几何证明中的几种技巧
几何证明的基本方法与技巧
几何证明的基本方法与技巧几何证明，作为数学中的重要分支，通过演绎推理，以图形和数学原理为基础，用严密的逻辑和推理方法来证明几何命题的真实性。
而在进行几何证明时，掌握基本方法与技巧是至关重要的。
本文将介绍几何证明的一些基本方法与技巧，以帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。
1. 逆证法逆证法是一种常用的证明方法，通过假设待证命题的反命题为真，然后推导出矛盾，从而得出待证命题为真的结论。
这种方法通常在证明难题中发挥重要作用，可以帮助我们从不同角度思考问题，找到新的解决方案。
例如，在证明两条平行线之间的夹角和两条平行线之间的交角相等时，我们可以先假设夹角和交角不相等，然后利用已知条件和几何定理推导出矛盾的结论，从而得出两条平行线之间的夹角和交角相等的结论。
2. 反证法反证法是通过对待证命题的否定进行推理，从而证明待证命题为真的一种方法。
与逆证法类似，反证法也是通过假设反命题为真，然后推导出矛盾的结论来证明待证命题为真。
例如，在证明勾股定理时，我们可以先假设存在一个非直角三角形，其三边不满足勾股定理的条件，然后利用数学推理和几何定理推导出矛盾的结论，从而得出勾股定理成立的结论。
3. 直接证明直接证明是最常用的证明方法之一，通过基于已知条件和几何定理的合理推理，直接表明待证命题的真实性。
例如，在证明等腰三角形的两边相等时，我们可以直接使用等腰三角形的定义和勾股定理，结合已知条件推导出两边相等的结论。
4. 分类讨论在某些复杂的几何证明中，往往需要根据不同的情况进行分类讨论，以求得完整的证明。
例如，在证明平行四边形的性质时，我们可以根据已知条件分别讨论不同情况下的结论，如边相等、对角线相等、对角线垂直等，然后通过适当的推导和几何定理得出总结论。
5. 数学归纳法数学归纳法是一种通过证明命题在某个特定情况下成立，然后推广到更一般情况的方法。
例如，在证明n边形内角和公式时，我们可以先证明三角形内角和为180度，然后通过归纳推理，证明四边形、五边形等情况下的内角和公式，最终得出n边形内角和公式的一般结论。
初中数学几何证明题思路方法和技巧
初中数学几何证明题思路方法和技巧
1.利用定义和性质：几何证明题通常需要用到几何图形的定义和性质，因此在做题前需要熟悉相关概念。
2. 运用相似三角形：相似三角形有着相同的角度和比例关系，
因此可以通过相似三角形来证明几何关系。
3. 利用角度和：三角形内角和为180度，四边形内角和为360度，因此可以通过计算角度和来证明几何关系。
4. 利用垂直和平行关系：垂直和平行线有着明显的几何特征，
因此可以通过垂直和平行关系来证明几何关系。
5. 利用勾股定理和正弦定理等定理：勾股定理和正弦定理等定
理是几何证明中常用的工具，可以通过运用这些定理来证明几何关系。
6. 利用反证法：反证法是数学证明中常见的方法，可以通过排
除其他可能性来证明几何关系。
7. 利用矛盾法：矛盾法也是数学证明中常见的方法，可以通过
假设相反的情况来证明几何关系。
在做几何证明题时，还需要注意以下一些技巧：
1. 画图：画图可以帮助我们更好地理解几何关系，同时也可以
在证明中提供一些线索。
2. 标记线段和角度：标记线段和角度可以使证明过程更加清晰，方便读者理解。
3. 步骤清晰：证明过程需要步骤清晰、逻辑性强，不能出现漏
洞或矛盾。
4. 注意细节：几何证明中有时需要注意一些细节问题，例如判
断角度是否是锐角或钝角，判断线段是否相等等。
综上所述，初中数学几何证明题需要掌握一定的思路方法和技巧，并且需要认真、仔细地推导证明。
数学中的几何证明学习几何证明的基本方法与技巧
数学中的几何证明学习几何证明的基本方法与技巧几何证明是数学中的重要分支，它通过逻辑推理和形象化的图示，来证明几何命题的正确性。
学习几何证明需要一定的方法和技巧，本文将介绍几何证明学习的基本方法和技巧。
一、几何证明的基本方法1. 形象思维：几何证明需要我们将问题形象化，通过观察和分析几何图形的特点，找到关键的几何性质，从而推导出所需要证明的结论。
因此，建立形象思维是学习几何证明的基础。
2. 逻辑推理：几何证明是通过逻辑推理来达到结论的，只有逻辑严密的推理才能使证明过程正确。
在几何证明中，我们可以运用假设、反证法、归纳法等逻辑推理方法，分析几何图形的性质和条件，进行推导和引出结论。
3. 利用定理：几何学中有许多重要的定理，学习几何证明时可以利用这些定理作为推理的基础。
比如，利用平行线的性质、三角形的性质、圆锥的性质等，可以推导出更复杂的几何命题。
因此，熟练掌握和灵活运用各种几何定理是学习几何证明的重要方法之一。
二、几何证明的技巧1. 构造辅助线：在几何证明中，有时候需要构造一些辅助线来帮助我们证明几何命题。
构造辅助线可以改变问题的形式，使证明过程更加简单明了。
因此，在学习几何证明时，要善于运用构造辅助线的技巧。
2. 利用对称性：对称性是几何形体常见的性质之一。
在证明中，我们可以利用对称性来简化推理，通过证明形状对称的一部分即可推出整个形状的性质。
