第八章 玻色统计和费米统计
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玻色统计和费米统计
el1
g 2V (2 m )3 /21 /2 e l(1 e l)d
h 3
0
g 2 h 3 V ( 2 m ) 3 /2 e (0 1 /2 e ld 0 1 /2 e 2 ld )
N g(2h m 2 )k 3/2V T e (12 1 3/2e )
2、 理解弱简并理想气体的概念，了解统 计方法在玻色气体和费米气体上的应用。
3、了解玻色—Einstein凝聚现象。 4、掌握 金属中的自由电子气体的费米分 布特性及其对固体热容量的贡献。
.
.
U
0
D()a()d2 3g (2h m 2 )3 k /2 V T e k(1 T 2 1 5 /2e )
相除
U3Nk(1T 1 e)
2
25/2
二、 弱简并条件
利用玻耳兹曼统计的结果
n N V
e N N( h2 )3/2 1 1 Z 1 V 2mkT g
小，稀薄。 T 大，高温。 m大，经典粒子。
0
1/2d
ekT 1
.
T Tc 0
n2h3 (2m)3/2
0
1/2d
ekTc 1
令 x
kT c
n2h3(2mkc)3T/2 0
x1/2dx ex1
Tc
(2.621)22/3
2 n2/3 mk
.
低温 TTc情况 :
§8.2 弱简并玻色气体和费米气体
玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主 要是空间中不可区分。但当粒子在空间可以区分稀薄 气体时，应该由描述可区分粒子系统的理论－玻耳兹 曼统计描述。这种粒子系统叫非简并气体。
al
l
el
1
e 1
g 2V (2 m )3 /21 /2 e l(1 e l)d
h 3
0
g 2 h 3 V ( 2 m ) 3 /2 e (0 1 /2 e ld 0 1 /2 e 2 ld )
N g(2h m 2 )k 3/2V T e (12 1 3/2e )
2、 理解弱简并理想气体的概念，了解统 计方法在玻色气体和费米气体上的应用。
3、了解玻色—Einstein凝聚现象。 4、掌握 金属中的自由电子气体的费米分 布特性及其对固体热容量的贡献。
.
.
U
0
D()a()d2 3g (2h m 2 )3 k /2 V T e k(1 T 2 1 5 /2e )
相除
U3Nk(1T 1 e)
2
25/2
二、 弱简并条件
利用玻耳兹曼统计的结果
n N V
e N N( h2 )3/2 1 1 Z 1 V 2mkT g
小，稀薄。 T 大，高温。 m大，经典粒子。
0
1/2d
ekT 1
.
T Tc 0
n2h3 (2m)3/2
0
1/2d
ekTc 1
令 x
kT c
n2h3(2mkc)3T/2 0
x1/2dx ex1
Tc
(2.621)22/3
2 n2/3 mk
.
低温 TTc情况 :
§8.2 弱简并玻色气体和费米气体
玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主 要是空间中不可区分。但当粒子在空间可以区分稀薄 气体时，应该由描述可区分粒子系统的理论－玻耳兹 曼统计描述。这种粒子系统叫非简并气体。
al
l
el
1
e 1
玻色统计和费米统计讲义
y
d ( ln Z ) d ln Z d[ ln Z ] d ( ln Z )
因为 N ln Z
∴ (dU Ydy) d[ln Z ln Z ln Z ] d N
∴ (dU Ydy d N ) d[ln Z ln Z ln Z ]
6
对于闭系： d N 0
y
y
由 Z [1 el ]l 知， Z 是 、 和 y的函数，ln Z 也是 、
l
和 y 的函数
∴ d ln Z ln Z d ln Z d ln Z dy
y
5
∴ (dU Ydy) d ( ln Z ) ln Z dy
y
d ( ln Z ) ln Z d ln Z dy d ( ln Z ) d ln Z ln Z d
∴ (dU Ydy) d[ln Z ln Z ln Z ]
是 dU Ydy的积分因子， dU Ydy同样有积分因子 1
T
∴ 1
kT
∴ dS 1 (dU Ydy) kd[ln Z ln Z ln Z ]
T
积分得：
S k[ln Z ln Z ln Z ] k[ln Z N U ]
度升高时，由于热激发电子有可能跃迁到较高的未被占据的状
态去。但处在低能级的电子要跃迁到未被占据的状态，必须吸
取很大的热运动能量，这是极小可能的，所以绝大多数状态的
1
fd
4V
3
(2m) 2
h3
2 d
e kT 1
10
在给定电子数 N ，温度 T 和体积 V 时，总粒子数为：
1
N
4V
h3
3
(2m) 2
0
2 d
e kT 1
∴化学势 是温度 T 和粒子数密度 n N 的函数。
第八章 玻色统计和费米统计
