点、直线与圆的位置关系 教案
第 13 讲
讲
点、直线和圆的位置关系
1
概述
适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域 人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点 1、点和圆的位置关系
2、直线和圆的位置关系
3、切线的判定、切线长定理
教学目标 1、掌握点和圆及直线和圆的位置关系并能解决相关的数学问题
2、培养学习数学的兴趣，提升解题能力
教学重点 掌握点和圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系
教学难点 直线和圆的位置关系综合题的解答.
【教学建议】 《点、直线与圆的位置关系》是图形领域的基础知识，是学习《圆》的重要内容之一，
学习它为后面学习圆与圆的位置关系、圆的切线等知识打下了坚实的“基石”，直接关系着 圆的有关知识的学习，所以它在教材中起着承上启下的作用。
另外，本节课通过“观察——猜想——合作交流——概括、归纳”的途径，运用运动变 化的观点揭示了知识的发生过程及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类、类比、 化归等数学思想，有助于培养学生思维的严谨性和深刻性。因此，这节课无论从知识上，还 是在培养学生的能力方面都起着至关重要的作用。
【知识导图】
2
与圆有关的位置关系
点与直线的位置关系 点与直线的位置关系
切线
切线的判定 切线长定理
教学过程
一、导入
【教学建议】 导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状
态。导入的方法很多， 以下以情境导入为例:
问题：观察上面太阳升起的图片，思考直线和圆有怎样的位置关系？
二、复习预习
3
1、圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半
2、圆周角定理的推论： （1）同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. （2）半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 3、其它推论：①圆周角度数定理，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. ②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半. ③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等. ④圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.
三、知识讲解 考点 1 点与圆的三种位置关系 如（图弦1 所、示弧，）设⊙O 的半径为 r，
A 点在圆内，OA＜r B 点在圆上，OB= r C 点在圆外，OC＞r
图1 反之，在同一平面上，已知的半径为 r⊙O，和 A，B，C 三点： 若 OA＜r，则 A 点在圆内 若 OB= r，则 B 点在圆上 若 OC＞r，则 C 点在圆外
考点 2 直线和圆的位置关系
4
1、当 d＞r 时，直线与圆相离(如图所示）
2、当 d＜r 时，直线与圆相交（如图所示）
3、当 d=r 时，直线与圆相切（如图所示），此时直线即为圆的切线.
考点 3 切线的判定和性质
1、切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径 2、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，经过切点且垂直于切线的直线必 经过圆心.
3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
考点 4 切线长定理
5
1、切线长定义：从圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线 长(如图 AB 长度即为切线长）.
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，这两条切线长相等，这一点和圆心的连线平 分这两条切线的夹角.如图所示，PA,PB 为圆的两条切线，则 PA=PB,∠APO=∠BPO.
考点 5 三角形的内心外心
经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三 角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接 三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离 相等。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内 心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，它 到三角形三边的距离相等。
四 、例题精析 类型一 点和圆的三种位置关系
例题 1
6
如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，以顶点 D 为圆心作半径为 r 的圆，若要求另外三个顶 点 A. B. C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则 r 的取值范围是___.
【解析】在直角△ABD 中，CD=AB=4，AD=3，
则 BD= 32 ? 42 =5.