因此，在几何证明中，合理利用对称性是一个重要的技巧。
3. 反证法：反证法是几何证明中常用的一种方法，它通过假设所要证明的结论不成立，推导出矛盾的结论，从而证明原命题成立。
在学习几何证明时，要掌握反证法的思维方式和运用技巧。
4. 画图和标记：在几何证明中，画图和标记是非常重要的技巧。
画图可以帮助我们更好地理解问题，通过几何图形的形象表达，有助于我们对问题的把握。
同时，在画图过程中，合理的标记和注释也能够使证明过程更加清晰明了。
综上所述，几何证明的学习需要掌握基本的思维方法和技巧。
几何证明七种证明方法
几何证明七种证明方法1. 直接证明法直接证明法是几何证明中最基本的证明方法。
它是指通过已知命题的前提条件，推导出结论的证明过程。
这种方法常用于证明角度、线段、三角形及其性质等基本几何命题。
证明一个角等于另一个角时，可以使用直接证明法。
首先给定已知角，再通过几何定理或性质，推导出待证角等于已知角的过程，从而证明结论。
2. 反证法反证法是指假设命题的反命题为真，然后推导出与已知条件矛盾的结果，从而推翻假设，证明原命题为真的一种证明方法。
证明一个三角形为等腰三角形时，可以使用反证法。
假设这个三角形不是等腰三角形，那么它就不满足等腰三角形的性质，从而导致推导出与已知条件矛盾的结果，于是得出结论，该三角形是等腰三角形。
3. 归纳法归纳法是建立在归纳推理基础上的证明方法。
它是指通过证明某些基础情况成立，并证明当基础情况成立时，下一步情况也成立的方式，推导出全部情况都成立的结论。
证明一个多边形的内角和公式对于任意的n边形都成立时，可以使用归纳法。
先证明n=3时公式成立，再证明当n=k时公式成立，则根据归纳法可以得出，对于任意的n边形，公式都成立。
4. 数学归纳法数学归纳法是一种比普通归纳法更为严谨的证明方法。
它要求在归纳推理基础上，必须满足以下两个条件：（1）基础情况：证明当n等于某个正整数时，结论成立。
（2）归纳步骤：证明若当n等于k时结论成立，则当n等于k+1时结论也成立。
证明若干正整数的和大于等于它们的积时，可以使用数学归纳法。
首先证明当n=2时结论成立，即a1+a2>=2a1a2。
然后假设当n=k时结论成立，即a1+a2+...+ak>=ka1a2...ak。
再证明当n=k+1时结论也成立，即a1+a2+...+ak+ak+1>=（k+1）a1a2...akak+1，即得证。
5. 可逆推理法可逆推理法是一种利用“等价命题”的方法推导出结论的证明方法。
它是指若命题A等价于命题B，则命题B成立时命题A也成立。
几何证明的方法与技巧
几何证明的方法与技巧几何证明是数学中的重要部分，它要求我们运用几何知识和推理能力来论证、解释和证明一些几何命题。
在几何证明的过程中，方法与技巧起到了至关重要的作用。
本文将介绍一些常用的几何证明方法与技巧，帮助读者提升解题能力。
一、数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明方法，它通常用于证明具有递归关系的命题。
在几何证明中，数学归纳法同样适用。
例如，当我们需要证明一个关于三角形的性质对于所有三角形都成立时，可以采用数学归纳法。
首先，证明当三角形是某个基本形状（如等边三角形）时，该性质成立；然后，假设该性质对于一个具有n条边的三角形成立，再利用该性质证明对于一个具有n+1条边的三角形也成立。
通过这种逐步推理的方式，我们可以得出结论。
二、反证法反证法是一种常用的证明方法，在几何证明中也经常使用。
当我们需要证明一个命题时，可以先假设反命题成立，然后经过推理得出一个矛盾的结论，从而证明原命题成立。
在几何证明中，反证法可以用于证明两个线段不相等、两个角度不相等等情况。
通过推理可以得出，如果反命题成立，则会导致矛盾，从而证明原命题成立。
三、等价命题等价命题是一种常用的证明方法，它将一个需证明的命题转化为一个已知的等价命题，从而简化证明过程。
在几何证明中，等价命题常常用于证明两个图形的相似性或等量性。
通过找到两个图形之间的对应关系，并利用已知的几何性质证明它们之间的相似性或等量性，可以简化证明过程，提高解题效率。
四、引理法引理法是一种通过引入辅助命题来解决主命题的证明方法。
在几何证明中，我们经常会遇到一些复杂的命题，难以直接证明。
这时，可以通过引入一个辅助命题来推导主命题的证明。
辅助命题通常是一个中间结论，与主命题有关，但相对容易证明。
通过先证明这个辅助命题，再利用它来证明主命题，可以简化证明过程。
五、辅助线法辅助线法是一种通过引入辅助线来辅助证明的方法，常用于几何证明中。
当我们在几何证明过程中遇到复杂的图形时，往往可以通过引入一条或多条辅助线来得到更简单的结构，从而更容易进行推导和证明。
几何证明中的几种技巧(教师用)