第八章 玻色统计和费米统计§8.1 热力学量的统计表达式本节推导玻色系统和费米系统热力学量的统计表达式。
玻色系统：系统的平均总粒子数为 1lll llN a e αβεω+==-∑∑引入巨配分函数Ξ，定义为()1lll lleωαβε---Ξ=Ξ=-∏∏()()ln ln 1ln(1)ln 1llllll llleeeωωαβεαβεαβεω--------Ξ=-=-=--∏∑∑()ln 1sse αβε--=--∑系统的平均总粒子数N 可表为 1ln 11lsllsN e e αβεαβεωα++∂===-Ξ--∂∑∑内能是系统中粒子无规运动总能量的统计平均值 ln 1ll ll l llU a e αβεωεεβ+∂===-Ξ-∂∑∑外界对系统的广义力i Y 是l iy ε∂∂的统计平均值1ln 1ll lli l llii iY a y y ey αβεεεωβ+∂∂∂==⋅=-⋅Ξ∂∂-∂∑∑物态方程特例：对于(,)P V 系统 ,Y P y V =-=1ln P Vβ∂=⋅Ξ∂下面推导玻色系统熵的统计表达式 ln ln i i i i iidU Y dy d dy y βββ⎛⎫∂Ξ∂Ξ⎛⎫-=-+⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∑∑（﹡）Ξ和ln Ξ是,αβ与()1,2,i y i = 的函数（l ε 是i y 的函数）， ln Ξ的全微分为ln ln ln ln i iid d d dy y αβαβ∂Ξ∂Ξ∂ΞΞ=++∂∂∂∑，ln ln ln ln i iidy d d d y αβαβ∂Ξ∂Ξ∂Ξ∴=Ξ--∂∂∂∑。
代入（﹡），得 ln ln ln ln i i i dU Y dy d d d d ββαββαβ⎛⎫∂Ξ∂Ξ∂Ξ⎛⎫-=-+Ξ-- ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭∑ ln ln ln d d d βαβα⎛⎫∂Ξ∂Ξ=-+Ξ- ⎪∂∂⎝⎭ ln ln ln ln d d d d βααβαα⎛⎫∂Ξ∂Ξ∂Ξ⎛⎫⎛⎫=-+Ξ-+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ln ln ln d d N αβααβ⎛⎫∂Ξ∂Ξ=Ξ--- ⎪∂∂⎝⎭对于粒子数恒定的闭系（与外界有能量交换，但无物质交换），则0d N =。
热力学与统计物理：第八章 玻色统计与费米统计
CV
U T
V
5U 2T
1.925Nk
T Tc
六、理想玻色气体出现凝聚的临界条件：
3
n
3
n
2
h mkTc
2.612
也就是说在德布罗意波长范围内的原子 数必须大于2个。
七、有关实验
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
23
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
24
§8.4辐射的量子统计理论
l
N
e kTc －1
1
令x
kTc
,
2
h3
3
(2mkTC ) 2
x 2dx 0 ex－1 n
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
17
1
而
x 2dx＝ 0 ex－1
2
2.612＝I
Tc
2
3
(2.612) 2
h2 mk
2
n3
当 T TC 时，要保证 N const ，则 0 ，与前面结论
k
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
6
dU TdS pdV dn, pdV Ydy 又 ：（单位摩尔化学势d）n d N (单位粒子数化学势）
dU Ydy d N TdS
1 , S k(ln Z ln Z ln Z )
kT
以及
kT
2021/3/11
矛盾
三、矛盾的原因
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
18
关键在于当 时，将 0 上的粒子数忽略了
而 T TC 时，该能级上的粒子数是很大的数值，不可忽略
第八章_玻色分布和费米分布 ppt课件
如果eα很小，但又不能被忽略，则此情形被 称为弱简并，从中初步显示玻色气体和费米气 体的差异。
弱简并情形下我们可以近似地用积分来处理 问题。为书写简便起见，我们将两种气体同时讨 论，在有关公式中，上面的符号适用于费米气体， 下面的符号适用于玻色气体。
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
10
考虑三维自由粒子的情形，为简单起见，不考虑粒 子的内部结构，因此只有平动自由度，粒子的能量为：
8
⑷ 熵:
Sk(lnΞ lnΞ lnΞ )(8.1.14)
⑸ 巨热力势:
JkTlnΞ
(8.1.15)
只要计算出系统的巨配分函数，就可以利用上面 的热力学公式得到相应的热力学量。