由图可知 3
已知⊙O 的半径为 5cm，P 为圆外一点，A 为线段 OP 的中点，当 OP=12 时，点 A 和⊙O 的位 置关系是（ ） A．点 A 在⊙O 内 B．点 A 在⊙O 外 C．点 A 在⊙O 上 D．无法确定 【解析】∵A 为线段 OP 的中点，OP=12， ∴OA=6， ∵OA＞5，∴点 A 在⊙O 外， 故选 B．
类型二 直线和圆的位置关系 例题 1
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如图所示，正方形 ABCD 的边长为 2，AC 和 BD 相交于点 O，过 O 作 EF∥AB，交 BC 于 E，交 AD 于 F，则以点 B 为圆心， 长为半径的圆与直线 AC，EF 的位置关系分别是多少？
【解析】由题中已知条件，得
BO⊥AC，BO= BD=
=，
即点 B 到 AC 的距离为 ，与⊙B 的半径相等； ∴直线 AC 与⊙B 相切． ∵EF∥AB，∠ABC=90°， ∴BE⊥EF，垂足为 E．
且 BE= BC= ×2=1＜ ， ∴直线 EF 与⊙B 相交． 【总结与反思】此题重点是根据题意和正方形的性质，分别找到圆心到直线的距离，再根据 数量关系判断其位置关系．若 d＜r，则直线与圆相交；若 d=r，则直线于圆相切；若 d＞r， 则直线与圆相离．
例题 2
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以点 A（3，0）为圆心的圆与 x 轴交于原点 O 和点 B，直 线 l 与 x 轴、y 轴分别交于点 C（-2，0）、D（0，3）． （1）求出直线 l 的解析式； （2）若直线 l 绕点 C 顺时针旋转，设旋转后的直线与 y 轴交于点 E（0，b），且 0＜b＜3， 在旋转的过程中，直线 CE 与⊙A 有几种位置关系？试求出每种位置关系时，b 的取值范围．
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【解析】（1）设直线 l 的解析式为：y=kx+b，
将点 C（-2，0）、D（0，3）的坐标代入有：
，
解得：k= ，b=3．
∴直线 l 的解析式为：y= ．
（2）由题意得：旋转得到的直线 l 的解析式为：y=
，
当直线与圆相切时，有 =3，
解得：b= ，
∴当 0＜b 时，直线与圆相离；
当 b= 时，直线与圆相切；当 b＜3 时，直线与圆相交． 【总结与反思】（1）设直线 l 的解析式为：y=kx+b，将点 C（-2，0）、D（0，3）的坐标 代入求出 k，b 的值即可； （2）直线 CE 与⊙A 有相交、相切和相离 3 种位置关系，然后分别求出对应情况下的 b 的取 值范围即可．
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类型三 切线的判定与性质
例题 1
如图，在直角坐标系 XOY 中，已知两点 O1（3，0）、B（-3，0），⊙O1 与 X 轴交于原点 0 和 点 A，E 是 Y 轴上的一个动点，设点 E 的坐标为（0，m）． （1）当点 O1 到直线 BE 的距离等于 3 时，问直线 BE 与圆的位置关系如何？求此时点 E 的坐 标及直线 BE 的解析式； （2）当点 E 在 Y 轴上移动时，直线 BE 与⊙O1 有哪几种位置关系？直接写出每种位置关系时 的 m 的取值范围．
【解析】（1）当 m＞0 时，如图所示：
由已知得 BE 是⊙O1 的切线，设切点为 M，连接 O1M，则 O1M⊥BM， ∴O1M=3， ∵O1（3，0）、B（-3，0）， ∴BO1=6，
∴BM=
=
又∵OE⊥BO，
∴Rt△BOE∽Rt△BMO1，
=3 ，
10
∴ = ，即 = ， ∴OE= ，∴m= ，∴E（0， ） 设此时直线 BE 的解析式是 y=kx+m，
将 B（-3，0）及 E（0， ）代入上式，解得
，
∴直线 BE 的解析式为：y= x+ ， 当 m＜0 时，E（0，- ）
由圆的对称性可得：k=- ，m=- 时，直线 BE 也与⊙O1 相切，
同理可得：y=- x- ． （2）当 m＞ 或 m＜- 时，直线与圆相离， 当 m= 或 m=- 时，直线与圆相切， 当- m＜ 时，直线与圆相交． 【总结与反思】（1）根据题意得出⊙O1 的半径，判断出直线 BE 与⊙O1 的关系，根据题意 画出直线 BE，连接 O1M，由利用勾股定理求出 BM 的长，由相似三角形的判定定理得出 Rt△BMO1 ∽Rt△BOE，求出 BE 的长，进而得出 E 点坐标，用带定系数法即可求出直线 BE 的解析式， 根据对称的性质可知当 m＜0 时的直线解析式； （2）根据（1）所求出的 m 的值，分三种情况进行讨论，即可得出直线 BE 与⊙O1 的位置关 系．
例题 2
在“书香八桂，阅读圆梦”读书活动中，某中学设置了书法、国学、诵读、演讲、征文四个 比赛项目（2016?南宁）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BD 是角平分线，点 O 在 AB 上， 以点 O 为圆心，OB 为半径的圆经过点 D，交 BC 于点 E． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若 OB=10，CD=8，求 BE 的长．