几何证明中的几种技巧一．角平分线－－轴对称１．已知在ΔABC 中，Ｅ为ＢＣ的中点，ＡＤ平分BAC ∠，BD AD ⊥于Ｄ．ＡＢ＝９，ＡＣ＝１３．求ＤＥ的长．CBADECBADEF分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD ≌ΔAFD ．则ＢＤ＝ＤＦ．又ＢＥ＝ＥＣ，即ＤＥ为ΔBCF 的中位线．∴11()222DE FC AC AB ==-=．２．已知在ΔABC 中，108A ∠=，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分ABC ∠．求证：ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．DABCDABCE分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD ≌ΔBED ．由已知可得：18ABD DBE ∠=∠=，108A BED ∠=∠= ，36C ABC ∠=∠= ．∴72DEC EDC ∠=∠=，∴ＣＤ＝ＣＥ，∴ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．３．已知在ΔABC 中，100A ∠=，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分ABC ∠．求证：ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．ABCDABCDEF分析：在ＢＣ上分别截取ＢＥ＝ＢＡ，ＢＦ＝ＢＤ．易证ΔABD ≌ΔEBD ．∴ＡＤ＝ＥＤ，100A BED ∠=∠= ．由已知可得：40C ∠= ，20DBF ∠= ．由∵ＢＦ＝ＢＤ，∴80BFD ∠=．由三角形外角性质可得：40CDF C ∠==∠．∴ＣＦ＝ＤＦ． ∵100BED ∠=，∴80BFD DEF ∠=∠=，∴ＥＤ＝ＦＤ＝ＣＦ，∴ＡＤ＝ＣＦ，∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．4．已知在ΔABC 中，AC BC ⊥，CE AB ⊥，ＡＦ平分CAB ∠，过Ｆ作ＦＤ∥ＢＣ ，交ＡＢ于Ｄ．求 证：ＡＣ＝ＡＤ．ACBEFDAC BEFDG分析：延长ＤＦ交ＡＣ于Ｇ．∵ＦＤ∥ＢＣ，ＢＣ⊥ＡＣ，∴ＦＧ⊥ＡＣ． 易证ΔAGF ≌ΔAEF ．∴ＥＦ＝ＦＧ．则易证ΔGFC ≌ΔEFD ．∴ＧＣ＝ＥＤ． ∴ＡＣ＝ＡＤ．５．如图（１）所示，ＢＤ和ＣＥ分别是ABC 的外角平分线，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＤ于Ｆ，ＡＧ⊥ＣＥ于Ｇ，延长ＡＦ及ＡＧ与ＢＣ相交，连接ＦＧ．（１）求证：1()2FG AB BC CA =++（２）若（a)ＢＤ与ＣＥ分别是ABC 的内角平分线（如图（２））；(b)ＢＤ是ΔABC 的内角平分线，ＣＥ是ΔABC 的外角平分线（如图（３））．则在图（２）与图（３）两种情况下，线段ＦＧ与ΔABC 的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．GFABCE D HI FGA BCD E IHGFABCDE I H图（１） 图（２） 图（３）分析：图（１）中易证ΔABF ≌ΔIBF 及ΔACG ≌ΔHCG ．∴有ＡＢ＝ＢＩ，ＡＣ＝ＣＨ及ＡＤ＝ＩＤ，ＡＧ＝ＧＨ．∴ＧＦ为ΔAIH 的中位线．∴1()2FG AB BC CA =++．同理可得图（２）中1()2FG AB CA BC =+-；图（３）中1()2FG BC CA AB =+-６．如图，ΔABC 中，Ｅ是ＢＣ边上的中点，ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，交BAC ∠的平分线ＡＤ于Ｄ，过Ｄ作ＤＭ⊥ＡＢ于Ｍ，作ＤＮ⊥ＡＣ于Ｎ．求证：ＢＭ＝ＣＮ．ABCEDNMC BAEDNM分析：连接ＤＢ与ＤＣ．∵ＤＥ垂直平分ＢＣ，∴ＤＢ＝ＤＣ．易证ΔAMD ≌ΔAND ． ∴有ＤＭ＝ＤＮ．∴ΔBMD ≌ΔCND （ＨＬ）．∴ＢＭ＝ＣＮ．７．如图，在ΔABC 中，2B C ∠=∠，ＡＤ平分BAC ∠．求证：ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．ABCDABCDE分析：在ＡＣ上截取ＡＥ＝ＡＢ，连接ＤＥ．则有ΔABD ≌ΔAED ．∴ＢＤ＝ＤＥ． ∴B AED C EDC ∠=∠=∠+∠．又∵2B C ∠=∠，∴C EDC ∠=∠． ∴ＤＥ＝ＣＥ．∴ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．８．在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ平分BAD ∠，过Ｃ作ＣＥ⊥ＡＢ于Ｅ，且1()2AE AB AD =+．求ABC ADC ∠+∠的度数．CAE BDCAE B DF分析：延长ＡＢ到Ｆ，使得ＢＦ＝ＡＤ．则有ＣＥ垂直平分ＡＦ，∴ＡＣ＝ＦＣ． ∴F CAE DAC ∠=∠=∠．∴有ΔCBF ≌ΔCDA （ＳＡＳ）．∴CBF D ∠=∠． ∴180ABC ADC ∠+∠=．二．旋转１．如图，已知在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ在ＢＣ上，Ｆ在ＤＣ上，ＢＥ＋ＤＦ＝ＥＦ． 