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
9
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
一般气体满足非简并性条件eα>>1 可用玻 耳兹曼分布来处理。
3
Ug
2V
h3
(2m)3/2
0
2d
e 1
引入变量x=βε, 上面两个式子可改写为：
Ng2h3V(2mkT)3/2 0ex1/x2dx1
3
Ug2h3V(2mkT)3/2 0 ex2xdx1
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
13
将被ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数的分母展开：
e1x 1ex(11ex)
在e 小的情形下，e x是一个小量，可利用下面的公式展开：
15
考虑到e-α很小，近似用玻耳兹曼分布的结果
e
ZNl VN2hm2kT3/2
1 g
代入前面的公式中，得：
U3 2NkT121 3/2g 1V N2hm 2kT3/2
弱简并情形下我们可以近似地用积分来处理 问题。为书写简便起见，我们将两种气体同时讨 论，在有关公式中，上面的符号适用于费米气体， 下面的符号适用于玻色气体。
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
10
考虑三维自由粒子的情形，为简单起见，不考虑粒 子的内部结构，因此只有平动自由度，粒子的能量为：
8
⑷ 熵:
Sk(lnΞ lnΞ lnΞ )(8.1.14)
⑸ 巨热力势:
JkTlnΞ
(8.1.15)
只要计算出系统的巨配分函数，就可以利用上面 的热力学公式得到相应的热力学量。
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
9
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
一般气体满足非简并性条件eα>>1 可用玻 耳兹曼分布来处理。
3
Ug
2V
h3
(2m)3/2
0
2d
e 1
引入变量x=βε, 上面两个式子可改写为：
Ng2h3V(2mkT)3/2 0ex1/x2dx1
3
Ug2h3V(2mkT)3/2 0 ex2xdx1
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
13
将被ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数的分母展开：
e1x 1ex(11ex)
在e 小的情形下，e x是一个小量，可利用下面的公式展开：
15
考虑到e-α很小，近似用玻耳兹曼分布的结果
e
ZNl VN2hm2kT3/2
1 g
代入前面的公式中，得：
U3 2NkT121 3/2g 1V N2hm 2kT3/2
热力学 统计物理：第八章 玻色统计和费米统计
y
y l
e l • ( ) • ( l )
1
[ y
l
l
ln(1 e l
)]
1
l
l
y 1 e l
l
l l
e l 1 y
Y 1 ln p 1 ln
y
V
N ln
U ln
Y 1 ln
y
dN d ( ln )
dU d ( ln )
Ydy 1 ln dy
U ln ln[ (1 e l )l ]
l
[
l
l ln(1 e l )]
l
l
e l • ( l )
1 e l
l
ll
e l 1
广义力Y是 l 的统计平均值：
y
Y
l
l
y
al
l
l l
e l 1 y
Y也可通过配分函数求得：
Y 1 ln 1 ln[ (1 e l )l ]
y
(dU Ydy dN ) d ( ln ) ln dy d ( ln )
y
(dU Ydy dN ) d ( ln ) ln dy d ( ln )
y
d ( ln ) ln • d ln • d ln dy d ( ln ) ln • d ln • d
e l 1
在实际应用中，两种分布的区别在于将和看作已知常量（开系条件
的平均分布），还是将N和U看作已知常量（孤立系统的最概然分布）。
说明： 本节推导玻色系统和费米系统热力学量的 统计表达式时，采用平均分布观点，也就
是将、和y（粒子能量含外参量y）看作 已知参量，而将热力学量表达为、和y的
函数。
回顾：
第8章 玻色统计和费米统计 《热力学统计物理》
第八章 玻色统计与费米统计 8
利用
1 U ln Y ln N ln y
ln ln ln (dU Ydy dN ) d ( ) dy d ( ) y
ln ln ln ln d ( ) d ln d d d ( )
12
2 mkT 3 2 1 g( ) Ve [1 3 2 e ] （8.2. 6） 2 h 2
2V x 32 U g 3 (2mkT) x dx h 1 0 e
32
