向量空间模型(VSM)的余弦定理公式(cos)
三角形余弦定理公式及证明方法
三角形余弦定理公式及证明方法三角形余弦定理公式及证明方法余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。
是勾股定理在一般三角形情形下的推广。
下面是店铺为大家精心推荐三角形余弦定理的相关内容，希望能够对您有所帮助。
三角形余弦定理上的定义三角形余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的`余弦值。
三角形余弦定理的公式对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：a²=b²+c²-bc·cosAb²=a²+c²-ac·cosBc²=a²+b²-ab·cosC也可表示为：cosC=(a²+b²-c²)/abcosB=(a²+c²-b²)/accosA=(c²+b²-a²)/bc这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。
如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的(边-边-角)。
要小心余弦定理的这种歧义情况。
三角形余弦定理的证明平面向量证法(觉得这个方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本来还是由余弦定理得出来的，怎么又能反过来证明余弦定理)∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|Cos(π-θ)(以上粗体字符表示向量)又∵Cos(π-θ)=-Cosθ∴c²=a²+b²-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)再拆开，得c²=a²+b²-2abcosC即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b同理可证，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。
空间余弦定理公式推导
空间余弦定理公式推导空间余弦定理是三维空间中的一个关于向量的定理，主要用于求取两个向量之间的夹角。
在此次推导中，我们将从向量定义出发，经过矢量积和标量积的推导，最终得到空间余弦定理的公式。
1. 向量定义在三维空间中，向量（也称矢量）通常表示为一个有序三元组，表示为$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$。
向量具有加法和数乘运算。
向量的模长表示为$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$，也称为向量的长度。
向量之间有一些重要的定义，如平行、垂直等等。
两个向量平行表示它们的方向相同或相反，即$\vec{a}\parallel\vec{b}$。
两个向量垂直表示它们的内积为0，即$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$。
2. 矢量积矢量积（又称向量积或外积）是定义在三维空间两个向量上的一个重要的运算，它的结果是一个新的向量。
假设有两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的矢量积表示为$\vec{a}\times\vec{b}$。
矢量积的结果满足以下几个性质：（1）反对称性：$\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$（2）分配律：$\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\t imes\vec{c}$（3）数乘结合律：$(\lambda\vec{a})\times\vec{b}=\lambda(\vec{a}\times\vec{b})=\ vec{a}\times(\lambda\vec{b})$（4）计算公式：$\vec{a}\times\vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)$其中，$\lambda$表示一个实数。