求证：45EAF ∠=．BD A C FEBD A CGFE分析：将ΔADF 绕Ａ顺时针旋转90得ABG ．∴GAB FAD ∠=∠．易证ΔAGE ≌ΔAFE ．∴ 1452FAE GAE FAG ∠=∠=∠=２如图，在ABC 中，90ACB ∠=，ＡＢ＝ＢＣ，Ｄ为ＡＣ中点．ＡＢ的延长线上任意一点Ｅ．ＦＤ⊥ＥＤ交ＢＣ延长线于Ｆ．求证：ＤＥ＝ＤＦ．AB CFEDABCFED分析：连接ＢＤ．则BDE 可视为CDF 绕Ｄ顺时针旋转90所得．易证ＢＤ⊥ＤＣ与ＢＤ＝ＣＤ．则BDE CDF ∠=∠．又易证135DBE DCF ∠=∠=．∴ΔBDE ≌ΔCDF ．∴ＤＥ＝ＤＦ．３．如图，点Ｅ在ΔABC 外部，Ｄ在边ＢＣ上，ＤＥ交ＡＣ于Ｆ．若123∠=∠=∠， ＡＣ＝ＡＥ．求证：ΔABC ≌ΔADE ．213EDCB A分析：若ΔABC ≌ΔADE ，则ΔADE 可视为ΔABC 绕Ａ逆时针旋转1∠所得．则有B ADE ∠=∠． ∵12B ADE ∠+∠=∠+∠，且12∠=∠．∴B ADE ∠=∠．又∵13∠=∠． ∴BAC DAE ∠=∠．再∵ＡＣ＝ＡＥ．∴ΔABC ≌ΔADE ．４．如图，ΔABC 与ΔEDC 均为等腰直角三角形，且Ｃ在ＡＤ上．ＡＥ的延长线交ＢＤ于Ｆ．请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程．AE C BDF分析：将Rt ΔBCD 视为Rt ΔACE 绕Ｃ顺时针旋转90即可．５．如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ．BD ACFE分析：将ΔABF 视为ΔADE 绕Ａ顺时针旋转90即可．∵90FAB BAE EAD BAE ∠+∠=∠+∠=．∴FBA EDA ∠=∠．又∵90FBA EDA ∠=∠=，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF ≌ΔADE ．（ＡＳＡ）∴ＤＥ＝ＤＦ．三．平移１．如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＣ＝８，ＢＤ＝１５．求梯形ＡＢＣＤ的中位线长．ACBDACBDE分析：延长ＤＣ到Ｅ使得ＣＥ＝ＡＢ．连接ＢＥ．可得ACEB ．可视为将ＡＣ平移到ＢＥ．ＡＢ平移到ＣＥ．由勾股定理可得ＤＥ＝１７．∴梯形ＡＢＣＤ中位线长为８．５．２．已知在ΔABC 中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＡＢ上一点，Ｅ为ＡＣ延长线一点，且ＢＤ＝ＣＥ．求证：ＤＭ＝ＥＭ．MABC ED M ABC EDF分析：作ＤＦ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｆ．易证ＤＦ＝ＢＤ＝ＣＥ．则ＤＦ可视为ＣＥ平移所得． ∴四边形ＤＣＥＦ为DCEF ．∴ＤＭ＝ＥＭ．四．中点的联想 （一）倍长１．已知，ＡＤ为ABC 的中线．求证：ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．DBCADEBCA分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＥ＝２ＡＤ．连接ＢＥ易证ΔBDE ≌ΔCDA ． ∴ＢＥ＝ＡＣ．∴ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．２．如图，ＡＤ为ΔABC 的角平分线且ＢＤ＝ＣＤ．求证：ＡＢ＝ＡＣ．DBACDBACE分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＤ＝ＥＤ．易证ΔABD ≌ΔECD ．∴ＥＣ＝ＡＢ． ∵BAD CAD ∠=∠．∴E CAD ∠=∠．∴ＡＣ＝ＥＣ＝ＡＢ．３．已知在等边三角形ＡＢＣ中，Ｄ和Ｅ分别为ＢＣ与ＡＣ上的点，且ＡＥ＝ＣＤ．连接ＡＤ与ＢＥ交于点Ｐ，作ＢＱ⊥ＡＤ于Ｑ．求证：ＢＰ＝２ＰＱ．D P CBAEQD P CBAFEQ分析：延长ＰＤ到Ｆ使得ＦＱ＝ＰＱ．在等边三角形ＡＢＣ中ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，60ABD C ∠=∠=．又∵ＡＥ＝ＣＤ，∴ＢＤ＝ＣＥ．∴ΔABD ≌ΔBCE ．∴CBE BAD ∠=∠．∴60BPQ PBA PAB PBA DBP ∠=∠+∠=∠+∠=． 易证ΔBPQ ≌ΔBFQ ．得ＢＰ＝ＢＦ，又60BPD ∠=．∴ΔBPF 为等边三角形． ∴ＢＰ＝２ＰＱ．（二）中位线１．已知在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，Ｅ和Ｆ分别为ＢＤ与ＡＣ的中点．求证：1()2EF BC AD =-．CA D BEFCA DBEFG分析：取ＤＣ中点Ｇ，连接ＥＧ与ＦＧ．则ＥＧ为ΔBCD 中位线，ＦＧ为ΔACD 的中位线．∴ＥＧ∥＝12BC ，ＦＧ∥＝12AD ．∵ＡＤ∥ＢＣ．