3 2 mkT 3 2 1 g ( ) VkTe [1 5 2 e ] （8.2. 7） 2 2 h 2
第八章 玻色统计与费米统计 14
(2) 费米系统
引入费米系统的配分函数
l [1 e
l l
l l
]
ln l ln(1 e l )
l
通过和玻色系统相似的运算，得到的热力学量的 统计表达式与玻色系统热力学量的统计表达式完全相 同。
第八章 玻色统计与费米统计 15
第八章 玻色统计与费米统计 23
将玻耳兹曼分布所得的结果
e
N h 32 1 ( ) V 2m kT g
2
2
作为零级近似代入上式，表示为经典极限条件的形式
3 1 1N h 32 U NkT [1 ( ) ] 2 4 2 g V 2m kT
3 1 3 U NkT[1 n ] 2 4 2g
1 (dU Ydy dN ) ds T
ln ln (dU Ydy dN ) d (ln ) ln ln dS kd (ln )
利用
1 U ln Y ln N ln y
ln ln ln (dU Ydy dN ) d ( ) dy d ( ) y
ln ln ln ln d ( ) d ln d d d ( )
12
2 mkT 3 2 1 g( ) Ve [1 3 2 e ] （8.2. 6） 2 h 2
2V x 32 U g 3 (2mkT) x dx h 1 0 e
32
3 2 mkT 3 2 1 g ( ) VkTe [1 5 2 e ] （8.2. 7） 2 2 h 2
第八章 玻色统计与费米统计 14
(2) 费米系统
引入费米系统的配分函数
l [1 e
l l
l l
]
ln l ln(1 e l )
l
通过和玻色系统相似的运算，得到的热力学量的 统计表达式与玻色系统热力学量的统计表达式完全相 同。
第八章 玻色统计与费米统计 15
第八章 玻色统计与费米统计 23
将玻耳兹曼分布所得的结果
e
N h 32 1 ( ) V 2m kT g
2
2
作为零级近似代入上式，表示为经典极限条件的形式
3 1 1N h 32 U NkT [1 ( ) ] 2 4 2 g V 2m kT
3 1 3 U NkT[1 n ] 2 4 2g
1 (dU Ydy dN ) ds T
ln ln (dU Ydy dN ) d (ln ) ln ln dS kd (ln )
热力学统计物理 第八章 玻色统计和费米统计
l
l
l
e l ( l )
1 e l
l
l l
e l 1
U
对比玻耳兹曼分布
U ln
U N ln Z1
热统
5
3 广义力
Y
l
al
l
y
ln l ln(1 e l )
l
1 ln 1
y
y
l
l ln(1 e l )
l
l
e l (1) 1 e l
热统
1
§8.1 热力学量的统计表达
一、从非简并到简并
玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布） 孤立系统
定域粒子组成的系统，满足经典极限条件（非简并条件）的近
独立粒子系统
经典极限条件 al
（非简并条件）
l
e l
1
e 1
al le l
玻色分布和费米分布 趋向于玻耳兹曼分布。
Z1
l 0
e l
l
al ea
l
l
l
e l 1
U lal
l
l
ll
e l 1
l (1 e l )l
l
l
对比玻耳兹曼分布
热统
ln l ln(1 e l )
l
Z1
e l l
l 0
3
三、用巨配分函数表示热力学量
1 平均粒子数 N
N al
l
l
l
e l 1
ln l ln(1 e l )
al
ln(l
al
al
))
热统
k ln B.E 10
对于费米分布
F.D
l
l ! al !(l al )!
l
l
e l ( l )
1 e l
l
l l
e l 1
U
对比玻耳兹曼分布
U ln
U N ln Z1
热统
5
3 广义力
Y
l
al
l
y
ln l ln(1 e l )
l
1 ln 1
y
y
l
l ln(1 e l )
l
l
e l (1) 1 e l
热统
1
§8.1 热力学量的统计表达
一、从非简并到简并
玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布） 孤立系统
定域粒子组成的系统，满足经典极限条件（非简并条件）的近
独立粒子系统
经典极限条件 al
（非简并条件）
l
e l
1
e 1
al le l
玻色分布和费米分布 趋向于玻耳兹曼分布。
Z1
l 0
e l
l
al ea
l
l
l
e l 1
U lal
l
l
ll
e l 1
l (1 e l )l
l
l
对比玻耳兹曼分布
热统
ln l ln(1 e l )
l
Z1
e l l
l 0
3
三、用巨配分函数表示热力学量
1 平均粒子数 N
N al
l
l
l
e l 1
ln l ln(1 e l )
al
ln(l
al
al
))
热统
k ln B.E 10
对于费米分布
F.D
l
l ! al !(l al )!