3. 标量积标量积（又称点积或内积）是定义在两个向量上的一个重要的运算，它的结果是一个标量（实数）。
余弦定理公式大全
余弦定理公式大全余弦定理是三角形中一个重要的几何定理，它可以通过三个边的长度来计算出三个角的大小。
余弦定理的公式包含了三个版本，根据给定的已知条件来选择相应的公式。
第一个版本的余弦定理是用于计算三角形的边长的。
假设有一个三角形ABC，其中边长分别为a，b和c，对应的顶点角度为A，B和C。
那么可以使用以下公式计算出任意边长：c² = a² + b² - 2ab cos(C)a² = b² + c² - 2bc cos(A)b² = a² + c² - 2ac cos(B)这些公式可以根据已知的两个边长和它们之间的夹角来计算第三个边长。
第二个版本的余弦定理是用于计算三角形的角度的。
假设有一个三角形ABC，其中边长分别为a，b和c，对应的顶点角度为A，B和C。
那么可以使用以下公式计算出任意角度的值：cos(A) = (b² + c² - a²) / 2bccos(B) = (a² + c² - b²) / 2accos(C) = (a² + b² - c²) / 2ab这些公式可以根据已知的三个边长来计算出相应的角度。
第三个版本的余弦定理是用于计算三角形的面积的。
假设有一个三角形ABC，其中边长分别为a，b和c，对应的顶点角度为A，B和C。
那么可以使用以下公式计算出三角形的面积：Area = (1/2)ab sin(C)Area = (1/2)bc sin(A)Area = (1/2)ac sin(B)这些公式可以根据已知的两个边长和它们之间的夹角来计算三角形的面积。
余弦定理是解决三角形相关问题的重要工具，可以计算未知长度、未知角度以及三角形的面积。
这些公式的推导过程可以使用几何或者代数方法来完成，可以在几何相关的书籍、教材以及网上的数学资源中找到相关的推导过程。
向量空间模型（VSM）的余弦定理公式（cos）
向量空间模型（VSM）的余弦定理公式（cos）相信很多学习向量空间模型(Vector Space Model)的⼈都会被其中的余弦定理公式所迷惑..因为⼀看到余弦定理,肯定会先想起初中时的那条最简单的公式cosA=a/c(邻边⽐斜边),见下图:但是,初中那条公式是只适⽤于直⾓三⾓形的,⽽在⾮直⾓三⾓形中,余弦定理的公式是:cosA=(c2 + b2 - a2)/2bc不过这条公式也和向量空间模型中的余弦定理公式不沾边,迷惑..引⽤吴军⽼师的数学之美系列的⾥⾯的⼀段:-------------------引⽤开始分界线------------------------假定三⾓形的三条边为 a, b 和 c，对应的三个⾓为 A, B 和 C，那么⾓ A 的余弦如果我们将三⾓形的两边 b 和 c 看成是两个向量，那么上述公式等价于其中分母表⽰两个向量 b 和 c 的长度，分⼦表⽰两个向量的内积。
举⼀个具体的例⼦，假如新闻 X 和新闻 Y 对应向量分别是x1,x2,...,x64000 和y1,y2,...,y64000,那么它们夹⾓的余弦等于-------------------引⽤完毕分界线------------------------⾼中那条公式⼜怎么会等价于向量那条公式呢?原来它从⾼中的平⾯⼏何跳跃到⼤学的线性代数的向量计算..关于线性代数中的向量和向量空间,可以参考下⾯两个页⾯:在线性代数的向量计算的余弦定理中,* 分⼦是两个向量的点积(),点积的定理和计算公式:The dot product of two vectors a = [a1, a2, … , a n] and b = [b1, b2, … , b n] is defined as:点积(dot product),⼜叫内积,数量积..(Clotho注: product常见的是产品的意思,但在数学上是乘积的意思.)* 分母是两个向量的长度相乘.这⾥的向量长度的计算公式也⽐较难理解.