∴过一点Ｇ有且只有一条直线平行于已知直线ＢＣ，即Ｅ、Ｆ、Ｇ共线．∴1()2EF BC AD =-．（三）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半１．已知，在ABCD 中12AB BD =．Ｅ为ＯＡ的中点，Ｆ为ＯＤ中点，Ｇ为ＢＣ中点．求证：ＥＦ＝ＥＧ．O C DBAEFGO CDBAEFG分析：连接ＢE ．∵12AB BD =，ＡＥ＝ＯＥ．∴ＢＥ⊥ＣＥ，∵ＢＧ＝ＣＧ．∴12EG BC =．又ＥＦ为ΔAOD 的中位线．∴12EF AD =．∴ＥＦ＝ＥＧ．２．在ΔABC 中，ＡＤ是高，ＣＥ是中线，ＤＣ＝ＢＥ，ＤＧ⊥ＣＥ于Ｇ． 求证：（１）ＣＧ＝ＥＧ．（２）2B BCE ∠=∠．ECDGABECDGAB分析：（１）连接ＤＥ．则有ＤＥ＝ＢＥ＝ＤＣ．∴Rt ΔCDG ≌Rt ΔEDG （ＨＬ）． ∴ＥＧ＝ＣＧ．（２）∵ＤＥ＝ＢＥ．∴B BDE DEC BCE ∠=∠=∠+∠． ∵ＤＥ＝ＣＤ．∴DEC BCE ∠=∠．∴2B BCE ∠=∠．３．已知：在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，60BOC ∠=．Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是ＯＡ、ＯＢ、ＣＤ的中点．求证：ΔEFG 是等边三角形．CO BDA E F GCOBDA E FG分析：连接ＥＤ、ＦＣ．易证ΔAOD 与ΔBOC 均为正三角形．由已知可得12EF AB =．在Rt ΔCDE 与Rt ΔCDF 中，有12FG EG DC ==．∴ＥＦ＝ＥＧ＝ＦＧ．即EFG 是等边三角形．六．等面积法１．已知在ΔABC 中，90BAC ∠=，ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ．ＡＢ＝８，ＡＣ＝１５． 求ＡＤ的长．AB CD分析：1122ABC S AB AC BC AD == ．２．已知Ｐ为矩形ＡＢＣＤ中ＡＤ上的动点（Ｐ不与Ａ或Ｄ重合）．ＰＥ⊥ＡＣ于Ｅ，ＰＦ⊥ＢＤ于Ｆ．AB a =，BC b =．问：ＰＥ＋ＰＦ的值是否为一定值？若是，求出此值并证明；若不是，说明理由．OABCDPEFOABCDPEF分析：连接ＰＢ、ＰＣ．易得APC APB S S = ．∴12APC APB ABD S S S ab +==．又2212APC S PE a b =+ ，2212DPB S PF a b =+ ．∴22ab PE PF a b +=+．３．已知在矩形ＡＢＣＤ中，ＤＥ＝ＦＧ，ＧＰ⊥ＤＥ于Ｐ，ＤＱ⊥ＦＧ于Ｑ． 求证：Ｔ在DOG ∠的平分线上．DTOA BCE F P QDTOA B CEF P Q分析：连接ＥＧ、ＦＤ及ＯＴ．∵1122DGE S DG BC DE PG == 及1122DGF S DG BC GF QD == ．又∵ＤＥ＝ＦＧ，∴ＰＧ＝ＱＤ．易证RT ΔPGD ≌Rt ΔQDG （ＨＬ）．∴QDG PGD ∠=∠，ＰＤ＝ＱＧ，PDG QGD ∠=∠． ∴Rt ΔPDT ≌Rt ΔQGT （ＡＳＡ）．∴ＰＴ＝ＱＴ． 即Ｔ在DOG ∠的平分线上．。
高中数学教案几何证明的技巧
高中数学教案几何证明的技巧几何证明是数学学科中的重要内容之一，也是高中数学教学的难点和热点。
在几何证明中，运用正确的技巧能够使证明过程更加简明、直观。
本文将为您介绍一些高中数学教案中常用的几何证明技巧。
一、作图技巧1. 辅助线法: 在几何证明中，可以通过引入一些辅助线来简化问题。
辅助线可以帮助我们找到新的几何关系，从而更好地解决问题。
在引入辅助线时，需要根据题目要求合理选择辅助线的位置和方向。
2. 平移法: 平移法是指将某一个图形在平面内沿着一定方向平移，保持其形状不变。
通过平移法，可以将原本难以证明的问题转化为易于证明的问题。
在使用平移法时，需要注意平移的方向和距离的选择。
3. 折叠法: 折叠法是指将一张纸折叠成某种形状，从而得出一些几何性质。
通过折叠法，可以帮助我们发现一些隐藏的几何关系。
在使用折叠法时，需要注意折叠的方法和角度的选择。
二、几何关系的运用1. 相似三角形: 相似三角形是几何证明中经常使用的关系。
在证明过程中，我们可以根据相似三角形的性质来推导出一些结论。
比如，如果两个三角形的对应角相等并且对应边成比例，则可以得出它们是相似三角形的结论。
2. 对称性: 对称性是几何证明中常用的一个工具。
通过利用图形的对称性，可以得出某些角相等、线段相等等几何性质。
在使用对称性时，需要注意选择具有对称性的图形和点。
3. 利用已知条件: 在几何证明中，我们可以充分利用已知条件来推导出未知结论。
比如，如果已知某两条直线平行，可以推导出两个对应角相等的结论。
三、逻辑推理的运用1. 反证法: 反证法是几何证明中常用的推理方法之一。
通过对假设的否定进行逻辑推理，可以得出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
在使用反证法时，需要清晰地列出假设和结论，并进行逻辑推理。