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164
N = ∑ e 1 −1, ( ) nx ,ny ,nz
1 kT
⎡⎣ℏ
nxωx +nyω y +nzωz
⎤ ⎦
（6）
或
∑1
N = , nx +ny +nz e −1 nx ,ny ,nz
（7）
课 后 答 案 网
其中
ni
=
ℏωi kTc
ni
(i = x, y, z).
在T << Tc 时，凝聚在基态的粒子数 N0 由下式确定：
课 后 答 案 网
N
−
N0
= 1.202⎛⎜⎝
kT ℏω
3
⎞ ⎟⎠
,
上式可改写为
3
N0 N
⎛T
=
1
−
⎜ ⎝
TC
⎞ ⎟ ⎠
.
（10）
式（9）和式（10）是理想玻色气体的结果. 实验上实现玻色凝聚的气体，原
子之间存在弱相互作用，其特性与理想玻色气体有差异. 互作用为斥力或吸
.
（6）
将式（5）代入式（4）可将费米巨配分函数表示为
∑ ln Ξ =
l
ωl
ln
ωl ωl −
al
.
（7）
将式（6）和式（7）代入式（3）， 有
159
∑ S = k
l
⎛ ⎜ ⎝
ωl
ln
ωl ωl −
al
+
al
ln
ωl − al
al
⎞ ⎟ ⎠
∑ = k ⎡⎣ωl ln ωl − al ln al − (ωl − al )ln (ωl − al )⎤⎦.
能量为
( ) ℏ
ε0 = 2 ωx +ωy +ωz
163
的基态，在 N → ∞, ω → 0, Nω 3 保持有限的热力学极限下，临界温度Tc 由下式确 定：
N
=
1.202 ×
⎛ ⎜
⎝
kTc ℏω
3
⎞ ⎟ ⎠
,
1
其中 ω = (ωxωyωz )3 .温度为 T 时凝聚在基态的原子数 N0 与总原子数 N 之比为
在 ℏωi << 1的情形下，可以将 ni 看作连续变量而将式（7）的求和用积分代替. 注
kTc
意到在 dnxdnydnz 范围内，粒子可能的量子态数为
⎛ ⎜ ⎝
kTc ℏω
3
⎞ ⎟ ⎠
dnxdnydnz
,
即有
∫ N
=
⎛ ⎜⎝
kTc ℏω
3
⎞ ⎟⎠
dnxdnydnz , e − 1 nx +n y +nz
∑ lnΩ = ⎡⎣ωl ln ωl − al ln al − (ωl − al )ln (ωl − al )⎤⎦.
l
另一方面，根据式（8.1.10），理想费米系统的熵为
S
=
k
⎛ ⎜ ⎝
ln
Ξ
−
α
∂ ∂α
ln
Ξ
−
β
∂ ∂β
ln
Ξ
⎞ ⎟ ⎠
( ) = k ln Ξ +α N + βU
=
k
⎡ ⎢⎣ln
Ξ
课 后 答 案 网
S
=
∫
CV T
dT
+
S0
(V
).
将式（4）代入，得弱简并气体的熵为
（5）
3
S
=
3 Nk ln T
2
± Nk
1
7
22
1 g
⎛ h2
n
⎜ ⎝
2πmkT
⎞2 ⎟ ⎠
+ S0 (V ).
（6）
式中的函数 S0 (V ) 可通过下述条件确定：在
3
nλ 3
=
N V
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
+
al ωl
ln
al ωl
⎤ ⎥, ⎦
（1）
式中 ∑
l
表示对粒子各能级求和.
以
fs
=
al ωl
表示在能量为 εl
的量子态
s
上的平
均粒子数，并将对能级 l 求和改为对量子态 s 求和，注意到
上式可改写为
∑ωl ~ ∑ ,
l
s
∑ SF.D. = −k ⎡⎣ fs ln fs + (1− fs ) ln (1 − fs )⎤⎦.
8.4 试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-
受因斯坦凝聚.