假设是⼆维向量或者三维向量,可以抽象地理解为在直⾓坐标轴中的有向线段,如图:d2 = x2 + y2 -> d = sprt(x2 + y2)d2 = x2 + y2 + z2 -> d = sprt(x2 + y2 + z2)三维以上的维度很难⽤图来表⽰,但是再多维度的向量,也仍然可以⽤这条公式来计算:d n2 = x12 + x22 + .. + x n2 -> d n = sprt(x12 + x22 + .. + x n2)在⽂本相似度计算中,向量中的维度x1,x2..x n其实就是词项(term)的权重,⼀般就是词项的tf-idf值.⽽这条看上去很抽象的公式,其实就是为了计算两篇⽂章的相似度.⽂本相似度计算的处理流程是:1.对所有⽂章进⾏分词2.分词的同时计算各个词的tf值3.所有⽂章分词完毕后计算idf值4.⽣成每篇⽂章对应的n维向量(n是切分出来的词数,向量的项就是各个词的tf-idf值)5.对⽂章的向量两篇两篇代⼊余弦定理公式计算,得出的cos值就是它们之间的相似度了。
CDA-LEVELⅢ模拟题一
CDA-LEVELⅢ模拟题(一)一、单选题1对于分类器的性能，我们需要不同维度来进行综合衡量，以下不属于分类器评价或比较尺度的有？A.预测准确度B.查全率C.模型描述的简洁度D.计算复杂度正确答案：C，解析：模型描述简洁度不属于模型评价指标2下面有关分类算法的准确率，查全率，F1值的描述，错误的是？A.准确率是检索出相关文档数与检索出的文档总数的比率，衡量的是检索系统的查准率B查全率回旨检索出的相关文档数和文档库中所有的相关文档数的瞬，衡量的是检索系统的查全率C.正确率、查全率和F值取值触0和1之间，数值降国，查准率或查全率就越高D.为了解决准确率和查全率冲突问题，引入了fi分数正确答案：C ,解析：无解析3回归树是可以日于回归的决策树模型，一个回归树又寸应着输入空间(即特征空间)的一个划分以及在划分单元上的输出值。
以下哪个指标可用于回归树中的模型上降A.Adjusted R2B.F-measureC.AUCD.Precision & Recall正确答案：A,解析：F-measure. AUC、Precisin & Recall是分类模型的评价指标4 序列模式挖掘(sequence pattern mining )是指挖掘相对时间或其他模式出现频率高的模式典型的应用还是限于离散型的序列。
下列哪个选项不属于序列模式的时限约束？，A.最大跨度约束B.主键约束C.最小间隔和最大间隔约束D.窗口大小约束正确答案：B，解析：序列模式的时限约束包括最壮度约束、最大间隔和最小间隔约束、窗口大小约束5 Apriroi算法中，候选序列的个数比候选项集的个数大得多，产生更多候选的原因有？A.l个项在项集中最多出现一次，但一个事件可以在序列中出现多次B.一个事件在序列中最多出现一次，但一个项在项集中可以出现多次C.次序在序列中和项集中都是重要的D.序列和以合并正确答案：A,解析：无解析6 考虑下面的频繁3-项集的集合：{1, 2. 3}, {1, 2. 4}, {1, 2, 5}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5),{1,4,5}, {2, 3, 5}, {3, 4, 5}假定数据集中只有5个项，采用合并策略，由候选产生过程得到4-项集不包含：A.1, 2, 3, 4B.1, 2, 3, 5C.1, 2, 4, 5D.1, 3, 4, 5正确答案：C，解析：无解析7广为流传的“啤酒与尿布”的故事，其背后的模型实际上是哪一类？A.分类(Classification)B.分群(Clustering)C.关联(Assciation)D.预测(Prediction)正确答案：C，解析："啤酒与尿布”是关联规则的经典故事8 Apriori算法，最有可能可用来解决以下哪个问题？A电子商务网站向顾客推荐商品的广告B.信用卡欺诈识C.电信用户离网预警D预测GDP与工业产值之间的关系正确答案：A,解析：Apriori算法是关联规则挖掘算法，它利用逐层搜索的迭代方法找出数据库中项集的关系，以形成规则9在聚类(Clustering)的问题中，若缄字段属性都是二元属性(Binary Variable),根据下表，下列何者是Jaccard Coefficient计算数据间品巨离的公式？答案：A,10以下哪个选项是分割式聚类算法？