp v
1015 150m / s
[例9.1] 已知溢流坝的过流量QP＝1000m3/s,若用长度比尺λl ＝60的模型（介质相同）进行实验研究，试求模型的流量Qm 。
如m、cm、mm等同属于长度类，用L表示；小时、分、秒 等同属于时间类，用T表示；公斤、克等同属于质量类，用 M表示。
§9.1 流体相似原理
解决 流体 力学 问题 的 方法
数学 分析
实验 研究
探索未知的流体流动规律 大型水工、机械模型实验
以相似原理为基础
一、力学相似
表征 流动 过程 的物 理量
描述几何形状的
v2 g l p 2v
式（9.2）
lv
设计模型时，所选择的三个基本比例尺如能满足以上三个制
约关系，则模型流动与实物流动是完全力学相似。但这是有困难
的，因为，如前所述单位质量力的比例尺 ，则g 1
1
v2 g l
v l2 模型可大可小，但流体运动黏
lv
3
l2
度的比例尺要保持一致很难。
l v
✓
加速度比尺： a
ap am
vp vm
tp tm
v t
第9章 相似性原理与量纲分析
E u n E u m 压力相似准则，或称为欧拉相似准则
4、马赫相似准则
在高速气流中，弹性力起主导作用。由弹性力相似，可导出
n m
an am
式中 a为当地音速。
这个速度的比值就是马赫数M。
M v a
马M赫n数表M征m惯性
力与弹性力之比
2019年9月11日星期三
流体力学
设
二、模型律
Tianjin Institute of Urban Construction
h n h h m 2 .2 1 5 .0 5 2 .3m 6
2019年9月11日星期三
流体力学
设
第三节 量纲分析法 Tianjin Institute of Urban Construction
一、量纲一致性
1. 基本量纲：(独立量纲)
长度 (L) 时间 (T) 质量 (M)
Tianjin Institute of Urban Construction
水力学
第9章 相似理论与量纲分析
能源与机械工程系
2019年9月11日星期三
流体力学
设
Tianjin Institute of Urban Construction
实际工程中，有时流动现象极为复杂，即使经过简化，也难以通过解析的 方法求解。在这种情况下，就必须通过实验的方法来解决。
Fn FPnFGnFIn Fm FPm FGm FIm
由于惯性力相似与运动相似直接相关，我们把以上的关 系式分别写为和惯性力相联系的下列等式
Fn FIn Fm FIm
；
FGn FGm
FIn FIm
；
FPn FPm
FIn FIm
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是物理学中常用的分析方法。
这两个方法都可以帮助我们简化和理解复杂的物理问题，并从中得到有用的结论。
相似原理是指在某些情况下，两个或多个物理系统在某些方面具有相似性。
通过找到这些相似性，我们可以将一个物理问题转化为另一个更简单的问题，并从中得到有关原问题的信息。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在量纲分析中，我们将物理量表示为其单位的乘积，例如长度（L）、质量（M）和时间（T）。
通过对物理方程中各项的量纲进行分析，我们可以得到物理问题的量纲关系。
现在让我们更详细地讨论这两种方法。
首先，我们来看看相似原理。
相似原理的核心思想是，如果两个物理系统具有相似的形状、相似的流动条件和相似的物理特性，那么它们在某些方面具有相似性。
这种相似性可以通过无量纲参数来描述。
无量纲参数是一个相对于单位的比率或比值，因此在不同的物理系统中具有相同的值。
通过选择适当的无量纲参数，我们可以把一个复杂的问题转化为一个简单的问题。
例如，假设我们想研究飞机的气动性能。
我们可以选择无量纲参数如升力系数（Cl）、阻力系数（Cd）和升阻比（Cl/Cd），来描述飞机的飞行特性。
通过比较不同飞机的这些无量纲参数，我们可以得出有关它们性能优劣的结论。
相似原理的应用非常广泛。
它常用于流体力学、热传导和振动等领域的问题研究。
通过利用相似原理，我们可以设计模型实验来研究某一问题，从而避免对真实系统进行复杂和昂贵的实验。
接下来，我们来谈谈量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在物理方程中，各个物理量的量纲必须相等。
这就是说，物理方程中各项的量纲必须保持平衡。
通过量纲分析，我们可以得到物理问题的一些量纲关系。
这些量纲关系可以帮助我们推导出物理方程中的无量纲参数，并进一步简化问题。
例如，假设我们要研究物体自由落体的运动规律。
我们可以通过对物理量的量纲进行分析，得到物体自由落体的无量纲形式。
传热学第九讲相似原理及量纲分析
de0 1ac f 0 e f 1 0 1e f 0
ba1
cea d e f 1e
2 a b 2c f 3d 0
2021/5/1
5
h k ua d a1 ea 1e ce e
k ud a d 1 c e
k Rea Pr e
d
Nu hd k Rea Pr e
f 8Re1000Pr f
1 12.7
f
8
Pr
2 f
31
1
d l
2
3
ct
f 1.82lg Re1.642
对液体
ct
Pr f Prw
0.11
(
Pr f Prw
0.05～20)
对气体
ct