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【解析】解：（1）证明：连接 OD， ∵BD 为∠ABC 平分线， ∴∠1=∠2， ∵OB=OD， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OD∥BC， ∵∠C=90°， ∴∠ODA=90°， 则 AC 为圆 O 的切线； （2）解：过 O 作 OG⊥BC， ∴四边形 ODCG 为矩形， ∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8， 在 Rt△OBG 中，利用勾股定理得：BG=6， ∴BC=BG+GC=6+10=16， ∵OD∥BC， ∴△AOD∽△ABC，
∴ = ，即
=，
解得：OA= ，
∴AB= +10= ， 连接 EF， ∵BF 为圆的直径， ∴∠BEF=90°， ∴∠BEF=∠C=90°， ∴EF∥AC，
∴ = ，即 = ， 解得：BE=12．
【总结与反思】（1）连接 OD，由 BD 为角平分线得到一对角相等，根据 OB=OD，等边对等角 得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出 OD 与 BC 平行，利用两直线平 行同位角相等得到∠ODA 为直径，即可得证； （2）由 OD 与 BC 平行得到三角形 OAD 与三角形 BAC 相似，由相似得比例求出 OA 的长，进而 确定出 AB 的长，连接 EF，过 O 作 OG 垂直于 BC，利用勾股定理求出 BG 的长，由 BG+GC 求出 BC 的长，再由三角形 BEF 与三角形 BAC 相似，由相似得比例求出 BE 的长即可．
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类型四 切线长定理 例题 1
如图，PA、PB 切⊙O 于点 A、B，PA=10，CD 切⊙O 于点 E，交 PA、PB 于 C、D 两点，则△PCD 的周长是（ ）
A．10 B．18 C．20 D．22 【解析】解：∵PA、PB 切⊙O 于点 A、B，CD 切⊙O 于点 E， ∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB， ∴△PCD 的周长是 PC+CD+PD =PC+AC+DB+PD =PA+PB =10+10 =20． 故选：C． 【总结与反思】根据切线长定理得出 PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，求出△PCD 的周长是 PC+CD+PD=PA+PB，代入求出即可．
类型五 三角形的内心外心 例题 1
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 为（0，3），点 B 为（2，1），点 C 为（2，﹣3）．则 经画图操作可知：△ABC 的外心坐标应是（ ）
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A．（0，0） B．（1，0） C．（﹣2，﹣1） D．（2，0） 【解析】解：∵△ABC 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴作图得： ∴EF 与 MN 的交点 O′即为所求的△ABC 的外心， ∴△ABC 的外心坐标是（﹣2，﹣1）． 故选：C．
【总结与反思】此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分 线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由△ABC 的外心即是三角形三边垂直 平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作 AB 与 BC 的垂线，两垂线的交点即为△ABC 的外 心．
例题 2
三角形内切圆的圆心为（ ）
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A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【解析】解：三角形内切圆的圆心为三角形三个内角角平分线的交点． 故选：C．
四 、课堂运用 基础
1.如图，以点 O′（1，1）为圆心，OO′为半径画圆，判断点 P（-1，1），点 Q（1，0），点 R （2，2）和⊙O′的位置关系．
2. 如图，⊙O 的半径为 1，正方形 ABCD 的对角线长为 6，OA=4．若将⊙O 绕点 A 按顺时针方 向旋转 360°，在旋转过程中，⊙O 与正方形 ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）
A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 3.已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD，求证：DC 是⊙O 的切线．
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4.在△ABC 中，AB=AC，BC=6，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且⊙O 的半径为 5，则 AB 是长为
（）
A． B．3
C． 或 3
D． 或 2
5. 如图，△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，⊙O 为△ABC 的内切圆，与三边的切点分别为 D、
E、F，则⊙O 的面积为
（结果保留 π）
答案与解析