2. 数学归纳法: 数学归纳法是一种证明方法，通过从特殊到一般的推理过程，可以证明一个命题在所有情况下都成立。
在几何证明中，可以运用数学归纳法来证明一些一般性的几何性质。
高考数学中的几何证明技巧分享
高考数学中的几何证明技巧分享数学几何是高考中的重点和难点之一，尤其是几何证明题更是令很多学生头疼。
在高考中，几何证明题不仅考察学生对几何知识的理解和掌握，更重要的是考察学生的逻辑思维和推理能力。
为了帮助同学们更好地应对高考几何证明题，本文将分享一些几何证明的技巧和方法。
一、矩形与平行四边形证明技巧1. 使用面积法：利用矩形的性质，可以通过证明两个形状的面积相等来完成证明。
比如，在证明一个四边形是矩形时，可以通过证明其对角线相等，且对角线平分彼此的夹角来间接证明它是矩形。
2. 借助于垂直性质：矩形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分。
因此，在证明问题中，可以借助垂直性质来证明对角线的互相垂直关系，从而得出结论。
3. 利用中垂线的性质：平行四边形的对边互相平分，因此，可以通过证明两条边的中垂线互相垂直，来证明对边平行。
二、三角形证明技巧1. 利用相似三角形：相似三角形的性质经常被应用于几何证明中。
通过找出与待证三角形相似的已知三角形，可以直接得出结论。
例如，证明两个三角形相似后，可以利用相似三角形的性质推导出所需的结论。
2. 使用三角形的角平分线：三角形的角平分线将角分成相等的两部分，可以利用这个性质来构造等腰三角形或证明两个三角形相似。
常见的例子是证明一个三角形的两个角相等，可以通过角平分线的性质来证明。
三、圆形证明技巧1. 使用割线与切线的性质：割线与切线的关系是圆形证明中常用的技巧之一。
利用割线和切线的长度关系，可以推导出许多圆形的性质。
2. 利用弦与弧的关系：弦与弧是圆形证明中的重要概念。
通过证明弦长相等或弦等分弧，可以推导出许多与圆形有关的结论。
四、平行线证明技巧1. 使用平行线的性质：平行线的性质是几何证明中常用的技巧之一。
通过证明两条平行线之间的角关系，可以得出诸多结论。
2. 利用平行线和等角的关系：平行线和等角的关系也是几何证明中常见的技巧之一。
通过证明等角关系，可以推导出平行线的性质。
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几何证明中的几种技巧一．角平分线－－轴对称１．已知在ΔABC 中，Ｅ为ＢＣ的中点，ＡＤ平分BAC ∠，BD AD ⊥于Ｄ．ＡＢ＝９，ＡＣ＝１３．求ＤＥ的长．分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD ≌ΔAFD ．则ＢＤ＝ＤＦ．又ＢＥ＝ＥＣ，即ＤＥ为ΔBCF 的中位线．∴11()222DE FC AC AB ==-=．２．已知在ΔABC 中，108A ∠=o，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分ABC ∠．求证：ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．BB分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD ≌ΔBED ．由已知可得：18ABD DBE ∠=∠=o，108A BED ∠=∠=o ，36C ABC ∠=∠=o ．∴72DEC EDC ∠=∠=o，∴ＣＤ＝ＣＥ，∴ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．３．已知在ΔABC 中，100A ∠=o，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分ABC ∠．求证：ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．BB分析：在ＢＣ上分别截取ＢＥ＝ＢＡ，ＢＦ＝ＢＤ．易证ΔABD ≌ΔEBD ．∴ＡＤ＝ＥＤ，100A BED ∠=∠=o ．由已知可得：40C ∠=o ，20DBF ∠=o ．由∵ＢＦ＝ＢＤ，∴80BFD ∠=o．由三角形外角性质可得：40CDF C ∠==∠o．∴ＣＦ＝ＤＦ．∵100BED ∠=o，∴80BFD DEF ∠=∠=o ，∴ＥＤ＝ＦＤ＝ＣＦ，∴ＡＤ＝ＣＦ，∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．4．已知在ΔABC 中，AC BC ⊥，CE AB ⊥，ＡＦ平分CAB ∠，过Ｆ作ＦＤ∥ＢＣ ，交ＡＢ于Ｄ．求 证：ＡＣ＝ＡＤ．CBC B分析：延长ＤＦ交ＡＣ于Ｇ．∵ＦＤ∥ＢＣ，ＢＣ⊥ＡＣ，∴ＦＧ⊥ＡＣ． 易证ΔAGF ≌ΔAEF ．∴ＥＦ＝ＦＧ．则易证ΔGFC ≌ΔEFD ．∴ＧＣ＝ＥＤ． ∴ＡＣ＝ＡＤ．５．如图（１）所示，ＢＤ和ＣＥ分别是ABC V 的外角平分线，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＤ于Ｆ，ＡＧ⊥ＣＥ于Ｇ，延长ＡＦ及ＡＧ与ＢＣ相交，连接ＦＧ．