A.K-MeansB.Centroid MetohdC.Ward's MethodD.以上皆非正确答案：A,解析：无解析11在机器学习中，非监督学习主要用来分类.其中重要的两种就是聚类分析和主成分分析，下列那个选项不是聚类分析的算法A.Two-StepQ B.FP-GrowthC.Centrid MethodD.Ward's Method正确答案：B，解析：FP-Growth是关联分析算法12、下列哪种集成方法，会重复抽取训练数据集中的数据，且每笔被抽中的概率始终保持一样？A.袋装法(Bagging)B.提升法(Boosting)C.随机森林(Random Forest)D.以上皆是正确答案：A,解析：无解析13 提升法Boosting是一种可以用来减小监督式学习中偏差的机器学习算法。
VSM
价值流程图（Value Stream Mapping，VSM）是丰田精实制造生产系统框架下的一种用来描述物流和信息流的形象化工具。
它运用精实制造的工具和技术来帮助企业理解和精简生产流程。
价值流程图的目的是为了辨识和减少生产过程中的浪费。
浪费在这里被定义为不能够为终端产品提供增值的任何活动，并经常用于说明生产过程中所减少的“浪费”总量。
VSM可以作为管理人员、工程师、生产制造人员、流程规划人员、供应商以及顾客发现浪费、寻找浪费根源的起点。
从这点来说，VSM还是一项沟通工具。
但是，VSM往往被用作战略工具、变革管理工具。
目录1.价值流程图2. 向量空间模型3. 振动样品磁强计4.vsm(ZN63D)真空断路器1.价值流程图2. 向量空间模型3. 振动样品磁强计4.vsm(ZN63D)真空断路器1.价值流程图1.1 VSM概述VSM通过形象化地描述生产过程中的物流和信息流，来达到上述工具目的。
从原材料购进的那一刻起，VSM就开始工作了，它贯穿于生产制造的所有流程、步骤，直到终端产品离开仓储。
对生产制造过程中的周期时间、当机时间、在制品库存、原材料流动、信息流动等情况进行描摹和记录，有助于形象化当前流程的活动状态，并有利于对生产流程进行指导，朝向理想化方向发展。
VSM通常包括对“当前状态”和“未来状态”两个状态的描摹，从而作为精实制造战略的基础。
价值流程图（VSM）分析的是两个流程：第一个是信息（情报）流程，即从市场部接到客户订单或市场部预测客户的需求开始，到使之变成采购计划和生产计划的过程；第二个是实物流程，即从供应商供应原材料入库开始，随后出库制造、成品入库、产品出库，直至产品送达客户手中的过程。
此外，实物流程中还包括产品的检验、停放等环节。
企业在进行价值流程图（VSM）分析时，首先要挑选出典型的产品作为深入调查分析的对象，从而绘制出信息（情报）流程和实物流程的现状图，然后将现状图与信息（情报）和实物流程的理想状况图相比较，发现当前组织生产过程中存在的问题点，进而针对问题点提出改进措施。
余弦定理的推导方法
C
（3）几何法
余弦定理作为勾股定理的推 b a 广，考虑借助勾股定理来证明
余弦定理。
Ac
B
当角C为锐角时
A
b
c
C
aD
B
当角C为钝角时
A c
b
D
Ca
B
证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和 A, 作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA
C
a2 CD2 BD2
(bsin A)2(cbcos A)2
y x
C(0, 0) B(a, 0) A(bcosC,bsin C)
AB 2 (b cosC a)2 (b sin C 0)2 b2 cos2 C 2abcosC a2 b2 sin 2 C
a2 b2 2abcosC
c2 a2 b2 2ab cosC
b
a b2sin2Ac2b2cos2A2bccos A
A
c D
B b2c22bccos A
同理有： b2a2c22accosB
c2a2b22abcosC
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
推论：
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
cosC a2 b2 c2 2ab
CB a,CA b, AB c
c.