Tf Tw
0.45
(
Tf Tw
0.5～1.5)
※适用范围 Pr f 0.6 ～ 105 Re f 2300～ 106
对气体
ct
Tf Tw
n
当气体被加热时 n 0.55
当气体被冷却时 n 0
2021/5/1
对液体
ct
f w
n
当液体被加热时 n 0.11
当液体被冷却时 n 0.25
10
（五）入口效应：
层流 紊流
l 0.05RePr
d l 60
cl
1
d l
0.7
d
2021/5/1
11
二、实验关联式
2021/5/1
6
三、应用
（一）威尔逊法
Nu f Re,Pr
Nu C Ren 或 Nu C Ren Pr m
1. 求 Nu C Ren
lg Nu lg C nlg Re
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理，而量纲分析则是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
本文将分别介绍相似原理和量纲分析的基本概念和应用，以期帮助读者更好地理解和应用这两种方法。
首先，我们来介绍相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理。
在流体力学中，相似原理是研究流体流动时的一种重要方法。
根据相似原理，如果两个流体流动问题在某些方面具有相似性，那么它们的流动规律也应该是相似的。
通过建立相似模型，可以通过对模型进行实验来研究真实流体流动问题，这为工程设计和科学研究提供了重要的手段。
在工程设计中，相似原理也有着广泛的应用。
例如，在飞机设计中，通过建立风洞模型来研究飞机在空气中的飞行性能；在建筑设计中，通过建立模型来研究建筑物在风力作用下的受力情况。
相似原理的应用不仅可以帮助工程师更好地理解和预测真实系统的行为，还可以降低实验成本和风险。
接下来，我们来介绍量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
在物理学和工程学中，很多物理现象可以通过物理量之间的关系来描述。
通过对这些物理量的量纲进行分析，可以得到物理现象之间的关系，从而简化问题的分析和求解。
在工程设计中，量纲分析也有着重要的应用。
例如，在流体力学中，通过对流体流动中的速度、密度、长度等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化流体流动问题的分析和求解。
在热力学中，通过对热量、温度、热容等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化热力学问题的分析和求解。
总之，相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
通过对相似原理和量纲分析的理解和应用，可以帮助工程师和科研人员更好地理解和解决实际问题，从而推动科学技术的发展和进步。
量纲分析和相似性
*
* V tV0 * r p t ψ * p = = , V = , t = , r = , ψ* = 2 V0 t0 L L gL ρV 0 V T L2Φ ρ , T* = , M 0 = 0 , a 0 = kRT0 , Φ * = 2 T0 a0 ρ0 V 0 υρ0 * ∂ρ * * * + ∇ ⋅ ( ρ V )=0 ∂t *
l
二、基本量纲 长度：L＝[l] 时间：t＝[t]
质量：M＝[m]
温度：T＝[T]
三、量纲的性质： 1. 任何物理量的量纲都可以由基本量纲的幂指数次方的乘积来表示。 Eg. 力〔F〕＝〔ma〕＝M.L/t2 2. 不独立的量纲都可以由独立量纲的指数幂乘积来表示。 3. 凡是正确的方程或关系式，方程各项的量纲必须相同。
4.3 不可压缩流动无量纲方程 引入：无量纲变量
tV0 * r p V t ψ * * * p = , V = , t = = , r = , ψ* = 2 V0 t0 L L gL ρV 0
连续方程： ∇ ⋅ V = 0
*
*
*2 * * ∂V * 1 *2 * 1 * * * * * * 运动方程： + ∇ ( V / 2 ) − V × ( ∇ × V ) = −∇ p + ∇ V − ∇ψ * Re Fr ∂t
dp / dx µ ε || , −2 −2 3 −1 ρDD / V ρD D V / D D dp / dx µ ε || , −1 2 ρDV D ρD V
2Байду номын сангаас
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
水力学
给
第一节 力学相似性原理 Tianjin Institute of Urban Construction
力学相似：两个流动现象中相应点处的各物理量彼此之 间互相平行，并且互成一定的比例。
（1）几何相似（流动空间几何相似）
ln lm
dn dm
l
λl——长度比尺
n m
2020年3月22日星期日
流体力学
而工程原型有时尺寸巨大，在工程原型上进行实验，会耗费大量的人力 与物力，有时则完全是不可能的(例如：水坝，水工建筑物中抗特大洪水的 试验)。所以，通常利用缩小的模型进行实验。当然，如果原型尺寸很小， 也可利用放大的模型进行实验。 而进行模型实验，首先必须解决两类问题。