（１）求证：1()2FG AB BC CA =++（２）若（a)ＢＤ与ＣＥ分别是ABC V 的内角平分线（如图（２））；(b)ＢＤ是ΔABC 的内角平分线，ＣＥ是ΔABC 的外角平分线（如图（３））．则在图（２）与图（３）两种情况下，线段ＦＧ与ΔABC 的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．图（１） 图（２） 图（３）分析：图（１）中易证ΔABF ≌ΔIBF 及ΔACG ≌ΔHCG ．∴有ＡＢ＝ＢＩ，ＡＣ＝ＣＨ及ＡＤ＝ＩＤ，ＡＧ＝ＧＨ．∴ＧＦ为ΔAIH 的中位线．∴1()2FG AB BC CA =++．同理可得图（２）中1()2FG AB CA BC =+-；图（３）中1()2FG BC CA AB =+-６．如图，ΔABC 中，Ｅ是ＢＣ边上的中点，ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，交BAC ∠的平分线ＡＤ于Ｄ，过Ｄ作ＤＭ⊥ＡＢ于Ｍ，作ＤＮ⊥ＡＣ于Ｎ．求证：ＢＭ＝ＣＮ．B分析：连接ＤＢ与ＤＣ．∵ＤＥ垂直平分ＢＣ，∴ＤＢ＝ＤＣ．易证ΔAMD ≌ΔAND ． ∴有ＤＭ＝ＤＮ．∴ΔBMD ≌ΔCND （ＨＬ）．∴ＢＭ＝ＣＮ．７．如图，在ΔABC 中，2B C ∠=∠，ＡＤ平分BAC ∠．求证：ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．分析：在ＡＣ上截取ＡＥ＝ＡＢ，连接ＤＥ．则有ΔABD ≌ΔAED ．∴ＢＤ＝ＤＥ． ∴B AED C EDC ∠=∠=∠+∠．又∵2B C ∠=∠，∴C EDC ∠=∠． ∴ＤＥ＝ＣＥ．∴ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．８．在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ平分BAD ∠，过Ｃ作ＣＥ⊥ＡＢ于Ｅ，且1()2AE AB AD =+．求ABC ADC ∠+∠的度数．分析：延长ＡＢ到Ｆ，使得ＢＦ＝ＡＤ．则有ＣＥ垂直平分ＡＦ，∴ＡＣ＝ＦＣ． ∴F CAE DAC ∠=∠=∠．∴有ΔCBF ≌ΔCDA （ＳＡＳ）．∴CBF D ∠=∠． ∴180ABC ADC ∠+∠=o．二．旋转１．如图，已知在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ在ＢＣ上，Ｆ在ＤＣ上，ＢＥ＋ＤＦ＝ＥＦ．求证：45EAF ∠=o．BB分析：将ΔADF 绕Ａ顺时针旋转90o得ABG V ．∴GAB FAD ∠=∠．易证ΔAGE ≌ΔAFE ．∴ 1452FAE GAE FAG ∠=∠=∠=o２如图，在ABC V 中，90ACB ∠=o，ＡＢ＝ＢＣ，Ｄ为ＡＣ中点．ＡＢ的延长线上任意一点Ｅ．ＦＤ⊥ＥＤ交ＢＣ延长线于Ｆ．求证：ＤＥ＝ＤＦ．分析：连接ＢＤ．则BDE V 可视为CDF V 绕Ｄ顺时针旋转90o所得．易证ＢＤ⊥ＤＣ与ＢＤ＝ＣＤ．则BDE CDF ∠=∠．又易证135DBE DCF ∠=∠=o．∴ΔBDE ≌ΔCDF ．∴ＤＥ＝ＤＦ．３．如图，点Ｅ在ΔABC 外部，Ｄ在边ＢＣ上，ＤＥ交ＡＣ于Ｆ．若123∠=∠=∠， ＡＣ＝ＡＥ．求证：ΔABC ≌ΔADE ．C分析：若ΔABC ≌ΔADE ，则ΔADE 可视为ΔABC 绕Ａ逆时针旋转1∠所得．则有B ADE ∠=∠． ∵12B ADE ∠+∠=∠+∠，且12∠=∠．∴B ADE ∠=∠．又∵13∠=∠． ∴BAC DAE ∠=∠．再∵ＡＣ＝ＡＥ．∴ΔABC ≌ΔADE ．４．如图，ΔABC 与ΔEDC 均为等腰直角三角形，且Ｃ在ＡＤ上．ＡＥ的延长线交ＢＤ于Ｆ．请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程．C BD分析：将Rt ΔBCD 视为Rt ΔACE 绕Ｃ顺时针旋转90o即可．５．如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ．E分析：将ΔABF 视为ΔADE 绕Ａ顺时针旋转90o即可．∵90FAB BAE EAD BAE ∠+∠=∠+∠=o．∴FBA EDA ∠=∠．又∵90FBA EDA ∠=∠=o，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF ≌ΔADE ．（ＡＳＡ）∴ＤＥ＝ＤＦ．三．平移１．如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＣ＝８，ＢＤ＝１５．求梯形ＡＢＣＤ的中位线长．E分析：延长ＤＣ到Ｅ使得ＣＥ＝ＡＢ．连接ＢＥ．可得ACEB Y ．可视为将ＡＣ平移到ＢＥ．ＡＢ平移到ＣＥ．由勾股定理可得ＤＥ＝１７．∴梯形ＡＢＣＤ中位线长为８．５．２．已知在ΔABC 中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＡＢ上一点，Ｅ为ＡＣ延长线一点，且ＢＤ＝ＣＥ．求证：ＤＭ＝ＥＭ．