由向量减法的三角形法则得
c
2
c
a cc
b (a
b)
(a
b)
aa2abb
《余弦定理》 知识清单
《余弦定理》知识清单一、余弦定理的定义余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。
对于任意三角形，若三边为a、b、c，它们所对的角分别为A、B、C，则有：＼（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc ＼cos A\）＼（b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac ＼cos B\）＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab ＼cos C\）二、余弦定理的推导我们可以通过向量的方法来推导余弦定理。
假设在三角形 ABC 中，向量\（＼overrightarrow{AB}＼）＝＼（＼vec{c}＼），＼（＼overrightarrow{AC}＼）＝＼（＼vec{b}＼），则\（＼overrightarrow{BC}＼）＝＼（＼vec{a}＼）。
因为\（＼vec{a}＼）＝＼（＼vec{b} ＼vec{c}＼），所以\（＼vec{a}＼cdot\vec{a}＼）＝（＼（＼vec{b} ＼vec{c}＼））＼（＼cdot\）（＼（＼vec{b} ＼vec{c}＼））＼＼begin{align}＼vec{a}＼cdot\vec{a}＆＝＼vec{b}＼cdot\vec{b} 2\vec{b}＼cdot\vec{c} ＋＼vec{c}＼cdot\vec{c}＼＼＼vert\vec{a}＼vert^2&＝＼vert\vec{b}＼vert^2 2\vert\vec{b}＼vert\vert\vec{c}＼vert\cos A ＋＼vert\vec{c}＼vert^2\＼a^2&＝b^2 2bc\cos A ＋ c^2\＼a^2&＝b^2 ＋ c^2 2bc\cos A＼end{align}＼同理可推导出另外两个式子。
三、余弦定理的作用1、已知三角形的两边及其夹角，求第三边。
例如，在三角形 ABC 中，已知 a ＝ 5，b ＝ 7，C ＝ 60°，则可以通过\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab ＼cos C\）求出 c 的长度。
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向量空间模型(VSM)的余弦定理公式(cos) 相信很多学习向量空间模型(Vector Space Model)的人都会被其中的余弦定理公式所迷惑..
因为一看到余弦定理,肯定会先想起初中时的那条最简单的公式cosA=a/c(邻边比斜边),见下图:
但是,初中那条公式是只适用于直角三角形的,而在非直角三角形中,余弦定理的公式是: cosA=(c2 + b2 - a2)/2bc
不过这条公式也和向量空间模型中的余弦定理公式不沾边,迷惑..
引用吴军老师的数学之美系列的余弦定理和新闻的分类里面的一段:
-------------------引用开始分界线------------------------
假定三角形的三条边为a, b 和c，对应的三个角为A, B 和C，那么角A 的余弦
如果我们将三角形的两边b 和 c 看成是两个向量，那么上述公式等价于
其中分母表示两个向量b 和 c 的长度，分子表示两个向量的内积。
举一个具体的例子，假如新闻X 和新闻Y 对应向量分别是x1,x2, (x64000)
y1,y2,...,y64000,
那么它们夹角的余弦等于
-------------------引用完毕分界线------------------------
高中那条公式又怎么会等价于向量那条公式呢?
原来它从高中的平面几何跳跃到大学的线性代数的向量计算..
关于线性代数中的向量和向量空间,可以参考下面两个页面:
Egwald Mathematics: Linear Algebra
Linear Algebra: Direction Cosines
在线性代数的向量计算的余弦定理中,
* 分子是两个向量的点积(wiki),点积的定理和计算公式:
The dot product of two vectors a = [a1, a2, … ,a n] and b = [b1, b2, … , b n] is defined as:
点积(dot product),又叫内积,数量积..(Clotho注: product常见的是产品的意思,但在数学上是乘积的意思.)
* 分母是两个向量的长度相乘.这里的向量长度的计算公式也比较难理解.
假设是二维向量或者三维向量,可以抽象地理解为在直角坐标轴中的有向线段,如图:
d2 = x2 + y2-> d = sprt(x2 + y2)
d2 = x2 + y2 + z2 -> d = sprt(x2 + y2 + z2)
三维以上的维度很难用图来表示,但是再多维度的向量,也仍然可以用这条公式来计算:
d n2 = x12 + x22+ .. + x n2 -> d n = sprt(x12 + x22+ .. + x n2)
在文本相似度计算中,向量中的维度x1,x2..x n其实就是词项(term)的权重,一般就是词项的tf-idf 值.
而这条看上去很抽象的公式,其实就是为了计算两篇文章的相似度.
文本相似度计算的处理流程是:
1.对所有文章进行分词
2.分词的同时计算各个词的tf值
3.所有文章分词完毕后计算idf值
4.生成每篇文章对应的n维向量(n是切分出来的词数,向量的项就是各个词的tf-idf值)
5.对文章的向量两篇两篇代入余弦定理公式计算,得出的cos值就是它们之间的相似度了。