(1) 如何正确地设计和布置模型实验，例如，模型形状与尺寸的确定， 介质的选取。
n m
an am
式中 a为当地音速。
这个速度的比值就是马赫数M。
M v a
马M赫n数表M征m惯性
力与弹性力之比
2020年3月22日星期日
流体力学
设
二、模型律
Tianjin Institute of Urban Construction
雷诺数和弗诺德数中都包含定性长度和定性速度。因 此，若使雷诺数和弗诺德数都相等，就要求原型和模型在 长度和速度比尺之间要保持一定关系。
Fn FPnFGnFIn Fm FPm FGm FIm
由于惯性力相似与运动相似直接相关，我们把以上的关 系式分别写为和惯性力相联系的下列等式
Fn FIn Fm FIm
；
FGn FGm
FIFIn FIm
（1）雷诺准则——粘性力是主要的力
Fn FIn Fm FIm
改成
FIn FIm Fn Fm
流体力学
设
（2）弗诺德准则——重力是主要的力
Tianjin Institute of Urban Construction
FGn FIn FGm FIm
改成
FIn FIm FGn FGm
FGm g g3l
FI l2v2
v
2 n
v
2 m
gnln gmlm
2020年3月22日星期日
流体力学
设
无量纲数 F r
Fn Fm
F
λF——力的比尺
FvnFPnFGnFInFEn Fvm FPm FGm FIm FEm
动力相似是运动相似的保证
2020年3月22日星期日
流体力学
设
第二节 相似准则与模型律Tianjin Institute of Urban Construction
一、相似准则
在模型实验中，只要使其中起主导作用的外力满足相似条 件，就能够保证两流动现象有基本相同的运动状态。这种 只考虑某一种外力的动力相似条件称为相似准则。
设
An Am
ln2 lm2
2l
Vn Vm
ln3 lm3
3l
几何相似是力学相似的前提
Tianjin Institute of Urban Construction
2020年3月22日星期日
流体力学
设
（2）运动相似（两流动的对应流线几何相似或流速大小成UTr同ibana一nji比nC例Ionn，sstti方rtuutcetioofn
(2) 如何整理模型实验所得的结果，例如，实验数据的整理，以及如何 将实验的结果推广到与实验相似的流动现象上。
本节的内容也适用于叶轮机械的模型研究、热力设备的模型研究以及 工程传热学等有关学科。
2020年3月22日星期日
流体力学
设
Tianjin Institute of Urban Construction
由雷诺数模型律，有
v2 gl
Tianjin Institute of
弗诺德数表U征rb惯an性Co力nstruction 与重力的相对比值。
Frn Frm 重力相似准则，也称为弗诺德相似准则。
（3）欧拉准则——压力是主要的力
FPn FIn FPm FIm
改成
FPn FPm FIn FIm
FP pl2 FI l2v2
2020年3月22日星期日
流体力学
设
pn nvn2
pm mvm2
无量纲数
p Eu v 2
Tianjin Institute of
欧拉数表征压Ur力ba（n C差on）struction 和惯性力之比
E u n E u m 压力相似准则，或称为欧拉相似准则
4、马赫相似准则
在高速气流中，弹性力起主导作用。由弹性力相似，可导出
怎样来达到流动的动力相似以保证运动相似呢？
设想在两相似水流中，取两个相应质点n和m，研究 两质点所受粘性力、压力、重力及惯性力。假设流体不可 压缩，则不需要考虑弹性力相似的问题。根据动力相似条 件，应有
2020年3月22日星期日
流体力学
设
Tianjin Institute of Urban Construction
【教学重点】
力学相似的内涵； 各相似准则的定义与物理意义； 相似模型律的应用* π定理及其应用 *
2020年3月22日星期日
流体力学
设
Tianjin Institute of Urban Construction
（a）原型
(b)模型
图1 满足几何相似、运动相似和动力相似的流动
2020年3月22日星期日
2020年3月22日星期日
流体力学
设
F
Adulvlv
dy
F Im al2v2
vnln vmlm
n m
Tianjin Institute of Urban Construction
雷诺数表征惯性力 与黏性力之比.
无量纲数 Re vl
Re n Re m 粘性力相似准则，也称为雷诺相似准则。
2020年3月22日星期日
Tianjin Institute of Urban Construction
水力学
第9章 相似理论与量纲分析
能源与机械工程系
2020年3月22日星期日
流体力学
设
Tianjin Institute of Urban Construction
实际工程中，有时流动现象极为复杂，即使经过简化，也难以通过解析的 方法求解。在这种情况下，就必须通过实验的方法来解决。
向相同）
vn vm
un um
v
λv——速度比尺
时间比尺
t
tn tm
ln lm
vn vm
l v
加速度比尺
a
v t
v2 l
运动相似是实验的目的
2020年3月22日星期日
流体力学
设
Tianjin Institute of
（3）动力相似（同名力作用，且对应的同名力互成同一U比r例ba）n Construction