解: 如§8.3 所述，令玻色气体降温到某有限温度 Tc ，气体的化学势将趋于 -0. 在T < Tc 时将有宏观量级的粒子凝聚在 ε = 0 的基态，称为玻色-爱因斯坦凝 聚. 临界温度 Tc 由条件
162
确定.
+∞ D (ε )dε
s
（2）
160
由于 fs ≤1，计及前面的负号，式（2）的两项都是非负的. 对于理想玻色气体，通过类似的步骤可以证明
∑ SF.D. = −k ⎡⎣ fs ln fs − (1+ fs ) ln (1 + fs )⎤⎦.
s
（3）
对于玻色系统 fs ≥ 0 ，计及前面的负号，式（3）求和中第一项可以取负值，第
课 后 答 案 网
3
N0 N
⎛T ⎞
=
1−
⎜ ⎝
Tc
⎟ ⎠
.
解: 约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场中运动，其能量可表达
为
ε
=
⎛ ⎜ ⎝
px2 2m
+
1 2
mω
2 x
x2
⎞ ⎟ ⎠
⎛ + ⎜⎜
⎝
p
2 y
2m
+
1 2
mω
2 y
y
2
⎞ ⎟⎟ + ⎠
⎛ ⎜ ⎝
pz2 2m
+
∑ SF.D. = k ⎡⎣ωl ln ωl − al ln al − (ωl − al )ln (ωl − al )⎤⎦
l
∑ = −k
l
⎡⎢(ωl
⎣
− al
) ln
ωl − al ωl
+ al
ln
al ωl
⎤ ⎥ ⎦
∑ = −k
l
ωl
⎡⎛ ⎢⎜1− ⎣⎝
al ωl
⎞ ⎟ ln ⎠
⎛ ⎜1− ⎝
al ωl
⎢⎢1
±
1
5
⎢⎣ 22
1 g
N ⎛ h2
V
⎜ ⎝
2πmkT
3⎤
⎞ ⎟ ⎠
2
⎥ ⎥ ⎥⎦
（1）
（式中上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体，下同）. 利
用理想气体压强与内能的关系（见习题 7.1）
可直接求得弱简并气体的压强为
p= 2U, 3V
（2）
⎡
p = nkT ⎢⎢1±
1
5
⎢⎣ 22
1 ⎛ h2
1 2
mω
2 z
z2
⎞ ⎟, ⎠
（1）
这是三维谐振子的能量（哈密顿量）. 根据式（6.2.4），三维谐振子能量的
可能值为
ε nx ,ny ,nz
=
ℏω
x
⎛ ⎜
nx
⎝
+
1 2
⎞ ⎟ ⎠
+
ℏω
y
⎛ ⎜ ⎝
n
y
+
1 2
⎞ ⎟ ⎠
+
ℏω
z
⎛ ⎜ ⎝
nz
+
1 2
⎞ ⎟ ⎠
,
nx , ny , nz = 0, 1, 2, ⋯
kTc
，上式可改写为
2πL2
+∞ dx
∫ h2 mkTc 0 ex −1 = n.
在计算式（3）的积分时可将被积函数展开，有
1
1
( ) ( ) ex −1 = ex 1− e−x
= e−x 1 + e−x + e−2x +⋯ ,
（3）
则
∫ +∞ 0
dx ex −1
=
1
+
1 2
+
1 3
+
⋯
∑∞ 1
=. n=1 n
低能级的能量，即 化学势 µ 由
( ) ℏ
µ < ε0 ≡ 2 ωx +ωy +ωz .
（4）
N = ∑ e 1 −1 ( ) nx ,ny ,nz
1 kT
⎡⎣ℏ
nxωx +nyωy +nzωz
+ε
0
−µ
⎤ ⎦
（5）
确定. 化学势随温度降低而升高，当温度降到某临界值Tc 时 ，µ 将趋于 ε0.临界 温度 Tc 由下式确定：
l
比较式（8）和式（2）， 知
（8）
S = k ln Ω.
（9）
对于理想玻色系统，证明是类似的.
课 后 答 案 网
8.2 试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为
∑ SB.E. = k ⎡⎣ fs ln fs − (1+ fs ) ln (1 + fs )⎤⎦,
s
∑ SF.D. = −k ⎡⎣ fs ln fs + (1− fs )ln (1 − fs )⎤⎦,
（2）
如果原子是玻色子，根据玻色分布，温度为 T 时处在量子态 nx, ny, nz 上的粒子 数为