1.【答案】∵OO′=r=
= ，O′P=
=2
同理可得：O′Q=1，O′R= ， ∴O′P＞r，点 P 在⊙O′外； O′Q＜r，点 Q 在⊙O′内； O′R=r，点 R 在⊙O′上． 【解析】点与圆的位置关系由三种：设点到圆心的距离为 d，则当 d=r 时，点在圆上；当 d ＞r 时，点在圆外；当 d＜r 时，点在圆内．
2. 【答案】解：如图，∵⊙O 的半径为 1，正方形 ABCD 的对角线长为 6，OA=4， ∴⊙O 与正方形 ABCD 的边 AB、AD 只有一个公共点的情况各有 1 次，与边 BC、CD 只有一个
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公共点的情况各有 1 次． ∴在旋转过程中，⊙O 与正方形 ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现 4 次． 故选 B．
【解析】根据⊙O 的半径为 1，正方形 ABCD 的对角线长为 6，OA=4，得出圆 O 与以 A 为圆心， 以 4 为半径的圆相外切即可得到答案． 3. 【答案】证明：连接 OD．
∵ OA=OD，∴∠1=∠2． ∵ AD∥OC， ∴∠1=∠3，∠2=∠4． 因此 ∠3=∠4． 又∵ OB=OD，OC=OC， ∴ △OBC≌△ODC． ∴∠OBC=∠ODC． ∵BC 是⊙O 的切线， ∴∠OBC=90°， ∴∠ODC=90°． ∴ DC 是⊙O 的切线． 【解析】因为 AB 是直径，BC 切⊙O 于 B，所以 BC⊥AB．要证明 DC 是⊙O 的切线，而 DC 和 ⊙O 有公共点 D，所以可连接 OD，只要证明 DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个 角分别是△ODC 和△OBC 的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．
4. 【答案】解：如图 1 所示：过点 A 作 AE⊥BC 于点 D，则 AE 必过点 O， ∵AB=AC，BC=6，⊙O 的半径为 5， ∴BO=5，BD=DC=3，
∴DO=
=4，
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∴AD=5+4=9，∴AB=
=
=3 ，
如图 2 所示：过点 A 作 AE⊥BC 于点 D，则 AE 必过点 O， ∵AB=AC，BC=6，⊙O 的半径为 5，
∴BO=5，BD=DC=3，
∴DO=
=4，
∴AD=5﹣4=1，
∴AB=
=
=，
故 AB 的长为 3 或 ． 故选：C．
【解析】利用等腰三角形的性质结合勾股定理分别利用△ABC 是锐角三角形和△ABC 是钝角 三角形求出即可． 5. 【答案】解：连接 OE、OF， ∵AC=3，BC=4，∠C=90°， ∴AB=5， ∵⊙O 为△ABC 的内切圆，D、E、F 为切点， ∴FB=DB，CE=CF，AD=AF， OE⊥BC，OF⊥AC， 又∵∠C=90°，OF=OE， ∴四边形 ECFO 为正方形， ∴设 OE=OF=CF=CE=x， ∴BE=4﹣x，FA=3﹣x； ∴DB=4﹣x，AD=3﹣x， ∴3﹣x+4﹣x=5，
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解得：x=1， 则⊙O 的面积为：π ． 故答案为：π ．
【解析】直接利用正方形的判定方法以及切线的性质得出四边形 ECFO 为正方形，进而得出 正方形边长即可得出答案．
巩固
1.如图，⊙M 的半径为 2，圆心 M 的坐标为（3，4），点 P 是⊙M 上的任意一点，PA⊥PB， 且 PA、PB 与 x 轴分别交于 A、B 两点，若点 A、点 B 关于原点 O 对称，则 AB 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8 2. 已知在直角坐标平面内，以点 P（﹣2，3）为圆心，2 为半径的圆 P 与 x 轴的位置关系是 （） A．相离 B．相切 C．相交 D．相离、相切、相交都有可能 3.如图 1，圆 O1 与圆 O2 都经过 A、B 两点，经过点 A 的直线 CD 与圆 O1 交于点 C，与圆 O2 交于 点 D．经过点 B 的直线 EF 与圆 O1 交于点 E，与圆 O2 交于点 F．
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（1）求证：CE∥DF； （2）在图 1 中，若 CD 和 EF 可以分别绕点 A 和点 B 转动，当点 C 与点 E 重合时（如图 2）， 过点 E 作直线 MN∥DF，试判断直线 MN 与圆 O1 的位置关系，并证明你的结论． 4. ⊙O 中，AB 为直径，C 为⊙O 上一点． （Ⅰ）如图 1．过点 C 作⊙O 的切线，与 AB 的延长线相交于点 P，若∠CAB=27°，求∠P 的 大小； （Ⅱ）如图 2，D 为 上一点，且 OD 经过 AC 的中点 E，连接 DC 并延长，与 AB 的延长线相 交于点 P，若∠CAB=10°，求∠P 的大小．
答案与解析 1.【答案】解：∵PA⊥PB， ∴∠APB=90°， ∵AO=BO， ∴AB=2PO， 若要使 AB 取得最小值，则 PO 需取得最小值， 连接 OM，交⊙M 于点 P′，当点 P 位于 P′位置时，OP′取得最小值， 过点 M 作 MQ⊥x 轴于点 Q，
则 OQ=3、MQ=4，
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