EE分析：作ＤＦ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｆ．易证ＤＦ＝ＢＤ＝ＣＥ．则ＤＦ可视为ＣＥ平移所得． ∴四边形ＤＣＥＦ为DCEF Y ．∴ＤＭ＝ＥＭ．四．中点的联想 （一）倍长１．已知，ＡＤ为ABC V 的中线．求证：ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＥ＝２ＡＤ．连接ＢＥ易证ΔBDE ≌ΔCDA ． ∴ＢＥ＝ＡＣ．∴ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．２．如图，ＡＤ为ΔABC 的角平分线且ＢＤ＝ＣＤ．求证：ＡＢ＝ＡＣ．分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＤ＝ＥＤ．易证ΔABD ≌ΔECD ．∴ＥＣ＝ＡＢ． ∵BAD CAD ∠=∠．∴E CAD ∠=∠．∴ＡＣ＝ＥＣ＝ＡＢ．３．已知在等边三角形ＡＢＣ中，Ｄ和Ｅ分别为ＢＣ与ＡＣ上的点，且ＡＥ＝ＣＤ．连接ＡＤ与ＢＥ交于点Ｐ，作ＢＱ⊥ＡＤ于Ｑ．求证：ＢＰ＝２ＰＱ．分析：延长ＰＤ到Ｆ使得ＦＱ＝ＰＱ．在等边三角形ＡＢＣ中ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，60ABD C ∠=∠=o．又∵ＡＥ＝ＣＤ，∴ＢＤ＝ＣＥ．∴ΔABD ≌ΔBCE ．∴CBE BAD ∠=∠．∴60BPQ PBA PAB PBA DBP ∠=∠+∠=∠+∠=o． 易证ΔBPQ ≌ΔBFQ ．得ＢＰ＝ＢＦ，又60BPD ∠=o．∴ΔBPF 为等边三角形． ∴ＢＰ＝２ＰＱ．（二）中位线１．已知在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，Ｅ和Ｆ分别为ＢＤ与ＡＣ的中点．求证：1()2EF BC AD =-．CCG分析：取ＤＣ中点Ｇ，连接ＥＧ与ＦＧ．则ＥＧ为ΔBCD 中位线，ＦＧ为ΔACD 的中位线．∴ＥＧ∥＝12BC ，ＦＧ∥＝12AD ．∵ＡＤ∥ＢＣ．∴过一点Ｇ有且只有一条直线平行于已知直线ＢＣ，即Ｅ、Ｆ、Ｇ共线．∴1()2EF BC AD =-．（三）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半１．已知，在ABCD Y 中12AB BD =．Ｅ为ＯＡ的中点，Ｆ为ＯＤ中点，Ｇ为ＢＣ中点．求证：ＥＦ＝ＥＧ．分析：连接ＢE ．∵12AB BD =，ＡＥ＝ＯＥ．∴ＢＥ⊥ＣＥ，∵ＢＧ＝ＣＧ．∴12EG BC=．又ＥＦ为ΔAOD 的中位线．∴12EF AD =．∴ＥＦ＝ＥＧ．２．在ΔABC 中，ＡＤ是高，ＣＥ是中线，ＤＣ＝ＢＥ，ＤＧ⊥ＣＥ于Ｇ． 求证：（１）ＣＧ＝ＥＧ．（２）2B BCE ∠=∠．分析：（１）连接ＤＥ．则有ＤＥ＝ＢＥ＝ＤＣ．∴Rt ΔCDG ≌Rt ΔEDG （ＨＬ）． ∴ＥＧ＝ＣＧ．（２）∵ＤＥ＝ＢＥ．∴B BDE DEC BCE ∠=∠=∠+∠． ∵ＤＥ＝ＣＤ．∴DEC BCE ∠=∠．∴2B BCE ∠=∠．３．已知：在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，60BOC ∠=o．Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是ＯＡ、ＯＢ、ＣＤ的中点．求证：ΔEFG 是等边三角形．分析：连接ＥＤ、ＦＣ．易证ΔAOD 与ΔBOC 均为正三角形．由已知可得12EF AB =．在Rt ΔCDE 与Rt ΔCDF 中，有12FG EG DC ==．∴ＥＦ＝ＥＧ＝ＦＧ．即EFG V 是等边三角形．六．等面积法１．已知在ΔABC 中，90BAC ∠=o，ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ．ＡＢ＝８，ＡＣ＝１５．求ＡＤ的长．分析：1122ABC S AB AC BC AD ==V g g ．２．已知Ｐ为矩形ＡＢＣＤ中ＡＤ上的动点（Ｐ不与Ａ或Ｄ重合）．ＰＥ⊥ＡＣ于Ｅ，ＰＦ⊥ＢＤ于Ｆ．AB a =，BC b =．问：ＰＥ＋ＰＦ的值是否为一定值？若是，求出此值并证明；若不是，说明理由．CC分析：连接ＰＢ、ＰＣ．易得APC APB S S =V V ．∴12APCAPB ABD S S S ab +==V V V ．又12APC S PE =V ，12DPB S PF =V∴PE PF +=３．已知在矩形ＡＢＣＤ中，ＤＥ＝ＦＧ，ＧＰ⊥ＤＥ于Ｐ，ＤＱ⊥ＦＧ于Ｑ． 求证：Ｔ在DOG ∠的平分线上．DE FDE F分析：连接ＥＧ、ＦＤ及ＯＴ．∵1122DGE S DG BC DE PG ==V g g 及1122DGF S DG BC GF QD ==V g g ．又∵ＤＥ＝ＦＧ，∴ＰＧ＝ＱＤ．易证RT ΔPGD ≌Rt ΔQDG （ＨＬ）．∴QDG PGD ∠=∠，ＰＤ＝ＱＧ，PDG QGD ∠=∠． ∴Rt ΔPDT ≌Rt ΔQGT （ＡＳＡ）．∴ＰＴ＝ＱＴ． 即Ｔ在DOG ∠的平分线上．。